mathcad - · pdf fileexisten innumerables fórmulas, nomogramas, gráficas y...

Capítulo 7

Pérdidas de cargas. Fluidos viscosos

Los fluidos, compresibles o incompresibles, que fluyen a través de un conducto,pierden energía irreversiblemente. Esto se debe a que las moléculas, que conformanla sustancia, se rozan entre sí en capas concéntricas o con las paredes internas delconducto.

Medir la cantidad de energía o carga energética que se desperdicia de esta

manera es tarea que obliga a un estudio minucioso de los factores que intervienen eneste fenómeno, y que son:a) Los componentes de la tubería, valvulas y accesorios a través de los cuales elfluido se conduce y se controla. Se toma en cuenta el material de la tubería (acero,cobre, concreto, pvc, etc.) y el tamaño. Los tamaños comerciales están dados enpulgadas y son: 1/8, 1/4, 3/8, 1/2, 3/4, 1, 1.1/2, 2, 3, 3.1/2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 18.y en diferentes cédulas (espesores). Ver tabla de dimensiones de tubos comerciales.b) El fluido y sus características físicas como son la viscosidad y la densidad.c) La velocidad y el patrón de flujo.

En la deducción de la ecuación de energía o ecuación de Bernoully, en el capitulo V,deliberadamente se omitió considerar esta energía, haciendo que valiera cero. Laidealización del fluido, de esta manera, llevó a decir que las pérdidas de carga porfricción se consideraban nulas, o sea Hf=0. Esa consideración ahora se va a corregirincluyendo las pérdidas en el balance de energías.

Ec. de Energía: Eentrada H+ Hf− Esalida=

Desarrollada:

Zv( ) 2

2 g⋅+

p

ρ g⋅+

entrada H+ Hf− Z

v( ) 2

2 g⋅+

p

ρ g⋅+

salida=

Donde (E) (entrada y salida) representa las tres formas de energía que acompaña alflujo (Z, v, p) al entrar y salir del volumen de control; (H) es la energía que agrega oaprovecha el equipo mecánico; (Hf) es la energía o carga que se pierde debido arestricciones al flujo y a la fricción con las paredes internas de la tubería oducto por donde se desliza el fluido.

Este capítulo se refiere al cálculo de estas pérdidas, así como las velocidades, y lasfuerzas que se oponen al flujo y acaban imponiendo irrevesiblemente esta forma deenergía llamada de fricción, y que es necesario su conteo para que se adicione a laecuación de Bernoully.

Cap. 7 1 J.C. Toledo

___________________________________________________________

7.1 Patrón de Flujo

7.1.1 El Número de Reynolds

El fluido (según su grado de viscosidad) y las tuberías (según el material de que estánhechas y su grado de rugosidad interna), al ponerse en contacto ambos (fluido y tubo)se manifiesta entre ellos una fuerza de sentido opuesto al flujo. La magnitud de estafuerza tangencial de resistencia al flujo llamada esfuerzo cortante depende del patrón

de flujo y éste a su vez depende de la velocidad de flujo. Es decir, la cántidad deenergía que se puede perder por fricción dependerá de este esfuerzo cortante.

El patrón de flujo es una medida del comportamiento del fluido dentro del tubo. Es

decir, define si el movimiento de las moléculas al deslizarse es ordenado o caótico; yésto dependerá de la magnitud del esfuerzo cortante. El patrón de flujo adecuado del comportamiento puede ser laminar o turbulento y se

determina según el valor que resulta de calcular el número de Reynolds (NRe):

NReρ v⋅ D⋅

μ= (7.1.1)

NRev D⋅

ν= (7.1.2)

Donde:

(ρ) Densidad del fluido(v) Velocidad de flujo(D) Diámetro de la tubería

(µ) Viscosidad absoluta

(ν) Viscosidad cinemática

Si: Nre 2000< El flujo es LAMINAR

Si: Nre 3000> El flujo es TURBULENTO

El número de Reynolds es un valor adimensional que resulta de relacionar las fuerzasde inercia contra las fuerzas cortantes sobre el fluido que se desliza, como se vió en eltema de Análisis Dimensional.

7.1.2 Experimento de Reynolds

El experimento consiste en inyectar un líquido colorante (la anilina u otro) sobre unacorriente de agua, y ver cómo la gota del colorante se mueve con la corriente dejandouna estela cada vez menos intensa hasta que la coloración llega a desaparecer. VerFig. 7.1.

El flujo es Laminar cuando la gota del colorante tarda en dispersarse y deja una estela


El flujo es Laminar cuando la gota del colorante tarda en dispersarse y deja una estelavisible sobre la corriente, lo cual indica que las moléculas se mueven en trayectoriaparalelas en forma ordenada y en capas concéntricas.El flujo es turbulento cuando se observa, a través del tubo transparente, que la gotadel colorante se dispersa casi de inmediato, lo cual indica que las moléculas seatropeyan y se mueven caóticamente.

El experimento mide la velocidad (v) a la cual se desarrolla el flujo ya sea laminar oturbulento ya que el área (A) de flujo de la tubería se establece constante. Se mide con una probeta graduada el tiempo (t) en el que se llena el volumen (V)establecido, y con las siguientes ecuaciones se determina el caudal (Q) y la velocidad(v) de flujo:

QV

t= (7.1.2)

vQ

A= (7.1.2)

La velocidad de flujo es el parámetro más importante porque es el que determina elnúmero de Reynold y porque una alta velocidad se logra con tuberías de diámetrosmenores pero que provocan mayores pérdidas, contra la seleccíon de una tubería másgrande que provoca menores pérdidas por fricción pero más costo de inversión en laconstrucción del sistema. Por eso una recomendación de velocidad para un fluidoespecífico siempre es bueno considerarlo o buscarlo en los manuales técnicos.

____________________________________________________7.2 Pérdidas de carga en tuberías

Existen innumerables fórmulas, nomogramas, gráficas y tablas que sirven para elcálculo de las pérdidas de carga por fricción (Hf) en tuberías. Cargas llamadaspérdidas primarias. Sin embargo cada una es aplicable a un tipo de material detubería (Acero, asbesto, cemento, pvc, cobre, etc.) o a un tipo específico desustancia (Agua, petroleo, vapor, aire, etc.). En cambio existe desde hace más de150 años una fórmula que puede considerarse universal; es decir, que sirve paracualquier material, cualquier fluido, cualquier diámetro de tubo. Esta fórmula fuédesarrollada por Henry Darcy y Julius Weisbach y se conoce como la ecuación deDarcy-Weisbach, ec. (7.2.1).

