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UNIVERSIDAD DEL SOCONUSCO
CLAVE SEP 07PSU0052L
Material Autoinstruccional
Materia: PROBABILIDAD
TAPACHULA DE CÓRDOVA Y ORDÓÑEZ, CHIAPAS.
1.1 Definición y notación de conjuntos
El nacimiento del cálculo de probabilidades estuvo ligado a los juegos de azar.
Cardano (que tenía una afición desordenada por el ajedrez y los dados, según
reconoce en su autobiografía) escribió “Libro sobre los juegos de azar”, publicado
póstumamente en 1663, y que fue considerado el primer tratado serio sobre las
probabilidades matemáticas. La correspondencia que Pascal y Fermat
intercambiaron ( a mediados del siglo XVII) sobre la geometría del azar marca el
nacimiento de la nueva ciencia.
En la actualidad el Cálculo de Probabilidades ha llegado a ser la rama de las
matemáticas de mayor penetración en todos los campos, directamente o a través
de la Estadística.
1. Experimento aleatorio. Espacio muestral.
Definición 1. Se llama experimento o fenómeno aleatorio a aquél que es susceptible de dar varios resultados, no pudiéndose predecir de antemano cuál de ellos va a producirse en una experiencia concreta.
Cada ejecución del experimento se llama una prueba del mismo.
Ejemplo 1: Lanzar un dado o una moneda al aire son experimentos aleatorios.
Se llama experimento determinista al que realizado en la mismas condiciones se obtiene siempre el mismo resultado (de éstos se ocupa la Física).
Definición 2. Llamaremos suceso elemental a cada uno de los posibles resultados del experimento aleatorio.
Ejemplo 2: En el experimento “lanzar un dado” los sucesos elementales son 6. S1 = “sacar un 1”,.........., S6 = “sacar un 6”.
Definición 3. Se llama espacio probabilístico o espacio muestral, E, al conjunto de todos sus sucesos elementales.
Ejemplo 3: En el experimento lanzar una moneda el espacio muestral tiene dos elementos,E =
Ejercicio 1. Encuentra el espacio muestral del experimento lanzar dos monedas.
Definición 4. Se llama suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral.
Diremos que un suceso, A, ocurre (o se verifica) en una prueba si el resultado de la misma es uno de los sucesos elementales que pertenecen a A.
Ejemplo 4: El suceso A = sacar par al lanzar un dado 2, S4, S6 se verifica si sale un dos, un cuatro o un seis.
Ejemplo 5. Si tiramos dos monedas al aire sea A = “al menos una sea cara”. El suceso A consta de tres sucesos elementales a saber CC, CF y FC.
En todo espacio muestral podemos distinguir los siguientes sucesos:
elementales, los subconjuntos con un solo elemento.
seguro, E, el propio espacio muestral.
imposible, que no posee ningún suceso elemental (no puede verificarse).
1.2 Operaciones, leyes y representación de diagramas de Ven
Teniendo en cuenta que los sucesos son subconjuntos se suelen usar los diagramas de Venn para representarlos.
Si A y B son dos sucesos del espacio muestral E, éste queda dividido en cuatro partes:
Los que están en A y no en B, los que están en B y no en A, los que están en ambos y los que no están ni en a ni en B.
En el dibujo se ha indicado el número de sucesos elementales que les corresponden.
Llamaremos P(E) al conjunto de todos los sucesos, es decir a partes de E.
iremos que el suceso A implica el B, sí siempre que se verifica A se verifica B. Se indica B, pues todos los sucesos de A pertenecen a B.
Ejemplo 6. A = “sacar un dos”; B = “sacar par”
elementales; se puede expresar esto diciendo que se implican mutuamente,
Definición 5. Se llama suceso contrario (o complementario) de A, y se representa por A’ ó Ac, al formado por los sucesos elementales de E que no están en A.
Es decir se verifica Ac cuando no se verifica A.
Ejemplo 7. Si consideramos el suceso A = sacar dos cruces, al lanzar dos monedas, Ac es el suceso sacar al menos una cara.
Ejemplo 8. En la figura 1 el contrario de B está formado por a+d elementos.
Operaciones con sucesos
Teniendo en cuenta que los sucesos son subconjuntos se definen la:
Se llamará unión de dos sucesos A y B al que se verifica cuando en una prueba el resultado es un elemento de A o de B (o de ambos). Se representa
a + c + b elementos.
Intersección de sucesos.
Llamaremos suceso intersección de A y B al que ocurre cuando el resultado
intersección conjuntista).
Ejemplo 10. En la figura 2 el suceso intersección tiene c elementos.
Diferencia de sucesos.
Si A y B son dos sucesos se define su diferencia como: A - c.
Se verifica pues: Ac = E - A.
Ejemplo 11. En la figura 2., A - B tiene a elementos.
Definición 6. Dos sucesos A y B se dice que son incompatibles si tienen intersección vacía. En otro caso se dirán compatibles.
Ejemplo 12. Cualquier suceso A y su contrario son incompatibles.
Ejemplo 13. Si extraemos dos cartas de una baraja española (40 cartas) los sucesos:
A = “las dos sean copas” y B = “una sea copas y la otra rey” son compatibles.
Problema 1. En una determinada población el 50% ha estado casado alguna vez, el 50% tiene menos de 70 años y el 80% no padece ninguna enfermedad contagiosa. De estos últimos el 60% tiene menos de 70 años y el 40% ha estado casado alguna vez. De los que han estado casados alguna vez, sólo el 20% tiene menos de 70 años. El 10% de la población reúne las tres condiciones. Representar la información anterior en un diagrama de Venn.
Solución
(Por comodidad en la representación consideramos que la población tiene 100 personas)
Sea C el conjunto de los que han estado casados alguna vez.
“ B “ tienen menos de 70 años.
“ E “ no padecen enfermedad contagiosa.
Card (C) = 50% de la población; card (E) = 80%; card (B) =50%:
Card
Card
Ejercicio 1. Calcula el porcentaje de individuos que no habiendo estado casados nunca, tengan menos de 70 años y no padecen enfermedad contagiosa.
Indicación: es el cardinal de Cc
1.3. Espacio probabilístico asociado a un experimento aleatorio.
Idea intuitiva de probabilidad
absoluta del suceso A, n(A), al nº de veces que se ha verificado A.
La frecuencia relativa de un suceso A se define como el cociente entre su frecuencia absoluta y el nº total de pruebas, es decir:
Ejercicio 2. Lanzar un dado 30 veces y calcula las frecuencia relativa del suceso obtener un 6.
Propiedades:
1) La frecuencia relativa de cualquier suceso, A, es un nº racional del
2) f(E) = 1, la frecuencia relativa del suceso seguro es 1.
3) incompatibles la frecuencia relativa de su unión es la suma de sus frecuencias relativas.
La comprobación es inmediata.
la frecuencia relativa de uno cualquiera de los sucesos tiende a estabilizarse. Esto quiere decir que la frecuencia relativa toma valores próximos a un nº fijo, y que según aumenta el nº de pruebas más se acerca a ese valor. A dicho valor es al que llamaremos la probabilidad de A, p(A)
p(A) = (probabilidad a posteriori).
Esta forma de asignar probabilidades tiene el inconveniente de puede variar de unas series a otras, a pesar de la estabilidad de las frecuencias.
a priori cuando se cumpla el postulado de indiferencia o ley de la ignorancia.
Ejemplo 14. Si el experimento es lanzar un dado, que no esté trucado, se cumple dicho postulado, a cada resultado se le asigna como probabilidad a priori el valor 1/6.
