material didáctico (unidad 1)sp

5/26/2018 Material Did ctico (Unidad 1)Sp

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Maestro Csar Arturo Puerta Jimnez

UNIDAD 1. DISEOS FACTORIALES COMPLETOS Y

FRACCIONADOS

Ejemplo 1.1

Interesa estudiar el efecto del tamao de broca (Factor A) y de la velocidad (Factor B), sobre lavibracin de la ranura (Respuesta Y). Para ello se decide utilizar un diseo factorial 2^2 con 4

rplicas, es decir, cuatro repeticiones en cada tratamiento, lo que da un total de 4 x 2^2=16

corridas del proceso, que se realiza en orden aleatorio. El tamao de la broca se prueba en

1/16 y 1/8 de pulgada y la velocidad en 40 y 90 revoluciones por segundo, segn se describe

en la siguiente tabla:

Factor Niveles Unidad

1. Tamao de Broca 1/16 1/8 Pulg.2. Velocidad 40 90 rps

La siguiente tabla muestra los tratamientos utilizados y el orden de la corrida de las

ejecuciones:

Broca Velocidad Orden de corridas

1/16 40 5 8 13 14

1/8 40 1 6 10 12

1/16 90 3 7 11 15

1/8 90 2 4 9 16

A:

Broca

B:

Veloc.

A B X1 X2 Vibracin Totales

1/16 40 - - -1 -1 18.2 18.9 12.9 14.4 64.4

1/8 40 + - +1 -1 27.2 24.0 22.4 22.5 96.1

1/16 90 - + -1 +1 15.9 14.5 15.1 14.2 59.7

1/8 90 + + +1 +1 41.0 43.9 36.3 39.9 161.1

a) Calcule los efectos estimados de cada factor, as como el de interaccin

b) Elaborar e interpretar el Anlisis de Varianza

c) Elaborar e interpretar la grfica de efectos principales y la de interaccin

d) Determinar e interpretar los intervalos de confianza del 95% para los efectos

Replicas n = 4Tratamientos 2^2=4


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e) Elaborar e interpretar la grfica de Pareto y la grfica de Daniel (grficos de

probabilidad normal de los efectos), Qu factores son los ms significativos?

f) Determinar el modelo de regresin en variables codificadas y en variables

naturales.

g) Calcular en interpretar los coeficientes de determinacin r^2 y r^2 adj.

h) Elaborar e interpretar el grafico de superficie de respuesta y el grafico de

contorno.

i) Verificar las supuestos de normalidad, homocedasticidad e independencia con

los grficos de: probabilidad normalidad de residuos, residuos contra predichos

y residuos contra orden de ejecucin respectivamente.

j) Determinar los intervalos de confianza del 95% para la respuesta promedio y

para las mediciones individuales de cada uno de los tratamientos.

a) Efectos de cada factor as como el de la interaccin.

Diseo factorial: 2 = 4

Corridas o ejecuciones: 2 = 2 4= 1 6

= + ((1) + )2

=96.1+161.1(64.4+59.7)

2(4) =

133.1

8 =16.64

= + ((1) + )2

=59.7+161.1(64.4+96.1)

2(4) =

60.3

8 =7.54

= (1) + ( + )2

=64.4+161.1(96.1+59.7)

2(4) =

69.7

8 =8.71

2 Factores

2 Niveles


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Programa MINITAB:

Programa STATGRAPHICS:

b) Anlisis de varianza.

1) Las hiptesis apropiadas son:

Efecto A = 0 (El factor A NO influye sobre la variable de respuesta).

Efecto B = 0 (El factor B NO est activo).Efecto AB = 0 (El efecto de interaccin AB NO afecta la variable de respuesta).

Efecto A 0 (El factor A SI influye sobre la variable de respuesta).

Efecto B 0 (El factor B SI est activo).Efecto AB 0 (El efecto de interaccin AB SI afecta la variable de respuesta).


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2) Estadstico de prueba:

= /(1) /2( 1)=

4) Anlisis de varianza ANOVA.

Fuente de

variacin

Sumas de cuadrados Grados de

libertad

Cuadrados medios Valor PFactor A = [ + (1)+ ]2 1 = 1 ) ( 50.85)= 0Error 71.73 12 5.97

Total 1709.83 15

En la F se ve que influyen los factores ya que son mayores que la suma del cuadrado del error.