Hf fL

D

⋅v

2

2 g⋅

⋅= (7.2.1)

Donde:(f) es Factor de fricción(L) es Longitud del tubo(D) es Diámetro del tubo(v) es Velocidad de flujo(g) es Aceleración de la gravedad


Resalta en la ecuación el factor de fricción (f), el cual es función de la rugosidad del

material del tubo y del número de Reynolds que define el patrón de flujo tamando encuenta las propiedades físicas del fluido y la velocidad a la que se mueve. Verec.(7.1.1) y (7.1.2).

El factor de fricción se puede determinar de manera casi directa, cuando el flujo eslaminar, con la siguiente ecuación:

f64

NRe= (7.2.2)

Pero, cuando el flujo es turbulento la determinación del factor de fricción (f) es más

rigurosa y será necesario tomar en cuenta el material y la rugosidad de la tubería juntocon el número de Reynolds. De esta manera se obtiene el diagrama llamadoDiagrama de Moody, que se trata más adelante. Ver Fig.

Así mismo hay otras fórmulas que pueden calcular el factor de fricción (f) como porejemplo la ecuación de Colebrook-Nikuradse:

Ec. Colebrook-Nikuradse:1

f0.869− ln

ε

D

3.7

2.523

NRe f⋅+

⋅= (7.2.3)

Donde: f f NReε

D,

=

Además de la ecuación de Darcy-Weisbach existen las ecuaciones de Manning paraespecíficamente el agua, la ecuación de Hazzen Williams para fluidos con viscosidadessimilares a las del agua, y la ecuación de Kozzeny, etc.

7.2.1 Pérdidas de carga en flujo laminar

La energía de fricción se provoca debido al esfuerzo cortante (τ) que se manifiestaentre capas concéntricas de fluidos y con las paredes del tubo cuando el fluido sedesliza. Tomando en cuenta un tramo de tubo (L), la fuerza de rozamiento que semanifiesta (F) y el desplazamiento (L) del rozamiento se puede determinar el trabajode fricción (W), sinónimo de energía de fricción. En términos diferenciales se escribenasí. Ver Fig 7.2 :

dW dF dl⋅= (7.2.3)

Como el esfuerzo cortante (τ) se define como la relación de la fuerza de rozaminiento(dF) entre el area de rozamiento (dA):

τdF

dA=

Despejando (dF) y sustituyendo:

dW τ dA⋅( ) dl⋅= (7.2.4)


Como el área lateral (dA) de un tubo es curvo, se incluye el concepto de perímetro(dP):

dA dP dl⋅=

Sustituyendo en ec. (7.2.4):

dW τ dP dl⋅( )⋅ dl⋅= τ dP⋅ dl2

⋅= (7.2.5)

Si se divide esta expresión de energía de fricción, entre la expresión de peso (dw), selogra obtener que la dimensión de la energía de fricción esté en unidades de longitud,la cual es compatible con la ecuación de Bernoully donde la (Hf) se va a incorporar.

dw dm( ) g⋅= ρ dV⋅( ) g⋅= (7.2.6)

Donde (dm) es diferencial de masa, y (dV) es diferencial del volúmen del cilíndro. Enterminos de área de flujo efectivo húmedo (dAf); (dV) se puede calcular. Ver Fig.7.3:

dV dAf dl⋅=

Sustituyendo en la ec.(7.2.6).

dw dm( ) g⋅= ρ dAf dl⋅( )⋅ g⋅= ρ g⋅ dAf⋅ dl⋅= γ dAf⋅ dl⋅= (7.2.7)

Donde (γ) es el peso específico del fluido

Finalmente sustituyendo las ec. (7.2.5) y (7.2.7):

dHfdW

dw=

τ dP⋅ dl2

⋅( )γ dAf⋅ dl⋅( )

=τ dP⋅ dl⋅( )γ dAf⋅( )

= (7.2.8)

Incluyendo el concepto de Radio hidráulico (R) (solo la parte humedecida):

RdAf

dP= (7.2.9)

Despejando (dAf) de la ec.(7.2.9) y sustituyendo en la ec.(7.2.8) e integrando amboslados, se obtiene la expresión de la energía de fricción (Hf):

dHfτ dl⋅

γ R⋅= Hf1

⌠⌡

d

0

L

lτ

γ R⋅

⌠⌡

d=

(L) Longitud del tubo Hfτ L⋅

γ R⋅= (7.2.10)

Para un tubo cilíndrico lleno o sea su perímetro es cien por ciento humedecido:

RArealleno

Perimetrolleno=

π r2

⋅

2 π⋅ r⋅=

r

2= (7.2.11)


(r) radio desde el centro del tubo hasta cualquier distancia de la capa concéntrica. VerFig. 7.4.

Sustituyendo ec(7.2.11) en ec.(7.2.10), se obtienen las expresiones de la energía defricción (Hf):

Hf2τ L⋅

γ r⋅= o Hf

4τ

γ

L

D

⋅= (7.2.12)

7.2.2 Esfuerzo cortante en un flujo laminar

Despejando de la ec.(7.2.12) se obtiene la ecuación para calcular el esfuerzo cortante

(τ) que provoca un fluido de peso específico (γ) a cualquier distancia (r) del centropara un tramo (L) de tubo.

τ1

2

Hf

L⋅ γ⋅ r⋅= ( 7.2.13)

Donde (r) es el radio del centro a cualquier distancia de capa concéntrica o hasta lapared del tubo.

Relacionando con la ecuación de Darcy-Weisbach para calcular pérdidas en lasparedes del tubo ec. (7.2 1) y la ec. (7.2.12), se puede obtener otra ecuacion para el

cálculo del esfuerzo cortante en las paredes del tubo (τo):

y Hf f

L

D

⋅vm

2

2 g⋅

⋅= Hf4τo

γ

L

D

⋅=

Igualando y despejando: τof γ⋅

4

vm2

2g⋅= (7.2.14)

7.2.3 Velocidades en un flujo laminar

Velocidad máxima (vc) de flujo. Igualando las expresiones de esfuerzo cortante ec.

