matrices

Héctor Escobar Álgebra Lineal

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ÁLGEBRA LINEAL: Unidad 1: Álgebra De Matrices. 1. CONCEPTO DE MATRIZ. Una matriz A de nm × es un arreglo rectangular de m filas y n columnas:

Notas: a. mi ≤≤1 ; nj ≤≤1 b. Si ℜ∈ija , entonces A es una matriz real.

Si C∈ija , entonces A es una matriz compleja.

c. ( )inii aaaFi ,,,

21�= es un vector fila.

d.

=

mj

j

j

a

a

a

Cj�

2

1

es un vector columna.

e. Si 0=ija ji ∀∀ , , entonces Θ=A es la matriz nula.

2. CLASES DE MATRICES.

2.1. Matrices Rectangulares. Son las matrices nMmA ×∈ tal que nm ≠ . 2.2. Matrices Cuadradas. Son las matrices nMmA ×∈ tal que nm = (simbólicamente MnA∈ ). Notas: En las matrices cuadradas la suma de los elementos de la diagonal principal recibe el nombre de traza. En las matrices cuadradas se pueden distinguir: a. Matriz diagonal:

( )ijdD = Si ijij dd = con ji =

( )ij

mnmm

n

n

a

aaa

aaa

aaa

A =

=

�

��

�

�

21

22221

11211


2

0=ijd Si ji ≠

b. Matriz triangular superior:

( )ijaA = Si ijij aa = con ji ≤

0=ija Si ji >

c. Matriz triangular inferior.

( )ijaA = Si ijij aa = con ji ≥

0=ija Si ji <

Nota: consultar a. Matriz triangular superior estricta b. Matriz triangular inferior estricta 3. Algebrización De Matrices. Sean nMmCBA ×∈,, . Entonces sobre nMm ×

se ha definido las siguientes operaciones: 3.1. Igualdad De Matrices. BA = Si ijij ba = ji ∀∀ , .

3.2. Suma De Matrices. Es una IBO .. definida así:

( ) ( ) nMmnMmnMm ×→×××+ : ( ) ( )ijijijij baba +→,

Esta Operación Cumple Con Las Siguientes Propiedades: a. Asociatividad: ( ) ( )CBACBA ++=++ b. Elemento neutro: AAA =+Θ=Θ+ c. Elemento inverso: ( ) Θ=+−=−+ AAAA d. Conmutatividad: ABBA +=+ Nota: Por 3.1, 3.2 y sus propiedades, +× ,nMm forman un grupo abeliano.

3.3. Multiplicación De Una Matriz Por Un Numero Real. Es una EBO .. definida así:

nMmnMm ×→××ℜ• : ( ) ( )

ijij aa ., αα →

Esta Operación Cumple Con Las Siguientes Propiedades: Sean :, ℜ∈βα


3

a. ( ) AAA βαβα +=+ ( ) BABA ααα +=+ b. ( ) ( )AA βααβ = c. AA =⋅1 (neutro para • ) Notas: Con 3.1, 3.2 y 3.3 •+× ,,nMm forma un espacio lineal.

3.4. Multiplicación Entre Matrices. Para que la multiplicación matricial de A con B esté definida se necesita que A y B sean conformables, es decir que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B :

( ) ( ) rMmrMnnMm ×→×××× : ( ) ( )ijijij cba →,

donde ijc se obtiene multiplicando escalarmente la ésimai − fila de A por la

ésimaj − columna de B . Propiedades De La Multiplicación Matricial a. Asociatividad: ( ) ( )BCACAB = b. Distributiva: ( ) ACABCBA +=+ ( ) BCACCBA +=+ c. ( ) ( ) ( )BABAAB ααα == con ℜ∈α d. En general BAAB ≠ Si ,BAAB = entonces A y B conmutan Si ,BAAB −= entonces A y B son anticonmutativos. 4. Matriz Identidad. MnMnA ∈Ι∃∈∀ , tal que Ι=Ι=Ι AA

5. Operaciones Unitarias Con Matrices.

5.1 Matriz Transpuesta. mMnnMmt ×→×:

( ) ( )jiij aa →

Si ( )

ijaA = , entonces ( )ij

taA =


4

Propiedades De La Transposición. Sean BA, matrices conformables, ℜ∈α . Entonces se cumple que:

a. ( ) AAtt =

b. ( ) ttt

BABA +=+ c. ( ) ( )tt

AA αα = d. ( ) ttt

ABAB = e. ( ) ttt

n

t

n AAAAAA1221

�� = 5.2. Matriz Simétrica. Sea MnA∈ . Entonces A es simétrica si tAA = ( )

jiij aa = .

