OTROS MÉTODOS ESPECÍFICOS DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Caso Tipo de integral SustituciónE-1 Si la integral∫ P ( x )

Q(x )dx es de tal

forma que P ( x )Q(x)

es una

función racional impar, es decir: P (−x )Q(−x)

=−P ( x )Q(x)

t=x2dt=2xdxdx= 12 x¿

dt

E-2 Si la integral∫ P ( x )Q(x )

dx se puede

expresar de la forma P (x2 )Q(x2)

Se simplifica la descomposición en fracciones simples realizando la sustitución:

t=x2dt=2xdxdx= 12 x¿

dt

E-3 Integrales racionales que se pueden expresar en la forma

∫ Q (xn )xn−1

P( xn+a)dx (a puede ser 0),

donde P y Q son polinomios.

t=xn+adt=n xn−1dxdx= 1

nxn−1

¿

dt

Quedando la integral en la forma:1n∫

Q (t−a )P (t)

dt

E-4 Integrales racionales del tipo:

∫ P (x )

(a x2+bx+c )ndx

Donde las raíces del denominador son complejas y P(x ) es un polinomio de grado inferior a 2n.

Se calculan como sigue:a x2+bx+c=a [ (x – p )2+q2 ]

Hacemos la sustitución:x−p=q t dx=qdt

Quedando la integral en la forma:1

anq2n−1∫R (t )

(t 2+1 )ndt

Siendo R(t ) un polinomio de grado inferior a 2n.Queda reducido el problema a integrales de la forma:

∫ tm

(t 2+1 )ndt (m<2n)

En donde se pueden dar los siguientes casos:

1.º. mimpar. Hacemos la sustitución:

t 2+1=um=2 s+12 t dt=du

t 2=u−1 t=(u−1 )12

La integral quedará: 12∫ (u−1 )s

undu

y desarrollando el numerador (binomio elevado a exponente entero) y dividiendo cada término por el denominador se integra término a término (integrales inmediatas)

2.º. m par. Hacemos la sustitución:

t=tanum=2 sdt= 1

cos2u¿du¿

La integral quedará: ∫ Sen2 sucos2n−2−2 sudu

Integrales que se resuelven por los distintos métodos (Reducción) para integrales de la forma:

∫ Senm xcosn xdx

E-5 Integrales racionales de la forma:

∫ dx

( x+a )m ( x+b )n

t= x+ax+b¿x=

tb−a1−t¿dx=

b−a(1−t )2

¿

dt ¿¿

La integral quedará:1

(b−a )m+n−1∫(1−t )m+n−2

tmdt

Desarrollando la potencia del binomio y dividiendo cada término por tmquedan integrales inmediatas.

E-6 Integrales racionales de la forma:

∫ P(x )dx( x−a )m

Donde P(x ) es un polinomio en x de grado n.

Se resuelve desarrollando por Taylor el polinomio P(x ) en potencias de (x – a). Es decir, que:

P(x )=P(a)+P’ (a)

1 !(x−a)+

P’’ (a)2 !

(x – a)2+…+P(n)(a)n !

(x – a)n

y a continuación dividiendo cada uno de los términos por (x – a)m quedan integrales inmediatas.

CASO E-4 (Mirar la Tabla)

CASO E-5 (Mirar la Tabla)

INTEGRACIÓN POR PARTES

(183) ∫ arcsenx .dxx2

=−1x.arcsenx+∫ dx

x √1−x2 =

(186) ∫ senhx·Ln(coshx )2 · dx=∫ senh x·2 · ln(cosh x) · dx =