EO PNP 2015

MATRICES Y DETERMINANTES

Determinantes

Para su clculo efectuamos las operaciones del recuadro indicadas por las flechas :

a b

= = ad bc

c d

Ejemplos: Hallar el determinante de las siguientes matrices

1. 3 5 2. 2 3 3. x-1 x P = Q = R =

7 2 -7 2 2 x+1

Solucin: Apliquemos la RESTA DE PRODUCTOS CRUZADOS en cada ejemplo :

1. (7)(5)(2)(3)27

53P P = 6 35 P = -29 Rpta.

Matriz Cuadrada. Cuando el nmero

de filas es igual al nmero de columnas.

Ejemplos:

41

32; de orden 2 x 2

Arreglo rectangular de elementos o

nmeros, que consta de m filas por n

columnas.

Se dice que es de orden m x n.

Matrices y Determinantes

Matriz

Ejemplo:

8765

4321

Fila 1 Fila 2

Columna 1

Columna 2 Columna 3

Columna 4

Matriz de

Orden 2 x 4

Es el valor que adopta una matriz.

Ejemplo:

54

32A Matriz

54

32|A| Determinante

|A| = 5(2) 4(3) = -2

Valor del Determinante

Nota: El determinante de A o |A|

tambin se denota con .

Determinante

EO PNP 2015

2. 7)((3)2x227

32Q

Q = 2 + 21 Q = 23 Rpta.

3. (2)(x)1)(x1)(x1x2

x1xR

R = x2 1 2x Rpta.

REGLA DE SARRUS, cuyo procedimiento es el siguiente:

tsr

pnm

cba

Forma 1 Por la REGLA DE SARRUS horizontal, volvemos a escribir las dos primeras columnas en el lado derecho :

a b c a b

m n p m n

r s t r s

Forma 2

Por la REGLA DE SARRUS vertical, volvemos a escribir las dos primeras filas en la parte inferior : a b c

m n p

r s t

a b c

m n p

Ejemplo:Hallar el determinante : 1 2 3

= 4 5 6 7 8 9

Solucin: Por la REGLA DE SARRUS horizontal :

1 2 3 1 2

= 4 5 6 4 5

7 8 9 7 8

= [ 1 x 5 x 9 + 2 x 6 x 7 + 3 x 4 x 8 ] [ 3 x 5 x 7 + 1 x 6 x 8 + 2 x 4 x 9 ]

= [ 45 + 84 + 96 ] [ 105 + 48 + 72 ]

= 225 225 = 0 Respuesta

Comprobemos:

Por la REGLA DE SARRUS vertical:

1 2 3

= 4 5 6

7 8 9

1 2 3

4 5 6

Aplicando: = D.P. D.S.

= [ 1 x 5 x 9 + 4 x 8 x 3 + 7 x 2 x 6 ] [ 3 x 5 x 7 + 6 x 8 x 1 + 9 x 2 x 4 ]

= [ 45 + 96 + 84 ] [ 105 + 48 + 72 ] = 225 225 = 0

DS DP

DS DP

= (ant + bpr + cms) (cnr + aps + bmt)

DP DS

DP DS

= (ant + msc + rbp) (cnr + psa + tbm)

DP DS

D.S. D.P.

EO PNP 2015

01.-Escribir explcitamente la matriz A.

A = (aij)3x2 / aij = i + 2j

a)

756453

b)

958473

c)

978675

d)

410024

e) N.A.

02.-Dada la matriz : A =

503420

132, calcular el

valor de : E = a12 + 222

a + a33

a) 12 b) 16 c) 4

d) 4 e) -1

03 Si :

wzyxwz2yx =

4153 . Halle :

(x + 2y) (z + w)

a) 4 b) 3 c) 2

d) 3 e) -2

04.-Si : A =

1431x2

, B =

1z2y6y3 y A = B.

Calcular el valor de : E = 4x + 2y - z

a) 6 b) 8 c) 13

d) 9 e) 5

05.-Dado : A =

253121

; B =

311122

. Calcular :

2A - 3B

a)

5795

24 b)

579524

c)

579524

d)

201124

e)

952421

06.-Sea:

104

212

103

A

543

705

214

B

Indicar: A + B

a)

647

917

117

d)

647

917

321

b)

642

957

117

e)

765

413

210

c)

642

917

117

07.-Si:

14

32A

12

34B

12

45C

Indicar el valor de |A| + |B| + |C|

a) 10 b) 15 c) -15 d) 7 e) -7

08.- Si:

1n1n2

nmA

ba

29B

Indicar: a + b a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 20

09.-Si: A = B

Siendo:

32m

b54

321

A

321

454

32a

B

Indicar: m

ba

a) 3 b) 6 c) 5 d) 10 e) 8

10.-Sean las matrices:

43

21A

23

41B

Determinar: |A|2 + |B|

2

a) 100 b) 101 c) 102 d) 103 e) 104

11. Dadas las matrices : A =

3725

; B = 4321

;

C = 5823

. Entonces se cumple que :

a. A < B < C d) B < A < C

b. A < C < B e) C < B < A

c. B < C < A

12.-Indicar el valor de verdad de cada una de las

siguientes afirmaciones :

I. 2bab

ab2a = 2a2b2

II. 1nnn1n

= -1

III. babababa

= 4ab

a) VVV b) VVF c) FVV

d) FVF e) VFV

13.-Si : (1 + x) (1 - x) = y2. Calcular :

E = xyyx

+ xxy1y

a) 0 b) 1 c) 1

d) 2 e) -2

EJERCICIOS DE APLICACIN

EO PNP 2015

Calcular los siguientes determinantes:

1. Resolver:

442

2x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Calcular:

2x27

2272x2

|A|

a) x b) 4x c) x2

d) 4x2

e) N.A.

3. Calcular:

132

453

125

|B|

a) 579 b) 579 c) 51418

d) 51418 e) N.A.

4. Calcular:

baba

baba|E|

a) 2ab b) 2(a2 + b

2) c) a

2 + b

2

d) 4ab e) N.A.

5. Simplificar:

xyz

yz0

0xy

x0z

E

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.

6. Indicar el valor de:

22

22

22

abab2

ab2ab

bab2aE

a) a3 b

3 b) a

2 + b

2 c) ab

2

d) a + b e) N.A.

Indicar: x + y

a) 1 b) -1 c) 0

d) -2 e) 2

7. 2

2

a2a

)4a2a(a

a) 2 b) 4 c) a d) a3

e) 8

8.

103

210

013

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

9. 12537

37125

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. Calcular:

yx2

)yx(yyxE

a) 1 b) (x + y)2

c) (x - y)2

d) -2 e) 0

11. Resolver en x

5

231

2x2

142

a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5

12. Calcular:

nmnm

nmnm

a) 4m b) (m + n)2

c) 4mn

d) 3mn e) (m - n)2

13. Sean las matrices:

14

52A

47

95B

10

01C

Hallar: I. A + B II. 3A 2B III. A + 2B + 3C

14.- Dadas las matrices: A =341235312

; B =243352123

Calcular el valor de : E = 2A + 3B

a) 71 b) 36 c) 72

d) 17 e) 24

15.- Si: A = 341235312

. Calcular : A

a) 40 b) 20 c) 30

d) 0 e) 10

16.-Dada la matriz: B =5714x23

53x

, si B= 100

Cul es el valor de x?

a) 7 b) 6 c) 4

d) 2 e) 1

17.-Si la matriz X satisface la ecuacin:

X + 2 1321

= 4312

. Hallar X

a) 24 b) 15 c) 9

d) 9 e) 33