(7.2.13), a cualquier distancia del centro, :

τ1

2

Hf

L⋅ γ⋅ r⋅=

Y la ec. (2. ) obtenida del concepto de viscosidad absoluta (µ) o sea la velocidad dedeformación (dv/dr) del fluido a cualquier capa o distancia (dr) del centro.

τ μ−dv

dr⋅=

Igualándo las dos ecuaciones: μ−dv

dr⋅

1

2

Hf

L⋅ γ⋅ r⋅=


Despejando: dv1−

2

Hf

L⋅

γ

μ⋅ r⋅ dr⋅=

Integrando ambos lados, desde la velocidad en el centro del tubo (vc, r = 0) hasta lavelocidad (v) a cualquier distancia (r) desde el centro:

vc

v

v1⌠⌡

d1−

2

Hf

L⋅

γ

μ⋅

0

r

rr⌠⌡

d⋅= v vc−1

4−

Hf

L⋅

γ

μ⋅ r

2⋅=

v vc1

4

Hf

L⋅

γ

μ⋅ r

2⋅−= (7.2.15)

Si: r ro= (ro) es el radio hasta la pared, donde la velocidad es v = 0.

Despejando de la ec.(7.2.15), se obtiene la velocidad máxima (es en el centro deltubo) (vc):

vc1

4

Hf

L⋅

γ

μ⋅ ro

2⋅= (7.2.16)

Restituyendo en la ec.(7.2.15) v1

4

Hf

L⋅

γ

μ⋅ ro

2⋅

1

4

Hf

L⋅

γ

μ⋅ r

2⋅−=

Factorizando, se obtiene la velocidad a cualquier distancia (r):

v1

4

Hf

L⋅

γ

μ⋅ ro

2r

2−( )⋅= (7.2.17)

Velocidad media (vm) de flujo. Esta escuación la obtenemos a partir de la ecuación

de caudal, y considerando que las moléculas se mueven en capas concéntricas;sustituir (v) de ec.(7.2.17):

vmQ

A=

Av⌠⌡

d

A1⌠⌡

d

=0

ro

rv 2π r⋅( )⌠⌡

d

0

ro

r2π r⋅⌠⌡

d

=

2π

4

Hf

L⋅

γ

μ⋅

0

ro

rr ro2

r2

−( )⌠⌡

d⋅

0

ro

r2π r⋅⌠⌡

d

= (7.2.18)

Separando constantes en el numerador:

2π

4

Hf

L⋅

γ

μ⋅

0

ro

rr ro2

r2

−( )⋅⌠⌡

d

⋅


Integrando la parte señalada en el numerador (ro es constante):

0

ro

rr ro2

r2

−( )⋅⌠⌡

d ro2

0

ro

rr⌠⌡

d⋅0

ro

rr3⌠

⌡

d−= ro2 r

2

2⋅

r4

4−

=

Sustituyendo límites: r ro= ro2 r

2

2⋅

r4

4−

ro4

2

ro4

4−

=ro

4

4=

Integrando el área (dA), de la ec. 7.2.18:

0

ro

r2π r⋅⌠⌡

d 2π0

ro

rr⌠⌡

d⋅=2 π⋅( ) r

2⋅

2

= π ro2

=

Volviendo y restituyendo sobre la ec. (7.2.18): vm

2π

4

Hf

L⋅

γ

μ⋅

ro4

4

⋅

π ro2

⋅=

Reduciendo, se obtiene la velocidad media de flujo:

vmHf

L

γ

μ⋅

ro2

8⋅= (7.2.19)

Como (D) diámetro del tubo es: 2ro D= Se vale la igualdad: ro2 D

2

4=

Sustituyendo:

vmHf

L

γ

μ⋅

D2

32⋅= (7.2.20)

Relacionar la velocidad máxima (vc) con la velocidad media (vm), obtenidas,

ec.(7.2.16) y (7.2.19) y se reduce la ecuación :

vm

vc

Hf

L

γ

μ⋅

ro2

8⋅

1

4

Hf

L⋅

γ

μ⋅ ro

2⋅

=1

2=

vc 2 vm⋅= (7.2.21)

O sea, la velocidad máxima (vc) es igual al doble de la velocidad media (vm).

De igual forma relacionar las velocidades de la ec. (7.2.17) y ec.(7.2.19):


v

vm

1

4

Hf

L⋅

γ

μ⋅ ro

2r

2−( )⋅

Hf

L

γ

μ⋅

ro2

8⋅

=

Se obtiene la ecuación para la velocidad a cualquier distancia (v) desde el centro del

tubo. Con esta ecuación se puede graficar el perfil de velocidad del flujo:

v8

4

vm

ro2

ro2

r2

−( )= 2vm 1r

ro

2

−

⋅= (7.2.22)

En términos de diámetros:

(7.2.23)v 2vm 1

D

Do

2

−

⋅=

TAREA A RESOLVER EN CLASE.-Grafique el perfil de velocidades considerando untubo de 60 cm de diámetro y los siguientes datos:

ro 30:= r 30− 25−, 30..:= vm 10:=

v r( ) 2 vm⋅ 1r

ro

2

−

⋅:=

r

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

= v r( )

0

6.111

11.111

15

17.778

19.444

20

19.444

17.778

15

11.111

6.111

0

=

0 5 10 15 2040−

20−

0

20

40

PERFIL DE VELOCIDAD

velocidades

rad

ios

des

de

el c

entr

o d

el t

ub

o

r

v r( )


Cuál es la velocidad máxima?Cuál es la velocidad mínima?Cuál es la velocidad media?Cuál es la velocidad a radio 10 cm?Cuál es la proporción entre la velocidadmedia y la velocidad máxima?

7.2.4.- Perdidas de presión por fricción

Si se considera un tramo de tubo (L) suficientemente largo como para que se observe

una pérdida de presión (∆P) debido a la fricción (Hf) en un tubería, en posiciónhorizontal y de diámetro constante (D), por donde fluye una sustancia.Para observar los puntos energéticos (E) a la entrada y salida del tubo, ver Fig.7.5,donde se observa una línea diagonal, llamada línea piezométrica, que muestra la

pérdida de energía del sistema. .

Eentrada

(p,v,Z)

Esalida

(p,v,Z)

L

Hf

LRef.

