MATEMTICAS FINANCIERAS

TEMA:

INTERS COMPUESTO

1. Conceptos Bsicos 2. Monto o Valor Futuro a Inters Compuesto 3. Valor Actual a Inters Compuesto 4. Clculo del Tiempo y la Tasa de Inters a partir de la Frmula S=P(1+i)n 5. Equivalencia entre Tasa de Inters Simple y Tasa de Inters Compuesto 6. Equivalencia entre Tasas de Inters Compuesto 7. Tasa de Inters Nominal y Tasa de Inters Efectiva 8. Eleccin entre varias Opciones de Pago o Alternativas de Inversin a Inters Compuesto 9. Descuento de Pagars a Inters Compuesto 10. Ecuaciones de Valores Equivalentes a Inters Compuesto 11. Tiempo Equivalente 12. Pagos Parciales. Regla Comercial y Regla de los Saldos 13. Resumen de Frmulas Relativas al Inters Compuesto 14. Tabla para el Clculo del Tiempo Exacto entre Dos Fechas

AUTOR:

tulio a. Mateo Duval

Santo Domingo, D. N. Rep. Dom.

Tulio A. Mateo Duval Inters Compuesto

1

MATEMTICAS FINANCIERAS

INTERS COMPUESTO

1. CONCEPTOS BSICOS

En las transacciones financieras efectuadas a inters simple el capital permanece constante durante todo el lapso convenido, en cambio en las realizadas a inters compuesto el capital cambia al final de cada periodo, ya que a intervalos establecidos, el inters generado es agregado al capital, formando cada vez un nuevo capital. En este caso, se dice que el inters es capitalizable o convertible en capital y, en consecuencia, tambin gana inters. Si los intereses producidos en cada periodo se calculan sobre capitales cada vez mayores, dado que incluyen los intereses de periodos anteriores, se le denomina inters compuesto al que se paga sobre capitales que se incrementan de ese modo.

En el inters compuesto, se conoce como tasa nominal ( j ) a la tasa de inters cargada a una transaccin, la cual es habitualmente considerada anual, aunque los intereses no siempre sean sumados anualmente al capital. Es comn que el inters tambin se capitalice en forma semestral, trimestral, bimestral, mensual, semanal o diariamente. El periodo de capitalizacin o periodo de conversin es el intervalo de tiempo existente entre dos capitalizaciones sucesivas, y el nmero de veces por ao en las que los intereses se capitalizan se conoce como frecuencia de capitalizacin o frecuencia de conversin (m). A continuacin se muestran los valores de las frecuencias de capitalizacin o de conversin (m) ms usuales 1.

CAPITALIZACIN DE INTERESES FRECUENCIA DE CAPITALIZACIN (m)

Anual 1 Semestral 2 Cuatrimestral 3 Trimestral 4 Bimestral 6 Mensual 12 Quincenal 24 Semanal 52 Diaria 360 365

Al trabajar a inters compuesto se hace referencia a una tasa de inters, y con sta ordinariamente quedan definidas la tasa nominal j (tasa anual), el periodo de capitalizacin y la frecuencia de capitalizacin m. A seguidas se presentan varias formas de expresar la misma tasa de inters:

16% anual capitalizable trimestralmente 16% anual convertible trimestralmente 16% compuesto capitalizable trimestral 16% compuesto convertible trimestral 16% compuesto trimestral 16% nominal trimestral 2

Si la tasa de inters se indicara sin hacer referencia a la forma de capitalizacin, se asume que la misma se

efecte anualmente. Es necesario que al realizar un clculo a inters compuesto la tasa de inters de exprese en la misma unidad de

tiempo que el periodo de capitalizacin. Es decir, debe obtenerse la denominada tasa de inters por periodo de

1 Los periodos de capitalizacin pueden ser tan pequeos como se desee, pudindose llegar hasta una capitalizacin continua. 2 En esta modalidad se usa la palabra nominal en vez de anual o compuesto, indicando con esto que esa es la tasa nominal, es decir, la tasa anual. Lo de trimestral se refiere a la forma de capitalizacin de los intereses.

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2

capitalizacin ( i ). Si j representa la tasa de inters anual (tasa nominal) y m la frecuencia de capitalizacin, entonces la tasa de inters por periodo de capitalizacin i se calcula mediante la frmula:

mji = [1]

De la cual resulta que: mij = [2] Otra variable importante es la cantidad de capitalizaciones que envuelve una transaccin a inters compuesto.

Se le denomina nmero total de periodos de capitalizacin (n) a la cantidad de veces que el inters se convierte en capital durante el plazo convenido. Si se simboliza con t el intervalo de tiempo (expresado en aos) por el cual se planea la transaccin y con m la frecuencia de capitalizacin, entonces el nmero total de periodos de capitalizacin n se obtiene mediante la frmula:

mtn aos = )( [3]

De la cual resulta que:

mnt aos =)( [4]

Ejemplo 1 Para una inversin a un plazo de 3 aos a efectuarse al 15% anual capitalizable trimestralmente, determine:

a) periodo de capitalizacin; b) frecuencia de capitalizacin; c) tasa nominal; d) tasa de inters por periodo de capitalizacin; y e) nmero total de periodos de capitalizacin.

SOLUCIN:

a) Trimestre b) m = 4 c) j = 15% d) %75.3415 ===mji

e) trimestresn 1445.3 == Ejemplo 2 Hallar el inters compuesto generado por un capital 3 de $1,000.00 al 6% compuesto capitalizable anualmente al

cabo de 3 aos.

SOLUCIN:

P = $1,000.00 j = 6% m = 1 %616 ===mji t = 3 aos

aosn 313 ==

PERIODO DE CAPITALIZACIN

CAPITAL AL INICIO DEL PERIODO ($)

INTERS GANADO EN EL PERIODO ($)

MONTO COMPUESTO AL FINAL DEL PERIODO ($)

1 1,000.00 60.00 1,060.00 2 1,060.00 63.60 1,123.60 3 1,123.60 67.42 1,191.02

Inters compuesto = 1,191.02 1000.00 = $191.02

3 Se entender como CAPITAL la cantidad de dinero originalmente prestada o invertida y se representar con una P.

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3

Ejemplo 3 Resolver el Ejemplo 2 considerando una tasa del 6% compuesto capitalizable semestralmente.

SOLUCIN:

P = $1,000.00 j = 6% m = 2 %326 ===mji t = 3 aos

semestresn 623 ==

PERIODO DE

CAPITALIZACIN CAPITAL AL INICIO DEL PERIODO ($)

INTERS GANADO EN EL PERIODO ($)

MONTO COMPUESTO AL FINAL DEL PERIODO ($)

1 1,000.00 30.00 1,030.00 2 1,030.00 30.90 1,060.90 3 1,060.90 31.83 1,092.73 4 1,092.73 32.78 1,125.51 5 1,125.51 33.76 1,159.27 6 1,159.27 34.78 1,194.05

Inters compuesto = 1,194.05 1000.00 = $194.05

2. MONTO O VALOR FUTURO A INTERS COMPUESTO

El monto (S) a inters compuesto es igual al capital inicial (P) ms los intereses (I) resultantes de las sucesivas capitalizaciones contempladas en la transaccin de que se trate, o sea:

S = P + I FRMULA MONTO COMPUESTO [5]

Para deducir otra frmula que permita obtener directamente el monto compuesto, se ejecuta el mismo proceso seguido en el cuadro anterior, pero trabajando con un capital inicial P invertido a la tasa de inters i por periodo de capitalizacin y por n periodos de capitalizacin. Se puede verificar que el monto compuesto al trmino del primer periodo es P(1+i); el monto compuesto al final del segundo periodo es P(1+i)2 ; el monto compuesto al final del tercer periodo es P(1+i)3, y as sucesivamente. Esta sucesin de montos forma una progresin geomtrica cuyo n-simo trmino corresponde al monto compuesto (S) al final de n periodos de capitalizacin, el cual se obtiene mediante la frmula:

niPS )1( += FRMULA MONTO COMPUESTO [6]

donde S es el monto compuesto o valor futuro de un capital inicial P, i es la tasa de inters por periodo de capitalizacin y n es el nmero total de periodos de capitalizacin.

