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Congreso Regional de Ciencia y Tecnología NOA 2003 Sección: Educación Ciencias Sociales y Económicas Secretaría de Ciencia y Tecnología, Universidad Nacional de Catamarca - Página 1 -

Producciones Científicas. Sección: Educación, Ciencias Sociales y Económicas

Matemática y creatividad. Plan didáctico integral para la Formación de ingenieros creativos

Autores: Olga Carabús

Dirección: Facultad de Tecnología y Ciencias Aplicadas de la Universidad Nacional de Catamarca. - Avda.

Virgen del Valle 1071. Catamarca. Argentina. CP: 4700.- Teléfono/ Fax: 03833-423023.- E-mail:Olca

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Introducción I. La matemática y la creatividad I.1. ¿Qué es la creatividad?

En estos momentos se habla bastante acerca de la creatividad. Nadie discute la importancia

que tiene la creatividad en distintos ámbitos de la vida humana. Además ya se han estudiado

cuestiones como el cultivo del talento creador, sus obstáculos, la evaluación de la creatividad, la

educación para la creatividad y técnicas y estrategias para incrementar la creatividad.

La creatividad es el proceso de presentar un problema a la mente con claridad (ya sea

imaginándolo, visualizándolo, suponiéndolo, meditando, contemplando, etc.) y luego originar o

inventar una idea, concepto, noción o esquema según líneas nuevas o no convencionales. Supone

una profunda reflexión, que lleva a la persona creadora por caminos nuevos para ella.

Robert Crawford en su libro Techniques of Creative Thinking presenta el método del listado

de atributos que ideó para la educación en la creatividad. Este método, considerado como simple y

eficaz para la innovación, es explicado así: “cada vez que damos un paso lo hacemos cambiando un

atributo o cualidad de algo, o si no aplicando la misma calidad o atributo a alguna otra cosa”.

La mayoría de los productos de la creación, tal como se nos presentan hoy, no se lograron

de una sola vez. Fueron sucesivamente modificándose hasta su actual configuración. Por ejemplo, en


la electrónica, cientos y cientos de científicos e inventores han hecho cada uno un poco en este

campo. Y así la civilización representa la creación en que cada una de las personas ha contribuido.

Las ideas se apilan unas sobre otras y allí está la arquitectura de la creación.

I.2.¿ Qué es lo que vincula a la matemática con la creatividad?

Ya hay literatura abundante referida al aprendizaje de las matemáticas y a su valiosa ayuda

para el desarrollo de la comunicación, el lenguaje, el juicio crítico, el sentido común, el razonamiento

lógico y de acuerdo a aportes científicos recientes, la configuración de conductas. Investigaciones

actuales aseguran que con un entrenamiento diario en las matemáticas se logra un increíble estímulo

cerebral mejorando tanto la capacidad de análisis como la actividad creativa.

La formación escolar tradicional tiende a desarrollar parcialmente nuestra capacidad mental

favoreciendo sólo el desarrollo del hemisferio izquierdo que tiene que ver con nuestro

comportamiento lógico, minucioso y prudente. Y poco se ocupa del hemisferio derecho que tiene que

ver con la creatividad, la intuición y la audacia. Y estamos desaprovechando la potencialidad del

poderoso ordenador que es nuestro cerebro.

Los hemisferios izquierdo y derecho del cerebro tienen funciones totalmente distintas y

procesan información de diferente manera, según los estudios neurológicos. Es fundamental hacer

trabajar estas dos partes en equilibrio y armonía.

La matemática contribuye a la integración del trabajo lógico con el creativo. El matemático y

neurocientífico Stanislas Dehaene, Director de la Unidad de Neuroimagen Cognitiva del Instituto

Nacional de Salud de Francia, estudió la naturaleza de los mecanismos cerebrales relacionados con

el lenguaje y la aritmética. Con las modernas técnicas de exploración de imágenes, y con niños

aprendiendo matemáticas, investigó la estimulación de los lóbulos parietales del cerebro. Y los

cálculos, dice el investigador, estimulan ambos hemisferios, favoreciendo tanto el desarrollo analítico

(regido por el izquierdo) como el creativo (dominado por el derecho). El niño generalmente hace las

cuentas con el auxilio de los dedos de la mano derecha y así estimula especialmente el hemisferio

izquierdo (que controla la parte la parte derecha del cuerpo), que también es el área del lenguaje.

Carlos Rossi, investigador de UTN de Neurosimulación Aplicada y coordinador del Instituto Kumon

Argentina, que aplica un método japonés para la enseñanza de la matemática sostiene que: “La

práctica de la matemática en forma temprana mejora los problemas de comprensión del lenguaje”. El

cálculo mental, estimula el lóbulo frontal y, en particular, la corteza prefrontal izquierda. Las

investigaciones mencionadas aseveran que es en esta parte del cerebro donde se generan las

actividades cognitivas más elevadas del ser humano, como el juicio particular y el sentido común.


Por otra parte el neurocientífico Ryuta Kawashima, de la Universidad de Tohoku, Japón,

descubrió que el lóbulo prefrontal del cerebro se desarrolla más en aquellos que realizan ejercicios

matemáticos con regularidad.

Hasta sostienen, estas reveladoras investigaciones que el estudio metódico de la

matemática pueden cambiar la personalidad de los alumnos. De niños introvertidos y tímidos pasan a

ser más comunicativos, autónomos y responsables.

Y es más, para los adultos también las matemáticas potencian la actividad cerebral, pero los

procesos son más lentos dado que el rendimiento intelectual y la plasticidad neuronal (o capacidad de

las neuronas de formar nuevos circuitos) disminuyen con la edad.

También las matemáticas sirven para el mejoramiento de la autoestima y autoconfianza, que

favorecen el desarrollo intelectual lógico y creativo.

I.3. La enseñanza de la creatividad y la matemática

Donald MacKinnon, de la Universidad de California, habla del desarrollo de la creatividad en

el nivel universitario y lo presenta como un problema con dos aristas: 1) seleccionar al alumno

creativo, no sólo al inteligente, y 2) proporcionar experiencias que aumenten su potencial creativo.

El mismo investigador nos dice que la universidad de su país no está educando para la

creatividad. Y si la universidad quiere educar para la creatividad, continúa, debe atender dos

condiciones básicas: 1) debe admitir como alumnos a aquellos que tengan potencial creativo, y 2)

debe proporcionar a tales alumnos las experiencias que le sirvan para desarrollar cualquier tipo de

potencial creativo que tuvieran.

La realidad por él descripta puede aplicarse a nuestra universidad.

Por otra parte, como los estudios sobre los alumnos muy creativos muestran un amplio

espectro de personalidades creativas, es fácil entender que el desarrollo del talento creativo no

parece ser resuelto por un solo método. Un mismo modo de tratamiento podría producir distintos

efectos. Como “el mismo fuego que ablanda la manteca endurece al huevo”.(1)

Todo el sistema educativo está organizado, y más aún el norteamericano, en función del

talento académico. Deben las instituciones todas y la universidad en especial si quiere formar

ingenieros, médicos y, en general, profesionales creativos repensar sus acciones. Como casi

siempre, las personas creativas son independientes, y esa independencia es la que los hace ideales

para el estudio y la investigación independientes, el sistema debe fomentar esa condición personal.

Estudios realizados sobre los alumnos creativos llevaron a ver que esa independencia fue

fomentada en el seno de su hogar con padres que eran en general personas autónomas y que


apostaron con confianza y responsabilidad a su capacidad para discernir y hacer lo apropiado, dentro

de lo que estaba razonada y perfectamente pautado.

Ese clima familiar detectado en los alumnos creativos del sistema norteamericano, debería

quizás ser estudiado en nuestras realidades, para que las instituciones recreen ese clima apropiado

al desarrollo de la independencia de los alumnos creativos.