Línea piezom

Fig.7.5

La siguiente es la ecuación de Bernoully y está expresada en unidades de longitud:

Zvm( ) 2

2 g⋅+

p

ρ g⋅+

entrada Hf− Z

vm( ) 2

2 g⋅+

p

ρ g⋅+

salida=

Como la posición del tubo es horizontal: (Z)entrada es igual a (Z)salida por lo tanto seanulan entre sí. Y como el diámetro es constante: las velocidades de entrada y salidason iguales y por lo tanto también se anulan.

Bajo las consideraciones mencionadas, la ecuación de Bernoully se reduce:

p

ρ g⋅

entrada Hf−

p

ρ g⋅

salida=

Despejando: Hfp

ρ g⋅

entrada

p

ρ g⋅

salida−=


Se obtiene: Hf∆p

γ= (7.2.24)

Esta expresión de (Hf) puede sustituirse en las ecuaciones anteriores obteniéndose

nuevas expresiones en términos de caida de presión (∆p). Por ejemplo, sustituyendosobre la ecuación ec.(7.2.21) se obtiene la siguiente, llamada ecuación de Poiseuille:

De ec.(7.2. 21), se sustituye, despeja y se reduce:

---------> ∆p 32 vm⋅ μ⋅L

D2

⋅= (7.2.25)vm

Hf

L

γ

μ⋅

D2

32⋅=

Quedándose eliminado (γ). Despejando se obtiene la velocidad media (vm):

vm1

32

∆p

μ L⋅⋅ D

2⋅=

(7.2.26)

7.2.5.- Factor de fricción en flujo laminar

De la ec. (7.2.21) despejar:

Hf 32 vm⋅L

γ⋅

μ

D2

⋅=

Hf 32 vm⋅L

γ⋅

μ

D2

⋅= 32 vm⋅L

ρ g⋅⋅

μ

D2

⋅= 32vm

g⋅

L

D⋅

μ

ρ D⋅⋅=

(7.2.27)

Como: NReρ vm⋅ D⋅

μ=

Dividiendo ambos lados entre (vm):NRe

vm

ρ vm⋅ D⋅

μ vm⋅=

Sustituyendo en la ec. (7.2.27): Hf 32vm

g⋅

L

D⋅

vm

NRe⋅=

Reacomodando y multiplicando numerador y denominador por 2:

Hf64

NRe

L

D

⋅vm

2

2g

⋅= (7.2.28)

Comparando con la ec.(7.2.1) de Darcy-Weisbach: Hf fL

D

⋅vm

2

2 g⋅

⋅=


Se concluye que el factor de fricción (f) en flujo laminar es:

f64

NRe= (7.2.29)

7.2.6.- Factor de fricción en flujo turbulento

El factor de fricción (f) en el flujo turbulento depende de muchos parámetros quepueden ser correlacionados por medio del análisis dimensional; es decir el valor de (f)depende de las propiedades del fluido, como la densidad y la viscosidad, así como de

la naturaleza del material de la tubería conocida como rugosidad relativa (ε/D) que noes más que el espesor promedio de las protuverancias internas de la tubería. Estosfactores alteran el flujo ordenado de las moléculas en capas concéntricas, lo que haceque no exista un perfil de velocidad constante.

Algunos investigadores han propuesto fórmulas para esta determinación, entre ellos sepuede citar a los más conocidos como: Blasius, Prandtl, Colebrook, Nikuradse,Stantone, Pannell, etc.

Recopilando datos de los resultados de estos investigadores y de las propias, LewisF. Moody desarrolla un diagrama que lleva su nombre y que permite determinar elvalor de (f) para cualquier tipo de flujo, material y fluido.

7.2.7.- Diagrama de Moody

Este diagrama es muy conocido y permite obtener el factor de fricción (f) paracualquier patrón de flujo. Ver Fig. 7.6. Su uso requiere del conocimiento de la

rugosidad relativa (ε/D) del material del tubo y del número de Reynold (NRe) del flujo.Las líneas de rugosidad relativa pueden llegar a interpolarse.

2000 3000 NRe

f

ε/D

Fig. 7.6


ε/D

D

Acero

PVC

La rugosidad relativa (ε/D) seobtiene con otro diagramadenominado diagrama derugosidad que contempladiferentes tipos de materiales detuberías. Ver Fig. 7.7 Sedetermina según el material y eldiámetro (D) del tubo.

Fig. 7.7

____________________________________________________7.3 Pérdidas de carga en válvulas, accesorios y equipos

Un sistema de tubería está compuesto, además de los tramos de tubos, de valvulas yaccesorio que restringen, controlan, desvían o dirigen el fluido. Cada uno de estoselementos provoca pérdida de carga por rozamiento y deben sumarse uno por uno.Se conocen como pérdidas menores.

En lo referente a la tubería se ha mencionado la necesidad de calcular u obtener elfactor de fricción (f) para usarlo en la ecuación de Darcy-Wisbach ec.(7.2.1).

Hf f

L

D

⋅v

2

2 g⋅

⋅=

En tratándose de válvulas y accesorios, existen nomogramas, gráficas y tablas quesirven para el cálculo de las pérdidas de carga por fricción.Dependiendo del tipo de válvula y accesorios, se obtienen datos o valores quegeneralmente están expresados en cualquiera de estas formas:

a) En valores adimensionales de (k), que debe multiplicarse por la energía develocidad para convertirlo en unidades de columna o sea longitud:

(7.2.30) Hf k

v2

2g

⋅=

b) En valores de longitud equivalente (Leq.), que debe dividirse entre el diámetro (D) ymultiplicarse por la energía de velocidad y el factor de fricción (f) para convertirlo enunidades de columna o sea longitud:

(7.2.31)

Hf fLeq

D

⋅v

2

2g⋅=

c) En valores de longitud equivalente relativo (Leq/D), que debe multiplicarse por laenergía de velocidad y el factor de fricción (f) para convertirlo en unidades de columna


energía de velocidad y el factor de fricción (f) para convertirlo en unidades de columnao sea longitud:

(7.2.32)Hf f

Leq

D

⋅v

2

2g⋅=

d) En equipos (filtros, cambiadores de calor, toberas, etc.), generalmente el fabricante

proporciona el valor en unidades de caida de presión máxima (∆p). Que debe dividirse

entre el peso específico (γ) para que pueda quedarse expresado en unidades decolumna o sea longitud.