5.3. Matriz Antisimétrica. Sea MnA∈ . Entonces A es antisimétrica si tAA −= ( )

jiij aa −=

Propiedad. En una matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal son cero. 5.4. Conjugación. Sea ( ) ( )CnMmibaA ijij ×∈+= . Entonces la conjugada de la

matriz A se define así: ( )ijij ibaA −=

Propiedades de la conjugación. a. AA = b. AA αα = Si C∈α AA αα = Si ℜ∈α c. BAAB = d. BABA +=+

e. ( ) tttBABA +=+

f. ( ) ( )( )tttABAB =

g. ( ) AAtt

=


5

Conjugación En Las Matrices Cuadradas. a. Matriz Hermítica. Sea ( ) ( )CMnibaA ijij ∈+= . Entonces A es hermítica si

tAA .=

Propiedad. En las matrices hermíticas los elementos de la diagonal son reales. b. Matriz Antihermítica. Sea ( ) ( )CMnibaA ijij ∈+= entonces A es

antihermítica si tAA .−=

Propiedad. En una matriz antihermítica los elementos de la diagonal son imaginarios puros.

5.5. Potenciación MnMnr →: ( ) ( )r

ijij aa → con Ν∈r

∏=

−==

r

ivecesr

rAAAAA

1

�

Propiedades De La Potenciación. a. 11 −− == rrr AAAAA b. srsr AAA +=

c. ( ) rssr AA =

d. ( ) ( ) qsrqsr CBACBA =

e. Si A y B conmutan entonces rrrr ABBA = con 2≥r f. Si A y B conmutan entonces ( ) rrr

BAAB = con 2≥r Matrices Originada Por La Potenciación.

a. Involutiva: Si Ι=2A b. Idempotente: Si AA =2 c. Periódica: Si AAr = con período 2≥r d. Nilpotente: Si Θ=r

A con índice de nil potencias r

6. Inversa De Una Matriz. 6.1. Definición. Si MnA∈ y MnB ∈∃ tal que Ι== BAAB , decimos que B es la inversa de A ( )1−= AB . 6.2. Propiedades De La Matriz Inversa. a. Si la inversa de A existe entonces es única.

b. Si A es regular entonces ( ) AA =−− 11


6

c. Si A y B son regulares entonces AB es regular y ( ) 111 −−−= ABAB

d. Si A es regular entonces tA también lo es y ( ) ( )tt AA 11 −−=

e. Si ( )CMnA∈ es regular entonces t

A es regular y ( ) ( )ttAA 1

1−

−

= 7. Determinante. 7.1. Concepto. El determinante de MnA∈ es una operación que le asigna a la matriz A un número real o un número complejo. 7.2. Como calcular el determinante de una matriz.

a. Sea 12212211

2221

1211det aaaaA

aa

aaA −=→

=

b. Sea 3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11

333231

232221

131211

detaa

aaa

aa

aaa

aa

aaaA

aaa

aaa

aaa

A +−=→

=

c. Menor de ( )

ijij Ma . Es el determinante de la matriz que resulta al suprimir la

ésimai − fila y la ésimaj − columna de MnA∈ . d. Cofactor de ( )

ij

ji

ij MAa+

−= 1: .

e. Matriz de cofactores ( )Acof . Es la matriz formada por todos los cofactores

de A .

f. Matriz adjunta ( )Aadj . Es la transpuesta de la matriz de cofactores.

g. Propiedad. La suma de los productos formados al multiplicar los elementos de una fila (columna) de A por el correspondiente cofactor de otra fila (columna) de A es cero.

h. Como hallar un determinante de:

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

�

��

�

�

21

22221

11211

i. ∑=

=n

j

ijij AaA1

Det : desarrollo del determinante por los cofactores de la ésimai −

fila.


7

ii. ∑=

=n

i

ijij AaA1

Det : desarrollo del determinante por los cofactores de la

ésimaj − columna. 8. Propiedades De Los Determinantes. 8.1. Si B se obtiene al multiplicar una fila (columna) de A por ℜ∈α , entonces se cumple que AB detdet α= . 8.2. ( ) AA

ndetdet αα = siendo MnA∈ .

8.3. ( )( )BAAB detdetdet = o en forma más generalizada:

( )( ) ( )kk AAAAAA detdetdetdet2121�� = .

8.4. Si una fila (columna) de A es cero, entonces 0det =A . 8.5. AA

tdetdet = .

AA detdet =

AAt

detdet =

8.6. Si en una matriz se intercambian dos filas (columnas) el determinante cambia de signo. 8.7. Si una matriz tiene dos filas (columnas) iguales entonces el determinante es cero. 8.8. Si en una matriz una fila (columna) es un múltiplo escalar de otra fila (columna) entonces el determinante es cero. 8.9. Si a una fila (columna) se le suma un múltiplo escalar de otra fila (columna) el determinante de la matriz no cambia.

8.10. Si A es triangular o diagonal entonces ∏=

=n

i

ijaA1

det con ji = .

8.11. A Es regular si 0det ≠A . 8.12. 1det =Ι .

8.13. Si A es regular entonces A

Adet

1det

1 =− .

