matemáticas grado 11º unidad 1 secciones...

1 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física

Universidad de Antioquia

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Matemáticas

Grado 11º

Unidad 1

Secciones cónicas



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LOGRO: Identificar las diferentes secciones cónicas con sus

principales características y reconociendo la forma de

graficarlas.

INDICADORES DE LOGRO:

Determina la gráfica y ecuación de una circunferencia

dada según su radio y centro.

Reconoce las diferencias sustanciales entre la

circunferencia, la elipse y la parábola.

Reconoce y halla las partes de la elipse partiendo de la

ecuación.

Identifica la gráfica, el vértice, abertura y los interceptos

con los ejes coordenados.

Resuelve problemas relacionados con las secciones

cónicas.



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SECCIONES CÓNICAS

RESEÑA HISTÓRICA

El matemático griego Menecmo (vivió sobre 350 a.C.) descubrió estas

curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 a. C.) De Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente

las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía. Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los

que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.

Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices.

Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie

cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista).

Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie

cónica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista).



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Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan

actualmente para definirlas.

Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se

construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o

hiperbólicos, según la curva que gira. Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz

reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos

incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco

En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que

un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la

carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco,

esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada.

En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes desarrolló un

método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas

cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y.

El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones

cónicas se lo debemos a Jan de Witt

Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física. Por ejemplo, las propiedades de reflexión

son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas



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alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de

cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica.

Una sección cónica (o cónica) es una curva de intersección de un plano

con un cono recto circular de dos hojas; tenemos cuatro tipos de curvas:

CIRCUNFERENCIA, ELIPSE, HIPÉRBOLA Y PARÁBOLA.

Ahora bien, pero qué es una cónica, es el conjunto de puntos “P” del

plano tales que la distancia no dirigida de “P” a un punto fijo está en

razón constante a la distancia no dirigida de “P” a una recta fija que

no contiene al punto fijo. Esta razón constante en la definición anterior

se llama excentricidad.

Las cónicas tienen innumerables aplicaciones en las ciencias y en la

tecnología; de allí la gran importancia que tiene conocerlas y resolver

problemas donde se apliquen cada una de ellas.

Aprendamos algo

nuevo



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CIRCUNFERENCIA

Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano que (equidistan)

de un punto C(h, k) llamado Centro.

R = radio

C(h,k) = Centro

P(x,y) = Punto Cualquiera de

Circunferencia.

Vamos a obtener la ECUACIÓN CANÓNICA de circunferencia. Por

definición de Distancia entre dos puntos, se tiene:

R = d(C, P)

Esto es:

d(C,P) = 22 )()( kyhx R = 22 )()( kyhx

2222 ))()(( kyhxR

R2 = (x-h)2 + (y-k)2

Ecuación canónica de Circunferencia de centro C(h, k) y radio R.

Ejemplos:



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(x – 1)2 + (y + 3)2 = 16; es la Ecuación de una Circunferencia de

centro C(1,-3) y radio R = 4

x2 + (y – 4)2 = 7 es la Ecuación de una circunferencia de centro

C(0, 4) y Radio R = 7 .

Si el centro de la circunferencia es C(0,0) y radio R = 5; la Ecuación es:

x2 + y2 = 25

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

Al desarrollar la Ecuación Canónica (x-h)2 + (y-k)2 = R2 resulta:

(x-h)2 + (y-k)2 = R2 x2 - 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = R2

x2 + y2 - 2hx – 2ky + h2 + k2 = R2

Ahora tenemos:

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

Donde A = B y no aparece producto de la variable x e y.

Ejemplo: Una circunferencia tiene centro C(-3, 4) y pasa por el punto

P(1, -2) . Determinar su Ecuación General.

Solución:

Para llegar a la ecuación general partimos de la ecuación canónica:



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R2 = (x-h)2 + (y-k)2

Observamos si tenemos el centro, en este caso C(-3, 4) pero el radio

no está dado. ¿Cómo encontrarlo? Es sencillo, ya que nos dan un punto

P(1, -2) por donde pasa las circunferencia; y sabemos que R = d(C, P).

Entonces, por definición de distancia, tenemos:

R = d(C, P) 22

42)3(1R

22

64R

3616R 52R

Luego, sustituyendo tenemos:

(x-h)2 + (y-k)2 = R2 (x+3)2 + (y-4)2 2

52 Desarrollando la

Ecuación canónica. La ecuación general queda:

x2 + y2 + 6x – 8y – 27 = 0

Su representación gráfica es:



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ACTIVIDAD: Resolver

1.- Determinar la ecuación general de la circunferencia de centro

C2

3,

2

1 y Radio R = 23 .

