matrices
DESCRIPTION
descripcion de las matricesTRANSCRIPT
MATRICES
UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS
UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES
AO DE LA PROMOCION DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y DEL COMPROMISO CLIMATICO
TEMA: Matrices.
DOCENTE: Lic. HUAMANCAYO QUISPE, Julio.
INTEGRANTES: SEMESTRE: IICerro de Pasco, 11 de octubre del 2014
INTRODUCCION
Las matrices aparecen por primera vez hacia el ao 1850, introducidas porJ.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teora se debe al matemticoW.R. Hamiltonen 1853. En 1858,A. Cayleyintroduce la notacin matricial como una forma abreviada de escribir un sistema demecuaciones lineales connincgnitas.Las matrices se utilizan en el clculo numrico, en la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Adems de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometra, estadstica, economa, informtica, fsica, etc...La utilizacin de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial en los lenguajes de programacin, ya que la mayora de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de clculo, bases de datos,... MATRICES
Definicin.- Una matriz de orden mxn es un arreglo rectangular de nmeros ( reales o complejos) aij , llamados elementos dispuestos en m lneas horizontales , llamadas filas y en n lneas verticales llamadas columnas ; de la forma :
mxn
Las matrices se nombran con letras maysculas A , B , C , . En forma abreviada la matriz anterior puede escribirse en la forma A = ( aij ) mxn con i = 1, 2 , 3 , , m ; j = 1,2,3, , n , o Amxn . Los subndices indican la posicin del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ) . Por ejemplo el elemento a 25 se ubica en la segunda fila y quinta columna de la matriz.La dimensin de una matriz es el nmero mxn de elementos que tiene la matriz.MATRICES IGUALES.-Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensin y cuando los elementos que ocupan los mismos lugares son iguales ., Si A =( a ij ) mxn y B = ( b ij ) mxn , entonces A = B si y solo si a ij = b ij para cada valor de i , j Las siguientes matrices no son iguales
Orden 2x3
Orden 3x2Dimensin 6
Dimensin 6ALGUNOS TIPOS DE MATRICES :
1.MATRIZ CUADRADA.- es aquella que tiene el mismo nmero de filas que de columnas , es decir m = n , y se dice que la matriz cuadrada es de orden n .
La Diagonal Principal de una matriz cuadrada es el conjunto formado por los elementos a 11 , a 22 , a 33 , a 44 , a n n y la traza de la matriz cuadrada es el nmero dado por la suma de los elementos de la diagonal principal , es decir :
Traza ( A ) = a 11 + a 22 + a 33 + a 44 ++ a n n
2. MATRIZ RECTANGULAR .- es toda matriz en la que m n 3.MATRIZ FILA - es una matriz de orden 1 x n :
4. MATRIZ COLUMNA .- es una matriz de orden m x 1 :
5. MATRIZ NULA- es la matriz que tiene todos sus elementos nulos
0 =
6. MATRIZ DIAGONAL es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son nulos
B=
Ejemplo 1 .
B =
7. MATRIZ ESCALAR.- es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a una constante
B=
8. MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD.- es la matriz escalar en la que k = 1
B= = I n9. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR .- es la matriz cuadrada que tiene todos sus elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal nulos, es decir a ij = 0 , para todo i > j .
A =
10. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR.- es la matriz cuadrada que tiene todos sus elementos que se encuentran por encima de la diagonal principal nulos, es decir a ij = 0 , para todo i > j .