A la diferencia entre el monto compuesto (S) y el capital inicial (P) se le llama inters compuesto (I), el cual puede obtenerse despejando a I de la frmula [5]:

PSI = FRMULA INTERS COMPUESTO [7]

Sustituyendo en la frmula anterior la expresin obtenida para el monto compuesto, obtenemos otra frmula para calcular directamente el inters compuesto:

PiPI n += )1( Factorizando se tiene:

]1)1[( += niPI FRMULA INTERS COMPUESTO [8]

Por otra parte, el capital inicial P (inversin o deuda) se puede obtener despejando a P de la frmula [5]:

P = S I [9]

Tambin el capital inicial P (inversin o deuda) se deduce al despejar a P de la frmula [8], resultando:

]1)1([ +

=ni

IP [10]

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4

Ejemplo 4 Cunto se acumular al cabo de 2 aos si se depositan $200,000.00 en una cuenta de ahorros que abona el

12.6% anual convertible mensualmente?

SOLUCIN:

P = $200,000.00 j = 12.6% m = 12 i = 12.6/12 = 1.05%

t = 2 aos n = 2 12 = 24 meses S = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [6], se obtiene:

36.981,256$)0105.01(000,200 24 =+=S Ejemplo 5 Obtenga el valor futuro de un capital de $50,000.00 invertido al 8% anual capitalizable cuatrimestralmente al cabo

de 3 aos y 5 meses.

SOLUCIN:

P = $50,000.00 j = 8% m = 3 i = 0.08/3 4 t = 3 aos 5 meses

rescuatrimestn 25.10312413

125123

==+

= S = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [6], se obtiene:

01.482,65$)308.01(000,50 25.10 =+=S 5 Ejemplo 6 Hallar el monto compuesto de $426,500.00 al cabo de 6 aos y 7 meses, si los dos primeros aos generan

intereses al 6% compuesto convertible quincenal y el tiempo restante al 2% semestral.

SOLUCIN:

1ER. TRAMO

P = $426,500.00 j = 6% m = 24 i = 6/24 = 0.25% quincenal t = 2 aos

n = 2 24 = 48 quincenas S1 = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [6], se obtiene:

40.805,480$)0025.01(500,426 481 =+=S 2DO. TRAMO

P = S1 = $480,805.40 i = 2.75% semestral m = 2 t = 4 aos 7 meses

semestresn6552

12552

127124

==+

= S = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [6], se obtiene el valor del monto compuesto pedido:

63.551,616$)0275.01(40.805,480 655 =+=S

4 Esta vez j entre m se deja expresado, ya que, de dicho cociente, resulta un nmero con infinitas cifras decimales que no se debe redondear. 5 Aunque la frmula del monto compuesto se obtuvo considerando un nmero entero de periodos de capitalizacin, dicha frmula tambin puede usarse cuando se tienen fracciones de periodo. Al trabajar de esta forma (que es la que aqu se emplear), se dice que se calcula con el mtodo terico o exacto. Otra manera de hacerlo es con la llamada regla comercial, que consiste en obtener el monto compuesto para los periodos enteros de capitalizacin y luego el monto simple para la fraccin de periodo, utilizando como capital el monto compuesto previamente obtenido.

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5

Ejemplo 7 Calcule el inters compuesto que generar una deuda por $320,000.00 contrada al 18.4% anual capitalizable

trimestralmente pagadera en un plazo de 1 aos.

SOLUCIN:

P = $320,000.00 j = 18.4% m = 4 i = 18.4/4 = 4.6% trimestral t = 1 aos

n = 1.5 4 = 6 trimestres I = ? Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [8], se obtiene:

64.121,99$]1)046.01[(000,320 6 =+=I

Ejemplo 8 El 10/08/2009 se efectu una inversin en un certificado financiero que abonaba el 36% anual capitalizable

diariamente. Determine el capital invertido si al da 19/10/2009 se haban generado intereses ascendentes a $9,711.07. Use ao comercial.

SOLUCIN:

I = $9,711.07.00 j = 36% m = 360 i = 36/360 = 0.1% diario

t = n = 292 222 = 70 das 6 (tiempo exacto entre las dos fechas) P = ? Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [10], se obtiene:

00.000,134$]1)001.01([

07.711,970

=+

=P

3. VALOR ACTUAL A INTERS COMPUESTO

El valor actual o valor presente a inters compuesto es el valor en una fecha determinada de una suma de dinero que se recibir o pagar en una fecha posterior. Tambin por valor actual se entiende el capital que, invertido ahora a una tasa de inters dada, alcanza un monto determinado al cabo de cierto tiempo.

Para obtener el valor actual de un monto compuesto conocido S, se despeja a P de la frmula [6], resultando:

nn

iSi

SP +=+

= )1()1(

FRMULA VALOR ACTUAL [11]

Ejemplo 9 Determine el valor actual de $180,000.00 que vencen dentro de 2 aos, si la tasa de inters es del 22% anual

convertible trimestralmente.

SOLUCIN:

S = $180,000.00 j = 22% m = 4 i = 22/4 = 5.5% trimestral t = 2 aos

n = 2.5 4 = 10 trimestres P = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [11], se obtiene:

50.377,105$)055.01(000,180 10 =+= P

6 Aqu se da la igualdad n = t (das) debido a que el tiempo viene dado en das y la frecuencia de capitalizacin m es igual a 360.

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6

Ejemplo 10 Qu depsito debe ser efectuado en una cuenta de ahorros que abona una tasa del 13.5% anual capitalizable

bimestralmente, si se desea tener disponibles $310,500.00 al cabo de 17 meses?

SOLUCIN:

S = $310,500.00 j = 13.5% m = 6 i = 13.5/6 = 2.25% bimestral t = 17 meses

bimestresn 5.82

1761217

=== P = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [11], se obtiene:

25.994,256$)0225.01(500,310 5.8 =+= P Ejemplo 11 Cunto debe invertirse ahora al 1.8% mensual para tener $408,340.11 en 2 aos y 3 meses? Cunto se gana

por concepto de intereses?

