matemáticas ii 2º bachillerato hoja 1 de ejercicios

Matemáticas II 2º Bachillerato

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HOJA 1 DE EJERCICIOS PROPUESTOS UNIDAD 9: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ejercicio 1:

a) Resuelve el sistema de ecuaciones:

2

2 0

2 5 2

x z

x y z

x y z

b) Calcula sabiendo que el siguiente sistema tiene alguna solución común con el del apartado a)

1

3 1

2 3

x y z

x y z

x y z

Ejercicio 2: Dado el sistema de ecuaciones lineales

1

2

1

x y z

x y z

x y z

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro . b) Resuelve el sistema para 0 .

Consideremos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:

1 1

1 1

1 1

A

y

1 1 1

* 1 1 2

1 1 1

A

a) Dado que es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, vamos a estudiarlo en función del rango

de A

2 2 21 ( 1) 2 2A . Vemos dónde se anula: 20

2 2 0 2 ·( 1) 01


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Vamos a tener 3 casos:

CASO 1: 0,1 0 ( ) 3A rang A

A es una submatriz de la matriz ampliada, *A , ( *) 3rang A ( *) 3rang A

*A es de dimensión 3x4 ( *) 3rang A

Por tanto, tenemos que ( ) ( *) 3 nº de incógnitasrang A rang A Por el teorema de Rouché-Frobenius,

tenemos que se trata de un sistema compatible determinado (S.C.D.) para 0,1

CASO 2: 0 0 ( ) 2A rang A

Sustituimos en el sistema el valor 0 para ver como queda

1

2

1

y z

x z

y z

Podemos observar que tiene dos ecuaciones iguales, 1 3E E , con lo cual podemos suprimir una de ellas,

por ejemplo 3E , y el sistema queda así:

1

2

y z

x z

y las matrices asociadas nos quedan así:

0 1 1

1 0 1A

y 0 1 1 1

*1 0 1 2

A

que obviamente tienen rango 2, pues sus filas no son proporcionales, o

bien, tomando el menor de orden 2, 0 1

1 01 0

Por tanto, tenemos que ( ) ( *) 2 nº de incógnitas 3rang A rang A Por el teorema de Rouché-Frobenius,

tenemos que se trata de un sistema compatible indeterminado (S.C.I.) para 0

CASO 3: 1 0 ( ) 2A rang A

Sustituimos en el sistema el valor 1 para ver cómo queda

1

2

1

x y z

x y z

x y z

, el cual se observa

fácilmente que las ecuaciones 2E y

3E son incompatibles, luego se trata de un sistema incompatible (S.I.)

NOTA: Por rangos también podemos ver que se trata de un sistema incompatible.

Tenemos que

1 1 1

1 1 1

1 1 1

A

que como el menor 1 1

2 0 ( ) 21 1

rang A

Por otro lado,

1 1 1 1

* 1 1 1 2

1 1 1 1

A

, que tiene dos columnas iguales, 2 3C C , y por tanto sólo podemos

tomar un menor de orden 3,

1 1 1

1 1 2 2 0 ( *) 3

1 1 1

rang A

Así, ( ) 2 ( *) 3rang A rang A Por el teorema de Rouché-Frobenius, tenemos que se trata de un sistema

incompatible (S.I.).

b) Resolvemos para 0 que sabemos que es un S.C.I.1

2

y z

x z

Parametrizamos una de las incógnitas, siempre eligiendo de manera conveniente, en este caso z


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Nos queda: 1

2

y

x

Las infinitas soluciones son:

2

1 con

x

y

z

Ejercicio 3: Considera el sistema de ecuaciones

1 2 1

2

2 1

x k y z

kx y z

x y z k

a) Clasifícalo según los valores de k . b) Resuélvelo para el caso 2k .


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Ejercicio 4: Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas:

2 2

2

1

kx y

x ky k

x y

a) Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k . b) Especifica para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles indeterminado. c) Halla las soluciones de cada caso.