Hay que destacar la importancia que tiene la actitud del docente, quien debe saber elaborar

estrategias para generar la autoconfianza de sus alumnos, asignándoles tareas de real importancia

como la de conceptualización y planificación de sus investigaciones para que él mismo sepa formular

sus propios problemas y admita el desafío de resolverlos creativamente.

Pensar en la educación para la creatividad debe ser pensar en compatibilizar los intereses

teóricos con los estéticos. Porque las personas creativas no se conforman con encontrar las

soluciones a sus problemas. Saben buscar lo verdadero y bello. Buscar lo estético en el aprendizaje

de las profesiones es asegurar el incremento del talento creativo de los futuros profesionales.

En general la formación profesional no atiende una liberación del espíritu humano, tan propia

de los sujetos creativos. Deberá la institución universitaria, si quiere atender la formación en la

creatividad, incluir al lado de la formación profesional la formación en áreas de la experiencia humana

para facilitar en el alumno la percepción del significado y a los usos de la analogía, los símiles y las

metáforas, los deleites y posibilidades del juego imaginativo, por ejemplo, con la incursión en campos,

que están más allá de sus propias especialidades.

La creatividad no debe considerarse reñida con la formación del juicio crítico tan buscado en

la enseñanza superior. Deberán ser tratados simultáneamente.

También habrá un lugar para aprender y usar la disciplina y el autocontrol, pero una vez

aprendidos deberán utilizarse de manera flexible y no compulsivamente.

Sugieren los estudiosos de la creatividad, que la característica de intuitivos, de los alumnos

creativos, puede fomentarse con un entrenamiento de la transferencia de un tema a otro, buscando

principios comunes, tratando de encontrar relaciones entre conocimientos diferentes, indicando que

piensen en formas de analogías y metáforas, buscando equivalencias simbólicas de experiencia en la

variedad más grande posible de modalidades sensoriales, usando juegos imaginativos y observando

los hechos estudiados en varias perspectivas o contextos.

Con estas consideraciones es fácil entender que la enseñanza de la matemática en cualquier

nivel y en especial en el universitario puede ser útil en la educación para la creatividad. La

matemática permite al alumno el desarrollo de sus ideas y estimula el redescubrimiento del

conocimiento humano. Desde la mayeútica de Sócrates a los métodos heurísticos de la psicología

cognitiva, aparecen pedagogos, psicólogos y profesores que sostienen lo mismo en diferentes

épocas.


La matemática es una ciencia fundamental para el desarrollo de la sociedad y por ello se

presenta como la acción más creativa del hombre. Y la matemática seguirá creándose mientras exista

un hombre. En esa óptica los alumnos apreciarán las aristas de la creatividad en la matemática.

El aprendizaje de la matemática es un proceso de construcción y a través de ese proceso

pueden, tanto los niños como los jóvenes, con materiales y actividades creativas, con planteos

oportunos y reveladores, estimular el desarrollo de sus ideas, poniendo en funcionamiento sus

estructuras intelectuales.

Al lado del desarrollo intelectual del alumno se logra el desarrollo de la inventiva y los

procesos creativos, la capacidad intuitiva y la argumentación y la formulación matemáticas.

Plantear el aprendizaje matemático como un desafío del pensamiento divergente y

convergente de cada alumno es proponer una matemática movilizadora, estimulante, adecuada al

ritmo de cada alumno y por sobre todo generadora de la autoconfianza en el mejoramiento de sus

talentos intelectual y creativo.

I.4. La evaluación y la creatividad

Los métodos actuales de evaluación son los más nocivos para la creatividad. El principio del

juicio diferido debido a Osborn(1963), usado en la solución creativa de problemas, propone separar la

fase productiva de la fase crítica.

Por otra parte, en el proceso educativo es imprescindible evaluar las adquisiciones y el

desarrollo de los alumnos.

Sin embargo, es posible contribuir al desarrollo de la creatividad a través del proceso

evaluativo si se tienen en cuenta las tres cuestiones esenciales siguientes:

1. La individualización de la evaluación en función de la individualización de los objetivos

de aprendizaje

Como en una enseñanza creativa es el alumno quien debe asumir los objetivos al inicio del

curso, ya tiene una guía que orienta su aprendizaje, sabe lo que se evalúa y por ende considera a la

evaluación como la valoración natural del cumplimiento de esos objetivos.

2. La autoevaluación

Dado que los objetivos son buscados por el propio alumno, es él quien debe asumir un

desempeño activo en el logro de los mismos. La autoevaluación es útil para desarrollar su

independencia y su autoconfianza.

Las experiencias muestran que los alumnos son capaces de autoevaluarse, llegando a ser

mucho más autocríticos y objetivos en los análisis si reciben una adecuada orientación.


En algunas de estas experiencias, al finalizar una unidad temática, se solicita a los alumnos

su autoevaluación, en función del logro de los objetivos propuestos, y la fundamentación de su

calificación. Si la calificación y fundamentación difiere de la apreciación del docente, se realizan

conversaciones para ajustar los criterios de evaluación. También al finalizar una prueba cuatrimestral

o semestral, en otras experiencias, se pide a los alumnos, que señalen la calificación que estiman

que se merecen por sus respuestas. En clases siguientes, se discute, por ejemplo, el contenido de la

prueba y sus respuestas correctas y se solicita nuevamente la calificación de la misma. Luego se

realiza una contrastación de las dos calificaciones propias de los alumnos con la calificación docente

en un proceso de orientación para el aprendizaje de la autoevaluación.

3. El carácter natural y creativo del sistema de evaluación

Si uno de los objetivos de la enseñanza de la matemática es tratar de ser creativos, la

evaluación de tal objetivo debe ser propuesto en su sistema de evaluación.

El alumno al saber lo que se valora, orienta su acción a lo que se aprecia como positivo en la

evaluación correspondiente. Si las actividades de evaluación son eminentemente reproductivas, no se

estimula la creatividad. Por el contrario, el sistema de evaluación debe propiciar la formulación de

problemas o preguntas originales e interesantes sobre los temas evaluados. La evaluación debe

servir para ver el cumplimiento de los objetivos de aprendizaje propuestos poniendo el acento en el

proceso de aprender más que en el de valorar lo aprendido, y a través de los seminarios, tareas u

otras propuestas mejorar el aprendizaje.

I.5. ¿Qué puede hacerse desde la matemática para educar para la creatividad en la educación universitaria?

Uno de los intereses fundamentales de la educación universitaria, y la de todos los niveles,

debe ser la ejecución de programas sistemáticos para enseñar al alumno cómo pensar. Pero nuestra

educación nos entrena a pensar de manera analítica o deductiva, para enjuiciar o evaluar, mientras

deja de lado el pensamiento sintético o creativo.

Hay un mito, recientemente destruido que el talento creativo es patrimonio de unos pocos y

que tiene que ver más bien con las artes o las letras. Hoy sabemos que todos podemos aprender a

ser creativos y formarnos en la creatividad echando mano a cualquier disciplina.

La matemática puede servir mucho a la creatividad. En efecto, si atendemos a las cualidades

creativas, una mente activa y curiosa, una insatisfacción constructiva, la tendencia a concretar lo

ideado, un buen acopio de conocimientos fundamentales y una actitud deliberada y organizada ante

un problema, puede verse claramente que las mismas pueden desarrollarse con el quehacer

matemático.(2)


La Ingeniería de Valores, desarrollada por Lockheed Aircraft Corporation de Georgia,

Estados Unidos, y que persigue a través de creatividad la reducción de los costos industriales, ha

establecido cinco fases para su trabajo: información, especulación, análisis, decisión y ejecución.

Estas fases pueden corresponderse directamente con las fases de un enfoque creativo: definición del

problema, búsqueda de los métodos de solución, evaluación de las ideas, selección y desarrollo de

las ideas y ejecución de la solución.

