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Capítulo 4

Análisis Dimensional y semejanza hidráulica

La experimentación es la práctica que confirma o rechaza una hipótesis, que es la explicación tentativa o supuesta de la causa de un fenómeno que se realiza. Muchos factores intervienen en el desarrollo del fenómeno y es necesario conocer que tanto influyen y cómo están relacionados entre sí estos parámetros, de tal manera que se pueda crear las condiciones necesarias para que el fenómeno de estudio se repita bajo cierto control, ya sea en el laboratorio trabajando con modelos o en el diseño y operación de prototipos construidos a semejanza del modelo.

PARAMETROS

(Magnitudes)

METODO MATEMATICO

(Análisis Dimensional)

EXPRESIONES

(fórmulas)

MODELOS Y PROTOTIPOS

(Problemas numéricos)

La teoría matemática y los resultados experimentales han desarrollado soluciones prácticas de muchos problemas de ingeniería. En la actualidad numerosas estructuras hidráulicas se proyectan y construyen solo después de haber efectuado un amplio estudio sobre modelos. La aplicación del análisis dimensional como un método matemático y las consideraciones de semejanzas hidráulicas permiten al ingeniero organizar y utilizar los resultados obtenidos para proyectar hacia el diseño de los prototipos.

El primer objetivo de este tema es determinar las expresiones matemáticas que muestran la correlación que existe entre los parámetros que intervienen en el experimento. Para esto debe aprenderse el método matemático llamado análisis dimensional.

Fig. 4.1

El segundo objetivo es la aplicación de estas expresiones, junto con las leyes de

Cap. 4 125 J.C.Toledo

¿Cuántas expresiones se obtienen?

El valor de (k) se determina en el laboratorio, las expresiones las determina el analisis dimensional.

<-Valor experimentalk 2=v 2g φ⋅=

De (ε1) despeje (v):

Fig. 4.2

(ε1), (ε2) son las expresiones obtenidas y que sirven para calcular la velocidad de flujo (v) del líquido de densidad (ρ) y viscosidad (µ) que sale a través del orificio de diámetro (φ) de un recipiente, bajo el efecto de la aceleración gravitacional (g). Ver Fig.4.2.

Donde: g,φ,v, µ, ρ son los parámetros (magnitudes físicas) que intervienen en el fenómeno.

Número de Reynoldsµ

ρ φ⋅ v⋅k=ε2:

g

Número de Froudv2

g φ⋅k=ε1:

Es un método matemático que conduce a encontrar una o varias expresiones corelacionales (ε1) que agrupan -máximo de cuatro en cuatro- las magnitudes físicas que intervienen en el desarrollo de un fenómeno físico experimental. Enseguida se presentan algunos ejemplos de expresiones correlacionales, obtenidas de un experimento físico que consiste en hacer fluir un líquido a través de un orificio hecho en el cuerpo de un recipiente abierto a la atmósfera. Ver Fig. 4.2

¿Qué es el Análisis Dimensional?

El análisis dimensional trata de las relaciones que guardan entre sí las magnitudes físicas que intervienen en el desarrollo de un fenómeno experimental; y constituye una herramienta muy útil en el estudio de la mecánica

de los fluidos, principalmente en lo relativo a modelos y prototipos.

_____________________________________________________4.1 Análisis Dimensional

El segundo objetivo es la aplicación de estas expresiones, junto con las leyes de semejanzas, en el estudio de modelos y prototipos. La Fig. 4.1. muestra esquemáticamente las diferentes etapas de estudio del análisis.


La cantidad de expresiones correlacionales (ε) depende de la cantidad de parámetros (P) que intervienen en el experimento:

ε P 3−=

En el ejemplo mencionado intervinieron 5 parámetros: g, φ, v, µ, ρ. Por lo tanto se obtuvieron dos expresiones: ε1 y ε2 .

¿Para qué sirven estas expresiones correlacionales?

a) Estas expresiones son verdaderas fórmulas matemáticas y como tales lo que representan es la relación que hay entre las magnitudes que intervienen en el desarrollo del fenómeno físico experimental.

b) Ofrecen una primera aproximación de cómo los parámetros son dependientes entre sí. Con lo cual se reducen los intentos de error y ensayo que se realizan en el laboratorio; lo que conduce a un ahorro sustancial de tiempo y dinero.

c) Permiten el diseño de Prototipos a partir de la información disponibles sobre modelos, aprovechando las semejanzas geométricas, cinemáticas, dinámicas y fluídicas que deben existir entre el modelo y el prototipo.

___________________________________________________4.2 Fundamentos del análisis dimensional

1.- Se conocen dos sistemas de dimensiones: a) el Sistema MLTθθθθ, y b) el Sistema FLTθ, θ, θ, θ, conocidos por sus aplicaciones como Sistema internacional (S.I.) y Sistema inglés (S.i) de unidades, respectivamente. Sus dimensiones primarias son:

Sistema MLTθθθθ

M masaL longitudT tiempoθ temperatura

Sistema FLTθθθθ

F FuerzaL longitudT tiempoθ temperatura

2.-Todas las magnitudes físicas tienen sus correspondientes expresiones dimensionales: Ver Tabla de dimensiones (Apéndice IV).

Ejemplos de magnitudes con sus correspondientes dimensiones:

g L T 2−⋅= Aceleración de la gravedad

φ L= Diámetro

−


__________________________________________________4.3 Antecedentes del análisis dimensional

Actualmente se conocen tres métodos que son:

1.-Método π de Buckingham2.-Serie de potencia de Raleigh3.- Método de Hunsaker-Rihgtmire

A π R2⋅=

6.- Limitación.- El análisis dimensional es aplicable cuando se tiene un mínimo de tres parámetros de distintas naturalezas. El método no es adecuado para obtener una relación que tiene solo dos parámetros, como en la expresión siguiente que correlaciona área (A) y Radio (R); y donde además ambos

parámetros son de la misma naturaleza, es decir geométricos; porque π es un valor constante:

5.- Estas expresiones solo muestran las correlaciones entre los parámetros, pero no el valor de la constante (k) que solo se obtiene de manera experimental y que algunas veces su valor es la unidad.

L T 2−⋅( ) L( )⋅

L T 1−⋅( ) 2

1=Sustituyendo y simplificando:

g φ⋅

v2k=ε1:4.- Las expresiones correlacionales obtenidas con

el análisis dimensional son adimensionales y se igualan a una constante experimental (k), que en algunos casos es la unidad.

Geométricas: Volumen, área, longitud, etc.Fluídicas: Masa, densidad, viscosidad, etc.Cinemáticas: Velocidad, aceleración, caudal, etc.Dinámicas: Fuerza, potencia, momento, presión, etc.Térmicas: Temperatura, calor específico, conductividad, etc.

Ejemplos de algunas magnitudes:

3.-Las magnitudes físicas se agrupan según su naturaleza dimensional, en: geométricas, fluídicas, cinemáticas, térmicas, dinámicas. Ver Tabla de dimensiones (Apéndice IV).

Viscosidad absolutaµ M L 1−⋅ T 1−

⋅=

Densidadρ M L 3−⋅=

Velocidad v L T 1−⋅=


3.- Método de Hunsaker-Rihgtmire

Cuyos estudios se puede realizar en cualquier libro de mecánica de los fluidos y que pueden servir como punto de comparación con el método que se presenta como innovador y que conduce a los mismos resultados pero de una manera más rápida y fácil y que se llama: Método J.C. Toledo. Método Alternativo.

Con este método se resuelven los ejemplos planteados en este libro.