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Ejercicio 5: Considera el sistema de ecuaciones:

1

3 2 2 3

3 ( 1)

x y z

y z

x y z

a) Resuelve el sistema para 1 . b) Halla los valores de para los que el sistema tiene una única solución.

c) ¿Existe algún valor de para el que el sistema admite la solución 1 1

,0,2 2

?

a) Sustituimos en el sistema 1

2

3 2 5

3 1

x y z

y z

x z

(lo resolvemos por Gauss) 3 13E E

2

3 2 5

3 2 5

x y z

y z

y z

Como 3 2E E , suprimimos

3E (es evidente que se trata de un S.C.I.)

2

3 2 5

x y z

y z

. Hacemos

22

5 2 3 5 2

3

x y tx y t

z t ty t y

Calculamos x en la 1E

5 2 5 2 12 2

3 3 3

t t tx t x t x

. Las soluciones son:

1

3

5 2 con

3

tx

ty t

z t

b) Para que el sistema tenga una única solución debe verificarse el teorema de Rouché-Frobenius. En

este caso, ( ) ( *) 3 nº de incógnitasrang A rang A . Para que este ocurra basta con que 0A , pues

es el mayor menor de orden 3 que hay. Calculamos

1 1 1

0 3 2 3 6 (9 2·( 1)) 2·( 1)

3 1 1

A

Se anula cuando:

2·( 1) 0 1 . Así, 0A para 1 ( ) 3 ( *) º rang A rang A n incógnitas

Por tanto, 1 tenemos que es un S.C.D. por el teorema de Rouché-Frobenius.

c) Sustituimos la solución 1 1

,0,2 2

en el sistema y calculamos :

1 10 1

2 2 0 1 11

0 2· 2 3 1 2 3 12

3 11 1 1

3· ( 1)·0 2 22 2

, como en las 3 ecuaciones ha salido el mismo

valor de , ese es el valor que se nos pregunta: 1


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Ejercicio 6: Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.

a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? Razona las respuestas. b) Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50%, un 20% y un 25% de descuento

respectivamente, el estudiante hubiera pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo.


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Ejercicio 7: Considera el sistema 3 2 5

2 3 4

x y z

x y z

a) Calcula razonadamente un valor de para que el sistema resultante al añadirle la ecuación 9x y z

sea compatible determinado b) ¿Existe algún valor de para el cual el sistema resultante no tiene solución?

a) Al añadirle la ecuación nos queda el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas siguiente:

3 2 5

2 3 4

9

x y z

x y z

x y z

. La matriz de coeficientes es:

3 2 1

2 3 1

1 1

A

y la ampliada:

3 2 1 5

* 2 3 1 4

1 1 9

A

. Empezamos estudiando el rango de A y para ellos con su determinante

pues es cuadrada:

3 2 1

2 3 1 9 2 2 ( 3 3 4 ) 5

1 1

A

Obviamente se anula para 0 , luego si 0 0 ( ) 3A rang A , y como *A es de

dimensión 3x4 y Aes un menor de *A , tenemos que ( *) 3rang A , por tanto

( ) ( *) 3 nº de incógnitasrang A rang A y por el teorema de Rouché-Frobenius, concluimos que

para 0 se trata de un sistema compatible determinado.

b) La única opción posible para que no tenga solución (incompatible) es que sea 0 . Estudiemos

este caso, lo primero sustituir:

3 2 5

2 3 4

9

x y z

x y z

x y

y así

3 2 1

2 3 1

1 1 0

A

y

3 2 1 5

* 2 3 1 4

1 1 0 9

A

Como ya sabemos 0 ( ) 2A rang A y el menor de A , 3 2

9 4 5 0 ( ) 22 3

rang A


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Estudiemos ahora el rango de

3 2 1 5

* 2 3 1 4

1 1 0 9

A

, viendo el valor de sus menores de orden 3

distintos a A , que ya sabemos que vale 0 :