Hf∆p

γ

=

La suma total de pérdidas en válvulas, accesorios y equipos, puede llegar a ser unacombinación de estos valores:

(7.2.33)Hf f

Σ Leq⋅

D

⋅ Σk+

v2

2 g⋅

⋅ Σ∆p

γ

+=

____________________________________________________________

7.4 Problemas resueltos

Problema 7.1

¿Que diámetro debe tener una tuberia que transporte 350 litros por minuto de aceite

de viscosidad cinemática 7x10-6 m2/seg asegurándose que el flujo se mantengalaminar?.

Solución:

Para que el flujo sea laminar el valor máximo del NRe debe ser 2000, por lo tanto; dela ec. (7.1.2), unicamente se desconoce la velocidad (v):

1. INFORMACION

1.1. Datos (Sistema internacional técnico)

Q 350L

min⋅= ν 7 10

6−⋅m

seg2

⋅= NRe 2000=

1.2. Requerimiento

Diámetro de la tubería

2. FORMULARIO


2.1 Diámetro de la tubería: DNRe

vν⋅=

2.2 Velocidad de flujo: vQ

A=

2.3 Area de flujo: A πD

2

4⋅=

3. CALCULO

3.1 Area de flujo: A 0.785 D2

⋅=

3.2 Velocidad de flujo: v

350lt

min⋅

1m3

1000 lt⋅

1min

60seg

⋅

0.785 D2

⋅=

5.833 103−×( ) m

3

seg⋅

0.785 D2

⋅=

v

7.431 103−×( ) m

3

seg⋅

D2

=

3.3 Diámetro de la tubería:

DNRe

vν⋅=

NRe ν⋅

7.431 10 3−×m

3

seg⋅

D2

=

2000 7.0 106−×

m2

seg⋅

⋅ D2

⋅

7.431 103−×

m3

seg⋅

=1.884

mD

2⋅=

D1 m⋅

1.884= 0.531 m⋅= D 0.531m

3.28pies

1m

⋅12pulg

1pie

⋅= 20.9pulg=

Por lo tanto se seleccionará la tubería comercial igual o inmediatamente mayor aeste diámetro calculado.

______________________________________________________Problema 7.2

El agua fluye en una tubería de 30 cm de diámetro donde la carga energética perdidaen 100 m de tubería es de 5 m. Calcule:a) El esfuerzo cortante en la pared de la tubería.b) El esfuerzo cortante a 5 cm del centro de la tubería.c) La velocidad media para un valor (f) igual a 0.05d) El caudal que fluye


d) El caudal que fluyee) La velocidad máxima

Solución:

1. INFORMACION


D 0.3m= Hf 5m= L 100m= γ 1000kgf

m3

⋅=

f 0.05=

1.2. Requerimientos: varios

2. FORMULARIO

2.1 El esfuerzo cortante en la pared de la tubería: τ1

2

Hf

L⋅ γ⋅ r⋅=

2.1.1 Radio tubería: rD

2=

2.2 Velocidad media de flujo:

Hf fL

D

⋅vm

2

2 g⋅

⋅= Despejando----> vm2g Hf D⋅

f L⋅

1

2

=

2.3 Caudal: Q vm A⋅=


2

4⋅=

2.5 Velocidad máxima: vc 2vm=

3. CALCULO

3.1 Radio tubería: rD

2=

30

2cm⋅

1m

100cm

⋅= 0.15m=

3.2 El esfuerzo cortante en la pared de la tubería:

τ1

2

5m

100m

1000⋅kgf

m3

0.15m( )⋅= 36.775kgf

m2

=

3.3 El esfuerzo cortante a 5 cm del centro de la tubería.

τ1

2

5 m⋅

100 m⋅

⋅ 1000⋅kgf

m3

⋅ 0.05 m⋅( )⋅= 12.258kgf

m2

⋅=

3.4 La velocidad media para un valor (f) igual a 0.05


vm

2 9.81×m

seg2

⋅ 5m 0.3m( )⋅

0.05( ) 100⋅ m

1

2

= 2.426m

seg=


2

4⋅= π

0.3 m⋅( ) 2

4⋅= 0.071 m

2⋅=

3.6 El caudal: Q 2.426m

seg0.071 m

2⋅( )⋅= 0.172

m3

seg⋅=

3.7 Velocidad máxima: vc 2 2.426m

seg

= 4.852m

seg=

______________________________________________________Problema 7.3

Grafique el perfil del esfuerzo cortante en la tubería del problema 7.2, desde el centro(r=0) hasta la pared de la tubería (r=15 cm), en intervalos de 0.05:

Solución:

1. INFORMACION


D 0.3m= Hf 5m= L 100m= γ 1000kgf

m3

⋅=

r 0 0.05, .15..:=


2. FORMULARIO

2.1 El esfuerzo cortante desde el centro (r=0) hasta la pared de la tubería (r=15), en intervalos de 0.05:

τ1

2

Hf

L⋅ γ⋅ r⋅=

r 0 0.05, .15..:= γ 1000:= Hf 5:= L 100:=

τ r( )1

2

Hf

L⋅ γ⋅ r⋅:=3. CALCULOS

(Usando Mathcad)

4. GRAFICAr = τ r( ) =


0

0.05

0.1

0.15

0

1.25

2.5

3.75

0 0.05 0.1 0.15 0.20

1

2

3

4

τ r( )

r

______________________________________________________Problema 7.4

Un aceite de densidad relativa 0.86 es bombeado a través de una tubería horizontalde 5 cm de diámetro y 300 m de longitud. El caudal es de 1.2 litros por segundo. Si

la caida de presión es de 2.10 kg/cm2 y suponiendo que el flujo es laminar: a) ¿Cuál es la viscosidad absoluta del aceite? b) Calcule el factor de fricción c) Calcule la velocidad máxima

Solución

1. INFORMACION


D 0.05m= ∆p 2.19kg

cm2

= L 300m= γ 1000kgf

m3

⋅=

Q 1.2L

seg⋅=


2. FORMULARIO

2.1 Viscosidad absoluta del aceite:

∆p 32 vm⋅ μ⋅L

D2

⋅=

Despejar ---> μ1

32

∆p

vm L⋅⋅ D

2⋅=

2.1.1 Velocidad media de flujo: vmQ

A=

2.2 Número de Reynolds (para comprobar que el flujo es laminar:) NReρ v⋅ D⋅

μ=


Multiplicando el numerador y denominador por (g):