A =
11. MATRIZ TRASPUESTA .- es la matriz que se obtiene de la matriz A = ( aij )mxn intercambiando las filas por columnas se denota A t = (aji )nxm A = At = Ejemplo 2 Si
12. MATRIZ SIMETRICA .- es toda matriz tal que A = At A =
13. MATRIZ ANTISIMETRICA .- es toda matriz tal que A = - At
1.2 OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES
Si A = ( aij )mxn y B = ( bij )mxn son dos matrices del mismo orden , entonces se define la suma A + B como la matriz de orden mxn , C = ( cij )mxn tal que cij = aij + bij . Ejemplo 3 Si
PROPIEDADES Si A , B y C son matrices de orden mxn , se cumple :
1. A + B = B + A
2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
3. A + 0 = 0 + A
4. Existe la matriz opuesta de la matriz A , denotada por A , que se obtiene cambiando los signos de todos los elementos de A , tal que A + ( - A ) = 0
DIFERENCIA DE MATRICES La diferencia de las matrices A y B , de orden mxn, se define como la matriz D = A + ( - B ) . es decir D = ( d ij ) mxn tal que
d ij = a ij - b ij
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ . Dado el nmero real k y la matriz A mxn , el producto k.A es otra matriz del mismo orden , que resulta de multiplicar cada elemento de A por k .
PROPIEDADES:
, se cumple :
1. () A =
2.
3.
4.
PRODUCTO DE MATRICES .- Dadas dos matrices ellas son compatibles para la multiplicacin de A por B, si el nmero de columnas de A es igual al nmero de filas de B .
EL producto A. B es la matriz C de orden m x p , tal que los elementos cij de C es
cij = para cada i , j
Ejemplo 4 Dadas las matrices A y B, hallar AB
PROPIEDADES
1. A. ( B . C ) = ( A. B ) . C
2. A . ( B + C ) = A . B + A . C
3. El producto de matrices no siempre es conmutativo A. B B.A4. Si A . B = 0 no implica que A = 0 B = 0
5. Si A.B = A . C no implica necesariamente que B = C
6.
7.
PRACTICA
1.Los contratistas A, B y C hacen licitaciones para las obras p, q y r como se indica en la matriz de costos (en unidades de 100 000 dlares) Qu asignacin minimiza el costo total si a) Sin ninguna condicin b) A cada contratista solo se le puede asignar una sola obra.
2.Si un obrero W puede realizar el trabajo en horas, segn se indica en la matriz A y si cada obrero solo deber realizar un solo trabajo Qu asignacin minimizar el tiempo total del trabajo?
3.Suponiendo que el estado del uso del suelo de una ciudad de 50 millas cuadradas de superficie, no baldia, en 1993 fue:
I.Uso residencial 30% , II. Uso comercial 20%, III. Uso industrial 50%. Encontrar los estados en los aos 1998, 2003 y 2008, suponiendo que las probabilidades de transicin para intervalos de 5 aos estn dadas por la siguiente matriz:
NOTA.- Una matriz cuadrada con elementos no negativos, si la suma de los elementos de cada una de sus filas es igual a 1, se llama matriz estocstica4.Sean las matrices
Encontrar aquellas matrices que se encuentren definidas
a) AB
b) CA
c) BtAt
d) BC
e) CtB
5.Dadas las matrices :
a)A=
b)B=
c)C=
d)D=
f)F=
g)G=
h)H=
i)I=
Hallar a) A+B , b) B- A , c) 2C-3D , d) Ft 2Gt , e) 3G G f) H- H t DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
Definicin:
A toda matriz cuadrada le asociamos un nmero llamado determinante, , simbolizado de la forma:
Dicho nmero es un resultado que se puede obtener de diferentes maneras. Segn el orden y tipos de determinantes estudiaremos ciertos mtodos para hallar el determinante.
Propiedades:a)Si los elementos de una fila o columna son nulos el valor del determinante es 0.
b)Un determinante con dos filas o columnas paralelas iguales es nulo.
c)Si un determinante tiene dos dilas o columnas proporcionales su valor es nulo.
d)Si cambiamos dos filas o columnas el determinante cambia de signo.
e)Para multiplicar un nmero por un determinante se multiplica el nmero por los elementos de una fila o columna cualquiera. (En un determinante se puede sacar el factor comn, siempre que exista un nmero que multiplique a todos los elementos de una fila o columna)
f)
Calculo de un determinante:I)Mtodo de Sarrus
Cuando el determinante es de orden dos o tres se usa la regla de Sarros, que consiste en sumar todos los productos que se obtienen al multiplicar dos o tres elementos de la matriz de todas las formas posibles, con la condicin de que en cada producto exista un elemento de cada fila y uno de cada columna, con sus signos correspondientes y para ello se utiliza el esquema que sigue:
Para un determinante de orden 2:
Para un determinante de orden 3:
Ejemplo 1.