SOLUCIN:

S = $408,340.11 i = 1.8% mensual m = 12 t = 2 aos y 3 meses

mesesn 271212

3122=

+= P = ? I = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [11], se obtiene el valor de la inversin:

50.250,252$)018.01(11.340,408 27 =+= P Sustituyendo los valores de S y P en la frmula [7], se obtiene el inters generado: 61.089,156$50.250,25211.340,408 ==I 4. CLCULO DEL TIEMPO Y LA TASA DE INTERS A PARTIR DE LA FRMULA S = P (1 + i ) n

El tiempo requerido para que un capital P, colocado a una tasa de inters anual j capitalizable m veces por ao, es decir, a una tasa de inters por periodo i, alcance un monto S, se obtiene al despejar a n de la frmula [6], resultando:

)1()(

igloPSglon

+= [12]

Como n representa el nmero total de periodos de capitalizacin, entonces el tiempo expresado en aos 7 se calcula mediante la frmula [4]:

mnt aos =)(

Igualmente la tasa de inters por periodo i a la que habra que prestar o invertir un capital P para que en n periodos de capitalizacin alcance el monto S, se obtiene al despejar a i de la frmula [6], resultando:

1)( = n PSi [13]

7 Despus que se tiene el tiempo expresado en aos puede hacerse la conversin a cualquier otra unidad (meses, quincenas, semanas, etc.).

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7

Luego de calculado el valor de i, si fuera preciso obtener la tasa anual de inters compuesto j , se procedera

segn la frmula [2] a multiplicar el valor obtenido de i por la frecuencia de capitalizacin m, u obtenerla directamente de la multiplicacin de m por la expresin anterior, resultando:

[ ]1)( = n PSmj [14] Ejemplo 12 Qu tiempo (aos) es necesario para que una inversin de $41,400.00 efectuada al 12% anual capitalizable

bimestralmente genere intereses ascendentes a $8,076.83?

SOLUCIN:

P = $41,400.00 I = $8,076.83 S = P + I = $49,476.83

j = 12% m = 6 i = 12/6 = 2% bimestral n = ? t = ? Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [12], se obtiene:

bimestresglo

glon 9)02.01(

)400,4183.476,49(=

+=

El clculo del tiempo (aos) se realiza empleando la frmula [4]:

aosaost aos 15.169

)( ===

Ejemplo 13 En qu tiempo (meses) fue saldada una deuda por $115,000.00, si la misma fue contrada al 1.5% mensual

capitalizable cuatrimestralmente y se liquid pagando la suma de $147,315.27?

SOLUCIN:

P= $115,000.00 S = $147,315.27

j = 1.5 12 = 18% 8 m = 3 i = 18/3 = 6% cuatrimestral n = ? t = ? Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [12], se obtiene:

rescuatrimestglo

glon 25.4)06.01(

)000,11527.315,147(=

+=

Como los cuatrimestres son periodos de 4 meses, luego el tiempo pedido (meses) ser:

mesest meses 17425.4)( == Ejemplo 14 Encuentre la fecha de cancelacin de un crdito por $79,300.00, concertado el 14 de mayo, con intereses al

37.8% anual capitalizable diariamente, si el mismo fue saldado mediante el pago de $89,659.90. Use ao comercial.

SOLUCIN:

P = $79,300.00 S = $89,659.90

j = 37.8% m = 360 i = 37.8/360 = 0.105% diario n = ? fecha = ?

8 Una tasa del 1.5% mensual equivale a una tasa nominal o tasa anual del 18%.

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8

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [12], se obtiene:

dasglo

glotn 117)00105.01(

)300,7990.659,89(=

+==

9

Como el nmero de orden para la fecha 14 de mayo es 134 (ver TABLA) + 117

251 Este es el nmero de orden de la fecha buscada. En la TABLA se ubica ese nmero, obtenindose la fecha: 8 de septiembre.

Ejemplo 15 En cunto tiempo (a/m/d) un capital se aumenta en un 50%, si el dinero se invierte al 15% anual capitalizable

quincenalmente?

SOLUCIN:

P = $100.00 (VALOR ASUMIDO. PODEMOS ASUMIR CUALQUIER VALOR PARA P )

S = 100 (1+ 0.50) = $150.00

j = 15% m = 24 i = 15/24 = 0.625% quincenal n = ? t = ? Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [12], se obtiene:

quincenasglo

glon 07693933.65)00625.01(

)100150(=

+=

Para el clculo del tiempo (aos) se utiliza la frmula [4]:

aost aos 711539139.22407693933.65

)( ==

completosaos000000000.2 aos711539139.0 12

meses538469664.8 completosmeses000000000.8 meses538469664.0 30

das15408992.16 RESP.: dasmesesaos 1682

9 Aqu se da la igualdad n = t (das) debido a que el tiempo viene dado en das y la frecuencia de capitalizacin m es igual a 360.

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9

Ejemplo 16 Qu tasa compuesta capitalizable mensualmente le fue cargada a una deuda de $88,500.00, si al cabo de un

ao y medio fue cancelada pagando la suma de $138,029.80?

SOLUCIN:

P = $88,500.00 S = $138,029.80 t = 1.5 aos

j = ? m = 12 n = 1.5 12 = 18 meses

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [14], se obtiene:

%3030.01500,88

80.029,13812 18 ==

=j

Ejemplo 17 Cul sera la tasa de rendimiento anual convertible trimestralmente que obtendra un inversionista si deposita

$370,900.00 con la garanta de que en 15 meses alcanzara la suma de $442,645.00?

SOLUCIN:

P = $370,900.00 S = $442,645.00 t = 15 meses

j = ? m = 4 trimestresn 541215

==

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [14], se obtiene:

%4.14144.01900,370645,4424 5 ==

=j

Ejemplo 18 A qu tasa compuesta convertible semanalmente se aumenta en un 40% una inversin realizada a 2 aos de

plazo?

SOLUCIN:

P = $100.00 (VALOR ASUMIDO. PODEMOS ASUMIR CUALQUIER VALOR PARA P )

S = 100 (1 + 0.40) = $140.00 t = 2 aos

j = ? m = 52 n = 2 52 = 104 semanas Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [14], se obtiene:

%85.161685.0110014052 104 ==

=j

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10

5. EQUIVALENCIA ENTRE TASA DE INTERS SIMPLE Y

TASA DE INTERS COMPUESTO

Se dice que una tasa de inters simple y una tasa de inters compuesto son equivalentes si al invertir dos capitales iguales, uno de ellos a la tasa de inters simple y el otro a la tasa de inters compuesto, alcanzan igual monto al cabo del mismo periodo de tiempo.

Si se invierte un capital "" P a una tasa de inters simple anual "" si y por un tiempo (en aos) "" t , el monto

"" sS resultante se obtiene mediante la frmula: )1( tiPS ss += )(A

Por otro lado, si se invierte el mismo capital "" P a una tasa anual "" j capitalizable ""m veces por ao, es

decir, a una tasa de inters por periodo )("" mjii = , por un nmero de periodos ]["" )( mtnn aos = , el monto "" cS alcanzado se obtiene mediante la frmula:

nc iPS )1( += )(B

Igualando )(A y )(B , se tiene: ns iPtiP )1()1( +=+ )(C

Dividiendo ambos miembros entre "" P y despejando a "" si , se obtiene la frmula que permite hallar una tasa de inters simple anual equivalente a una tasa de inters compuesto conocida:

t

iin

s]1)1([ +

= [15]

Igualmente si en la igualdad )(C se dividen ambos miembros entre "" P y se despeja la tasa de inters por periodo "" i , se obtiene la frmula 1)1( += n s tii

Luego, la tasa de inters compuesto "" j equivalente a una tasa de inters simple conocida se obtiene al multiplicar el valor obtenido de i por la frecuencia de capitalizacin m:

[ ]1)1( += n s timj [16] Ejemplo 19 Qu tasa de inters simple anual es equivalente al 11.2% anual convertible trimestralmente para un plazo de 5

aos?