Probabilidad de La place
Cuando se pueda asegurar que se cumple el postulado de indiferencia, es decir que todos los sucesos elementales sean igualmente posibles, se define:
Se conoce como la Regla de La place, el nº obtenido es la probabilidad a priori o de La place.
Ejemplo 15. Consideremos el experimento lanzar dos monedas al aire. Vamos a calcular la probabilidad del suceso, A, sacar una cara y una cruz.
El espacio muestral consta de cuatro sucesos elementales igualmente “probables”:
CC, CF, FC y FF, luego p(A) =2/4 =1/2.
Ejercicio 3. Calcula la probabilidad de obtener dos 6 al lanzar dos dados.
Definición axiomática de probabilidad
Sea A un álgebra de Boole asociada a un experimento del espacio muestral E, teniendo en cuenta las propiedades de la frecuencia relativa se define:
Definición 7. Se llama probabilidad a una aplicación p: P (E)
A p(A)
que cumple las siguientes condiciones, llamadas axiomas de probabilidad:
A la terna (E, A, p) se le llama espacio probabilístico asociado al experimento en cuestión.
Ejercicio 4. ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar dos dados la suma de ?
Consecuencias de los axiomas de probabilidad
1) p (Ac) = 1 - p(A)
p(A) =Número de casos favorables a A
Número de caso posibles
I. p (E) = 1.
Ejemplo 16. De una baraja de 40 cartas extraemos dos cartas a la vez., ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea copas?
Solución. Sea A el suceso “al extraer dos cartas al menos una es copas”
Pasamos al contrario, Ac, es decir calculamos la probabilidad de que ninguna sea copas.
Sucesos posibles: , que son todos los grupos de 2 cartas que se pueden sacar.
Sucesos favorables: pues hay 30 cartas que no son copas.
Por la regla de Laplace tenemos: p (Ac) = p(A) = 1 - 0,56 = 0,44
3) Si
4) Si A y B son sucesos compatibles: -
Ejemplo 17. Calcular la probabilidad de obtener un as ó una copa al extraer una carta de una baraja española.
Solución: p(as ó copas) = 1/10 + 1/4 - 1/40 = 13/40.
Ejercicio 5. En una baraja hemos suprimido varias cartas. Entre las cartas que nos quedan se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas: p(R) = 0,15, p(B) = 0,3, p(carta que no sea ni rey ni basto) = 0,6. ¿Está entre ellas el rey de bastos?. En caso afirmativo calcula su probabilidad.
Nota. El resultado puede generalizarse a 3 o más sucesos.
En particular si A, B y C son tres sucesos compatibles se verifica:
- B) - -
(1)
Problema 2. En una determinada población, el 70% son aficionados al fútbol, el 60% al tenis y el 65% al baloncesto. El 45% lo son al fútbol y al tenis, el 40% al tenis y al baloncesto y el 50% al futbol y al baloncesto, mientras que el 30% lo son a los tres deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo escogido al azar no sea aficionado a ninguno de los tres deportes?
Solución
Pasamos al contrario, es decir calculamos en primer lugar la probabilidad de que sea aficionado al menos a uno de los tres.
p (F - 0,45 - 0,40 - 0,50 + 0,30 = 0,90
Por lo tanto p (“no sea aficionado a ningún deporte de los tres”) = 1 - 0,90 = 0,10.
Ejercicio 6. Resolver el problema 2 usando diagramas de Venn.
1.4. Probabilidad condicionada. Sucesos independientes.
Muchas veces la probabilidad de que ocurra un suceso viene influida por el hecho de que ocurra o no otro suceso, o por una información adicional.
Ejemplo 18. Supongamos un dado cuyas caras pares son de color negro y las impares de color rojo.
La probabilidad de los sucesos elementales, en principio, es 1/6; pero si en el lanzamiento se nos informa que la cara obtenida es de color negro, sin decirnos el resultado, entonces la probabilidad cambia: la de los impares sería cero y la de los pares 1/3.
Esto nos dice que hemos pasado a otro espacio probabilístico donde no se cumple el postulado de indiferencia.
En general, si A y B son dos sucesos del álgebra de sucesos, se define la probabilidad condicionada del suceso A sobre el B como la probabilidad de que ocurra A habiendo sucedido antes B:
Definición 8. llamaremos probabilidad de A condicionada a B:
p(A/B) =
Observación 1
La aplicación pB así definida es una probabilidad en la que el espacio muestral E se puede considerar reducido al suceso B como consecuencia de la información sobre el experimento aleatorio.
En efecto: p(A/B) = =
Ejemplo 19. En una determinada localidad hay tres partidos políticos: PP, PSOE e IU. Se efectúa un referéndum para decidir si un cierto día se declara fiesta local. La siguiente tabla nos da los resultados en % en función del partido al que votó cada ciudadano en las últimas elecciones:
PP PSOE IU ABS
Sí 25 20 8 12
No 15 10 2 8
a) ¿Qué probabilidad hay de que una persona tomada al azar haya votado Sí en el referéndum?
b) Calcular la probabilidad de que un individuo sea del PP sabiendo que ha votado sí.
Solución:
En primer lugar completamos la tabla con las sumas parciales:
PP PSOE IU ABS
Sí 25 20 8 12 65
No 15 10 2 8 35
40 30 10 20 100
a) p( Sí ) = 0,65; b) p( PP/Sí ) = 25/65 = 0,38.
Ejemplo 20. En una clase de COU el 45% de los estudiantes suspende Matemáticas, el 60% suspende física y el 30% suspende ambas. Se selecciona al azar un alumno:
a) Si suspendió Física ¿Cuál es la probabilidad de que suspendiera Matemáticas?
b) Si suspendió Matemáticas “ “ Física?
Solución
Sea A = “suspende Matemáticas” y B = “suspende Física”
p(A) = 0,45; p(B) = 0,60 ; p(A B) = 0,30
a) p(A/B) = 0,30/0,60 =1/2; p(B/A) = 0,30/0,45 = 2/3
Consecuencia: De la definición de probabilidad condicionada se deduce:
Esta expresión se conoce como la fórmula de la probabilidad compuesta.
Ejemplo 21. Calcular la probabilidad de que al extraer dos cartas de una baraja la 1ª sea copas y la 2ª bastos.
Solución p (1ªC, 2ªB) = p (1ªC). p (2ªB/1ªC) =
Nota: La fórmula puede generalizarse a tres o más sucesos. En el caso de tres se obtiene:
p(A B C) = p(A). p(B/A). p(C/ A B)
Ejemplo 22. En una urna hay 3 bolas blancas, 5 rojas y 4 negras. Se extraen tres bolas consecutivamente, sin reemplazamiento. Calcular la probabilidad de que las tres sean rojas
Solución
p(1ªR, 2ªR, 3ªR)=
Observación 2.
Hay ocasiones en que las pruebas no son sucesivas sino simultáneas, lanzar dos dados, extraer tres cartas de una baraja etc…. Se pueden encontrar muchos casos en que se pueden considerar como si se sucedieran en el tiempo, lo que facilita el cálculo de sus probabilidades.
Ejemplo 23. Supongamos que tenemos una urna con 5 bolas rojas y 4 bolas negras y que extraemos dos bolas, esto lo podemos hacer de tres formas:
1º) con reemplazamiento. La primera que se extrae se devuelve a la urna.
2º) sin reemplazamiento. “ “ no se devuelve “
3º) simultáneamente. Las dos a la vez.
Vamos a calcular la probabilidad de que las dos sean rojas.
1º) p(1ªR, 2ªR) = con reemplamiento; 2º) p(1ªR, 2ªR) =
sin reemplazamiento;
3º) p(las dos rojas) = a la vez.