3) Regla de decisin para un nivel de significancia = 95%, V1=1 y V2=GL.error.

Programa PQRS:

Rechazar Si , 4.75 o Si P 0.05


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Programa MINITAB:


5) Se rechaza

6) Conclusin:El tamao y velocidad de la broca influyen sobre la vibracin.

c) Grafica de efectos principales e interaccin.


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= (1) +2 = 64.4 + 59.78 = 15.51 = +2 = 96.1 + 161.18 = 32.15

= (1) +2 = 64.4 + 96.18 = 20.06 = +2 = 59.7 + 161.18 = 27.6

(, )

(, )(, )

(, )


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= = 161.14

= 40.265 = = 96.14

= 24.025

= = 59.74 = 14.92 () = (1) = 64.44 = 16.1Programa MINITAB:

Conclusin general:se observa que existe una interaccin por parte de las rectas debido a sugrado de inclinacin con ello nos damos cuenta de que existe una interaccin significativa.

()


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d) Interpretar los intervalos de confianza del 95% para los efectos.

Error estndar de los efectos:

=2 =5.974 2 = 1.22Intervalo de confianza para efectos:

) ) ,

2Programa PQRS:

. ,= 2.179

Factor A:16.64 (2.179)(1.22)=[13.97; 19.29]

Factor B:7.54 (2.179)(1.22)=[4.89; 10.19]

Factor AB:8.71 (2.179)(1.22)=[6.05; 11.37]



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Conclusin:Todos los factores son significativos ya que en ninguno de los intervalos se incluye

el cero.

e) Grafico de Pareto y grafico de Daniel.

2) Estadstico de prueba:

= 2 = 1.22

Efecto estandarizado A =

.

.= 13.63

Efecto estandarizado B=..= 6.18

Efecto estandarizado AB= ..= 7.13

3) Regla de decisin para un nivel de significancia es:

Rechazar si el efecto estandarizado del factor , 2.179 =Efecto estandarizado B

= 6.18 > 2.179 =Efecto estandarizado AB= 7.13 > 2.179 =


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5) Decisin: Se rechaza 6) Conclusin:El tamao y velocidad de la broca influyen sobre la vibracin.


Programa MINITAB:

Conclusin:El tamao y velocidad de la broca influyen sobre la vibracin.


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Grafico de Daniel:

Programa MINITAB:

Conclusin: todo aquel efecto estandarizado fuera de la lnea normal es significativo por lo

tanto los tres efectos son significativos.

f) Modelo de regresin con variables codificadas.

+= + + +=

2 + 2 + 2


= 23.8312 + . + . + . = 23.8312 + 8.32 + 3.77 + 4.36


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Programa MINITAB:

g) Coeficientes de determinacin.

= 100 = 100

= 100 = 100

= 100 1709.8371.721709.83

=95.8% .

Coeficientes de regresin


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= 100 113.985.97113.98 =94.76Programa STATGRAPHICS:

Programa MINITAB:

h) Grafico de superficie de respuesta y el grafico de contorno



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Nos damos una idea de cul es el comportamiento de la variable de respuesta.

Por ejemplo en cualquier punto que satisfaga la necesidad en una vibracin de 29 Hertz. Para

una nominal cuando no se pide maximizar ni minimizar.

Programa MINITAB:


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En el ejercicio, nuestro objetivo es minimizar por lo tanto; queda en la regin azul (Puntos

rojos).

i) Supuestos de normalidad, homocedasticidad e independencia.

Anlisis de residuales:

Ejemplo: Cualquier punto

amarillo en la regin verde se

ajusta a mayor de 40 Hertz.


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= = Calculo del valor predicho (se calcula con el modelo de regresin).