SOLUCIN:

j = 11.2% m = 4 i = 11.2/4 = 2.8% trimestral t = 5 aos

n = 5 4 = 20 trimestres ?=si

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [15], se obtiene:

%745.1414745.05

]1)028.01([ 20==

+=si

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11

Ejemplo 20 Qu tasa compuesta capitalizable mensualmente es equivalente al 27% simple anual a dos aos y medio de

plazo?

SOLUCIN:

%27=si t = 2.5 aos j = ? m = 12 n = 2.5 12 = 30 meses

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [16], se obtiene:

[ ] %81.202081.01)5.227.01(12 30 ==+=j 6. EQUIVALENCIA ENTRE TASAS DE INTERS COMPUESTO

Se dice que dos tasas de inters anuales con diferentes periodos de capitalizacin son equivalentes si, al invertir dos capitales iguales, se alcanzan montos compuestos iguales al cabo del mismo plazo. Tal situacin se puede verificar si se plantea la inversin a tres (3) aos de plazo de un mismo capital de $10,000.00 a las tasas anuales de 8% anual capitalizable trimestralmente y 8.08% anual capitalizable semestralmente. Como en ambos casos se obtiene el mismo monto compuesto ($12,682.42), se dice que dichas tasas de inters son equivalentes.

Si se invierte un capital "" P a un tiempo de "" t aos y a una tasa anual "" 1j capitalizable "" 1m veces por ao,

el monto compuesto "" 1S resultante se obtiene mediante la frmula [6]:

1)1( 111mtmjPS += )(A

De igual forma, si se invierte el mismo capital "" P a un tiempo de "" t aos y a una tasa anual "" 2j

capitalizable "" 2m veces por ao, el monto compuesto "" 2S resultante se obtiene mediante la frmula [6]:

2)1( 222mtmjPS += )(B

Para tasas equivalentes resultarn iguales )(A y )(B :

21 )1()1( 2211mttm mjPmjP +=+

Dividiendo ambos miembros entre "" P y despejando a "" 1j , se obtiene la frmula que permite hallar una tasa de inters anual "" 1j capitalizable "" 1m veces por ao, equivalente a una tasa de inters anual conocida "" 2j capitalizable "" 2m veces por ao

10:

+= 11

12

2

211

mm

mjmj [17]

10 Si siempre se identifica con j2 la tasa de inters compuesto conocida, entonces invariablemente se podr obtener la tasa de inters equivalente con la frmula de j1 , o sea, con la frmula [17].

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12

Ejemplo 21 Cul es la tasa anual capitalizable trimestralmente equivalente al 22% anual capitalizable mensualmente?

SOLUCIN:

J2 = 22% m2 = 12 j1 = ? m1 = 4

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [17], se obtiene:

%4058.22224058.011222.014

)412(

1 ==

+=j

Ejemplo 22 Cul es la tasa compuesta capitalizable anualmente equivalente al 27% compuesto convertible quincenal?

SOLUCIN:

J2 = 27% m2 = 24 j1 = ? m1 = 1

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [17], se obtiene:

%7991.3030799.012427.011

)124(

1 ==

+=j

Ejemplo 23 Qu es ms productivo: invertir al 32% anual convertible semanal o al 33% anual capitalizable cuatrimestral?

SOLUCIN:

Para hacer la comparacin se debieran tener las 2 tasas expresadas con la misma frecuencia (se usar capitalizacin semanal, aunque se puede usar cualquier otra frecuencia). Como la primera est por semana, slo resta hallar la tasa anual capitalizable semanalmente equivalente a la segunda:

J2 = 33% m2 = 3 j1 = ? m1 = 52

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [17], se obtiene

%4024.31314024.01333.0152

)523(

1 ==

+=j < %32

RESP.: Es ms productivo invertir al 32% anual convertible semanal.

Tulio A. Mateo Duval Inters Compuesto

13

7. TASA DE INTERS NOMINAL Y TASA DE INTERS

EFECTIVA

La tasa anual, independientemente de su frecuencia de capitalizacin ""m , se conoce como tasa nominal "" j . La tasa nominal no refleja directamente la realidad en cuanto a los intereses generados anualmente por un capital, en vista de que, para realizar clculos a inters compuesto, en vez de usar la tasa nominal, se trabaja con una tasa de inters por periodo de capitalizacin o tasa efectiva por periodo de capitalizacin )("" mjii = , designada de esta forma porque es la que realmente acta sobre el capital, mostrando el verdadero inters generado al final de cada periodo establecido. La tasa efectiva por periodo de capitalizacin "" i usualmente se expresa mediante un nmero (en %) seguido del periodo de capitalizacin de los intereses; por ejemplo: 2% mensual, 5% cuatrimestral, 9% semestral o 24% anual.

Una tasa anual muy utilizada por los inversionistas al momento de decidir la colocacin de sus capitales es la

llamada tasa efectiva o tasa efectiva anual "" ej 11, la cual se refiere a la tasa efectivamente ganada o pagada en un

ao. Por ejemplo, la tasa de inters del 27% compuesto convertible quincenal es equivalente a un 30.7991% compuesto anual, es decir, a una tasa efectiva del 30.7991%, tal como se vio en el Ejemplo 22. Sobre ese particular, se debe precisar que, en general, la tasa efectiva "" ej ser mayor que lo expresado por la tasa nominal "" j capitalizable ""m veces al ao, siempre que m > 1, y ser exactamente igual a la tasa nominal si m = 1, es decir cuando la tasa nominal sea capitalizada anualmente.

La relacin entre las tasas nominal y efectiva se puede manejar con la frmula [17], es decir, con la expresin

usada para el clculo de tasas equivalentes, siempre y cuando "" 2j represente la tasa conocida y "" 1j o "" ej la tasa equivalente (nominal o efectiva) a encontrar. Por ejemplo, veamos a continuacin los dos casos posibles:

1. Si se conoce una tasa efectiva (sta se identificara con "" 2j y "" 2m sera igual a 1) y se desea obtener

una tasa nominal (sta se identificara con "" 1j y "" 1m sera su frecuencia de capitalizacin), el caso se resuelve directamente aplicando la frmula [17]; y

2. Si se conoce una tasa nominal (sta se identificara con "" 2j y "" 2m sera su frecuencia de capitalizacin) y

se desea obtener una tasa efectiva (sta se identificara con "" ej 12 y "" 1m sera igual a 1), el caso se resuelve

aplicando la frmula [17], o bien con la expresin simplificada que resulta de sta, al considerar que se va a encontrar una tasa equivalente (efectiva) con una frecuencia de capitalizacin "1" 1 =m :

112

2

2

+=

m

e mj

j [18]

Ejemplo 24 Cul es la tasa efectiva equivalente al 23.7% anual capitalizable trimestralmente?

SOLUCIN:

J2 = 23.7% m2 = 4 je = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [18], se obtiene:

%8908.25258908.014237.01

4

==

+=ej

11 De la tasa efectiva anual o rendimiento anual efectivo tambin puede decirse que es la tasa de inters simple que produce el mismo monto en un ao que la tasa nominal capitalizada m veces al ao. 12 Al hallar una tasa j1 con una frecuencia m1 =1, es decir, una tasa efectiva, se cambia el subndice 1 por e y se representa con je.