_________________________________________________4.4 Análisis Dimensional. Método J.C.Toledo

Este método matemático de análisis dimensional plantea la necesidad de aplicar cinco pasos secuenciales necesarios para lograr la obtención de las expresiones correlacionales. Para ello se recurrirá a:

a) La tabla de expresiones dimensionales (Apéndice IV)b) El criterio de selección de parámetrosc) Los fundamentos del análisis dimensionald) La solución simultánea de ecuaciones

Seleccionar los parámetros que más influyen en el desarrollo del fenómeno es lo más difícil de lograr ya que requiere de la experiencia que el investigador logra obtener después de un tesonero trabajo de observación y experimentación. Para cubrir esta deficiencia natural en los inexpertos se propone en este método un criterio de selección.

Una vez analizado el enunciado del problema y seleccionado el sistema a aplicar (MLTθ o FLTθ) se siguen los siguientes pasos:

Los cinco Pasos

1.- Se enlistarán todos los parámetros que se mencionan en el enunciado del problema a resolver,-- los que afectan en el experimento -- igualando su símbolo con su expresión dimensional, indicando su naturaleza física y su valor ponderal. Usar la Tabla de expresiones dimensionales (Apéndice IV).

2.- Se aplicará el criterio de selección para escoger tres parámetros primarios.Criterio de selección: "Escoja una propiedad geométrica, una física, una cinemática, en este orden; solo en ausencia de cualquiera de los tres primeros se escoge uno dinámico. Si hay parámetro térmico es el primero en seleccionarse, o sea se adelanta al parámetro geométrico"."Si están presentes propiedades de la misma naturaleza, se preferirá el de menor valor ponderal".

3.- Como estas expresiones dimensionales de los parámetros seleccionados,son tres ecuaciones y como M,L,T son tres incógnitas, se puede obtener sus expresiones de manera simultáneas, despejando M,L,T en este orden o el más adecuado. Si hay parámetro térmico las ecuaciones serán cuatro y las incógnitas


adecuado. Si hay parámetro térmico las ecuaciones serán cuatro y las incógnitas también cuatro: M,L,T, θ.

4.-Se sustituirán estos resultados de M, L y T en la expresión dimensional de cadauno de los demás parámetros que no fueron seleccionados y se obtendrán sus expresiones correlacionales deseadas.

5.- Presentar las expresiones obtenidas, igualándolas a una constante (k).

___________________________________________________4.5 Modelos y Prototipos

El estudio comparativo entre modelo y prototipo ha mostrado con evidencias que existe una estrecha relación confiable en sus comportamientos como lo atestigua el correcto funcionamiento de muchas estructuras diseñadas a partir de ensayos sobre modelos.

Los modelos hidráulicos deben cumplir, como condición, con todas las características del prototipo reproducido a escala (o sea tener semejanza geométrica) y satisfacer todas las restricciones de diseño (o sea semejanza cinemática y dinámica).

Las expresiones correlacionales que por el método de análisis dimensional se logran obtener, tienen su aplicación en la observancia de la similitud funcional de un Prototipo con respecto a su Modelo. Es decir, los resultados de las pruebas logradas en modelos se utilizan para simular las condiciones de semejanza en las que funcionaría el prototipo a escala real.

Ejemplo: Si la expresión lograda con el análisis dimensional es la siguiente:

ε2:µ

ρ φ⋅ v⋅k= Número de Reynolds

La expresión para el modelo (m) y su prototipo (p) debe escribirse así:

Es la misma expresión tanto en el numerador como en el denominador. Y es la expresión relativa entre el modelo y el prototipo con lo cual se anula la constante experimental (k).

µ

ρ φ⋅ v⋅

m

µ

ρ φ⋅ v⋅

p

1=

Esta expresión de igualdad es la que hace que la funcionalidad del prototipo sea semejante a la del modelo.

Para que esta semejanza de funcionalidad se logre es necesario que existan semejanzas entre el modelo y su prototipo, de tipo: geométrica, cinemática, térmica, dinámica y fluídica.

Semejanza Geométrica.- Significa que si el modelo tiene la forma de un cubo, el


µRµm

µp=Viscosidad relativa

ρRρm

ρp=

mm

Vm

mp

Vp

=mR

Vr=Densidad relativa

VrVm

Vp=

Lrm( )3

Lrp( )3= Lr3=Volumen relativo

ArAm

Ap=

Lrm( )2

Lrp( )2= Lr2=Área relativa

LrLm

Lp=Lados relativos:

Las magnitudes físicas pueden expresarse en términos relativos entre el modelo (m) y el prototipo (p), obteniéndose las mismas mismas fórmulas pero con el subíndice relativo (r,o R). Así que cualquier fórmula de magnitudes físicas se puede expresar en términos relativos.

Las siguientes expresiones se pueden aplicar a problemas sobre modelos y prototipos aunque no hayan sido necesariamente obtenidos por el análisis dimensional.

___________________________________________________4.6 Magnitudes físicas relativas

Semejanza Fluídica.-Las pruebas o ensayos pueden realizarse con el mismo fluido en el modelo y en el prototipo o con diferentes fluidos pero de propiedades físicas preferentemente similares en cuanto a densidad, viscosidad, etc.

Semejanza Dinámica.-Las mismas fuerzas o efectos de fuerza que afectan de la misma forma sobre el modelo deben ser consideradas también presentes en el prototipo; además de la indispensable semejanza geométrica.

Semejanza Cinemática.- Se refiere a la rapidez de movimiento, pero además exige que la trayectoria sea también semejante y no solamente la magnitud de la velocidad; además de la indispensable semejanza geométrica.

prototipo debe ser también un cubo y sus lados deben guardar cierta relación a escala entre sí. Por ejemplo, 1 a 5, significa que 1 es el tamaño del modelo y el prototipo es 5 veces mayor que el modelo.


Velocidad relativa vRvm

vp=

Lm

tm

Lp

tp

=Lr

tR=

Aceleración relativa aRam

ap=

Lm

tm( )2

Lp

tp( )2

=Lr

tR( )2=

Caudal relativo QrQm

Qp=

Vm

tm

Vp

tp

=Vr

tR=

Fuerza relativa Fr mR aR( )= ρR Vr⋅( ) aR⋅= ρR Lr3⋅=

_________________________________________________4.7 Leyes de Semejanzas Hidráulicas

Las leyes de semejanzas hidráulicas son expresiones correlacionales que determinan la similitud de comportamiento que puede haber entre dos equipos mecánicos o máquinas hidráulicas geométricamente semejantes y de funcionalidad similar (entre el modelo y su prototipo).

Estas expresiones sirven para predecir el comportamiento de una máquina hidráulica, geométricamente semejante a otra cuyos parámetros (ejemplos: caudal, potencia, carga, velocidad de rotación, etc.) ya se conocen sus correlaciones.Las cinco expresiones que definen las leyes de semejanzas hidráulicas, enlistadas enseguida se obtuvieron con el método alternativo J.C. Toledo de análisis dimensional en el Ejemplo resuelto Ej404. Observe que en todas estas expresiones aparecen, como mínimo, tres parámetros de diferentes naturalezas.

1a. Consideración.- El caso más general, es cuando ambos modelo y prototipo son de diferentes tamaños además de geométricamemente iguales, y se espera que operen de manera semejante aun con diferentes fluidos, además de que son cinemática y dinámicamente semejantes. Agrupando términos iguales se obtienen las siguientes leyes:

1.- Ley de Relación de columnas hidrostáticas (alturas de descarga=Hd). Se anularon las g, (gravitacionales) por ser valores constantes:


pm

pp

Nm

Np

2 Dm

Dp

2

⋅=

2.- Ley de Relación de Presiones (p). De ε2, se anulan las densidades (ρ):

Hdm

Hdp

Nm

Np

2 Dm

Dp

2

⋅=

1.- Ley de Relación de columnas hidrostáticas (alturas de descarga=Hd). La ε1, queda igual:

2a. Consideración.-Es el caso cuando ambos modelo y prototipo son de diferentes tamaños además de geométricamemente iguales y se espera que operen de manera semejante pero con un mismo fluido (o sea semejanza fluídica 100%), entonces las propiedades fluídicas (ρ, µ) en las expresiones anteriores se anulan entre sí por ser iguales; y por lo tanto se reducen y se obtienen finalmente los siguientes resultados.

