material mate propedeutico ed dis

Programa de Fortalecimiento de Habilidades para el Aprendizaje – Matemáticas

Lerma P, Ponce U, Rosales N. Sesión 1 - 1

1. Introducción Según el diccionario de la lengua española la Aritmética es “parte de las matemáticas que estudia los números y las operaciones hechas con ellos”. Diferentes culturas han contribuido al desarrollo de la Aritmética, siendo la más importante la de los griegos, destacando de esta a Pitágoras el cual dio una connotación filosófica a los números al afirmar: todo es número, el uno es lo divino, el origen e identidad de las cosas. No necesitamos ser Pitágoras, ni ser griegos para entender la Aritmética, de hecho todos la usamos en todo momento, desde que nacemos tenemos registro de la cantidad de voces que escuchamos, de viejos contamos cada una de las historias vividas, por lo que cantidades y cuentas es lo que llevamos a cuestas cada día. Se puede decir que la Aritmética no solo es la base de las matemáticas sino que también de nuestra vida. Es un lenguaje que debemos aprender y dominar en ciertos momentos, ya que esta nos habla a través de los números, y estos a través de la curiosidad son el origen de nuestros cálculos, sino, ¿Cómo contaríamos la cantidad de años que tenemos? ¿Cómo sabríamos cual es nuestro salario en función de lo trabajado? ¿Cómo calcular la velocidad con que viajamos de un lugar a otro? De acuerdo a todas estas cuestiones, está claro que debemos tener conocimiento de las clases de números existentes, sus propiedades esenciales y de las operaciones fundamentales que se pueden llevar a cabo con ellos. Clases de números Hemos utilizado la palabra número con poca precisión, por lo que será necesario distinguir distintas clases de números. Los números mas sencillos son los “números de contar”

N={1, 2, 3, …} O también llamados números naturales, este conjunto de números es denotado por el símbolo N. El conjunto N puede presentar deficiencias al momento de querer efectuar operaciones básicas, ya que aquí no se presenta el numero 0, estas deficiencias pueden ser remediadas en parte extendiendo este sistema al conjunto de los enteros

Z={…, -2, -1, 0, 1, 2, …} Este conjunto se designa por Z (del alemán Zahl, número). Un sistema mas amplio de números se obtiene tomando cocientes m/n de enteros (con n≠0). Estos números reciben el nombre de números racionales, y el conjunto de los números racionales se designa por Q (del ingles Quotient, cociente).

Q={…, 1/3, 2/5, 6/7, -3/9, -19/11, …}



Existe sin embargo una colección todavía más amplia de números: el conjunto de los números reales, designado por R. Los números reales incluyen no solo los números racionales, sino también otros números (los números irracionales) que pueden ser representados por decimales infinitos; π, y √2 son ambos ejemplos de números irracionales

Propiedades de los números reales

Terminología Caso general Significado (1) La adicion es

conmutativa a+b=b+a El orden es intrascendente cuando se suman dos números

(2) La adicion es asociativa a+(b+c)=(a+b)+c

La agrupación es intrascendente cuando se suman tres cifras

(3) 0 es la identidad aditiva a+0=a Sumar 0 a cualquier cantidad

produce la misma cantidad (4) –a es el inverso

aditivo o negativo de a

a+(-a)=0 Sumar una cifra y su inverso da 0

(5) La multiplicación es conmutativa ab=ba El orden no tiene importancia

al multiplicar dos números

(6) La multiplicación es asociativa a(bc)=(ab)c

La agrupación carece de importan al multiplicar tres cifras

(7) 1 es la identidad multiplicativa a×1=a Multiplicar cualquier numero

por 1 da el mismo numero (8) Si a≠0, 1/a es el

inverso multiplicativo o reciproco de a

a(1/a)=1 Multiplicar un numero diferente de 0 por su reciproco da 1

(9) La multiplicación es distributiva sobre la adicion

a(b+c)=ab+ac y (a+b)c=ac+bc

Multiplicar un numero y la suma de dos cifras equivale a multiplicar cada cifra por el numero y luego sumar los resultados

NUMEROS NATURALES

DECIMALES

COMUNES (QUEBRADOS)

ENTEROS

NUMEROS REALES

POSITIVOS

NEGATIVOS

RACIONALES

IRRACIONALES

RACIONALES

IRRACIONALES

FRACCIONARIOS

ENTEROS

FRACCIONARIOS



Suma y resta con números enteros Si a un matemático se le mencionan los números reales, es probable que, sin el quererlo, se forme en su mente la imagen de una recta. Esta intuición geométrica le permitirá interpretar posiciones acerca de números en términos de esta imagen e incluso intentar realizar operaciones básicas con estos. Para un físico los signos “+” y “-” significan desplazamientos hacia un sentido u otro, en el caso de situarse sobre la recta numérica, estos signos representan un desplazamiento hacia la derecha o a la izquierda respectivamente, estas condiciones nos pueden ayudar a comprender las operaciones de suma y resta de números reales. Por ejemplo:

+5 significa desplazarse 5 unidades a la derecha partiendo del origen -5 significa desplazarse 5 unidades a la izquierda partiendo del origen

a) Si se tiene -5+3 significa que primero hay que desplazarse 5 unidades a la izquierda y luego 3 a la derecha

Quedando finalmente en el -2. Por lo que -5+3=-2

b) Ahora se tiene -4-2. En este caso el primer término que es -4 nos dice que hay que desplazarse a la izquierda, el -2 indica seguir con el desplazamiento a la izquierda otras dos unidades quedando finalmente en el -6

Por lo que -4-2=-6 ó –(4+2)=-6

-5 0 5

⎯→⎯+5⎯⎯←−5

-5 -2 0 5

⎯→⎯+3

⎯⎯←−5

-6 0

⎯⎯←−2 ⎯⎯←−4



c) El uso de la recta numérica no solo está restringido para representar gráficamente desplazamientos como en los ejemplos anteriores, algunas veces se usa como línea del tiempo, otras para indicar ascensos y descensos de temperatura. Lo mas importante del uso de la recta numérica es explicar cómo se realiza la suma o resta con números positivos o negativos, asi es que algunas veces se puede prescindir de ella para realizar solo los cálculos que los diferentes problemas requieran.

d) Cuando se realiza una suma en la que el primer termino o numero es positivo, entonces se puede prescindir del signo +

Es decir, si se tiene la suma +7+3=10, es lo mismo que escribir 7+3=10 e) 7+(-4)

Significa que a un desplazamiento de 7 unidades a la derecha se le va a sumar un desplazamiento hacia la izquierda de 4 unidades, quedando en el 3 por lo que 7+(-4)=3 ó 7-4=3

f) Para entender mejor la suma o resta de números enteros reales hay que utilizar las leyes de los signos que dicen

× o ÷ + - + + - - - +

Por ejemplo 7+(-4)=3 se hace la multiplicación de los signos + y – dando por resultado 7-4=3 7+[-(-4)]=11 primero se hace la multiplicación del signo que esta dentro del paréntesis con el que esta a su izquierda, es decir -(-4)=+4=4, quedando así la suma 7+[4]=11 Por lo que la sumas y restas 7-(-4)=11 7-[+(-4)]=11 Son equivalentes

g) A partir de 0º centígrados se observo un descenso de temperatura de 10º y después

un aumento de 7º ¿Cuál es la temperatura después de los dos cambios? Solución: El descenso de temperatura se representa como: -10º El ascenso de temperatura como: +7º Por lo que la temperatura final luego de los cambios es: -10º+7º=-3º



E1.1. Suma y resta con números enteros:

1. Completa la siguiente tabla M -18 -22 18 128 15 1428 -64 -43 37 N 14 -47 -26 -241 17 -356 -22 27 -58 m+n m+(-n)

Resuelve las siguientes sumas y restas

2. -20-20+15 3. -11+15+(-13)+(-7-14) 4. -8+(4-(-16))+14-5 5. (27-15+17)+(6-(3+2)) 6. 12+15-14+(-2) 7. ¿De cuantos años murió una persona que nació en el año 38 a. de C. y murió en el

año 17 d. de C.?

8. Un ciclista realiza sobre un camino recto un recorrido de 8km a la derecha del punto de partida, y desde el punto al que llegó realiza otro recorrido de 20km al mismo camino recto, pero hacia la izquierda. Al final de los dos recorridos, ¿queda el ciclista a la derecha o a la izquierda del punto de partida?

9. Un padre de familia sale de su hogar con $7428 a realizar sus compras. Si regresa a

su casa con una deuda de $820, ¿Qué numero entero representa la deuda? ¿Qué numero entero representa el valor total de sus compras?

Multiplicación y División de números enteros Tanto para la multiplicación como para la división de números reales se utiliza las leyes de los signos

× o ÷ + - + + - - - +

Para realizar la multiplicación o la división, estas se hacen primero sin hacer caso de los signos que anteceden a los términos y en el resultado se pondrá el signo resultante de la multiplicación o división de los signos de los términos



La operación de × (multiplicar) se puede representar también con los signos “·” ó “( )” Ejemplos:

a) 5×3=15 5·3=15 (5)(3)=15

b) (-4)(7)=? Primero se hace la multiplicación de los números ignorando el signo de los mismos (4)(7)=28 Luego se hace la multiplicación de los signos (-)(+)=- Por lo que el resultado final (-4)(7)=-28

c) (-3)(-4)(5)=?

(3)(4)(5)=60 (-)(-)(+)=+ Por lo que el resultado final (-3)(-4)(5)=60

d) (4)(2)(-3)=? (4)(2)(3)=24 (+)(+)(-)=- (4)(2)(-3)=-24

La operación de ÷ (dividir) se puede representar también con los signos “:” ó “/” Ejemplos

a)

22:4

224224

224

=

==

=÷

ó

b) Para dividir un numero entre otro diferente de cero, se multiplica por el reciproco

63

183118318 ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=÷

c) 6÷(-3)=?

6÷3=2 + ÷ - = - 6÷(-3)=-2

d) -10÷(-2)=? 10÷2=5 - ÷ - = + -10÷(-2)=5



E1.2. Multiplicación y División con números Enteros. Completa el siguiente cuadro de multiplicaciones

× -2 5 -4 -9 -5 0 -10 11 -3 -12 -5 10 15 -8 -2 2

-10 -20

Completa el cuadro con aquellas divisiones que tengan solución en Z (números enteros)

÷ 2 -10 -8 -5 -12 4 -1 -8 1 -40 -80 80

-150 -64 -25 150

Jerarquía de Operaciones y Signos de Agrupación ¿Qué operación se realiza primero? 5+2×8÷4-3=? Cuando se tienen distintas operaciones indicadas en una expresión primero se comienza con las divisiones y multiplicaciones y luego las sumas o restas. Se pueden utilizar signos de agrupación para realizar las operaciones: paréntesis ( ), corchetes [ ] o llaves { } Para realizar la división de un numero entre otro, se multiplica por el reciproco

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=÷

baba 1·

De esta manera, las divisiones pasan a escribirse en forma de multiplicación, por lo que la operacion

5+2×8÷4-3=? Queda ?341825 =−××+



Se agrupan los términos que se multiplican:

?341825 =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ××+

Se realiza la multiplicación 5+4-3=? Finalmente se realizan las sumas y restas indicadas 5+4-3=6 Ejemplo {25÷[-9-(-2×2)]}×(3-7)=? Primero se eliminan los signos de agrupación realizando las operaciones indicadas, se debe iniciar por los signos que se encuentran más hacia el interior de la expresión {25÷[-9-(-2×2)]}×(3-7)=? {25÷[-9-(-4)]}×(3-7) =? {25÷[-9+4]}×(3-7)=? {25÷[-5]}×(3-7)= ? {25÷-5}×(3-7)= ? -5×(3-7)= ? -5×(-4)= 20 E1.3. Jerarquía de operaciones. Resuelve las siguientes operaciones, cambiando la división indicada por la multiplicación del reciproco

1. 5×6÷2×4÷2×7 2. 50+15÷5×3-9÷3×4+6×4÷6 3. 10÷2+8÷4-21÷7 4. 4×5-3×2+10÷5-4÷2 5. 3×6÷2+10÷5×3 6. 10÷5+4-16÷8-2+4÷4-1 7. 8×5+4-3×2+6÷3 8. 40÷5×5+6÷2×3+4-5×2÷10 9. 72÷8+3-4×2÷4+6 10. 6×5×4÷20+20÷4÷5



Resuelve las siguientes operaciones

11. 300÷[(15-6)÷3+(18-3)÷5] 12. 9[15÷(6-1)-(9-3)÷2] 13. [15+(8-3)×5]÷[(8-2)÷2+7] 14. 500-{(6-1)8÷4×3+16÷(10-2)}-5 15. {[(((5-2)×2)-1)×8]+9}÷7 16. (7-9)×5((4+5)÷3-4) 17. [(25+5)÷(-6)]+{7-[4×2÷(5-(3÷3))]} 18. 6×[-4×(5+7-1+9)-7]-9 19. (8-5)-(-5-2)-(-20+18)-7 20. -7-3×[-3+5×(10-1)]+1 21. [-(-3+10)-(-7+11-7)]-[-4-(-8+13)] 22. {4×(-7-3)÷[-(1-(6+3)] 23. [(((4×3)-4)÷8)+(-1)] 24. [((3×3)+3)-11+((15÷3)+(-27÷9)] 25. 5-7×2+(81÷3-27)+((((((1+48)÷7)-15)-20)÷4)×7) 26. [3×(-8)-27]÷17-3

Notación exponencial La notación exponencial es una herramienta que sirve para escribir de manera más compacta a un numero que se está multiplicando por si mismo varias veces , Por ejemplo:

a) 3×3×3×3×3×3×3 3 es el numero que se está multiplicando varias veces y se le llama base, 7 veces son las que aparece el numero 3 y se le llama exponente, Utilizando la notación exponencial se tiene que 3×3×3×3×3×3×3 = 37

b) 7×7×7×7

La base es 7 y el exponente es 4 por lo que usando notación exponencial 7×7×7×7=74



c) 4×4×4×4×4×9×9×9×9 Ahora se presentan dos números que se multiplican a si mismos varias veces, usando notación exponencial se tiene: 4×4×4×4×4×9×9×9×9 = 45×94

=45 =94 d) 6×7×8×8×6×7×8×6×6×6×7×8

Como la multiplicación es conmutativa, entonces se pueden agrupar las bases iguales para tener ahora la expresión equivalente 6×6×6×6×6×7×7×7×8×8×8×8 Utilizando notación exponencial 6×6×6×6×6×7×7×7×8×8×8×8 =65×73×84

E1.4. Notación exponecial. Utiliza la notación exponencial para reescribir las siguientes expresiones

1. 6×6×6×6×6 2. 5×5×5×5×5×5×5 3. 8×8×8×8×8×3×3×3×3×3×3 4. 7×6×7×6×7×6×7×6×7 5. 2×4×3×2×3×4×2×3×4×2×3×4×5 6. 2×9×3×7×5×6×6×5×7×3×9×2 7. 9×9×9×9×9×9×9×9×9×8×8×8×8×8×8×8×8×8×3×3×3×4×4×4×4 8. 12×13×17×18×29×3×2×13×17×17 9. 2×3×4×5×6×7×8×9



2. Factores En matemáticas un factor (“divisor propio de un numero entero”) es un numero entero que divide de forma exacta a otro número, ejemplificando con la notación para una división

residuo

CocienteDividendoDivisor

Si deseamos conocer un factor (divisor) de una cantidad dada (dividendo), el residuo de la división debe de ser cero; por ejemplo el numero 24 tiene los factores 24, 12, 8, 6, 4, 3, 2 y 1 (los factores también pueden ser negativos, pero en general los factores de interés inicial son los factores positivos), se puede comprobar muy fácilmente que:

24124y 12

224 , 8

324 , 6

424 , 4

624 , 3

824 , 2

1224 , 1

2424

========

Note como todos los números especificados dividen de forma exacta (o sea el residuo de la división es cero) al número 24, todos ellos son enteros, por esta razón se denominan como factores del número 24. E2.1. Factores de un número.

Encuentra todos los factores para los siguientes números: 1. 5 2. 6 3. 16 4. 28 5. 30 6. 33 7. 37

8. 45 9. 50 10. 57 11. 81 12. 97 13. 99 14. 105

15. 140 16. 144 17. 165 18. 169 19. 178 20. 210

Números Primos. Los números primos son los números que tienen únicamente dos factores distintos: el mismo y la unidad (el número 1). Estos son los números que se emplean para lograr factorizar de una forma más práctica cualquier número, muchas de las veces la expresión “factorizar un número” implica el obtener todos los factores primos que lo conforman. Por ejemplo: El número 2 es un número primo porque únicamente puede ser dividido por 1 y por el mismo, es decir por 2, cualquier otra cantidad mayor a 2 no divide de forma exacta al 2.



El número 1, por convenio no se considera número primo, ni número compuesto, sino que se define como la unidad (la unidad también se conoce como neutro multiplicativo, porque cualquier cantidad que se multiplica por uno sigue dando la misma cantidad como resultado). Los números primos menores que cien son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Reglas para descomponer en número primo Algunas reglas para saber si un número es factorizable por los primeros números primos son: - Un número es divisible por 2 si y solo si su último dígito es divisible por 2. - Un número es divisible por 3 si y solo si la suma de sus dígitos es divisible por 3. - Un número es divisible por 5 si y solo si su último dígito es 0 o 5. - Un número es divisible por 11 si y solo si la suma alternada (uno positivo y otro

negativo) de sus dígitos es divisible por 11 (p.ej. 182919 es divisible por 11 porque 1-8+2-9+1-9 = -22 es divisible por 11)

Por ejemplo:

1 es fianl resultado el cuendo aion terminfactorizac de proceso el3por exacta forma de divisible unicamente es resultado este

6 de debajo anotamos lo resultado el 2,por divisible es12 de debajo anotamos lo resultado el 2,por divisible es24 de debajo anotamos lo resultado el 2,por divisible es

136

1224

=

3222

136

1224

La columna derecha es el factor que divide, la izquierda el cociente o resultado de la

división. rescribiendo este proceso podemos notar como el número 24 se compone de los siguientes factores

322224 ×××=

Es importante notar que otros factores de 24 se pueden obtener combinando los factores primos es decir anteriormente se vio que el número 24 tiene los factores 2, 4, 6, 8 y 12. Observe como los números 4, 6, 8 y 12 se pueden factorizar de la siguiente forma: en

224 ×= , 326 ×= , 2228 ××= y 32212 ××= .

“Se recomienda factorizar un número o cantidad en números primos cuando así sea necesario para operaciones de simplificación aritmética o algebraica”.



Ejemplos resueltos. Factorice las siguientes cantidades: a) 1125;

En este caso observamos que el número contiene al final un cinco, por tanto conviene comenzar la factorizacion con dicho número primo

5

2251125

Dividimos 1125 entre 5, el resultado es 225, este lo

colocamos por debajo de 1125 y se continua repitiendo la operación

225 de forma similar termina en 5, por ello se vuelve a probar con el número 5, y se continua con la operación

55

45225

1125

Dividimos 225 entre 5, el resultado es 45, este lo colocamos por debajo de 45 y se continua repitiendo la

operación

33555

13945

2251125

45 es divisible de nueva cuenta por 5, el resultado es 9, este es divisible por 3, el resultado es 3, este a su vez se puede dividir por 3 y así de forma final el resultado es 1.

El resultado para la factorizacion de 1125 en sus factores primos es

335551125 ××××=

*Nota. Potencias de un número y propiedad conmutativa de la multiplicación. Un número elevado a una potencia (superíndice a la derecha del número o exponente) indica el número de veces que este se multiplica así mismo, por ejemplo

5552 ×= se lee 5 elevado a la 2 (ó 5 al cuadrado) y significa que el 5 se multiplica por sí mismo 2 veces.

55553 ××= se lee 5 elevado a la 3 (ó 5 al cubo) y significa que el 5 se multiplica por sí mismo 3 veces.

555554 ×××= se lee 5 elevado a la potencia 4 ó cuarta potencia (ó simplemente 5 a la 4) y significa que el 5 se multiplica por sí mismo 5 veces. La ley conmutativa de la multiplicación nos dice que el orden de los factores no altera el producto y se expresa

)()( cbacba ⋅⋅=⋅⋅



Se muestra a continuación 303103)25(325 =×=××=×× ó 3065)32(5325 =×=××=××

Y se comprueba que en una multiplicación el orden de los factores no altera el producto. Esta nota se hace al respecto porque se puede aplicar al resultado obtenido como se muestra

323232 53)5)(3(5355533335551125 ⋅==×=××××=××××=

b) 936

En este caso el último de los dígitos es par, por ello se sabe que el número 936 es divisible por 2, sin embargo también se puede probar que 98118639 =+∴=++ y tanto 18 como 9 son divisible por 3, se comenzará la factorización con 2 pero se hace notar que en cierto momento aparecerá el factor 3 en el proceso:

3por divisible es 117decir es 9,711 como Note

1333222

11339

117234468936

=++

El resultado para la factorización en números primos de 936 es:

)13)(3)(2(13321333222936 2323 =⋅⋅=×××××=

c) 2937

En este caso, no es posible factorizar por 2, 3 ó 5, se probará la regla para dividir por 11:

117392 −=−+− , este número es divisible por 11, por lo tanto 2937 es divisible por 11

primo número es893por divisible es estey 15762

893

11

189267

2937=++

* Nota. Se recomienda comenzar la factorización de un número a sus factores primos comenzando con el 2, seguir con el 3 y así de forma ascendente, sin embargo no es



necesario hacerlo de esta forma; “es aconsejable utilizar también las reglas que se mencionan anteriormente”. * Nota 2. Prueba para determinar si un número mayor a 100 se eleva el número primo al cuadrado, si el resultado es mayor al número de interés y este no es divisible por ningún número primo anterior al que se elevo al cuadrado, este es un número primo ejemplo: Se sabe que 97 es un número primo, los números primos iniciales son 2, 3, 5, 7, 11 y 13; dado que 4977 =× y 1211111 =× , si 97 fuese divisible por 7 ú 11 de forma exacta o cualquier factor primo menor, entonces no seria un número primo, pero dado que no lo es y el 11 elevado al cuadrado es mayor a 97, se deduce que 97 es un número primo. E2.2. Factorización en números primos.

Realiza la Factorización en números primos para los siguientes números: 1. 12 2. 16 3. 18 4. 20 5. 24 6. 36 7. 38 8. 43 9. 44 10. 47 11. 49 12. 50 13. 56 14. 57 15. 59 16. 64

17. 77 18. 81 19. 85 20. 92 21. 97 22. 98 23. 108 24. 112 25. 113 26. 121 27. 131 28. 135 29. 144 30. 156 31. 157 32. 168

33. 176 34. 195 35. 210 36. 216 37. 225 38. 252 39. 344 40. 360 41. 396 42. 468 43. 504 44. 714 45. 775 46. 819 47. 2310 48. 2860



3. Mínimo común múltiplo. El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor número natural (distinto de cero) que es múltiplo de todos ellos. Para el cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números se descompondrán los números en factores primos y se tomarán los factores comunes y no comunes con su mayor exponente (mayor cantidad de veces que aparece un factor). Ejemplo: Encuentre el mínimo común múltiplo de los siguientes números: a) m.c.m.(50,20)

Primero se factorizan en sus factores primos cada uno de los números

552

152550

522

15

1020

en este ejemplo 25255250 ⋅=××= y 5252220 2 ⋅=××= , los factores primos que aparecen son 2 y 5, el mayor exponente en cada uno de los números es 22 y 25 , estos se toman para determinar el mínimo común multiplo

10052)20,50.(.. 22 =⋅=mcm

b) m.c.m.(32,50,14)

22222

1248

1632

552

152550

72

17

14

Los factores primos son 2, 5 y 7, el 2 es común a las tres cantidades, sin embargo el 5 y el 7 no lo son, a pesar de esto, se va a tomar la mayor cantidad de factores que aparece en cada uno de los números, es decir, en el 32 aparece 52 mientras que en el 50 y 14 aparece un solo factor 2, en el 50 aparece 25 y en el 14 aparece únicamente una vez el 7 (un solo factor 7), estos elementos forman el mínimo común múltiplo:

5600752)15,50,32.(.. 25 =⋅⋅=mcm



c) m.c.m.(18,75,21,30)

332

139

18

553

152575

73

1721

532

15

1530

Se va a tomar los

factores comunes y no comunes

elevados a la mayor potencia

23218 ×= 25375 ×=

7321 ×= 53230 ××=

es decir 7y 5 ,3 ,2 22

Por lo tanto

31507532)15,50,32.(.. 22 =⋅⋅⋅=mcm E3.1. Mínimo Común múltiplo.

Encuentre el mínimo común múltiplo para el siguiente conjunto de números: 1. [2, 4, 5] 2. [2, 3, 11] 3. [6, 8, 15] 4. [36, 48, 60] 5. [8, 14] 6. [3, 5, 7] 7. [10, 20, 30]

8. [21, 6, 4, 3] 9. [18, 15, 24] 10. [16, 25, 32] 11. [5, 7, 13] 12. [8, 12, 16] 13. [12, 9, 24, 16] 14. [15, 75, 3]

15. [26, 169, 4] 16. [39, 4, 6] 17. [8, 9] 18. [24, 36, 48] 19. [30, 45, 60] 20. [56, 64, 72]



4. Máximo Común Divisor El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números naturales es el mayor divisor posible de todos ellos. El método más utilizado para el cálculo del máximo común divisor de dos números es descomponer los números en factores primos y se tomarán los factores comunes con su menor exponente, el producto de los cuales será el m.c.d. Ejemplo: Encuentre el máximo común divisor de los siguientes números: a) m.c.d.(50,20)

Primero se factorizan en sus factores primos cada uno de los números

552

152550

522

15

1020

en este ejemplo 25255250 ⋅=××= y 5252220 2 ⋅=××= , los factores primos que aparecen son 2 y 5, el menor exponente en cada uno de los factores es 12 y 15 , estos se toman para determinar el máximo común divisor

1052)20,50.(.. 11 =⋅=dcm

b) m.c.d.(32,50,14)

22222

1248

1632

552

152550

72

17

14

Los factores primos son 2, 5 y 7, el 2 es común a las tres cantidades, sin embargo el 5 y el 7 no lo son, por esta razón solo se contemplara el factor 2 como elemento para calcular el máximo común divisor, el exponente menor es 1:

22)15,50,32.(.. 1 ==dcm



c) m.c.m.(18,75,21,30)

332

139

18

553

152575

73

1721

532

15

1530

Se va a tomar únicamente los factores comunes con el menor exponente

23218 ×= 25375 ×=

7321 ×= 53230 ××=

es decir 13

Por lo tanto

33)15,50,32.(.. 1 ==dcm

Ejercicio 1. Máximo Común Divisor. Encuentra el máximo común divisor del siguiente conjunto de números: 1. [4, 12] 2. [6, 15] 3. [9, 21] 4. [3, 16] 5. [12, 30] 6. [6, 15] 7. [8, 12]

8. [25, 12] 9. [75, 9, 24] 10. [24, 72, 144] 11. [96, 108] 12. [144, 360, 96] 13. [144, 176] 14. [90, 195]

15. [27, 18, 45] 16. [72, 63] 17. [126, 72] 18. [225, 360] 19. [49, 35, 70] 20. [64, 1000, 24]



6. Fracciones En matemáticas, una fracción (del vocablo latín fractus, roto), o quebrado es la expresión de una cantidad dividida por otra. Diversas fracciones pueden tener el mismo valor (llamadas fracciones equivalentes), y el conjunto de todas las fracciones equivalentes se denomina, en sentido estricto, número racional. Representación de las fracciones. Las fracciones se pueden representar de diversas formas, así, la fracción "tres dividido entre cuatro", "tres entre cuatro" o "tres cuartos" puede escribirse de cualquiera de estas formas:

4:3 ,53 ,43 ,

43

÷

En este ejemplo, el número 3 es llamado numerador y el 4 denominador. Las fracciones son números racionales, lo que significa que el numerador y el denominador son números enteros. También pueden ser representadas de forma decimal o gráfica. En el ejemplo de 3/4, representado en decimal da como resultado 0.75, mismo resultado que se obtiene al dividir 3 ÷ 4. En el caso de una representación gráfica se podría imaginar un círculo dividido en cuatro partes de igual proporción, de los cuales se le retiraría una de las cuatro partes, las siguientes tres partes sobrantes representarían la fracción 3/4. Clasificación de fracciones Existen diversas formas para clasificar fracciones, entre ellas están las siguientes: Según la relación entre el numerador y el denominador:

• Fracción propia: fracción que tiene su denominador mayor que su numerador: 3/6, 2/5, 3/4

• Fracción impropia: fracción en donde el denominador es menor que el numerador: 13/6, 18/8, 4/2

Según la relación entre los denominadores:

• Fracción homogénea: fracciones que tienen el mismo denominador: 3/4 y 7/4 • Fracción heterogénea: fracciones que tienen diferentes denominadores.