8.14. El determinante de una matriz MnA∈ es nulo si una fila (columna) es


8

C.L de las restantes filas (columnas). 9. Teoremas: Sea MnA∈ , entonces se cumple que: 9.1. ( )( ) ( )( ) ( )Ι== AAAAA detadjadj .

9.2 AA

A adj

=−

det

11

10. Operaciones Elementales. 10.1 Una operación elemental es aquella que convierte una matriz en otra equivalente. Las operaciones elementales son: a. Intercambio de dos filas (o dos columnas) b. Multiplicación de una fila (o columna) por un escalar diferente de cero. c. Suma a una fila (o columna) de un múltiplo escalar de otra fila (o columna). 10.2. Matrices Elementales. Son aquellas que resultan al ejecutar sobre una matriz identidad una única operación elemental. 10.3. Propiedad. Sean MmEnMmA ∈×∈ ; una matriz elemental, entonces EA es la matriz que resulta al efectuar sobre A la operación elemental fila idéntica en E . Nota: cuando se posmultiplica es una operación elemental columna. 10.4. Matrices Equivalentes. i. Matrices equivalentes por filas, Sean nMmBA ×∈, decimos que B es equivalente por filas a A si B se obtiene al ejecutar sobre A un número finito de operaciones elementales fila:

PAAEEEB k == �21

En MmEi ∈ . ii. Matriz equivalente por columnas. Sean nMmBA ×∈, decimos que B es equivalente por columnas a A si B se obtiene al ejecutar sobre A un número finito de operaciones elementales columna:

AQAEEAEB n == �21

En MnE j ∈ .

iii. Matrices equivalentes. nMmBA ×∈, , son equivalentes si B se obtiene al efectuar un numero finito de operaciones fila/columna sobre A .

PAQB = QB ≡ 10.5. Se dice que A es regular al hacer sobre A un número finito de operaciones elementales fila (o columna) se obtiene la matriz identidad:

( )AEEE kn �21

=Ι Ó [ ] [ ]1||

−Ι→Ι AA .


9

10.6. La Matriz Escalonada. Una matriz está escalonada por filas (M.E.F) si cumple lo siguiente: a. Si posee filas nulas, éstas se localizan en la parte inferior de la matriz. b. El primer elemento diferente de cero que se encuentre en una fila de izquierda a derecha es el 1 (1 principal). c. El 1 principal de una fila siempre esta a la derecha del 1 principal de la fila inmediatamente superior. d. Si los elementos de una columna que posee el 1 principal son nulos, entonces está en forma escalonada por fila reducida (M.E.F.R). Nota: también se puede definir la M.E.C.R 11. Rango De Una Matriz. a. Rango por filas. El rango por filas de una matriz es el numero de filas no nulas en le M.E.F o en la M.E.F.R. b. Rango por columnas. El rango por columnas de una matriz es el numero de filas no nulas en le M.E.C o en la M.E.C.R. c. Si ( ) ( ) KAA == columnasRangFilasRang , decimos que K es el rango de la matriz. 12. Sistema De Ecuaciones. Sea el sistema de ecuaciones.

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

=+++

=+++

=+++

�

��

�

�

2211

22222121

11212111

...........................................

Este sistema se puede expresar en forma matricial así:

=

mnnnnn b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

��

�

��

�

�

2

1

2

1

21

232221

131211

Ó BAx =

:A Matriz de coeficientes

:x Matriz de incógnitas :B Matriz de términos independientes

Lo que se pretende es hallar las adasn − que satisfacen el sistema BAx = .

Para esto podemos tener en cuenta lo siguiente:


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a. Si Θ≠B , entonces BAx = es un sistema no homogéneo. b. Si Θ=B , entonces Θ=Ax es homogéneo.

c. BAx = es compatible si tiene solución única o infinitas soluciones y es

incompatible si no tiene solución.

d. Θ=Ax puede tener solución única (en este caso trivial) o infinitas soluciones (que incluye la trivial).

e. Si A es regular entonces BAx = tiene solución única.

f. Variables básicas. Son las asociadas a los unos principales de la M.E.F ó

M.E.F.R. Variables libres son las restantes.

Numero de variables básicas = ( ) KA =Ran .

Numero de variables libres = Kn −

g. Si ( ) ( )BAA |RanRan = entonces el sistema tiene solución. h. Si ( ) ( )BAA |RanRan ≠ entonces el sistema no tiene solución. i. Si ( ) ( ) nBAA == |RanRan entonces el sistema tiene solución única.

j. Si ( ) ( ) nBAA <= |RanRan entonces el sistema tiene infinitas soluciones. k. Dos ó más sistemas son equivalentes si poseen la misma solución. l. Las filas nulas indican el número de ecuaciones redundantes. m. Si MnA∈ es regular, entonces se cumple que:

Ι≡

≠

A

A 0det

Θ=Ax Tiene solución única. BAx = Tiene solución única.

( ) nA =Ran

matrices

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