Recuerde que son expresiones correlacionales lo que significa que todas en conjunto son mutuamente dependientes y aplicables en un problema numérico de modelos y prototipos.

---- ε5Nm

Np

Dp

Dm

2ρp

ρm

⋅µm

µp

⋅=

5.- Ley de Relación de velocidades rotacionales (N).

---- ε4Qm

Qp

Nm

Np

Dm

Dp

3

⋅=

4.- Ley de Relación de caudales (Q).

---- ε3Pom

Pop

Nm

Np

3 Dm

Dp

5

⋅ρm

ρp

⋅=

3.- Ley de Relación de potencias (Po).

---- ε2pm

pp

Nm

Np

2 Dm

Dp

2

⋅ρm

ρp

⋅=

2.- Ley de Relación de Presiones (p).

Donde:

g.- Aceleración de la gravedadHd.- Altura de descargaD.- Diámetro del rotorN.- Velocidad angularp.- Presión ρ.- Densidad del fluidoµ.- Viscosidad del fluidoQ.- CaudalPo.- Potencia

----ε1Hdm

Hdp

Nm

Np

2 Dm

Dp

2

⋅=


3.- Ley de Relación de potencias (Po). De ε3, se anulan las densidades (ρ):

Pom

Pop

Nm

Np

3 Dm

Dp

5

⋅=

4.- Ley de Relación de caudales (Q). La ε4, queda igual.

Qm

Qp

Nm

Np

Dm

Dp

3

⋅=

5.- Ley de Relación de velocidades rotacionales (N). De ε5, se anulan (ρ y µ) y se reduce a solo dos variables (N, D), insuficientes. Por lo tanto esta expresión es inútil (se requieren mínimo tres variables y de diferentes naturalezas).

Nm

Np

Dp

Dm

2

=

6.- Velocidad específica absoluta de rotación:

Si se relacionan la ley de relaciones de columnas ε1 y la ley de relaciones de potencia ε3, despejando y sutituyendo, se eliminan los (D) y se obtiene una expresión correlacional para modelo y prototipo conocido con el nombre de velocidad específica:

(Wm)espec = (Wp)espec Nm Pom

1

2⋅

Hdm

5

4

Np Pop

1

2⋅

Hdp

5

4

=

Velocidad específica absoluta o velocidad angular específica (Ns), corresponde al número de revoluciones por minuto (N) que daría un equipo rotatorio (una turbina, una bomba hidraulica, etc.) instalado en un salto o altura hidrostática (Hd) y que proporcionaría o aprovecharía una potencia (Po) .

NsN Po⋅

H 4 H⋅=

3a. Consideración.- Diferentes fluidos en un mismo equipo (semejanza geométrica 100%: modelo=prototipo, Dm=Dp). En este caso, todas las expresiones correlacionales se inutilizan por reducirse a solo tener dos variables (se requieren mínimo tres y de diferentes naturalezas). Las únicas expresiónes útiles son: la ley de Relación de Presiones (p) y la ley de Relación de potencias (Po):


------- EC.2m M=

------- EC.1d L=

1.3 Teniendo 3 ecuaciones y tres incógnitas, se despeja M,L,T de manera simultánea.

"Criterio: Escoja un parámetro geométrico (distancia); una propiedad física (masa); uno cinemático (aceleración)".

1.2 Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y datos de la Tabla de dimensiones (Apéndice IV), según Método J.C.Toledo:

Cinemática a L T 2−⋅=

Propiedad físicam M=

Geométrica d L=

Vea laTabla de expresiones dimensionales (Apéndice IV).

Dinámica f M L⋅ T 2−⋅=

1.1 Listar los parámetros que intervienen y sus correspondientes expresiones dimensionales.

1. ANÁLISIS DIMENSIONAL

Solución

Deduzca las expresiones correlacionales existentes entre los parámetros que intervienen en un estudio experimental, donde una fuerza que se aplica sobre una masa hace que el cuerpo se desplace una distancia a una cierta aceleración.

_____________________________________________________

Ejemplo 4.1

_____________________________________________________4.8 Ejemplos resueltos

--

---- ε3Pom

Pop

Nm

Np

3ρm

ρp

⋅=

---- ε2psm

psp

Nm

Np

2ρm

ρp

⋅=


1.1 Listar los parámetros que intervienen y sus correspondientes expresiones


Solución

La presión, la fuerza y el área, están correlacionadas. Determine la fórmula que los correlaciona, por el método del análisis dimensional.

_____________________________________________________

Ejemplo 4.2

f

m a⋅

m

f

m a⋅

p

=

1.6 Expresión para Modelo y Prototipo: En la expresión para modelo (m) y prototipo (p), observe que la k experimental queda anulada:

(Segunda ley de Newton)f m a⋅=

k es una constante que se obtiene experimentalmente y solo cuando su valor es igual a la unidad la expresión se puede escribir así:

f

m a⋅k=ε1:

1.5 Resultado: Expresión correlacional obtenida:

Observe que el método eliminó el parámetro distancia (d) lo cual indica que no es un parámetro determinante en el experimento.

f m a⋅=f m( ) d( )a

d

=f M L⋅ T 2−⋅=

1.4 Sustituir sobre la ecuación del parámetro, que no había sido seleccionado para obtener la expresión correlacionada:

T 2− a

d=T 2− a

L=De la Ec. 3, despejar T y sustituir L:

M m=De la Ec. 2, despejar M:

L d=De la Ec.1, despejar L:

------- EC.3

a L T 2−⋅=


Observe que el método eliminó el parámetro densidad (ρ) (que se había adicionado para completar a tres ecuaciones de naturalezas distintas), lo

P f A 1−⋅=

P ρ A

1

2

3

⋅

A

1

2

1−

⋅ f ρ1−

⋅ A 2−⋅( )⋅=P M L 1−

⋅ T 2−⋅=

1.4 Sustituir sobre el parámetro, que no había sido seleccionado, para obtener la expresion correlacionada:

T 2− f ρ1−

⋅ A 2−⋅=

T 2− f M 1−⋅ L 1−

⋅= f ρ A

1

2

3

⋅

1−

⋅ A

1

2

1−

⋅=De la Ec.3, despejar

M ρ A

1

2

3

⋅=M ρ L3⋅=De la Ec.2, despejar

L A

1

2=De la Ec.1, despejar

-------Ec. 3f M L⋅ T 2−⋅=

-------Ec. 2ρ M L 3−⋅=

-------Ec.1A L2=

1.3 Teniendo 3 ecuaciones y tres incógnitas, se despeja M,L,T de manera simultánea.

"Criterio: Escoja un parámetro geométrico (área); una propiedad física (no hay); uno cinemático (no hay), uno dinámico (cualquiera: fuerza o presión)". Falta el cuarto parámetro y de naturaleza diferente, por lo que se precisa adicionar una propiedad física (densidad).

1.2 Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y datos de la Tabla de dimensiones (Apéndice IV), según Método J.C.Toledo:

Geométrico A L2=

Dinámico P M L 1−⋅ T 2−

⋅=

Dinámico f M L⋅ T 2−⋅=

1.1 Listar los parámetros que intervienen y sus correspondientes expresiones dimensionales. Vea Tabla de dimensiones (Apéndice IV).