Según la relación entre el numerador y el denominador: • Fracción reducible: fracción en la que el numerador y el denominador no son

primos entre sí y puede ser simplificada. • Fracción irreducible: fracción en la que el numerador y el denominador son primos

entre sí, y, por tanto, no puede ser simplificada.



Otras clasificaciones:

• Fracción unitaria: fracción común de numerador 1. • Fracción aparente o entera: fracción que representa el entero: 3/3=1 4/4=1 • Fracción mixta: suma de un entero y una fracción propia. Las fracciones mixtas se

pueden expresar como fracciones impropias. • Fracción parcial: la que puede usarse para descomponer una función racional.

Simplificación de fracciones. En matemáticas se conoce como simplificación o reducción de fracciones a la acción de dividir numerador y denominador de una fracción por un mismo número con el objetivo de obtener una fracción equivalente. Un procedimiento para realizar esta división consiste en buscar un factor común tanto para el denominador como para el numerador, el máximo común divisor suele ser la mejor opción con este fin. Aquella fracción que no puede ser simplificada recibe el nombre de fracción irreducible. Una fracción es irreducible cuando, tanto numerador como denominador son relativamente primos (primos entre sí).se puede dividir por el que se pueda para obtener la fracción correspondiente. Ejemplo: Simplificar la fracción:

18072

Como primer paso se determinara el máximo común divisor, m.c.d. (72,180)

33222

139

183672

53322

15

154590

180

Reacuérdese que el m.c.d. son los únicamente los factores comunes con el menor exponente de ellos, es decir 36323322)180,72.(.. 22 =⋅=×××=dcm Ahora solo es necesario dividir tanto el numerador como el denominador por 36,

23672 =÷ y 536180 =÷ , anotando los resultados de manera respectiva en el numerador y denominador:

52

18072

=



Otra forma es dejar todos los factores tanto del numerador como del denominador e ir cancelando (dividiendo) uno a uno hasta que no existan factores comunes, en ese momento el resultado es la fracción simplificada:

( )52

521

5)3322(2)3322(

18072

=×=××××××××

=

los elementos del paréntesis son factores que al multiplicarse darán el mismo resultado, los cuales al dividirse resultan en la unidad, recordando que la unidad al multiplicar una cantidad genera el mismo resultado.

Ejemplo: Simplificar la fracción:

525350

Los factores de 350 y 525 son los siguientes:

7552

1735

175350

7553

1735

175525

El 17575)525,350.(.. 2 =⋅=dcm Al dividir el numerador y el denominador de la fracción inicial se obtiene el siguiente resultado.

32

)175/525()175/350(

525350

==

Este resultado se puede comprobar sustituyendo los factores primos del numerador y denominador de la fracción original, y dividiendo (cancelando) uno a uno hasta que no queden factores comunes ni en el numerador ni en el denominador:

32

3)755(2)755(

525350

=××××××

=



E6.1. Simplificación de fracciones.

Reduzca las fracciones siguientes a sus términos mínimos:

1. 124

2. 156

3. 128

4. 219

5. 3012

6. 2015

7. 6416

8. 3521

9. 4024

10. 1827

11. 2835

12. 3648

13. 6372

14. 3012

15. 72

126

16. 19590

17. 10896

18. 12896

19. 176144

20. 360144

21. 360225

22. 162288

23. 500125

24. 30001024

E6.2. Simplificación de fracciones.

Obtener los valores de las siguientes expresiones, y simplificar:

1. 2112 +

2. 6

720−+

3. 2115

9−

4. 11

1130−−

5. 212

8−

6. 164

8−

7. 1335

+−

8. 532018

+−

9. 4386

−−

10. 615129

−−−

Amplificación y simplificación de fracciones En matemática, amplificar una fracción es la acción de multiplicar tanto el numerador como el denominador de ésta, por un mismo número, con el objetivo de obtener una fracción equivalente1 a la fracción inicial. El procedimiento es válido para todo número real distinto de cero, ya que, haciendo uso de la propiedad que posee el elemento neutro multiplicativo, se puede tomar una fracción que



sea equivalente a 1 (elemento neutro) de tal manera que su numerador y denominador sean números reales iguales no nulos. Lo anterior se escribe como sigue. Sean los números reales cualesquiera distintos de cero, entonces se tiene que:

155

44

33

22

=====nn , donde n es cualquier número real.

No es válida para el número cero porque la división por cero no está definida. Aplicación de fracciones. Este procedimiento matemático es usado con frecuencia en muchas demostraciones matemáticas, ya que cualquier expresión que sea multiplicada por 1 no altera su valor. Así entonces, puede crearse una fracción equivalente a uno que nos sea útil en nuestra demostración. Otro ejemplo muy conocido es el de utilizar esta propiedad en la racionalización de fracciones, donde se usa la propiedad del elemento neutro multiplicativo para sacar la raíz inexacta de un número real del denominador. También se usa para comparar fracciones. Acá también es válida la simplificación, que en el fondo es lo mismo, ya que hace uso de las mismas propiedades y procedimientos. Ejemplo 1. Obtenga fracciones equivalentes para la siguiente fracción

31

en factores de 2, 3, 5, 7, y 11

62

2321

31

=××

= 93

3331

31

=××

= 155

5351

31

=××

=

217

7371

31

=××

= 3311

113111

31

=××

=

Por lo tanto se puede establecer que

3311

217

155

93

62

31

=====

En este ejemplo es importante hacer notar que se puede multiplicar por cualquier factor (número real), siempre y cuando la multiplicación se realice tanto al numerador como denominador de la fracción.



Ejemplo 2. A continuación se racionaliza la siguiente expresión

21

Al multiplicar el numerador y el denominador por 2 se multiplica por 1, note lo siguiente

22

)2()2(2

22

21

=⋅

=×

Nota: Éste ejercicio se detallará más adelante.

Ejemplo 3. También se usa este procedimiento para sumar fracciones (sumas y restas)

=+32

41

=⋅⋅

+⋅⋅

4342

3431

1211

128

123

=+

E6.3. Fracciones equivalentes.

En los siguientes ejercicios encuentre el numerador o denominador faltante, haciendo uso de amplificación y simplificación de fracciones:

1. 12

163=

2. 84

137=

3. 981

36=

4. 24

32 −=

5. 14

13570

=

6. 4411

3−

=

7. 8

32 −=

−

8. 284

3−

=−

9. 15

125 −

=−

10. 3913

3−

=−

11. 4812

5−

=−



7. Suma de fracciones. La suma de fracciones se puede dividir en suma de fracciones homogéneas y suma de fracciones heterogéneas. Suma de fracciones homogéneas Las fracciones homogéneas son aquellas cuyo denominador es igual, para sumar este tipo de fracciones solo es necesario sumar los numeradores y dejar el denominador común. Ejemplos:

a) 43

421

42

41

=+

=+

b) 1110

11352

113

115

112

=++

=++

Suma de fracciones heterogéneas La suma de dos o más fracciones heterogéneas se puede realizar de la siguiente manera: 1. Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores. 2. Se calculan los numeradores con la fórmula:

rDenominado)Numerador()MultiploComún Mínimo(Numerador ×

=

3. Se suman los numeradores (dado que las fracciones modificadas tienen el mismo denominador).



Ejemplos: Sumar las fracciones

a) 94

61+

1. Se determina el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones que

intervienen en la suma de fracciones. 18)9,6(.... ==mcm

2. Se calculan los numeradores.

Numerador de la primera fracción 36

118=

×

Numerador de la segunda fracción 89

418=

×

Las fracciones ahora son fracciones homogéneas, 188

183+

3. Se suman los numeradores:

1811

188

183

=+

Otra forma de expresar el procedimiento anterior es

b) 94

61+

1. Se determina el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones que

intervienen en la suma de fracciones.

18)9,6(.... ==mcm 2. Se calculan los numeradores.

1883

189

4186

118+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

El resultado entre paréntesis corresponde a los nuevos numeradores.

3. Se suman los numeradores: 1811

1883=

+



c) Realice la siguiente operación:154

185

242

++

1. Se determina el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones que intervienen en la suma de fracciones.

360)15,18,24(.... ==mcm 2. Se calculan los numeradores.


2360=

×


5360=

×

Numerador de la tercera fracción 9615

4360=

×

3. Se suman los numeradores

360226

3609610030

=++

Cuando sea posible (en este ejemplo lo es) es conveniente simplificar la fracción:

180113

360226

=

Resta de fracciones. El proceso de resta entre fracciones es similar a la suma de fracciones, solo es necesario respetar el signo del sustraendo al momento de simplificar los numeradores. Ejemplos: Encuentre la diferencia de

94

61−

1. Se determina el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones que intervienen en la suma de fracciones.

18)9,6(.... ==mcm 2. Se calculan los numeradores.


118=

×


418=

×

Las fracciones ahora son fracciones homogéneas, 188

183−

3. Se suman los numeradores:

185

1883

−=−



Para la suma algebraica de fracciones es importante seguir el procedimiento antes mencionado, solo respetando los signos negativos de los términos que lo tengan. Otra forma de hacer la resta y la suma de fracciones es por medio de productos cruzados como se indica a continuación

94

61−

94

61

−

54249

966491 −=

××−×

185

5415 −

=−

Este procedimiento implica la mayoría de las veces la simplificación del resultado. Sólo se utiliza de 2 en 2, es decir si por ejemplo se tienen tres fracciones, primero se tienen que sumar o restar dos, el resultado se suma o resta con el faltante. E7.1. Suma y resta de fracciones.

Obtener y simplificar el resultado de las siguientes operaciones:

1. 25

21+

2. 6

136

11+

3. 1313

138−

4. 116

1121

−−

5. 176

179

1720

+−

6. 1511

158

157

−+−

7. 32

21+

8. 61

23−

9. 83

32−

10. 65

43−−

11. 49

95−−

12. 67

21

35

+−

13. 165

32

++

14. 158

61

53

−−

15. 447

334

223

−+

16. 274

1811

157

+−

17. 2413

1511

92

−+

18. 7011

425

356

−+−

19. 31

187

2413

611

−−+−

20. 31

754

531 +−+−



Referente a la suma y multiplicación de fracciones. Definición de suma y multiplicación de fracciones.

Se define a la suma ),.(..

),.(..),.(..

dbmcmd

cdbmcmb

adbmcm

dc

ba ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

=+

Cuando solo se suman dos fracciones es posible aplicar la siguiente relación:

bdbcad

dc

ba +

=+

Se define la multiplicación

bdac

dc

ba

=×

Notación.

- Los números del tipo ba− se pueden denotar por

ba

−

- Los números del tipo b

a−

se pueden denotar por ba

−

- Las sumas del tipo dc

ba −+ son equivalentes a

dc

ba−

- ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dc

ba es equivalente a

dc

ba×

- Todo número 1p se puede denotar simplemente por p.



Propiedades de la suma y multiplicación.

- La suma de fracciones es conmutativa

ba

dc

dc

ba

+=+

- La suma de fracciones es asociativa

dc

qp

ba

qp

dc

ba

qp

dc

ba

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

- La multiplicación de fracciones es asociativa

qp

dc

ba

qp

dc

ba

×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××

- La multiplicación de fracciones es conmutativa

qp

ba

dc

ba

dc

qp

dc

qp

ba

qp

dc

ba

××=××=××=××

- La multiplicación de fracciones es distributiva

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+×

qp

ba

dc

ba

qp

dc

ba

Existencia de neutros e inversos.

- Para cualquier fracción ba se cumple que

ba

ba

=+10 entonces

10 es el neutro

aditivo de las fracciones, y se le denota por 0.

- Para cualquier fracción ba se cumple que

ba

ba

=×11 entonces

11 es el neutro

multiplicativo de las fracciones, y se le denota por 1.

- Cada fracción ba tiene un inverso aditivo

ba− tal que 0=

−+

ba

ba

- Cada fracción ba con excepción de 0 tiene un valor inverso multiplicativo

ab tal que

1=×ab

ba



Equivalencias notables.

- 0y 0 si ≠≠= bcba

cbca

- c

bacb

ca +

=+

- ba

ba

ba

−=−

=−

- 0y 0 si 000≠≠== ba

ba

- 0y 0 si 1 ≠≠== babb

aa

Nota importantísima

caba

++ no es equivalente a

cb es decir que los términos a no se pueden simplificar ya que es

una suma, no un producto. Ejemplo

57

3252=

++ y no

35

3252=

++ este último resultado es incorrecto



8. Multiplicación de fracciones. Para multiplicar dos fracciones numéricas o algebraicas se multiplican sus numeradores y sus denominadores, por separado, teniendo así el numerador y el denominador de la fracción producto. Se recomienda simplificar cada fracción a su forma más simple. Por ejemplo:

bdac

dc

ba

=×

bdqacp

qp

dc

ba

=××

bdfqacep

qp

fe

dc

ba

=×××

Numéricamente:

2110

75

32

=×

Es importante notar que al momento de mostrar el producto se puede ir simplificando los factores comunes,

145

7)222(335)22(

73

85

34

=××××

×××=××

o bien simplificar el resultado final

145

16860

783354

73

85

34

==××××

=××

Cuando se multiplican fracciones positivas y negativas, solo hay que respetar las leyes de los signos:

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

71

34

52

53

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

71

34

52

53

1758

735512223))()(( −=

×××××××

−−−



División de fracciones. La división de fracciones es una operación aritmética por la que partiendo de dos fracciones se obtiene una tercera, que es la división de la primera entre la segunda, se puede realizar siguiendo tres métodos que, lógicamente, darán el mismo resultado: Multiplicar de forma cruzada Multiplicar de "forma cruzada" las fracciones, es decir, multiplicar numerador por denominador, y denominador por numerador: Ejemplo:

1516

3582

83

52

=⋅⋅

=÷

Multiplicar invirtiendo el divisor "Invertir" la segunda fracción y multiplicar "directamente", es decir, numerador por numerador, y denominador por denominador: Ejemplo:

1516

38

52

83

52

=×=÷

Representar como fracción de fracciones Se representa una fracción en el numerador y la segunda en el denominador, se simplifica en otra fracción, donde se divide el producto de extremos entre el producto de medios: Ejemplo:

1516

5382

8352

83

52

=××

==÷

Esta última se enuncia muchas de las veces como la “ley de la tortilla”, la cual dice que productos de extremos, su resultado es el numerador y producto de medios o internos su resultado va como denominador. Una vez terminado el ejercicio hay que simplificar si se puede.



E8.1. Multiplicación y división de fracciones.

Efectúe las operaciones indicadas y simplifique:

1. 43

32×

2. 214

87⋅

3. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

4416

2422

4. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

1425

4063

5. 1015

98

43

××

6. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2132

169

247

7. 169

43÷

8. 3639

2726

÷−

9. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−÷

3524

2136

10. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

3638

4857

11. 37

5121

2834

÷×

12. 98

3914

2621

×÷

13. 37

5121

2834

÷×

14. 98

37

23

137

×÷⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

15. 1861

511

2221

÷⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ÷×

16. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ÷÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

23

98

98

32

17. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

3642

3548

38

158

18. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ÷÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ÷

43

187

259

7514



9. Operaciones mixtas con fracciones. En las operaciones mixtas con fracciones es necesario respetar la jerarquía de estas, recordando de temas anteriores:

1. Primero se realizaran las operaciones indicadas entre signos de agrupación, si las operaciones incluyen multiplicaciones, divisiones, restas y sumas, la multiplicación y división tienen prioridad sobre la suma y la resta.

2. Las operaciones de multiplicación y división se efectúan a continuación. 3. Las operaciones de suma y resta se realizan hasta el final. 4. La fracción resultante debe de simplificarse al máximo.

Recuerde que si existe un signo menos antes de un signo de agrupación, este afecta a todos los elementos que se encuentran dentro de estos o el resultado de las operaciones que se realizan dentro de estos.

E9.1. Operaciones mixtas con fracciones.

Realiza las operaciones que se indican y simplifica el resultado:

1. 74

87

21

×+

2. 31

49

65

×+

3. 3

1365

154

+×

4. 7

10127

38

41

×−×

5. 38

127

218

−×

6. 1522

3611

125

÷−

7. 65

83

49

23

+×−

8. 21

58

154

31

+÷−

9. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

81

32

134

67

10. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −÷−

83

127

425

32

11. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −÷+÷

87

1813

4522

72

51

12. 141

1839

65

1528

145

−×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−×

13. 2107

145

73

41

74

−×+÷⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

14. 4376

21

31

32

73

31

+×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −



11. ÁLGEBRA

El álgebra es la generalización de la aritmética, por ejemplo si se menciona una cantidad podría decirse 5 y esto significa “cinco”, pero el álgebra va mas allá, al decir una cantidad sin especificarla como x, esto es se vuelve una cantidad variable y puede tomar el valor de forma más abierta. De forma general, en el álgebra los números representan constantes o cantidades conocidas.

Constantes y variables. El alfabeto nos permite representar variables de una forma muy particular, por ejemplo las primeras letras a ,b, c, d, e representan cantidades conocidas, f, g ,h identifican funciones, c y k representan constantes, n y m representa por lo general cualquier entero, s, t representa espacio y tiempo como variables, p, q, se utilizan mucho en la estadística, mientras que w ,x, y, z se utilizan para identificar las variables dependientes, independientes, en planos y espacios, aunque su propósito es más general. Por ejemplo:

amxy += es la ecuación de la recta, en ésta intervienen: y representa la variable dependiente ó el eje de las y y su valor cambia de acuerdo a

los valores de x, m y a. x representa la variable independiente ó el eje de las x, son valores que va tomando la

expresión. a es un término conocido, representa un desplazamiento de la recta respecto al origen. m representa la pendiente de la recta y también es un término constante. Representaciones numéricas de esta ecuación son las siguientes:

73 +−= xy 112 += xy

721

−= xy

xy 3= Como se ve la letra m y a representan coeficientes o números que acompañan y definen la relación de las variables x y y, también se puede observar como el valor de y varia en relación al valor que tome x, por ejemplo, tomando la primera relación 73 +−= xy , podemos ver que si:

2−=x , entonces 17)2(3 =+−−=y 0=x , entonces 77)0(3 =+−=y 5=x , entonces 87)5(3 −=+−=y



Otros ejemplos de expresiones algebraicas son: - 02 =++ cbxax , donde a, b, y c representan cantidades conocidas y x es la variable de

la expresión. - 2)()( axxf += , en este caso a representa una cantidad conocida, x una variable

independiente y )(xf una función de x. - 22

02

0 )()( ryyxx =−+− , para esta expresión los términos 0x , 0y y r representan términos conocidos mientras que x y y representan variables, a diferencia de los ejemplos anteriores no se indica cual es la variable dependiente y cual la independiente.

Note como cantidades o términos conocidos se usa de forma similar al concepto de constante, aunque su valor no se conoce de forma inmediata. Así entonces, mientras que en aritmética solo ocurren los números y sus operaciones aritméticas elementales (como +, -, ×, ÷), en álgebra también se utilizan símbolos para denotar números (como x, y, a y b). Éstos son llamados variables. Esto es útil porque:

Permite la generalización de ecuaciones aritméticas (y de inecuaciones) para ser indicadas como reglas ó leyes y así lograr el primer paso al estudio sistemático de las propiedades del sistema de los números reales.

Permite la referencia a números que no se conocen. En el contexto de un problema, una variable puede representar cierto valor que todavía no se conoce, pero que puede ser encontrado con la formulación y la manipulación de las ecuaciones.

Permite la exploración de relaciones matemáticas entre las cantidades. El álgebra permite todas las operaciones que se dan en la aritmética estas son generalizadas, como por ejemplo:

La suma La resta La multiplicación La división

Y a su vez esto genera el concepto de expresiones racionales o fracciones. También considera otros eventos basados en la multiplicación como son:

La potenciación La radicación Etcétera.



Leyes y propiedades del álgebra elemental. Propiedades de las operaciones. La operación de adición (+):

Se escribe ba + . Es conmutativa abba +=+ . Es asociativa )()( cbacba ++=++ . Tiene una operación inversa llamada sustracción o resta abba =−+ )( , que es igual a sumar un número negativo )( baba −+=− . Tiene un elemento neutro 0 que no altera la suma aa =+ 0

La operación de multiplicación (×):

Se escribe ba× ó ba ⋅ ó ( )( )ba . Es conmutativa abba ⋅=⋅ . Es asociativa )()( cbacba ⋅⋅=⋅⋅ . Es abreviada por yuxtaposición abba =⋅ . Tiene una operación inversa, para números diferentes de cero, llamada división

abab

= , que es igual a multiplicar por el reciproco ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ba

ba 1 .

Tiene un elemento neutro que no altera la multiplicación aa =×1 . Es distributiva respecto a la suma acabcba +=+⋅ )( .

La operación de potenciación.

Se escribe ba . Es una multiplicación repetida, aaaaa n ××××= L n veces. No es no conmutativa ni asociativa, en general ab ba ≠ y )()(

cbcb aa ≠ . Tiene una operación inversa, llamada logaritmo b

ab aba a loglog == .

Puede ser escrita en términos de raíz enésima, n mnm aa =/ y por tanto las raíces pares de números negativos no existen en el sistema de los números reales. Es distributiva con respecto a la multiplicación ccc baab =)( . Tiene la propiedad cbcb aaa += . Tiene la propiedad bccb aa =)( .

Propiedad de la igualdad. La relación de igualdad ( = ) es:

Reflexiva aa = . Si ba = entonces ab = . Si ba = y cb = entonces ca = .



Leyes de la igualdad. La relación de igualdad ( = ) tiene las propiedades siguientes:

Si ba = y dc = entonces dbca +=+ y bdac = . Si ba = entonces cbca +=+ . Si dos símbolos son iguales, entonces, uno puede ser sustituido por el otro. Regularidad de la suma, trabajando con números reales o complejos si cbca +=+ , entonces ba = . Regularidad condicional de la multiplicación, si cbca ⋅=⋅ y c no es cero, entonces

ba = . Leyes de la desigualdad. La relación de desigualdad ( < ) tiene las siguientes propiedades:

De transitividad, si ba < y cb < entonces ca < . Si ba < y dc < entonces dbca +<+ . Si ba < y 0>c entonces bcac < . Si ba < y 0<c entonces acbc < .

Regla o ley de los signos. En el producto o división de números positivos ( + ) y negativos ( - ) se cumplen las siguientes reglas: +=+⋅+ )()(

−=−⋅+ )()( −=+⋅− )()( +=−⋅− )()(



Expresiones algebraicas. Expresión algebraica. Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas:

a , c5 , x3 , )(4 xa + , 2

)34(2xy −

Término. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos que no estén separados entre si por el signo + ó -, por ejemplo

La siguiente expresión algebraica 32 34 yxyx −+ tiene 3 términos,

2 positivos ( 24x y xy3 ) y 1 negativo )( 3y

Los términos van precedidos por el signo +, mientras que los negativos por el signo -. Para el primer término de una expresión, si es positivo el signo + se suele omitir:

32 34 yxyx −+ es igual que 32 34 yxyx −++

Clasificación de las expresiones algebraicas.

- Monomio. Es una expresión algebraica que consta de un solo término, como

a3 , b5− , 3

2

4ayx

- Polinomio. Es una expresión algebraica que consta de más de un término como

324 yx − , 32 34 yxyx −+ , 115 23 −−+ xxx

- Binomio. Es un polinomio que consta de dos términos como:

ba + , 324 yx − , 2

43

65

3 bmxa

−

- Trinomio. Es un polinomio que consta de tres términos como

32 34 yxyx −+ , 3

652

32 ayx +−

Las expresiones algebraicas se pueden clasificar por grado, éste es el máximo exponente, y puede ser absoluto o mayor exponente de toda la expresión o relativo a una literal.



Por ejemplo:

- 3

652

32 ayx +− , su grado absoluto es 3, respecto a x es 2, respecto a y es 3, y

respecto a a es 2. - 115 23 −−+ xxx , dado que solo tiene una literal, su grado absoluto y relativo es

igual a 3.

- 63425 xaxaax −− , su grado respecto a la literal x es 6, respecto de la literal a es 3, pero para encontrar su grado absoluto es necesario sumar término a término los exponentes de todas las literales que participan en el término y así verificar cual es el mayor de ellos: para

5ax es 1 + 5 y el grado es igual a 6; para 42 xa− el grado es 2 + 4 y el grado de este término es igual a 6; para 63xa− el grado es 3 + 6 igual a 9, por lo tanto el grado absoluto de esta expresión es igual a 9.

“El grado de un termino constante ( un número ) es igual a cero”.

E11.1. Clasificación de expresiones algebraicas.

Para cada una de las siguientes expresiones algebraicas, indique qué tipo de expresión es, de acuerdo a la cantidad de términos que tiene, e indique su grado absoluto y relativo con respecto a las variables indicadas: 1. 232 −+ xx 2. 527 xx −− 3. 23 +x 4. 432234 yxyyxyxx ++++ 5. π23+ 6. 63 24 −+ xyax

7. 324 zyx 8. uuu −+− 363 9. abc 10. 13645 ++−− cxxbxax 11. a8 12. π++ 327

Términos semejantes. Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir, cuando tienen las mismas letras afectadas con el mismo exponente, por ejemplo:

a3 , a− , a21 son términos semejantes ya que todos tiene a la literal a, solo varían

en sus coeficientes que son 3, -1 y 1/2 respectivamente.

325 ba , 5

32ba− , 323 ba− son términos semejantes ya que todos tiene las literales 32ba , y son afectados por los coeficientes que son 5, -1/5 y -3 respectivamente.



El identificar términos semejantes en un polinomio permite reducir la cantidad de términos del mismo. Para simplificar un polinomio solo es necesario verificar los términos que sean semejantes y sumar o restar sus coeficientes, por ejemplo:

yxyx −−+−− 1209115 ,

en este polinomio existe términos que contienen a la literal x, y y constantes (números), solo es necesario agruparlos y sumar o restar sus coeficientes según este indicado por el signo:

( ) ( ) ( ) 1012251911205

constantes Términos

acontienen que Términos

acontienen que Términos

−−=−−+−−++ yxyyxx

yx

434214342143421

Note como se pueden usar signos de agrupación para cada grupo de términos semejantes, al final de la simplificación se pueden retirar los paréntesis.