NReρ g⋅ v⋅ D⋅

μ g⋅= NRe=

γ v⋅ D⋅

μ g⋅=

2.2.1 Peso específico: γ ρr γw⋅=

2.3 Factor de fricción: f64

NRe=

2.4 Velocidad máxima: vc 2 vm⋅=

3. CALCULOS

3.1. Velocidad media de flujo: vm

1.2lt

seg⋅

m3

1000 lt⋅⋅

π

40.05 m⋅( ) 2

= 0.61m

seg⋅=

3.2 Viscosidad absoluta del aceite:

μ1

32

2.1kgf

cm2

104 cm

2⋅

m2

⋅

0.61m

seg⋅

300 m⋅( )⋅

⋅ 0.05 m⋅( ) 2⋅= 0.0008965 kgf⋅

seg

m2

⋅=

μ 0.0008965 kgf⋅seg

m2

⋅ 9.81⋅m

seg2

⋅= 0.008795kgf

m seg⋅⋅=

3.3 Peso específico: γ ρr γw⋅= 0.86 1000( )= 860kgf

m3

⋅=

3.4 Número de Reynolds

NReγ v⋅ D⋅

μ g⋅=

860 0.61( )⋅ 0.05⋅

0.00896( ) 9.81⋅= 298.4= <--- menor de 2000

3.5 Factor de fricción: f64

298.4= 0.214=

3.6 Velocidad máxima: vc 2 0.61m

seg⋅

⋅= 1.22m

seg⋅=

______________________________________________________Problema 7.5


Hallar la longitud en tubería de 15 cm de diámetro, equivalente en pérdidas de carga alsistema de tubería mostrada en la Fig. compuesta de un tramo de 45 m de tuberíade 30 cm y otro de 30 m de 15 cm de diámetro y sus correspondientes accesoriosson.

30 cm de diámetro: 15 cm de diámetro:

B= Filtro (1) C,F= codos (2)D= Te (1)E= Válvula(1)

G= Cruz (1)I= Medidor (1)J,H= Codos (2)L= Válvula (1)N= Entrada al tanque (1)

E

Línea piezométrica

N

L H

G

F D

C B

I J

Solución

1. INFORMACION

1.1. Datos: Valores de (k) de cada accesorio

B 8.0=G 0.7= C 0.5=I 6.0= F 0.5=J 0.5= D 0.7=H 0.5= E 1.0=L 3.0= N 1.0=

Longitudes, diámetros de Tuberias (metros) y factores de fricción:

L1 45= D1 0.3= f1 0.025=

L2 30= D2 0.15= f2 0.020=

1.2 Requerimiento:

La longitud equivalente (Leq) a tuberías de 15 cm.

2. FORMULARIO

2.1. Pérdidas totales: Hfs Hft Hfa+=

2.2 Pérdidas en tuberías: Hft f

L

D

⋅v

2

2g

⋅=

2.3 Pérdidas en accesorios: Hfa kv

2

2g

⋅=


3. CALCULOS

3.1 Pérdidas en tuberías tramo 1 y tramo 2:

Hft1 f1L1

D1

⋅v1

2

2g

⋅= 3.75v1

2

2g

⋅= Hft2 f2L2

D2

⋅v2

2

2g

⋅= 4v2

2

2g

⋅=

3.2 Pérdidas en accesorios en tramo 1 y tramo 2:

k1 B C+ F+ D+ E+= 10.7= Hfa1 10.7v1

2

2g

⋅=

k2 G I+ J+ H+ L+ N+= 11.7= Hfa2 11.7v2

2

2g

⋅=

3.3 Pérdidas totales del sistema:

Hfs Hft1 Hfa1+( )v1

2

2 g⋅

⋅ Hft2 Hfa2+( )v2

2

2 g⋅

⋅+=

Hfs 14.45v1

2

2 g⋅

⋅ 15.7v2

2

2 g⋅

⋅+=

3.4 Velocidades de flujo: Hay dos velocidades, despejar:

3.4.1 Ecuación de continuidad:

Q1 Q2= ---> v1 A1⋅ v2 A2⋅= -----> v1 πD1

2

4⋅

v2 πD2

2

4⋅

=

v1D2

D1

2

=1

2

2

v2⋅=1

4

v2⋅=

Ambos lados elevarlos a la potencia 2 y dividirlos entre (2g):

v12

2g

1

16

v22

2g⋅=

Sustituir y reducir:

Hfs14.45

16

v22

2 g⋅

⋅ 15.7v2

2

2 g⋅

⋅+= 16.6v2

2

2 g⋅

⋅=


Hfs 16.6v2

2

2 g⋅

⋅=

3.5 Pérdidas en longitud de tubería equivalente de 15 cm de diámetro:

Hft3 f2Leq

D2

⋅v2

2

2g

⋅= <-- del mismo formulario 2.2

3.6 Longitud equivalente de 15 cm de diámetro:

Igualando ambas pérdidas para que sean equivalentes:

f2Leq

D2

⋅v2

2

2g

⋅ 16.6v2

2

2 g⋅

⋅=

Anulando y despejando:

Leq 16.60.15

0.020

⋅= 124.5=

4. RESULTADO

La longitud equivalente en tubería de 15 cm es de 124.5 metros que comparado con lalongitud del sistema (45+30=75) con dos tamaños de tubos (30 y 15 cm).

______________________________________________________Problema 7.6

Calcule la pérdida de carga que provoca un flujo de 2000 gal/min de aceite, cuya

viscosidad cinemática es de 0.0001 pies2/seg que fluye a través de 1000 pies detubería de hierro fundido de 8 pulgadas de diámetro. Considere que la rugosidad delhierro es de 0.00085 pies.

Solución

1. INFORMACION

1.1. Datos:

Q 2000gal

min⋅= ν 0.0001

pies2

seg⋅=

L 1000 pies⋅= D 8 pulg⋅1 pie⋅

12 pulg⋅

⋅= 0.667 pies⋅= ε 0.00085 pies⋅=


1.2. Requerimiento:

Pérdida de carga en este tramo de tubería.

