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MATEMÁTICAS A. CS II

Tema II

Matrices

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OPERACIONES:PRODUCTO DE MATRICES

TEMA 2.3 * 2º BCS

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PRODUCTO D !ATR"CS

# Para $ultiplicar una $atri% &ila 'e ta$a(o 1)n por una $atri%colu$na 'e ta$a(o n)1* se +an $ultiplican'o ele$ento a ele$ento, su$an'o los resulta'os parciales* 'e $o'o -ue el resulta'o &inales un n$ero real.

# Ejemplo_1#   '# / a 0 c e a.' 0.e c.&#   & # Ejemplo_2

# 4 4.2 4.5 4./67 8 29 628# 63 / 2 5 67 63.2 63.5 63./67 6: 615 21# 1 1.2 1.5 1./67 2 5 67

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Pro'ucto; D<"="C">=

# Da'as 'os $atrices A , B 'e ta$a(o $)n , n)p respecti+a$ente*'os $atrices en -ue el nº 'e colu$nas 'e la 1? coinci'e con el nº'e &ilas 'e la 2?* se lla$a $atri% pro'ucto A.B a una nue+a $atri% enla -ue el ele$ento 'e lugar /i* se o0tiene $ultiplican'o la $atri%&ila i 'e A por la $atri% colu$na 'e B.

# l resulta'o es una $atri% 'e ta$a(o $)p.

  2 3 4

  ! "

 

a #

. $ e

  c % 

  2a&3$&4c 2#&3e&4% 

'

  a&!$&"c #&!e&"% 

Una $atri% 2)3 $ultiplica'a por otra 3)2 'a por resulta'o una 2)2

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e$plos

  2 (3

  ( !

  ()

. 4

2()+&(3+.4

' (()+&!.4

()4

 ' 2,

  2 (3

  ( !

  () 2

. 4 3

  2()+&(3+.4 2.2&(3+.3

' (()+&!.4 (.2&!.3

  ()4 (

 ' 2, -

  2 (3  () 2

. 4 3' 2()+&(3+.4 2.2&(3+.3 ' ()4 (

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:

!s ee$plos

  2 (3

  ( ! )

  ()

. 4

  2

2()+&(3+.4&.2

' (()+&!.4&).2

()4

  ' 3)

  ) (2

  3

  (4 )

  () 2

. 4 3

  ).()+&(2+.4 ).2&(2+.3

' .()+&3.4 .2&3.3

  (4+.()+&).4 (4+.2&).3

  (, (4

 ' )2 ,

  - (

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  ) 3

  () )

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  4

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  (&"&

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  2

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lti$o ee$plo

  2 -3 4

  -5 6 -1

  -1 2

. 4 3

  -2 -5

  2(-1)-3.4+4(-2) 2.2-3.3+4(-5)

=

  -5(-1)+6.4-1(-2) -5.2+6.3-1(-5)

  -22 -25

=

  31 13

  -1 2

4 3 .

  -2 -5

  2 -3 4

  -5 6 -1

  -2-10 3+12 -4-2

= 8-15 -12+18 16-3

  -4+25 6-30 -8+5

-12 15 -6

= -7 6 13

  21 -24 -3

#l pro'ucto 'e $atrices =O es con$utati+o; A.B EF B.A#Sea la $atri% A 2)3 , la $atri% B 3)2

#Co$o se pue'e o0ser+ar los resulta'os son 'istintos; A.B 2)2 , B.A 3)3

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Propie'a'es 'el PRODUCTO

# PROPIEDADES

#  Asociati+a; A./B.C /A.B.C# (En ocasiones hay que multiplicar entre sí más de dos matrices) # =o es con$utati+a; A.B EF B.A

# (Muy importante en las operaciones con matrices)# Tiene ele$ento neutro /Ga $atri% uni'a'* ".# (La matriz I es siempre cuadrado, presenta todos unos en la diagonal

 principal y los demás elementos son ceros)# Distri0uti+a respecto a la su$a;#  A./BC A.BA.C

# (Hay que tener presente que A./BC < /BC.A , en general!)# le$ento in+erso; SHlo las cua'ra'as pue'en tenerlo* , no sie$pre.# (Imprescindi"le para poder di#idir matrices! $i %!& ' , nos dan % y ,

 para hallar & tenemos &' * % ' (+ * %)! , donde +*% es la matriz in#ersade %!)

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I

e$plo

  ) )

  )

  () 2

. 4 3

#PROP"DAD ASOC"AT"JA; A./B.C /A.B.C

)

  . 2 )

  ) )

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  () 2

. 4 3

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  . 2 )

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  4 )

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  3

' 4 3

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  ) 2

A.B ' 4 .

4 "

  2  

- )"

'

2! 3

  4 "

B.A ' 2 .

) 2

4

  32 43

'

22 2,

Otro ee$plo 'e propie'a'antico$$utati+a 'el pro'ucto

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POT=C"A D U=A !ATR"K

#  #  A2  A.A#  #  A3  A2 .A

#  A4  A3 .A

#  An  An L 1 . A

# n to'os los casos los +alores 'e los tMr$inos 'el resulta'o siguenuna le, 'e &or$aciHn* una serie.

#   1 9# Ejemplo; Calcular las potencias 'e la $atri% A #   1 1

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#   2 1 9 1 9 1 9#  A #   1 1 1 1 2 1

#   3 1 9 1 9 1 9#  A #   2 1 1 1 3 1

#   4 n# NuM +al'r A N Q A

e$plo 'e potencias 'e $atrices

Ejemplo; Calcular las potencias 'e la $atri%

  1 9 A

1 1

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#   2 1 9 1 9 1 9#  A #   1 9 1 9 1 9

#   3 1 9 1 9 1 9#  A #   1 9 1 9 1 9

#   4 n# NuM +al'r A N Q A

Otro ee$plo 'e potencias

Ejemplo; Calcular las potencias 'e la $atri%

  1 9 A

1 9

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#   2 9 1 9 1 1 9#  A #   1 9 1 9 9 1

#   3 1 9 9 1 9 1#  A #   9 1 1 9 1 9

#   4# NuM +al'r A   Go $is$o -ue A#   n# N Q A   A si n es par* e " si n es i$par 

Otro ee$plo 'e potencias

Ejemplo; Calcular las potencias 'e la $atri%

  9 1 A

1 9