32322 4452651471 mmnmmmnmmnm +−−+−−+ En esta expresión se encuentran el siguiente tipo de términos 3m , 2m , mn y constantes, la agrupación por términos semejantes es la siguiente:

( ) ( ) ( )4444 34444 21444 3444 2143421

mnmm

mnmnmnmmmmm

contienen que Términos


222


33 4565712144

23

−−+−−++

mnmm 39135 23 −−

143

46

101

51

27

71

35

21

43 2222 ++−+−−−+− abbbaaaba

Ésta expresión muestra dos términos interesantes, ab21 , ba

27

− , reacuerde que éstos

términos son la multiplicación de una constante y dos literales, además dado que la

multiplicación es conmutativa se tiene que ab21 = ba

21 ó ba

27

− = ab27

− , por lo tanto

el polinomio se puede rescribir:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

71

143

35

101

51

27

21

46

43 2222 abbbaabaa

simplificando:

141

35

1014

43 22 ababa −++



Evaluación de las expresiones algebraicas. El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las literales por los valores numéricos dados y efectuar las operaciones indicadas. Ejemplos:

Hallar el valor numérico de ab5 para 1=a , 2=b . Al sustituirse dichos valores se tiene:

10)2)(1(5 =

Encontrar el valor numérico de 432 cba para 2=a , 3=b , 21

=c .

Sustituyendo:

427

161274

21)3()2(

432 =××=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Determinar el valor numérico de cd

ba5

4 32

para 21

=a , 31

=b , 2=c , 3=d .

Sustituyendo:

8101

30271

30271

414

32531

214

32

==××

=××

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×

Determine el valor numérico de axb

xaba

+−5

43 2

para 2=a , 31

=b , 61

=x .

Sustituyendo:

=+−)6/1(2

3/16/1

)3/1)(2(54

)2(3 2

=+−6/23/1

6/13/10

4)4(3

161203 −=+−



E11.2. Evaluación de expresiones algebraicas.

Determine el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas, de acuerdo a la información dada: 1. 12 23 −+ xx , si 1−=x

2. 5

23 −x, si

31

=x

3. 3314 −+ yx , si 0=x , 18=y

4. 213

43 2 +−

+− x

xx

, si 2−=x

5. ( )( )

1113 2

++−

xxx

, si 1−=x

6. yxyx

−+

, si 31,

21

−== yx

7. zbyax +−31

21 2 , si

31,9,1,2,1 ==−=== zyxba

8. y

xyx

yx −−

+, si 1,3 −== yx

9. tat212 − , si 3,9 == ta

10. ( )[ ] 401232 −++ yxa , si 1,3,2 −=−== yxa



12. Exponentes. Junto con los factores, los exponentes y su entendimiento facilita en gran medida el desarrollo del álgebra y todas las operaciones (suma, resta, multiplicación, división, factorización, expresiones racionales, radicación, etcétera), para ello es necesario comprender primero que es un exponente y cual es su notación. Notación exponencial. Si a es un número real cualquiera, y n es un número entero, entonces su enésima potencia es:

43421factores n

n aaaa ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

El número a se conoce como base y n como el exponente. El exponente indica cuantas veces se multiplica por si mismo la base por ejemplo:

827

23

23

23

23 3

=⋅⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

en este ejemplo el exponente es 3, y la base es 3/2, la expresión indica que este ultimo se va a multiplicar así mismo 3 veces.

( ) 62555555 4 =⋅⋅⋅= la base es 5, y el exponente es 4, lo cual nos dice que 5 se multiplica así mismo 4 veces generando el resultado indicado.

Leyes de los exponentes. Las leyes de los exponentes son las siguientes:

nmnm aaa += Para multiplicar dos potencias con la misma base (número), sume los exponentes.

nmn

m

aaa −= Para dividir dos potencias de la misma base (número), reste los

exponentes. mnnm aa =)( Para elevar una potencia a una nueva potencia, multiplique los

exponentes. nnn baab =)( Para elevar un producto a una potencia eleve cada factor a la

potencia (exponente) indicado.

n

nn

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Para elevar un cociente a una potencia, eleve tanto el numerador como el denominador a la potencia (exponente) indicada.



Dos leyes que se pueden deducir a partir de las anteriores son las del exponente cero y los exponentes negativos, si 0≠a es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces:

10 =a Cualquier base elevada al exponente 0, es igual a 1.

nn

aa 1

=− Cualquier base elevada a un exponente negativo representa 1 sobre la misma base con el mismo exponente pero positivo.

Ejemplos de aplicación de las leyes de exponentes.

Con nmnm aaa += {

5

factores 5factores3factores2

32 222222)222()22(22 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅ 43421321

53232 2222 ==⋅ + Con literales:

7

factores7factores 3factores4

34 )()( xxxxxxxxxxxxxxxxx =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ 444 3444 2132143421

73434 xxxx ==⋅ +

Note como un factor no necesariamente es un término solo:

4factores 4 los

factore1factores 3

3 )1()1()1()1()1()1()1( +=+⋅+⋅+⋅+=+⋅+ xxxxxxx44444 844444 76

321444 3444 21

4133 )1()1()1()1( +=+=+⋅+ + xxxx

En este caso el término )1( +x es un factor en la expresión.

Con nmn

m

aaa −=

5125

5)125()555(5)555(

55

factores 3Son

factores 3Son

3

4

==⋅⋅⋅⋅⋅

=43421

48476

55555 114

3

4

=== −



Con literales

2

iguales factores 2 Entre

factores 2

2

4

)()( zzz

zzzzzz

zz

=⋅=⋅

⋅⋅⋅=

321

876

2242

4

zzzz

== −

Note como un factor no necesariamente es un término solo:

222

222

2

32

)2()2(

)2)(2()2()2()2(

−=−

−−−=

−− y

yyyy

yy

221322

32

)2()2()2()2(

−=−=−− − yy

yy

Con mnnm aa =)(

6

factores 3por

factores 2

32 10)1010()1010()1010()10( =⋅⋅⋅⋅⋅=4444 84444 76

43421

63232 1010)10( == × Con literales

155353 )( www == × Aplicando esta ley a un trinomio ( )( ) ( ) ( )42222 cbacbacba ++=++=++ ⋅

Con nnn baab =)( 216666)6()32( 33 =⋅⋅==⋅ 21627832)32( 333 =⋅=⋅=⋅

El siguiente ejemplo combina mnnm aa =)( con nnn baab =)(

15693532333523 )()()()( zyxzyxzyx −−− =⋅⋅=



Apliquemos las dos leyes anteriores a un par de binomios

( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )4222222 222222 +−=+−=+− xxxxxx

Note como en este último ejemplo los exponentes solo afectan a cada uno de los binomios (en este caso factores) que componen la expresión.

Con n

nn

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Esta ley es sumamente útil, ya que permite agrupar o separar términos, como se muestra a continuación:

278

32

32

3

33

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

En el siguiente ejemplo se combina la ley de los exponentes anterior

( )( )45

4234

5

23

byxa

byxa

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( )( ) 204

812

45

423

ybxa

byxa

=

En este ejemplo se están agrupando los elementos dentro de una sola potencia

2

2

2

23

)2()3(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=+−

xx

xx

Demostración de 10 =a

Al aplicar la relación nmn

m

aaa −= ,

si m = n, nn

m

m

aaa −=== 1

cantidadmismaesaentrecantidad una

Por ejemplo

0333

3

22188

22

==== −

02222

2

2

)3()3(1)1()3()3(

)3()3(

−=−===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=−− − xx

xx

xx



Demostración de nn

aa 1

=−

Considere la siguiente relación : nm

n

m

aaa −= si m = 0 entonces

nnn aa

aa −− == 0

0

Ejemplos:

33

212 =−

55 1

yy =−

( )( )2

2

414−

=− −

zz

Note como en este último el exponente afecta a todo lo que esta entre los paréntesis, por

ello se puede considerar el término ( )4−z como un factor al cual se aplica nn

aa 1

=− .

Nota importantísima. Estas leyes de los exponentes también se pueden aplicar cuando los exponentes son literales por ejemplo:

33 += mm yyy

xx a

aa −= 1

1

xx zz 22 )( = xxx bb 3)3( =

Cabe destacar que 3)2( −x no es igual a 3x - 32 , asigne un valor a x por ejemplo 4

{ 321

56 es resultado el

33

8 es resultado el

33 24)2()24( −≠=−



E12.1. Potencias de números enteros.

Expresa en forma de potencias: 1) 666666 ⋅⋅⋅⋅⋅ 2) 7777 ⋅⋅⋅

3) 2222222 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4) 232323 ⋅⋅

Simplifica las siguientes expresiones, escribiéndolas en forma de potencias de números primos: 5) 5332 2222 ⋅⋅⋅ −

6) 25325

21

33333 ⋅⋅⋅⋅ −

7) 321

5.22353 3222323 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ −−−

8) 3223

31

3 52353 ⋅⋅⋅⋅ −−

9) 14231

3451

2 5533232 ×××××× −−− 10) 2532 3333 −−− ×××

11) 533

223

532523××××−−

−

12) 1123371121172332

92232

42532

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−−

−

Expresa en forma de potencias, utilizando como bases números primos: 13) 10014982570 ⋅⋅⋅⋅ 14) 162448548160 ⋅⋅⋅⋅⋅ 15) ( )( )( )( )( )( )8123466916144

16) ( )( )( )( )( )( )( )1562101257050100

17) ( ) ( ) ( )1228145615105 ⋅⋅×××

Escribe el resultado de las siguientes expresiones como una potencia simple:

18) ( )232

19) ( ) 333 −−

20) ( )225−

21) ( ) 347 −

Escribe el resultado de las siguientes expresiones como potencias simples de números primos: 22) ( )26

23) ( )324

24) ( ) 3144 −

25) ( )28

26) ( )53144

27) ( )2312−

28) ( )2215−

29) ( ) 4318 −−

30) ( )21521124 ⋅⋅⋅

31) ( )322 22488714 ⋅⋅⋅⋅

32) ( ) 32323 15213510252 −− ⋅⋅⋅⋅⋅

33) ( )3121518 ⋅⋅

34) ( ) ( )32 7184211214 ⋅⋅⋅⋅⋅

35) ( ) ( ) 32 98531215 −− ⋅⋅⋅⋅

36) ( ) ( )

( ) 4

32

1294152121269315

−

−

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅



37) ( )

( ) ( )34

2

3

2

122515

2518

−⋅

38) ( ) 32

3

1721

8434144 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−

39) ( )322

1081815

42131214

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

40) 2

3

2 1512

400

903525 −⋅⋅⋅

6

Encuentra el valor numérico de las siguientes expresiones: 41) ( )43−

42) ( )52−

43) ( )35−

44) ( )24−

45) ( ) 23 −−

46) ( ) 35 −−

47) ( ) 34 −−

E12.2. Potencias de expresiones algebraicas. Simplifique las siguientes expresiones y elimine cualquier exponente negativo:

1) ( ) aa ⋅23

2) ( ) ( )24324 bbb ⋅⋅

3) ( ) 43

6

6255 x

xx

⋅

4) ( )4

33327xx −

5) 34

24

−

−

xxxx

6) 43

2

6

2 13−−

−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

xxx

xx

7) 1

2

3

32

3 1 −

−

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

xxxx

8) 375836

11 xxxxxx

⋅⋅ −−−

9) 13

62

3−

− ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− x

xxx

10) ( )( ) ( ) 172

241

328−

−−

−

⋅ xxxxxx

11) ( )5

43

7

132

1 xxx

xxx

⋅⋅ −

−

−−

12) ( ) ( )4212

33

xxxx

−⋅−

−

13) ( )( )72 64 xx

14) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −2542

2112 yxyx

15) ( ) ( )33321 axyyxa −−−

16) 35

53

−−

−

baba

17) ( )( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−− stuutsuts

24132 744533

18) ( )

( ) 22532

431

−−

−−

bcacbacbab

19) 2

33

133

2

2

63 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−

− zyyx

zxxy

20) ( ) 1323 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ yx

zxy

21) 2

5

1

3

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅

−

−

−

us

tvu

uts

22) 1

4

31

3

1−−

− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

nm

m( )( )3423 32 abba

23) 423

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛zxy

yx

24) 22

4

26

tsst−

−

25) 2

23

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

zy



13. Radicales. Los radicales son en esencia potencias racionales, su significado considera la propiedad

mnnm aa =)( , es decir:

2/14 )2( , el resultado de aplicar la propiedad es 2)2/1(4 22 = Si analizamos numéricamente notemos como 1624 = y al aplicar la potencia fraccionaria, genera una cantidad que multiplicada por si misma genera el resultado 22 y es igual a 16. Lo anterior se expresa como

ba = significa ab =2 donde el símbolo representa un exponente racional, en este caso ( ) 2/1

Un requisito es que 0≥a para que la raíz par de una cantidad exista, la razón obedece a la ley de los signos. Si n es cualquier entero positivo, entonces la raíz enésima principal de a se define como

ban = , significa abn =

Si n es par, se tiene que 0≥a y 0≥b Dado que los radicales son exponentes, las leyes anteriormente vistas aplican de la misma forma:

Propiedad Ejemplo

nnn baab ⋅= 6)3)(2(278278 333 =−=⋅−=⋅−

n

nn

ba

ba=

32

8116

8116

4

44 ==

mnm n aa = 33729729 6 663 ===

aan n = si n es impar 5)5(3 3 −=−

aan n = si n es par 33)3(4 4 =−=−



Ejemplos usando las primeras tres propiedades

=⋅ 520 aplicando nnn abba =⋅ se obtiene 10100520 ==⋅

=5

5

264 aplicando n

n

n

ba

ba= se simplifica 232

264 55 ==

6 64 aplicando m nmn aa = resulta en 2864 33 == Ejemplos de combinación de radicales.

Simplifique la siguiente expresión: 333 4247410 −+ , aplicando la propiedad distributiva

3 4)2710( −+ simplificando 3 415

Simplifique la siguiente expresión:

20032 + De forma inicial se factoriza las potencias cuadradas más grandes 2100216 ⋅+⋅ aplicando la propiedad nnn baab ⋅=

2100216 ⋅+⋅ utilizando la propiedad distributiva 21421024 =⋅+⋅

Simplifique la siguiente expresión:

325 bbb − aplicando la propiedad nnn baab ⋅=

bbbb 225 − aplicando la propiedad aan n = y bajo el supuesto que 0>b

bbbb −5 aplicando la propiedad distributiva bbbbb 4)5( =−

Nota. Los radicales o exponentes racionales permiten utilizar un artificio matemático, el cual consiste en descomponer cualquier expresión elevada a un exponente fraccionario o múltiplo entero como se muestra a continuación:

( ) nnn

nnn aaaa =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛==

111



E13.1. Radicales.

Determina el valor de las siguientes raíces cuadradas:

1) 100

2) 49

3) 121

4) 169

5) 400

6) 1764

7) 196

8) 576

9) 3600

Encuentra el valor de los siguientes radicales:

10) 4 82

11) 4 1296

12) 3 27−

13) 3 64

14) 3 343

15) 3 8000

16) 5 243

17) 4 625

18) 3 125−

19) 3 318

20) 4 10000

21) 5 1024

¿Qué resulta al evaluar las siguientes expresiones?

22) 82 ⋅

23) 312 ⋅

24) 2147 ⋅⋅

25) 10220 ⋅⋅

26) 3155 ⋅⋅

27) 4875 ⋅

28) 33 93 ⋅

29) 44 5424 ⋅

30) 272

31) 328

32) 3273 ⋅

33) 348

34) 259

35) 6

382 ⋅⋅

Obtén un valor simplificado de las siguientes expresiones:

36) 20

37) 90

38) 32

39) 50

40) 98

41) 72

42) 80

43) 75

44) 8000

45) 2753 3 ⋅⋅

46) 6 125

47) 3 81−



Simplifica las siguientes expresiones: 48) 23212252 +−+

49) 2018045 −+

50) 18650483 −+

51) 759122272 +−

52) 33 32108 −

53) 208055 +−

54) 125245 −

55) 33 1654 −

56) 757243275123 −+−

57) 3333 53511535 ⋅+⋅−⋅+

58) 33223427 +−+

59) 98188 −+

60) 42752789 +−+−+

61) 271

312

1215 +⋅+⋅



14. Exponentes fraccionarios. Para definir un exponente racional o su equivalente, un exponente fraccionario como 3/1a es necesario utilizar radicales. A fin de darle significado al símbolo na /1 en una forma consistente con la leyes de los exponentes se tiene que

( ) aaaa nnnn === 1)/1(/1 Por esto, a partir de la definición de la raíz enésima

nn aa =/1 Para cualquier exponente racional nm expresado en su forma más simplificada donde m y n son enteros y n > 0 se define:

( )mnnm aa =/

o de forma equivalente: n mnm aa =/

Si n es par, entonces es necesario que 0≥a Ejemplos de aplicación de las leyes de los exponentes fraccionarios o racionales.

Simplifique la siguiente expresión: 5/3

5/75/2

aaa

Aplicando nmnm aaa += y nmn

m

aaa −=

5/653

57

52

aa =−+

Simplifique la siguiente expresión: 2/343 )2( ba

Aplicando nnn baab =)( 2/342/332/3 )()(2 ba

Ahora usando mnnm aa =)( 62/922 ba



Simplifique la expresión: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2/1

43

3/1

4/32xy

yx

Utilizando las leyes n

nn

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ , nnn baab =)( y n

n

aa 1

=−

)()(

)(2 2/1433/1

34/33

xyyx

⋅

Aplicando mnnm aa =)( , nmnm aaa += y nmn

m

aaa −=

34/118 yx

Simplifique la expresión: xx Aplicando el concepto de exponente racional

( ) 2/12/1xx Utilizando nmnm aaa +=

( ) 2/12/3x Y mnnm aa =)(

4/3x

E14.1. Exponentes Fraccionarios.

Determina el valor simplificado de las siguientes expresiones:

1) 16

2) 3 729

3) 4 6561

4) 3 4 4096

5) 3 64

6) 4 622 ⋅

7) 5 3 2722 ⋅

Expresa las siguientes potencias como radicales y después simplifica todo lo que puedas: 8) 1248

9) 181227

10) 3224

11) 279

12) ( ) 5232−

13) ( ) 31125 −−

14) 21

94 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

15) 6564

16) 32

827

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

17) 23

6425

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

18) 2316

19) 1.01024−

20) 43625



Simplifica los siguientes expresiones:

21) ( )83 2

22) 10

2 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

23) 3 65−

24) 6 8

25) 8 64

26) 8 81

E14.2. Radicales y exponentes fraccionarios de expresiones algebraicas.

Simplifique las siguientes expresiones, y exprese el resultado con exponentes fraccionarios positivos y utilizando radicales. 1) 3731 aa

2) 53

5752

aaa

3) ( ) 23432 ba

4) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 21

43

31

432xy

yx

5) 2132 xx 6) ( )( )332 xx

7) xx

8) ( )( )2143 52 aa −−

9) ( ) ( ) 31621 84 bb

10) ( ) ( ) 3222544 82 yyx −

11) ( )( ) 43162

5251310

yzyzzy

−

−−

12) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−

−

3123

123

21

32

yabx

yxba

13) 3 1239 −zyx

14) 63 2

ababba

15) 3

3 1264x

x

16) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 3 2

3

2132

231

yzx

yzxzxyzx



Racionalización Con frecuencia resulta útil eliminar el radical en el denominador, multiplicando tanto el numerador como en el denominador por una expresión apropiada. Este procedimiento se conoce como racionalización del denominador. Si el denominador es de la forma a , se multiplica el numerador y el denominador por a . Si el denominador es de la forma

ba + se multiplica el denominador y el numerador por el “el complejo conjugado”, es decir ba − Ejemplos. Racionalice las siguientes expresiones:

Forma a

332

33

32

32

=⋅=

xx

xx

xx

xx

3

3 3

3

3

3

3 23 2

11==⋅=

Forma ba − ( )( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )( ) =+−+

+=

+−+

=++

⋅−

=− 323322

3223232

3223232

322

322

( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

3241

32234

322

32

32233233222

32222

+=+

=−+

=−

+=

−−++

Forma ba +

( )( )

( )( )( )

( )22

3225

2235

3535

353535

3535

351

351

2 +−=−

−=−−−

=−+

−−=

−−

⋅+−

=+−

Nota. Cuando se multiplica un complejo conjugado de la forma ( )( )baba −+ , el resultado siempre tendrá la forma ba −2



E14.3. Racionalización.

Racionalice el denominador de las siguientes expresiones fraccionarias:

1) 3

2

2) 3 2

1x

3) 72

1a

4) 5

1

5) y

x6

6) 32

7) 5321

yx

8) 5 2

1x

9) 53

1−

10) 37

12+

11) ba −

12

12) yx +

5

13) 32

3−−



16. Suma y resta de expresiones algebraicas. La suma o adición es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). En aritmética, la suma siempre significa un aumento, pero en álgebra la suma es un concepto más general, pues puede significar un aumento o disminución, ya que las sumas algebraicas pueden involucrar el equivalente a una resta en aritmética. “La regla para sumar dos o más expresiones algebraicas es escribir unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay”. Ejemplo.

Sumar ba − , cba −+ 32 y ba 54 +−

La suma suele indicarse incluyendo los sumandos dentro de paréntesis

)54()32()( bacbaba +−+−++− Ahora se colocan todos los términos de estos polinomios unos a continuación de otros con sus propios signos y se tiene

=+−−++− bacbaba 5432 cba −+− 7

En la práctica, se puede colocar los polinomios unos debajo de los otros de modo que los términos semejantes queden en columna; se hace la reducción de éstos, separándolos unos de otros con sus propios signos. Ejemplo.

Sumar ba − , cba −+ 32 y ba 54 +−

cbaba

cbaba

−+−+−

−+−

75432



Sumar 423 +− nm , 546 −+ pn , 68 −n y nm −

Al colocar por columnas los términos semejantes se tiene:

74114

68546

423

−++−

−−+

−

pnmnmn

pnnm

La resta o sustracción es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). Es evidente que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo. “La regla general para restar es escribir el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes si los hay”. Ejemplo.

De zyx +− 34 restar 652 −+ zx

La sustracción se indica incluyendo el sustraendo en un paréntesis precedido del signo - :

)652()34( −+−+− zxzyx

Aplicando la ley de los signos este signo – va a cambiar los signos del sustraendo:

65234 +−−+− zxzyx

Simplificando los términos semejantes, el resultado a esta resta es:

6432 +−− zyx Cuando los coeficientes son fraccionarios, el procedimiento corresponde a la suma o resta de fracciones, aplicando esto solo lo a los coeficientes de los términos semejantes:



Ejemplo.

Restar 932

1014 2233 −+−− baabba de 8

61

58 22 −+− baab

Como se indicó en la suma, se puede trabajar por columnas de términos semejantes y además cambiar (invertir) el signo del sustraendo:

123

214

9101

324

858

61

2233

2233

22

+−−

++−

−−+

abbaba

abbaba

abba

Multiplicación. La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera, llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva. El multiplicando y multiplicador son los factores del producto. El orden de los factores no altera el producto. Esta propiedad, demostrada en aritmética, se cumple también en álgebra. Así el producto ab puede escribirse ba . Es importante tener en cuenta la ley de los signos en la multiplicación:

+=+⋅+ )()( −=−⋅+ )()( −=+⋅− )()( +=−⋅− )()(

En álgebra se distinguen tres casos de multiplicación: multiplicación de monomios, multiplicación de un polinomio por un monomio y multiplicación de polinomios. Sin embargo, los tres casos atienden a la propiedad distributiva respecto de la suma para su correcta resolución. Ejemplo. Multiplicación de monomios:

Multiplicar 22a por 33a

El resultado del signo es +=+⋅+ )()( , aplicando la ley de los exponentes tenemos: ( )( ) 532 632 aaa =



Multiplicar ba 23 por xb24−

El resultado del signo es −=−⋅+ )()( , aplicando la ley conmutativa y de los exponentes, tendremos:

xbaxbbaxbba 322222 1243)4)(3( −=⋅⋅⋅⋅⋅−=−

La regla para multiplicar un polinomio por un monomio es multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y separar los productos parciales con sus propios signos. Aplicar la ley distributiva de la multiplicación. Ejemplo. Multiplicación de monomio por polinomio.

Multiplicar 763 2 +− xx por 24ax Se establece ( ) =+− 7634 22 xxax multiplicando término a término y respetando lo signos

( ) ( ) ( ) =+−+ 746434 2222 axxaxxax 234 282412 axaxax +−

Multiplicar 43223 54 xaxxaxa −+− por xa 22−

Se escribe la multiplicación: ( )432232 542 xaxxaxaxa −+−−

Se multiplica término a término:

( ) ( ) ( ) ( )423222232 252422 xxaaxxaxaxaxaxa −−−−−− Simplificando:

52433425 21082 xaxaxaxa +−+− Regla para multiplicar dos polinomios. Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes.



Ejemplo. Multiplicación de polinomio por polinomio.

Multiplicar 4−a por a+3 Ordenando los factores respecto a una de las literales e indicando el producto

( )( ) =+− 34 aa

Aplicando la propiedad distributiva y cuidando los signos

( ) ( ) =+−+ 343 aaa

( ) ( ) ( ) ( ) =−−+ 3443 aaaa =−−+ 12432 aaa

Simplificando términos semejantes

122 −− aa

Multiplicar xyxy 526 22 −+ por xyyx 243 22 +− Ordenando de forma descendente respecto a x e indicando la multiplicación

( )( )2222 423652 yxyxyxyx −++−

Multiplicando

( ) ( ) ( )22222222 423642354232 yxyxyyxyxxyyxyxx −++−+−−+

Al igual que en la suma y resta se pueden usar columnas para agrupar términos semejantes:

4334

4322

3223

2234

2432 116241218

201015846

yxyyxxyxyyx

xyyxyxyxyxx

−+−−++

+−−−+



E16.1. Suma, Resta y Multiplicación .

Realice las operaciones indicadas y simplifique el resultado de las siguientes expresiones: 1) ( ) ( )xxxxxx 453426 2323 −++++−

2) ( ) ( )xxxxxx 453426 2323 −+−++−

3) ( ) ( )747322 −−+ xx

4) ( ) ( )xxxxxx 5613 232 −−−++

5) ( ) ( ) ( )235243 2 −−+−− tttt

6) ( )( )5312 −+ xx

7) ( )( )3413 +− xx

8) ( )( )123 32 ++− xxx

9) ( )xxxx ++ 22

10) ( )( )xx 321 −+

11) ( )( )yxyxyx −+− 22

12) ( )xxx −

13) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

yyy 123

14) ( )( )yxyx −−+ 332

15) ( )( )1´32 +− yyy

16) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−++− xxxxxxx

43

65

533

83

325 34324

17) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − bccbcbba

95

101

51

32

53

31

92

21

18) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− yxxxyyx 2322

43

310

53

21

19) ( )( )12343 324 +−+− mmmm

20) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − baba

21

31

31

21

21) ( ) ( )( ) xxxx 64125 −++−+



17. División larga. La división es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los otros factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). Esto significa lo siguiente, en cierto sentido es ver cuantas veces cabe una cantidad dentro de la otra, aunque el sentido estricto de la división se explica más adelante, por ejemplo

residuo

CocienteDividendoDivisor

Numéricamente

2

371133

Al aplicar el enunciado inicial observamos que 111373 =× +2 del residuo son 113 que es el dividendo inicial, sin embargo si deseamos implicar al residuo en el resultado, este es

3113

32 más enteros37 = , el concepto inicial no cambia, solo que ahora el residuo es cero.

Estos conceptos son bastante interesantes, y en gran medida la división algebraica se basa

en esta abstracción, ya que si observamos 3

1133× es igual a 113 que es nuestro dividendo

inicial. Al igual que en la multiplicación algebraica, la división implica considerar la ley de los signos y la de los exponentes:

+=++ / −=−+ / −=+− / +=−− /

Al igual que en la multiplicación, en la división se pueden considerar tres casos: División de dos monomios, de un polinomio entro un monomio y la división de dos polinomios. Regla para dividir dos monomios. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor, a continuación se escriben en orden alfabético las literales, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor (aplicar ley de los exponentes). El signo lo da la ley de los signos.



Ejemplo. División entre monomios.