2. FORMULARIO

2.1. Pérdida de carga: Hf fL

D

⋅v

2

2g⋅= TIPO I: (una incognita): f

2.2. Velocidad de flujo: vQ

A=


2

4⋅=

2.4 Número de Reynolds: NRev D⋅

ν=

2.5 Rugosidad relativa:ε

D

3. CALCULOS

3.1. Area de flujo:

A π0.667 pies⋅( ) 2

4⋅= 0.349 pies

2⋅= π

0.667( ) 2

4⋅ 0.349=

3.2. Velocidad de flujo:

v

2000gal

min⋅

1pie

3

seg

448.8gal

min

⋅

⋅

0.349 pies2

⋅= 12.8

pies

seg⋅=

2000

448.8

0.349

12.769=

3.3 Rugosidad relativa:

ε

D

0.00085 pies⋅

0.667 pies⋅= 0.00127=

0.00085

0.6671.274 10

3−×=

3.4 Número de Reynolds:

12.8 0.667( )⋅

0.00018.538 10

4×=NRe

12.8pies

seg⋅ 0.667 pies⋅( )⋅

0.0001pies

2

seg⋅

= 85380=


3.5 Factor de fricción:

Con el (NRe), la (ε/D) y eldiagrama de Moodyinterpolando se obtiene f = 0.024

2000 3000 NRe

f

ε/D

3.6 Pérdida de carga:

Hf fL

D

⋅v

2

2g⋅=

Hf 0.0241000

0.667

⋅12.8( ) 2

2 32.2( )⋅= 91.5 pies⋅=

4. RESULTADOS

La energía o columna que se pierde en esta tubería es de 91.5 pies.

______________________________________________________Problema 7.7

En una tubería de acero de rugosidad 3 mm y de diámetro 30 cm fluye agua con una

viscosidad cinemática de 0.00000113 m2/seg; se da una pérdida de carga de 6 m enun tramo de 300 m. Calcule el caudal.

Solución

1. INFORMACION

1.1. Datos:

ν 0.00000113m

2

seg⋅=

D 0.3 m⋅= L 300 m⋅= ε 0.003 m⋅= Hf 6 m⋅=

1.2. Requerimiento:

Caudal

2. FORMULARIO


2.1. Caudal: Q v A⋅= v = ???


2

4⋅=

2.3. Pérdida de carga: Hf fL

D

⋅v

2

2g⋅= v = ??? f = ??? TIPO II:

2.4 Rugosidad relativa:ε

D

v = ??? NRe = ???2.5 Número de Reynolds: NRe

v D⋅

ν=

3. CALCULOS

3.1 Area de flujo:

A π0.3 m⋅( ) 2

4⋅= 0.071 m

2⋅=

π0.3( ) 2

4⋅ 0.071=

3.2. Rugosidad relativa:

ε

D

0.003

0.3= 0.01=

0.003

0.30.01=

3.3. Factor de Fricción:

Porque hay dos incógnitas (v) y (f), se resuelve por tanteo: Con el valor de ε/D y eldiagrama de Moody se obtiene el valor de (f) para el primer tanteo, línea roja de laFig. f = 0.04

2000 3000 NRe

f

ε/D


3.4. Velocidad de flujo (primer tanteo):

Despejar de: Hf fL

D

⋅v

2

2g⋅=

6 0.3( )⋅ 2⋅ 9.81× 0.04 300( )⋅

1

2

1.716=

vHf D⋅ 2⋅ g( )

f L⋅

1

2

= v6 0.3( )⋅ 2⋅ 9.81×

0.04 300( )⋅

1

2

= 1.716=

3.5 Número de Reynolds (primer tanteo):

1.716 0.3( )⋅

0.000001134.556 10

5×=NRe

1.716m

seg⋅ 0.3 m⋅( )⋅

0.00000113m

2

seg⋅

= 455600=

2000 3000 NRe

f

ε/D


Con el (NRe) del primer tanteo,

la (ε/D) y el diagrama deMoody interpolando se obtienef = 0.038

Como no coincide con (f) delprimer tanteo, se debe hacerotro tanteo, o sea repetir losmismos pasos de cálculo desde3.4 hasta aquí 3.6.

3.4. Velocidad de flujo (segundo tanteo):

Despejar de: Hf fL

D

⋅v

2

2g⋅= 6 0.3( )⋅ 2⋅ 9.81×

0.038 300( )⋅

1

2

1.76=

vHf D⋅ 2⋅ g( )

f L⋅

1

2

= v6 0.3( )⋅ 2⋅ 9.81×

0.038 300( )⋅

1

2

= 1.76=


NRe

1.76m

seg⋅ 0.3 m⋅( )⋅

0.00000113m

2

seg⋅

= 467300=3.5 Número de Reynolds (segundo tanteo):


Con el (NRe) del segundo tanteo, la (ε/D) y el diagrama de Moody interpolando sevuelve a obtener f = 0.038

Como ahora si coincide con (f) del segundo tanteo, ya no se debe hacer otro tanteo.Como consecuencia, la velocidad del segundo tanteo es el correcto.v = 1.76 m/seg

3.7 Caudal: Q 1.76m

seg⋅ 0.071 m

2⋅( )= 0.125

m3

seg⋅= 1.76 0.071( )⋅ 0.125=

4. RESULTADOS

El caudal que fluye es de 0.125 m3/seg.

______________________________________________________Problema 7.8

Calcule el diámetro de una tubería de hierro forjado de rugosidad relativa 0.00011 piescapaz de conducir 4000 gal/min de un líquido con una viscosidad cinemática de

0.0001 pies2/seg; a lo largo de 10 000 pies de longitud y que provoque una pérdidade carga no mayor de 75 pies.

Solución

1. INFORMACION

1.1. Datos:

ν 0.0001pies

2

seg⋅= L 10000pies=

ε

D0.0001= Hf 75 pies⋅=

Q 4000gal

min⋅

pies3

seg

448.8gal

min

⋅

= 8.93pies

3

seg⋅=

1.2. Requerimiento:

Calcular el diámetro


2. FORMULARIO

2.1. Pérdida de carga:

Hf fL

D

⋅v

2

2g⋅= v = ??? f = ??? D = ??? TIPO III:

2.2 Caudal: Q v A⋅= v = ??? A= ???


2

4⋅=

2.4 Número de Reynolds: NRev D⋅

ν= v = ??? NRe = ??? D= ???