Todas estas fases de trabajo intelectual planteadas para el logro de la creatividad se

corresponden con las etapas que Polya plantea para la resolución problemas en matemática (3)

Basta entonces repensarlas para que al lado del pensamiento lógico y matemático ó

convergente, se ejercite el pensamiento lateral o divergente al tratar la matemática en cualquier nivel

de enseñanza.

I.6. Una propuesta en la Universidad Para el desarrollo del Cálculo Diferencial e Integral de la Universidad Nacional de

Catamarca, asignatura básica de las carreras de Ingeniería, se pensó un sistema didáctico integral para abordar su aprendizaje creativamente y orientar así la formación de profesionales creativos.

Teniendo como marco referencial a los estudios sobre la educación de la personalidad y la

creatividad llevados a cabo en distintos centros de formación, se propicia un plan didáctico integral,

que diseña y estructura los elementos esenciales del proceso enseñanza- aprendizaje de la

asignatura. Este plan didáctico general tiene en cuenta los siguientes puntos:

Los objetivos de la asignatura son presentados a los alumnos al inicio del ciclo lectivo

para su selección y jerarquización, en un proceso de negociación docente-alumno y de apropiación

del alumno

Los contenidos de enseñanza se acomodan a esos objetivos

Los métodos de enseñanza son eminentemente activos o productivos y se basan en la

enseñanza problémica, los juegos profesionales, las simulaciones, las dinámicas de grupos y otros

recursos que faciliten la adquisición de capacidades cognitivas diversas y específicamente las de tipo

creador

Las actividades para el alumno tienen un carácter productivo y no reproductivo, a

través de problemas de descubrimiento y de solución creativa

La diversidad de las actividades debe permitir su libre elección por parte del alumno

(diseño y ejecución de proyectos, ensayos, resolución de problemas por caminos alternativos,

estrategias y técnicas de dinámica de grupos, seminarios, coloquios, uso de soportes informáticos,

polémica, discusión bibliográfica, etc.)


Flexibilización de la evaluación y diversificación de sus instrumentos de evaluación y

espacio para la autoevaluación con la complementación de la evaluación de carpetas o portafolios

Establecimiento de un clima creativo para el proceso de enseñanza- aprendizaje a

través del uso de un sistema de comunicación que facilite y movilice hacia la creatividad y se centre

en las necesidades y posibilidades del alumno

Un sistema de recompensas (créditos para la aprobación y / regularización, por

ejemplo) a los alumnos no sólo por los resultados sino los procesos usados, que ayude al logro de la

autoconfianza necesaria para la creatividad

Un ejercicio docente orientado a desarrollar las potencialidades creativas para que el

profesor se convierta en un modelo de creatividad para el joven

Una concientización institucional de la necesidad de la formación de profesionales

creativos y de apoyo hacia la reconversión de la enseñanza- aprendizaje en este objetivo

La experimentación didáctica que se lleva a cabo en la Universidad se realiza en la

inteligencia de avanzar hacia un modelo de universidad que atienda la formación de profesionales

creativos. Y por ello habrá que repensar los nuevos contextos y los nuevos paradigmas relativos al

currículo deseable, las nuevas pedagogías y los programas académicos versátiles, las actitudes de

los actores y la gestión institucional, para ir configurando la universidad creativa y de servicios de la

que nos habla Pérez Lindo en su libro Políticas del conocimiento, educación superior y desarrollo. (4)

Referencias bibliográficas

(1) Davis, G.; Scott, J. (compiladores). Estrategias para la creatividad; Centro Regional de

Ayuda Técnica, Agencia para el Desarrollo Internacional (AID), E.E.U.U. y Editorial Paidos, Bs. As. (2) Davis, G.; Scott, J. (compiladores). Estrategias para la creatividad; Centro Regional de

Ayuda Técnica, Agencia para el Desarrollo Internacional (AID), E.E.U.U. y Editorial Paidos, Bs. As. (3) Polya, George; Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas. México.1981.

(4) Pérez Lindo, A.; Políticas del conocimiento, educación superior y desarrollo. Editorial

Biblos. Educación y Sociedad. Bs. As. 1998

Bibliografía

. Hernández Fernández H.; Delgado Rubí, J. y Fernández de Alaíza, B. 1997 “Cuestiones

de didáctica de la Matemática” Homo-Sapiens Ediciones. Rosario Argentina.

. Lundgren, Ulf P. Teoría de curriculum y escolarización. Madrid. Morata. 1992 (pp. 13-34)


. Mason, John; Burton, Leone; Stacey, Kaye. “Pensar matemáticamente” M.E.C. Edit. Labor.

Barcelona. 1992.

. Mitjáns Martínez, A. Creatividad, personalidad y educación. Editorial Pueblo y Educación.

La Habana. Cuba. 1995.

. Mitjáns Martínez, A.; Betancour Morejon J.; de la Torre, S. y otros. Pensar y crear.

Estrategias, métodos y programas. Editorial Academia. La Habana, Cuba. 1994.

. Pérez Lindo, A. Políticas del conocimiento, educación superior y desarrollo. Editorial Biblos.

Educación y Sociedad. Bs. As. 1998

. Pérez Pantaleón, G.. Metodología de la Enseñanza de la Matemática (I, II, III y IV) .

Universidad Nacional de Tucumán. 2001

. Vosahlo, G. Apuntes para el curso de Aprendizaje y Creatividad. Universidad Nacional de

Tucumán. 2002.

. Aceñolaza, N; Scaglia A.; Urquiza, N.. Creatividad. CENEDIT y REUN.Universidad Nacional

de Catamarca.2002

II. Plan Académico para la enseñanza- aprendizaje a través de la creatividad

Cátedra: Cálculo Diferencial e Integral

Carrera: Ingeniería en Informática

Universidad Nacional de Catamarca

Docente: Olga Carabús

DISEÑO DEL PLAN DIDÁCTICO INTEGRAL 1. FUNDAMENTOS

Dentro del marco teórico que propicia una formación universitaria orientada a la creatividad,

esto es, hacia la capacitación creativa en las diversas especialidades y la graduación de los

necesarios profesionales creativos que la sociedad de hoy requiere, se intenta replantear la

enseñanza- aprendizaje del Cálculo Diferencial e Integral a través de un sistema didáctico integral.

Como se aplica en la Carrera de Ingeniería en Informática, es oportuno recordar lo que Von

Karman dice: “mientras los científicos exploran lo que es...el ingeniero crea lo que nunca ha sido”. En

efecto, en todos lados pueden encontrarse ejemplos de ingeniería creativa, desde un satélite en

órbita a las computadoras más inteligentes y pequeñas.

Como el Cálculo Diferencial e Integral de una función de una variable real o Análisis

Matemático I es el soporte más firme para los estudios específicos de las carreras técnicas y


profesionales, bien puede orientar el hacer de los futuros profesionales. De allí la necesidad de

incursionar con esta asignatura en la creatividad.

Por su doble finalidad, la una, como asignatura formadora de las estructuras del

pensamiento, de las capacidades para argumentar y razonar y de habilidades propias de la tarea

matemática, y la otra, como instrumento básico para el aprendizaje de otros conocimientos

específicos se torna factible incorporar en ella una orientación hacia la formación creativa del

Ingeniero en Informática.

Adonde quiera que se desempeñe el graduado de una carrera tecnológica en general y de

Informática, en particular, requerirá de los aportes del Cálculo, y por sobre todo de su pensamiento y

lenguaje para la comprensión y estudio de los fenómenos del cambio: lenguaje y pensamiento

variacional, que un lenguaje matemático particular. Al mismo tiempo requerirá de la creatividad para

el ejercicio profesional que bien puede irse desarrollando en la formación universitaria.