−

-------Ec. 2Propiedad física (1)ρ M L 3−⋅=

Propiedad física (3)µ M L 1−⋅ T 1−

⋅=

-------Ec. 1Geométrico (1)φ L=

Cinemático (5)g L T 2−⋅=

-------Ec. 3Cinemático (3)v L T 1−⋅=

1.1 Listar los parámetros que intervienen y sus correspondientes expresiones dimensionales. Vea tabla de dimensiones (Apéndice IV) .


Solución

__________________________________________________Ejemplo 4.3

Suponga que en un experimento de flujo de fluidos intervienen de manera determinante los siguientes parámetros:

φ= diámetrov = velocidadg = aceleración de la gravedad µ= viscosidad absoluta ρ= densidad σ= tensión superficial ψ=módulo de elasticidad

Obtenga las expresiones correlacionales aplicando el método de Análisis Dimensional J.C.Toledo.

¿Cómo se escribiría esta expresión para su utilización en modelos y

prototipos?

Fórmula de presiónPf

A=

k es una constante que se obtiene experimentalmente y solo cuando su valor es la unidad la expresión se puede escribir así:

f

P A⋅k=ε1:

1.5 Resultado: Expresión correlacional obtenida:

adicionado para completar a tres ecuaciones de naturalezas distintas), lo cual indica que no es un parámetro determinante en el experimento.


Número de Froud.-Aparece cuando hay predominio de la fuerza de inercia ocasionada por la aceleración de la gravedad (g).

g φ⋅

v2k=ε1:

1.5 Resultados. Se obtuvieron las siguientes expresiones, que representan a cuatro números adimensionales importantes en mecánica de los fluidos.

ψ ρ v2⋅=ψ ρ φ

3⋅( ) φ( ) 1−

⋅v

φ

2

⋅=ψ M L 1−⋅ T 2−

⋅=

σ ρ φ⋅ v2⋅=σ ρ φ

3⋅( ) v

φ

2

⋅=σ M T 2−⋅=

µ ρ φ⋅ v⋅=µ ρ φ3

⋅( ) φ( ) 1−⋅=

v

φ

µ M L 1−⋅ T 1−

⋅=

gv2

φ=g φ( ) v

φ

2

⋅=

σ M T 2−⋅= Propiedad física (4)

ψ M L 1−⋅ T 2−

⋅= Propiedad física (5)

1.2 Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y valores ponderales de la Tabla de dimensiones (Apéndice IV) , según Método J.C.Toledo:

"Criterio: Escoja un parámetro geométrico (diámetro); una propiedad física (el de menor valor ponderal: densidad); uno cinemático (el de menor valor ponderal: velocidad)".

1.3 Teniendo tres ecuaciones y tres incógnitas, se despeja M,L,T de manera simultánea.

De la Ec.1, despejar L: L φ=

De la Ec. 2, despejar M y sustituir L:

M ρ L3⋅= M ρ φ

3⋅=

De la Ec. 3, despejar T y sustituir L: T 1− v

L= T 1− v

φ=

1.4 Sustituir sobre los demás parámetros, que no habían sido seleccionados, para obtener las expresiones correlacionadas:

g L T 2−⋅=


------ Ec.2Propiedad física (1)ρ M L 3−⋅=


⋅=

Cinemático (9)Po M L2⋅ T 3−

⋅=

------ Ec.3Cinemático (2)N T 1−=

------ Ec.1Geométrico (1)D L=

Dinámico (5 )ps M L 1−⋅ T 2−

⋅=

Dinámico (5 )pd M L 1−⋅ T 2−

⋅=

1.1 Listar los parámetros que intervienen y sus correspondientes expresiones dimensionales. Ver Tabla de dimensiones (Apéndice IV).


Solución

___________________________________________________Ejemplo 4.4

Suponga que en un experimento de bombeo hidráulico intervienen los siguientes parámetros: (pd, ps, D, N, Po, µ, ρ, Q) que son: la presión de descarga, la presión de succión neta positiva (PNSH ), el diámetro del rotor, la velocidad rotacional, la potencia de la bomba, la viscosidad y la densidad del fluido y el caudal de descarga. Obtenga las expresiones correlacionales aplicando el método de Análisis Dimensional J.C.Toledo.

ε1 f ε2 ε3, ε4,( )=

1.5 Expresión obtenida: Se puede presentar correlacionada.

Número de Match.- Aparece cuando hay predominio del módulo de elasticidad (ψ) .

ψ

ρ v2⋅

k=ε4:

Número de Weber.- Aparece cuando hay predomino de la fuerza de tensión ocasionada por la tensión superficial (σ).

σ

ρ φ⋅ v2⋅

k=ε3:

Número de Reynolds.- Aparece cuando hay predominio de la fuerza de fricción ocasionada por la viscosidad (µ).

µ

ρ φ⋅ v⋅k=ε2:


µ M L 1−⋅ T 1−

⋅= µ ρ D3⋅( ) D( ) 1−

⋅ N( )⋅= µ ρ D2⋅ N⋅=

Q L3 T 1−⋅= Q D( )3 N( )⋅= Q D3 N⋅=

1.5 Resultados: Expresiones obtenidas:

ε1:pd

ρ D2⋅ N2

⋅k= ε2:

ps

ρ D2⋅ N2

⋅k=

ε3:Po

ρ D5⋅ N3

⋅k= ε4:

µ

ρ D2⋅ N⋅

k= ε5:Q

D3 N⋅k=

Como la presión de descarga (pd) se puede expresar en términos de altura hidrostática (h) y del peso específco (ρ*g) del fluido, la expresión ε1 también se puede escribir así: -------->

ε1:ρ g⋅ hd⋅

ρ D2⋅ N2

⋅k=

Q L3 T 1−⋅= Cinemático (3)

1.2 Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y valores ponderales de la Tabla de dimensiones (Apéndice IV), según Método J.C.Toledo:

"Criterio: Escoja un parámetro geométrico (diámetro), una propiedad física (el de menor valor ponderal: densidad), uno cinemático (el de menor valor ponderal: velocidad angular)".


De la Ec.1, despejar L: L D=

De la Ec. 2, despejar M y sustituir L: M ρ L3⋅= M ρ D3

⋅=

De la Ec. 3, despejar T: T 1− N=


pd M L 1−⋅ T 2−

⋅= pd ρ D3⋅( ) D( ) 1−

⋅ N( )2= Pd ρ D2⋅ N2

⋅=

ps M L 1−⋅ T 2−

⋅= ps ρ D3⋅( ) D( ) 1−

⋅ N( )2= ps ρ D2⋅ N2

⋅=

Po M L2⋅ T 3−

⋅= po ρ D3⋅( ) D( )2

⋅ N( )3= po ρ D5⋅ N3

⋅=


L h=De la Ec.1, despejar

1.3 Teniendo tres ecuaciones seleccionadas y tres incógnitas , se despeja de las ecuaciones M,L,T de manera simultánea.

"Criterio: Escoja un parámetro geométrico: largo; una propiedad física (el de menor valor ponderal: densidad); uno cinemático: aceleración de la gravedad".

1.2 Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y valores ponderales de la Tabla de dimensiones (Apéndice IV), según Método J.C.Toledo.

-------Ec. 3Cinemático (5)g L T 2−⋅=


⋅=


-------Ec. 1Geométrico (1)h L=

Geométrico (1)a L=

Incógnita Q

a

L3 T 1−⋅( )L

=



Solución

Obtenga la expresión que determina el caudal por ancho (Q/a) que fluye de una abertura rectangular de ancho (a) y largo (h). Los otros factores que pueden influir son: la densidad (ρ) y viscosidad (µ) del fluido y la aceleración de la gravedad (g).