Calcular los determinantes
II.Clculo del determinante de orden n, por los adjuntos:
Cuando el orden de los determinantes es superior a 3 la regla de Sarrus no es fcilmente aplicable y entonces utilizamos el mtodo de los adjuntos, que reduce el orden en una unidad cada vez que le utilizamos.
Para ello vamos a definir dos nuevos conceptos:
Menor complementario: Dada una matriz se llama menor complementario de un elemento al determinante de la matriz, que resulta de suprimir la fila i y la columna j en la matriz : se llama .
Adjunto de un elemento (o Cofactor): Al producto de por el menor complementario de se llama adjunto de un elemento y se escribe .
A partir de estas definiciones obtenemos otra forma de calcular un determinante: el valor de un determinante de orden n es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos.
Ejemplo 2.
Calcular el valor del determinante
Elegimos la primera fila ya que tiene dos elementos nulos y eso va a simplificar el clculo:
Cuando llegamos a un determinante de orden tres, podemos aplicar Sarrus:
III.Mtodo del pivote o de ChioSi a los elementos de una fila o columna se suman los correspondientes de otras paralelas multiplicados por un nmero , el valor del determinante no vara. (Suma de una combinacin lineal de otras filas o columnas)
Basndose en esta propiedad, podemos obtener un determinante igual, pero con una fila o columna todos nulos salvo uno, que al aplicar el mtodo anterior, se reduce su clculo a un solo determinante de orden menor.
Ejemplo 3.Calcular por el mtodo del pivote el determinante
Desarrollamos el ltimo determinante por la 1a columna:
Repetimos el proceso desarrollando el determinante por la 2 a fila:
IV.Mtodo triangularizante
Cuando calculamos el determinante de matrices triangulares o diagonales observamos que verifica que el resultado coincide con el producto de los elementos de la diagonal principal.
Con las propiedades anteriores podemos llegar a obtener un determinante que sea triangular y aplicar seguidamente el contenido expresado arriba:
Ejemplo 4.Calcular el determinante
cambiamos las filas 2a y 3a ( cambia el signo)
cambiamos 4a y 5a fila para dejarle triangular (el determinante cambia de signo):
CLCULO DE LA MATRIZ INVERSA DE UNA DADA
Matriz Adjunta Dada una matriz cuadrada se llama matriz adjunta, a la matriz que resulta de sustituir cada uno de los elementos de la matriz por sus adjuntos respectivos.
Ejemplo 1.Hallar la matriz adjunta de
Matriz Inversa Si A es una matriz de orden n cuyo determinante es no nulo, la matriz inversa de A es la matriz de orden n denotada por A-1 tal que A. A-1 = I , donde I es la matriz identidad de orden n.Clculo de la matriz inversa por el mtodo del adjunto:
Ejemplo 2.
Calcular la matriz inversa de
MATRICES ELEMENTALES
Definicin 1:
Sobre una matriz decimos que efectuamos una operacin elemental sobre la fila o columna, cuando realizamos cualquiera de estas transformaciones:
i)Cambiar entre s dos filas o columnas:
ii)Multiplicar una fila o columna por un nmero real
iii)Sumar a la fila o columna i la fila o columna j multiplicada por un nmero real
Definicin 2:
Se llama matriz elemental a una matriz cuadrada, que resulta de efectuar una operacin elemental sobre una fila o columna en la matriz identidad.
Ejemplo 3.