3 2 5

2 3 4 81 8 10 ( 15 36 12) 0

1 1 9

2 1 5

3 1 4 18 4 0 (5 0 27) 0

1 0 9

, luego

( *) 2rang A , y el menor de orden 2 anterior es no nulo 3 2

5 0 ( *) 22 3

rang A

Tenemos por el teorema de Rouché-Frobenius que al ser

( ) ( *) 2 nº de incógnitas 3rang A rang A se trata de un sistema compatible indeterminado. Por

tanto, ningún valor de hace que sea un sistema incompatible.

NOTA IMPORTANTE: Si nos damos cuenta que la 3E es combinación lineal de

1 2 y E E nos

podíamos haber ahorrado todos los cálculos. Así como3 1 2

3 2 5

2 3 4

9

x y z

x y z E E E

x y

,

podemos suprimir 3E y el sistema que queda

3 2 5

2 3 4

x y z

x y z

es inmediato ver que es

compatible indeterminado y por tanto nunca podrá ser incompatible.

Ejercicio 8:

a) Discute, según los valores de , el sistema 2 ( 2) 4

3 2 6

x y z

x y z

x y z

b) Resuelve el sistema anterior para 0 .


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Ejercicio 9: Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres productos A, B y C.

Pista 1: Si compramos una unidad de A, dos de B y una de C gastamos 118 euros.

Pista 2: Si compramos n unidades de A, 3n de B y tres de C gastamos 390 euros. a) ¿Hay algún valor de n para el que estas dos pistas sean incompatibles? b) Sabiendo que 4n y que el producto C cuesta el triple que el A, calcula el precio de cada producto.


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Ejercicio 10: Considera el sistema de ecuaciones

2 2 4 4

2

3 3 3 3

x y z

x z a

x y z

a) Discútelo según los valores de a . b) Resuélvelo cuando sea posible.

a) Tenemos las matrices de coeficientes y ampliada:

2 2 4

2 0 1

3 3 3

A

2 2 4 4

* 2 0 1

3 3 3 3

A a

. Estudiamos el rango de la matriz de coeficientes, A , que al

ser cuadrada nos resultará más fácil.

6 24 6 12 0 ( ) 3A rang A . Tomamos un menor de orden 2: 2 2

4 0 ( ) 22 0

rang A

siempre,

valga lo que valga el parámetro a .

Veamos el rango de la matriz ampliada, *A , tomando los menores de orden 3:

2 2 4

2 0 1 0

3 3 3

A

como ya sabemos

2 2 4

2 0 6 24 6 12 12 36

3 3 3

a a a a

Igualamos a 0: 12 36 0 3a a

2 4 4

2 1 6 12 24 12 6 24 18 54

3 3 3

a a a a

Igualamos a 0; 18 54 0 3a a

2 4 4

0 1 6 12 12 6 6 18

3 3 3

a a a a

Igualamos a 0; 6 18 0 3a a

Como nos ha salido el mismo valor del parámetro a en todos los menores de orden 3, tenemos dos casos:

NOTA: Si hubieran salido valores distintos de a , el rango de la matriz ampliada *A siempre hubiese sido

3, pues algún menor de orden 3 no sería nulo, y tendríamos un sistema incompatible a .

CASO 1: 3 *a A tiene menores de orden 3 que no son nulos ( *) 3 ( ) 2rang A rang A Por el

teorema de Rouché-Frobenius, se trata de un sistema incompatible.