________________________________________________Ejemplo 4.5

ε1 f ε2 ε3, ε4, ε5,( )=

1.6 Expresión correlacionada:

De estas cinco expresiones se derivan las leyes de semejanza hidráulica.



Solución

El calor necesario para elevar la temperatura de cierta cantidad de masa depende del tiempo de calentamiento y del calor específico del fluido. Determine la expresión que correlaciona el calor y los demás parámetros.

________________________________________________Ejemplo 4.6

Q

ah

3

2 g

1

2⋅ f ε2 ε3,( )⋅=

1.6 Expresión correlacionada:

ε3:ε2:

Q

a

h

3

2 g

1

2⋅

k=ε1:a

hk=

µ

ρ h

3

2 g

1

2⋅

⋅

k=


µ ρ h3⋅ h( ) 1−

⋅ h g 1−⋅( )

1

2

1−

⋅= µ ρ h

3

2 g

1

2⋅

⋅=

a h=

Q

ah

3

2 g

1

2⋅=

Q

a

h3 h g 1−⋅( )

1

2

1−

⋅

h=

1.4 Sustituir sobre los parámetros, que no habían sido seleccionados, para obtener la expresión correlacionada:

T L g 1−⋅( )

1

2= h g 1−

⋅( )

1

2=De la Ec. 3, despejar

M ρ L3⋅= ρ h3

⋅=De la Ec.2, despejar


_______________________________________________

q m Cp⋅ ∆T⋅=Si k=1

q

m Cp⋅ ∆T⋅( )k=ε1:

1.5 Resultado: Expresión obtenida:

q M L2⋅ T 2−

⋅= m Cp

1

2 t⋅ ∆T

1

2⋅

2

⋅ t 2−⋅= m Cp⋅ ∆T⋅=

1.4 Sustituir sobre el parámetro, que no había sido seleccionado, para obtener la expresión correlacionada:

L Cp T2⋅ θ⋅( )

1

2= Cp

1

2 T⋅ θ

1

2⋅= Cp

1

2 t⋅ ∆T

1

2⋅=

θ ∆T=T t=M m=

1.3 Teniendo cuatro ecuaciones seleccionadas y cuatro incógnitas , se despeja de las ecuaciones M,L,T, θ de manera simultánea.

"Criterio: Escoja una propiedad térmica (la de menor valor ponderal:∆T ), una geométrica (no hay), una propiedad física (masa), una cinemática (tiempo), otra térmica (Cp)". La dinámica (q) no se puede seleccionar porque es la incógnita.

1.2 Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y valores poderales de la Tabla de dimensiones (Apéndice IV), según Método J.C.Toledo. Observe que es un problema Termodinámico, con transferencia de calor.

------Ec. 4Térmico (5)Cp L2 T 2−⋅ θ

1−⋅=

------Ec. 3Cinemático (2)t T=

------Ec. 2P. física (0)m M=

------Ec.1Térmico (0)∆T θ=

Dinámico (5)q M L2⋅ T 2−

⋅=



1.3 Teniendo cuatro ecuaciones seleccionadas y cuatro incógnitas , se

"Criterio: Escoja un parámetro térmico (el de menor valor ponderal (∆T), uno geométrico (diámetro), una propiedad física (el de menor valor ponderal: densidad), uno cinemático (el de menor valor ponderal: velocidad) ".

1.2 Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y valores ponderales de la Tabla de dimensiones (Apéndice IV), según Método J.C.Toledo. Observe que es un problema con transferencia de calor.

Térmico (12) k M L T 3−⋅ θ

1−⋅=

Termico (8)Cp L2 T 2−⋅ θ

1−⋅=

--------Ec.1Termico (3)∆T θ=

Cinemático (8)Q

A

M L2⋅ T 3−

⋅( )

L2= M T 3−

⋅=

-------Ec.3Propiedad física (1)ρ M L 3−⋅=


⋅=

-------Ec.2Geométrico (1)φ L=

-------Ec.4Cinemático (3)v L T 1−⋅=



Solución

qs f v φ, µ, ρ, ∆T, Cp, K,( )=qsQ

A=

El campo de flujo de un flujo forzado externo a través de un tubo cilíndrico largo depende de la velocidad de flujo, del diámetro de la tubería, de la densidad y viscosidad dinámica del fluido. Además, el flujo de calor por unidad de área de la pared depende de estos parámetros y de la diferencia de temperatura, del calor específico del fluido y de la conductividad térmica del material de la tubería. Encuentre la expresión de flujo de calor por unidad de área y unidad de temperatura.

Ejemplo 4.7


Ec.8


ε1:ρ φ⋅ v⋅

µNRe

ρ φ⋅ v⋅

µ= Número de Reynolds

Sustituyendo Ec. 6 en Ec. 7 k φ qs⋅ ∆T1−

⋅=

ε2:φ qs⋅

k ∆T1−

⋅NNu

φ

k

qs

∆T⋅= Número de Nussel

Sustituyendo Ec. 5 en Ec.7: k µ v2⋅ ∆T

1−⋅= Ec. 9

Sustituyendo Ec. 8 en Ec.9: k µ Cp⋅=

ε3:µ Cp⋅

kNPr

µ Cp⋅

k= Número de Prandl

1.6 Expresión correlacionada: ε2 f ε3 ε1,( )⋅=

Calor convectiva transferida. Del NNu despejar:

qs

∆TNNu

k

φ

f NPr NRe,( )⋅=

1.3 Teniendo cuatro ecuaciones seleccionadas y cuatro incógnitas , se despeja de las ecuaciones M,L,T,θ de manera simultánea.

De la Ec.2, despejar L φ=

De la Ec.1, despejar θ ∆T=

De la Ec.3, despejar M ρ L3⋅= ρ φ

3⋅=

De la Ec. 4, despejar T L v 1−⋅= φ v 1−

⋅=


µ M L 1−⋅ T 1−

⋅= µ ρ φ3

⋅( ) φ1−

⋅ φ v 1−⋅( ) 1−

⋅= µ ρ φ⋅ v⋅= Ec.5

qs M T 3−⋅= qs ρ φ

3⋅( ) φ v 1−

⋅( ) 3−⋅= qs ρ v3

⋅= Ec.6

k M L T 3−⋅ θ

1−⋅=

k ρ φ3

⋅( ) φ⋅ φ v 1−⋅( ) 3−

⋅ ∆T( ) 1−⋅= k ρ φ⋅ v3

⋅ ∆T1−

⋅= Ec.7

Cp L2 T 2−⋅ θ

1−⋅= Cp φ

2φ v 1−

⋅( ) 2−⋅ ∆T

1−⋅= Cp v2

∆T1−

⋅=


T 1−ν L 2−

⋅= ν φ2−

⋅=M ρ L3⋅= ρ φ

3⋅=L φ=


"Criterio: Escoja un parámetro geométrico (diámetro); una propiedad física (densidad), una cinemática (viscosidad)".

1.2 Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y valores ponderales de la Tabla de dimensiones (Apéndice IV) , según Método J.C.Toledo:

Cinemático (3)v L T 1−⋅=


-------Ec. 3Cinemática (3)ν L2 T 1−⋅=

-------Ec. 1Geométrico (1)φ L=

1.1 Listar los parámetros que intervienen y sus correspondientes expresiones dimensionales. Vea Tabla de dimensiones (Apéndice IV) .