Cambiar dos filas
Multiplicar la 2a columna por
Sumar a la 3a fila el doble de la 2a
Sumar a la 2a columna la 1a por -5
Segn el orden de la matriz unidad obtenemos una matriz elemental del mismo orden.
Teorema .- Si en una matriz A efectuamos una operacin elemental por filas, la matriz que obtenemos es , donde F es la matriz elemental resultante de efectuar la misma operacin elemental.Si en una matriz A efectuamos una operacin elemental por columnas la matriz que obtenemos es C.A, donde C es la matriz elemental resultantes de efectuar la misma operacin elemental.
Ejemplo 4
Sea
Por filas:
=AFMatriz elemental obtenida al hacer la misma operacin:
Producto de F.A:
Por columnas:
= ACMatriz elemental obtenida al hacer la misma operacin:
Producto de A.C
= AC
Operaciones elementales inversas.
Se llama operacin elemental inversa aquella operacin que nos anula la accin de cada operacin elemental.
Ejemplo 5.Sean las matrices elementales obtenidas como resultado de las siguientes operaciones elementales:
Existen otras operaciones sobre estas matrices elementales que nos anulan las operaciones anteriores y volvemos al punto de partida o sea a .
Estas operaciones se llaman operaciones inversas de las hechas en primer termino.
Resumiendo:OPERACION ELEMENTALOPERACIN INVERSA
Cambiar la fila i por la jCambiar la fila j por la i
Multiplicar una fila por
Multiplicar una fila por
Sumar a la fila i, la j por
Sumar a la fila i, la j por
Matrices elementales inversasCuando en la matriz efectuamos una operacin elemental obtenemos una matriz elemental E. Cuando en la matriz efectuamos la operacin elemental inversa obtenemos la matriz elemental inversa de la matriz elemental .
Luego toda matriz elemental tiene inversa y es una matriz elemental.
En efecto, cuando hacemos una operacin elemental, obtenemos E y si efectuamos la operacin elemental inversa sobre E al punto de partida , luego se verifica:
Luego es la inversa de .
Ejemplo 6Dadas las matrices elementales que se obtienen de realizar las operaciones elementales:
i)Cambiar las filas 1 y 3ii)Multiplicar la 2a fila por 2iii)Sumar a la 2a fila la 3a por -3
Hallar sus matrices inversas.i)Matriz elemental que resulta de hacer la operacin elemental F13
ii)Matriz elemental que resulta de hacer la operacin elemental
iii)Matriz elemental que resulta de hacer la operacin elemental
iv)
Matrices equivalentes por filas
Si partiendo de una matriz A podemos llegar a otra B efectuando un nmero finito de operaciones elementales sobre las filas y, de la misma manera, podemos volver a A desde B, realizando las operaciones inversas y en orden inverso, se dice que A y B son equivalentes por filas.
En efecto:
Si podemos llegar desde A a B por medio de operaciones elementales
Multiplicando por las matrices inversas obtenemos
Si podemos llegar desde B a A por medio de operaciones elementales:
Multiplicando por las matrices elementales inversas obtenemos
Ejemplo 7Demostrar que las matrices A y B son equivalentes por filas.
Clculo de la matriz inversa por operaciones elementales
Si A es equivalente a la matriz In entonces A tiene inversa
En efecto: si A es equivalente por filas a In:
Multiplicando por por la derecha los dos miembros obtenemos:
Luego viene como producto de matrices elementales.
El mtodo para el clculo de sale de observar y
Las operaciones elementales que nos sirven para convertir en la matriz unidad, efectuadas sobre la matriz unidad nos da la matriz inversa de .