Observamos que en los caso 2º y 3º la probabilidad es la misma y su cálculo más sencillo considerando extracciones sucesivas.
Veamos para otro suceso.
Si queremos calcular la probabilidad de que al extraer dos bolas una sea roja y la otra negra:
A la vez.
p(una roja y otra negra) = =
Sin reemplazamiento.
Este suceso es la unión de RN y NR, ya el orden no importa. Son incompatibles:
p (una roja y otra negra) = p (RN) + p(NR) = , luego coinciden de nuevo.
Podemos concluir que en determinados casos simultáneamente “equivale “a extracciones sucesivas sin reemplazamiento.
Ejercicio 7. Resolver el ejemplo 16 utilizando la conclusión anterior.
Problema 3. Una urna contiene 8 blancas y 7 negras, hacemos una extracción de 2 bolas, en el supuesto de que hemos visto que una de estas bolas es negra. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra también lo sea?
Solución
Sea el suceso A = “al extraer dos bolas, al menos una sea negra”
“ B = “al extraer dos bolas, las dos sean negras”
y p (B) = ;
p(A) = 1- p(Ac) = 1 - ;
La probabilidad pedida es: p(B/A)=
Independencia de sucesos
Definición 9. Se dice que un suceso A es independiente de otro B cuando:
p(A/B) = P(A)
En otro caso se dirá que son dependientes.
Consecuencias:
. Por
B es independiente de A. Teniendo en cuenta lo anterior es trivial.
c es independiente de B. (comprobarlo)
ndientes de cualquier suceso.
Observaciones:
1) Si los sucesos son incompatibles no pueden ser independientes, pues
2) Para hablar de independencia de dos sucesos A y B ha de tenerse que A
En efecto si, por e
Ejemplo 24. Hallar la probabilidad de que al tirar dos veces una moneda las dos veces salga cara
Solución
Ejemplo 25. De una baraja de 40 cartas hacemos dos extracciones sucesivas, sin devolución. Calcula la probabilidad de que las dos sean reyes.
Solución
Son sucesos dependientes, pues al sacar una carta se modifica la composición de la baraja.
p (2 reyes) = p (rey la 1ª). p (rey la 2ª/ ha sido rey la 1ª) =
Nota: Se puede generalizar a tres o más sucesos.
Ejemplo 26. Un avión con tres bombas trata de destruir una línea férrea; la probabilidad de destruir la línea con cualquiera de las bombas es 1/3. ¿Cuál es la probabilidad de que la línea quede destruida si el avión emplea las tres bombas?
Solución La probabilidad de que una determinada bomba no haga blanco
es :
La probabilidad de que ninguna haga blanco, es ,(es decir no acierte ni 1ª, ni 2ª ni, 3ª), pues son sucesos independientes.
La probabilidad de que al menos una haga blanco es 1 - = , ya que son contrarios.
Unidad Dos.- Definir lo que es probabilidad
La probabilidad es una medida de la posibilidad relativa de que un evento
ocurra en el futuro.
Puede asumir valores entre cero y uno inclusive.
Un valor cercano a cero significa que es poco probable que el evento
suceda. Un valor cercano a uno significa que es altamente probable que el
evento suceda.
Hay tres definiciones de probabilidad: clásica, empírica y subjetiva.
La definición clásica aplica cuando hay n resultados igualmente posibles.
La definición empírica aplica cuando el número de veces que ocurre un
evento se divide por el número total de observaciones.
La probabilidad subjetiva se basa en cualquier información disponible.
Un experimento es un proceso que conduce a que ocurra una (y solamente
una) de varias observaciones posibles.
Un resultado es un suceso particular proveniente de un experimento.
Un evento es un conjunto de uno o más resultados de un experimento
1.2.- Describir los enfoques clásico, empírico y subjetivo de la probabilidad.
Los eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de cualquiera
significa que ninguno de los otros eventos puede ocurrir al mismo tiempo.
Los eventos son independientes si la ocurrencia de un evento no afecta la
ocurrencia de otro.
Colectivamente exhaustivo: por lo menos uno de los eventos debe ocurrir
cuando se realiza un experimento.
Ejemplo 1:
Se lanza un dado no cargado una vez.
El experimento es lanzar el dado.
Los resultados posibles son los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Un evento es la ocurrencia de un número par. Esto es, los números 2, 4 y 6
Ejemplo 2
En el departamento académico del profesor López, se ha asignado un total
de calificaciones de “A” de 186 entre un total de 1,200 estudiantes. ¿Cuál
es la probabilidad de que un estudiante de su sección este semestre reciba
una calificación de “A”?
Este es un ejemplo de la definición empírica de probabilidad.
Encuentre la probabilidad de seleccionar un estudiante con calificación “A”:
P(A) = 186/1,200 = 0.155
Probabilidad subjetiva
Ejemplos de probabilidad subjetiva son:
Estimar la posibilidad de que el equipo de los Patriotas de Nueva Inglaterra
participe en el juego del Súper Tazón de futbol americano para el próximo
año (en EUA).
Evaluar la probabilidad de que la empresa General Motors, pierda su lugar
número 1 en el total de unidades vendidas, frente a la Ford o la Chrysler, en
un lapso de dos años.
Reglas básicas de probabilidad
Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de la
adición indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos,
es igual a la suma de sus probabilidades.
P(A o B) = P(A) + P (B)
Ejemplo 3:
La oficina de vuelos de Aeroméxico tiene registrada la siguiente información
en su bitácora de vuelos entre Ciudad de México y Acapulco.
Llegadas Frecuencia
Temprano 100
A tiempo 800
Tarde 75
Cancelado 25
Total 1000
Continuación del ejemplo 3:
Si A es el evento de que el vuelo llegue temprano, entonces:
P(A) = 100/1000 = 0.10
Si B es el evento de que el vuelo llegue tarde, entonces:
P (B) = 75/1000 = 0.075
La probabilidad de que el vuelo llegue temprano o tarde es:
P(A o B) = P(A) + P (B) = 0.10 + 0.075 = 0.175
La regla del complemento
La regla del complemento es utilizada para determinar la probabilidad de
que un evento ocurra, restando a 1 la probabilidad de que no ocurra dicho
evento.
Si P(A) es la probabilidad de un evento A y P(~A) es la probabilidad del
complemento de A,
P(A) + P(~A) = 1 o P(A) = 1 – P(~A)
Un diagrama de Venn ilustrando la regla del complemento se apreciaría así:
Retomando el ejemplo 3, use la regla del complemento para encontrar la
probabilidad de un evento (A) temprano o un evento (B) tarde.
Si C es el evento de que el vuelo llegue a tiempo, entonces P(C) =
800/1000 = 0.8
Si D es el evento de que el vuelo se cancele, entonces P(D) = 25/1000 =
0.025
P(A o B) = 1 - P(C o D) = 1 - [.8 +.025] =0.175
1.3.- Entender los términos: experimento, evento, resultado, permutaciones y
combinaciones.
La regla general de la adición
Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces
P(A o B) es dada por la siguiente fórmula:
P(A o B) = P(A) + P (B) - P(A y B
El diagrama de Venn ilustra esta regla:
Ejemplo 5
En una muestra de 500 estudiantes, 225 afirmaron tener un estéreo, 175
dijeron tener una TV, y 100 afirmaron tener ambos.
Si un estudiante es seleccionado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el
estudiante tenga sólo un estéreo, sólo una TV, y ambos un estéreo y una
TV?
P(S) = 225/500 = 0.45
P(T) = 175/500 = 0.35
P(S y T) = 100/500 = 0.20
Si un estudiante es seleccionado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que
tenga un estéreo o una TV en su cuarto?
