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Análisis Dimensional/ Fis-100 Página 1 Eleazar Madariaga - UTFSM

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Física Introducción a la Física (Fis-100)

Problemas Resueltos de Análisis Dimensional [email protected] ____________________________________________________________ Antes de iniciar con los problemas resueltos, presentare un resumen con aspectos importantes de este tema, que muchas veces por su carácter básico no es muy tratado y a veces olvidado.

Magnitudes Físicas

En nuestra vida cotidiana todos tenemos la necesidad de medir longitudes, contar el tiempo o pesar cuerpos, por ejemplo podemos medir la longitud de una tubería, el volumen de un barril, la temperatura del cuerpo humano, la fuerza de un atleta, la velocidad del bus; todas estas son magnitudes o cantidades físicas, luego:

Magnitud es todo aquello que podemos medir directa o indirectamente y asignarle un número y unidad.

Existe una gran cantidad de magnitudes, en forma general estas se clasifican de acuerdo a su origen y de acuerdo a su naturaleza.

POR SU ORIGEN:

- Magnitudes fundamentales - Magnitudes derivadas


POR SU NATURALEZA:

- Magnitudes escalares - Magnitudes vectoriales

Magnitudes Fundamentales

Las magnitudes fundamentales son aquellas que no se pueden expresar en función de otras, estas se toman arbitrariamente y sirven de base para el desenvolvimiento de la ciencia.

Las magnitudes fundamentales son aquellas tomadas convencionalmente y sirven de base para las demás magnitudes.

En función de estas magnitudes fundamentales pueden escribirse muchas otras magnitudes como: El área, la velocidad, la densidad, la presión… etc.

Cuando se mezclan magnitudes fundamentales se obtienen otras magnitudes denominadas DERIVADAS.

Actualmente se emplea un sistema fundamental denominado Sistema Internacional de Unidades (SI), que esta basado en el sistema métrico decimal, en este sistema se consideran siete magnitudes fundamentales y dos auxiliares.

Conforme la ciencia se desarrolla es necesario medir nuevas magnitudes, luego el numero de magnitudes fundamentales debe ir aumentando, en el siglo XVI solamente se conocían y empleaban; la longitud (L), la masa (M) y el tiempo (T).

El análisis dimensional fue introducido en las ciencias físicas de Occidente por Jean Baptiste Joseph, barón de Fourier (1768 - 1830) en su obra Theorie analytique de la chaleur.

Medir una magnitud es compararla con otra magnitud homogénea tomada como unidad de medida.


La siguiente tabla muestra las unidades del sistema internacional (SI)

Magnitud Física Símbolo de la magnitud

Nombre de la Unidad

Símbolo de la unidad

Longitud L Metro m Masa M kilogramo kg Tiempo T Segundo s Intensidad de corriente

I Amperio A

Temperatura termodinámica

� Kelvin K

Intensidad luminosa

J Candela cd

Cantidad de sustancia

N Mol mol

También se emplean dos magnitudes auxiliares

Magnitud auxiliar Nombre de la Unidad Símbolo de la unidad Angulo plano Radian rad Angulo solido Estereorradián sr

Ecuaciones Dimensionales

Empleando las magnitudes fundamentales se pueden escribir otras magnitudes denominadas derivadas, la ecuación dimensional muestra simplemente la relación que existe entre las magnitudes derivadas y las fundamentales, matemáticamente se representa como un monomio algebraico, es decir, es de la forma:

��

Donde �,�, �, �, �, �, � son las magnitudes fundamentales y , , �, �, , � son exponentes enteros.


NOTACION [B]: Se lee ecuación dimensional de la magnitud B.

Las ecuaciones dimensionales tienen el siguiente objetivo:

I . Escribir las magnitudes derivadas en función de las magnitudes fundamentales.

II . Demostrar la validez de una formula.

III . Determinar formulas empíricas.

OBSERVACION: La ecuación dimensional de una magnitud fundamental es la misma magnitud fundamental.

Ejemplos:

[Longitud] = L

[Masa] = M

REGLAS DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES

REGLA Nº 1

La adición o sustracción no se aplican a las ecuaciones dimensionales, sino que sumando o restando magnitudes de la misma naturaleza obtendremos otra de la misma naturaleza, ejemplos:

�� (no se cumple la suma)

�� (observe que no da cero)

REGLA Nº 2


Las leyes de la multiplicación y la división son aplicables a las ecuaciones dimensionales, ejemplos:

��

� · ��

��

��

REGLA Nº 3

Las constantes matemáticas (números) son aquellas que carecen de unidades, luego:

La ecuación dimensional de un número es la unidad. [Numero]= 1

Ejemplos:

- La “función trigonométrica” es un numero:

�� 1

- La “función logarítmica” es un numero:

�log�� 1

- Los “exponentes” son números. Dado � � � tendremos que: �� 1

Como “�” también es un numero, tendremos �� 1

- Las “constantes matemáticas” en sus diferentes formas son adimensionales (no tienen unidades)

�� 1

�√2" � 1

- Los “ángulos” son considerados cantidades adimensionales:


��#�� 1 �40°� � 1

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD

En una ecuación homogénea de adición o sustracción todos los términos tienen la misma ecuación dimensional.