(,)= 23.83 + 8.32(1) + 3.76(1) + 4.36(1)(1)=16.11(,)= 23.83 + 8.32(1) + 3.76(1) + 4.36(1)(1)=24.03(,)= 23.83 + 8.32(1) + 3.76(1) + 4.36(1)(1)=14.92(,)= 23.83 + 8.32(1) + 3.76(1) + 4.36(1)(1)=40.28

= 18.2 16.11 = 2.09 = 27.2 24.03 = 3.17 = 18.9 16.11 = 2.79 =2424.03=.03 = 12.9 16.11 = 3.29 = 22.4 24.03 = 1.63

= 14.4 16.11 = 1.71

= 22.5 24.03 = 1.53

= 15.9 14.92 = .98 =4140.28=.72 = 14.5 14.92 = .42 = 43.9 40.28 = 3.62 = 15.1 14.92 = .18 = 36.3 40.28 = 3.98 = 14.2 14.92 = .72 = 39.9 40.28 = .38

Tratamiento Vibracin Residuales(1) 16.11 18.2 18.9 12.9 14.4 2.09 2.79 -3.29 -1.71

a 24.03 27.2 24 22.4 22.5 3.17 -.03 -1.63 -1.53

b 14.92 15.9 14.5 15.1 14.2 .98 -.42 .18 -.72

ab 40.28 41 43.9 36.3 39.9 .72 3.62 -3.98 -.38

En el supuesto de normalidad se ordenan los residuales de manera creciente.


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Programa MINITAB:

Conclusin:El supuesto de normalidad si se satisface porque los residuales se ajustan

alrededor de la lnea normal.


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Homocedasticidad:


Programa MINITAB:

Conclusin:Aproximadamente los 3 tratamientos tiene el mismo grado de variabilidad que

cumple con la homocedasticidad por lo tanto si satisface.

Independencia:


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Programa MINITAB:

Conclusin:El supuesto de independencia si cumple.

j) Intervalos de confianza del 95% para la respuesta promedio y las mediciones

individuales de los tratamientos.

Este modelo es un sistema de n ecuaciones que puede expresarse en notacin matricial como

Y = X+EDonde:

=.

=

1 1 1.1

.

.

.

=.

=.Si se desea encontrar el vector de estimadores de mnimos cuadradosla solucin es:

= ( ) = Programa MINITAB:

X=M1 (Cuenta con una dimensin de (16x4)).

Multiplicacin de matrices.


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=M2 (Cuenta con una dimensin de (4x16)).

( )=M3 (Multiplicacin y dimensin de (4x16) (16x4) = (4x4)).

( )=M4 (Cuenta con una dimensin de (4x4)).(y) =M5 (Cuenta con una dimensin de (16x1)).

( )=M6 (Multiplicacin y dimensin de (4x16) (16x1) = (4x1)).

= ( ) = (Multiplicacin y dimensin de (4x4) (4x1) = (4x1)).Resultado:

Intervalo de confianza para la media de la variable de respuesta E (

)un intervalo de

confianza del (1-) 100% para la respuesta media en el punto es:

,() ( ) < E +>() ,() ( ) Intervalo de confianza para un intervalo de confianza del (1-) 100% para las medicionesindividuales o una sola respuesta

esta dada por:

,()(1 + ( ) ) < >() ,()(1 + ( ) )Donde N-p = Grados de libertad del error = Total de datos del experimento numero de

trminos en el modelo ajustado.

Ahora ay que definir: ( )


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Tratamiento (1):

= 1

= 1111

=M8 (Cuenta con una dimensin de (4x1)). =M9 (Cuenta con una dimensin de (1x4)). = M10 (Multiplicacin y dimensin de (1x4) (4x4) = (1x4)).

= M11 (Multiplicacin y dimensin de (1x4) (4x1) = (1x1)).

Por lo tanto = 0.25Programa MINITAB:

Sustitucin en frmula para la respuesta promedio:

(,)= 16.11., = 2.179 = 5.97

16.11 (2.179)

(5.97)(. 25)=[13.44; 18.77]

13.44 ((, 18.17Conclusin:Tenemos una confianza del 95% de que la respuesta promedio en el tratamiento

bajo va asumir un valor de 13.44 a 18.17.(Esto es cuando se toman varias mediciones).

Para la respuesta individual:


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16.11 (2.179)(5.97)[1 + .25] =[10.15; 22.06]10.15 ((, 22.06Conclusin:Tenemos una confianza del 95% de que la respuesta individual en el tratamiento

bajo va asumir un valor de 10.15 a 22.06.(Esto es cuando se toma solo una medicin).


Lo del circulo es evidencia de cmo se hace en el programa este es el primer tratamiento en

seguida muestra los dems intervalos para los siguientes tratamientos.


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Programa MINITAB:

Lo del circulo es evidencia de cmo se hace en el programa este es el primer tratamiento en

seguida muestra los dems intervalos para los siguientes tratamientos.

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