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CASO 2: 3 *a A tiene todos los menores de orden 3 nulos ( *) 3rang A . Como

2 24 0 ( *) 2 ( ) 2

2 0rang A rang A

nº de incógnitas. Por el teorema de Rouché-Frobenius, se trata

de un sistema compatible indeterminado.

b) Lo resolvemos para 3a

2 2 4 4

2 3

3 3 3 3

x y z

x z

x y z

Dado que todos los rangos son 2, sólo hay 2

ecuaciones linealmente independientes, y nos quedamos con la 1E y la

2E , pues tienen un menor

de orden 2 que no es nulo, 2 2

4 02 0

El sistema queda: 2 2 4 4

2 3

x y z

x z

hay 3 incógnitas y 2 ecuaciones linealmente

independientes, luego hemos de hacer (3-2)=1 incógnita parámetro. Hacemos z y nos queda:

2 2 4 42 2 4 4 2 2 4 4

32 3 2 3

2

x yx y x y

x x x

Y sustituyendo en 1E :

1 3(3 ) 2 4 4 2 1 3

2y y y

.

Luego, las soluciones del sistema compatible indeterminado son:

3 1

2 2

1 3 con

2 2

x

y

z

Ejercicio 11: Resuelve, según valga m , el sistema siguiente cuando sea compatible:

1

x my m

mx y m

mx my

Consideremos la matriz de coeficientes

1

1

m

A m

m m

y la matriz ampliada

1

* 1

1

m m

A m m

m m

Vamos a empezar por *A pues al ser cuadrada será más fácil estudiar su rango

3 3 2 2 2 3 2

1

* 1 1 ( ) 2 3 1

1

m m

A m m m m m m m m m

m m

. Vemos dónde se anula: 3 22 3 1 0m m

3 22 3 1 0m m (aplicando Ruffini y ecuación de 2º grado)

3 2 2

1

2 3 1 ( 1) ·(2 1) 0 1

2

m

m m m mm

CASO 1: 1

1, * 0 ( *) 32

m A rang A

Y como obviamente ( ) 2rang A pues es de dimensión 3x2, entonces, ( ) ( *)rang A rang A Por el

teorema de Rouché-Frobenius tenemos que es un sistema incompatible.


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CASO 2: 1 * 0 ( *) 2m A rang A . Sustituimos en el sistema y nos queda:

1

1

1

x y

x y

x y

donde son

3 ecuaciones iguales y suprimimos dos de ellas. Nos queda el sistema 1x y en el cual es evidente que

( ) ( *) 1 2rang A rang A nº de incógnitas, luego es un sistema compatible indeterminado.

Resolvemos haciendo 1y x . Las soluciones son 1

con x

y

.

CASO 3: 1

* 0 ( *) 22

m A rang A

Sustituimos

11

2

11

2

1 1

2 2

A

y

1 11

2 2

1 1* 1

2 2

1 11

2 2

A

Tanto en A como en *A , tomamos el menor de orden 2

siguiente

11

1 321 0 ( ) ( *) 2

1 4 41

2

rang A rang A

nº de incógnitas, y se trata de un sistema

compatible determinado según nos dice el teorema de Rouché-Frobenius

Resolvamos el sistema eliminado la tercera ecuación que es combinación lineal de las otras dos:

1 1

2 2

1 1

2 2

x y

x y

que lo vamos a hacer por Cramer:

1 1

2 2

1 31

2 4 13 3

4 4

x

;

11

2

1 1 3

2 2 4 13 3

4 4

y

La solución es: 1

1

x

y

Ejercicio 12: Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 € respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40500 €. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30% de las cajas.


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Ejercicio 13: Sabemos que el sistema de ecuaciones 2 3 1

2 2

x y z

x y z

tiene las mismas soluciones que el que

resulta de añadirle la ecuación 7 7ax y z

a) Determina el valor de a . b) Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de los valores de las

incógnitas sea igual a la unidad.


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Ejercicio 14: Dadas las matrices

1 1 0

2 1 1

2 1 0 3

A t t

t t

y

x

X y

z

a) Calcula el rango de A según los diferentes valores de t .

b) Razona para qué valores de t , el sistema 0AX tiene más de una solución.


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Ejercicio 15: Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros.

a) ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50? b) Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuántos

billetes hay de cada tipo.

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