Dividir 234 ba entre ab2− De acuerdo a la regla inicial la división se puede expresar como:

babab

baa

abba 21213

2323

224

24

24

−=−=⋅⋅⋅−+

=−

−−

En este ejemplo la división fue exacta, pero como comprobarlo, recuérdese que el cociente por el divisor debe de ser igual al dividendo:

( )( ) 2311212 4))()(2)(2)()((22 bababaab =−−=−− ++

Dividir ma3 entre ba 22− Este ejemplo muestra claramente como la división es algo abstracto, note:

baa

baa mm 1

23

23

22 ⋅⋅⋅−+

=−

Simplificando término a término:

ba m 1

23 2−− , lo que es igual a 12

23 −−− ba m

Este resultado es interesante, al comprobarlo observe lo siguiente:

( )baba m 212 223

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− −−

Recordemos como la multiplicación es conmutativa, y todos estos términos se están multiplicando entre sí, se puede reacomodar como sigue

( )( )( ) ( )( )( )( ) mmmm abababbaa 333232 01122122 ===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−− −+−−−

Nota importante. Recuerde que la división se puede expresar como la relación entre o como expresión fraccionaria (racional), o bien como casita, esta última se utilizara al momento de realizar divisiones de polinomios, para los dos primeros casos la expresión de tipo fraccionaria es suficiente.



Regla para dividir un polinomio por un monomio. Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos. Esta es la ley distributiva de la división. Ejemplo. Polinomio entre monomio.

Dividir 223 963 abbaa +− entre a3 Al expresar la división del polinomio entre el monomio de forma fraccionaria (racional):

aab

aba

aa

aabbaa

39

36

33

3963 223223

+−=+−

Aplicando la ley de los exponentes a las literales semejantes y simplificando los coeficientes numéricos:

22223

323

93

633 baba

aab

aba

aa

+−=+−

Al efectuar la multiplicación del cociente y el divisor comprobamos el resultado

( ) ( ) ( ) ( ) 2232222 96333233323 abbaabaabaaababaa +−=+−+=+−

Dividir 2211 362 −+−+ −− mxmxmx bababa entre 432 ba− División de forma racional, y aplicando la ley distributiva de la división:

43

22

43

11

4343

2211

23

26

22

2362

baba

baba

baba

babababa mxmxmxmxmxmx

−−

+−

−+

−=

−−− −+−+−+−+

Simplificando los signos y aplicando la ley de los exponentes a las literales comunes:

=⋅⋅⋅−−

+⋅⋅⋅−−

+⋅⋅⋅⋅−+ −+−+

4

2

3

2

4

1

3

1

43 23

26

22

bb

aa

bb

aa

bb

aa mxmxmx

615243

233 −−−−−− ++− mxmxmx bababa



Regla para dividir dos polinomios. - Se ordenan el dividiendo y el divisor con relación a la misma en base a los exponentes

de mayor a menor.

- Se divide el primer término del dividiendo entre el primero del divisor y se tiene el

primer término del cociente.

- Este primer término del cociente multiplica a todo el divisor y el producto se resta del

dividiendo (se invierten los signos), escribiendo cada término debajo de su semejante.

Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe

en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor.ç

- Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y se tendrá el

segundo término del cociente.

- Este segundo término del cociente multiplica a todo el divisor y el producto se resta del

dividiendo (se invierten los signos).

- Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan

las operaciones anteriores; se repite sucesivamente el procedimiento hasta que el

residuo no sea divisible por el divisor (puede llegar a cero o no).



Ejemplo. División entre polinomios. Dividir 823 2 −+ xx entre 2+x

Ordenar los exponentes de mayor a menor respecto a la literal x, y representar la división con la casita tradicional de la división aritmética:

8232 2 −++ xxx

Se toma el primer término del dividendo y del divisor: 23x y x respectivamente.

Se divide 23x entre x es igual a xxx 33 2

=

Este es el primer término del cociente, a su vez multiplica al divisor xxxx 63)2(3 2 +=+

y se le resta este producto al dividendo (se cambian los signos del producto anterior)

xxx

xxxx

4 0 63

38232

2

2

−−−

−++

Se bajan el siguiente término del dividendo, tantos como sean necesarios respecto del divisor

84 0 63

38232

2

2

−−−−

−++

xxx

xxxx

Y con este nuevo polinomio se repite el procedimiento, es decir se toman el primer término x4− y el primero del divisor x

Se divide x4− entre x que es igual a 44−=

−x

x el cual es el segundo término del

cociente. Se multiplica este segundo término por el divisor y se le resta 84)2(4 −−=+− xx

Restando (involucra cambiar los signos)

0 84 84 0

63

4 3 8232

2

2

+−−

−−

−−++

xxxx

xxxx

El resultado (cociente) de esta división es 43 −x , dado que el residuo es cero, se dice que esta división es exacta.



Dividir 3246311 253 +−− aaa entre aa 638 2 −−

Ordenando los polinomios respecto a los exponentes de a de mayor a menor y mostrando la división se tiene:

32 4611 3863 2352 +−+−+−− aaaaa

Note como se dejan dos lugares por los términos de las potencias que no se encuentran presentes (es decir 4a y a ). Tomando los primeros términos del dividendo y divisor

53a− y 23a−

Dividiéndolos 32

5

33 aaa

=−− y multiplicando por el divisor

( ) 34523 863863 aaaaaa +−−=+−− Restando este producto al dividendo (invertir los signos)

34

345

3

2352

36 0 863

32 4611 3863

aaaaa

aaaaaa

++−++

+−+−+−−

Se baja el término 246a−

234

345

3

2352

4636 0 863

32 4611 3863

aaaaaa

aaaaaa

−+++−−

+−+−+−−

de este nuevo polinomio 234 4636 aaa −+ se vuelve toma el primer término, se toma el primer término del divisor, es decir

46a y 23a− , dividiendo 22

4

23

6 aa

a−=

−

multiplicando este valor que es el segundo término del cociente por el divisor ( ) aaaaaa 161268632 3422 −+=+−−−

y restando este producto (invertir los signos)

23

234

234

345

23

2352

3090 16126 4636 0

863

232 4611 3863

aaaaaaaa

aaa

aaaaaaa

−−+−−−++

+−−

−+−+−+−−



En este momento se supone que el siguiente término a bajar es el que contiene “ a ”, pero dado que no hay, se deja el espacio solo se toma el primer término de 23 309 aa −− y de nueva cuenta el primer término del divisor, así

aaa 3

39

2

3

=−−

este es el tercer término del cociente, multiplicando por el divisor ( ) aaaaaa 241898633 232 +−−=+−−

se resta al ultimo polinomio que quedo en el proceso de división (invertir los signos)

3224120 24189

3090 16126 4636 0

863

3232 4611 3863

2

23

23

234

234

345

23

2352

+−−−++

−−+−−−++

+−−

+−+−+−+−−

aaaaa

aaaaaaaa

aaa

aaaaaaaa

En este paso se bajo para finalizar el proceso el término constante 32, y resta la expresión 322412 2 +−− aa , se toma el primer término, y el primer término del divisor para obtener el último término del cociente, y verificar si fue una división exacta o no.

aaa 3

39

2

3

=−−

Multiplicando ( ) 3224128634 22 +−−=+−− aaaa

y restando (invertir los signos)

0 322412 3224120

24189 3090 16126 4636 0

863

43232 4611 3863

2

2

23

23

234

234

345

23

2352

−+++−−

−++−−+−−−++

+−−

++−+−+−+−−

aaaaaaa

aaaaaaaa

aaa

aaaaaaaa

El resultado de la división es 432 23 ++− aaa , la división fue exacta. Se hará un pequeño cambio al ejercicio anterior, para verificar cuando una división no es exacta.



Dividir 3346311 253 +−− aaa entre aa 638 2 −−

Note como el único término que se cambio fue el 32 por el valor de 33, esto nos asegura que hasta el ultimo paso, nada respecto al procedimiento anterior cambiara, excepto como se muestra a continuación

1 322412 3324120

24189 3090 16126 4636 0

863

43233 4611 3863

2

2

23

23

234

234

345

23

2352

−+++−−

−++−−+−−−++

+−−

++−+−+−+−−

aaaaaaa

aaaaaaaa

aaa

aaaaaaaa

En este caso el residuo ya no es cero y el resultado se expresa como se muestra a continuación

8631432 2

23

+−−+++−

aaaaa

Este es el resultado, para comprobar se puede multiplicar esta expresión por el divisor, aquí note lo siguiente (invirtiendo el orden de los factores)

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−+++−+−−

8631432863 2

232

aaaaaaa

( ) ( ) ( )++−−++−−−+−− 86338632863 22223 aaaaaaaaa

( ) ( )863863

18634 22

2 +−−+−−

++−− aaaa

aa

Note como en el término

( )44 844 76

4434421

esto

2

esto que mismo lo es

2 863863

1+−−

+−−aa

aa se tiene una cantidad que divide a la misma

Por lo tanto el resultado es 1, porque todo esto, porque si usted nota en 3346311 253 +−− aaa el último término es 33, pero y todo esto para que, pues bien

observe como en los términos ( ) ( ) ( ) { { )863(486338632863

cte

2

cte

22223 +−−++−−++−−−+−− aaaaaaaaaaa

La multiplicación de todos los términos excepto el 4 y 8 están acompañados de la literal a, y el producto de estos es 32 + el 1 que se muestra arriba, corresponde al término 33 de la expresión inicial.



La comprobación que se hace aquí no es necesario realizarla si se esta seguro del procedimiento, lo anterior es con fin de mostrar que no siempre una división es exacta y cuando no lo es, existe un residuo y el resultado se expresa como en el ejercicio. E17.1. División Larga.

Realice las operaciones indicadas y simplifique el resultado de las siguientes expresiones: 1) ( ) ( )aabbaa 3963 223 ÷+−

2) ( ) ( )32326688 336 babababa ÷−−

3) ( ) ( )xxxxx 515105 234 −÷+−−

4) ( ) ( )256 2 +÷++ aaa

5) ( ) ( )32732 34 +÷+−− xxxx

6) ( ) ( )2823 2 +÷−+ xxx

7) ( ) ( )2364726 242536 +−÷+−−−+ xxxxxxx

8) ( ) ( )72218315 3256 −−÷+−+− aaaaaa

9) ( ) ( )xxxxx 515105 234 −÷+−−

10) ( ) ( )256 2 +÷++ aaa

11) ( ) ( )32732 34 +÷+−− xxxx

12) ( ) ( )2364726 242536 +−÷+−−−+ xxxxxxx

13) ( ) ( )72218315 3256 −−÷+−+− aaaaaa

14) ( ) ( ) ( ) ( )( )xxxxxxxx −−−−+−−÷−−− 1312112 2224

15) ( ) ( ) ( ) ( )( )xxxxxxxx −−−−+−−÷−−− 1312112 2224

16) ( )( )52313152 22 xxxx +−



División sintética. La división sintética es un algoritmo rápido para verificar la divisibilidad de un polinomio en términos de x por un binomio de la forma ax + .

Considere, por ejemplo dividir el polinomio 823 2 −+ xx entre 2+x

Se toman los coeficientes del polinomio y se ordenan respecto a los exponentes de la variable, al final se coloca el término constante con el signo invertido, se aconseja formar una relación como se muestra a continuación

divisor binomio del nteindependie término

012

polinomio del escoeficient

2)(823

+−−+xxx

Se baja el primer coeficiente, correspondiente al término con el mayor exponente, este se multiplica por el valor que resulto a la derecha (que es -2)

( )( ) 62 4 3

2 6 8 2 3

columna segunda la a sumase esultador el


012


4434421 −=−−

−−↓−+

3

xxx

El resultado de esta operación se suma al coeficiente de la siguiente columna

( )( ) 82 4 3

2 6 8 2 3

columna tercer la a suma

se resultado el


012


4434421 =−−−

−−↓−+

4

xxx



Este resultado se vuelve a multiplicar por el valor que resulto a la derecha, y el resultado se suma al coeficiente de la tercer columna

0 4 3 28 6

8 2 3

largadivisión la de residuoal ecorrespond

valor Este

cociente del esCoeficient


012


321−−+−↓

−+

→

xxx

Los valores 3 y -4 corresponde a los coeficientes del cociente, el exponente de la literal se reduce en uno respecto de la columna en la que se encuentra es decir:

43 −x

Éste es el resultado de dividir 823 2 −+ xx entre 2+x con residuo cero.

Dividir 1435 23 ++− xxx entre 3−x por el método de la división sintética.

Se toman los coeficientes del polinomio y se ordenan respecto a los exponentes de la variable, al final se coloca menos el término constante, se aconseja formar una relación como se muestra a continuación


0123


)3(14351

−−−

xxxx

Se baja el primer coeficiente, correspondiente al término con el mayor exponente, este se multiplica por el valor que colocamos a la derecha (que es +3)

( )( ) 33 2 1

3314351

columna segunda la a suma

se resultado el


0123


43421 =−

++−

1

xxxx



El resultado de esta operación se suma al siguiente coeficiente

( )( )4434421

columna tercer la a suma

se resultado el


0123


63 32 1

36314351

−=−−−

+−+−

2

xxxx

Este resultado se vuelve a multiplicar por el valor que resulto a la derecha, y el resultado se suma a la tercera columna

( )( )4434421

columnacuarta la a suma

se resultado el


0123


93 32 1

396314351

−=−−−

+−−+−

3

xxxx

Este resultado se vuelve a multiplicar por el valor que resulto a la derecha, y el resultado se suma a la cuarta columna

{

division la de

residuo

cociente del esCoeficient


0123


5 3963

14351

3 21 −−+−−+

−

→

xxxx

El resultado de dividir 1435 23 ++− xxx entre 3−x es 3

5321 2

−+−−

xxx , en este

caso la división no fue exacta. Éste método es aplicable a cualquier polinomio para buscar sus factores, para encontrar los binomios que pueden dividir al polinomio se prueba con los factores positivos y negativos del término constante del polinomio, y en caso de que el coeficiente del término literal de mayor exponente no sea uno, los factores también incluyen las fracciones.



Por ejemplo:

Se desea encontrar los binomios que factorizan el polinomio 104 23 −−+ xxx .

Los binomios que dividen al polinomio 104 23 −−+ xxx podrían ser los binomios con la combinación de todos los factores positivos y negativos de -10, es decir:

10−x 5−x 2−x 1−x 1+x 2+x 5+x 10+x

La recomendación es comenzar la prueba de divisibilidad por los factores primos o el factor que involucra la unidad. Dividir 104 23 −−+ xxx por 2−x

12 222122

10141divisor binomio del nteindependie término

0123


+++++++

−−

1161

xxxx

El binomio 2−x no divide de forma exacta a 104 23 −−+ xxx ya que el residuo es

igual a 12, es decir que el resultado es igual a 2

121162

−+++

xxx

Dividir 104 23 −−+ xxx por 2+x

0 21042

10141divisor binomio del nteindependie término

0123


521 −+−+−−

−−xxxx

El binomio 2+x divide de forma exacta a 104 23 −−+ xxx ya que el residuo es igual a cero, el cociente de la división es igual a 522 −+ xx



E17.2. División sintética.

En los siguientes ejercicios, encuentra el cociente y el residuo de las divisiones que se indican, utilizando la división sintética: 1) Dividir 37453 345 ++−+ xxxx entre 2+x

2) Dividir 572 23 +− xx entre 3−x

3) 2

122 23

++++

xxxx

4) 7

632 234

−+−+−

xxxxx

5) x

xxxx+

+++−8

3763 253

6)

21

1223 32

−

++−

x

xxx



18. Productos notables. Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones

algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la

multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la

resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la

factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios

conjugados y recíprocamente.

Multiplicación por monomio (o factor común).

La multiplicación por un monomio o factor común es un procedimiento similar a la

multiplicación de monomios por monomios ó polinomios y equivale a utilizar la propiedad

distributiva con respecto a la suma como se ha visto anteriormente:

Ejercicio. Multiplique las siguientes expresiones:

Note como en cada uno de los casos se aplica la propiedad distributiva respecto a la suma,

se verifica la ley de los signos, así como la ley de los exponentes.

Ejemplos:

( ) =− 23 xx ( ) ( ) =−+ 233 xxx

xx 63 2 −

( ) =+− 252 aaa ( ) ( ) ( ) =+−+ 252 aaaaa

xaa 25 23 +−



=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−− 3223

31

23

34

21

41 xzxxzzz

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 3223

31

41

23

41

34

41

21

41 xzzxzxzzzz

=⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅ 3223

31

41

23

41

34

41

21

41 xzzxzxzzzz

zxzxxzz 32234

121

83

31

81

+−−

éste resultado se puede rescribir como:

1283

38

32234 zxzxxzz+−−

E18.1. Productos Notables (Multiplicación por monomio).

Aplicando operaciones con productos notables, desarrolla las siguientes expresiones y simplifica el resultado: ( )22 3 yxyxxy −+

1) ( ) 23623 2553 yxyxxy +−

2) ( )2123 3 −− xxx

3) ( )6353 2313 yxxyyxxy −+−−

4) ( )yaxyxyax

−+− 3256 342

5) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−

mmmm

2566

103

53

35 23

6) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − mxmx

mx

7147 2

7) ( )5432232 217142871 yxyyxyxxy −+−−

8) ( )383 232 xxx +⋅−

9) ( )zzz +−13

Multiplicación por polinomio. En este caso se considera el producto de dos binomios de la forma ( )( )bamx ++ , su aplicación se da sobre todo al factorizar y por lo tanto es necesario dar como se da este producto, desarrollando:

( )( ) =++ bamx ( ) ( ) =+++ bambax

bmambxax +++

Observe como al multiplicar dos binomios que no tienen ningún término en común el resultado es un polinomio de 4 términos. – lo anterior significa que cuando un producto tiene la forma anterior no se producen términos semejantes y por consecuencia no es necesario simplificar –



Ejemplo. Desarrolle los siguientes productos:

( )( ) =−+ yax 23 ( ) ( ) =−+− yayax 232

yaxyax 362 −+−

( )( ) =+− 23 94 zx ( ) ( ) =+−+ 223 949 zzx

=−−+ 2323 4369 zxzx

( )( ) =−+ 113 xy ( ) ( ) =−+− 1113 xxy

=−+− 133 xyxy E18.2. Productos Notables (Multiplicación por polinomio).

Aplicando operaciones con productos notables, desarrolla las siguientes expresiones y simplifica el resultado: 1) ( )3)23( 2 −− yyx 2) ( )( )1372 −− xx

3) ( )( )112 +− xx

4) ( )( )112 −−+ mmm

5) ( )232132 xxx

x +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

6) ( )( )yaxaxy −− 132

7) ( )9633

1 3 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − xx

8) ( )( )yxyx −−−− 13

9) ( )yxyx

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

11

10) ( )( )xx −− 123

Multiplicación de binomios ))(( bxax ++ . El producto ó multiplicación de dos binomios de la forma ))(( bxax ++ se desarrolla de la siguiente forma:

( ) )( bxabxx +++ abaxbxx +++2 abxbax +++ )(2

Este último es el producto notable, ya que el cualquier caso es suficiente el tener presente esta fórmula para calcular un producto de este tipo.



Un requisito para efectuar este producto notable es que uno de los términos de los binomios sea idéntico en ambos – x – y que los términos a y b sean semejantes, es decir que se puedan sumar. Ejemplos. Desarrolle los siguientes productos:

=++ )5)(3( xx Aplicando la fórmula del producto notable ))(( bxax ++ = abxbax +++ )(2

=+++ )5)(3()53()( 2 xx 1582 ++ xx

=+− )7)(2( yy

Aplicando la fórmula del producto notable ))(( bxax ++ = abxbax +++ )(2

=−++−+ )7)(2()72()( 2 yy 1452 −+ yy

“Observe como en este producto notable el resultado es un trinomio”. El siguiente ejercicio también aplica la misma fórmula, observe el desarrollo

=++ )24)(4( 22 yxyx

Aplicando la fórmula del producto notable ))(( bxax ++ = abxbax +++ )(2

( ) ( ) ( ) =+++ yyxyyx 2)(4)2(4 222

Note como el término común se eleva al cuadrado, el segundo término es la suma de los dos términos distintos en los binomios por el término que es común en los binomios y el

tercer término es el producto de los dos términos diferentes. Es necesario que los términos “a” y “b” sean semejantes.

En este caso son semejantes ya que )2( yy + se pueden simplificar y3= , el resultado es

( ) =++ 224 24)3(16 yxyx 224 21216 yyxx ++



E18.3. Productos Notables (Multiplicación de binomios ))(( bxax ++ ).

Aplicando operaciones con productos notables, desarrolla las siguientes expresiones y simplifica el resultado: 1) ( )( )137 −− xx 2) ( )( )85 ++ yy 3) ( )( )38 +− nn 4) ( )( )215 −+ mm

5) ( )( )146 22 +− xx

6) ( )( )38 33 −− xyxy

7) ( )( )513 55 −− mm 8) ( )( )5383 +− xx

9) ( )( )12102 22 ++ xx 10) ( )( )mxmx 3++

11) ( )( )tttt 23 33 +−

12) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

41

21 aa

13) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 8

24

2

33 zz

14) ( )( )21 −− xx aa

15) ( )( )axax +− 33 5

16) ( )( )53 ++ xx

Binomios conjugados ))(( axax −+ . El producto ó multiplicación de dos binomios de la forma ))(( axax −+ se desarrolla de la siguiente forma:

( ) )( axaaxx −+− 22 aaxaxx −+−

22 ax −

El producto de binomios conjugados genera como resultado un binomio en donde los elementos de los binomios, cada uno se eleva al cuadrado y el signo que los separa es siempre negativo. Un requisito para efectuar este producto notable es que los binomios contengan prácticamente a los mismos términos y la única diferencia es que en un binomio se da la suma y en el otro la diferencia de los términos. Ejemplos. Desarrolle los siguientes productos:

=−+ )3)(3( xx Aplicando la fórmula del producto notable ))(( axax −+ = 22 ax −

=− 22 )3()(x 92 −x



=+− )2)(2( 22 yy

Aplicando la fórmula del producto notable ))(( axax −+ = 22 ax −

( ) ( ) =−2222 y

44 y− “Observe como en este producto notable el resultado es un binomio en donde cada uno de

los dos términos esta elevado al cuadrado”. El siguiente ejercicio también aplica la misma fórmula, observe el desarrollo

=+− )4)(4( 3232 yxyx

Aplicando la fórmula del producto notable ))(( axax −+ = 22 ax −

( ) ( ) =−23224 yx

Note como el primer término se eleva al cuadrado y se le resta el segundo término al cuadrado El resultado es:

6416 yx − E18.4. Productos Notables (Binomios conjugados).

Aplicando operaciones con productos notables, desarrolla las siguientes expresiones y simplifica el resultado: 1) ( )( )zxzx +− 2) ( )( )xyyx 3223 +−

3) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + xyyx

21

31

31

21

4) ( )( )33 +− mnmn

5) ( )( )5225 xyyx +−

6) ( )( )1313 +− xx

7) ( )( )33 +− xx

8) ( )( )8383 3131 +− xx

9) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

yy1111

10) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

yx

yx

21

21

11) ( )( )xxxx +−21 12) ( )( )xayzayzx 33 +−

13) ( )( )2353223532 33 zayxazayxa +−

14) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − x

xx

x3

313

31

15) ( )( )11 ++−+ yxyx

16) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

111

111 6666 yxyx



19. Binomio al cuadrado ( )2ax ± . El producto ó multiplicación de dos binomios de la forma ( ) ( )( )axaxax ++=+ 2 se desarrolla de la siguiente forma:

( )( ) =++ axax ( ) ( ) =+++ axaaxx

( ) ( ) ( ) ( ) =+++ aaxaaxxx 22 2 aaxx ++

El producto de la multiplicación de dos binomios de la forma ( ) ( )( )axaxax −−=− 2 se desarrolla de la siguiente forma:

( )( ) =−− axax ( ) ( ) =−+− axaaxx

( ) ( ) ( ) ( ) =−−−−+ aaxaaxxx 22 2 aaxx +−

El producto notable ( ) 222 2 aaxxax +±=±

Se lee, el primero término al cuadrado más el doble producto del primero por el segundo

término más el segundo término al cuadrado. El resultado es un trinomio.

Este último es el producto notable, ya que el cualquier caso es suficiente el tener presente esta fórmula para calcular un producto de este tipo. Ejemplos. Desarrolle los siguientes productos:

( ) =− 23x El producto notable ( ) 222 2 aaxxax +±=±

( ) ( )( ) ( ) =+− 22 332 xx 962 +− xx

( ) =+

234 y El producto notable ( ) 222 2 aaxxax +±=±

( ) ( )( ) ( ) =++2332 424 yy

63816 yy ++



( ) =−

2343 zx El producto notable ( ) 222 2 aaxxax +±=±

( ) ( )( ) ( ) =+−2332 44323 zzxx

632 16249 zxzx +−

E19.1. Productos Notables (binomio al cuadrado).

Aplicando operaciones con productos notables, desarrolla las siguientes expresiones y simplifica el resultado: 1) ( )25+x

2) ( )23−x

3) ( )253 +x

4) ( )251 y−

5) ( )215 −y

6) 2

42

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

x

7) ( )223 axy +

8) 22

33 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

x

9) 2

31

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +x

10) ( )2362 yx −

11) ( )510 3yx +

12) ( )23byax +

13) 28

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

x

14) ( )21+x

15) ( )2yx −

16) ( )23132 4xx +

Binomio al cubo ( )3ax ± .

El producto ó multiplicación de dos binomios de la forma ( ) ( ) ( )axaxax −−=− 23 , el término ( )2ax − , se desarrollo de la forma 22 2 aaxx +− al efectuar el producto

( )( ) =+−− 22 2 aaxxax

aplicando la propiedad distributiva

( ) ( ) =+−−+− 2222 22 aaxxaaaxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−−−−+− 2222 22 aaaxaxaaxaxxxx

=−+−+− 322223 22 axaaxxaaxx reordenando los términos respecto a x

=−++−− 3

semejantes osson términ

22

semejantes osson términ

223 22 axaxaaxaxx 434214434421

3223 33 axaaxx −+−



En este resultado se puede rescribir como

302203 33 axxaaxax −+−

Note como los signos se van alternando y como los exponentes de x se van decrementando de 3 a 0, mientras que el exponente de a se va incrementando de 0 a 3. Además en un binomio al cubo, se genera por resultado un polinomio de cuatro términos. Considere el caso ( )3ax + , en este caso todos los coeficientes del resultado son positivos, es decir

( ) 32233 33 axaaxxax +++=+ Ejemplos. Desarrolle los siguientes productos:

( ) =− 35x El producto notable ( ) 32233 33 axaaxxax −+−=−

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =−+− 3223 55353 xxx ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) =−+− 12525353 23 xxx

1257515 23 −+− xxx

( ) =+ 34y El producto notable ( ) 32233 33 axaaxxax +++=+

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =+++ 3223 44343 xxx ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) =−+− 6416343 23 xxx

644812 23 +++ xxx

E19.2. Productos Notables (binomio al cubo).

Aplicando operaciones con productos notables, desarrolla las siguientes expresiones y simplifica el resultado: 1) ( )32−x

2) ( )35+x

3) ( )32yx +

4) ( )333 mn−

5) ( )332 2−nm

6) 3

3

271⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +x

7) 3

5

319 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − xa

8) ( )332 xy −

9) 3

21

31

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +x

10) ( )332 3byaz −



Triángulo de pascal. Dentro de los productos notables como son ( )2ax ± , ( )3ax ± se puede incluir ( )1ax ± y ( )0ax ± , al acomodarlos de la siguiente forma observe como se desarrollan los coeficientes de cada uno de los binomios ( ) 10 =± ax (recuerde como cualquier expresión a la potencia 0 es igual a 1). ( ) axax ±=± 1 (cualquier expresión a la potencia 1, es igual a si misma) ( ) 222 2 aaxxax +±=± (este se desarrollo anteriormente) ( ) 32233 33 axaaxxax ±+±=± (se desarrollo anteriormente) Observe como cuando el signo en el binomio es positivo, todos los coeficientes son positivos, en cambio cuando es negativo, el signo de los coeficientes va alternando comenzando primero con el positivo, luego negativo y así alternando sucesivamente. Al acomodar los coeficientes se puede observar

nos indica la suma de los números en sus extremos, y genera el numero que se

muestra por la flecha

Observe como el número de términos de un binomio elevado a la n genera n +1 términos, los signos se van alternando, pero además se recordara los productos notables para el binomio elevado a la potencia uno, al cuadrado y al cubo

( ) axax ±=± 1

( ) 222 2 aaxxax +±=± ( ) 32233 33 axaaxxax ±+±=±

estos se pueden rescribir como

( ) 01101 xaxaax ±=±

( ) 0211202 2 xaxaxaax +±=± ( ) 03221303 33 xaxaxaxaax ±+±=±

es decir mientras que el exponente de un término crece de 0 hasta el indicado en la potencia del binomio, el otro decrece del valor expresado en la potencia del binomio hasta cero.