P(S o T) = P(S) + P(T) - P(S yT)
= 0.45 + 0.35 - 0.20 = 0.60
1.4.- Definir los conceptos probabilidad condicional y
probabilidad conjunta
Probabilidad conjunta
Probabilidad conjunta: mide la posibilidad de que dos o más eventos
ocurran en forma simultánea.
Un ejemplo podría ser el evento de que un estudiante elegido al azar tenga
ambos, un estéreo y una TV en su cuarto.
Regla especial de la multiplicación
La regla especial de la multiplicación requiere que dos eventos A y B sean
independientes.
Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la
probabilidad de que ocurra el otro.
Esta regla se escribe:
P(A y B) = P(A) P (B)
Ejemplo 6
Cristina tiene dos acciones, IBM y GE. La probabilidad de que la acción de
IBM aumente de valor el próximo año es 0.5, y la probabilidad de que la
acción de GE aumente su valor el próximo año es 0.7. Suponga que las dos
acciones son eventos independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que
ambas acciones incrementen su valor el próximo año?
P (IBM y GE) = (0.5)(0.7) = 0.35
Cuál es la probabilidad de que al menos una de estas acciones aumente
su valor durante el próximo año?
P(al menos una) = (0.5)(0.3) + (0.5)(0.7) + (0.7)(0.5) = 0.15 + 0.35 +0.35 =
0.85
Probabilidad condicional
La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento
determinado, dado que otro evento ya haya ocurrido.
La probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ha ocurrido
se escribe P(A/B).
Regla general de la multiplicación
La regla general de la multiplicación es utilizada para encontrar la
probabilidad conjunta de que dos eventos ocurran.
La regla establece que dados dos eventos A y B, la probabilidad conjunta
de que ambos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de que
suceda A, por la probabilidad condicional de que ocurra el evento B.
La probabilidad conjunta P(A y B) está dada por la siguiente fórmula:
P(A y B) = P(A)P(B/A) o
P(A y B) = P(B)P(A/B
Ejemplo 7
El director de la Escuela de Negocios de la Universidad Nacional, recopiló
la siguiente información acerca de estudiantes no graduados en su escuela:
Especialidad Hombre Mujer Total
Contaduría 170 110 280
Finanzas 120 100 220
Mercadotecnia 160 70 230
Administración 150 120 270
Total 600 400 1000
Si un estudiante es seleccionado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el
estudiante sea una mujer (F) pasante de contaduría (A)?
P(A y F) = 110/1000
Dado que el estudiante es una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que ella
sea pasante de contaduría?
P(A/F) = P(A y F)/P(F) = [110/1000]/[400/1000] = 0.275
Diagrama de árbol
El diagrama de árbol es una representación gráfica útil para organizar
cálculos que abarcan varias etapas. Cada segmento en el árbol es una
etapa del problema. Las probabilidades escritas cerca de las ramas son las
probabilidades condicionales del experimento.
Ejemplo 8
En una bolsa que contiene 7 chips rojos y 5 chips azules, usted selecciona dos
chips uno después del otro sin reemplazarlo. Elabore un diagrama de árbol
mostrando esta información.
Teorema de Bayes
El Teorema de Bayes es un método que utiliza la probabilidad revisada con
base en información adicional.
Se calcula utilizando la siguiente fórmula:
)/()()/()(
)/()()|(
2211
111
ABPAPABPAP
ABPAPBAP
Ejemplo 9
Una embotelladora de refresco de cola recibió varias denuncias acerca del
bajo contenido de sus botellas. Una denuncia fue recibida hoy, pero el
gerente de producción no puede identificar cuál de las dos plantas en
Aguascalientes (A o B) llenó estas botellas. ¿Cuál es la probabilidad de que
las botellas defectuosas provengan de la planta A?
La siguiente tabla resume la experiencia de producción de dicha embotellado
% del total de
producción
% de botellas
defectuosas A 55 3
B 45 4
La probabilidad de que las botellas fueran llenadas en la planta A se redujo
de 0.55 a 0.4783
Principios de conteo
Fórmula de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa, y n
formas de hacer otra, existirán m x n formas de hacer ambas.
Ejemplo 10
El Dr. Velasco tiene 10 camisas y 8 corbatas. ¿Cuántos juegos de camisa y
corbata puede tener?
(10)(8) = 80
Principios de conteo
Permutación: Un arreglo o disposición de r objetos seleccionados de un
solo grupo de n objetos posibles.
Nota: El orden del arreglo es importante en las permutaciones.
4783.)04(.45.)03(.55.
)03(.55.
)/()()/()(
)/()()/(
BUPBPAUPAP
AUPAPUAP
)!(
!
rn
nPrn
Una combinación es el número de maneras de escoger r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden:
Hay 12 jugadores en el equipo de básquetbol de la Preparatoria Popular. El
director técnico Tomás Pérez debe escoger 5 jugadores de los 12 del
equipo para formar su línea de inicio. ¿De cuántas maneras diferentes
puede hacerlo?
Suponiendo que además de formar los grupos de 5 jugadores, el técnico
debe respetar el orden de los mismos de acuerdo a su habilidad.
III ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
3.1.- Organizar los datos en una distribución de frecuencias.
3.2.-Presentar una distribución de frecuencias en un histograma, un
polígono de frecuencias y un polígono de frecuencias acumuladas.
3.3.-Elaborar e interpretar una representación de tallo y hoja.
3.4.- Presentar datos utilizando técnicas de graficación como gráficas de líneas,
gráficas de barras y gráficas circulares
)!(!
!
rnr
nCrn
792)!512(!5
!12512
C
040,95)!512(
!12512
P
3.5.-Calcular la media aritmética, la media ponderada, la mediana, la moda y la
media geométrica.
3.6.-Explicar las características, uso, ventajas y desventajas de cada medida de
tendencia central.
3.7.-Identificar la posición de la media aritmética, la mediana y la moda, tanto en
distribuciones simétricas como asimétricas.
3.1.- Organizar los datos en una distribución de frecuencias.
Distribución de frecuencias: Agrupamiento de datos en categorías
mutuamente excluyentes, que indican el número de observaciones en cada
categoría.
Distribución de frecuencias
Punto medio de clase: Un punto que divide el intervalo en dos partes
iguales. Es el promedio entre el límite inferior y superior del intervalo de
clase.
Frecuencia de clase: El número de observaciones en cada clase.
Intervalo de clase: El intervalo de clase es obtenido restando el límite
inferior de una clase del límite inferior de la siguiente clase.
3.2.-Presentar una distribución de frecuencias en un histograma, un
polígono de frecuencias y un polígono de frecuencias acumuladas.
Ejemplo 1
El Dr. Yáñez es director de una Escuela de Negocios en la Universidad de
Calvillo. Él desea preparar un resumen mostrando el número de horas por
semana que los estudiantes emplean en el estudio. Selecciona una muestra
de 30 estudiantes y determina el número de horas que cada alumno estudió
en la última semana.
15.0, 23.7, 19.7, 15.4, 18.3, 23.0, 14.2, 20.8, 13.5, 20.7, 17.4, 18.6, 12.9,
20.3, 13.7, 21.4, 18.3, 29.8, 17.1, 18.9, 10.3, 26.1, 15.7, 14.0, 17.8, 33.8,
23.2, 12.9, 27.1, 16.6
Organice los datos en una distribución de frecuencias.
Hay 30 observaciones.
Dos elevado a la quinta potencia es 32.
Sin embargo, debemos tener al menos 5 clases. Eventualmente
utilizaríamos 6.
El rango es 23.5 horas, restando 10.3 de 33.8 horas.