En la Informática, a través del uso de las calculadoras gráficas y de los sistemas de

cómputo, se encuentran modelos creativos que pueden orientar la educación en la creatividad.

También puede recurrirse al juego dialéctico objeto-instrumento de los objetos matemáticos y el uso

de la diversidad de marcos y registros y sus respectivas traducciones. En fin, los contenidos

curriculares tradicionales del Cálculo con un nuevo enfoque metodológico que permite el uso no sólo

del pensamiento matemático y lógico sino también del pensamiento divergente y creativo.

El sistema didáctico integral ideado para la experiencia es un sistema de objetivos,

contenidos (sistema de conocimientos, habilidades y actitudes), metodologías y estrategias de

enseñanza y evaluación y recursos didácticos, bajo la concepción de un aprendizaje del Cálculo

como facilitador y movilizador para el pensar y el crear. Esto es que el estudiante construya el Calculo

a través del ejercicio del pensamiento lógico, matemático ó vertical y del pensamiento lateral,

divergente ó creativo.

Como en todo sistema, cada una de las partes o subsistemas, son estructural y

funcionalmente dependientes.

2. DESCRIPCIÓN 2.1. OBJETIVOS

El plan tiene como objetivo general la reconversión del aprendizaje del Cálculo a través de la

formación en la creatividad del estudiante para orientarlo hacia un ejercicio profesional creativo que

sepa aprovechar la creatividad inherente en la Informática, en este caso.

El subsistema de objetivos específicos está conformado por los objetivos instructivos y los

objetivos educativos. Se han llamado objetivos educativos a los más generales y están referidos a las


actitudes que el alumno debe lograr al terminar de cursar la asignatura: convicciones, capacidades,

cualidades de carácter. Los objetivos instructivos son más específicos y hablan de conocimientos y

habilidades que el alumno logra y hablan de competencias en el dominio cognitivo y psicomotor.

Así se espera que el estudiante al aprender Cálculo Diferencial e Integral:

(Objetivos educativos)

Seleccione y jerarquice los objetivos planteados en la asignatura

Autogestione el logro de los objetivos planteados y autoevalúe sus logros en función

de estos objetivos

Desarrolle habilidades y ejercite estrategias creativas para la resolución de problemas

del Cálculo Diferencial e Integral de una función de variable real

Desarrolle habilidades y ejercite estrategias, métodos y técnicas participativas del

pensamiento lateral para la resolución de problemas del Cálculo Diferencial e Integral de una función

de variable real

Desarrolle habilidades para la apropiación de la nueva tecnología (ordenadores,

calculadoras graficadoras, y otros soportes tecnológicos) como un instrumento para un mejor

aprendizaje del Cálculo, descubriendo las analogías con los métodos tradicionales

Aplique métodos, reglas y técnicas heurísticas para descubrir los conocimientos del

Cálculo

Desarrolle destreza para los juegos de simulación y técnicas de la dinámica de grupos

Dimensione la importancia del Cálculo Diferencial e Integral para el estudio de

innumerables fenómenos científicos y tecnológicos y el análisis del comportamiento de variables de

diversos campos del conocimiento humano, apreciando su creatividad.

Reconozca el papel del Cálculo en nuestra cultura, y el valor que tiene como

herramienta y como lenguaje al mismo tiempo que descubra las innovaciones que su conocimiento

aporta

Aprecie el aporte científico y creativo de los matemáticos a lo largo de la historia

Logre confianza en el uso del Cálculo para resolver problemas, comunicar ideas y

razonar de maneras alternativas

Logre entusiasmo, interés, curiosidad e inventiva al hacer matemáticas

Revise y reflexione sobre su propio pensamiento y su actuación contrastando sus

producciones con las de sus compañeros

(Objetivos instructivos)


Adquiera los conceptos fundamentales de la teoría de funciones de una variable real y

los procedimientos inherentes a los mismos.

Elabore modelos matemáticos que le permita estudiar y comprender fenómenos de la

vida real y de otros campos científicos y ejercitar sus potencialidades creadoras

Se inicie en el ejercicio de la forma abstracta y axiomática del razonar matemático

mediante riguroso desarrollo teórico, y además use el pensamiento lateral

Utilice las distintas estrategias del razonamiento lógico o convergente (inductivo,

deductivo, de análisis y síntesis) para reconocer patrones, elaborar conjeturas, verificar una

conclusión, juzgar la validez de un argumento y construir argumentos válidos al mismo tiempo que las

estrategias del pensamiento lateral o divergente.

Utilice los caminos del pensamiento divergente o creativo simultáneamente al

pensamiento convergente o lógico en la resolución de las situaciones problemáticas

Utilice el lenguaje matemático para comunicar ideas y aproveche los distintos marcos y

registros en que puede presentar una misma información

2.2. CONTENIDOS

• CONOCIMIENTOS Los conocimientos a adquirir están condensados en el programa académico y de examen

que se anexa. Para la selección y secuenciación de los contenidos se han tenido en cuenta razones

epistemológicas, cognitivas y didácticas.

• HABILIDADES El sistema de habilidades, que integran los contenidos de la asignatura, contiene:

habilidades para el ejercicio del pensamiento dialéctico, en la concepción de que el

conocimiento matemático no es acabado e inmutable, sino que está en constante crecimiento

destrezas en los modos o estilos del pensar matemático

destrezas en estrategias del pensamiento lateral o divergente

destrezas en los métodos de cálculo manuales y electrónicos

habilidades para interpretar y discutir los resultados de las situaciones planteadas

habilidades para captar por la vía sensorial las representaciones gráficas determinados

conceptos del Cálculo

habilidad para establecer los criterios de razonabilidad en los resultados


habilidad para establecer con perspicacia y creativamente modos no convencionales

de soluciones a los problemas planteados

• ACTITUDES El sistema de actitudes contiene a la de:

admiración y ponderación del uso del Cálculo Diferencial e Integral para el estudio de

innumerables fenómenos científicos de diversos campos del conocimiento humano

curiosidad por el aporte creativo del Cálculo

reconocimiento del papel del Cálculo en nuestra cultura y su valor como herramienta y

lenguaje

curiosidad por el aporte creativo y científico de los matemáticos a lo largo de la historia confianza en el uso del Cálculo para resolver problemas, comunicar ideas, argumentar

y razonar de maneras alternativas

entusiasmo, interés, curiosidad e inventiva al hacer matemáticas reflexión y revisión sobre su propio pensamiento y su actuación y de apreciación y

tolerancia por el juicio y pensamiento ajeno

aprecio por los aportes de la tecnología y de reconocimiento de la creatividad

subyacente en ella

solidaridad y comprensión por las ideas de sus pares

2.3. MÉTODOS Y RECURSOS DE ENSEÑANZA Enfoque metodológico del Cálculo

Si bien los contenidos son los tradicionales del Cálculo en una Universidad, en el abordaje

de los mismos se sigue los lineamientos del movimiento actual de reforma de la enseñanza del

Cálculo y se tienen en cuenta los aportes de la Didáctica Matemática, más precisamente de la

Ingeniería Didáctica de la Escuela Francesa.

En este presente ciclo se experimenta con la enseñanza de creatividad en la necesidad de

sostener la formación profesional creativa del ingeniero en Informática.

Atendiendo a lo expuesto por distintos investigadores, en cuanto a que la enseñanza de los

principios del Cálculo es problemática y a la dificultad que los estudiantes tienen de alcanzar una

comprensión satisfactoria de los conceptos y métodos del pensamiento de este campo de la

matemática, esta Cátedra dedicará atención a los problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos

de su aprendizaje.