La forma de aplicarlo es la siguiente: Desarrolle el binomio ( )72−x Este producto generará 8 términos, los coeficientes de dichos términos son los siguientes:

1721353521711615201561

1510105114641

1331121

111

76543210

resultado del esCoeficient

binomiodel Exponente

El término entre los elementos del binomio es negativo, es decir que el primer coeficiente es positivo, el siguiente negativo y así alternaran hasta llegar al último término Los exponentes para el término x se decrementará de 7 a 0, mientras que el exponente de 2 se incrementará de 0 a 7, el resultado es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +−+− 34251607 2352212721 xxxx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−+− 70615243 2127221235 xxxx El último paso consiste en desarrollar los términos 2 al exponente indicado y multiplicar por el coeficiente indicado. E19.3. Productos Notables (Triángulo de Pascal).

Aplicando operaciones con productos notables, desarrolla las siguientes expresiones y simplifica el resultado: 1) ( )52−x

2) ( )612 +x

3) ( )423 −x

4) ( )5ax +

5) ( )43bm +

6) 6

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

xyxy



E19.4. Ejercicio 1. Productos Notables.

Identifica a qué tipo de producto notable corresponden los siguientes productos, desarrolla la expresión y simplifica el resultado: 1) ( )( )xyyx +− 33

2) ( )( )910 22 −+ xx

3) ( )216 −x

4) ( )yxxyxy 22 3−

5) ( )332 m+

6) ( )21253 uuu −

7) ( )( )55 +− aa

8) ( )963333 351052 yxyxyx −−−

9) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

31

34 cc

10) ( )42 1+at 11) ( )( )mkmk +−53

12) 2

22

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + yx

13) ( )33 1−a

14) ( )( )21252321 3 xxxx ++

15) ( )2cxab−

16) ( )( )35 22 −+ xyxy

17) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

253

53

2y

xxy

18) ( )43 2ak −

19) 3

5

21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +x



21. Factorización. En álgebra, la factorización es expresar un objeto o en el producto de otros objetos más pequeños (factores, en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y 22 ba − se factoriza en el binomio conjugado ))(( baba −+ . La factorización se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes. Factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y factorizar polinomios en el teorema fundamental del álgebra.

Factor común monomio. Este proceso es similar a la división por un monomio, verificando que cada uno de los términos del monomio o polinomio sea divisible de forma exacta, si no lo es, dicha expresión se dice que no tiene factor común. Otra forma para detectar el factor común en un polinomio es factorizar cada uno de sus términos en todos sus factores (numéricos y literales) y tomar los que son comunes a todos los términos del polinomio, por ejemplo:

Factorizar 2345 483 aaaa −+− Al factorizar cada uno de los términos del polinomio la expresión se rescribe

aaaaaaaaaaaaaa ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅ 222223

observe como cada uno de los términos contiene aa ⋅

{ { { {

similaresFactores

similaresFactores

similaresFactores

similaresFactores

222223 aaaaaaaaaaaaaa ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅

factorizando tenemos ( )222223 ⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅ aaaaaaaa

expresando los términos como cantidades desarrolladas y literales en exponentes

( )483 232 −+− aaaa

si se desarrolla el producto, el resultado es el polinomio inicial.



Factorizar 2357 5151025 xxxx −+−

Al factorizar cada término del polinomio esta expresión es equivalente a

xxxxxxxxxxxxxxxxx ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5352555 rescribiendo

321321321321

similaresfactores

similaresfactores

similaresfactores

similaresfactores

5352555 xxxxxxxxxxxxxxxxx ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

factorizando se tiene

( )4444444 3444444 21321

términos los todosan multiplica

similaresfactores

13255 −⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ xxxxxxxxxxx

expresando en potencias y desarrollando los términos constantes

( )13255 352 −+− xxxx

E21.1. Factorización (Factor común monomio).

Realiza la descomposición factorial de las siguientes expresiones algebraicas: 1. 22 62 axxa + 2. mnm 28 2 − 3. 3223 6015 dcdc + 4. 332 7035 mnm − 5. 4222 3624 yxxya −

6. 3284 2 +− xx 7. yyy 452015 23 ++

8. axaxa 328 22 −− 9. 4322 562814 xxyx +−

10. 222 685134 ayyaax −+

11. 252321 18126 xxx +−

12. xyaxyaxya 369 2793 −+

13. 212123 81632 −−− ttt

14. bayxbaxy +−+ 2222 284

15. 423324

21

27

23 yxyxyx +−



Factor común polinomio. El producto de dos binomios de la forma ( )( )bamx ++ , al desarrollarlo se obtiene el siguiente polinomio

bmambxax +++ Observe que es posible aplicar la propiedad asociativa de la suma

( ) ( )4342143421

comuúnfactor como literal la tiene

binomio este

comuúnfactor como literal la tiene

binomio este

mx

bmambxax +++

a cada uno de los binomios se puede factorizar la literal que tienen en común

( ) ( )321321

semejantes factores

son estey binomio este

bambax +++

por ello se pueden factorizar porque el binomio ( )ba + multiplica las dos expresiones ( )( )mxba ++

que son los factores cuyo producto es el polinomio bmambxax +++

Este procedimiento se puede extender a polinomios de “n” términos, donde preferentemente “n” es un número par.

Por ejemplo. Factorice los siguientes polinomios

Factorice aaa 414 23 +−−

El primer paso es asociar los términos en binomios con factores comunes, para el polinomio se propone tras reacomodarlo

( ) ( )32143421

1común factor el tienen polinomio

un de términos los todos

tienen términosambos

23 144

2

−+− aaa

a

En apariencia el binomio ( )14 −a no tiene términos comunes, sin embargo recuerde que cualquier cantidad o expresión algebraica tiene como factor a la unidad por lo tango y al factorizar los términos comunes en los binomios la expresión se puede escribir como

( ) ( )141142 −+− aaa

Note como ahora el binomio ( )14 −a es común a ( )142 −aa y ( )141 −a , por esta razón se puede factorizar y el resultado es

( )( )114 2 +− aa



Factorice axaxx 393 23 +−− Este ejemplo muestra que la agrupación de términos se puede dar de distinto modo:

( ) ( )4342143421

1común factor

3común factor

23 393

2

axaxx

x

+−+− ( ) ( )443442143421

ax

aaxxx

3común factor

2

común factor

3 393 +−+−

La forma de agruparlos fue diferente, sin embargo el resultado debe coincidir, factorizando

( ) ( )axaxx 3133 2 +−+− ( ) ( )13313 22 +−+− xaxx El detalle es que aparentemente ( )ax 3− y ( )ax 3+− no son binomios iguales, sin embargo en este caso también se puede factorizar el signo negativo: ( ) )3(3 axax −−=+− , este signo que se factorizo acompaña al factor común de la siguiente forma

( ) ( )axaxx 3133 2 −−−

Ahora el binomio ( )ax 3− es común y se puede factorizar:

( )( )133 2 −− xax

Con el procedimiento paralelo pasa lo mismo, es decir se factoriza el signo negativo

( ) )13(13 22 −−=+− xx

y se realiza un procedimiento similar

( ) ( )13313 22 −−− xaxx

factorizando el binomio ( )13 2 −x el resultado es

( )( )axx 313 2 −−

el cual es similar, pero con diferente orden de los factores (recuerde que el orden de los factores no altera el producto.).



Factorice 22223 1 yzyzzz +++++

Al utilizar la propiedad asociativa para este polinomio se forman tres binomios

43421321321

2común factor

222

1común factor

2

común factor

3 1

yz

yzyzzz +++++

factorizando ( ) ( ) ( )2222 1111 zyzzz +++++

factorizando ahora el binomio ( )12 +z

( )( )22 11 yzz +++

ordenando este resultado para que las constantes queden al final

( )( )11 22 +++ zyz

E21.2. Factorización (Factor común polinomio).

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: 1. ( ) ( )112 −−− xyx

2. ( ) ( )233233 −+− nynx

3. ( )11 22 +−+ aba

4. ( ) mnnmx −+−3

5. ( ) ( )22 1514 axmxam +−+−+

6. ( )( ) ( )131 +−++ nxnyx

7. ( ) ( )( )4242 +−−+ aaaa

8. ( )( ) ( )( )11 −−−+− xnxmxx

9. ( )( ) ( )( )4343 +−+−− xxxx

10. ( )( ) 111 22 −−+−+ aaba

11. ( ) ( ) ( )121213 −+−−− xzxyxx

12. ( ) ( ) ( )baxbaxbax +−+++ 366 23

13. ( ) ( ) yxyxbyxa −−+++ 32

14. ( )( ) ( )( )23223 −−+−− xxyxxx

15. ( )( )xybayx −++− 263

E21.3. Factorización (Factor común por agrupación de términos).

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: 1. yxayax +++ 2. bybxayax 2233 −+−

3. xxyxy 362 2 −−+

4. 222222 33 byyabxxa −+− 5. 104´156 +++ baab 6. 44 3223 mxnxnm +−− 7. aaa 414 23 +−− 8. 2222 3223 abyxyabx +−−

9. amxbmbaxa 3344 23 −+− 10. xaynyaxn 222222 55 +−−

11. bxbyyaxa 61552 22 −+− 12. aybybxax 82520 +−− 13. 1222 −+−+− nmaanam 14. 22223 1 xaxaaa +++++ 15. 222223 6322 xynynzxznxx +−−+−



22. Trinomio cuadrado perfecto. Se estudio anteriormente el producto notable ( )2ax ± ó binomio al cuadrado y se sabe que su resultado es un trinomio de la forma 22 2 aaxx +± , este recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto. El proceso de factorizar un trinomio cuadrado perfecto consiste en

( )2

generan lo que factores los Encontrar

22 2 axaaxx ±+± ⇒

Para determinar si un trinomio es un trinomio cuadrado perfecto solo basta verificar lo siguiente

2

resultados los dospor r Multiplica2

cuadrada raíz lacalcular

perfecto cuadrado trinomoun es igualesson si

cuadrada raíz lacalcular

22 2

ax

aaxx

←→

↓

↓

↑

↓

↓

↓+±

Una vez verificado, se toman los términos encontrados al sacar la raíz cuadrada del primer y tercer término del trinomio y se forma un binomio siendo el signo que los une igual al signo del segundo elemento del trinomio. Ejemplo. Verifique si los siguientes son trinomios cuadrados perfectos y factorice

Factorice 122 +− aa Se saca la raíz cuadrada al primer y tercer término

aa =2

11 = Verificando el doble producto de estas dos raíces aaa 2))((2 = se puede ver que solo difieren en el signo respecto del trinomio, en consecuencia la factorización del trinomio es igual a

22 )1(12 −=+− aaa recuerde también que

( )( )11)1( 2 −−=− aaa



Factorice 422 4914 xyxy ++ Se calcula la raíz del primer y tercer término

yy =2 24 749 xx =

El doble producto de estas dos raíces es igual a yxyxxy 222 1414)7)((2 == , es decir que el trinomio 422 4914 xyxy ++ es un trinomio cuadrado perfecto, aplicando la regla para su factorización y como el signo del segundo término es positivo:

( )22422 74914 xyxyxy +=++

Factorice 336

25251 24 xx

−+

El siguiente ejemplo requiere que se reordene, ya que si se calcula la raíz cuadrada del primer y tercer término aparentemente este no seria un trinomio cuadrado perfecto, al reordenar

251

33625 24

+−xx

y determinar las raíces del primer y tercer término (tener presentes las leyes de los exponentes y el proceso de factorización)

( )( )

( ) ( )( ) 6

536

2536

2536

2536

25 2

2/1

2/142/1

2/1

2/142/144 xxxxx===⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

51

251

=

y verificar el doble producto de los resultados anteriores 3532

5251

652

222 xxx=

⋅⋅⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

el cual corresponde al segundo término del trinomio reordenado, solo por el signo que es negativo, pero se puede afirmar que se tiene un trinomio cuadrado perfecto y en consecuencia factorizar

2224

51

65

251

33625

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+−

xxx



En la factorización es común tener casos especiales o combinaciones de los distintos tipos de factorización, considere el siguiente ejemplo en que es necesario factorizar primero un binomio y luego aplicar la factorización del trinomio cuadrado perfecto

Factorice 222324 9966 xxzzxxzzz +++++

Al utilizar la propiedad asociativa para este polinomio se forman tres binomios 4342143421321

22 9común factor

222

6común factor

3

común factor

24 9966

xzxz

xxzzxxzzz +++++

factorizando en cada uno de los binomios ( ) ( ) ( )19161 22222 +++++ zxzzxzz

factorizando el binomio ( )12 +z a toda la expresión ( )( )222 961 xzxzz +++

Se toma el trinomio 22 96 xzxz ++ y se verifica si es un trinomio cuadrado perfecto zz =2 xx 39 2 =

el doble producto de las raíces anteriores es zxxz 6)3)((2 = , factorizando el trinomio ( )222 396 xzxzxz +=++

sustituyendo esto en la expresión ( )( )222 961 xzxzz +++ el resultado totalmente factorizado

( )( )22 31 xzz ++ E22.1. Factorización (Trinomio al cuadrado perfecto).

Realiza la factorización de las siguientes expresiones algebraicas: 25102 +− aa 1. 42 254016 yy ++

2. 421236 mm ++ 3. 8118 48 +− aa 4. 22 9124 yxyx +−

5. 242 49141 yryr ++

6. 42236 257049 nanamm +− 7. 44222 14424 xmxama +− 8. 140400 510 ++ xx

9. 16

2164

2612 yyxx +−

10. 93

212bb

++

11. 4

4224 bbaa +−

12. ( ) ( ) 962 +−+− nmnm

13. ( ) ( )( ) ( )22 2 yxyxxaxa ++++−+

14. ( ) ( )( ) ( )22 111414 −+−+−+ bbaa



Diferencia de cuadrados 22 ax − . La diferencia de cuadrados es un binomio que consta de dos términos, uno de ellos negativo, es el resultado de multiplicar dos binomios conjugados ))(( axax −+ y para factorizar basta con sacar la raíz cuadrada de cada uno de los términos, a continuación se forma los binomios conjugados con estas raíces y se indica el producto:

términodel cuadrada raíz la

calcula se

términodel cuadrada raíz

la calcula se

22

negativoser de debe binomio del términosdos los a une que signo el

↓↓−↓

ax

y con las raíces calculadas para cada uno de los términos se forma el producto de binomios conjugados ))(( axax −+ . Ejemplos. Factorice las siguientes diferencias de cuadrados

Factorice 42 −x Esta expresión es un binomio y uno de los términos es negativo, se puede aplicar el procedimiento expresado anteriormente para obtener sus factores, las raíces de los términos son

xx =2

24 = Con estos dos valores se forman los binomios conjugados, el signo negativo afectará al 2 porque en la diferencia de cuadrados el 4 es el que esta afectado por el signo negativo y 2 es la raíz cuadrada de 4

)2)(2( −+ xx

Factorice 254

9

42 st−

Este ejemplo involucra fracciones, sin embargo el procedimiento es similar, se calcula la raíz de los dos términos (es importante tener presentes las leyes de los exponentes y la factorización de términos)

( )( ) 3999 2/1

2/122/122 tttt==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

54

254 24 ss

=

y se forman los binomios conjugados, el segundo valor es que ira dentro de uno de los binomios con el signo negativo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

52

352

3

22 stst



Factorice 65 x− Este ejemplo es interesante, por el siguiente hecho, primero obténgase la raíz de cada uno de los términos:

5 , este valore es un radical, el 5 no tiene raíz exacta, sin embargo es el valor que se manejará

( ) 32/166 xxx ==

El binomio conjugado que se forma es el siguiente

( )( )33 55 xx +−

Compruebe que este producto de binomios conjugado es igual a 65 x−

Factorice mn zy 42 81− El ejercicio planteado tiene exponentes literales, lo cual podría hacer dudar sobre que método aplicar, note como sin embargo es un binomio y este separados los términos por un signo negativo, además los exponentes si se observa son exponentes pares (divisibles por 2), aplique el procedimiento para la diferencia de cuadrados:

( ) ( )( ) nn

nnn yyyyy ==== 22

22/12/122 de forma similar

mm zz 24 981 = Aplicando el procedimiento de factorización, el binomio conjugado toma la forma

( )( )mnmn zyzy 22 99 +− Nota. Al igual que con el trinomio cuadrado perfecto puede haber casos en los que se requiera utilizar métodos de forma combinada.

E22.2. Factorización (Diferencia de cuadrados).

Realiza la factorización de las siguientes expresiones algebraicas: 1. 22 yx −

2. 88 yx −

3. 29 b+− 4. 62100 yx−

5. 1210 49ba +− 6. 864291 dcba−

7. 2941 a+−

8. 25

12a

+−

9. 494

161 2x−

10. 8

610

364

49 yax

−

11. 16936

62 xa+

−



12. ( ) 22 4zyx −−

13. ( )221 yx −−

14. ( )26 1−− aa

15. ( ) ( )22 532 −−− xx E22.3. Factorización (Caso especial de diferencia de cuadrados).

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: 1. ( )29 nm +−

2. ( ) ( )22 dcba +−+

3. ( ) 22 41 xx −+

4. ( )24 116 −− yy

5. ( ) 817 2 −− yx

6. ( )2210 3216 +− aa

7. ( )24 xyx −−

8. ( ) ( )22 432 +−+ xx

9. ( ) 22 494 yax −+

10. ( ) ( )22 425 yxyx +−−

Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción. Considere el trinomio 22 aaxx ++ , en este al igual que en el trinomio cuadrado perfecto el primer y tercer término tienen raíz cuadrada

xx =2

aa =2 Para que el trinomio sea un trinomio cuadrado perfecto es necesario que el segundo término sea igual al doble producto de los dos resultados anteriores es decir ax2 Observando de nuevo el trinomio 22 aaxx ++ se puede ver que es necesario sumar el término ax , pero para no alterar el trinomio observe el siguiente procedimiento

43421

cero a igual es porque trinomioel

altera no suma esta

22 axaxaaxx −+++

agrupando términos semejantes para completar el trinomio cuadrado perfecto

( ) axaaxaxx −+++ 22 se simplifica

axaaxx −++ 4434421

perfectocuadrado oun trinomi es siahora trinomioeste

22 2

factorizando el trinomio resulta la expresión ( ) axax −+ 2

este es un resultado parcial, sin embargo considere el siguiente artificio

( ) ( )22 axax −+ esta expresión es una diferencia de cuadrados y se puede factorizar

( )( )axxaaxxa −+++ Este procedimiento también se puede aplicar a una suma de cuadrados 22 ax +



Ejemplos

Factorice 43 48 ++ xx Se calcula la raíz cuadrada del primer y tercer término

48 xx = y 24 = Se calcula el doble producto de estas raíces, 44 4)2)((2 xx = Para completar el trinomio cuadrado perfecto es necesario sumar 4x , por lo tanto

4448 43 xxxx −+++ completando el trinomio cuadrado perfecto

( ) 4484448 4443 xxxxxxx −++=−+++ factorizando el trinomio cuadrado perfecto

( ) 424448 244 xxxxx −+=−++ factorizando la diferencia de cuadrados

( ) ( )( )( )( )4444424 222 xxxxxx −+++=−+ en este caso las raíces se pueden simplificar y el resultado es

( )( )2424 22 xxxx −+++ reordenando finalmente

( )( )22 2424 +−++ xxxx

Factorice 8448 164 yyxx ++ Se calcula la raíz cuadrada del primer y tercer término

48 xx = y 48 416 yy = Se calcula el doble producto de estas raíces, 4444 8)4)((2 yxyx = Para completar el trinomio cuadrado perfecto es necesario sumar 444 yx , por lo tanto

44448448 44164 yxyxyyxx −+++ completando el trinomio cuadrado perfecto

( ) 44844448 41644 yxyyxyxx −+++ factorizando el trinomio cuadrado perfecto

( ) ( ) 44244448448 444168 yxyxyxyyxx −+=−++ factorizando la diferencia de cuadrados

( ) ( )( )( )( )4444444444244 444444 yxyxyxyxyxyx −+++=−+ en este caso las raíces se pueden simplificar y el resultado es

( )( )22442244 2424 yxyxyxyx −+++ reordenando finalmente

( )( )42244224 4242 yyxxyyxx +−++



Factorice 1264 a+ Se calcula la raíz cuadrada del primer y tercer término

864 = y 612 aa = Se calcula el doble producto de estas raíces, 66 16))(8(2 aa = Para completar el trinomio cuadrado perfecto es necesario sumar 616a , por lo tanto

6612 161664 aaa −++ completando el trinomio cuadrado perfecto

6126 161664 aaa −++ factorizando el trinomio cuadrado perfecto

( ) ( ) 6266126 168161664 aaaaa −+=−++ factorizando la diferencia de cuadrados

( ) ( )( )( )( )6666626 168168168 aaaaaa −+++=−+ en este caso las raíces se pueden simplificar y el resultado es

( )( )3636 4848 aaaa −+++ reordenando finalmente

( )( )8484 3636 +−++ aaaa E22.4. Factorización (Trinomio al cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados).

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: 1. 222 2 xbaba −++ 2. 12 22 −++ nmnm 3. 22 12 baa −+− 4. 22 944 baa −−+ 5. 222 496 xyaya −+−

6. axax 241619 22 −+− 7. 222 2 cbcba −−− 8. 222 2 yxyxm −−−

9. nn 10259 2 −−− 10. anna 691 22 −−− 11. ammax 449 222 +−− 12. ama 2125 22 −−+− 13. 2222 22 dcdcbaba −−−+− 14. 2242 2169 bxbaax −+++− 15. yxyx 214422 −−++−

E22.5. Factorización (Trinomio al cuadrado perfecto por adición y sustracción).

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: 43 48 ++ xx 1. 4224 3 bbaa +− 2. 4224 934 bbaa ++ 3. 8448 164 yyxx ++

4. 4224 495425 bbaa ++ 5. 1281 48 ++ mm 6. 8448 49534 bbaa +− 7. 4224 8113925 yyxx +−

8. 42 1211084 xx +− 9. 126 923144 nn ++

10. 8424 8116964 bbaa +− 11. 12121 2244 ++ yxyx

12. 44 324ba + 13. 44 814 nm + 14. 86254 x+ 15. 1264 a+ 16. 8864 yx +

17. 44 6481 ba + 18. 10045 24 +− cc



23. Trinomio de la forma cbxx ++2 . Regla: Para factorizar cbxx ++2 en dos binomios de la forma ))(( qxpx ++ hay que encontrar dos números (p y q) que sumados algebraicamente sean igual a “b” ( qpb += ) y que multiplicados sean igual a “c” ( pqc = ).

{

}( )( )qxpxcxbx

pq

qp

++=++

+

valorestea igual es de producto el

valoreste aigual es

de algebraica suma la

2

Explicación Reacuérdese el producto de dos binomios de la forma ))(( qxpx ++ se desarrolla de la siguiente forma:

( ) )( qxpqxx +++ pqpxqxx +++2 pqxqpx +++ )(2

si qpb += y pqc =

se puede deducir que un trinomio de la forma cbxx ++2 se factoriza en el producto de dos binomios de la forma ))(( qxpx ++ donde p y q son dos números distintos. Hay que destacar que para este tipo de trinomios

1. El coeficiente de 2x debe de ser igual a 1 2. El coeficiente b y la constante c deben de ser valores distintos y diferentes de cero. Note como en este caso el trinomio en base a los signos de p y q se puede generar cuatro combinaciones de signos de acuerdo a ))(( qxpx ++ porque qpb += y pqc =

cbxx ++2 p y q son las dos positivas y su factorización ))(( qxpx ++ cbxx +−2 p y q son las dos negativas y su factorización ))(( qxpx −−

cbxx −+2 p es positiva mayor que q y q es negativa y su factorización ))(( qxpx −+ cbxx −−2 p es negativa menor que q y q es positiva y su factorización ))(( qxpx +−

{{

{{⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎩⎨⎧

<+−−>−++

−

⎩⎨⎧

−−−+++

+

++qpqxpxbqpqxpxb

c

qxpxbqxpxb

c

cbxxbc

,))((en factoriza se),)((en factoriza se

))((en factoriza se))((en factoriza se

en y de signos

2



Esto se explica mediante varios ejemplos a continuación:

Factorice 1072 ++ xx en este caso sus factores van a tener la siguiente estructura

( )( ) ++ xx

hay que encontrar dos números cuyo producto se 10 y sumados den 7, ambos positivos, para ello se factoriza el 10 en sus factores es decir 10, 5, 2 y 1, y se prueba por ejemplo

1025 =× y 725 =+ , lo cual cumple las condiciones y por lo tanto

( )( )251072 ++=++ xxxx

Factorice 28112 +− yy en este caso sus factores van a tener la siguiente estructura

( )( ) −− yy

hay que encontrar dos números que multiplicados sean igual +28 y la suma de ellos sea igual a –11, ambos negativos, para ello se factoriza el 28 en sus factores es decir 28, 14, 7, 4, 2, 1 y se prueba por ejemplo

( ) ( ) 28128 =−×− 29128 −=−− ( ) ( ) 28214 =−×− 16214 −=−− ( ) ( ) 2847 =−×− 1147 −=−−

el último cumple las condiciones y por lo tanto

( )( )4728112 −−=+− yyyy

Factorice 3522 −− aa en este caso sus factores van a tener la siguiente estructura

( )( ) +− aa

hay que encontrar dos números cuyo producto sea igual –35 y la suma de –2, uno negativo y otro positivo, la magnitud del negativo mayor que la magnitud del positivo, para ello se factoriza el 35 en sus factores es decir 35, 7, 5, 1 y se prueba por ejemplo

( ) ( ) 35135 −=+×− 34135 −=+−( ) ( ) 3557 −=+×− 257 −=+−

éste último cumple las condiciones y por lo tanto

( )( )573522 +−=−− aaaa



Factorice 1662 −+ nn en este caso sus factores van a tener la siguiente estructura

( )( ) −+ nn

hay que encontrar dos números que multiplicados den –16 y sumados den +6, uno positivo y otro negativo, la magnitud del positivo mayor que la magnitud del negativo, para ello se factoriza el 16 en sus factores es decir 16, 8, 4, 4, 2 y 1, y se prueba

( ) ( ) 16116 −=−×+ 15116 =−+ ( ) ( ) 1628 −=−×+ 628 =−+ ( ) ( ) 1644 −=−×+ 044 =−+

el segundo cumple las condiciones y por lo tanto

( )( )281662 −+=−+ xnnn

E23.1. Factorización (Trinomio de la forma cbxx ++2 ).