Escogemos un intervalo de 5 horas.
El límite inferior de la primera clase es 7.5 horas.
EJEMPLO
• Horas en estudio • Frecuencia, f
• De 7.5 a menos de 12.5 • 1
• De 12.5 a menos de 17.5 • 12
• De 17.5 a menos de 22.5 • 10
• De 22.5 a menos de 27.5 • 5
• De 27.5 a menos de 32.5 • 1
• De 32.5 a menos de 37.5 • 1
Sugerencias en la construcción de la distribución de frecuencias
El intervalo o amplitud de las clases debe ser el mismo para todas ellas.
Determine el intervalo o amplitud usando la siguiente fórmula:
Sugerencias en la construcción de la distribución de frecuencias
Use el cálculo obtenido como sugerencia del ancho del intervalo en la
construcción de la distribución de frecuencias.
Nota: Esto es un ancho del intervalo de clase sugerido; si el cálculo
obtenido es 97, puede ser mejor usar 100.
Cuente el número de valores en cada clase.
Ejemplo 1:(continuación)
Una distribución de frecuencias relativas muestra el porcentaje de
observaciones en cada clase.
Distribución de frecuencias relativas.
Horas en estudio Frecuencia, f Frecuencia relativa
De 7.5 a menos de 12.5 • 1 • 1/30 = .0333
De 12.5 a menos de 17.5 • 12 • 12/30 = .4000
De 17.5 a menos de 22.5 • 10 • 10/30 = .3333
De 22.5 a menos de 27.5 • 5 • 5/30 = .1667
De 27.5 a menos de 32.5 • 1 • 1/30 = .0333
De 32.0 a menos de 37.5 • 1 • 1/30 = .0333
Total 30 30/30 = 1.0000
3.3.-Elaborar e interpretar una representación de tallo y hoja.
Representación de tallo y hoja
Representación de tallo y hoja: Es una técnica estadística que muestra un
conjunto de datos. Cada valor numérico se divide en dos partes: los dígitos
principales se toman como el tallo, y el dígito siguiente es la hoja. Los tallos
se ubican a lo largo del eje vertical principal, y las hojas de cada
observación, a lo largo del eje horizontal.
Nota: Una ventaja de esta representación sobre la distribución de
frecuencias es que no se pierde la identidad de cada observación.
Ejemplo 2
Colín obtuvo las siguientes calificaciones en doce pruebas de este semestre
86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78,82, 85.
Construya un diagrama de árbol y hojas
Solución
Árbol Hojas
6 9
7 8 9
8 2 3 4 5 6 8
9 1 2 6
3.4.- Presentar datos utilizando técnicas de graficación como gráficas de líneas,
gráficas de barras y gráficas circulares
Presentación de una distribución de frecuencias en gráficas
Las tres gráficas más comunes son: histograma, polígono de frecuencias y
distribución de frecuencias acumuladas.
Un histograma es una gráfica en la cual los intervalos de clase se señalan
en el eje horizontal, y las frecuencias de clase en el eje vertical.
Las frecuencias de clase son representadas por barras de diferente altura y
éstas se colocan una junto a otra.
Un polígono de frecuencias consiste en segmentos de línea conectados a
través de los puntos medios (marcas de clase) de clase en cada intervalo
de clase.
Una distribución de frecuencias acumulada (ojiva) es utilizada para determinar
cuántos o qué proporción de los datos están por arriba o por debajo de cierto
valor.
Histograma para horas empleadas en estudiar
Histograma
0
2
4
6
8
10
12
14
intervalos de clase
frecu
enci
a
Polígono de frecuencias para horas empleadas en estudiar
Distribución de frecuencias acumuladas (ojiva) para horas en estudio
Gráfica de barras
Una gráfica de barras es especialmente útil para mostrar cualquiera de los niveles de medición: nominal, ordinal, de intervalo o de razón.
polígono de frecuencias
0
2
4
6
8
10
12
14
1 2 3 4 5 6
intervalos de confianza
frec
uenc
ia
frecuencia
frecuencia acumulada(ojiva)
0
5
10
15
20
25
30
35
1 2 3 4 5 6 7
intervalos de clase
frec
uen
cia
acu
mu
lad
a
ojiva
Ejemplo 3
Construya un diagrama de barras para el número de desempleados de una población de 100,000 para ciudades seleccionadas durante 2001.
Ciudad Número de desempleados por
cada 100,000 Atlanta 7300
Boston 5400
Chicago 6700
Los Ángeles 8900
Nueva York 8200
Washington 8900
Diagrama de barras para desempleados
Diagrama tipo pastel
Diagrama de barras
0
2000
4000
6000
8000
10000
Atlanta
Boston
Chicago
Los Angele
s
Nueva Y
ork
Wash
ingto
n
Ciudades
Des
emp
lead
os/
100,
000
Un diagrama tipo pastel es útil para mostrar la distribución de frecuencias
relativas. Un círculo es dividido proporcionalmente a las frecuencias
relativas y las porciones del círculo están ubicadas para los diferentes
grupos.
Ejemplo 4
A una muestra de 200 corredores se le preguntó su tipo de zapato tenis favorito.
Elabore un diagrama tipo pastel en base a la siguiente información.
Tipo de zapato No. de corredores
Nike
Adidas
Reebok
Asics
Otros
92
49
37
13
9
Diagrama tipo pastel para zapato tenis
3.5.-Calcular la media aritmética, la media ponderada, la mediana, la moda y la
media geométrica.
Características de la media
La media aritmética es, con mucho, la medida de localización más usada.
Diagrama tipo pastel
Nike
Adidas
Reebok
Asics
Otros
Nike
Adidas
Reebok
Asics
Otros
Es calculada sumando los valores y dividiendo entre el número de valores.
Las principales características de la media son:
- Requiere de una escala de intervalo.
- Todos los valores son utilizados.
- Es única.
- La suma de las desviaciones con respecto a la media es cero.
Media poblacional
Para datos no agrupados, la media poblacional es la suma de todos los
valores de la población divididos entre el número total de valores de la
población: donde µ es la media poblacional, N es el total de observaciones
de la población y X un valor particular.
Ejemplo 1
Un parámetro es una medida característica de la población.
Ejemplo 1: La familia Castro es propietaria de cuatro autos. Los siguientes datos
corresponden al kilometraje de cada uno de ellos:
56,000 23,000 42,000 73,000
Encuentre la media aritmética del kilometraje de los autos:
µ = (56,000 +… + 73,000)/4 = 48,500
Media muestral
Para datos no agrupados, la media muestral es la suma de todos los
valores de la muestra dividida por el número de valores de la muestra.
Donde n es el número total de valores en la muestra.
Ejemplo 2
Un estadístico es una medida característica de una muestra.
Ejemplo 2: Una muestra de cinco ejecutivos recibió los siguientes bonos el
último año ($000):
14.0, 15.0, 17.0, 16.0, 15.0
Propiedades de la media aritmética
Todos los datos de nivel de intervalo y de nivel de razón tienen una media.
Para evaluar la media se consideran todos los valores.
Un conjunto de datos sólo tiene una media la cual es un valor único.
La media es afectada por valores inusualmente grandes o pequeños.
La media aritmética es la única medida de tendencia central donde la suma
de las desviaciones de cada valor, respecto de la media, siempre es igual a
cero.
Ejemplo 3
Considere el siguiente conjunto de valores: 3, 8, y 4. La media es 5.
