Prof.: Katerina Pellegrino

ECUACION DE 2° GRADO

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es aquella que, el mayor exponente de la incógnita es 2 y una vez ordenada, se puede expresar de la forma siguiente:

Ax2 + Bx + C = 0 , con A,B,C son números reales y reciben el nombre de coeficientes de la ecuación cuadrática.A = Coeficiente del término de grado 2B = Coeficiente del término de grado 1C = Coeficiente del término de grado 0 o llamado también Coeficiente libre o independiente

Ejemplo 1: En la ecuación 5x2 – 12x + 3 = 0 , los coeficientes sonA = 5 <=> Coeficiente del término 5x2

B = -12 <=> Coeficiente del término -12xC = 3 <=> Coeficiente del término 3x0

Las siguientes expresiones son ejemplos de ecuaciones de segundo grado:a) 3x2 + 4x – 8 = 0b) X2 – 25 = 0c) 5x2 + 2x = 0d) (x-2)2 = (2x – 1)2

e) X2 – X +1 = 0f) 3X(X – 1) – 2X = 0

OBSERVACIÓNEn general se acostumbra que el coeficiente A sea positivo, por razones prácticas. En caso contrario, la ecuación se amplifica por -1, obteniéndose una ecuación equivalente. La ecuación solo ha cambiado su forma de presentación.

Ejemplo 2: -3x2 + 2x – 5 = 0 / ● -1 3x2 - 2x + 5 = 0

TIPOS DE ECUACIONES CUADRATICAS

Una ecuación de segundo grado puede ser de dos tipos:a) Completa: Cuando posee todos sus términos, es decir que A,B,C ≠ 0b) Incompleta: Cuando falta alguno de sus términos, es decir; A ≠ 0, pero B=0 o

bien A ≠ 0 y C = 0.

El siguiente esquema muestra los distintos tipos de ecuaciones cuadráticas:

Pura (Ax2 + C = 0 )

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Incompleta Binomial ( Ax2 + Bx = 0 )

General ( Ax2 + Bx + C = 0 )Completa

Particular (x2 + Bx + C = 0 )

Ejercicios:

I. Expresa cada ecuación en la forma Ax2 + Bx + C = 0, identifica cada uno de sus coeficientes e identifica que tipo de ecuación es según el diagrama anterior.

Ejercicios:

II. Expresa cada ecuación en la forma Ax2 + Bx + C = 0, identifica cada uno de sus coeficientes e identifica que tipo de ecuación es según el diagrama anterior.

1) 5x2 – 6x = 02) X2 – 4x = 03) 7x2 – 10 = 04) 8x2 = 05) 7x2 + 10 = 74

+ 3x2

6) 5(x – 2) = 3x(x – 1)

7) 3(x – 1) = (x – 2)2

8) 5(x – 1) -3x(x – 2) + 5 = 0

9) (x -1)2 – (x – 2)2 = x2

10) 5(1 – x) – (2x – 3)2 = 0

Respuestas:1. A = 5 , B = -6 , C = 02. A = 1 , B = -4 , C = 03. A = 7 , B = 0 , C = -104. A = 8 , B = 0 , C = 05. 4x2 – 64 = 0 A = 4 , B = 0 , C = -64

6. 3x2 – 8x + 10 = 0 A = 3 , B = -8 , C = 107. x2 – 7x + 7 = 0 A = 1 , B = -7 , C = 78. 3x2 – 11x = 0 A = 3 , B = -11 , C = 09. x2 – 2x + 3 = 0 A = 1 , B = -2 , C = 310. 4x2 – 7x + 4 = 0 A = 4 , B = -7 , C = 4

RESOLUCIÓN DE UNA ECUACION

Este tipo de ecuaciones se puede resolver por procedimientos algebraicos sucesivos, completando trinomios para encontrar cuadrados perfectos, que culminan en el cálculo de las raíces a través de una fórmula “general”.Esta fórmula general que expresa en forma abreviada la forma de conocer ambas raíces ( x1 y x2 ) se basa en los coeficientes de la forma general de dicha ecuación (A, B y C). Las dos raíces se obtienen considerando respectivamente el signo + o el signo – del radical, es decir:

o bien y

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Ejemplo 3: Resolver la ecuación x2 - 2x – 3 = 0En esta ecuación los coeficientes son A = 1, B = -2, C = -3Si aplicamos la fórmula obtenemos

X = entonces X = sumando X =

Extrayendo raíz X = por lo tanto X1 = y X2 = de donde se obtiene

X1 = = 3 y X2 = = -1

Ejemplo 4: Resolver la ecuación 9x2 - 6x + 1 = 0En esta ecuación los coeficientes son A = 9, B =-6 , C = 1Aplicamos la fórmula general

X = X = X = X = de donde

X1 = = = y X2 = = =

GUIA Nº6 DE EJERCICIOS

1) x2 – 6x + 5 = 0 Soluciones2) x2 – 2x + 1 = 03) x2 – 4x + 1 = 0 1) 5 y 14) x2 + 6x + 9 = 0 2) 1 y 15) x2 + 4x + 3 = 0 3) x1 = 3,73 , x2 = 0,26

6) x2 – 5x + 6 = 0 4) -3 y -3 7) 4x2 – 20x + 25 = 0 5) -3 y -18) 3x2 – x – 2 = 0 6) 2 y 39) 2x2 – x – 1 = 0 7) 5/210) 6x2 + 7x – 3 = 0 8) 1 y -2/3

9) 1 y -1/2 10) 1/3 y -3/2

11) 12x2 – 7x – 10 = 012) 2x2 + x – 1 = 013) (x + 4)(4 – x) = 2(4x – 3) + x14) X2 – 5x – 10 = -5x2 + 7x – 16 15) (5x – 2)2 = 10x2 + 6x + 61

16) 3x2 – x + 12 = 2x(x – 4)

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17) 10x2 – 9x + 14 = (x + 4)2

18) 5x(x – 1) + 8 = 4(x2 – x) – 10x19) 2x – 3)(x – 1) + 4(x + 1)(1 – x) = ( 1 + x)(1 – x)20) [ (x – 1)2 + (x + 1)2 ](x + 3) = (2x + 9)(x + 1)(x – 1)

Soluciones

11) 5/4 y -2/312) -1 y ½13) -11 y 214) 115) 3 y -19/10

16) -3 y -4 17) 2 y -1/9 18) -1 y -8 19) -6 y 1 20) 3 y -5/3

Resolución de problemas aplicando ecuaciones de segundo grado

1.- El ingreso mensual R de cierta compañía esta dado por R=800p-7p2 donde p es el precio en dólares del producto que fabrica esa compañía ¿A que precio el ingreso será de $10.000, si el precio debe ser mayor de $50?

2.-Hallar la edad de una persona sabiendo que si al cuadrado se le resta el triple de la edad resulta nueve veces esta.  

3.  Hallar un número cuyo cuadrado disminuido en el doble del número resultan 10 unidades más del séptuplo del número.  

4.-Hallar tres números enteros consecutivos tal que la suma de los cuadrados del mayor y el menor es 79 unidades menos que el triplo del cuadrado del segundo. 

Soluciones

1) El precio es de $1002) 12 años3) Los números son -1 y 104) Los números son: 8, 9, 10 y -8, -9, -10