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: 1. 1072 ++ xx 2. 342 ++ aa 3. 2452 −+ cc 4. 21102 ++ xx 5. aa 2120 2 −+ 6. 3522 −− aa 7. 56152 ++ xx 8. 300202 −− mm 9. 3802 −+ aa 10. 52822 −− xx 11. 60172 −− xx 12. 45 24 ++ xx

13. ( ) ( ) 15424 2 −− xx

14. 245 xx −+

15. ( ) ( ) 2452 −−+− nmnm

16. ( ) 845525 2 −− xx

17. 2514 nn −+ 18. 22 421 xaxa −+ 19. 224 607 aaxx −+ 20. 802 48 −− xx



Trinomio de la forma cbxax ++2 . La factorización de un trinomio de la forma cbxax ++2 es una ampliación del método anterior, y solo es necesario hacer las siguientes consideraciones: Multiplicar todo el trinomio por a es decir

( ) =++ cbxaxa 2 ( ) acaxbxa ++22

en este paso se aplica el concepto del método anterior es decir se busca dos números cuyo producto sea igual a ac y cuya suma algebraica sea igual a b, es decir

( ) ))((22 qaxpaxacaxbxa ++=++ hay que notar que se multiplicó de forma inicial todo el trinomio por a y por esta razón es necesario dividir los factores por a

aqaxpax ))(( ++

este resultado se puede simplificar pero se explicará en los siguientes ejemplos

Factorice 253 2 −− xx

el primer paso es multiplicar todo el trinomio por 3

( ) ( ) {23

22 6)3(532533×

−−=−− xxxx

se busca dos números que multiplicados sean igual a –6 y que sumados algebraicamente sean igual a –5, aplicando el método anterior los factores que se busca son

( )( )1363 +− xx

recuerde que se multiplico todo el trinomio por 3, por lo tanto es necesario dividir estos factores por 3

( )( )3

1363 +− xx

Note como el primer factor es divisible de forma exacto por 3, por lo tanto se simplifica de la siguiente forma

( ) ( ) =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − 13

36

3313

363 xxxx

los factores para este trinomio son ( )( )132 +− xx



Factorice 9154 2 ++ aa

Es necesario multiplicar por 4 todo el trinomio ( ) ( ) {

94

22 36)4(15491544×

++=++ aaaa

es necesario encontrar dos números cuyo producto sea igual a 36 y cuya suma algebraica sea igual a +15, aplicando el método anterior los factores de interés son

( )( )34124 ++ aa al comenzar el procedimiento el trinomio se multiplico por 4, por ello es necesario dividir los factores entre cuatro

( )( )4

34124 ++ aa

observe como el primer binomio es divisible de forma exacta por 4, por lo tanto ( ) ( )34

4124

++ aa

y el resultado es ( )( )343 ++ aa

Algunas ocasiones ninguno de los factores es divisible de forma exacta por a, sin embargo este a su vez tiene factores que pueden dividir de forma exacta cada binomio, un caso se muestra a continuación

Factorice 656 2 −− xx Se multiplica por 6 todo el trinomio

( ) ( ) 36)6(566566 22 −−=−− xxxx aplicando el método anterior se buscan dos números cuya suma algebraica sea –5 y cuyo producto sea igual a –36, aplicando el método anterior los factores son

( )( )4696 +− xx dividiendo por 6, dado la multiplicación inicial

( )( )6

4696 +− xx

se observa que ninguno de los dos factores se puede dividir de forma exacta por 6, sin embargo este esta formado por los factores 32× , los factores de esta forma

( )( )32

4696×

+− xx

el primer factor es divisible por 3 y el segundo por 2, por lo tanto ( ) ( )

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+−

24

26

39

36

246

396

246

396 xxxxxx

los factores que se están buscando son ( )( )2332 +− xx



E23.2. Factorización (Trinomio de la forma cbxax ++2 ).

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: 1. 232 2 −+ xx 2. 253 2 −− xx 3. 276 2 ++ xx 4. 6135 2 −+ xx 5. xx 566 2 −− 6. 612 2 −− xx 7. 9154 2 ++ aa 8. 210113 aa ++ 9. 351312 2 −− mm 10. 120 2 −+ yy

11. 15148 2 −− aa 12. 35447 2 −− xx 13. 151516 2 −+ mm 14. 252 2 ++ aa 15. 12712 2 −− xx 16. 1109 2 ++ aa 17. 20920 2 −− nn 18. 21121 2 −+ xx

19. 2156 mm +− 20. 12815 2 −− aa 21. 4379 2 ++ xx 22. 152044 2 −+ nn 23. 103114 2 −− mm 24. 90292 2 ++ xx 25. 656 24 −+ xx 26. 102910 48 ++ xx 27. 20920 22 −+ xyyx

28. 22 722921 yxyx −−

29. 144514 24 −− xx 30. 10337 36 −− xx 31. 84 675 xx −+ 32. 222 1574 nmmnxx −+ 33. 42 8215 xx −+ 34. 309130 510 −− xx 35. 215416 aa −−



24. Diferencia y suma de cubos. La diferencia y suma de cubos son binomios en los que cada uno de los términos esta elevado al cubo, se factorizan de acuerdo a las siguientes relaciones.

( )( )2233 babababa +−+=+ ( )( )2233 babababa ++−=−

Estas relaciones se pueden comprobar por medio de la división larga. Ejemplos:

Factorizar 13 +x En este caso se tiene una suma de cubos, se calcula la raíz cúbica de cada uno de los términos y se aplica la fórmula

( )( )2233 babababa +−+=+

La raíz cúbica de cada uno de los siguientes términos es

( ) xxx ==3/133 3

( ) 111 3/133 3 == aplicando la fórmula

( ) ( ) ( )( ) ( )( )=+−+=+ 223 1111 xxxx ( )( )11 2 +−+= xxx

Factorizar 83 −a En este caso se tiene una resta de cubos, se calcula la raíz cúbica de cada uno de los términos y se aplica la fórmula

( )( )2233 babababa ++−=−

La raíz cúbica de cada uno de los siguientes términos es

( ) aaa ==3/133 3

( ) 228 3/133 == aplicando la fórmula

( ) ( ) ( )( ) ( )( )=++−=− 223 2228 aaaa ( )( )422 2 ++−= aaa



Factorizar 3327 zy − En este caso se tiene una resta de cubos, se calcula la raíz cúbica de cada uno de los términos y se aplica la fórmula

( )( )2233 babababa ++−=− La raíz cúbica de cada uno de los siguientes términos es

( ) yyy 3327 3/1333 3 ==

( ) zzz ==3/133 3

aplicando la fórmula ( ) ( ) ( )( ) ( )( )=++−=− 2233 33327 zzyyzyzy ( )( )22 393 zyzyzy ++−=

Factorizar 66 6427 nm + En este caso se tiene una suma de cubos, se calcula la raíz cúbica de cada uno de los términos y se aplica la fórmula

( )( )2233 babababa +−+=+ La raíz cúbica de cada uno de los siguientes términos es

( ) 23/1633 6 3327 mmm ==

( ) 23/1633 6 4464 nnn == aplicando la fórmula

( ) ( ) ( )( ) ( )( )=+−+=+2222222266 4433436427 nnmmnmnm

( )( ) =+−+= 222422 1612943 nnmmnm E24.1. Factorización (Suma y diferencia de cubos).

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

1. 31 a+

2. 33 yx +

3. 13 −a 4. 18 3 −x 5. 273 −x

6. 338 yx +

7. 664 a+

8. 32161 m−

9. 96 bx −

10. 33 278 yx −

11. 72964 3 −a 12. 927512 a+

13. 126 8yx −

14. 33431 n+

15. ( )31 yx ++

16. ( ) 83 −+ yx

17. ( ) 12 3 ++ yx

18. ( )33 18 −− aa

19. ( )3327 yxx −−

20. ( ) 272 3 −− ba

21. ( ) ( )33 21 +−− xx

22. ( ) ( )33 32 −+− xx

23. ( ) ( )33 32 yxyx ++− 24. ( ) ( )338 baba −++

25. ( ) 12564 3 −+ nm



E24.2. Factorización (Mezcla de casos).

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: 1. ( ) ( )22 425 yxyx +−−

2. 353 xx +

3. 334 2 −+ nn

4. 16936

62 xa+

−

5. 24 10416169 xx +−−

6. 34 216 yy −

7. 2222 244 aaxxabba −−−++

8. abcacd 1845 −

9. 92 24 ++ aa

10. 1264 a+

11. 1662 −+ nx

12. xxyxy 362 2 −−+

13. 35447 2 −− xx

14. xyyx 81625 22 +−−

15. 204153 −−+ mnmn

16. babaa 9362 2 −−+

17. 672 ++ xx

18. 4224 92516 nnmm +−

19. ( )22 3864 nmm −−

20. xxxx −+− 234

21. 88 yx −

22. aa 55 4 +

23. 2223 2 abyabxbxaba −++

24. 4322 562814 xxyx +−

25. 62 −− xx

26. 4379 2 ++ xx

27. 14132 −− cc

28. anna 691 22 −−−

29. aa 1128 2 −+

30. 3366 2 baba −+

31. 1281 48 ++ mm

32. 822 −− xx

33. 48142 +− xx

34. 22 421 xaxa −+

35. 1222 −+−−+ aanmamn

36. 656 24 −+ xx

37. 104´156 +++ baab

38. 1582 +− yy

39. 9154 2 ++ aa

40. 1222 −+ xyyx

41. 84916 cc +−

42. 42248 xx −+

43. ( ) ( )1312 −−− nynx

44. 1662 −+ zz

45. xxx 76 23 −−

46. 22

4baba

+−

47. 393 23 +−− xaxx

48. yxyx 214422 −−++−

49. 2514 nn −+

50. 1222 −+− aac

51. ( ) ( ) 65182 ++−+ dcdc



52. 12121 2244 ++ yxyx

53. 248121620 aaaaaa −+−+−

54. 352 2 ++ xx

55. 472 2 −+ xx

56. 1322 −+ xx

57. 44 814 nm +

58. ( )nmxnm ++−−

59. 245 xx −+

60. 369 2 −x

61. xaxa 8123616 22 −++−−

62. 3693 +−− aab

63. aaa 414 23 +−−

64. 510 21 aa −+

65. 22 56nmnm −+

66. 3108 2 ++ xx

67. ( ) ( )22 224 yxyx ++−−

68. ( )( ) ( )nmnmx −+−+ 222

69. 656 2 −− xx

70. 2656 tt −+

71. ( ) ( )( ) ( )22 2 manmmanm −+−−−−

72. ( ) ( )2322 ++−−+ aaax

73. 43 48 ++ xx

74. 44 64yx +

75. 84 675 xx −+

76. ( )( ) 111 22 −−+−+ aaba

77. 864291 dcba−

78. 505530 2 −− aa

79. xaxax 222 −+−

80. 357 556 aaa −+



26. Fracciones algebraicas. Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas:

2 algebraicaExpresión 1 algebraicaExpresión

Una expresión algebraica entera es la que no tiene denominador literal, por ejemplo

a , nm − , ba32

21

+

la razón porque a y nm − se pueden expresar en base a un denominador 1

1a ,

1nm −

Una expresión algebraica mixta es la que consta de parte entera y parte fraccionaria, por ejemplo

cba + ,

axx

−−

3

Factorización de signo en expresiones algebraicas. Es importante tener presente las leyes de los signos para la multiplicación y para la división:

Multiplicación +=+⋅+ )()( −=−⋅+ )()( −=+⋅− )()( +=−⋅− )()(

División +=++ / −=−+ / −=+− / +=−− /

Además es necesario recordar por ejemplo que en base a esto se puede establecer las siguientes relaciones, siendo todas ellas validas

ba

ba

ba

ba

−−=

−−=

−−

=

“para factorizar un signo negativo a una expresión algebraica se invierten sus signos y

se multiplica o divide por -1, esta operación genera la expresión original” Factorice el signo a nm − Se invierten sus signos

nm +− y se indica la multiplicación o división por –1

( )nm +−−1 ó 1−+− nm



Efectuando las operaciones distributivas de la multiplicación se puede verificar que estas operaciones generan la expresión original

( ) ( ) ( ) nmnmnm −=+−−−=+−− 111

nmnmnm−=

−+

+−−

=−+−

111

Simplificación. La simplificación de fracciones algebraicas es similar a la aritmética, el cambio es en el concepto de factor, en aritmética los factores son únicamente cantidades numéricas, en álgebra los factores son monomios, binomios, trinomios o incluso polinomios, por ejemplo:

Simplificar mba

ba33

52

64

Recuerde que los exponentes indican cuantas veces se multiplica por si misma una cantidad (conocida o variable), por lo tanto la expresión se puede rescribir como

mbbbaaabbbbbaa⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

3222 , reordenando los términos y agrupando

( )( ) mabbbaa

bbbbbaa⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

3222

los términos agrupados entre paréntesis se pueden simplificar, dado que son iguales

amb

mabb

32

32 2

=⋅⋅⋅⋅

También es posible aplicar la ley de los exponentes

amb

mba

mba

mbaba

321

321

64

64 2

21353233

52

=== −−−

Compare este procedimiento con la simplificación de fracciones en aritmética.

Simplifique

22

2

2

+−+−

xxxx

Se puede verificar que las expresiones del numerador y denominador son identicas, por lo tanto, el resultado des 1 (recuerde que cualquier cantidad sobre si misma es igual a 1); note como las expresiones son polinomios y en este caso se puede considerar factores iguales.



Simplifique

( )333

−−

xx

Exprese la expresión del denominador como productos es decir ( )

( )( )( )33313−−−

⋅−xxx

x

se puede cancelar un factor del numerador con uno del denominador, en consecuencia

( )( ) ( )231

331

−=

−− xxx

También es posible aplicar la ley de los exponentes

( )( ) ( )

( )2231

3 3133

33

−=−=−=

−− −−

xxx

xx

Simplifique ( ) ( )( )( )2

2

32322−−−−

xxxx

En este ejemplo es importante notar que los factores convienen separarlo como productos ( )( )( )( )( )( )332

3222−−−−−−

xxxxxx

En apariencia los factores ( )2−x y ( )x−2 no son iguales por los signos de los términos, por ello es necesario factorizar un signo negativo en uno de ellos:

( ) ( )xx +−−=− 212 reordenando los términos se ve

( ) ( )( )212 −−=− xx con el factor ( )x−3 también se factoriza un signo negativo

( ) ( )( )313 −−=− xx sustituyendo estas operaciones en

( )( )( )( )( )( )332

3222−−−−−−

xxxxxx

se tiene la expresión ( )( )( )( )( )

( )( )( )332312122

−−−−−−−−

xxxxxx

simplificando ( )( )( )

( ) =−

−−−3

1122xx

( )( ) =−−

322x

x ó ( )( )3

22−−

−xx



Nota importante. Los factores en álgebra se acostumbran ubicar entre signos de agrupación para facilitar su simplificación. La simplificación de fracciones hace uso de los métodos de factorización para llevar los

polinomios a expresiones más simples, por ejemplo: La simplificación también puede hacer uso de la división larga o sintética para lograr el fin deseado, el resultado puede ser exacto (residuo cero) o mixto (con residuo diferente de cero).

Simplifique yxx

x44

22

2

−

En el denominador se puede factorizar el término común 4x:

( )yxxx−4

2 2

Simplificando términos semejantes en el numerador y denominador

( ) ( ) =−⋅=

−⋅

−

yxx

yxx

21

42 12

( )yxx−2

Simplificar tst

tt62

652

−+−

Se factoriza el numerador y denominador si es posible El numerador 652 +− tt es un trinomio de la forma cbxx ++2 , sus factores son

{

}( )( )2365

6)3)(2(

523

2 −−=+−=−−

−=−−

tttt

El denominador tiene factor común 2t factorizando

)3(262 −=− tttst

al sustituir estos factores en la fracción se tiene

( )( )( )32

2362

652

−−−

=−+−

tttt

tsttt

el factor ( )3−t es común al numerador y denominador simplificando

( )( )( ) t

ttt

tt2

232

23 −=

−−−



Simplificar zzz

zz1082

2523

3

−+−

Se factoriza el numerador y el denominador si es posible El numerador zz 253 − tiene factor común z por lo tanto

( )2525 23 −=− zzzz

este resultado muestra que es posible factorizar una diferencia de cuadrados:

( ) ( )( )55252 −+=− zzzzz

En el denominador zzz 1082 23 −+ se tiene factor común 2z factorizándolo

( )5421082 223 −+=−+ zzzzzz

La expresión dentro del paréntesis es un trinomio de la forma cbxx ++2 , al factorizar

{

}( )( )152)54(2

5)1)(5(

415

2 −+=−+−=−+

=−+

zzzzzz

Sustituyendo los factores en la fracción inicial

( )( )( )( )152

551082

2523

3

−+−+

=−+

−zzz

zzzzzz

zz

simplificando términos semejantes

( )( )( )( ) ( )12

515255

−−

=−+−+

zz

zzzzzz



Simplificar 992

35234

23

−+−++−+

yyyyyyy

Para polinomios en el de numerador y denominador la factorización se puede realizar probando la división sintéticas para cada uno de los factores primos del término constante es decir: Los factores del término constante de 3523 +−+ yyy son -3, -1, +1 y 3, probando la división sintética para los binomios con estos valores entre 3+y

0 3363

3511

0123

121 +−−−+−

−xxxx

el residuo es cero y en consecuencia la división es exacta y el binomio 3+y es un

factor del polinomio

entre 3−y

24 321123

3511

0123

741 ++++++

−xxxx

el residuo no es cero, la división no es exacta y el binomio 3−y no es factor

entre 1+y

8 1501

3511

0123

501 −−+−

−xxxx

el residuo no es cero, la división no es exacta y el binomio 1+y no es factor

entre 1−y

0 1321

3511

0123

321 −++−++

−xxxx

el residuo es cero y en consecuencia la división es exacta y el binomio 1−y es un

factor del polinomio

Observe como dos de estos binomios son factores del polinomio 3523 +−+ yyy , sin embargo el mayor de los exponentes indican que debe de tener tres factores, analice los resultados en las divisiones en que el residuo fue cero Por ejemplo entre 3+y

( ) ( )43421

sintéticadivisión laen obtuvieron

se que valoreslosson escoeficient los

223 12335 +−+=+−+ yyyyyy

el trinomio ( )122 +− yy es un trinomio cuadrado perfecto y sus factores son

( ) ( ) ( )( )11112 22 −−=−=+− yyyyy



lo cual concuerda con el resultado de la división sintética, y se concluye que los factores de 3523 +−+ yyy son ( )( )( )113 −−+ yyy donde ( )1−y esta repetido

Realizando un procedimiento similar los factores de 992 234 −+−+ yyyy son ( )( )( )

43421

binomios dosen factorizar puede se

trinomioeste

2 331no

+−+− xxxx

sustituyendo y simplificando ( )( )( )

( )( )( ) 31

331311

99235

22234

23

+−−

=+−+−

+−−=

−+−++−+

xxx

xxxxxxx

yyyyyyy

E26.1. Simplificación de fracciones algebraicas.

Realiza la simplificación de las siguientes expresiones algebraicas:

1) 32 223

axaab+

2) ( )nmmknm23

32

8010

−

3) 66

44−−x

x

4) mmx

x10542

+−

5) 651543

2

2

+−−−

xxxx

6) 1

134

3

−+−+

aaaa

7) 10720

2

2

+−−−

kkkk

8) 82

82

3

−+−

kkk

9) ( )( ) 22

22

knmknm−+−−

10) 4224

23

963

yyxxxyx+−

−

11) aatat

ata30

362

222

−+−

12) mxmxx

xm332

22

+−−−

13) xxx

xx632

4923

24

−+−

14) 2

2

37560222

xxx

−+−

15) mmmmmm

−−++−−

32

32

11

16) yxyxx

xx+−−

−+34

36 2

17) 122072

128234

23

−+−−+−−

xxxxxxx

18) 22

123

23

+−−−−+

aaaaaa

19) 523

23

1090155

xyxyxx

−−

20) ( )( )( )( )22

22

141681

xxxxxx−−+−−



27. Suma y resta de fracciones algebraicas. El método para sumar o restar fracciones consiste en: Simplificar las fracciones dadas si es posible. Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores. Se normalizan los numeradores respecto del mínimo común múltiplo, respetando el signo de suma o resta. Se efectúan las multiplicaciones indicadas respetando signos. Se reducen términos semejantes en el numerador. Se simplifica la fracción que resulta, si es posible.

Simplificar 33

22

2

11abbaba

ababa −+

−+−

Se simplifican las fracciones

( )baaaba −=

−11

2

ab1

( ) ( )( )babaabba

baabba

abbaba

−++

=−+

=−+ 22

22

22

33

22

Para los denominadores de las tres fracciones encontrar el mínimo común múltiplo ( )baa − , ab y ( )( )babaab −+ se toman los factores comunes y no comunes con mayor

exponente, por lo tanto el m.c.m. = ( )( )babaab −+ Normalizando los numeradores

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )babaab

bababaabbabaab

abbabaab

baababaab

−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+ 2211

Simplificando ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( )( )babaabbabababab

−++−−+++ 22111

Efectuando las multiplicaciones ( ) ( ) ( )

( )( )babaabbababab

−++−−++ 22222

simplificándolos ( ) ( ) ( )

( )( )( )( )( )babaab

babbabaab

bbbaaab−+

−=

−+−−+−+ 222222

factorizando el b del numerador y simplificando ( )

( )( ) ( )baababaabbab

+=

−+− 1



Simplificar 234

2

22 431612

4332

xxxxx

xxx

xxx

−+++

+−+

+−

−−

Se simplifican las fracciones

( )122

2 −−

=−−

xxx

xxx

( )( )143

433

2 −++

=−+

+xx

xxx

x

( ) ( )( )141612

431612

431612

2

2

22

2

234

2

−+++

=−+++

=−+++

xxxxx

xxxxx

xxxxx

Observe que ninguna de las tres fracciones se simplifico y aún más como en la tercer fracción el numerador no se puede factorizar y por ello todo el trinomio 16122 ++ xx se deja igual Para los denominadores de las tres fracciones encontrar el mínimo común múltiplo ( )1−xx , ( )( )14 −+ xx y ( )( )142 −+ xxx se toman los factores comunes y no comunes con

mayor exponente, por lo tanto el m.c.m. = ( )( )142 −+ xxx Normalizando los numeradores

( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

( )( )14

161214143

14142

114

2

22

222

−+

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

xxx

xxxxxxxxx

xxxxxx

xxxxx

Simplificando ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )1416121324

2

22

−+++++−−+

xxxxxxxxxx

Efectuando las multiplicaciones ( ) ( ) ( )

( )( )141612382

2

22323

−+++++−−+

xxxxxxxxxx

Agrupando términos semejantes en el numerador ( ) ( ) ( )

( )( )141681232

2

22233

−++−++−+−

xxxxxxxxxx

simplificándolos

( )( )14164

2 −++

xxxx

factorizando el 4 del numerador y simplificando

( )( )( ) ( )1

414

4422 −

=−+

+xxxxx

x



Cuando se inspeccionan la suma o resta de dos fracciones y es obvio que sus denominadores no tienen mínimo común múltiplo, se puede efectuar un producto cruzado y simplificar

Simplificar xx

xx

−+

−+−

11

11

Al efectuar el producto cruzado ( )( ) ( )( )

( )( )xxxxxx

xx

xx

−+++−−−

=−+

−+−

111111

11

11

efectuando las multiplicaciones en el numerador ( ) ( )

( )( )xxxxxx

−+++−+−

112121 22

simplificando términos semejantes ( ) ( ) ( )

( )( )xxxxxx

−+−+−−+−

112211 22

el resultado es

( )( )xxx−+

−11

4

Simplificar 22

11xxxx +

−−

Al efectuar el producto cruzado ( )( ) ( )( )

( )( )22

22

22

1111xxxx

xxxxxxxx +−

−−+=

+−

−

efectuando las multiplicaciones en el numerador ( ) ( )( )( )22

22

xxxxxxxx

+−−−+

simplificando términos semejantes ( ) ( )( )( )22

22

xxxxxxxx

+−++−

observe como en el denominador se puede factorizar términos

( )( ) ( )( ) ( )( )xxxxx

xxxxx

+−=

+− 1122 2

22

2

al reacomodar se tiene que

( )( )( )( ) ( )( )xxxx

xxxxx

+−=

+− 112

112

2

22

simplificando y efectuando el producto en el denominador

212x−



E27.1. Suma y resta de fracciones algebraicas.

Realiza las operaciones que se indica y simplifica las siguientes expresiones:

1) 4

726

2 −+

− xx

2) bab

aba

202

153 −

+−

3) 2

2

61

33

52

xx

xx +

+−

+

4) 22

2

3

221babab

abab

ab+

+−

+

5) 22 baba

abba

ababa

+−

++

+−

6) xaaxaax +

++

−111

2

7) 11

13

1 23

3

+−

−+−

++

+ mm

mmm

mm

8) ( ) ( ) nnnn

11

11

11

132 −

−−

−+

−

9) 306014

2040520

10203

+−

−++

++−

mm

mm

mm

10) 22 2266331

331

xx

xx

xx −−

++

+−

−



28. Multiplicación de fracciones algebraicas. Método general para la multiplicación de fracciones Se descomponen en factores, tratando de simplificar los las fracciones que se van a simplificar. Se simplifica aún más suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores. Se multiplican entre si las expresiones que queden en los numeradores y denominador para simplificar primero términos semejantes, después si es posible se factorizan los resultados y se simplifican nuevamente. Si se tiene fracciones mixtas, primero se simplifican por operaciones de suma ó resta.

Simplificar a

bba

46

32 22

×

Las fracciones estan compuestas por monomios, no es posible simplificar cada fracción por separado, por lo tanto se procede a multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador

abba

4362 22

⋅⋅

se simplifica la nueva fracción eliminando factores comunes

ababba

=12

12 22

Simplificar 22

2

2 nmn

nmnnm

−×

−+

Primeramente se descomponen en factores las fracciones

( )nmnnm

nmnnm

−+

=−+

2 y

( )( )nmnmn

nmn

−+=

−

2

22

2

por lo tanto

( ) ( )( )nmnmn

nmnnm

nmn

nmnnm

−+⋅

−+

=−

×−+ 2

22

2

2

simplificando los factores n y ( )nm + la expresión se reduce a

( )2nmn−

=

este es resultado final ya que no hay expresiones que se puedan multiplicar y los factores del numerador y denominador ya no son reducibles.



Simplificar 463

36232

2

2

−+

×+

−−xx

xxx

Primeramente se descomponen en factores las fracciones

( )( ) ( )3

2)12(3

12236

232 2 −=

++−

=+

−− xx

xxx

xx y

( )( ) ( )22

22)2(2

463

2 −=

−++

=−+

xxxx

xx

por lo tanto ( )

( )22

32

463

36232

2

2

−⋅

−=

−+

×+

−−x

xxx

xxx

simplificando el factor ( )2−x la expresión se reduce a

32

=

Simplificar ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

21

12

xx

xx

Primero es necesario simplificar las fracciones mixtas en cada uno de los factores de esta multiplicación

( ) ( )( )1

121

21

211

2 2

+−+

=+−+

=+

−+=

+−

xxx

xxx

xxx

xx y

( ) ( )2

12

122

122

1 22

++

=+

++=

+++

=+

+xx

xxx

xxx

xx

sustituyendo estos factores en el producto inicial ( )( )

( )( )

21

112

21

12 2

++

⋅+

−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

xx

xxx

xx

xx

simplificando los factores ( )( )

( )( )( ) ( )( )11

21

112 2

+−=++

⋅+

−+ xxxx

xxx

el resultado es la diferencia de cuadrados 12 −= x



División de fracciones. Se acostumbra expresar la división de fracciones como una división indicada, en la que la raya de fracción equivale a dividir lo que esta por encima de ella (dividendo) entre lo que esta por debajo de ella (denominador) Si el dividendo o denominador requiere la simplificación por suma, resta o multiplicación, primero se efectúa esta. Se descomponen en factores, tratando de simplificar los las fracciones que se van a dividir. Se aconseja convertir la división en una multiplicación de la siguiente forma

( )( )( )( )r1denominadonumerador2

r2denominadonumerador1



=

Producto de extremos como numerador y producto de medios como de denominador, y seguir el procedimiento de la multiplicación

Simplificar

x

xx

21

22

+

−

Primero se simplifican las fracciones en el numerador y denominador

( )( ) ( )( )( )( )

( )( )x

xxxx

xxxx

x 222

24

222

22 2 +−

=−

=−

=− y

( )( )x

xx

xx

+=

+=+

22121

La relación es ( )( )

xx

xxx

+

+−

22

22

al convertir esta relación en multiplicación es equivalente a

( )( )( )x

xx

xx+

⋅+−

2222

se puede simplificar los términos x y ( )x+2 , por lo tanto

22 x−

=



Simplificar

2166

2121

−++

−−−

xx

xx

Primero se simplifican las fracciones en el numerador y denominador Respecto al numerador

( ) ( )( )( )2

122122

121−

−−−−=

−−−

xxxx

xx

( ) ( )( )( ) ( ) ( )2

1032

12222

12212 22

−−−

=−

−+−−=

−−−−−

xxx

xxxx

xxxx

( )( )( )

( )225

21032

−+−

=−−−

xxx

xxx

Respecto al denominador ( )( ) ( )( )

( )216262

2166

−+−+−

=−

++x

xxxx

x

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )2

442

1612622

16262 22

−++

=−

+−+−=

−+−+−

xxx

xxxx

xxxx

( )( )( )2

22

44 22

−+

=−

++x

xx

xx

La relación es ( )( )

( )( )( )2

22

25

2

−+−

+−

xxx

xx

al convertir esta relación en multiplicación es equivalente a

( )( )( )

( )( )22

22

25+−

⋅−

+−xx

xxx

simplificando términos semejantes

( )( )2

5+−

=xx



E28.1. Multiplicación y división de fracciones algebraicas.