Ilustrando la quinta propiedad:
Media ponderada
La media ponderada de un conjunto de números X1, X2, …,Xn con pesos
correspondientes w1, w2, …,wn es calculada con la siguiente fórmula:
n
XX
4.155
77
5
0.15...0.14
n
XX
0)54()58()53()( XX
)21
)2211
...(
...(
n
nnw
www
XwXwXwX
Media ponderada
La media ponderada de un conjunto de números X1, X2, …,Xn con pesos
correspondientes w1, w2, …,wn es calculada con la siguiente fórmula:
Ejemplo 6
Durante el periodo de una hora, en una tarde calurosa de sábado, Cristina
sirvió 50 refrescos. Ella vendió 5 bebidas de $0.50, 15 de $0.75, 15 de
$0.90, y 15 de $1.15. Calcule la media ponderada para el precio de estas
bebidas.
3.6.-Explicar las características, uso, ventajas y desventajas de cada medida de
tendencia central
La mediana
La mediana es el valor que corresponde al punto medio de los valores
después de ordenarlos de menor a mayor.
Cincuenta por ciento de las observaciones son mayores que la mediana, y
50% son menores que ella.
Para un conjunto par de valores, la mediana será el promedio aritmético de
los dos valores centrales.
Ejemplo 4
Las edades de una muestra de 5 estudiantes del colegio son:
21, 25, 19, 20, 22
Ordenando los datos en forma ascendente, tenemos:
)21
)2211
...(
...(
n
nnw
www
XwXwXwX
89.0$50
50.44$
1515155
)15.1($15)90.0($15)75.0($15)50.0($5
wX
19, 20, 21, 22, 25. Entonces la mediana es 21.
Las estaturas de 4 jugadores de basquetbol, en pulgadas, son:
76, 73, 80, 75
Entonces la mediana es 75.5
Propiedades de la mediana
Es única; esto es, a semejanza de la media, sólo existe una mediana para
un conjunto de datos.
No se ve afectada por valores extremadamente grandes o muy pequeños, y
por tanto es una medida valiosa de tendencia central cuando se presenta
esta clase de valores.
Puede calcularse para datos de nivel de razón, de intervalo y ordinal.
Puede calcularse para una distribución de frecuencias con una clase de
extremo abierto, si la mediana no se encuentra en tal clase.
La Moda
La moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia.
Ejemplo 5: Las calificaciones de 10 estudiantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87,
81, 75, 81, 87
Dado que 81 es el dato que aparece con más frecuencia, éste es la moda.
La moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia.
Ejemplo 5: Las calificaciones de 10 estudiantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87,
81, 75, 81, 87
Dado que 81 es el dato que aparece con más frecuencia, éste es la moda.
La media geométrica
La media geométrica (GM) de un conjunto de n números se define como la
raíz enésima del producto de n números.
La media geométrica es útil para encontrar el promedio de porcentajes,
razones, índices o tasas de crecimiento.
La fórmula es:
Ejemplo 7
La tasa de interés de tres bonos son: 5, 21 y 4 por ciento.
La media aritmética es (5+21+4)/3 =10.0
La GM da una utilidad más conservadora porque no está demasiado
influenciada por la tasa del 21 por ciento.
La media geométrica es:
Otro uso de la media geométrica es determinar el aumento porcentual en
ventas, producción o series económicas de un periodo de tiempo a otro.
Ejemplo 8
El número total de mujeres contratadas en Colegios Americanos se
incrementó de 755,000 en 1992 a 835,000 en 2000. Esto es, la media
geométrica o tasa de incremento es 1.27%.
nnXXXXGM ))...()()(( 321
49.7)4)(21)(5(3 GM
0127.1000,755
000,8358 GM
La media para datos agrupados
La media de una muestra de datos organizados en una distribución de
frecuencias es calculada por la siguiente fórmula:
3.7.-Identificar la posición de la media aritmética, la mediana y la moda, tanto en
distribuciones simétricas como asimétricas.
Ejemplo 9
Una muestra de 10 cines en una gran área metropolitana contó el número
total de películas en exhibición la última semana. Calcule el número medio
de películas en exhibición.
Películas en
cartelera
Frecuencia
f
Punto medio de
clase (X)
(f)(X)
1 hasta 3 1 2 2
3 hasta 5 2 4 8
5 hasta 7 3 6 18
7 hasta 9 1 8 8
9 hasta 11 3 10 30
Total 10 66
La mediana para datos agrupados
n
XfX
6.610
66
n
XX
La mediana de una muestra de datos agrupados en una distribución de
frecuencias se calcula con:
Donde L es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana, n es el número
total de frecuencias, CF es la frecuencia acumulada precedente a la clase
mediana, f es la frecuencia de la clase que contiene a la mediana, e i es la
amplitud de la clase en que se encuentra la mediana.
Encontrar la clase que contiene a la mediana
Para determinar la clase que contiene a la mediana para datos agrupados:
Construya una distribución de frecuencias acumuladas.
Divida el número total de datos entre 2.
Determine cuál clase contiene este valor.
Por ejemplo, si n = 50, 50/2 =25, entonces determine cuál clase contiene el valor
en la posición 25.
Ejemplo 10
Películas en cartelera Frecuencia Frecuencia acumulada
1 hasta 3 1 1
3 hasta 5 2 3
5 hasta 7 3 6
7 hasta 9 1 7
9 hasta 11 3 10
De la tabla, tenemos: L = 5, n = 10, f = 3, i = 2, CF = 3
25
Ejemplo 10 (Continuación)
De la tabla, tenemos: L = 5, n = 10, f = 3,
i = 2, CF = 3
33.6)2(3
32
10
5)(2
i
f
CFn
LMediana
La moda en datos agrupados
Para datos agrupados en una distribución de frecuencias, es posible
aproximar la moda usando el punto medio de la clase que contiene el
mayor número de frecuencias de clase.
Las modas en el ejemplo 10 son 8 y 10. Cuando dos valores ocurren un
gran número de veces, la distribución es llamada bimodal, como en el
ejemplo 10.
Distribución simétrica
Cero asimetría moda = mediana = media
Distribución con sesgo positivo
Asimetría positiva: media y mediana están a la derecha de la moda
29
Distribución con sesgo negativo
Asimetría negativa: media y mediana están a la izquierda de la moda.
Media<Mediana<Moda
UNIDAD IV:
4.1.-Definir los términos distribución de probabilidad y variable aleatoria.
4.2.-Distinguir entre una distribución de probabilidad discreta y una distribución de
probabilidad continua.
4.3.- Calcular la media, la varianza y la desviación estándar de una distribución de
probabilidad discreta.
4.4.- Describir las características de la distribución de probabilidad binomial y
calcular las probabilidades utilizando esa distribución.
4.1.-Definir los términos distribución de probabilidad y variable aleatoria.
Variable aleatoria.
Una variable aleatoria es un valor numérico determinado por el resultado de
un experimento.
Una distribución de probabilidad es la lista de todos los resultados posibles
de un experimento y la correspondiente probabilidad.
4.2.-Distinguir entre una distribución de probabilidad discreta y una
distribución de probabilidad continua.
Una distribución de probabilidad discreta puede asumir sólo valores
claramente separados.
Una distribución de probabilidad continua puede asumir un número infinito
de valores dentro de un rango determinado.
Tipos de distribuciones de probabilidad
Ejemplos de una distribución discreta son:
El número de estudiantes en una clase.
El número de niños en una familia.
El número de autos entrando en un autolavado por hora.
El número de clientes que llegan a una estética cada hora.
Ejemplos de una distribución de probabilidad continua:
La distancia que recorre cada estudiante para llegar a su clase.
El tiempo que le toma a un ejecutivo llegar a su trabajo.
El tiempo invertido en una llamada telefónica.
La estatura de los alumnos de un grupo en clase.
Características de una distribución discreta.
