MATRICES

DEFINICIÓN

Una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales.

Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.

Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. Así, designaremos por a32 el elemento que está situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A.

El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz.

Dos matrices son iguales si son de igual dimensión y coincide el valor de los elementos que ocupan la misma posición en ambas.

ORDEN

Una matriz que tenga m filas y n columnas se denomina matriz de orden m x n. La matriz A es de orden 3 x 3

(pero nunca pensemos que es de orden 9).

El orden nos indica el número de filas y de columnas que tiene un matriz, es decir, una matriz de orden p x q

significa que tiene p filas y g columnas.

Ejemplo:

La matriz 3 -1 4 es de orden 2 x 3 porque tiene 2 filas

2 0 1 y 3 columnas.

CLASIFICACIÓN DE MATRICES

1). Matriz columna: Una matriz con n filas y 1 columna, se denomina matriz columna. Esta matriz es de tipo m x 1. Por ejemplo:

2). Matriz fila: Una matriz que tiene una fila y n columnas, se dice que es una matriz fila. Esta matriz es del tipo 1 x n. Por ejemplo:

3). Matriz Cuadrada: Una matriz en la cual el número de columnas es igual al número de filas, se conoce como una matriz cuadrada. Una matriz de orden n es aquella que tiene n filas y n columnas. La propiedad aceptada en la matriz cuadrada es que dos o más matrices cuadradas de orden idéntico, pueden multiplicarse, sumarse y restarse. Por ejemplo:

4). Matriz identidad o unidad: Se dice que una matriz es la matriz identidad o unidad, si cada elemento de la diagonal principal de la matriz particular es 1. La matriz identidad generalmente es denotada por ‘I’. Este tipo de matriz tiene la siguiente propiedad:

AI = A y IA = A

5). Matriz cero o nula: Se trata de una matriz en la cual cada elemento es igual a 0. Se representa como ‘0’. Si ‘O’ es la matriz cero m × n y A es cualquier matriz m × n, entonces A + O = O A. En consecuencia O es la identidad aditiva de la suma de matrices. Por ejemplo:

6). Matriz rectangular: Tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

MATRICES ESPECIALES

1).Matriz escalar: Se llama así a toda matriz cuadrada en la cual todos los elementos de la diagonal principal

son iguales pero distintos de 0, y el resto es 0. (La matriz identidad, también, es un caso especial de matriz escalar).

2).Matriz Diagonal: Se llama así a toda matriz cuadrada en la cual todos los elementos de la diagonal principal son distintos de 0, y el resto es 0. (La matriz identidad es un caso especial de matriz diagonal).

3). Matriz simétrica: Una matriz A cuadrada es simétrica si es igual a su traspuesta. Es decir:

Por ejemplo:

4). Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada A es antisimétrica si es igual a la opuesta de su adjunta, es decir:

TRAZA DE UNA MATRIZ

Sea una matriz cuadrada A de orden n, se define la traza de la matriz A y se denota por  tr(A) al valor obtenido al sumar todos los elementos de la diagonal principal, es decir:

OPERACIONES CON MATRICES

1).Suma y diferencia de matrices

2).Producto por un escalar por una matriz

3).Producto de matrices

Mm x n x Mn x p  = M m x p

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

Se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.