3. CALCULOS

3.1. Factor de Fricción:

Porque hay tres incógnitas (v), (D) y (f), se resuelve por tanteo: Con el valor de ε/D yel diagrama de Moody se obtiene el valor de (f) para el primer tanteo, línea roja de laFig. f = 0.02

2000 3000 NRe

f

ε/D

3.2. Velocidad de flujo:

Despejar de: Q v A⋅= vQ

A=


Sustituir Area: vQ

πD

2

4⋅

=v

4Q

π D2

⋅=

3.3. Pérdidas por fricción :

Sustituir velocidad: Hf fL

D

⋅

4Q

π D2

⋅

2

2g⋅= Hf 8 f⋅

L

D5

⋅Q

2

π2

g⋅⋅=

3.4. Diámetro (primer tanteo); Despejando de Hf:

D5

8 f⋅ L⋅Q

2

Hf π2

g⋅⋅⋅=

D5

8 0.02( )⋅ 10000( )⋅8.93( ) 2

75 π2

⋅ 32.2⋅⋅= 5.353=

D 5.353( )

1

5= 1.4=

3.5 Número de Reynolds (primer tanteo):

Sustituir velocidad:NRe

4Q

π D2

⋅D⋅

ν= NRe 4

Q

π D ν⋅⋅⋅=

NRe 48.93

π 1.4( )⋅ 0.0001( )⋅⋅= NRe 81210=

2000 3000 NRe

f

ε/D


Con el (NRe) del primer

tanteo, la (ε/D) y el diagramade Moody interpolando seobtiene f = 0.019

Como no coincide con (f) delprimer tanteo, se debe hacerotro tanteo, o sea repetir losmismos pasos de cálculodesde 3.4 hasta aquí 3.6.


3.4. Diámetro (segundo tanteo); Despejando de Hf:

D5

8 f⋅ L⋅Q

2

Hf π2

g⋅⋅⋅=

D5

8 0.019( )⋅ 10000( )⋅8.93( ) 2

75 π2

⋅ 32.2⋅⋅= 5.085= D 5.085( )

1

5= 1.384=

3.5 Número de Reynolds (segundo tanteo):

Sustituir velocidad: NRe

4Q

π D2

⋅D⋅

ν= NRe 4

Q

π D ν⋅⋅⋅=

NRe 48.93

π 1.384( )⋅ 0.0001( )⋅⋅= NRe 82150=


Con el (NRe) del segundo tanteo, la (ε/D) y el diagrama de Moody interpolando sevuelve a obtener f = 0.019

Como ahora si coincide con (f) del segundo tanteo, ya no se debe hacer otro tanteo.

4. RESULTADOS

Como consecuencia, el diámero del segundo tanteo es el correcto.D= 1.384 pies. Convertido en pulgada es 16.6. Se selecciona la tubería comercial de tamaño nominal más próximo, que es de 18pulgadas para garantizar una pérdida no mayor de los 75 pies.

1.384pies12pulg

1pies

⋅ 16.6pulg=

______________________________________________________Problema 7.9

Por una tubería de 0.68 m de diámetro interno fluye un aceite de 15 cpoise de

viscosidad y 800 kg/m3 de densidad con un caudal de 40 m3/h Determine la caída depresión por metro de tubería, la velocidad máxima y el perfil de velocidades.


Solución

1. INFORMACION

1.1. Datos:

ro 0.34 m⋅= ρ 800kgm

m3

⋅= Q 40m

3

hr⋅=

μ 15cp10

2− poise

1cp

0.1kgm

m seg⋅

1poise

⋅

kgfseg

m2

⋅

9.81kgm

m seg⋅⋅

⋅= 0.001529 kgfseg

m2

⋅

⋅=

1.2 Requerimientos: Caída de presión por metro, velocidad máxima, curva de perfil de velocidades.

2. FORMULARIO

2.1. Velocidad a cualquier distancia (r) del centro

v 2 vm 1r

ro

2

−

⋅=

2.2. Velocidad media de flujo: vmQ

A=


2

4⋅=

2.3. Caída de presión (flujo laminar): ∆p 32 vm⋅ μ⋅L

D2

⋅=

2.4. Velocidad máxima de flujo: vc 2 vm⋅=

2.5 Número de Reynolds: NRevm ρ⋅ D⋅

μ=

3. CALCULOS

3.1. Area de flujo A π0.68

2

4

= 0.363 m2

⋅= π0.68

2

4

0.363=

3.2. Velocidad media: vm40

0.363

1

3600⋅= 0.031

m

seg⋅=


3.3. Caída de presión (flujo laminar):

∆p 32 0.031( )⋅ 0.00153( )⋅1

0.682

⋅= 3.282 103−×=

m

seg

kgfseg

m2

⋅1m

m2

⋅kgf

m2

=

3.4 perfil de velocidades

r 0.34− 0.3−, 0.34..:=

ro 0.34:= vm 0.031:=

v r( ) 2 vm⋅ 1r

ro

2

−

⋅:=

r

-0.34

-0.3

-0.26

-0.22

-0.18

-0.14

-0.1

-0.06

-0.02

0.02

0.06

0.1

0.14

...

= v r( )

0

0.014

0.026

0.036

0.045

0.051

0.057

0.06

0.062

0.062

0.06

0.057

0.051

...

=

0.4− 0.2− 0 0.2 0.40.02−

0

0.02

0.04

0.06

0.08

v r( )

r

3.4 Velocidad máxima:

vc 2 0.031( )⋅= 0.062m

seg⋅=

3.5 Número de Reynolds:

0.031 800( )⋅ 0.68( )⋅

0.0151.124 10

3×=NRe

0.031m

seg⋅ 800

kgm

m3

⋅

⋅ 0.68 m⋅( )⋅

0.015kgm

m seg⋅⋅

= 1124=

4. RESULTADOS

Los resultados obtenidos son correctos en virtud que las fórmulas usadascorresponden a un flujo tipo laminar como lo confirma el valor del numero de Reynoldsobtenido (menor de 2000).


****


mathcad - · pdf fileexisten innumerables fórmulas, nomogramas, gráficas y...

Documents