Efectúa las operaciones indicadas y simplifica las siguientes expresiones:

1) 22

2

2

22

4244

yxx

xyxyxyx

−×

++−

2) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

ax

xxaa

ax 2

2

2

11

3) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅+

×+−

+⋅

+−+

331

9327 3

2234

4

23

4

xx

xxxxxxx

xxxxx

4) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

ax

xax 11

5) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

yxxx

yx 2

1

6) 42

230

122 −+

÷−− aaaa

7) 11025

613625

27152

2

3

2

++++

÷−−+

xxxx

xxxx

8) 22

22

23

22

324403

41572

babababa

baababa

−−−−

÷+

−+

9) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

43

32

xx

xx

10) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+÷⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−a

aaa

aa 11212 2

2

11) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

×−−+

÷+−

222

2

2

2

113

15565

babaax

baa

bbaa

12) 22

33

22

22

322

223

81627

284

37296

yxyxyx

yxyxyx

yxyyxxyyxx

+++

÷−−

−×

++++

13) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

÷++

−÷

+⋅

+−

22

23

22

23

2322

22

21

xkkxk

xkxkxkk

xkkxkkxk

14) ( ) ( )

( )22

24

3

2

2

22

39

2733

93

mmmm

mmm

mmm

+

−÷⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−+

÷−−

15)

xyxy

yx

+

−

1



16)

2

78

145

aaa

aa

++

−+

17)

11154

3972

+−

+−

++

−+

aaa

aaa

18)

baab

ba

aba

−−

−

+1

3

2

19)

xbxa

xbxb

xaxa

−−

−

−+

−−+

22

20)

xx

xx16

1271 2

−

+−



29. Despejes. Las ecuaciones son dos expresiones las cuales son idénticas una de la otra, por ejemplo

( ) { {

expresión2 la a

identicaó igual es1expresión

3 2 xxa +=+43421

En las ecuaciones es común el despejar para poder tener una expresión que permita calcular el valor de una de las variables, antes de continuar considere la leyes de la igualdad, las propiedades de la suma y las propiedades de la multiplicación Propiedades de la adición (+)

Se escribe ba + . Es conmutativa abba +=+ . Es asociativa )()( cbacba ++=++ . Tiene una operación inversa llamada sustracción o resta abba =−+ )( , que es igual a sumar un número negativo )( baba −+=− . Tiene un elemento neutro 0 que no altera la suma aa =+ 0

Leyes de la igualdad referidas a la suma. La relación de igualdad ( = ) tiene las propiedades siguientes:

Si ba = y dc = entonces dbca +=+ y bdac = . Si ba = entonces cbca +=+ . Si dos símbolos son iguales, entonces, uno puede ser sustituido por el otro. Regularidad de la suma, trabajando con números reales o complejos si cbca +=+ , entonces ba = .

Por ejemplo 55 = y 1212 = , por consecuencia 125125 +=+ es decir 1717 = También es cierto con la suma algebraica es decir )12(5)12(5 −+=−+ corresponde a

77 −=− “Sumar o restar la misma cantidad en ambos lados de una igualdad,

no altera a la misma”. También recuerde que toda cantidad tiene su inverso aditivo y el resultado de su suma es igual a cero, por ejemplo la suma de 2 y su inverso aditivo -2 es igual a 0, además recuerde que el cero es el neutro aditivo, ya que por ejemplo 505 =+ ,

“Sumar una cantidad y su inverso aditivo en un mismo lado de una igualdad, no altera a la misma”



por lo tanto al aplicar estos conceptos 3553 =−+ , aplicando la propiedad asociativa se ve que { { {

4expresión 3expresión 2expresión 1expresión

3585)53(3 =−=−+=43421

, tome la expresión 3 y 4 y sume 5 a cada

expresión es decir 53558 +=+− equivale a ( ) 53558cero a igual es

+=+−+43421

, por lo tanto 5308 +=+

y en consecuencia 88 = Por lo general este procedimiento se simplifica y se expresa como “si una cantidad esta sumando pasa restando al otro lado de una ecuación ó si esta restando pasa sumando”.

Ejemplos: yx =+ 2

el 2 esta sumando, pasa restando del otro lado del a ecuación 2−= yx la y es positiva, pasa negativa del otro lado de la ecuación 2−=− yx en esta última expresión el 2 es negativo, pasa con el signo negativo 02 =+− yx “En álgebra al asociar 2 o más términos – es decir formar un binomio, trinomio o polinomio – , estos se puede considerar un factor”

)(3)()2( ayayx −=−+− el binomio )( ay − esta sumando del lado izquierdo de la ecuación, pasa restando del lado derecho

)()(3)2( ayayx −−−=− estos binomios se pueden simplificar porque son semejantes

)(2))(13()2( ayayx −=−−=− )(2)2( ayx −=−

aplicando la propiedad distributiva del lado derecho ayx 222 −=−

del lado izquierdo se tiene -2, pasa sumando del lado derecho 222 +−= ayx

Propiedades de la multiplicación (×)

Se escribe ba× ó ba ⋅ ó ( )( )ba . Es conmutativa abba ⋅=⋅ . Es asociativa )()( cbacba ⋅⋅=⋅⋅ . Es abreviada por yuxtaposición abba =⋅ . Tiene una operación inversa, para números diferentes de cero, llamada división

abab

= , que es igual a multiplicar por el reciproco ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ba

ba 1 .

Tiene un elemento neutro que no altera la multiplicación aa =×1 . Es distributiva respecto a la suma acabcba +=+⋅ )( .



Leyes de la igualdad referidas a la multiplicación. La relación de igualdad ( = ) tiene las propiedades siguientes:

Regularidad condicional de la multiplicación, si cbca ⋅=⋅ y c no es cero, entonces ba = .

Por ejemplo

99 = , al multiplicar ambos lados de la igualdad por una misma cantidad, la igualdad no deja de ser falsa, es decir 4949 ×=× equivale a 3636 = o también aa ⋅=⋅ 99 corresponde a la igualdad aa 99 = .

Estas cantidades también pueden ser fraccionarias: 3339

39

319

319 =⇒=⇒×=×

También recuerde que si una cantidad se multiplica por su reciproco, el resultado es igual a la unidad, por ejemplo

155

515 ==× , 1

33

313 =

−−

=−

×− , 11==×

aa

aa , ( ) ( )

( )( ) 1

11

111 =

−−

=−

×−xx

xx

“Cualquier cantidad que se multiplica por la unidad, esta no se modifica”

Ejemplo

326=

multiplique ambos lados de esta igualdad por 2, es decir 32262 ×=×

observe como del lado izquierdo se multiplica y divide por 2, por lo tanto

32622

×=×

3261 ×=× 66 =

4085 =×

Para cancelar el 5 del lado izquierdo se multiplica por su reciproco 51

405185

51

×=××

5408

55

=×

54081 =×

88 =



Por lo general este procedimiento se simplifica y se expresa como “si una cantidad multiplica un lado de la ecuación pasa dividiendo del otro lado ó viceversa, es decir si esta dividiendo pasa multiplicando”. “ES IMPORTANTE DESTACAR QUE EL FACTOR DEBE DE MULTIPLICAR O DIVIDIR A TODO EL LADO DE LA ECUACIÓN PARA PODERSE DESPEJAR”. Ejemplo

1853 =+ a El 5 no puede dividir al 18, porque solo esta multiplicando a la literal a, por ello es necesario pasar primero el 3 del lado derecho, como esta sumando pasa restando

3185 −=a ahora si es posible pasar el 5 que multiplica a la a dividiendo del lado derecho

5318 −

=a simplificando el lado derecho 3=a

El propósito de realizar despejes en una ecuación es agrupar términos semejantes reduciendo la expresión al máximo posible

Despejar respecto de la literal (variable) x

43

23=

−+−

xx

el binomio 3−x esta dividiendo todo el lado izquierdo de la ecuación, si es posible pasarlo multiplicando del lado derecho

( )3423 −=+− xx aplicando la propiedad distributiva del lado derecho

12423 −=+− xx en el lado izquierdo el 2 esta sumando, puede pasar restando de lado derecho

21243 −−=− xx el término 4x esta sumando del lado derecho, pasa restando del lado izquierdo

21243 −−=−− xx simplificando términos semejantes

147 −=− x el -7 que multiplica a la x pasa dividiendo

27

14=

−−

=x



Despejar respecto de la literal (variable) x ( ) ( )xx

−=+− 12

5632

el 5 divide todo el lado izquierdo puede pasar multiplicando al lado derecho ( ) ( )xx −⋅=+− 125632 ( ) ( )xx −=+− 110632

El 2 que multiplica a ( )3−x no puede pasar dividiendo, porque no multiplica a todos los términos del lado izquierdo, pero el 6 que esta sumando puede pasar restando

( ) ( ) 611032 −−=− xx aplicando la ley distributiva en ambos lados de la ecuación

( ) ( ) ( ) ( ) 610110322 −−+=−+ xx 6101062 −−=− xx

pasando literales del lado izquierdo y constantes del lado derecho 6610102 +−=+ xx

simplificando 1012 =x

despejando para x

65

1210

==x

“Al despejar se debe contemplar la ley de los signos y las leyes de los exponentes”.

Al multiplicar varias veces ambos lados de una igualdad, esta no se altera

22 = { {

22 22

2222 ×=×

434214342133 22

222222 ××=××

Observe como el procedimiento equivale a elevar a la misma potencia ambos lados de la igualdad (ecuación), por lo que se deduce que

22 = también es igual a

( ) ( )nn 22 = Además reacuérdese

( ) nnn

nnn aaaa =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛==

111

Lo anterior se enuncia de la siguiente forma, para despejar un término elevado a una potencia, se saca la raíz que anule dicha potencia, por ejemplo para despejar un término elevado al cuadrado se saca la raíz cuadrada, para despejar un término elevado al cubo se saca la raíz cúbica, etcétera; por otro lado si se desea despejar una raízl, se eleva este a la potencia que la anule.



Ejemplos

Despeje x en la siguiente expresión ( ) 41 2 =+x Se saca raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación

( ) 41 2 =+x

( )( ) ( ) 2/122/12 21 =+x aplicando la ley de los exponentes

21 =+x simplificando términos semejantes

112 =−=x

Despeje x en la siguiente expresión 241 x−= Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación

( ) ( )222 41 x−=

( ) ( )( )22/122 41 x−= esto es igual a

241 x−= despejado la 2x

241 x−=− 23 x−=−

multiplicando por -1 ambos lados de la igualdad e intercambiando los dos lados 32 =x

sacando la raíz en ambos lados de la ecuación 3±=x

la solución son dos valores complementarios, los cuales deben ser probados en la ecuación original para comprobar su validez.



Solución de ecuaciones de segundo grado.

Solución de ecuaciones de segundo grado por factorización.

La solución de una ecuación de segundo grado puede encontrarse mediante factorización,

para lograrlo, partimos de su ecuación general, la cual se expresa como:

02 =++ cbxax

donde a, b y c son valores constantes, y x representa la varible.

Al realizar la factorización de la expresión algebraica del lado izquierdo de la ecuación

general, se obtiene una expresión de la forma siguiente:

( ) ( ) 0=+⋅+ enxdmx

donde m, n, d y e son valores constantes obtenidos a partir de la factorización de la

ecuación general de segundo grado igualada a cero.

La expresión anterior resulta verdadera, cuando los factores ( )dmx + o ( )enx + son igual a

cero, es decir:

00

=+=+

enxdmx

Despejando las expresiones anteriores, se tendrá que los valores que satisfacen la ecuación

general de segundo grado son:

nex

ndx

−=

−=



Ejemplo.

Encuentre la solución de la siguiente ecuación de segundo grado: 34156 2 −=+ xxx

Para encontrar la solución, igualamos la ecuación a cero:

03116 2 =++ xx Enseguida realizamos la factorización de la expresión del lado derecho de la ecuación anterior:

( )( ) 01332 =++ xx Para que la ecuación anterior sea verdadera, se debe cumplir que:

013y032 =+=+ xx

Por tanto, las soluciones que satisfacen la ecuación 34156 2 −=+ xxx , se obtienen al despejar las dos ecuaciones anteriores, obteniéndose los siguientes valores:

31

23

−=−= xyx

Solución de ecuaciones de segundo grado por fórmula general. Sea la ecuación 02 =++ cbxax Se divide cada uno de los términos de la ecuación por a

aac

abx

aax 02

=++ equivale 02 =++acx

abx

Restando el valor del término independiente en ambos lados de la igualdad (pasandolo restando del lado derecho)

acx

abx −=+2

Para completar el trinomio cuadrado perfecto del lado izquierdo se agrega el término

2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ab en ambos lados lados de la ecuación



ac

ab

abx

abx −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++

222

22

Factorizando el lado izquierdo y simplificando el derecho

( ) ac

ab

abx −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 2

22

22

2

2

2

22

44

42 aacb

ac

ab

abx −

=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

calculando la raíz cuadrada en ambos lados de la ecaución

2

22

44

2 aacb

abx −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

aacb

a

acba

bx2

4

4

42

2

2

2 −±=

−±=+

aacb

abx

24

2

2 −±=+

pasando el término a

b2

del lado derecho

aacb

abx

24

2

2 −±−=

como tienen el mismo denominador

aacbbx

242 −±−

=

el signo más/menos indica que realmente se tienen dos soluciones

aacbbx

242

1−+−

= y a

acbbx2

42

2−−−

=

Para ecuaciones del tipo

( ) 02 222 =±=+± axaaxx ( )( ) 022 =−+=− axaxax ( )( ) 02 =++=++ qxpxcbxx ( )( ) 02 =++=++ qnxpmxcbxax



Es posible aplicar la fórmula general y así determinar sus factores. Considere los siguientes ejemplos (en cada uno de estos ejemplos solo es necesario identificar los coeficientes a, b y c respecto al trinomio 02 =++ cbxax y sustituir en la fórmula general):

Factorice 0962 =++ zz Los coeficientes de 0962 =++ zz respecto de 02 =++ cbxax corresponden de la siguiente forma

9y 6 ,1 === cba

sutituyendo en la fórmula general

( ) ( ) ( )( )( )12

91466 2 −±−=z

236366 −±−

=z

206 ±−

=z

por lo tanto las dos soluciones son

32

061 −=

+−=z y 3

206

2 −=−−

=z

a continuación se pasaran para cada una de estas soluciones los términos constantes del mismo lado de la variable y se igualará a cero, indicando solamente el binomio en función de la variable (sin el subíndice), es decir:

03 =+z y 03 =+z

Observe cual es el resultado de multiplicar estos dos binomios y conservando la igualdad a cero

( )( ) ( ) 0333 2 =+=++ zzz

es un binomio al cuadado por lo tanto el resultado es

0962 =++ zz equivalente a la expresión inicial



Factorice 042 =−x Los coeficientes de 042 =−x respecto de 02 =++ cbxax corresponden de la siguiente

forma

4y 0 ,1 −=== cba

observe como los valores a,b y c toman los signos en la ecuación, sutituyendo en la fórmula

general

( ) ( ) ( )( )( )12

41400 2 −−±−=x

21600 +±

=x


42

1601 =

+=x y 4

2160

2 −=−

=x

a continuación se pasaran para cada una de estas soluciones los términos constantes del

mismo lado de la variable y se igualará a cero, indicando solamente el binomio en función

de la variable (sin el subíndice), es decir:

04 =−x y 04 =+x

Observe cual es el resultado de multiplicar estos dos binomios y conservando la igualdad a

cero

( )( ) 044 =+− xx

éstos, son los factores de la diferencia de cuadrados



Factorice 03522 =−− aa

Los coeficientes de 03522 =−− aa respecto de 02 =++ cbxax corresponden de la

siguiente forma

35y 2 ,1 −=−== cba

sustituyendo en la fórmula general

( ) ( ) ( )( )( )12

351422 2 −−−±−−=a

214042 +±

=a

21442 ±

=a


72122

1 =+

=a y 52122

2 −=−

=a

a continuación se pasaran para cada una de estas soluciones los términos constantes del

mismo lado de la variable y se igualará a cero, indicando solamente el binomio en función

de la variable (sin el subíndice), es decir:

07 =−a y 05 =+a

Observe cual es el resultado de multiplicar estos dos binomios y conservando la igualdad a

cero

( )( ) 057 =+− aa

estos, son los factores del trinomio 03522 =−− aa



Factorice 09154 2 =++ aa Los coeficientes de 09154 2 =++ aa respecto de 02 =++ cbxax corresponden de la siguiente forma

9y 15 ,4 === cba

sutituyendo en la fórmula general

( ) ( ) ( )( )( )42

9441515 2 −±−=a

814422515 −±−

=a

88115 ±−

=a


43

8915

1 −=+−

=a y 38

9152 −=

−−=a

a continuación se pasaran para cada una de estas soluciones los términos constantes del mismo lado de la variable y se igualará a cero, indicando solamente el binomio en función de la variable (sin el subíndice), es decir:

0343443

=+∴−=⇒−

= aaa

y 03 =+a

Observe cual es el resultado de multiplicar estos dos binomios y conservando la igualdad a cero

( )( ) 0334 =++ aa

éstos, son los factores del trinomio 09154 2 =++ aa



E29.1. Ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita.

Encuentra el valor de la variable que satisface las siguientes ecuaciones:

1. xxx418

234 −=−

2. ( ) ( )6453 +=− zz

3. ( )( ) ( )2732 +=−+ xxx

4. ( )( ) ( ) 316283 =+−− pppp

5. xx3173

21

−=+

6. ww3

34

=+

7. 83

1+

=−+

uu

uu

8. ( ) ( )523248 +=−− ttt

9. 0363 2 =− z

10. 482322 +=−+ xxx

11. ( )xxxx 2216930 22 −=−−

12. ( )( ) ( )xxx −=−− 17123

13. ( )11916

−−−

=+

xx

xx

14. 82 =x

15. 0563 2 =−+ xx *

16. ( ) 01213 2 =−−x

17. 310125 2 +=− xx

18. x

xx−+

=1

212

19. 0155 2 =+− xx *

20. ( )

447 1

172

+=++ x

xx

21. ( )( )3 2

3

2

2122+

=+−x

xx

22. 362 −= xx *

23. ( ) 0166 2 =−−x

24. 396 2 +=− xx

25. ( )271484 2 +=+− xxx

26. 243 2 =+ xx *

27. ( ) ( )( ) ( )81111332 2 +−++=− xxxx

28. 012 =−− xx *



Factores de una ecuación 02 =++ cbxax y su solución por fórmula general.

“Todo polinomio de orden n se puede descomponer en n factores” Este es el teorema fundamental del álgebra, sin embargo en la práctica es necesario notar que los polinomios se pueden factorizar en monomios, binomios de la forma ( )bax + y trinomios de la forma ( )cbxax ++2 que no tienen solución. Cuando un trinomio de la forma 02 =++ cbxax no tiene solución es porque sus factores involucran raíces imaginarias o complejas, es decir involucra el calculo de una raíz negativa; Considere los casos de factorización de suma y diferencia de cubos

( )( )2233 babababa +−+=+ ( )( )2233 babababa ++−=−

De acuerdo con el teorema fundamental del álgebra las expresiones 33 ba ± deben de tener tres factores, sin embargo, observe como en estos casos la factorización implica trinomios, que a final de cuentas se pueden observar como trinomios de la forma 02 =++ cbxax , pero como se verá en el siguiente ejemplo no tienen solución real.

Factorice 273 +x Se puede verificar que la expresión corresponde a una suma de cubos 33 3+x , por lo tanto aplicando el modelo de factorización

( )( )2233 babababa +−+=+ resulta en

( )( )933 2 +−+ xxx en este resultado observe como se tiene el trinomio 932 +− xx , al cual se le puede aplicar la fórmula general, por lo tanto y considerando 1=a , 3−=b y 9=c y sustituyendo

( ) ( ) ( )( )( )12

91433 2 −−±−−=x

2273

23693 −±−±

=x

Observe como el resultado implica calcular la raíz cuadrada de -27, lo cual no es posible dentro de los números reales, para ello se determinó que la raíz de un número negativo fuera un número complejo fuera i y así 12 −=i ó i=−1 , por lo tanto

( ) ( )2

3332

12732

12732

273 ix ±=

−±=

−⋅±=

−±=

y de esta forma se obtienen 3 factores, como se enuncia de forma inicial, por ello en los procedimientos de factorización cuando se tienen raíces complejas se prefiere indicar este par de factores como un trinomio y no como raíces complejas (Observe como la factorización de suma y diferencia de cubos utiliza este resultado y no factores imaginarios).



Ecuaciones simultáneas de Primer Grado con dos incógnitas. E29.2. Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas.

Encuentra el valor de las variables que satisfacen las siguientes ecuaciones:

1. 038

=−=+

yxyx

2. 13372

=−=+

yxyx

3. 673225

=+=+

yzzy

4. xy

yx94103410

=−=+−

5. xy

xyx+=

=−+62225

6. xyyx

3643

−=−=

7. ( )

( )1362423

−−=−=−

yxyxx

8. ( )

( )131623

3421

−−=−

+=−

yyx

xyx

9. yxx

x

261223

−=+

=

10. ( )

( )136244222

−−=−−=−

yxyxx



31. GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA.

Resolución de triángulos rectángulos. Un triángulo es un polígono de tres lados determinados por tres segmentos de recta que se cortan, denominados lados, o tres puntos no alineados llamados vértices.

Propiedades de los triángulos. - La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º:

º180=++ γβα - La suma de las longitudes de dos de sus lados siempre es mayor que la longitud del

tercero. cba >+ , cca >+ y acb >+

c

ba

Bα

γ

β A

C

Ejemplos:

Aplique la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo para determinar el ángulo faltante en cada uno de los casos:

La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º, por lo tanto:

º180º60º60 =++ θ Despejando θ,

º60º60º180 −−=θ º60=θ



La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º, por lo tanto º180º20º34 =++ φ

Despejando φ, º20º34º180 −−=φ

º126=φ

La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º, por lo tanto º180º30º60 =++ δ

Despejando δ, º30º60º180 −−=δ

º90=δ

Clasificación de los triángulos. - Por la longitud de sus lados se clasifican en:

o Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60).

o Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

o Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

- Por la amplitud de sus ángulos:

o Triángulo equiángulo: suele llamarse Triángulo equilátero clasificándolo según sus lados, puesto que si sus lados son iguales, sus ángulos también lo serán, y medirán 60º.

o Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

o Triángulo oblicuángulo: cuando no tiene un ángulo interior recto (90°). o Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los

otros dos son agudos (menor de 90°).



En la siguiente tabla se resumen las características de los distintos triángulos: Triángulo Equilátero Isósceles Escaleno

Acutángulo

Triángulo equiángulo ó equilátero clasificándolo según sus lados, puesto

que si sus lados son iguales, sus ángulos también lo serán, y

medirán 60º.

Triángulo acutángulo isósceles: con todos los

ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos

diferentes, no tiene ejes de simetría.

Rectángulo Triángulo rectángulo

isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales

(de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro

diferente.

Triángulo rectángulo

escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Obtusángulo

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado

es mayor que estos dos.

Triángulo obtusángulo

escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados

son diferentes.



Teorema de Pitágoras. Establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b , y la medida de la hipotenusa es h, se establece que:

222 bah += Ejemplos:

En los siguientes triángulos rectángulos utilice el teorema de Pitágoras para encontrar el cateto ó la hipotenusa, según sea indicado.

Aplicando el teorema de Pitágoras para calcular el cateto a

( )222 233 =+a Despejando el valor de a

( ) 22323 −=a

3=a

Aplicando el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa

222 5.46.2 +=h Despejando el valor de h

22 5.46.2 +=h 2.5=h

Aplicando el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa

222 75.4 +=h Despejando el valor de h

22 75.4 +=h 32.8=h



Aplicando el teorema de Pitágoras para calcular el cateto b

222 6.106.5 =+ b Despejando el valor de b

22 6.56.10 −=b 9=b

Triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados proporcionales.

'AA ∠=∠ 'BB ∠=∠ 'CC ∠=∠

La relación entre los lados de dos triángulos semejantes es proporcional como se muestra a continuación:

''' cc

bb

aa

==

ó también la relación se puede dar como

cc

bb

aa '''

==



Los triángulos semejantes permiten resolver los lados ó ángulos de ellos, dada las relaciones anteriores; algunas figuras que muestran triángulos semejantes son:

En ambas figuras los lados b y b’ son paralelos, por esta razón los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes, con las relaciones en sus lados ya mencionadas y la igualdad de ángulos correspondientes.

En cada una de las figuras que se muestran, se tienen triángulos semejantes donde existen un ángulo común, y el lado contrario a dicho ángulo en los dos triángulos es paralelo. Por ejemplo para el primer triángulo en C∠ y 'C∠ son comunes, de la misma forma c y c’ son paralelos.



En la siguiente figura el triángulo ABC es un triángulo rectángulo con su ángulo recto en C.

Los triángulos ADC y CBD son triángulos semejantes, en este caso el ángulo D es el ángulo recto. En la figura se muestra los ángulos equivalentes. Ejemplos.

Determine los valores de a, b y c y el valor de α∠

La suma interna de los ángulos es º40º50º90º180º180º50º90 =−−=∴=++ αα

Ambos triángulos son semejantes y se puede establecer la relación de sus lados, de forma que

56.49.36.2

6ba

==

Note como los valores de 6.4=+ cb Separando las relaciones para encontrar el valor de a

49.3

66.29.36.2

6=

×=∴= aa

Haciendo lo mismo para b

04.39.3

6.256.456.49.3

6.2=

×=∴= bb

Por lo tanto 52.104.356.46.4 =−=−= bc

Los valores encontrados para a y b se pueden comprobar aplicando el teorema de Pitágoras:

{ 32122

222 04.36.24ba

+=

24.976.616 += 1616 =



Determine los valores a y b así como el ángulo γ

La suma interna de los ángulos es º45º45º90º180º180º45º90 =−−=∴=++ γγ

Ambos triángulos son semejantes y se puede establecer la relación de sus lados, de forma que

2226

2ba

==

Separando las relaciones para encontrar el valor de a

62

6226

2=

×=∴= aa

Calculando b por medio de Pítagoras

=+=+= 2222 666ab

26723636 ==+=

Comprobando el valor de b por la relación de lados

262

226222

6=

×=∴= bb

Determine los valores para los lados a, b y c.