Sea una ecuación de adición:

S = A + B + C tendremos que:

�'� � �(� � �)� � �*� El principio de homogeneidad indica que a una fuerza solamente podremos sumarle fuerzas. _____________________________________________________

Problema resueltos

1.- Hallar la ecuación dimensional de:

a) Velocidad

b) Aceleración

c) Área

d) Volumen

e) Fuerza

f) Densidad

g) Trabajo

h) Potencia

i) Presión

j) Frecuencia

k) Carga eléctrica


l) Iluminación

SOLUCION:

a) Sabemos que

� � ��

Luego

��

b) Por definición

� ∆��

Luego

�� ∆��

� � ��

c) Conociendo que equivale a la base (�) por la altura (�)

� � · �

Luego

� � � �� La base y la altura son longitudes

� � � ��


d) El volumen de una tabla es

� � �� · �� · ��

��

e) La fuerza es el producto de la masa (�) y la aceleración ()

� � �

Luego

��

f) La densidad (�) de un cuerpo es la relación entre la masa (�) y su respectivo volumen ( �)

� � ��

Luego

��

g) El trabajo (�) es el producto entre la fuerza (�) y la distancia (�)

� � ��

Luego

��

h) La potencia (�) es la relación entre el trabajo (�) y el tiempo (�)

� � ��

Luego


��

� � ��

i) La presión (�) relaciona la fuerza (�) y el área ( )

� � �

Luego

��

��

j) La frecuencia (�) es la inversa del periodo ( �)

� � 1�

Luego

�� 1��

k) La carga eléctrica (�) es el producto de la intensidad de corriente (�) y el tiempo (�)

� � ��

Luego

��

l) La iluminación ( !) es la relación entre la intensidad luminosa ( ") y el cuadrado de la distancia (�)


! � "��

Luego

�!� � �"�� "�� "��

2.- En la siguiente ecuación halle �#� # � ��

Conociendo que

: Aceleración � : Volumen � : Tiempo SOLUCION:

Usando las ecuaciones dimensionales:

�#� � �� … %1&

Recordemos que

��

y

��

Reemplazando en (1)

�#� � ��


3.- Según la ley de la gravitación universal, enunciada por Newton, la fuerza de atracción entre dos partículas de masas �� y �� separadas por una distancia � es:

� � ' ��

Calcule �'�.

SOLUCION:

�� '� �� … %1&

Para la fuerza sabemos que

��

Reemplazando en (1)

�� '� ��

�� '� ��

��

�'� � ��

4.- En la siguiente ecuación, ¿Qué magnitud puede representar !?, se sabe que � es presión, es área y � es masa.

! � ( � �)*�%+&

SOLUCION:


�!� � �(� �� )*�%+&� … %1&

Recordemos que

��*),��: ��

.��)��* ��*��,�: �(� � 1 �*: � � � �� ): ��

�/��,�� ,��*��,�: �)*�%+&� � 1 Reemplazando en (1)

�!� � �� 0 �*�*��,��

5.- En la ley de Hooke se establece que la fuerza aplicada a un resorte elástico es directamente proporcional a su deformación #:

� � 1#

Hállese �1�.

SOLUCION:

En la ley de Hooke 2 es la constante de rigidez y la deformación # es una distancia, luego:

�� 1��#� �� 1��

�1� � ��


6.- Se muestra una ecuación homogénea en donde 3 y . son magnitudes desconocidas, 4 es densidad, hállese �5�.

� 3 6 .��

SOLUCION: Recordemos que el exponente 54)*�%7& es un número y su ecuación dimensional es uno �54)*�%7&� � 1

�5��4��)*�%7&� � 1

�5�� 1

�5� � ��

7.- Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta, donde 5: área, : aceleración y �: velocidad, halle la ecuación dimensional de 8.

(8 � 5# log <#� =

SOLUCION:

�(��8� � �5��#��log <#� =� �8� � �5��#�

�8� � ��#� … %1&

La función logaritmo se aplica a los números, luego la expresión �� es un

número, de modo que su ecuación dimensional es la unidad

��#�� 1


�#� � ��

��

Reemplazando en (1)

�8� � ��

8.- Determine las dimensiones que deben tener y 3 en la siguiente ecuación homogénea.

10�� 6 3

�: Volumen �: Peso �: Masa : Aceleración SOLUCION: Usando el principio de homogeneidad en la suma

�10��?@A@B��

� �� ?AB��

� �3�C��

Igualando (1) y (2)

�10��

� � � ��

Igualando (1) y (3)

�10�� 3� �� 3�

�3� � ��


9.- La velocidad con que cae un cuerpo en el interior de un líquido viscoso puede calcularse usando la formula:

� � + · D · E�

En esta expresión D tiene dimensiones �� y la cantidad E tiene dimensiones ��. Determine, las dimensiones de la constante +.

SOLUCION: Usando las ecuaciones dimensionales

�� +� · �D� · �E��

Recordemos que

��

Despejamos �+� y reemplazamos

�+� � ��D��E��

�+� � ��

��%��&�

�+� � ��

��

�+� � ��

��

�+� � ��

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