Solución

a) Determine la relación de velocidadesb) Determine la relación de tiemposc) Determine la relación de fuerzas dinámicas

m2

seg1. 10 6−×

En el modelo debe circular agua a 25 oC (viscosidad cinemática de:

m2

seg2.9 10 6−×

La relación a escala entre un modelo y su prototipo es de 1:10 . En el prototipo debe circular petróleo a 120 oC (de densidad relativa 0.86 y viscosidad cinemática de:

________________________________________________Ejemplo 4.8


φp 10= vp .= νp 2.9x 10 6−⋅= ρp 0.86=

2.2 Requerimiento:

a) Relación de velocidad, b) Relación de tiempo, c) Relación de Fuerzas dinámicas.

3. FORMULARIO

3.1. Velocidad relativa.- De la ecuación para modelo y prototipo se despeja:

vRvm

vp= vR

φp

φm

νm

νp⋅=

3.2. Tiempo relativo.

vRLr

Tr= Tr

Lr

vR=

φr

vR=

φm

φp

vR=

3.3. Diámetro relativo. φRφp

φm= Lr=

3.4. Fuerza dinámica relativa.

( ) −( )

1.4 Sustituir sobre el parámetro que no había sido seleccionado, para obtener la expresión correlacionada:

v L T 1−⋅= v φ ν φ

2−⋅( )⋅= ν φ

1−⋅=

1.5 Resultado: Expresión obtenida:

ε1:φ v⋅

νNRe

φ v⋅

ν= Número de Reynolds

1.6 Expresión para modelo (m) y prototipo (p):

φm vm⋅

νm

φp vp⋅

νp=

2. INFORMACION

2.1 Datos:

Modelo (agua):

φm 1= vm .= νm 1x 10 6−⋅= ρm 1=

Prototipo (petróleo):


------ Ec.3)N T 1−=

------ Ec.1)D L=

------ Ec.2)ρ M L 3−⋅=

Q L3 T 1−⋅=



Solución

________________________________________________Ejemplo 4.9

El accionar de un ventilador se cree que depende de la densidad del fluido, el flujo volumétrico, el diámetro del impulsor, y de la velocidad angular. Si un ventilador con impulsor de 20 cm entrega un caudal de20.5 metros cúbicos por minuto de aire a una velocidad angular de 2400 rpm. ¿Que flujo volumétrico podría esperarse para un ventilador geométricamente similar con 40 cm de diámetro de impulsor y se mueve a 1850 rpm?

Fr1

0.86

1

10

3⋅ 3.45( )⋅ 0.029( ) 1−

⋅= 0.138=4.3. Fuerza dinámica relativa.

Tr

1

10

3.45= 0.029=4.2. Tiempo relativo.

vR10

1

1.0x 10 6−⋅

2.9x 10 6−⋅⋅= 3.45=4.1. Velocidad relativa

4. CALCULOS

Fr ρR Lr( )3⋅ vR⋅ Tr 1−

⋅=

Vr Lr( )3=Como:

FrFm

Fp=

mm am⋅( )

mp ap⋅( )=

ρm Vm⋅( ) vm Tm 1−⋅( )⋅

ρp Vp⋅( ) vp Tp 1−⋅( )⋅

= ρr Vr⋅ vR⋅ Tr 1−⋅=


Qm

Dm3 Nm⋅

Qp

Dp3 Np⋅=

2. INFORMACION

2.1 Datos:

Modelo: Qm 20.5m3

min⋅= Nm 2400 rpm⋅= Dm 20 cm⋅=

Prototipo: Qp= ? ? Np 1860=( ) rpm⋅ Dp 40 cm⋅=

2.2 Requerimiento:

Caudal del prototipo

3. FORMULARIO

De la ecuación para modelo y prototipo se despeja (Qp):

Qp QmDp3

Dm3⋅

Np

Nm⋅=

1.2 Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y valores ponderales la Tabla de dimensiones (Apéndice IV), según Método J.C.Toledo:




De la Ec. 2, despejar M y sustituir L: M ρ L3⋅= M ρ D3

⋅=


1.4 Sustituir sobre los demás parámetros, que no han sido seleccionados, para obtener las expresiones correlacionadas:

Q L3 T 1−⋅= Q D( )3 N( )⋅=

1.5 Resultado: ε1:Q

D3 N⋅

1.6 Expresión para modelo y prototipo:


Diámetro de la tubería que transporta agua.

2.2 Requerimiento:

µp 1.142 103×=ρp 1000=vp 2=φp .=

Prototipo (Agua):

µm 498=ρm 729=vm 4=φm 0.1=

ρm ρr ρw⋅= 0.729 1000( )= 729=Modelo (gasolina):

2.1 Datos:

2. INFORMACION

µm

ρm φm⋅ vm⋅

µw

ρw φw⋅ vw⋅=

1.2 Expresión para Modelo y prototipo. Para que el flujo se comporte de manera semejante, el número de Reynold debe ser igual para ambos: Gasolina (m); Agua (p):

NReµ

ρ φ⋅ v⋅=ε1:

1.1 Número de Reynolds. Aplicando el método, se llega a obtener la expresión del Número de Reynold:


Solución

La gasolina fluye a (v) 4 m/seg por una tubería de 10 cm de diámetro (φ). ¿Qué diámetro debe tener una tubería que transporta agua a una velocidad de 2 m/seg para que los números de Reynolds sean iguales. Considere 498 Kgm/seg.m la viscosidad absoluta (µ) y 729 kg/m3 la densidad (ρ) de la gasolina. Considere 1143 Kg/seg.m la viscosidad absoluta y 1000 kg/m3 la densidad del agua.

_____________________________________________________Ejemplo 4.10

Qp 127.1m3

min⋅=Qp 20.5( )

40

20

3⋅

1860

2400

⋅=

4. CALCULOS


3. FORMULARIO

De la expresión para modelo y prototipo se despeja el diámetro del prototipo.

φpµp

µm

ρm

ρp⋅

vm

vp⋅ φm⋅=

4. CALCULO

φp1.142 103×

498

729

1000

⋅4

2

⋅ 0.1( )⋅= 334.345 10 3−×=

φp 0.334 m⋅=

φp 33.4 cm⋅= Diámetro de la tubería que transporta agua.

_____________________________________________________Ejemplo 411

Una bomba hidráulica capaz de enviar 15 litros/seg de agua (Q) hasta 12 m de altura (Hd), giran sus álabes a una velocidad rotacional de 1000 rev./min (N). Calcule la altura que alcanzará a elevar una bomba similar pero dos veces más grande y que descarga 45 litros/seg. Además calcule la potencia de la flecha de la segunda bomba. Considere que su eficiencia de ambas es de 100%.

Solución

El problema enunciado es del tipo modelo y prototipo, en este caso ambos operan con el mismo fluido agua. Por lo tanto su solución requiere considerar las leyes de semejanza hidráulica en lo concerniente a los parámetros involucrados.


Los parámetros que se mencionan en el enunciado son: Q, Hd, D, N, Po, µ, ρ. Aplicando el método, se llega a obtener las expresiones llamadas Leyes de semejanza hidrostática.

Observe que se anularon los parámetros fluídicos (µ, ρ), porque el fluido es el mismo en ambos equipos:

Ley-Relación de alturas de descarga (Hd).


Np NmDm3

Dp3⋅

Qp

Qm⋅=3.1 Velocidad rotacional:

De Ec.2 se despeja:

3. FORMULARIO

Tabla de datos

Hdm Nm Dm Qm Pom Hdp Np Dp Qp Pop Calcular

Ec.1 12 1000 1 ?? ? 2 Hdp

Ec.2 1000 1 15 ? 2 45 Np

Ec.3 1000 1 ??? ? 2 ??? Pom/Pop

Altura que alcanza a elevar la bomba grande y su potencia.