Las principales características de una distribución de probabilidad discreta son:
La suma de las probabilidades es 1.00
La probabilidad de un resultado particular es un número mayor o igual a cero y menor o igual a uno.
Los resultados son mutuamente excluyentes.
Ejemplo 1
Considere un experimento aleatorio en el cual una moneda es lanzada tres
veces. Sea x el número de caras. Sea H la que representa el resultado cara
y T el resultado cruz.
Los posibles resultados para este experimento serán:
TTT, TTH, THT, THH,
HTT, HTH, HHT, HHH.
Entonces los valores posibles para x (número de caras) son 0, 1, 2, 3.
El resultado cero caras ocurre una vez.
El resultado una cara ocurre tres veces.
El resultado dos caras ocurre tres veces.
El resultado tres caras ocurre una vez.
De la definición de variable aleatoria, x está definida en este experimento
como la variable aleatoria.
La media de una distribución discreta de probabilidad
La media:
Registra la ubicación central de los datos.
Es el valor promedio a largo plazo de la variable aleatoria.
También se le conoce como su valor esperado, E(x), en una
distribución de probabilidad.
Es un promedio ponderado.
4.3.- Calcular la media, la varianza y la desviación estándar de una distribución de
probabilidad discreta.
La media de una distribución discreta de probabilidad
La media es calculada con la fórmula
Donde µ representa la media, y P(x) es la probabilidad de que x asuma algún valor
La varianza de una distribución de probabilidad discreta
La varianza mide el tamaño de la dispersión de una distribución.
La varianza de una distribución discreta es representada por la letra griega
2 (sigma cuadrada).
La desviación estándar es la raíz cuadrada de 2 .
La varianza de una distribución de probabilidad discreta
La varianza de una distribución de probabilidad discreta es calculada con la
siguiente fórmula.
Ejemplo 2
David Ramírez, dueño de un negocio de servicios de pintura, estudió sus
registros de las últimas 20 semanas y reporta el siguiente número de casas
pintadas por semana:
# de casas
pintadas
semanas
10 5
)]([ xxP
)]()[( 22 xPx
Distribución de probabilidad:
Número de casas pintadas, x Probabilidad, P(x)
10 .25
11 .30
12 .35
13 .10
TOTAL 1.00
Calcule el número medio de casas pintadas por semana:
Calcule la varianza del número de casas pintadas por semana:
4.4.- Describir las características de la distribución de probabilidad binomial y
calcular las probabilidades utilizando esa distribución
Distribución de probabilidad binomial
La distribución binomial tiene las siguientes características:
El resultado de cada ensayo de un experimento se clasifica en una
de dos categorías mutuamente excluyentes, a saber: éxito o fracaso.
11 6
12 7
13 2
3.11
)10)(.13()35)(.12()30)(.11()25)(.10(
)]([)(
xxPxE
91.0
2890.01715.00270.04225.0
)10(.)3.1113(...)25(.)3.1110(
)]()[(
22
22
xPx
La variable aleatoria cuenta el número de éxitos en una cantidad fija
de ensayos.
La probabilidad de un éxito permanece igual en todos los ensayos.
Lo mismo sucede con la probabilidad de un fracaso.
Los ensayos son independientes.
Distribución de probabilidad binomial
Para construir una distribución binomial, sea:
C es una combinación.
n es el número de ensayos.
x es el número de éxitos.
es la probabilidad de éxito en cada ensayo.
Distribución de probabilidad binomial
La fórmula para la distribución de probabilidad binomial es:
Ejemplo 3
El departamento del trabajo de Alabama registra que el 20% de la fuerza de
trabajo en Mobile está desempleada. Para una muestra de 14 trabajadores,
calcule las siguientes probabilidades:
Exactamente 3 están desempleados.
xnx
xnCxP )1()(
Al menos 3 están desempleados.
Al menos 1 está desempleado.
La probabilidad de exactamente 3:
La probabilidad de al menos 3:
La probabilidad de al menos 1:
Media y varianza de la distribución binomial
La media se calcula así:
La varianza se calcula así:
Ejemplo 4
Del ejemplo 3, retomamos que = .2 y n = 14.
Por lo tanto, la media es: µ = n = 14(.2) = 2.8
2501.
)0859)(.0080)(.364(
)20.1()20(.)3( 113
314
CP
551.000....172.250.
)80(.)20(....)80(.)20(.)3( 014
1414
113
314
CCxP
956.044.1
)20.1()20(.1
)0(1)1(
140
014
C
PxP
n
)1(2 n
La varianza es: σ2 = n(1 –) = 14(.2)(.8) = 2.24
Población finita
Una población finita es una población que consiste en un número fijo de
individuos conocidos, objetos o medidas, por ejemplo:
El número de estudiantes en esta clase.
El número de carros en el estacionamiento.
El número de casas construidas en el fraccionamiento Arboledas.
4.5.-Definir las características de la distribución Hipergeométrica y calcular
probabilidades con aplicación de tal distribución
Distribución Hipergeométrica
La distribución Hipergeométrica tiene las siguientes características:
Hay sólo dos resultados posibles.
La probabilidad de un éxito no es la misma en cada ensayo.
Ésta resulta de contar el número de éxitos en un número fijo de
ensayos.
Distribución Hipergeométrica
La fórmula para encontrar una probabilidad utilizando la distribución
Hipergeométrica es:
Donde N es el tamaño de la población, S es el número de éxitos en la
población, x es el número de éxitos en una muestra de n observaciones.
Distribución Hipergeométrica
Utilice la distribución Hipergeométrica para encontrar la probabilidad de un
número específico de éxitos o resultados si:
La muestra es seleccionada de una población finita sin reemplazo.
El tamaño de la muestra n es mayor que el 5% del tamaño de la
población N.
Ejemplo 5
La fábrica de juguetes Andy, tiene 50 empleados en el departamento de
ensamble. De éstos, 40 pertenecen a un sindicato y 10 no. Se van a elegir
cinco empleados aleatoriamente, para que integren un comité que hablará
con el gerente acerca de la hora de inicio de los distintos turnos. ¿Cuál es
la probabilidad de que cuatro de los cinco elegidos pertenezcan al
sindicato?
nN
xnSNxS
C
CCxP
))(()(
N es 50, el número de empleados.
S es 40, el número de empleados del sindicato.
x es 4, el número de empleados del sindicato que fueron seleccionados.
n es 5, el número de empleados elegidos.
P(4)= 40C4(50-40C5-4/50C5 = (91390)(10)/2118760
= 0.431
4.6.- Describir las características de la distribución de Poisson y calcular las
probabilidades empleando esta distribución.
Distribución de probabilidad de Poisson
La distribución de probabilidad de Poisson describe la cantidad de veces
que ocurre un evento en un intervalo determinado.
Esta distribución también es una forma límite de la distribución binomial,
cuando la probabilidad de éxito es muy pequeña y n es grande.
Distribución de probabilidad de Poisson
Donde µ es la media del número de ocurrencias (éxitos) en un intervalo
específico.
e es la constante 2.71828 (base del sistema logarítmico neperiano).
!)(
x
exP
ux
x es el número de éxitos.
P(x) es la probabilidad que se va a calcular para un valor dado de x.
Distribución de probabilidad de Poisson
La media del número de éxitos µ puede determinarse en una situación
binomial así: n donde n es el número de ensayos y es la probabilidad de
éxito.
La varianza de una distribución Poisson es también n(1 – ).
Ejemplo 6
La Sra. Bonilla está encargada de los préstamos en el banco del centro de
Peralvillo. Con base en sus años de experiencia, estima que la probabilidad
de que un solicitante no sea capaz de pagar su préstamo, es 0.025. El mes
pasado realizó 40 préstamos. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 préstamos
no sean pagados a tiempo?