2.- Determinar la Ecuación General de la Circunferencia si los extremos

del diámetro son A(-2, 4) y B(0, -8) .

3.- Determinar la Ecuación de la Circunferencia de centro C(-1,4) y es

tangente al eje de las abscisas.

TRABAJEMOS EN

NUESTRO

APRENDIZAJE



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ELIPSE

Es el lugar Geométrico de los puntos P(x, y) del plano, cuya suma de

distancias a dos puntos F1 y F2 (focos) es constante. (Ver grafica)

d(P,F1) + d(P,F2) = d(A1, A2)

Donde:

C(h, k) es el centro.

A1, A2, B1, B2 Son los Vértices

F1, F2 Focos.

21 AA = 2a Eje Mayor.

21FF = Eje Focal

21BB = Eje Menor.

Aprendamos algo

nuevo



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ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE

A partir de la definición se obtienen dos ecuaciones llamadas canónicas.

Estas son:

CASO I: Cuando el eje focal está paralelo al eje de las abscisas (x, x1).

12

2

2

2

b

ky

a

hx

CASO II: Cuando el eje focal está paralelo al eje de las coordenadas (y,

y1).

12

2

2

2

a

ky

b

hx

Observación: El centro es C(h, k) a2 y b2 están relacionadas con el eje

mayor y menor respectivamente por lo tanto para identificar los dos

casos, solo tienes que ver con quien está el mayor denominador (con la

variable x o con la variable y)

Ejemplo:

La Ecuación 14

1

9

322

yx Corresponde a una elipse de centro C(3, -

1) y el eje mayor paralelo a las abscisas.

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

Viene dada por Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 donde A ≠ B pero de igual

signo. Ejemplo:

2x2 + 3y2 - 6x + 12y + -1 = 0



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Excentricidad: es la relación entre “C” y “a” esto es a

Ce

Coordenadas de los vértices y focos: es importante conocer estos

puntos de la elipse; pero es báñate sencillo determinar sus coordenadas,

tomando en cuenta que siempre se puede llegar a partir del centro de

la elipse.

CASO I:

A1(h+a, k) ; A2(h-a, k)

F1(h+c, k) ; F2(h-c, k)

B1(h, k+b) ; B2(h, k-b)

CASO II:

A1(h, k+a) ; A2(h, k-a)

F1(h, k+c) ; F2(h, k-c)

B1(h+b, k) ; B2(h+b, k

Dónde C(h, k) “a” distancia del centro hasta A1 y A2,

“b” distancia del centro hasta B1, B2

“c” distancia del centro hasta F1, F2.



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ACTIVIDAD: Resuelve los siguientes ejercicios

Dibujar la elipse (x2/64) + (y2/16) = 1

Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos

focos son los puntos F (3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de

la gráfica con el eje x es el punto (5, 0).

Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por: 25x2 + 4y2 = 100

PARÁBOLA

Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) y del plano que equidistan

(están a la misma distancia) de un punto fijo llamado “foco” y una

recta fija llamada Directriz. Veamos la gráfica para identificar los

elementos en sistemas de coordenadas cartesianas.

TRABAJEMOS EN

NUESTRO

APRENDIZAJE

Aprendamos algo

nuevo



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Por Definición

d(P, F) = d(P, M)

F = Foco

E = Eje

V = Vértice

I = Pto. De

Intersección. Eje Directriz.

d(F, V) = d(V, I) = p parámetro

ESTUDIAREMOS CUATRO CASOS DE LA ECUACIÓN CANÓNICA

DE LA PARÁBOLA

CASO 1 CASO 2

Cuando la parábola abre hacia

arriba, cuya ecuación canónica

es:

(x – h)2 = 4p(y – k)

Donde C(h, k) es el centro de “p”

el parámetro.

ELEMENTOS:

Cuando la Parábola abre hacia

abajo, cuya ecuación canónica

es:

(x – h)2 = - 4p(y – k)


el parámetro.

ELEMENTOS:



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V(h, k)

F(h, k+p)

I(h, k-p)

Eje: x = h

Directriz: y = k - p

EJEMPLO: (x – 2)2 = 8(y – 3).

Ecuación de Parábola de vértice

V(2, 3)

4p = 8 p = 2 parámetro.

Foco:

F(h, k +p) = F(2, 3+2) = (2, 5)

I(h, k – p) = I(2, 3-2) = (2, 1)

Eje x = h entonces x = 2

Directriz y = k – p entonces y =

3 – 2 = 1

Veamos su Grafica.

V(h, k)

F(h, k - p)

I(h, k + p)

Eje: x = h

Directriz: y = k – p

EJEMPLO: (x – 3)2 = - 8(y – 1).