Tulio A. Mateo Duval Inters Compuesto

14

Ejemplo 25 Encuentre la tasa de inters capitalizable semanalmente equivalente a una tasa efectiva del 25%.

SOLUCIN:

J2 = 25% m2 = 1 j1 = ? m1 = 52

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [17], se obtiene:

%3623.22223623.01125.0152

)521(

1 ==

+=j

8. ELECCIN ENTRE VARIAS OPCIONES DE PAGO O

ALTERNATIVAS DE INVERSIN A INTERS COMPUESTO

Aqu de lo que se trata es de elegir la forma de pago o la alternativa de inversin que responda mejor a los intereses del que realiza el anlisis, hacindolo esta vez a inters compuesto. Para el caso del pago de una deuda, la evaluacin se realiza comparando los valores actuales (o valores de contado equivalentes) de los pagos correspondientes a las diferentes opciones, eligindose la que envuelva la menor erogacin. Por otro lado, para elegir una entre varias alternativas de inversin, se procede a comparar las tasas de rendimiento o los montos que acumularan tales inversiones al cabo de un periodo de tiempo.

Ejemplo 26 Un seor dispone de 3 formas de pago de un artculo, a saber: a) $7,800.00 de contado; b) $2,000.00 de inicial y

$7,400.00 en 18 meses; o c) $5,000.00 en 4 meses y $3,500.00 dentro de 10 meses. Qu forma de pago es ms conveniente para el seor, suponiendo un rendimiento del dinero del 18% compuesto mensual?

SOLUCIN:

Las 3 opciones de pago no podran compararse tal como estn expresadas, pues los valores envueltos vencen en fechas diferentes. Para poder realizar la comparacin se referirn los pagos a la fecha inicial (ya que en sta es que se debe tomar la decisin) para obtener el Valor de Contado (VC) o Valor de Contado Equivalente (VCE) correspondiente a cada opcin, procedindose luego a seleccionar la que arroje la menor erogacin.

1) OPCIN a

0 meses

j = 18% m=12

VCa

$7,800

VC a = $7,800.00 Este valor permanece igual.

2) OPCIN b

0 18meses

i = 18% m=12

VCE b

$7,400$2,000

35.660,7$)015.01(400,7000,2 18 =++= bVCE

Tulio A. Mateo Duval Inters Compuesto

15

3) OPCIN c

0 4 10meses

i = 18% m=12

VCEc

$5,000 $3,500

76.726,7$)015.01(500,3)015.01(000,5 104 =+++= cVCE

RESPUESTA : Al comparar los valores VCa, VCEb y VCEc, se concluye en que se debera elegir la OPCIN b por involucrar la erogacin de menor cuanta.

Ejemplo 27 Qu forma de pago de las sealadas a continuacin es ms conveniente para el comprador de un solar, si el

rendimiento del dinero es de un 36% nominal mensual?

a) $890,000.00 de contado.

b) 3 pagos trimestrales iguales de $334,300.00 comenzando inmediatamente.

c) $200,000.00 de inicial y 3 pagos semestrales iguales de $280,000.00 comenzando en 2 meses.

SOLUCIN:

Las 3 opciones de pago no podran compararse tal como estn expresadas, pues los valores envueltos vencen en fechas diferentes. Se obtiene el Valor de Contado (VC) o Valor de Contado Equivalente (VCE) correspondiente a cada opcin, procedindose luego a seleccionar la que arroje la menor erogacin.

1) OPCIN a

0 meses

j =36% m=12

VC a

$890,000

VC a = $890,000.00 Este valor permanece igual.

2) OPCIN b

0 3 6meses

j = 36% m=12

VCE b

$334,300 $334,300 $334,300

84.202,920$)03.01(300,334)03.01(300,334300,334 63 =++++= bVCE

Tulio A. Mateo Duval Inters Compuesto

16

3) OPCIN c

0 2 14meses

j = 36% m=12

VCEc

$200,000

8

$280,000 $280,000 $280,000

43.074,870$)03.01(000,280)03.01(000,280)03.01(000,280000,200 1482 =++++++= cVCE

RESPUESTA : Al comparar los valores VCa, VCEb y VCEc, se concluye en que se debera elegir la OPCIN c por involucrar la erogacin de menor cuanta.

Ejemplo 28 Qu resulta ms rentable: efectuar un depsito en un certificado financiero que abona el 17.8% compuesto

quincenal o invertir en un negocio que garantiza que la suma invertida se duplique en 4 aos?

SOLUCIN:

La eleccin se puede efectuar, o comparando tasas de rendimiento o comparando montos. Este ejemplo ser resuelto con los 2 criterios.

1. Comparando tasas:

OPCIN a ja = 17.8% ma = 24 OPCIN b Se calcula la tasa que garantizara que se duplique la inversin jb = ? mb = 24 n = 4 24 = 96 P = $100.00 S= 2(100)=$200.00 Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [14], se obtiene:

%8.17%39.171739.0110020024 96 ==

=bj

RESPUESTA : Al comparar las dos tasas, se concluye en que se debera invertir en el certificado financiero, toda vez que en ste, el rendimiento del dinero sera mayor que si se invirtiera en el negocio (17.8% > 17.39%).

2. Comparando montos: Para efectuar la comparacin, se trabaja con el tiempo de 4 aos y se asume una suma a invertir, por ejemplo

de: P = $10,000.00. Luego para:

OPCIN a Se sustituyen los valores conocidos en la frmula [6], resultando:

16.327,20$)24178.01(000,10 96 =+=aS

OPCIN b Como se estipula que la inversin su duplicar, el monto resultante al cabo de los 4 aos sera:

00.000,20$)2(000,10 ==bS

RESPUESTA : Al comparar los dos montos, se concluye en que se debera invertir en el certificado financiero, toda vez que en ste, el monto alcanzado sera mayor que si el dinero se invirtiera en el negocio ($20,327.16 > $20,000.00).

Tulio A. Mateo Duval Inters Compuesto

17

Ejemplo 29 Ramn Lora se dispone a efectuar un depsito a plazo fijo y como es cliente de dos bancos, duda sobre invertir

en uno o en el otro. Si el Banco Oriental ofrece pagarle un 15% compuesto mensual y el Banco del Caribe, un 14.85% compuesto diariamente, determine en cul banco le resultara ms rentable invertir al Seor Lora, si ambos tienen el mismo nivel de riesgo.

SOLUCIN: La eleccin se efectuar comparando las tasas de rendimiento.

Para realizar la comparacin se debieran tener las 2 tasas expresadas con la misma frecuencia. Para alcanzar ese objetivo, se obtendr una tasa compuesta diariamente que sea equivalente al 15% compuesto mensual.

J2 = 15% m2 = 12 j1 = ? m1 = 360

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [17], se obtiene:

+= 1

1215.01360

)36012(

1j

%85.14%91.141 =j

RESPUESTA : Es ms rentable invertir en el Banco Oriental. 9. DESCUENTO DE PAGARS A INTERS COMPUESTO

La operacin conocida como descuento de un pagar consiste en la negociacin de un pagar antes de su fecha de vencimiento. En sta, el poseedor del pagar lo cede, generalmente a una entidad financiera, a cambio del cobro anticipado del valor del mismo, aceptando un descuento por concepto de los servicios prestados (intereses, comisiones, etc.).