2.2 Requerimiento:

Dp 2=Np = ??Qp 45litros

seg⋅=Hdp = ??Prototipo

(Bomba grande):

Dm 1=Nm 1000 rpm⋅=Qm 15litros

seg⋅=Hdm 12 m⋅=Modelo

(Bomba chica):

%f 1.0=γW 1000kgf

m3⋅=2.1 Datos:

2. INFORMACION

-----------Ec.3)Pom

Pop

Nm

Np

3 Dm

Dp

5

⋅=

Ley-Relación de potencias (Po).

-----------Ec.2)Qm

Qp

Nm

Np

Dm

Dp

3

⋅=

Ley-Relación de caudales (Q)

-----------Ec.1)Hdm

Hdp

Nm

Np

2 Dm

Dp

2

⋅=


4.5 Potencia de la bomba grande (prototipo):___________________________________________________Ejemplo 4.12

Pom 2.368 HP⋅=Pom

1000kgf

m3⋅ 0.015

m3

seg⋅

⋅ 12 m⋅( )⋅

76

kgf m⋅( )

seg

HP

⋅ 1.0( )⋅

=

%f 1=

Qm 15litros

seg⋅

1 m3⋅

1000 litros⋅

⋅= 0.015m3

seg⋅=4.4 Potencia

de la bomba pequeña (modelo):

Por1000

375

3 1

2

5⋅= 0.593=4.3 Potencia relativa:

Hdp 12( )375

1000

2⋅

2

1

2= 6.75 m⋅=

4.2 Altura que alcanza a elevar la bomba grande.

Np 1000( )1

2

3 45

15

= 375 rpm⋅=4.1 Velocidad rotacional:

4. CALCULOS

Popγ Qp⋅ Hdp⋅( )

76 %f⋅=Compruebe resultado con esta fórmula:

PopPom

Por=Despejando:

PorPom

Pop=3.5 Potencia de la bomba grande (prototipo):

Pomγ Qm⋅ Hdm⋅( )

76 %f⋅=3.4 Potencia de la bomba pequeña (modelo):

PorNm

Np

3 Dm

Dp

5

⋅=3.3 Potencia relativa. De Ec.3 se despeja:

Hdp HdmNp2

Nm2⋅

Dp2

Dm2⋅=3.2 Altura que alcanza a elevar la bomba grande.

De Ec.1 se despeja:


Ley-Relación de caudales: Qm

Qp

Nm

Np

Dm

Dp

3

⋅= -----------Ec.2)

Ley- Relación de potencias.

Pom

Pop

Nm

Np

3 Dm

Dp

5

⋅= -----------Ec.3)

2. INFORMACION

2.1 Datos:

Modelo (Mayor velocidad de rotación):

Hdm 30 m⋅= Qm 40litros

seg⋅= Nm 1750 rpm⋅= Pom 20 hp⋅= Dm 1=

Prototipo (Menor velocidad de rotación):

Dp 1=Hdp = ?? Qp= ? ? Np 1450 rpm⋅= Pop= ??

Una bomba centrífuga de 20 HP de potencia mueve 40 litros/seg de agua y una carga total de 30 m está funcionando a 1750 rpm. ¿Cómo funcionaría si se reduce su velocidad a 1450 rpm. Calcular altura de descarga, caudal y la potencia que requiere?

Pop2.368

0.593= Pop 3.993 Hp⋅= γ 1000:=

4,6 Comprobando con la fórmula para cálculo de potencia:

Qp 0.045:= Hdp 6.75:= %f 1.0:=Solución

El problema enunciado es del tipo Modelo y prototipo, aunque en este caso es la misma bomba (mismo tamaño) operando bajo dos condiciones distintas con el mismo fluido agua. Por lo tanto su solución requiere considerar las leyes de semejanza hidráulica en lo concerniente a los parámetros involucrados.

Popγ Qp⋅ Hdp⋅( )

76 %f⋅:=Pop

1000kgf

m3⋅ 0.045

m3

seg⋅

⋅ 6.75 m⋅( )⋅

76

kgf m⋅( )

seg

HP

⋅ 1.0( )⋅

=

Pop 3.997= Hp 1. ANÁLISIS DIMENSIONAL

Los parámetros que se mencionan en el enunciado son: Q, Hd, D, N, Po, µ, ρ. Aplicando el método, se llega a obtener las expresiones llamadas, leyes de semejanza hidrostática y que son:

Los resultados son iguales

-----Ley- Relación de columnas hidrostáticas (alturas de descarga):

Hdm

Hdp

Nm

Np

2 Dm

Dp

2

⋅= -----------Ec.1)


___________________________________________________Ejemplo 4.13

En el ensayo con una turbina Francis, en el banco de pruebas y en el punto de óptimo rendimiento se obtuvieron los siguientes datos: Salto (Hd=5m), Caudal (Q=1.5 m3 /seg), Velocidad de rotación (N=200 rpm), Potencia (Po=55 kw), Diámetro rotor (D=750 mm). Considere como parámetro la densidad del fluido agua.Calcular:a) El rendimiento mecánico y la velocidad específicab) Si la turbina se instala a un salto de 15 m, calcular N, Q, Po, funcionando en el punto de óptimo rendimiento.

Pop 20( )1450

1750

3 1

1

5= 11.377 HP⋅=4.3. Potencia:

Qp 40( )1450

1750

1

1

3= 33.143

rev

sec⋅=4.2. Caudal:

Hdp 30( )1450

1750

2⋅

1

1

2= 20.596 m⋅=4.1. Altura de descarga:

4. CALCULOS

Pop PomNp

Nm

3

⋅Dp

Dm

5

⋅=3.3 La potencia: De Ec.3 se despeja:

Qp QmNp

Nm

⋅Dp

Dm

3

⋅=3.2 El caudal: De Ec.2 se despeja:

Hdp HdmNp2

Nm2⋅

Dp2

Dm2⋅=

3.1 Altura que alcanza a elevar la bomba grande:De Ec.1 se despeja :

De las expresiones Ec.1, Ec.2, Ec.3, para modelo y prototipo:

3. FORMULARIO

Altura que alcanza a elevar, el caudal y la potencia de la bomba de menor velocidad de rotación.

2.2 Requerimiento:


M ρ L3⋅= M ρ D3

⋅=


1.4 Sustituir sobre los demás parámetros, que no han sido seleccionados, para obtener las expresiones correlacionadas:

pd M L 1−⋅ T 2−

⋅= pd ρ D3⋅( ) D( ) 1−

⋅ N( )2= Pd ρ D2⋅ N2

⋅=

Po M L2⋅ T 3−

⋅= po ρ D3⋅( ) D( )2

⋅ N( )3= po ρ D5⋅ N3

⋅=

Q L3 T 1−⋅= Q D( )3 N( )⋅= Q D3 N⋅=

1.5 Expresiones obtenidas:

Solución


1.1 Listar los parámetros que intervienen y sus correspondientes expresiones dimensionales. Vea Tabla de dimensiones (Apéndice IV) .