Ejemplo 8 Hallar la matriz inversa de
Solucin
luego
1.9.FORMAS ESCALONADA Y REDUCIDA DE UNA MATRIZ
Formas escalonada
Se llama forma escalonada por filas de una a aquella matriz que se obtiene a partir de A mediante operaciones elementales y que verifica:
i)Si tiene filas cuyos elementos son todo nulos, estn en filas inferiores.
ii)El primer elemento distinto de cero de una fila (empezando por la izquierda), se llama elemento pivote y a su columna, columna pivotal.
iii)Dadas dos filas sucesivas, el elemento pivote de la 2a fila est ms a la derecha que el elemento pivote de la 1a fila.
Ejemplo 9.Formas escalonadas:
Formas no escalonadas:
Forma reducidaSe llama forma reducida por filas de una matriz a toda matriz escalonada con los pivotes unidad y los dems elementos de la columna del pivote, nulos.
Ejemplo 10.
Obtencin de una forma escalonada
El algoritmo para obtencin de una forma escalonada se llama eliminacin de Gauss o gaussiana y consta de los siguientes pasos:
1Partiendo de la izquierda, buscamos en la 1a columna un elemento distinto de cero que llevaremos a la 1a fila, si no le hay en la 1a fila, (mediante operaciones elementales) y ser el 1er pivote. Seguidamente con las operaciones elementales haremos ceros debajo del pivote.
2Siguiendo a la derecha, buscamos en la 2a columna un elemento distinto de cero en la 2a fila o siguientes filas. Se opera para tener un 2a pivote en la 2a fila, si est en las siguientes filas. Seguidamente con las operaciones elementales haremos ceros debajo del 2a pivote.
3Seguimos sucesivamente movindonos hacia la derecha hasta no encontrar ms pivotes.
Evidentemente, dependiendo de la manera de operar y el orden de actuacin, obtendremos diferentes formas escalonadas (hay infinitas), mientras que la forma reducida solo hay una.
Ejemplo 11.
Hallar la forma escalonada de la matriz
Rango de una matrizLlamaremos rango de una matriz el nmero de filas con algn elemento distinto de cero que hay en cualquier forma escalonada por filas o tambin el nmero de columnas pivotales que tiene.
Nmero de vectores filas linealmente independientes = nmero de columnas
Ejemplo 12.
Sistema de ecuaciones lineales
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas
Donde
1)El sistema tiene solucin si y solo si y se llama compatible.
2)Si , entonces el sistema tiene una nica solucin, el sistema es determinado.
3)Si , entonces existen infinitas soluciones, el sistema es indeterminado no existe solucin si y algn
4)Si existen soluciones todas se obtienen por el mtodo de eliminacin de Gauss.
Sistema Homogneo: , tiene solucin y su entonces existen soluciones no triviales linealmente dependientes.
Ejemplo 1. Resolver el sistema
x + 2y + 3z + 4w = 5
2x + y + 2z + 3w = 1
3x + 2y + z + 2w = 1
4x + 3y + 2z + w = -5
Solucin
,
=
=
De donde
w = 3z+2w = 3
y + 2z + 3w = 5
x + 2y + 3z + 4w = 5
En consecuencia el conjunto solucin es CS = { ( -2 , 2 , -3 , 3 ) }Ejemplo 2. Resolver 3x + 2 y + z= 3
2x + y + z = 0
6x + 2y + 4z = 6
Solucin
De donde 0z = 12 , es decir 0 = 12 ( Contradiccin)
el sistema es incompatible.
Ejemplo 3. Resolver
x - 2 y + 3z= 5
2x + y -4 z = 0
3x + 4y -11z = -5
Solucin
Luego
5y 10 z = - 10
x 2y + 3z = 5
Despejando y de la primera ecuacin se tiene y = 2z 2
Se obtienen infinitas soluciones asignando valores a zAdems
En general si entonces
Luego CS
Descipcin del mtodo de eliminacin GaussianaConsiderando el sistema
El sistema (1) puede ser escrito en forma matricial como se observa en la columna de la derecha omitiendo las variables.
La matriz (2) se denomina matriz ampliada del sistema (1). Ahora, las operaciones que realizaramos sobre las ecuaciones del sistema (1) se realizarn con las filas de la matriz (2). Cada fila (ecuacin) de la matriz se denotar por donde .