La suma interna de los ángulos es º60º30º90º180º180º30º90 =−−=∴=++ ββ

Para determinar el lado a, utilice Pitágoras,

222 63 =+a 222 36 −=a

3336 22 =−=a

Dado que los triángulos ABC, ABD y ACD son semejantes se puede establecer la siguiente relación

63

333==

cb

Calculando b

323

6333

63

33=

⋅=∴= Bb

y c

23

633

63

3=

×=∴= cc



Note como para by c se puede determinar por medio de Pitágoras por medio de las siguientes relaciones

( ) ( )222633 cb −+=

y 2223 cb +=

de esta última 222 3 cb −=

y sustituyendo en la primera ( ) ( )2222

6333 cc −+−= desarrollando el binomio

( ) 22222126333 ccc +−+−=

simplificando términos semejantes y calculando las constantes al cuadrado c1236927 −+=

Por lo que

23

1218

1236927

=−−

=−

−−=c

valor que concuerda con el resultado obtenido por medio de triángulos semejantes. Verificando para b

233

227

4936

233

22 ==

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=b

E31.1 Teorema de Pitágoras y Triángulos semejantes.

Aplica el Teorema de Pitágoras y encuentra el lado faltante en los siguientes triángulos rectángulos:

1.

2. 3.

4. 5.

6.

7. 8.



Indica cual de los siguientes triángulos son triángulos rectángulos 9. 161,8,15

10. 66,23,34

11. 4,35,23

12. 6,32,5

13. 25,24,23 Utilizando triángulos semejantes encuentre el valor para el lado indicado mediante la literal x

14. 15.

16. 17.

Utilizando el teorema de Pitágoras y triángulos semejantes determine los lados indicados:

18. 19.

20.



32. Funciones trigonométricas a partir de los triángulos rectángulos. Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo respecto sus ángulos. Para definir las funciones trigonométricas del ángulo α del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a dicho ángulo, en este triangulo se denominarán los lados como:

- Hipotenusa, h. Es el lado opuesto al ángulo recto (es el lado de mayor longitud en el

triángulo rectángulo). - Cateto opuesto, a. Es el lado opuesto al ángulo de interés. - Cateto adyacente, b. Es el lado adyacente al ángulo que se desea determinar.

Al igual que en cualquier triángulo, la suma de los ángulos internos de un triángulo rectángulo suman 180º. En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y 90º (0 y π/2 rad). Las definiciones que se dan a continuación definen las funciones trigonométricas para ángulos dentro de este rango. - El seno de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

ha

==hipotenusa

opuestosen θ

- El coseno de un ángulo es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

hb

==hipotenusaadyacentecosθ

- La tangentede un ángulo es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

ba

==adyacenteopuestotanθ

- La cotangente de un ángulo es la relación entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.

ab

==opuesto

adyacentecotθ



- La secante de un ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto adyacente.

bh

==adyacentehipotenusasecθ

- La cosecante de un ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

ah

==opuesto

hipotenusacscθ

“Todas las funciones trigonométricas son relaciones (razones) angulares”.

Observe como todos los triángulos rectángulos cuyo ángulo formado por la hipotenusa y el cateto adyacente son iguales, se pueden considerar semejantes, esto permite resolver un triángulo rectángulo, si se conoce sus relaciones trigonométricas. Considere los siguientes triángulos semejantes con ángulos de 30º, 45º y 60º:

Utilizando las relaciones del seno, coseno y tangente para cada uno de los tres triángulos:

hipotenusaopuestosen =θ

hipotenusaadyacentecos =θ

adyacenteopuestotan =θ

seno coseno tangente Triángulo

1 5.031.2

155.1º30sen == 866.031.22º30cos == 577.0

2155.1º30tan ==

Triángulo 2 5.0

62.431.2º30sen == 866.0

62.44º30cos == 577.0

431.2º30tan ==

Triángulo 3 5.0

75.3º30sen == 866.0

706.6º30cos == 577.0

06.65.3º30tan ==

Observe como en triángulos rectángulos semejantes con un mismo ángulo formado por la hipotenusa y el cateto adyacente, las razones trigonométricas son iguales. Para calcular las funciones cotangente, secante y cosecante solo es necesario calcular la inversa de los valores anteriores. Aplicando los mismos procedimientos:



seno coseno tangente

Triángulo 1 707.0

242.43º45sen == 707.0

242.43º45cos == 1

33º45tan ==

Triángulo 2 707.0

363.65.4º45sen == 707.0

363.65.4º45cos == 1

5.45.4º45tan ==

Triángulo 3 707.0

485.86º45sen == 707.0

485.46º45cos == 1

66º45tan ==

seno coseno tangente

Triángulo 1 866.0

4465.3º60sen == 5.0

42º60cos == 732.1

2465.3º60tan ==

Triángulo 2 866.0

706.6º60sen == 5.0

75.3º60cos == 732.1

5.306.6º60tan ==



Los ángulos de 30º, 45º y 60º se denominan ángulos notables, y también se pueden expresar como:

21º30sen =

23º30cos =

31º30tan =

23º60sen = 2

1º60cos = 3º60tan =

21º45sen =

21º45cos =

111º45tan ==

Funciones trigonométricas inversas. En los ejemplos anteriores se puede concluir que los triángulos rectángulos con ángulos equivalentes son semejantes y sus razones trigonométricas son iguales. Por ejemplo todas las razones trigonométricas para el ángulo de 30º en los ejemplos anteriores fueron igual a:

21º30sen =

23º30cos =

31º30tan =



Si en un triángulo rectángulo, sobre el vértice del ángulo de 30º se dibuja un círculo con radio igual a la hipotenusa, se puede ver como se forma un arco cuyo valor es igual al ángulo del triangulo rectángulo. Las funciones trigonométricas inversas permiten conocer el valor del ángulo del vértice (valor del arco) en base a la razón trigonométrica por ejemplo: La relación seno para un triángulo rectángulo con un ángulo de 30º es igual a

21º30sen =

la función inversa permite conocer el ángulo en base a la razón de 1/2 es decir

( ) º30º30senarcsen21arcsen ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Observa como la función seno y arco seno son inversas. Todas las funciones trigonométricas inversas se denominan mediante la palabra arco y a continuación la razón trigonométrica indicada: El arco tangente es la función inversa de la razón tangente, el arco coseno es la función inversa de la razón coseno, de acuerdo a lo anterior y en base a resultados previos:

º3023arccos =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ y º30

31arctan =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Otra forma de indicar una función trigonométrica inversa es mediante el exponente -1:

( ) ( )1senarcsen −= ( ) ( )1cosarccos −= ( ) ( )1tanarctan −=

pero es necesario indicar que para estas funciones se debe de tener mucho cuidado por la siguiente razón



θθ

sensen

1 1-=

lo cual es una notación similar que puede conducir a errores, por esta razón en casos como el anterior y para no confundir una función arco trigonométrica con una función trigonométrica elevada a un exponente -1 se tomara la siguiente notación:

( ) sensen

1 1-θθ=

Además como una expresión anterior se prefieren manejar únicamente exponentes positivos o el equivalente de la relación anterior es decir

θθ

cscsen

1=

“En las expresiones trigonométricas acostumbre utilizar únicamente exponentes

positivos para evitar condiciones con las funciones trigonométricas arco”. “Para resolver un triangulo rectángulo solo es necesario conocer

uno de los lados y una razón trigonométrica de uno de sus ángulos”. Ejemplos:

Cuanto valen los dos catetos para el triángulo, si las funciones seno, coseno y tangente del ángulo de 50º son: 776.0º50sen = , 642.0º50cos = y 191.1º50tan =

Recuerde que la función seno es igual a

hipotenusaopuestosen =θ

Por lo tanto

6opuesto776.0º50sen ==

despejando ( )( ) 596.4776.06opuesto ==

utilizando el teorema de Pitágoras

856.3596.46adyacente 22 =−=

Note como se puede utilizar la relación tangente o coseno para comprobar:

hipotenusaadyacentecos =θ sustituyendo

6adyacente642.0º50cos ==

despejando ( )( ) 856.36642.0adyacente ==

adyacenteopuestotan =θ sustituyendo

adyacente596.4191.1º50tan == despejando

858.3191.1596.4adyacente ==

La diferencia es por la cantidad de decimales tomada en las operaciones.



Cuál es el valor de la hipotenusa y el cateto adyacente para el triángulo, si las funciones seno, coseno y tangente del ángulo de 33º son: 545.0º33sen = , 839.0º33cos = y

649.0º33tan =

Recuerde que la función tangente es igual a

adyacenteopuestotan =θ

Por lo tanto

adyacente3649.0º33tan ==

despejando

622.4649.03adyacente ==

utilizando el teorema de Pitágoras

51.5622.43hipotenusa 22 =−=

hipotenusaadyacentecos =θ sustituyendo

51.5adyacente839.0º33cos ==

despejando ( )( ) 622.451.5839.0adyacente ==

adyacenteopuestotan =θ sustituyendo

adyacente3649.0º33tan == despejando

622.4649.03adyacente ==

E32.1. Funciones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Determine los valores de las seis razones trigonométricas del ángulo θ en el triangulo que se muestra:

1. 2.

3.

4. 5.

6.

7. 8.



Determine los lados faltantes en los siguientes triángulos, en los casos posibles utilices los valores de los ángulos notables.

9. 10. 11.

12. 13. 14.

15. 16. 17.

18. 19. 20.

Dibuje un triángulo que tiene un ángulo θ y encuentre las otras 5 funciones trigonométricas de θ.

21. 53sen =θ 22.

72cos =θ 23.

135sen =θ 24.

34sec =θ

25. 7sec =θ 26. 3tan =θ 27. 1312cot −=θ 28.

53cot −=θ

29. 1cot =θ 30. 1213csc =θ 31.

37tan =θ 32.

45csc −=θ

33. 941csc −=θ 34.

21sen −=θ 35.

34sec =θ 36.

53sen −=θ



Encuentre el valor para el segmento x indicado

37. 38.

39. 40.

Radianes y grados. Un ángulo es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice. Las semirrectas se llaman lados. El ángulo se designa por una letra mayúscula situada en el vértice aunque a veces se usa una letra griega dentro del ángulo. Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma por unidad. El grado sexagesimal se obtiene al considerar a la circunferencia dividida en 360 partes iguales y un ángulo de un grado es el que tiene el vértice en el centro y sus lados pasan por dos divisiones consecutivas. Cada división de la circunferencia se llama también grado.

En el sistema circular la unidad angular es llamada radián. Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.



Como la longitud de una circunferencia es π2 radios, entonces un ángulo de 360º equivale a π2 radianes, es decir 6.2832, dándole a π el valor de 3.1416. Un radián equivale a 57.29º. La relación entre el grado sexagesimal y el radián esta dado por la siguiente ecuación

πradianesen Medida

º180gradosen Medida

=

E32.2. Radianes y grados

Convierta las siguientes cantidades a radianes 1. 225º 2. -35º 3. 181º 4. 290º 5. 750º 6. 570º 7. 335º 8. -95º

9. 165º 10. 150º 11. -15° 12. 30° 13. 105° 14. 80° 15. 370° 16. 990°

17. 100° 18. 40.13° 19. 15° 20. 105° 21. 225° 22. 83.5° 23. 75° 24. 150°

25. 90° 26. 900° 27. 315° 28. 80° 29. 330° 30. 440°

Convierta las siguientes cantidades a grados

31. rad5

3π

32. rad6

7π

33. rad3

2π−

34. rad3

17π

35. rad4π

−

36. radπ3

37. rad11

23π

38. rad16

13π

39. rad7

15π

40. rad5

9π

41. rad41

42. rad4π

43. rad14π

44. radπ3−

45. radπ6

11

46. radπ47

−

47. rad83

48. rad78

−

49. rad4

3π

50. rad3



Círculo trigonométrico.

El círculo trigonométrico es un círculo con radio unitario en el que se inscriben distintos triángulos rectángulos.

Observe como el vértice A coincide con el centro de la circunferencia, el cateto adyacente b, el cateto a y la hipotenusa h permite calcular las funciones trigonométricas, Note que la hipotenusa es igual al radio de la circunferencia y por consecuencia su valor es 1. Calculando las relaciones del seno y coseno

aa==

1)opuesto(sen θ y bb

==1

) adyacente(cosθ

En el círculo trigonométrico, el seno es igual al cateto opuesto, además el coseno es igual al cateto adyacente, y en ambos casos el valor máximo en relación al plano xy va a ser 1, el mínimo -1. En el círculo trigonométrico:

a=θsen y b=θ cos

La función

ba

==adyacenteopuestotanθ

y sustituyendo a=θsen y b=θsen

θθθ

cossen

adyacenteopuestotan ===

ba



Para las funciones cotangente, cosecante y secante

θθθ

sencos

opuestoadyacentecot ===

ab

θθ

cos11

adyacentehipotenusasec ===

b

θθ

sen11

opuestohipotenusacsc ===

a

Estas son las funciones trigonométricas en función del triangulo inscrito dentro del círculo trigonométrico.

Signos de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes. En referencia al plano cartesiano xy observe como la circunferencia puede dividirse en 4 segmentos, estos segmentos se denominan cuadrantes y se enumeran en sentido anti-horario como cuadrante I, cuadrante II, cuadrante III y cuadrante IV. En cada uno de los cuadrantes las razones trigonométricas varían su signo como se explica a continuación:

Cuadrante I

En el cuadrante I a medida que el ángulo varia de 0º a 90º (0 a π/2 rad), los valores del seno varían de 0 a 1 y del coseno de 1 a 0.

II Cuadrante

En el cuadrante II a medida que el ángulo varia de 90º a 180º (π/2 a π rad), los valores del seno varían de 1 a 0 y del coseno de 0 a -1.



Cuadrante III

En el cuadrante III a medida que el ángulo varia de 180º a 270º (π a 3π/2 rad), los valores del seno varían de 0 a -1 y del coseno de -1 a 0.

Cuadrante IV

En el cuadrante IV a medida que el ángulo varia de 270º a 360º (3π/2 a 2π rad), los valores del seno varían de -1 a 0 y del coseno de 0 a 1.

En base a los signos de las funciones trigonométricas seno y coseno, se pueden determinar los signos de las otras funciones trigonométricas: Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV

θsen + + - - θcos + - - +

θtan +=++

==θθ

cossen

−=−+

==θθ

cossen

+=−−

==θθ

cossen

−=+−

==θθ

cossen

θcot +=++

==θθ

sencos

−=+−

==θθ

sencos

+=−−

==θθ

sencos

−=−+

==θθ

sencos

θsec +=+

==1

cos1θ

−=−

==1

cos1θ

−=−

==1

cos1θ

+=+

==1

cos1θ

θcsc +=+

==1

sen1θ

+=+

==1

sen1θ

−=−

==1

sen1θ

−=−

==1

sen1θ

En resumen

Cuadrante I II III IV

θsen + + - - θcos + - - + θtan + - + - θcot + - + - θsec + - - + θcsc + + - -



Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en términos de un círculo unidad centrado en O.

Esto permite conocer el valor de cada una de las funciones trigonométricas de manera gráfica, basta utilizar un compás, regla y transportador para dibujar un círculo unitario escalado en un factor de 10, así al graficar una figura como la anterior solo es necesario medir la relación de interés.

Ángulo de referencia. El ángulo de referencia es una herramienta para simplificar las razones trigonométricas de los cuadrantes II, III y IV a su equivalente del cuadrante I.

Para el cuadrante II, es necesario restar a 180º el ángulo en cuestión. Para el cuadrante III al ángulo en cuestión se le resta 180º

Para el cuadrante IV a 360º se le resta el ángulo en cuestión. Para estos equivalentes solo es necesario agregar el signo correspondiente al cuadrante a la razón del ángulo simplificado, por ejemplo:

Las razones trigonométricas para el ángulo de 160º (cuadrante II) tendrán el mismo valor sin considerar el signo corresponderán a 180º - 160º = 20º del cuadrante I. En este caso considerando º160=t , el ángulo de referencia es º20º160º180 =−=t .

Las razones trigonométricas para el ángulo de 240º (cuadrante III), el valor sin

considerar el signo, corresponderán a 250º - 180º = 70º, es decir a los valores de las funciones trigonométricas de 70º del primer cuadrante. En este caso considerando º250=t , el ángulo de referencia es º70º180º250 =−=t



Por ejemplo si se desea conocer las razones seno, coseno y tangente para el ángulo de 165º, estas se pueden conocer en base a un ángulo correspondiente al cuadrante I, el ángulo de referencia para 165º es:

Para el cuadrante II, es necesario restar a 180º el ángulo en cuestión.

º15º165º180 =−=t

Observe como los ángulos de 165º y 15º formaran triángulos semejantes y por esto, sus razones trigonométricas serán idénticas, pero respetando los signos para cada uno de los cuadrantes en que se encuentren es decir:

En el cuadrante II, el seno es positivo y el coseno negativo, la tangente negativa y por lo tanto:

º15sen º165sen = º15cosº165cos −= º15tanº165tan −=

Ahora considere un ángulo de 220º que se encuentra ubicado en el cuadrante III y defina las razones seno, coseno y tangente en base al cuadrante I.

el ángulo de referencia para 220º es

Para el cuadrante III al ángulo en cuestión se le resta 180º

º40º180º220 =−=t



Los triángulos que forman las razones trigonométricas de 220º y 40º son semejantes.

En el tercer cuadrante los valores de las funciones seno son negativo, coseno negativo y la tangente positivo, tomando el ángulo de referencia y expresando las funciones de 220º en base a las de 40º

º40sen º220sen −= º40cosº220cos −= º40tanº220tan =

Encuentre las razones del ángulo de 300º en base funciones del cuadrante I. Observe como el ángulo de 300º se encuentra en el cuadrante IV, por lo tanto el ángulo de referencia es:

Para el cuadrante IV a 360º se le resta el ángulo en cuestión.

º60º300º360 =−=t

Por lo tanto y considerando los signos de las razones trigonométricas para el tercer cuadrante y el ángulo de referencia en el cuadrante I:

º60sen º300sen −= º60cosº300cos = º60tanº300tan −=



Él ángulo de referencia θ se refiere al ángulo agudo θ formado por el lado terminal del ángulo en el círculo trigonométrico y el eje x.

E32.3. Ángulo de referencia.

Encuentra el ángulo de referencia para los siguientes valores de ángulos. 1) 225°

2) 290°

3) π67

4) – 335°

5) – 240°

6) 460°

7) 5

3π

8) – 345°

9) – 35°

10) π3

19−

11) 750°

12) 181°

13) 3

17π

14) – 95°

15) – 445°

16) 3

17) 181°

18) – 325°

19) 1200°

20) π1123

Funciones trigonométricas de ángulos notables. Los valores de las funciones trigonométricas para los cuadrantes II, III y IV son similares a los del cuadrante I es decir los ángulos notables 0º, 30º, 45º, 60º y 90º y solo cambian en el signo por la ubicación de estos de acuerdo a la tabla de signos anterior, en base a las siguientes figuras los valores para otros ángulos notables son:

Radianes Grados seno coseno tangente cotangente secante cosecante

0 0º 0 1 0 — 1 —

π/6 30º 2

1 23 3

3 3 332 2

π/4 45º 22 2

2 1 1 2 2

π/3 60º 23 2

1 3 33 2 3

32

π/2 90º 1 0 — 0 — 1



E32.4. Ángulo de referencia.

Completa la siguiente tabla, utilizando los valores para ángulos notables, el ángulo de referencia y el signo correspondiente en cada función: Radianes Grados seno coseno tangente cotangente secante cosecante

2π/3 120º

3π/4 135º

5π/6 150º

π 180º

7π/6 210º

5π/4 225º

4π/3 240º

3π/2 270º

5π/3 300º

7π/4 315º

11π/6 330º

2π 360º



E32.5. Valores de las funciones trigonométricas en el círculo unitario.

Las marcas del círculo están separadas 5º. Realizando las mediciones correspondientes con una regla, determine el valor numérico de forma gráfica para las funciones seno, coseno y tangente de 0º a 360º (recuerda que las razones de los cuadrantes II, III y IV son equivalentes a las del cuadrante I, solo es necesario considerar su signo respectivo a cada cuadrante y simplificar por medio del número de referencia).



E32.6. Valores de las funciones trigonométricas en el círculo unitario.

1) °150sin

2) 3

2sin π

3) °195sin

4) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− π

127cos

5) °330tan

6) 3

7cos π

7) ( )°− 630csc

8) 3

17sec π

9) ( )°− 735csc

10) 1231tan π

11) °120sec

12) 4

7cos π

13) ( )°− 75cot

14) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

1243sec π

15) °225cos

16) 3

5sin π

17) ( )°− 60sin

18) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

37cos π

19) °210cot

20) 4

5csc π

21) °750tan

22) 2

5tan π

23) °135sin

24) 2

3sin π

25) ( )°− 60sec

26) 6

5tan π

27) °570cos

28) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

4cot π

29) °660cos

30) 6

11sin π



33. Identidades Trigonométricas. Considere el siguiente círculo trigonométrico:

En el las función seno corresponde al cateto opuesto del ángulo θ, la función coseno corresponde al cateto adyacente del ángulo θ y la hipotenusa tiene un valor de 1. En base a lo anterior las funciones: tangente, cotangente, secante y cosecante se definen:

θθθ

cossen

adyacenteopuestotan ===

ba

θθθ

sencos

opuestoadyacentecot ===

ab

θθ

cos11

adyacentehipotenusasec ===

b

θθ

sen11

opuestohipotenusacsc ===

a

La función tangente y cotangente son reciprocas es decir inversas, por lo tanto se puede establecer que

θθ

cot1tan =

Para demostrarlo sustituya la relación θθθ

sencoscot = , es decir:

θθ

θθ

θcossen

sencos

11

tan ==



Con las relaciones

θθ

sen1csc =

θθ

cos1sec =

θθ

cot1tan =

Se pueden establecer las identidades trigonométricas reciprocas:

1cscsen =⋅ θθ 1seccos =⋅ θθ 1cottan =⋅ θθ De la figura observe como se pueden formar tres triángulos rectángulos, aplicando el teorema de Pitágoras en cada uno de los casos, se puede establecer las identidades Pitagóricas:

( ) ( ) ( )222 cossen1 θθ +=

dentro de la notación de potencias para las

funciones trigonométricas, los exponentes se pueden

poner de la siguiente forma:

θθ 22 cossen1 +=

( ) ( ) ( )222 cot1csc θθ +=

aplicando la notación anterior para el cuadrado

de las funciones:

θθ 22 cot1csc +=



( ) ( ) ( )222 tan1sec θθ +=

aplicando la notación anterior para el cuadrado

de las funciones:

θθ 22 tan1sec +=

Las dos últimas identidades trigonométricas pitagóricas se pueden demostrar dividiendo toda la ecuación por θ2sen y θ2cos

1cossen 22 =+ θθ

Dividiendo por θ2sen

θθθθ

22

22

sen1

sencossen

=+

separando

θθθ

θθ

22

2

2

2

sen1

sencos

sensen

=+

simplificando, aplicando leyes de los exponentes y la identidades

θθθ

sencoscot = y

θθ

sen1csc =

222

sen1

sencos

sensen

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

θθθ

θθ

se simplifica de la siguiente forma

( ) ( ) ( )222 ccot1 θθ sc=+

utilizando la notación de potencias para las funciones trigonométricas

θθ 22 ccot1 sc=+

1cossen 22 =+ θθ

Dividiendo por θ2cos

θθθθ

22

22

cos1

coscossen

=+

separando

θθθ

θθ

22

2

2

2

cos1

coscos

cossen

=+

simplificando, aplicando leyes de los exponentes y la identidades

θθθ

cossentan = y

θθ

cos1sec =

222

cos1

coscos

cossen

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

θθθ

θθ

se simplifica de la siguiente forma

( ) ( ) ( )222 sec1t θθ =+an

utilizando la notación de potencias para las funciones trigonométricas

θθ 22 sec1t =+an



Las cuales son idénticas a las expresadas a partir de los triángulos rectángulos. Con las identidades básicas, reciprocas y pitagóricas se pueden determinar las funciones trigonométricas en función de las otras: Identidad trigonométrica básica ó de la razón:

θθθ

cossentan =

Identidades trigonométricas reciprocas:

1cscsen =⋅ θθ 1seccos =⋅ θθ 1cottan =⋅ θθ Identidades trigonométricas pitagóricas:

1cossen 22 =+ θθ θθ 22 sec1t =+an θθ 22 ccot1 sc=+ Otras identidades útiles son: Para ángulos complementario: Para ángulos opuestos:

( )xx cos2

sen =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

( )xx sen2

cos =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

( )xx cot2

tan =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

( )xx tan2

cot =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

( )xx csc2

sec =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

( )xx sec2

csc =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

( ) ( )xx sen sen −=− ( ) ( )xx coscos =− ( ) ( )xx tantan −=− ( ) ( )xx cotcot −=− ( ) ( )xx secsec =− ( ) ( )xx csccsc −=−



E33.1. Identidades Trigonometricas. Comprobar las siguientes relaciones En el siguiente cuadro, se expresan cada una de las funciones trigonométricas en función de las demás:

Función sen cos tan

sen θsen θ2cos1− θ

θ2tan1

tan

+

cos θ2sen1− θcos θ2tan1

1+

tan θ

θ2sen1

sen−

θ

θcos

cos1 2− θtan

cot θ

θsen

sen1 2−

θ

θ2cos1

cos

−

θtan1

sec θ2sen1

1

−

θcos1

θ2tan1+

csc θsen

1

θ2cos11

−

θθ

tantan1 2+

Función cot sec csc

sen θ2cot1

1

+

θθ

sec1sec2 − θcsc

1

cos θ

θ2cot1

cot+

θsec

1 θθ

csc1csc2 −

tan θcot

1 1sec2 −θ 1csc

12 −θ

cot θcot 1sec

12 −θ

1csc2 −θ

sec θ

θcot

cot1 2+ θsec 1csc

csc2 −θ

θ

csc θ2cot1+ 1sec

sec2 −θ

θ θcsc



E34.1. Identidades trigonométricas.

Utilice identidades trigonométricas para simplificar las siguientes expresiones

1. αα tancos 2. σ

σ2

2

sec1sec −

3. ττ cotsen

4. βββ csccossen 5. w

wwtan

cossec − 6.

ηη

sectan

7. δδ 22 tansec − 8. xx

xcotcos

csc1+

+ 9.

ΩΩΩ

tanseccos

10. φφφφ

cscseccottan +

11. yy

yy

sen cos

cscsen

+ 12. Φ

ΦΦcsc

seccot

13. ϕϕϕ sen tancos + 14. z

zz

zsen 1

coscos

sen 1+

++

15. )(sen)cos()cot( Δ−+Δ−Δ−

16. )tan1(cos 22 γγ + 17. uuu csccostan 18. εεε cotcossen +

19. θθθ

cotseccos

20. 1sec

tan22

2

−+

vv

21. ωωω cossencos 23 +

22. λλ

csc1sen1

++

23. A

Acsc

cot1+ 24. )tan()cos(tan BBB −+−+

25. )sec(

tanψψ−

26. DD

Dtansec

cos+

Reduce las siguientes expresiones a un solo término

27. [ ])(sencsccsc xxx −+ 28. n

nn

ncos1

sen sen

cos1−

+− 29.

ff sen 11

sen 11

+−

−

30. ( )( )αα sen1sen1 +− 31. 1sec

cotcsc−

−β

ββ 32. φφφφ tansec

1tansec

1−

++

33. kk

kk

cscsen

seccos

+ 34. y

yy2

22

seccotcsc − 35.

ww

ww

sen 1sen 1

sen 1sen 1

+−

−−+

36. ( )( )mm 22 cot1cos1 +− 37. v

vv2

22

sen1tancos −+

material mate propedeutico ed dis

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