Dada la insatisfacción de los logros en el campo conceptual del Cálculo, como se demuestra

en la obra “Advanced Mathematical Thinking” (Tall,1991), las estrategias adoptadas son las

siguientes:

Dar énfasis a lo conceptual, y las definiciones y teoremas se presentan formalmente,

no informalmente, para contribuir activamente al desarrollo de las estructuras básicas del

pensamiento matemático

No renunciar al rigor matemático en el tratamiento del Cálculo, al mismo tiempo que

buscar el sentido del mismo y hacer la presentación de los temas de la manera más atractiva posible.

Dar especial atención a los modelos matemáticos que puedan construirse con las

aplicaciones de los contenidos del Cálculo a la vida real.

Incorporar la tecnología, a través de graficadoras y calculadoras y los Sistemas de

Cálculo Simbólico en la PC, para mejorar la enseñanza – aprendizaje del Cálculo

Atender especialmente el uso del lenguaje matemático, y a la construcción de

argumentos a través de las conclusiones que se realizarán cada vez que se planteen y resuelvan

situaciones problemáticas.

Asumir la enseñanza de la creatividad a través del Cálculo y así contribuir a la

formación de ingenieros creativos

Métodos y recursos de enseñanza

Se dará énfasis a los métodos de enseñanza eminentemente activos o productivos y que se

basan en la enseñanza problémica, los juegos profesionales, las simulaciones, las dinámicas de

grupos y otros recursos que faciliten la adquisición de capacidades cognitivas diversas y

específicamente las de tipo creador.

Así las actividades para el alumno tienen un carácter productivo y no sólo reproductivo, a

través de problemas de descubrimiento y de solución creativa, planteando programas heurísticos

sobre los aspectos más notables de la asignatura.

La diversidad de las actividades deberá permitir su libre elección por parte del alumno

(diseño y ejecución de proyectos, ensayos, resolución de problemas por caminos alternativos,

estrategias y técnicas de dinámica de grupos, seminarios, coloquios, uso de soportes informáticos,

polémica, discusión bibliográfica, etc.)

Por otra parte, el énfasis puesto en lo conceptual del Cálculo, en lugar del fuerte peso dado a

lo procedimental, ha llevado a un replanteo de las actividades.


Para la presentación de los temas se usa la modelización de los conceptos principales, esto

es la referencia a sus aplicaciones en diversos campos, buscando conciliar el sentido y el rigor

matemático.

El planteo de situaciones problemáticas es el eje de la actividad del alumno que aprende el

Cálculo.

El aprovechamiento de la tecnología en la enseñanza-aprendizaje del Análisis Matemático

sólo busca el mejoramiento de los rendimientos académicos de los alumnos. Las calculadoras

gráficas o graficadoras manuales son poderosos instrumentos para el aprendizaje por cuanto

permiten ejercitar el recurso de la visualización para una mejor comprensión de los temas, al mismo

tiempo que posibilitan la experimentación y reflexión de los alumnos. La simulación es otro recurso

que aprovecha la tecnología y permite el abordaje significativo de contenidos del Cálculo.

Los soportes informáticos- Derive y Mathematica- son usados al finalizar el curso con la

intención de lograr una mejor comprensión de los temas, facilitando el trabajo autónomo de los

alumnos y la interacción grupal al plantearse proyectos en equipos. Estos proyectos requieren de la

formación específica en el Cálculo y dejan un espacio para el ejercicio de la creatividad en la

búsqueda de soluciones.

La elaboración y presentación de los proyectos debe ser creativa, basada en estrategias que

a lo largo del año y en espacios especiales se han desarrollado: lectura crítica y creativa de artículos

y documentos varios relativos al tema del Cálculo y comparación con la lectura reproductiva,

ejercicios para pensar y crear, debates científicos guiados por el profesor, polémicas, estrategias de

la dinámica de grupos y problemas de simulación y modelización, juegos de roles, etc.

En general, se incorporarán métodos y técnicas específicas que permitan romper esquemas

y generar nuevas formas de enfocar los problemas, así como de estimular el pensamiento divergente,

de manera efectiva. Los métodos y técnicas que se usan para la solución creativa de problemas son:

los Grupos Nominales, la Tormenta de Cerebros, la Sinestesia, el anti-éxito y las técnicas de De

Bono: Positivo, Negativo e Interesante (P. N. I.), Considerar todos los factores (C. T. F),

Consecuencias y secuelas (C y S), Prioridades básicas( P.b) y Otros Puntos de vista (O.P.V.).

2.4. EVALUACIÓN La evaluación de la enseñanza-aprendizaje en el Cálculo se realizará de manera

permanente, atendiendo no sólo los resultados del aprendizaje sino los procesos del mismo.

En cuanto a las modalidades de la evaluación a aplicar serán: la diagnóstica, en cada clase y

al concluir un tema o unidad didáctica, la formativa de manera permanente y la sumativa, en las

instancias previstas para la medición de los logros de aprendizaje de los alumnos.


Se iniciará al alumno en la autoevaluación procesual con la evaluación por carpetas o de

portafolios. Se realizó una microexperiencia con la enseñanza de las Técnicas de Trabajo Intelectual

para los ingresantes a la Facultad. Esta experiencia se extenderá a la autoevaluación del proceso de

aprendizaje del Cálculo.

Se darán evaluaciones individuales y grupales. La elaboración y evaluación de proyectos

creativos se realizará en grupos.

El coloquio final de un seminario sobre el tratamiento del Cálculo con tecnología, se evalúa

grupalmente.

Los instrumentos de evaluación a usar durante el año son varios:1) test ó pruebas escritas

cerradas o con respuestas restringidas para la resolución de ejercicios y problemas del tipo de los

desarrollados en las clases de trabajos prácticos, 2) test ó pruebas de completamiento o ítems de

opción múltiple sobre lo conceptual y lo conceptual-procedimental, 3) encuestas sobre las actitudes

de los docentes y alumnos y clima de las clases prácticas y teóricas para la autoevaluación de cada

docente y alumno, 4) registro de observaciones sobre la participación en las actividades desarrolladas

para el abordaje de la creatividad, 5) debate científicos para la discusión y argumentación de puntos

de vista, 6) instrumentos de evaluación preparados específicamente por la Cátedra para la medición

de los logros de aprendizaje de los alumnos (elaborados en base a tablas de especificaciones

armadas de acuerdo a los aspectos a investigar y relevados y procesados de acuerdo a normas de la

estadística ), 5) carpetas o portafolios para la autoevaluación procesual (portfolio evaluation), 6)

exposiciones orales problémicas y o heurísticas, 7) coloquios para exposiciones investigativas, y 8)

registro de participación en juegos, metáforas y otras estrategias creativas

La diversidad de actividades y de instrumentos de evaluación de las mismas obedece a uno

de los principios rectores del plan didáctico integral diseñado para el abordaje de creatividad.

2.5. CONDICIONES PARA LA PROMOCIÓN Y/O REGULARIZACIÓN

El alumno logrará la promoción de la asignatura en su condición de alumno regular con:

una asistencia a las clases teóricas del 80% que se controlará y autoevaluará con

ejecución de los portafolios o carpetas

una asistencia a las clases de trabajos prácticos superior al 80% y evaluación grupal

de los mismos

la ejecución de todos los trabajos prácticos planteados por la Cátedra

la aprobación de todos los exámenes parciales e integrales con el 60% de los

problemas correctamente resueltos


la ejecución de un proyecto en equipo, planteado por la Cátedra, que se expondrá en la

forma de coloquio

la ejecución grupal de las actividades para el abordaje creativo de temas del Cálculo

una autoevaluación del logro de los objetivos asumidos en el inicio del ciclo lectivo

un examen final que abarcará los aspectos conceptuales y procedimentales de la

asignatura, previa regularización de la misma con el cumplimiento de los requisitos descriptos antes.