El objetivo es obtener, a travs de la suma de filas o la multiplicacin de una fila por un nmero distinto de cero, nuevas filas pero que correspondan a un sistema equivalente al dado inicialmente.
La matriz (2) deber convertirse, si fuera posible, en una matriz de la forma:
Para conseguirlo, sigamos el siguiente procedimiento:
1Para conseguir un 1 en la primera posicin, se multiplica la primera ecuacin por :
2Luego, para obtener 0 en la primera columna de las filas 2 y 3, restamos a la segunda ecuacin la primera ecuacin multiplicada por 4; un proceso similar se realizar con la tercera fila o ecuacin:
Los pasos realizados equivalen a eliminar la variable x en la segunda u tercera ecuacin.
3Ahora multiplicaremos la segunda ecuacin por :
4Para obtener 0 en la segunda columna de la tercera fila (ecuacin), se debe multiplicar por 5 la segunda fila y sumar la tercera fila con la nueva segunda fila.
5Finalmente, para obtener 1 en la tercera columna de la tercera fila:
6Si expresamos la matriz anterior en trminos de las ecuaciones, obtendramos:
Entonces , en la tercera fila se obtiene: y sustituyendo este valor en la segunda ecuacin se obtiene: ; luego . Por lo tanto, este sistema de ecuaciones tiene slo una solucin: .
CONCLUSIONES
Una matriz es un arreglo rectangular de nmeros colocados entre parntesis, cuadros o lneas dobles. Entre las principales clases de matrices estn: fila, columna, rectangular, transpuesta, nula, cuadrada, diagonal, etc.
Mediante el uso de las matrices se resuelven sistemas de ecuaciones lineales, adems se resaltan la importancia que tienen en la resolucin de problemas de la vida cotidiana con lo cual se llega a dar una solucin exacta y mejores resultados en un determinado proceso.Carrera Profesional de Administracin y Sistemas
MATEMATICA
DEDICATORIA:
Este trabajo se lo dedicamos a nuestros padres y docentes que nos inspiran a seguir adelante, y a trazar nuestras metas.
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Una matriz tiene inversa si solo si EMBED Equation.DSMT4
A partir de ahora, slo consideraremos las matrices elementales resultado de efectuar operaciones elementales sobre las filas
PAGE 21MATEMATICA - MATRICES
_1305106352.unknown
_1305356627.unknown
_1334000646.unknown
_1335283868.unknown
_1335285916.unknown
_1335287415.unknown
_1335289029.unknown
_1335289914.unknown
_1335291126.unknown
_1335291636.unknown
_1335291674.unknown
_1335291794.unknown
_1335291574.unknown
_1335290409.unknown
_1335289196.unknown
_1335289312.unknown
_1335289176.unknown
_1335288669.unknown
_1335288765.unknown
_1335288408.unknown
_1335286149.unknown
_1335286304.unknown
_1335286365.unknown
_1335286267.unknown
_1335286060.unknown
_1335286088.unknown
_1335285992.unknown
_1335284985.unknown
_1335285704.unknown
_1335285763.unknown
_1335285678.unknown
_1335284372.unknown
_1335284454.unknown
_1335284196.unknown
_1335282583.unknown
_1335282685.unknown
_1335282748.unknown
_1335283367.unknown
_1335282722.unknown
_1335282633.unknown
_1335282657.unknown
_1335282609.unknown
_1334035029.unknown
_1335282306.unknown
_1335282539.unknown
_1335282048.unknown
_1334000999.unknown
_1334001698.unknown
_1334000875.unknown
_1305436938.unknown
_1305441268.unknown
_1305442466.unknown
