materia

SISTEMA DE INECUACIONES

Resolver las siguientes Inecuaciones

2x+3y7

2x+3y=7

x y

0 2,3

3,5 0

2(0)+3(0)7

07 FALSO

1.- 4x-8y

2.- 4x-8y=12

x y

0 -1,5 3 0 4(0)+8(0)

4.-

{4 4

{

4 4

( , )

4( ) 4( )

Falso

5.-

< 12

( , )

x Y

0

7 0

> y

= 12

= 1

X: = 1,7

Y: 4 = 2

P(0,0)

4( ) ( ) -3

2(0)-(0) >-3

0>--3 Verdadero

6. 3x2+y>6

2x2-y

26 2(0)

2-(0)

26 0

PROGRAMACIN LINEAL

1.- Una Compaa de Auditores se especialista en preparar liquidaciones y auditoras de

pequeas empresas. Tiene inters en saber cuntas auditoras y liquidaciones pueden

realizarse mensualmente para maximizar sus ingresos? Se dispone de 600 horas de

trabajo directo y 220 horas para revisin, adems aporta un ingreso de $250, una

liquidacin de impuestos requiere de 6 horas de trabajo directo y 4 de revisin producen

un ingreso de $90, una auditora requiere de 30 horas de trabajo directo y 8 de revisin,

aporta con un ingreso de $250. El mximo de liquidaciones posibles es de 50.

TABLA DE DATOS

DESCRIPCIN TRABAJO

DIRECTO REVISIN INGRESOS MXIMO

LIQUIDACIONES 8 2 90 50

AUDITORAS 1 1 250

DISPONIBILIDAD 600 220

FUNCIN OBJETIVO.

Max. Z=90x+250y

RESTRICCIONES

(1) 6x+30y 600

(2) 4x+8y 200

(3) x50

RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD

(4) x,y0

SISTEMAS ECUACIONES

(1) (2) (3)

6x+30y=600 4x+8y=200 x=50

x y x y

100 0 0 27,5

COMPROBACIN

P(0,0) P(0,0) P(0,0)

(1) (2) (3)

6(0)+30(0)600 4(0)+8(0) 200 050

0600 0 200

VERDAD VERDAD VERDAD

GRFICO

ARCO CONVEXO

0 20 55 0

Punto x y z

A 0 0 0

B 0 20 1050

C 25 15 6000

D 50 0 4500

C.

SOLUCIN PTIMA

Z= 1050

VALORES PTIMOS

x= 3 y=2

RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3

RESTRICCIONES INACTIVAS: 1

(1) -24x-120y= -2400

(2) 24x+48y= 1200

y=15

x=25

2.- Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de pltanos y 20 de manzana. Dos

mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades pero solo venden la

fruta en contenedores completos. El mayorista A enva en cada contenedor 8 cajas de

naranjas, 1 de pltanos y 2 de manzanas.

El mayorista B enva en cada contenedor 2 cajas de naranja, 1 de pltano y 7 de

manzanas si se sabe que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancias y el

mayorista B a 30 km. Determine cuantos contenedores habr que comparar a cada

mayorista con el objeto de ahorrar tiempo dinero y minimizar la distancia.

TABLA DE DATOS

DESCRIPCIN A B DISPONIBILIDAD

NARANJA 8 2 16

PLTANOS 1 1 5

MANZANAS 2 7 20

DISTANCIA 150 30

FUNCIN OBJETIVO.

Min. Z=150x+30y

RESTRICCIONES

(1) 8x+2y16

(2) x+y5

(3) 2x+7y20


(4) x,y0

SISTEMAS ECUACIONES

(1) 8x+2y=16 (2) x+y=5 (3) 2x+7y=20

COMPROBACIN

P(0,0) P(0,0) P(0,0)

(1) 8(0)+2(0)16 (2) 0+05 (3) 2(0)+7(0)20

016 05 020 FALSO FALSO FALSO

x y

0 8

2 0

x y

0 5

5 0

x y

0 2,9

10 0

GRFICO

ARCO CONVEXO

B. C.

(2) -2A-2B= -10

(3) 2A+7B= 20

B=2

A=3

SOLUCIN PTIMA

Z= 1050

VALORES PTIMOS

x= 3 y=2



Punto x y z

A 10 0 1500

B 3 2 1050

C 1 4 1350

D 0 8 2400

(1) -8A-8B= -40

(2) 8A+2B= 10

B=4

A=1

3.- MAXIMIZAR

FUNCIN OBJETIVO

SUJETO A

(1)

(2)

CONDICIONES TCNICAS

O

GRFICO

(1) (2)

3x+5y=15 5x+2y=10

x y

0 3

5 0

x y

0 5

2 0

ARCO CONVEXO

C.