Alumnos libres

El alumno que optare por la condición de alumno libre, en esta asignatura, deberá aprobar

un examen integral oral sobre aspectos conceptuales pedidos por la Cátedra y un examen integral

escrito sobre la totalidad de los trabajos prácticos desarrollados en el ciclo lectivo, antes del examen

final en la fechas ordinarias. Ambos exámenes serán eliminatorios y se aprobarán con un puntaje

mínimo del 70%.

Dada la inclusión de la enseñanza de la creatividad se solicitará al alumno un planteo

creativo para un tema del Cálculo. Por ejemplo: 1.¿En qué cambia el mundo con la derivada de una

función?; 2.¿Cómo encuentra la derivada de una función una computadora?; 3. Si yo fuera una

parábola... .;4. ¿Para qué me sirven las funciones?

La recepción de la inscripción para examen libre deberá realizarse con una antelación de

quince días a la fecha del examen final.

EJECUCIÓN DEL PLAN Para llevar a cabo el presente plan didáctico integral se llevarán a cabo las siguientes

acciones:

Presentación de la asignatura y de su importancia para la profesión elegida a través

de una conferencia orientadora por parte de la titular de la Cátedra. Se realizará también la

presentación del plan académico a los estudiantes (objetivos, contenidos, métodos y técnicas de

estudio y evaluación, condiciones para la acreditación de la asignatura y normas de convivencia para

un clima acogedor y creativo). En un trabajo de taller y a través de un plenario (con la estrategia de

discusión plenaria) se buscará la implicación con los objetivos de la asignatura por medio de la

selección y jerarquización de los mismos. Esta selección y jerarquización se ajustará a medida que se

desarrolle el plan académico. En esta primera jornada se explicitará la importancia de la incorporación

de la formación creativa de un ingeniero al lado de su formación profesional específica.

Discusión de la adecuación de los contenidos y actividades a desarrollar para lograr los

objetivos asumidos mostrando la necesidad de su compromiso y responsabilidad con lo propuesto y

definiendo claramente los roles de cada uno de los estudiantes y de los profesores.


Indicación de los métodos y técnicas a emplear para poner en juego el pensamiento

vertical o lógico y el pensamiento lateral o divergente. Los métodos más convenientes a aplicar serán

los que permiten el trabajo productivo, individual y grupal, con especial énfasis en la resolución

creativa de problemas (subdivisión en subproblemas o disminución de las dimensiones y / o

cantidades, generación y comprobación, por ejemplo), para la conceptualización de los objetos

matemáticos (estrategias de Bruner para la conceptualización de la noción de rectas asíntotas a la

gráfica de una función, usando tarjetas o imágenes preparadas a tal fin, por ejemplo) y las estrategias

analíticas, asociativas, estructurantes, metafóricas, inferentes y sus combinaciones. La confección de

matrices de descubrimiento, análisis morfológico, análisis funcional y la técnica del circumrelator se

usarán como estrategias para el trabajo productivo y creativo. También se usará la sinestesia o

estrategia analógica.

Se ejercitarán las técnicas del juicio diferido y de revisión de supuestos con actividades

especialmente preparadas en cada guía de trabajo práctico. La necesidad de ejercitar la imaginación

y la producción de ideas en los temas del Cálculo hará que se recurra a posponer la etapa crítica a la

productiva en las tareas asignadas, no cerrando las mismas y dando espacios para nuevas

soluciones o ideas creativas. La revisión de supuestos también será una estrategia creativa para la

solución de problemas. En el anexo se adjunta la Guía de Trabajo Prácticos Nº 1.

Las actividades se prepararán en guías de trabajo que se resolverán grupalmente. En

la puesta en común se aplicarán las técnicas de OPV , CTF, PNI entre otras. Se dará en ellas un

espacio especial al trabajo creativo grupal e individual. Las producciones se presentarán para su

control como carpeta o portfolio para registrar la autoevaluación procesual. Esta carpeta constará de

las siguientes secciones: I- Mis notas o apuntes, II- Mis producciones III- Novedades, IV- Controlo mis

objetivos y V- Carta a mi profesora.

La bibliografía específica para la creatividad se dará junto a la de formación específica

del Cálculo.

La evaluación y la autoevaluación se realizarán permanentemente con distintos

instrumentos (resolución de problemas, lectura crítica y creativa, seminarios, trabajos grupales,

ejercicios de supuestos y de juicio diferido) y se realizará individual y grupalmente. Se incorporará la

evaluación de carpetas o “portfolio evaluation”.

Se ha previsto sortear los obstáculos a través de diferentes técnicas creativas como el

trabajo grupal, el reconocimiento de las fortalezas intelectuales a través de una ponderación de los

tipos de inteligencia (inteligencias de Gadner), talleres vivenciales y juegos creativos y ejercicios de

lectura creativa y lectura crítica

Algunas consideraciones sobre la experiencia


Esta experiencia se asentará en una ambientación realizada con los ingresantes a la

Facultad en Técnicas de Trabajo Intelectual, en la que a partir del tratamiento de técnicas de estudio,

desde los distintos tipos de inteligencia, se ha concientizado sobre la importancia de la ejercitación

tanto del pensamiento lógico o convergente y lateral o divergente. Esto es el ejercicio de los dos

hemisferios cerebrales de acuerdo a los aportes neurológicos recientes.

Nota: Se agrega un anexo que contiene el programa de contenidos y la primera guía de

trabajos prácticos. En ella se incursiona en algunas técnicas para el aprendizaje de la creatividad.

Otras se irán incorporando en las siguientes guías. En esta guía se ha recurrido a estrategias para la

solución creativa de problemas como el análisis de fines y medios, generación y comprobación o

subobjetivos (II. ejercicio 1 de la Guía adjunta, resuelto), estrategias analíticas como las matrices de

descubrimiento (el mismo ejercicio) y análisis funcional con el planteo de: “¿Para qué me sirve el

Cálculo?”. La lectura crítica y creativa también están planteadas y actividades creativas como la

observación de una imagen con preguntas y supuestos de causas y consecuencias.

En la guía siguiente se piensa recurrir al análisis funcional con el planteo de: ¿Para qué me

sirve una función? Y al análisis morfológico para que una relación sea una función y para que una

función sea continúa en un punto.

Las técnicas para la solución creativa de problemas se irán aplicando conjuntamente con las

técnicas de trabajo grupal y las que facilitan la asimilación del conocimiento (técnicas de

presentación, expectativas de los participantes, etc. y de pequeños grupos, plenaria, método

problémico, método de la rejilla, etc.)


ANEXO UNCa. Facultad de Tecnología y Ciencias Aplicadas Carrera: Ingeniería en Informática Cátedra: Análisis Matemático I- Profesora : Olga Carabús Trabajo Práctico N° 1 Temas :

¿Para qué me sirve el Cálculo Diferencial e Integral? Números Reales y desigualdades. Valor absoluto de los números reales. Gráficas

de ecuaciones e inecuaciones.

I-Introducción El Análisis Matemático I o el Cálculo Diferencial e Integral de una función de una variable

real, nos proporciona herramientas matemáticas para estudiar el cambio.

Y como sabemos, este concepto aparece íntimamente ligado con la física, la biología, la

economía...y está también en la vida cotidiana.

Lee aplicando la técnica de la lectura veloz y comprensiva...

La dinámica poblacional

Algunos países deberían percibir que la ciencia puede ser usada para el logro de un mejor

nivel de vida de sus habitantes.

Por ejemplo, si es posible estimar el crecimiento de la población puede planearse el uso de

recursos públicos, programar la construcción de viviendas, etc.

También hay otras preguntas: ¿seremos capaces de producir la cantidad necesaria de

alimentación para abastecer a todos los habitantes?; ¿ el mercado de trabajo absorberá la mano de

obra que se formará?, etc.