A inters compuesto el descuento de un pagar normalmente se trabaja usando el descuento racional o matemtico. Al emplear la modalidad del descuento racional el clculo del pago anticipado Pd (valor lquido o efectivo del pagar) y del descuento Dr se realiza de la siguiente forma:

1. Para el clculo de Pd se obtiene primero el valor del pagar al vencimiento y luego se halla el valor

descontado o lquido. Esto se efecta en la fecha que se lleve a cabo la transaccin, usando la tasa de inters compuesto aplicable al descuento racional, mediante la frmula:

Pd = S (1 + i ) n VALOR LQUIDO O EFECTIVO DEL PAGARE [19]

2. El descuento racional compuesto Dr , esto es, la diferencia entre el valor de vencimiento del pagar S y su valor descontado Pd (valor lquido o efectivo del pagar) se determinar mediante la frmula:

Dr = S Pd DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO [20]

De esta frmula, despejando se obtiene a Pd y a S , resultando:

Pd = S Dr [21] S = Pd + Dr [22] Otra expresin matemtica para calcular el descuento racional compuesto Dr se obtiene al sustituir la frmula

[19] en la frmula [20]: nr iSSD+= )1(

De donde resulta: ])1(1[ nr iSD

+= DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO [23]

De la expresin anterior se obtiene otra frmula para obtener a S :

])1(1[ n

r

iDS +

= [24]

Tulio A. Mateo Duval Inters Compuesto

18

Ejemplo 30

Maquinarias Pesadas, S.R.L., recibi un pagar (como parte del pago de unos equipos vendidos) por $104,000.00 con intereses al 27.6% anual convertible quincenal y vencimiento en ao y medio. A fin de obtener efectivo, ocho meses antes del vencimiento del pagar, dicha firma lo descuenta en un banco en base a una tasa del 5% bimestral. Determine el descuento racional compuesto y el valor efectivo del pagar.

0

j = 27.6% m =24

S$104,000

i = 1.15%

18 m. =1.5 aos

8 m.Pd =?

P =

i = 5%m = 6

18 m.10 m.

SOLUCIN:

P = $104,000.00 j = 27.6% m = 24 i = 27.6 / 24 = 1.15% quincenal

t = 1.5 aos n = 1.5 24 = 36 quincenas S = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [6], se obtiene el valor al vencimiento del pagar:

89.965,156$)0115.01(000,104 36 =+=S

Para la operacin del descuento del pagar, se tiene:

S = $156,965.89 i = 5% bimestral m = 6 t = 8 m. n = 4 bimestres

Dr = ? Pd = ?

Luego, sustituyendo los valores conocidos en las frmulas [23] y [21], se tienen el valor del descuento racional compuesto y el valor efectivo del pagar:

66.829,27$])05.01(1[89.965,156 4 =+= rD

23.136,129$66.829,2789.965,156 ==dP

Ejemplo 31 Un pagar cuyo valor dentro de 180 das es de $312,500.00, se adquiere hoy por $257,323.00. Con qu tasa

de inters anual convertible semanalmente se descont el pagar?

SOLUCIN:

S = $312,500.00 Pd = $257,323.00 j = ? m = 52 t = 180 das = 0.5 aos n = 0.5 52 = 26 semanas

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [14], se obtiene la tasa de inters buscada:

%3939.01323,257500,31252 26 ==

=j

Tulio A. Mateo Duval Inters Compuesto

19

Ejemplo 32 Un pagar se firm por un valor de $175,000.00 a una tasa anual capitalizada mensualmente y vencimiento en

10 meses. Si a los 7 meses de firmado, el pagar se descont en base a un 27% anual convertible diariamente, provocando un descuento racional compuesto ascendente a $14,125.15, determine: a) El valor liquido del pagar y b) La tasa anual capitalizada mensualmente que devengaba el pagar.

0

Tasa Devengadaj = ? m =12

S$175,000

i = 0.075% n = 90

t =10 m. n =10

3 m.Pd =?

Valor Lquido

P =

j =27%m = 360

10 m.7 m.

Dr =$14,125.15

SOLUCIN:

a) Para la operacin del descuento del pagar, se tiene:

Dr = $14,125.15 j = 27% m = 360 i = 27/360 = 0.075% t = 3 meses

n = 3/12 360 = 90 das S = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la frmula [24], se obtiene el valor al vencimiento del pagar:

94.481,216$])00075.01(1[

15.125,1490 =+

= S

Conocidos los valores de S y Dr , se obtiene a Pd mediante la frmula [21]:

94.481,216$15.125,1494.481,216 ==dP b) Para la deuda sustentada por el pagar (tramo superior del diagrama), se tiene:

P = $175,000.00 S = $216,481.94 t = n = 10 meses j = ? m =12

Luego, sustituyendo los valores conocidos en la frmula [14], se obtiene la tasa de inters pedida:

%80.252580.0100.000,17594.481,21612 10 ==

=j

Tulio A. Mateo Duval Inters Compuesto

20

10. ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES A INTERS COMPUESTO

Una ecuacin de valores equivalentes o ecuacin de valor es la equivalencia financiera planteada en trminos algebraicos de dos conjuntos de obligaciones o flujos de capitales, cuyos vencimientos coinciden o se han hecho coincidir en una fecha de referencia conocida como fecha focal. Normalmente dichos conjuntos estn relacionados a flujos de deudas y de pagos, o bien, uno se refiere a los depsitos y el otro a los retiros efectuados en una cuenta bancaria. El caso tambin se verifica cuando se presentan transacciones en las que un deudor desea reemplazar un conjunto de pagos que debe realizar a un determinado acreedor, por otro conjunto que sea equivalente, pero con otras cantidades y fechas de vencimiento.

Para formular una ecuacin de valor se debe expresar la suma financiera de todos los capitales pertenecientes a

cada conjunto, trasladndolos todos ellos a una cierta fecha, tomando en cuenta el aumento o disminucin del dinero a travs del tiempo. A ese vencimiento o fecha de referencia se le conoce como fecha focal. Despus que se tiene la ecuacin, se procede a despejar la(s) incgnita(s), obtenindose la solucin del problema planteado.

Para viabilizar la comprensin de los problemas financieros que se resuelven con las ecuaciones de valores

equivalentes, se recomienda esquematizarlos, usando los diagramas temporales o diagramas tiempo-valor 13, en donde se establece la fecha focal en la cual se van a igualar los dos flujos de capitales. Es sabido que cuando se trata de inters simple, la solucin de un problema de este tipo vara un poco dependiendo de la localizacin elegida para la fecha focal. En el caso del inters compuesto, por el contrario, dos conjuntos de capitales que son equivalentes en una fecha tambin lo sern en cualquier otra y, por ello, puede seleccionarse cualquier ubicacin para la fecha focal.

Ejemplo 33 Digna Abreu recibi $78,000.00 prestados con intereses al 24% anual convertible mensual, comprometindose a

liquidar dicha deuda mediante 3 pagos: $18,000.00 al cabo de 1 meses, $30,000.00 dentro de 4 meses y un ltimo pago al cabo de 8 meses. Determine la cuanta del tercer pago y el inters total pagado.

Diagrama temporal con la FF establecida a los 8 meses:

0 1

j =24% m = 12 i = 2%

FF

$78,000

4

$30,0008 meses

X$18,000

8 m.