µ = n = 40(.025) = 1
P(3) = 13e-1/3! = 0.0613
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
En una distribución de Poisson si lambda= 0.4
A) Cual es la probabilidad de que x=0?
B) Cual es la probabilidad de x>0
La señora spiderman está encargada de los préstamos en el banco español
la araña. Con base a sus años de experiencia, estima que la probabilidad
de que un solicitante no sea capaz de pagar su préstamo, es de 0.025. El
mes pasado realizó 40 prestamos
a) Cual es la probabilidad de que 3 préstamos no sean pagados a tiempo.
b) Cual es la probabilidad de que por lo menos 3 préstamos no sean
pagados a tiempo.
UNIDAD V.- VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD CONTINUAS
5.- 1Enlistar las características de la distribución de probabilidad normal.
5.2.-Definir y calcular valores z.
5.3.-Determinar la probabilidad de que una observación esté entre dos valores de
una distribución, utilizando la distribución normal estándar.
5.4- Establecer la probabilidad de que una observación sea mayor (o menor) que
un valor determinado, utilizando la distribución normal estándar.
Características de la distribución de probabilidad normal.
La curva normal es acampanada y presenta sólo un pico en el centro de la
distribución.
La media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y
están localizadas en el pico. De esta forma, la mitad del área bajo la curva
se encuentra por arriba de este punto central, y la otra mitad por abajo.
Características de la distribución de probabilidad normal
La distribución de probabilidad normal es simétrica con respecto a su
media.
La curva normal decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del
valor central. Es asintótica, esto significa que la curva se acerca cada vez
más al eje x, pero en realidad nunca llega a tocarlo. Esto es, los puntos
extremos de la curva se extienden indefinidamente en ambas direcciones.
La curva normal es simétrica.
Media, mediana y moda son iguales.
5.2.-Definir y calcular valores z.
La distribución normal estándar es una distribución normal con media cero y
desviación estándar de 1.
También es llamada distribución z.
Un valor z es la distancia entre un valor seleccionado llamado x, y la media
de la población µ, dividida entre la desviación estándar, σ. La fórmula es:
Z = (x – µ)/σ
5.2.-Definir y calcular valores z.
Ejemplo 1
El salario inicial de los primeros dos meses de los recién graduados de
MBA siguen la distribución normal con una media de $2,000 y una
desviación estándar de $200. ¿Cuál es el valor z para un salario de $2,200?
Z = (x – µ)/s = (2,200 – 2,000)/200 = 2.00
¿Cuál es el valor z de $1,700?
Z = (x – µ)/σ = (1,700 – 2,000)/200 = -1.50
Un valor z de 1 indica que el valor de $2,200 es una desviación estándar
arriba de la media de $2,000.
Un valor z de -1.50 indica que $1,700 es 1.5 desviación estándar debajo de la
media de $2,000.
Áreas bajo la curva normal
Aproximadamente 68% del área bajo la curva normal está entre la media
más una y menos una desviaciones estándar, y se expresa µ +- 1σ.
Alrededor de 95% del área bajo la curva normal está entre la media más
dos y menos dos desviaciones estándar, lo que se expresa µ +- 2σ.
Prácticamente toda el área bajo la curva normal está entre la media y tres
desviaciones estándar (a uno y otro lados del centro), es decir µ +- 3σ.
Ejemplo 2
El uso diario de agua por persona en Vista Bella, Naucalpan, está
distribuido normalmente con una media de 20 galones y una desviación
estándar de 5 galones. Aproximadamente 68% de ellos ¿cuántos galones
de agua consumen?
Aproximadamente 68% del uso diario de agua cae entre 15 y 25 galones.
Ejemplo 3
¿Cuál es la probabilidad de que una persona de Vista Bella seleccionada al
azar consuma entre 20 y 24 galones por día?
Z = (x – µ)/σ = (20 – 20)/5 = 0.00
Z = (x – µ)/σ = (24 – 20)/5 = 0.80
El área bajo la curva normal entre un valor z de cero y un valor z de 0.80 es
0.2881.
Concluimos que 28.81% de los residentes consumen entre 20 y 24 galones
de agua por día.
Observe el siguiente diagrama.
¿Qué porcentaje de la población consume entre 18 y 26 galones por día?
Z = (x – µ)/σ = (18 – 20)/5 = – 0.40
Z = (x – µ)/σ = (26 – 20)/5 = 1.20
El área asociada con un valor z de – 0.40 es de .1554.
El área asociada con un valor z de 1.20 es de .3849.
Sumando estas áreas, el resultado es .5403.
Concluimos que 54.03% de los residentes consumen entre 18 y 26 galones
de agua por día.
5.5.- Comparar dos o más observaciones que se encuentren en distintas
distribuciones de probabilidades
Ejemplo 4
El profesor Velasco ha determinado que las calificaciones en su curso de
estadística, están aproximadamente distribuidas en forma normal con una
media de 72 y desviación estándar de 5. Él avisa a la clase que el 15% más
alto obtendrá una calificación de A. ¿Cuál es la puntuación límite más baja
que obtendrá calificación de A?
Para comenzar, sea x la puntuación que separa una A de una B.
Si el 15% de los estudiantes tienen puntuación superior a x, entonces el
35% deberá estar entre la media de 72 y x.
El valor z asociado correspondiente al 35% es 1.04.
Para comenzar, sea x la puntuación que separa una A de una B.
Si el 15% de los estudiantes tienen puntuación superior a x, entonces el
35% deberá estar entre la media de 72 y x.
El valor z asociado correspondiente al 35% es 1.04.
Tomamos z = 1.04 y resolvemos la ecuación de la normal estándar para x.
El resultado es la puntuación que separa a los estudiantes que separan una
A de aquellos que ganaron una B.
1.04 = (x – 72)/5 = 72 + 5.2 = 77.2
Aquellos cuya puntuación sea de 77.2 o más ganarán una A.
5.6.- Utilizar la distribución de probabilidad normal para aproximar la distribución
de probabilidad binomial.
La aproximación normal a la binomial
La distribución normal (una distribución continua) proporciona una buena
aproximación de la distribución binomial (una distribución discreta) para
valores grandes de n.
La distribución de probabilidad normal es generalmente una buena
aproximación para la distribución de probabilidad binomial cuando n y n(1
– ) son ambos mayores que 5.
Recordemos que para un experimento binomial:
En un experimento sólo existen dos resultados mutuamente excluyentes:
éxito y fracaso.
La distribución es el resultado de contar el número de éxitos en una
cantidad fija de ensayos.
Cada ensayo es independiente.
La probabilidad, permanece igual de un ensayo a otro
Factor de corrección de continuidad
El valor 0.5 que se resta o se suma, dependiendo de la situación, a un valor
seleccionado cuando una distribución de probabilidad discreta se aproxima por
medio de una distribución de probabilidad continúa.
¿Cuál es la varianza?
¿Cuál es la desviación estándar?
¿Cuál es la probabilidad de que menos de 40 hogares en la muestra tengan
videocámaras?
Usamos el factor de corrección, por lo tanto x es 39.5.
El valor z es 1.88
Z = (x – µ)/σ = (39.5 – 40)/5.0498 = 1.88
Del apéndice D el área entre 0 y 1.88 en la escala z es .4699.
Por lo tanto, el área a la izquierda de 1.88 es .5000 + .4699 = .9699.
La probabilidad de que menos de 40 de los 200 hogares tengan
videocámara es aproximadamente 97%.
5.25)15.1)(30()1(2 n
0498.55.25