Un economista inglés, Thomas Malthus fue uno de los primeros que se encargó de estudiar

el problema de la población mundial. Según él, si la población no fuese controlada, crecería de tal

manera que los medios de subsistencia no alcanzarían para abastecerla.

En 1798, Malthus publicó un “polémico ensayo sobre el principio de la población”, relativo a

la manera que ésta afecta el progreso de la sociedad. En éste, decía que la población se encuentra

limitada necesariamente por los “frenos del vicio y la miseria” y que estos frenos no debían ser


concebidos como “obstáculos insuperables“ para el progreso social. Malthus consideraba positivos

para el desarrollo armónico de la población a las epidemias, las guerras, las plagas,...

Con la aparición del SIDA, la discusión sobre los argumentos de Malthus ha vuelto a

aparecer:

El problema de la población humana es más complicado que lo que sugieren las primeras

aproximaciones que se realizaron a través de los llamados modelos de Malthus, Verhulst...En

realidad hay bandos inconciliables cuando se discute el problema.

A modo de ejemplo, damos un extracto de un trabajo denominado “ Sida y control de la población”, de Gerad Piel, publicado en Scientific American, en febrero de 1994:

“Algunos ven al Sida como una solución al problema del crecimiento de la población (en África especialmente). Cálculos muy elementales muestran que esto no es cierto. Por ejemplo en el siglo XIV, la peste negra eliminó más de la mitad de la población de Europa pero a mitad del siglo XVII la población llegó al número que hubiera alcanzado, en esta misma época, sin que hubiese habido peste negra. La violencia desde 1914 a 1945 mató a 200 millones de personas; sin embargo el efecto apenas se notó con los censos de 1970.

En el tiempo de Malthus, el aumento de la población debida a la revolución industrial, produjo un aumento explosivo de población.

Pero después del gigantesco cambio producido, actualmente, la población de países ricos – incluso Japón- se acerca al índice cero de crecimiento habiendo pasado de expectativas de vida de 25 años a 75 años.

Otros países están desarrollándose y parecen entrar en la fase anterior a la disminución de las tasas de natalidad y de mortalidad. Por ejemplo, China e India. China ha reducido su mortalidad infantil a 42 por mil y la India a 142 por mil. El analfabetismo femenino ha caído al 66% en India y al 38% en China. El número medio de hijos por familia en India ha caído de seis a cuatro y en China es de 2,3 ( muy cerca del crecimiento cero = 2,1 ).

Como acelerar el paso de estos países es la principal tarea de las organizaciones; el Sida no debe interferir. La solución a la ecuación de Malthus está en la vida y no en la muerte”.


Para pensar y crear:

Escribe cinco líneas sobre lo que te sugiere: “La solución a la ecuación de Malthus está en la vida

y no en la muerte”.

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..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

¿Para qué me sirve el Cálculo? (Estrategia creativa: Análisis funcional).

Si el Cálculo Diferencial e Integral ó Análisis Matemático te sirve para estudiar los cambios en la

economía, en la biología en la vida diaria. Imagina escenarios en los que el Cálculo puede serte

útil

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

Modelo de Malthus

Malthus, para construir su modelo, supuso que en un intervalo de tiempo ∆t, las cantidades

de nacimientos y de muertes son proporcionales al tamaño de la población y al intervalo ∆t. En una primera aproximación, la suposición de Malthus es razonable, porque es de

esperar que el número de nacimientos aumente con la población y lo mismo el número de muertes. Intentaremos traducir al lenguaje matemático.

Llamaremos P( t ) a la población existente en el instante t.

Número de nacimientos : α. P ( t ). ∆t ; α constante

Número de muertes: β. P ( t). ∆t ; β constante


¿Qué representan las constantes α y β?

La constante α es la tasa de natalidad y β es la tasa de mortalidad. En nuestro país, el

INDEC, Instituto Nacional de Estadística y Censos se encargó de determinar estos valores para

diferentes períodos de tiempo.

Conociendo el número de nacimientos y de muertes en el intervalo ∆t, podemos calcular

cuánto varió la población en dicho intervalo:

∆ P = P ( t + ∆t) – P ( t ) = α. P ( t ). ∆t - β. P ( t). ∆t

∆ P

Entonces: = (α - β) P ( t )

∆t

Si hacemos tender ∆t a cero, obtenemos:

( 1 )

La ecuación (1) expresa que la variación instantánea de la población es directamente

proporcional a la población en cada instante: si multiplicamos P(t) por 2, el primer miembro se

multiplica por 2.

Nota: Se entiende que α y β varían cuando el período es prolongado pero para períodos

razonablemente cortos se pueden tomar constantes, lo que permite obtener conclusiones.

dP = (α - β) P ( t ) dt


Para pensar y crear ¿Qué sucederá con una población si su tasa de natalidad es mayor que la de

mortalidad, en un período de tiempo?. ¿Y si es menor?. ¿Qué sucederá si ambas tasas

son iguales?

El Cálculo Diferencial e Integral, te permitirá corroborar o desestimar las conclusiones a las

que llegas usando tu intuición. También a partir de ( 1) encontraremos que :

P = P0 . e(α - β) ( t – t0 )

Es la función de la evolución de la población, según Malthus.

Ahora:


Para trabajar en grupo: Los grupos impares resuelven los ejercicios impares y los grupos

pares los ejercicios pares

II- En las siguientes desigualdades encuentra el intervalo solución y representa en la recta

real:

1) Ejemplo resuelto( se aplica la técnica de subobjetivos al separar el problema en

partes y de generación y comprobación al verificar la solución):

x2 – 5x – 24 ≤ 0

Como las raíces del polinomio x2 – 5x – 24 = 0 son x1 = 8 y x2 = -3, entonces es:

Para pensar y crear Una tarea creativa ( Supuestos, causas y consecuencias)

Mira la imagen.

Escribe tres preguntas acerca de lo que está sucediendo en la imagen.

Pregunta sobre lo que deberías saber para comprender mejor lo que está pasando. No

hagas preguntas que puedan contestarse viendo el dibujo.

Anota posibles causas que pueden haber causado la acción representada en la

imagen. Haz conjeturas y no temas adivinar

Anota las consecuencias que pueden suceder en un futuro lejano como

resultado de lo que está sucediendo en la imagen. Haz conjeturas y no temas adivinar.


( x – 8) ( x + 3 ) ≤ 0

Ahora analizamos:

Caso 1: (x – 8) ≤ 0 ∧ (x + 3 ) ≥ 0

X ≤ 8 ∧ x ≥ - 3

En la recta real es:

- 3 0 8

La solución es el intervalo real [-3, 8].

Caso 2: (x – 8) ≥ 0 ∧ (x + 3) ≤0

X ≥ 8 ∧ x ≤ - 3

En la recta real es:

- 3 0 8

En este caso no hay ningún x que satisfaga ambas desigualdades. No hay solución.

Luego la solución general es el intervalo real –3 ≤ x ≤ 8 ó [ - 3, 8].

Alternativa de solución:

x2 –5x -24≤0 se escribe como (x+3 )( x-8)) ≤0


Armamos una matriz de descubrimiento

Puntos de

separación

Puntos de

prueba

Valor de (x-3)(x+8) Signo Conclusión

-3

8

-4

0

10

12

-24

26

+

-

+

[ -3,8] es la solución

2) 2 +3 x < 5x +8 3) 5/x < 3/ 4; x ≠0

2

4) ≤ 1 ; x ≠ 1 5) ( x –3) ( x + 5) > 0

1 - x

6) 13 ≥ 2x -3 ≥ 5 7) x2 ≤ 9

8) x2 –3x +2 > 0 9) 4 x2 +9x < 9

Opcionales: Elige uno de los ejercicios propuestos. Resuélvelo. Intercambia tu resolución

con la de un compañero. ¿En qué se parece a la tuya? ¿ Y en qué se diferencia? (Técnica de De Bono: OPV)

10) 1 < 2 11) x 3 +1 > x2 + x

x + 1 3x – 1

III- Determina el valor absoluto de:

1) 2 2) 2 - √ 2

3) - 5 / 7 4) - 2 - √ 2


5) - π -1 6) 3 - π

IV- Utiliza la desigualdad del triángulo para demostrar que:

1) Si x – 1 < 1 / 3 ∧ y + 1 < 1/ 4, entonces x + y < 7/ 12

2) Si x – 1 < 1 / 3 ∧ y - 1 < 1/ 4, entonces x – y < 7/ 12

V- Demuestra que x<y↔ x 2 < y 2. Discute la solución con la de tus compañeros.