D L= ------ Ec.1)

ρ M L 3−⋅= ------ Ec.2)

N T 1−= ------ Ec.3)

pd M L 1−⋅ T 2−

⋅=

Po M L2⋅ T 3−

⋅=

Q L3 T 1−⋅=

1.2 Aplicar el criterio de selección de los parámetros primarios y datos de la Tabla de dimensiones, según Método J.C.Toledo:




De la Ec. 2, despejar M y sustituir L:


PoReal 55 kwatt⋅1000 watt⋅( )

kwatt⋅=

Modelo (Menor velocidad de rotación):

ρm 1000kg

m3⋅=g 9.81

m

seg2⋅=2.1 Datos:

2. INFORMACION

---------Ec. 7)Nm Pom

1

2⋅

Hdm

5

4

Np Pop

1

2⋅

Hdp

5

4

=(Nm)espec = (Np)espec

Si se relacionan la Ec. 4 con la Ec. 5 se eliminan los (D) (porque es el mismo diámetro para modelo que prototipo) y se obtiene la igualdad en velocidad específica, Ec. 7:

--------- Ec.6)Qm

Dm3 Nm⋅

Qp

Dp3 Np⋅

=

---------Ec. 5)Pom

Dm5 Nm3⋅

Pop

Dp5 Np3⋅

=

--------- Ec.4)hdm

Dm2 Nm2⋅

hpd

Dp2 Np2⋅

=

1.6 Expresiones para modelo (m) y prototipo (p). Previa eliminación de las propiedades físicas, que se anulan por tratarse de un mismo fluido en el modelo y en el prototipo:

γ hd⋅

ρ D2⋅ N2

⋅

Como la presión de descarga (pd) se puede expresar en términos de altura hidrostática (h) y del peso específico (γ) del fluido, la expresión (ε1) también se puede escribir así:

Q

D3 N⋅

ε3:Po

ρ D5⋅ N3

⋅

ε2:pd

ρ D2⋅ N2

⋅

ε1:


4.1. Potencia teórica:

a) Rendimiento mecánico y velocidad específica de la turbina:

4. CALCULOS

Qp QmDp3

Dm3⋅

Np

Nm⋅=

3.6 Caudal. De la ec. 6) despejar Qp:

Pop PomDp5

Dm5⋅

Np3

Nm3⋅=

3.5 Potencia. De la ec. 5) despejar (Pop):

Np Nm2 hdp

hdm

⋅Dm

Dp

2

⋅= NmDm

Dp

⋅hdp

hdm⋅=

3.4 Velocidad de rotación. De la ec. 4) despejar Np:

NsNm Pom

1

2⋅

Hdm

5

4

=3.3 Velocidad específica (ec. 7)

PoTeorica Qm ρm⋅ g⋅ Hdm⋅=3.2 Potencia Teórica:

ηPoReal 100⋅

PoTeorica=3.1 Eficiencia mecánica:

3. FORMULARIO

Varios 2.2 Requerimientos:

Np 1450 rpm⋅=Dp 750mm=Hdp = ??Qp= ? ? Pop= ??

Prototipo (Mayor velocidad de rotación):

Nm 200 rpm⋅=Dm 750mm=Hdm 5 m⋅=Qm 1.5m3

seg⋅=


..................................................................................................................................

v g h⋅=Solución:

Problema 4.1p Determine la expresión que sirve para calcular la velocidad de flujo (v) de un líquido que sale a través del orificio (φ) en la pared de un recipiente, ocasionado por la aceleración gravitacional (g).

_____________________________________________________4.8 Problemas propuestos

Qp 1.5( )750

750

3 346.41

200

= 2.598m3

seg⋅=

4.6 Caudal

Pop 55( )750

750

5 346.41

200

3= 285.788 Kw⋅=

4.5 Potencia

Np 200( )750

750

15

5

1

2= 346.41 rpm⋅=

4.4 Velocidad de rotación

b) Varios requerimientos usando el Salto del prototipo con valor de 15 m.

Ns200( ) 74.75( )

1

2

5( )

5

4

= 231.27 rpm⋅=4.3. Velocidad específica:

η 74.76%=η55000 100⋅

73570=

4.2. Eficiencia mecánica:

PoTeorica 1.5( ) 1000( )⋅ 9.81( )⋅ 5( )⋅= 7.357 104× watts⋅=


Problema 4.6p

..................................................................................................................................

f f NReε

φ,

⋅=Solución:

Problema 4.5p Obtenga la expresión que dé el coeficiente de fricción (f) si se sabe que depende del diámetro (φ) y del espesor de la rugosidad (ε) de la tubería. También de la veloidad de flujo (v), de la viscosidad absoluta (µ) y de la densidad (ρ ) del fluido. Considere el diámetro como parámetro mas influyente que el espesor de la rugosidad.

..................................................................................................................................

F L⋅ T 1−⋅Solución:

Potγ Q( )⋅ H⋅

75=

Problema 4.4p Obtenga la dimensión en el sistema FLT correspondiente a la potencia sabiendo que (γ) es el peso específico, (Q) es el caudal y (H) es la columna o altura hidrostática:

..................................................................................................................................

Solución:

Problema 4.3p Relacionando los siguientes parámetros: diámetro de tubería (φ), viscosidad (µ) y la densidad (ρ) de un líquido, velocidad de flujo (v) y la caída de presión (∆p): ¿Cuales son las expresiones relacionales que se obtienen usando el análisis dimensional?.

..................................................................................................................................

Solución: a = 1, b = 1, c= 1

P ρa

gb

⋅ hc

⋅=

Problema 4.2pLa presión en un punto de un fluido en reposo es la expresión de (P) , siendo r = densidad, g = gravedad y h = profundidad. Hallar los exponentes a, b. c, aplicando el análisis dimensional.


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Solución:

Se requiere una bomba centrífuga para entregar 0.71 m3 de agua y una carga de 45 m. El diámetro del rotor es de 30 cm y se va a accionar a 500 rpm. El prototipo va a ser modelado sobre un pequeño aparato de prueba que tiene un suministro de potencia de 3 HP a 1000 rpm. Para un funcionamiento similar entre prototipo y modelo calcular la carga, el flujo volumétrico y el diámetro del rotor del modelo.

Problema 4.9p

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∆p 100 Pascal⋅=v 0.666m

seg⋅=Solución:

Problema 4.8p En un tramo de tubería horizontal, de 2.54 cm de diámetro, fluye aceite (de viscosidad 3 veces mayor y densidad 2 veces mayor que el agua), a una velocidad promedio de 1 m/seg y produce una caída de presión de 450 Pascal en un tramo de 150 m. Si fluyera agua en esta misma tubería, calcule la velocidad de flujo y la caída de presión correspondientes, usando el análisis dimensional y la semejanza en modelos y prototipos.

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a = 1/2, b = 0, c = -1/2.Solución:

T k la

⋅ mb

⋅ gc

⋅=

Problema 4.7pAl estudiar experimentalmente las magnitudes de que depende el período (T) de un péndulo parece deducirse que puedan influir sobre él la longitud del hilo (l), la masa del péndulo (m) y el valor de la aceleración de la gravedad (g) en el lugar de la experiencia. Obtener mediante el análisis dimensional la fórmula del período del péndulo.

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F/A = µ(v/y)Solución:

Un cuerpo se desliza a una velocidad sobre una película de aceite debido a una fuerza tangencial que se le aplica. Encuentre una expresión que relacione la velocidad de deslizamiento (v), el espesor de la película (e), la densidad (ρ) y viscosidad (µ) del aceite, la fuerza tangencial (F) y el área de contacto (A).


Problema 4.10p

Se pretende predecir el comportamiento de un instrumento a partir de datos de pruebas efectuadas dentro de un túnel de viento. El instrumento es esférico. El instrumento prototipo tiene 30 cm de diámetro y se va a arrastrar a 5 nudos (millas náuticas por hora) en agua de mar a 5 oC. El instrumento modelo tiene 15 cm de diámetro. Calcule la velocidad de prueba requerida del aire. Si la fuerza de arrastre del modelo en las condiciones de prueba es de 25 Nw, estime la fuerza de arrastre en el prototipo. Considere las siguientes propiedades: del agua (densidad=1100 kg/m3 y viscosidad cinemática=1.14 m2/seg); del aire

(densidad= 1.19 kg/m3 y viscosidad cinemática=0.124 m2/seg).

Solución: fp 273.4 Nw⋅=


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