6 m.

4 m.

Ecuacin de valor:

X++++=+ 45.68 )02.01(000,30)02.01(000,18)02.01(000,78

X+= 59.945,5243.389,91

X= 59.945,5243.389,91

84.443,38$=X Valor del pago final

13 Dichos diagramas consisten en una lnea horizontal con una escala de tiempo (en aos, meses o das), en la cual se indican las sumas de dinero de los dos conjuntos de capitales en sus correspondientes vencimientos, representndose uno de los conjuntos con flechas dirigidas hacia arriba del eje del tiempo y, el otro conjunto, con flechas que se dirigen hacia abajo.

Tulio A. Mateo Duval Inters Compuesto

21

Inters total pagado I = Suma de Pagos Deuda

000,78)84.443,38000,30000,18( ++=I

84.443,8$=I Inters total pagado Ejemplo 34 Resuelva nuevamente el Ejemplo 33 situando la fecha focal (FF) a los 4 meses.

0 1

j =24% m = 12 i = 2%

FF

$78,000

4

$30,0008 meses

X$18,000

4 m.

4 m.2 m.

Ecuacin de valor:

45.24 )02.01(000,30)02.01(000,18)02.01(000,78 ++++=+ X

4)02.1(54.913,4871.429,84 += X

X=

4)02.1()54.913,4871.429,84(

84.443,38$=X Valor del pago final 14 Inters total pagado I = Suma de Pagos Deuda

000,78)84.443,38000,30000,18( ++=I

84.443,8$=I Inters total pagado

14 El valor del pago final con F.F a los 4 meses result exactamente igual al obtenido al resolver el ejercicio con F.F. a los 8 meses.

Tulio A. Mateo Duval Inters Compuesto

22

Ejemplo 35 Un seor contrae una deuda que debe saldar mediante dos pagos: $30,000.00 en fecha 12 de junio y $45,000.00

el 10 de diciembre. Si el primer pago no se efectu en la fecha acordada, qu cantidad debera pagar en fecha 5 de noviembre para liquidar completamente la deuda, tomando en cuenta que la tasa de inters acordada era del 54% anual capitalizable diariamente?

Diagrama temporal con la FF establecida en fecha 5 de noviembre:

12/6(163)

j = 54% m =360

FF

$30,000i = 0.15%

t = n = 146 d.

X

$45,000

10/12(344)

5/11(309)

t = n = 35 d.

Ecuacin de valor:

35146 )0015.01(000,45)0015.01(000,30 +++=X

94.038,80$=X Ejemplo 36 Pedro Olivo hizo un depsito inicial de $25,000.00 en una cuenta bancaria que paga el 0.75% quincenal. A los 2

y 6 meses efectu 2 retiros iguales, a los 9 meses deposit $20,000.00 y a los 12 meses extrajo el balance total de la cuenta que era de $24,894.97. Calcular el valor de los 2 retiros iguales.

Diagrama temporal con la FF establecida a los 6 meses:

0 2

i =0.75% m = 24

FF

$20,000

6 12 meses

$24,894.97

X

t = 6 m. n = 12

t= 6 m. n = 12t = 4 m. n = 8

X

$25,000

9

t = 3 m. n = 6

Ecuacin de valor:

128612 )0075.01(97.894,24)0075.01()0075.01(000,20)0075.01(000,25 ++++=+++ XX

93.759,220616.133.468,46 ++= XX

X0616.293.759,2233.468,46 =

X0616.240.708,23 = 00.500,11$=X Valor de los 2 retiros iguales

Tulio A. Mateo Duval Inters Compuesto

23

Ejemplo 37 Una deuda pagadera en 2 partidas iguales de $180,000.00, con vencimiento en 4 y 8 meses, se decide liquidar

mediante 4 abonos semestrales, comenzando a pagar inmediatamente. Si los pagos Nos. 2 y 3 son iguales al doble del primero y, el cuarto, el triple del primero, determine la cuanta de los pagos, si la tasa de inters es del 18% anual convertible bimestralmente.

Diagrama temporal con la FF establecida a los 18 meses:

0 4

j = 18% m = 6 i = 3%

FF

2X

8 18 meses3X

$180,000

t =14 m. n = 7

t = 12 m. n = 6

t = 6 m. n = 3

t = 10 m. n = 5

6 12

$180,000

X 2X

t = 18 m. n = 9

Ecuacin de valor:

57369 )03.01(000,180)03.01(000,1803)03.01(2)03.01(2)03.01( +++=++++++ XXXX

63.046,43031855.23881.23048.1 =+++ XXXX

63.046,4308784.8 =X

40.437,48$8784.8

63.046,430==X

80.874,96$2 =X

20.312,145$3 =X 11. TIEMPO EQUIVALENTE

Se presentan ocasiones en las que un deudor desea sustituir un conjunto de pagos que debe efectuar a un determinado acreedor, por otro conjunto equivalente con cantidades y fechas de vencimiento diferentes. Esta vez de lo que se trata es de reemplazar un conjunto de pagos con diversos vencimientos por un pago nico. La fecha en la cual un conjunto de deudas con distintos vencimientos, se salda mediante un pago nico igual a la suma de dichas deudas, se conoce como fecha de vencimiento promedio de las deudas. Al tiempo que debe transcurrir desde la fecha inicial (o momento actual) hasta la fecha de vencimiento promedio se le conoce como tiempo equivalente.

Es usual que el tiempo equivalente se determine a partir de una ecuacin de valor con fecha focal en la fecha

inicial o momento actual. Tambin es posible calcularlo mediante la frmula [12], si se asume por "" P el valor actual del conjunto de deudas en la fecha inicial y se toma por "" S la suma de las deudas.

Tulio A. Mateo Duval Inters Compuesto

24

Ejemplo 38 Marino Herrera debe pagar $49,000.00 en 9 meses y $78,000.00 dentro de 15 meses. Cul es el tiempo

equivalente (a/m/d) suponiendo un inters del 0.6% semanal?

0

i = 0.6% m = 52

FF$127,000

9 15 meses

t = 9 m. n = 39

$49,000 $78,000

t = 15 m. n = 65

Diagrama temporal con la fecha focal establecida en la fecha inicial:

Tiempo equivalente = ?

t

Clculo de los valores de n: a) semanasn 39521291 == b) semanasn 655212152 ==

A) SOLUCIN MEDIANTE UNA ECUACIN DE VALOR CON F.F. EN LA FECHA INICIAL:

6539 )006.01(000,78)006.01(000,49)006.01(000,127 +++=+ n

87.675,91)006.1(000,127 = n

000,127

87.675,91)006.1( = n

=

000,12787.675,91006.1 gloglon

)006.1(

000,12787.675,91

glo

glon

=

semanasn 48411521.54=

Para el clculo del tiempo (aos) se utiliza la frmula [4]:

aost aos 047771446.15248411521.54

)( ==

completosaos000000000.1 aos047771446.0 12

meses573257356.0 30

das19772071.17

RESPUESTA: dasao 171

Tulio A. Mateo Duval Inters Compuesto

25

B) SOLUCIN MEDIANTE LA FRMULA [12]:

Clculo del valor de la deuda P en la fecha inicial:

87.675,91$)006.01(000,78)006.01(000,49 6539 =+++= P

Considerando que 00.000,127$000,78000,49 =+=S , entonces el valor de n resulta ser:

)006.01(

87.675,91000,127

+

=glo

glon semanasn 48411521.54=

Para el clculo del tiempo (aos) se utiliza la frmula [4]:

aost aos 047771446.15248411521.54

)( ==

completosaos000000000.1 aos047771446.0 12

meses573257356.0 30

das19772071.17

RESPUESTA: dasao 171 Ejemplo 39 (Clculo de la Tasa de Inters a partir de una Ecuacin de Valor) Si un crdito por $75,000.00 se acord cancelar mediante 2 pagos: $43,000.00 al cabo de 8 meses y $41,366.55

dentro de 10 meses, determine qu tasa de inters anual convertible mensual aplicaron al financiamiento.