VI- Encuentra todos lo números reales que satisfagan la desigualdad y el intervalo solución.

Ilustra en la recta real.

1) Ejemplo:

3x + 2 > 5

Esto es : 3 x + 2 > 5 ó 3x + 2 < - 5

De la primera : x > 1. Por lo tanto la solución es ( 1 , + ∞ )

De la segunda : x < - 7 / 3. Por lo tanto, el intervalo ( - ∞ , - 7/ 3 ) es una solución.

La solución de la desigualdad dada consta de los dos intervalos ( 1 , + ∞ ) y ( - ∞ ,

- 7/3)

2) 4 x +3= 7 3) 5- 2 x =11

4) x + 4< 7 5) 2x - 5 < 3

6) x +4 ≤ 2x -6 7) 9 –2x ≥4x

Alternativa: En los dos últimos ejercicios propuestos busca una solución alternativa usando una

propiedad del valor absoluto. ¿Qué ocurre?

Opcionales:

Una pista: Para el 9) te conviene aplicar una propiedad del valor absoluto de un real

x + 2 5 1

8) < 4 9) ≥

2 x - 3 2 x – 1 x – 2


VII- Realiza las gráficas de las siguientes ecuaciones e inecuaciones:

1) Ejemplo: - 2 < x < 2 ó x < 2

-2 0 2

2) y = x - 3 ; 3) ( x – 2 y + 3 ) ( y – 3 x2 ) = 0 ; 4) y = x – 5

Opcionales:

5) x . y – 1 ≤ 1 ∧ x. y < - 1; 6) y = x - 5; 7) x – 2y + 8 > 0


Para pensar y crear: Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando cada uno sobre sus lomos, varios

sacos pesados. El caballo se quejaba de su carga y el mulo le dijo: - ¿De qué te quejas?

Si yo cargara con uno de tus sacos mi carga sería doble de la tuya. En cambio, si tú

cargas con uno de los míos tu carga sería igual que la mía.

¿Cuántos sacos llevaban el caballo y el mulo?

Le pregunté a mi padre: ¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafetería de la

esquina?

- No sé, nunca me he fijado.

- Pero Pá...lo acabamos de tomar mamá, la abuela, mis dos hermanas, tú y yo.

¿Cuántos has pagado?

- Algo más de 14 pesos

- El domingo pasado además de nosotros seis, invitaste a dos amigos míos.

¿Cuánto pagaste?

- Era un poco menos de 25 pesos.

¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafetería de la esquina?

Lee El Cálculo... ayer ....y hoy en día

¿Por qué Descartes fue un matemático creativo?

Lee Contribuyentes al Cálculo. Explica con tus palabras: “ El Cálculo es el producto de un dramático conflicto intelectual que ha durado veinticinco siglos”.


UNCa. Facultad de Tecnología y Ciencias Aplicadas Carrera: Ingeniería en Informática

Cátedra: Análisis Matemático

Cartilla de autoevaluación

Mi Nombre:

Mi Matrícula Universitaria:

Mi Carrera:

Mi Profesora:

Mi profesor de T.P.:


UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA. FACULTAD DE TECNOLOGÍA Y CIENCIAS APLICADAS

INGENIERÍA EN INFORMÁTICA

Análisis matemático I

CARTA ABIERTA PARA UN JOVEN ALUMNO

Querido amigo o amiga:

Hoy me dirijo a ti, en esta carta, con todo cariño y con muchas ganas de ayudarte

para que aproveches de la mejor manera lo dado en las clases teóricas y teóricas prácticas

de Análisis Matemático I. Por otra parte es propósito de esta Cátedra encarar la formación en

la creativa, esto es darte las herramientas necesarias para que ejercites al lado del

pensamiento lógico y matemático el pensamiento divergente o lateral.

Conozco de las dificultades que el aprendizaje de esta asignatura tiene para todos

los estudiantes. Pero no puedes soslayarla ya que se trata de una materia fundamental para

tu formación profesional.

Te cuento que tú mismo serás quien evalúes, con mi ayuda si la quieres, lo que vas

aprendiendo en cada tema del Cálculo. De lo que hagas en este sentido dependerá tu éxito

en tu examen final...

Al escribirte hoy lo hago apostando a tu responsabilidad e inteligencia. Y estoy

seguro que no me defraudarás.

Bien, primero deberás completar todos los ejercicios propuestos en cada guía de

trabajos prácticos, después de leer y releer los apuntes de clases y tu libro de texto. Para ello

cuenta con mi ayuda... Irás día a día, confeccionando una carpeta con tus trabajos. Después

seleccionarás tus mejores producciones o los que te hayan gustado más. A estos deberás


entregármelos junto a la planilla de autoevaluación que acompaña a esta misiva. Allí me

explicarás por qué estos trabajos son tus mejores producciones, también tus dificultades en

el tratamiento de estos ejercicios, el control de los objetivos del Curso y algunas sugerencias

o ideas que se te ocurran.

Te cuento que el contenido de esta carpeta determinará una nota que se sumará a la

de las otras de evaluaciones. O sea serás recompensado por tu trabajo. Estarás siendo

evaluado, mejor autoevaluado, con un método moderno usado en las universidades más

adelantadas del mundo, llamado portfolios-evaluation.

Amigo... ¡a trabajar!

¡Chau!

Tu profesora

Índice de la Carpeta I- Mis apuntes II- Mis producciones III- Novedades IV- Controlo mis objetivos Hoja de Valoración, criterios y revisiones

Tu profesora valorará tu carpeta del 1 al 5 en:

1.

Comprensión de los ejercicios planteados

2.

Adecuación de las estrategias usadas

3.

Grado de voluntad para abordar el trabajo

4.

Capacidad para sacar conclusiones

Revisión 1

Fecha:

Revisión 2

Fecha:

Revisión

Final

Fecha:


5.

Precisión del uso del vocabulario

específico

6.

Uso de esquemas o mapas conceptuales

7.

Corrección y claridad en la comunicación

oral y/ escrita de lo obtenido

8.

Pulcritud y claridad expositiva en la

presentación del trabajo

9.

Comprensión de los conceptos más

importantes: función, límite, continuidad,

derivada e integral de funciones,

sucesiones y series como funciones,

aproximación de funciones con series, etc.

10.

Grado de creatividad en la resolución y

presentación de los trabajos

11.

Grado de voluntad para la autocorrección

Registro para la evaluación final

Yo me evalúo( de 1 a 5)

Mi grupo me evalúa( de 1 a 5)

Evaluación final( acuerdo

entre el alumno, grupo y

profesora)


Tu profesora hace estos comentarios en cada entrevista:

Comentario 1 Fecha:

Comentario 2 Fecha:

Ahora tu evalúas. ¿Qué opinas?

Comentario 1 Fecha:

Comentario 2 Fecha:

Dado que el Curso ha terminado escribe una carta a tu profesora explicándole tu sentir y pensar

sobre esta experiencia en Análisis Matemático I.

Carta a mi profesora Querido profesora:

matemática y creatividad. plan didáctico integral para la … on line/cd... · 2018. 9. 21. · y...

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