RESPUESTA

Este problema tiene mltiples soluciones.

SOLUCIN PTIMA

Z1= 5 Z2=5

VALORES PTIMOS

x1= 20/19 y1=45/19; x2=2 y2=0


NO HAY RESTRICCIONES INACTIVAS

Punto X Y Z

A 0 0 0

B 0 3 3

C

4

5

D 2 0 5

4

4.- MAXIMIZAR

FUNCIN OBJETIVO

Z= 2x+3y

SUJETO A

(1) x2

(2) y4

(3) 2x+y5

CONDICIN TCNICA

(4) x,y 0

SISTEMA DE ECUACIONES

COMPROBACIN

P(0,0) P(0,0) P(0,0)

(1) (2) (3) x2 y4 2x+y5

02 04 05 VERDAD FALSO FALSO

GRFICO

(1) (2) (3)

x=2 y=4 2x+y=5 x y

0 5

5/2 0

ARCO CONVEXO

PUNTOS x y z

A 2 4 16

B 1/2 4 13

C 0 5 15

B.

SOLUCIN PTIMA

Z= 16

VALORES PTIMOS

x= 2 y=4



(3) -2x-y= -5

(2) y= 4

x=1/2

y=4

5.- MAXIMIZAR

FUNCIN OBJETIVO

Z= 2x+3y

RESTRICCIONES

(1) x2

(2) y3

(3) 2x+y18

RESTICCIONES DE NO NEGATIVIDAD

(4) x+y0

SISTEMAS DE ECUACIONES

COMPROBACIN

P(0,0) P(0,0) P(0,0)

(1) (2) (3)

x2 y3 2x+y18

02 03 018 VERDAD VERDAD FALSO

GRFICO

RESPUESTA: El problema no tiene solucin

x y

0 18 9 0

(1) (2) (3)

x=2 y=3 2x+y=18

6.- Una compaa produce automviles y camiones, cada vehculo tiene que pasar por

un taller de pintura y un taller de montaje de carrocera si el taller de pintura pinta

solamente camiones, se podra pintar 40 camiones al da y si pinta solo automviles se

podran pintar 60 automviles si el taller de carroceras ensamblara solo camiones

podra ensamblar 50 camiones al da y si ensamblara solo automviles podran

ensamblar 50 automviles al da cada camin aporta $300 a la utilidad y cada

automvil $200. Maximice la utilidad.

Pintura PENDIENTE

P1(0,40)

P2(60,0)

Ensamblaje PENDIENTE ECUACIN DE LA RECTA

P(0,50)

y-y1=m(x-x1)

P(50,0)

y-50=-1 (x)

x+y=50

FUNCIN OBEJTIVO

Z= 200x+ 300y

RESTRICCIONES

(1) 2x+3y 120

(2) x+y 50


(3) x,y0

ECUACIN DE LA RECTA

y-y1=m(x-x1)

y-40=-2/3 (x)

3y-120=-2x

2x+3y=120


COMPROBACIN

P(0,0) P(0,0)

(1) (2)

2(0)+3(0)120 (0)+(0) 50

0120 0 50

VERDAD VERDAD

GRFICO

(1) (2)

2x+3y=120 x+y=50

x y x y

60 0 0 50

0 40 50 0

ARCO CONVEXO

C.

RESPUESTA

El problema tiene mltiples soluciones.

SOLUCIN PTIMA

Z1= 12000 Z2=12000

VALORES PTIMOS

x1= 0 y1=40; x2=30 y2=20


NO HAY RESTRICCIONES INACTIVAS

Punto x y z

A 0 0 0

B 0 40 12000

C 30 20 12000

D 50 0 10000

(1) -2x-3y= -120

(2) 2x+2y= 100

y=20

x=30

7.- En una pastelera se hace 2 tipos de torta. Vienesa y Real. Cada torta Vienesa

necesita de relleno por cada Kg de bizcocho y produce un beneficio de $250. Una

torta Real necesita kg de relleno por cada kg de Bizcocho y produce $400 de

beneficio en la pastelera e pueden hacer diariamente hasta 150kg de bizcocho y 50kg

de relleno. Por problemas de la maquina o se pueden hacer ms de 125 tortas de cada

tipo. Determine cuantas tortas de cada tipo deben venderse al da para maximizar el

beneficio.