_1305449588.unknown
_1305450152.unknown
_1305451530.unknown
_1305453317.unknown
_1305453434.unknown
_1305453478.unknown
_1305453513.unknown
_1305453466.unknown
_1305453387.unknown
_1305453217.unknown
_1305450375.unknown
_1305451514.unknown
_1305450166.unknown
_1305449870.unknown
_1305449984.unknown
_1305449857.unknown
_1305442576.unknown
_1305444477.unknown
_1305447418.unknown
_1305443040.unknown
_1305442547.unknown
_1305442564.unknown
_1305442481.unknown
_1305442180.unknown
_1305442370.unknown
_1305442425.unknown
_1305442358.unknown
_1305441709.unknown
_1305441987.unknown
_1305441500.unknown
_1305439857.unknown
_1305440396.unknown
_1305441142.unknown
_1305441164.unknown
_1305440942.unknown
_1305440185.unknown
_1305440325.unknown
_1305440086.unknown
_1305437229.unknown
_1305437662.unknown
_1305437854.unknown
_1305437637.unknown
_1305437159.unknown
_1305437202.unknown
_1305437114.unknown
_1305359433.unknown
_1305436607.unknown
_1305436848.unknown
_1305436911.unknown
_1305436724.unknown
_1305436651.unknown
_1305436632.unknown
_1305359591.unknown
_1305359652.unknown
_1305359519.unknown
_1305358548.unknown
_1305358988.unknown
_1305359082.unknown
_1305358726.unknown
_1305358178.unknown
_1305358349.unknown
_1305357973.unknown
_1305357793.unknown
_1305352699.unknown
_1305355123.unknown
_1305355569.unknown
_1305355586.unknown
_1305355712.unknown
_1305355581.unknown
_1305355179.unknown
_1305355402.unknown
_1305355160.unknown
_1305353044.unknown
_1305353210.unknown
_1305353848.unknown
_1305353188.unknown
_1305352814.unknown
_1305352853.unknown
_1305352744.unknown
_1305349407.unknown
_1305350097.unknown
_1305350202.unknown
_1305350269.unknown
_1305350118.unknown
_1305349893.unknown
_1305349995.unknown
_1305349826.unknown
_1305113548.unknown
_1305348448.unknown
_1305348939.unknown
_1305348331.unknown
_1305106536.unknown
_1305106702.unknown
_1305106393.unknown
_1305023091.unknown
_1305027413.unknown
_1305028733.unknown
_1305105140.unknown
_1305105225.unknown
_1305106124.unknown
_1305106300.unknown
_1305105517.unknown
_1305105224.unknown
_1305096598.unknown
_1305096650.unknown
_1305096106.unknown
_1305028150.unknown
_1305028589.unknown
_1305028634.unknown
_1305028303.unknown
_1305028066.unknown
_1305028103.unknown
_1305027537.unknown
_1305027201.unknown
_1305027337.unknown
_1305027382.unknown
_1305027401.unknown
_1305027352.unknown
_1305027256.unknown
_1305027306.unknown
_1305027238.unknown
_1305026469.unknown
_1305026781.unknown
_1305027178.unknown
_1305026539.unknown
_1305025675.unknown
_1305026423.unknown
_1305025490.unknown
_1273432549.unknown
_1295424252.unknown
_1295424886.unknown
_1295425657.unknown
_1295425687.unknown
_1295425627.unknown
_1295424493.unknown
_1295424680.unknown
_1295424474.unknown
_1273432746.unknown
_1273433258.unknown
_1273433836.unknown
_1273432885.unknown
_1273432646.unknown
_1273432690.unknown
_1273432610.unknown
_1273427656.unknown
_1273429626.unknown
_1273429977.unknown
_1273432299.unknown
_1273432349.unknown
_1273432118.unknown
_1273429775.unknown
_1273429092.unknown
_1273429593.unknown
_1273427969.unknown
_1273407246.unknown
_1273426491.unknown
_1273427086.unknown
_1273407536.unknown
_1273426345.unknown
_1273406516.unknown
_1273407174.unknown
_1273405484.unknown