V(3, 1)

-4p = -4 p = 1 parámetro.

Foco:

F(h, k +p) = F(3, 1 - 1) = (3, 0)

I(h, k – p) = I(3, 1+1) = (3, 2)

Eje x = h entonces x = 3

Directriz y = x + p entonces y =

1 + 1 = 2

Veamos su Grafica



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CASO 3 CASO 4

Cuando la parábola abre hacia la

derecha, cuya ecuación canónica

es:

(y – k)2 = 4p(x – h)


el parámetro.

ELEMENTOS:

V(h, k)

F(h+p, k)

I(h-p, k)

Eje: y = k

Directriz: x = h - p

EJEMPLO: (y – 4)2 = 12(x – 1).


Cuando la parábola abre hacia la

izquierda, cuya ecuación

canónica es:

(y – k)2 = - 4p(x – h)


el parámetro.

ELEMENTOS:

V(h, k)

F(h-p, k)

I(h+p, k)

Eje: y = k

Directriz: x = h + p

EJEMPLO: (y – 3)2 = -8x




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V(1, 4)

4p = 12 p = 3 parámetro.

Foco:

F(h+p, k) = F(1+3, 4) = (4, 4)

I(h - p, k) = I(1 - 3, 4) = (-2, 1)

Eje y = 4

Directriz x = 1 – 3 entonces x =

3–2 = -2

Veamos su Grafica.

V(0, 3)

-4p = -8 p = 2 parámetro.

Foco:

F(h-p, k) = F(0-2, 4) = (-2, 3)

I(h+ p, k) = I(0+2, 3) = (2, 3)

Eje y = 3

Directriz x = 0 + 2 entonces x

= 2

Veamos su Grafica.

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA

Al desarrollar las ecuaciones canónicas, cualquiera que sea el caso

llegamos a una ecuación de la forma:



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a) Ax2 +Cx +Dy + E = 0 o b) Ay2 +Cx +Dy + E=0

ACTIVIDAD: Resuelve los siguientes puntos

Escribe las ecuaciones de las parábolas que tienen los elementos

que se señalan:

i) directriz x = -3 y foco F(3,0)

ii) foco F(2,0) y vértice V(0,0)

iii) directriz y = 4 y vértice V(0,0)

Dada la parábola 2xy , halla el vértice, el foco y la directriz.

Representa las parábolas:

i) 21 xy ii) 36

2xy

ii) 26xy iv) 432

xy

TRABAJEMOS EN

NUESTRO

APRENDIZAJE



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Calcular la distancia entre los centros de la circunferencia de

ecuación:

(x + 1)2 + (y + 3)2 = 25 y (x + 3)2 + (y - 2)2 = 16

Determinar la Intersección entre la recta de ecuación x – y = 1 y

la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x – 4y – 1 = 0.

Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto

P(1,6) y tangente a la recta de la ecuación x – y – 1 = 0

Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que

tiene por ecuación: 4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0

Halla la ecuación reducida de la elipse sabiendo que tiene:

i) Por focos F(2,0); F´(-2,0) y suma de distancias 5.

ii) Por focos F(0,2); F´(0,-2) y suma de distancias 5.

Halla la ecuación de la elipse conociendo:

A(10,0); A´(-10,0) y la excentricidad es e = 0,2.

Recolectemos

lo aprendido



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Halla la ecuación de la elipse conociendo:

i) C(0,0); F(0,2); a = 4.

ii) C(-3,0); F(-3,-2); a = 4.

Halla los valores “a”, “b”, “c” y “e” sabiendo que la ecuación es:

i) 922 yx

ii) 144916 22 yx

¿Entre qué valores máximo y mínimo puede estar comprendida la

excentricidad de la elipse?

¿Cuál es la excentricidad de la circunferencia?

Halla la ecuación de la elipse de eje mayor 16 y excentricidad ¼.

Halla las coordenadas del vértice y del foco, así como las

ecuaciones de la directriz y del eje de la parábola 22xy .

Calcula el radio vector del punto de la parábola yx 42 , cuya

abscisa es -4.

Halla la intersección de la recta 072yx con la parábola

442 yyx .

Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que

equidistan del eje de abscisas y del punto (2,2).

Halla los puntos de la parábola 652 yyx que equidistan de los

puntos (-3,-2) y (7,4).

Halla la longitud de la cuerda común de la circunferencia

1322 yx y la parábola 332 xy .

Halla la ecuación de la parábola que tiene por foco el punto F(0,2)

y por directriz la recta 2xy

matemáticas grado 11º unidad 1 secciones...

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