FUNCIN OBJETIVO

MAX. Z= 250x + 400y

RESTRICCIONES

(1) x +y 150

(2) 0,250x + 0,500y 50

(3) X 125

(4) y 125


(5) x, y 0

SISTEMAS ECUACIONES

COMPROBACIN

P(0,0) P(0,0) P(0,0)

(1) (2) (3)

(0)+(0)150 0,250(0)+0,500(0) 50 0125 VERDAD

0150 0 50 (4)

VERDAD VERDAD 0125 VERDAD

(1) (2) (3) (4)

x+y=150 0,250x+0,500y=50 x=125 y=125

X y x Y

150 0 0 100

0 150 200 0

GRFICO

ARCO CONVEXO

C.

SOLUCIN PTIMA

Z= 131200

VALORES PTIMOS

x= 125 y=25

RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3 RESTRICCIONES INACTIVAS: 1

Punto x Y Z

A 0 0 0

B 0 100 40000

C 50 100 32500

D 125 25 131200

E 125 0 31250

(1) -0,250 x -0,250y -37,5 (2) 0,250x + 0,500y 50

y=50

x=100

8.- Una joyera elaboro 2 modelos de joyas el primer modelo es 5, 5,20 y el segundo

modelo es 5, 10,5, los nmeros que se indican representan en porcentaje oro, plata,

cobre la joyera dispone de 10kg de oro, 180 de plata y 200 kg de cobre por cada tipo de

modelo 5, 5, 10 se obtiene una utilidad de $18,50 y por el otro modelo una utilidad de

$20,00 maximice la utilidad establezca restricciones activas e inactivas y verifica si hay

holgura o excedente.

FUNCIN OBJETIVO

Max Z= 8,50x + 20Y

SUJETO A

(1) 0,05X + 0,05y 110

(2) 0,05x + 0,10y 180

(3) 0,10x + 0,05y 200


(4) x, y 0


COMPROBACIN

P(0,0) P(0,0) P(0,0)

(1) (2) (3)

0,05(0)+0,05(0)110 0,05(0)+0,10(0) 180 0,10(0)+0,05(0)200

0110 0 180 0200

VERDAD VERDAD VERDAD

(1) (2) (3)

0,05X + 0,05y = 110

0,05x + 0,10y =180

0,10x + 0,05y = 200

x y x y x y

2200 0 0 1800 0 4000

0 2200 3600 0 2000 0

GRFICO

C

D

(1) 0,05x + 0,05y = 110 (-1)

(1) 0,05x + 0,05y = 110 (-1) (2) 0,05x + 0,10y= 180

(2) 0,10x + 0,05y= 200

- 0,05x - 0,05y = -110

0,05x - 0,05y = -110

0,05x+ 0,10y = 180

0,10x+ 0,05y = 200 0,05 y = 70 0,05 X = 90

Y= 1400

y= 1800

0,05x + 0,10 y = 180

0,10x + 0,05 y = 200

x= 800

x= 400

Z= 18,50(800) + 20(1400)

Z= 18,50(1800) + 20(400)

Z= 42800

Z= 41300

Arco Convexo

Solucin ptima X Y Z

Z= 42800

C 800 1400 42800

Valores ptimos D 1800 400 41300

x= 800

Y= 1400

Clculo de la Holgura para el oro 0,05x + 0,05y 110

0,05(800) + 0,05(1400) + h1 110 h1 0 Disponibilid. Ocupados Holgura

Oro 110 110 0

Plata 180 180 0

Clculo de la Holgura para la plata Cobre 200 50 50

0,05x + 0,10y 180

0,05(800) + 0,10(1400) + h2 180

Solucin ptima h2 0

Z= 42800

Valores ptimos

x= 800 Clculo de la Holgura para el cobre

Y= 1400

0,10x + 0,05y 200

h1= 0

0,10(800) + 0,05(1400) + h3 200

h2= 0 h3 50

h3= 50

Restriccin Activa= 1,2

Restriccin Inactiva= 3

materia

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