0

i = ? m = 12

FF

$75,000

8 10 meses

t = n = 8 m.

$43,000 $41,366.55

t = n = 10 m.

Diagrama temporal con la fecha focal establecida al momento de contraerse el crdito:

Ecuacin de valor:

000,75)1(55.366,41)1(000,43 108 =+++ ii

Ante la imposibilidad de despejar a "" i de esta ecuacin, se procede a obtener su valor por tanteo o por tanteo e interpolacin. Asignaremos valores a "" i , sabiendo que lo que se busca es que el primer miembro de la ecuacin resulte igual a 75,000.

Tulio A. Mateo Duval Inters Compuesto

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TANTEO

(%)"" i Valor 1 77,158.38

1.2 75,801.34 1.3 75,132.89 1.4 74,471.06

INTERPOLACIN

1.3 75,132.89 X 132.89 0.1 i 75,000 661.83 1.4 74,471.06

Estableciendo una proporcin con las diferencias (suponiendo una variacin lineal de los valores), se calcula el

valor de x y, a partir de ste, se obtiene el valor de i . Luego con la frmula [2] se obtiene la tasa anual pedida.

02.083.661

89.1321.083.66189.132

1.0=

== xx

%32.102.03.13.1 =+=+= xi

%84.151232.1 ==j Tasa anual convertible mensual 12. PAGOS PARCIALES. REGLA COMERCIAL Y REGLA DE LOS

SALDOS

Los pagos parciales son abonos que efecta el deudor al acreedor antes del vencimiento de una deuda, generalmente buscando reducir los intereses y el saldo con que se liquidara la deuda en su fecha de vencimiento. Los crditos que son objeto de pagos parciales y en los que, finalmente, se requiere obtener la cuanta del pago que liquida la deuda, se resuelven, adems de la forma antes vista, empleando las Regla Comercial y Regla de los Saldos.

Regla Comercial

Con esta regla los intereses se calculan en base a la deuda original y por todo el plazo de la transaccin, y para cada pago parcial, por el periodo comprendido entre las fechas de su realizacin y aquella en que la deuda queda saldada. Luego, el saldo con que se liquida la deuda se obtiene de la diferencia entre el monto de la deuda y la suma de los montos de los pagos parciales. Tal como se realiza a inters simple, resolver un problema usando la Regla Comercial consiste en determinar la incgnita partiendo de una ecuacin de valor con fecha focal en el momento de cancelacin de la deuda.

Regla de los Saldos

Con esta regla, llamada tambin Regla de los Saldos Insolutos o Regla Americana, se calculan los intereses sobre el saldo no pagado o insoluto en las fechas en que los pagos parciales se realizan. Con dichos abonos se salda primeramente el inters generado en el periodo previo al pago y luego, la parte restante, se usa para amortizar la deuda. El pago que finalmente cancela la deuda se obtiene al sumarle al saldo insoluto, correspondiente a la fecha del ltimo abono, los intereses generados en el periodo comprendido entre esa fecha y aquella en que la deuda es cancelada.

Como se observa, el valor de 75,000 se encuentra entre los dos ltimos valores (75,132.89 y 74,471.06), lo cual indica que el valor buscado de

"" i estara entre las tasas 1.3 y 1.4. Luego, probando valores entre 1.3 y 1.4, o mediante la interpolacin, se obtiene el valor buscado de

"" i :

Tulio A. Mateo Duval Inters Compuesto

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Ejemplo 40 Juan Lpez contrajo una deuda por $92,000.00 al 30% anual convertible bimestral a 10 meses de plazo. Si

abona $40,000.00 a los 3 meses y $45,000.00 a los 8 meses, determine el saldo por pagar en la fecha de vencimiento, usando Regla Comercial y Regla de los Saldos.

Regla Comercial

0 3

j =30% m = 6 i = 5%

FF

$92,000

8

$45,00010 meses

X$40,000

t =10 m. n = 5

t=7 m. n = 3.5

t=2 m. n =1

Ecuacin de valor:

X++++=+ 15.35 )05.01(000,45)05.01(000,40)05.01(000,92

X+= 51.698,9490.417,117

X= 51.698,9490.417,117 39.719,22$=X Valor del pago final

0 3

j =30% m = 6 i = 5%

$92,000

8

$45,00010 meses

X$40,000

t =3 m. n = 1.5 t=2 m. n =1t =5 m. n = 2.5

Regla de los Saldos

54.985,98$)05.01(000,92 5.11 =+=S VALOR DE LA DEUDA (CAPITAL+INTERS) A LOS 3 MESES (JUSTAMENTE ANTES

DE EFECTUAR EL 1ER. ABONO)

40,000.00 1ER. ABONO (PAGO INTERS: $6,985.54; AMORTIZACIN: $33,014.46) 54.985,58$'1 =S SALDO INSOLUTO A LOS 3 MESES (VALOR ADEUDADO JUSTAMENTE DESPUS

DE EFECTUADO EL 1ER. ABONO) 52.637,66$)05.01(54.985,58 5.22 =+=S VALOR DE LA DEUDA (CAPITAL+INTERS) A LOS 8 MESES (JUSTAMENTE ANTES

DE EFECTUAR EL 2DO. ABONO)

45,000.00 2DO. ABONO (PAGO INTERS: $7,651.98; AMORTIZACIN: $37,348.02)

52.637,21$'2 =S SALDO INSOLUTO A LOS 8 MESES (VALOR ADEUDADO JUSTAMENTE DESPUS DE EFECTUADO EL 2DO. ABONO)

39.719,22$)05.01(52.637,21 1 =+=X VALOR DEL PAGO FINAL

Comparando los resultados obtenidos se verifica que, cuando se trabaja a inters compuesto, el valor del pago final es el mismo con ambas reglas.

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29

TEMARIO1. Conceptos Bsicos2. Monto o Valor Futuro a Inters Compuesto3. Valor Actual a Inters Compuesto4. Clculo del Tiempo y la Tasa de Inters a partir de la Frmula S = P (1+ i)n 5. Equivalencia entre Tasa de Inters Simple y Tasa de Inters Compuesto6. Equivalencia entre Tasas de Inters Compuesto7. Tasa de Inters Nominal y Tasa de Inters Efectiva8. Eleccin entre varias Opciones de Pago o Alternativas de Inversin a Inters Compuesto9. Descuento de Pagars a Inters Compuesto10. Ecuaciones de Valores Equivalentes a Inters Compuesto11. Tiempo Equivalente12. Pagos Parciales. Regla Comercial y Regla de los Saldos13. Resumen de Frmulas Relativas al Inters Compuesto14. Tabla para el Clculo del Tiempo Exacto entre Dos Fechas