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55

v

OperemOs cOn fracciOnes algebraicas.calculemOs el área y el vOlumen de cuerpOs geOmétricOs

Objetivosdelaunidad:

Aplicarásconseguridadlasfraccionesalgebraicasysuspropiedadesalreduciratérminosmássimpleslosresultados,solucionandoasíproblemasdelavidadiaria

Utilizarás el área y volumen de los cuerpos geométricos paraproponer soluciones a situaciones problemáticas de su entornosocialyfamiliar,valorandolaopinióndelosdemás.

MATEMÁTICAUnidad 4

56 matemática - Octavo grado

Expresiones Algebráicas

Máximo común divisor

Valor numérico

Multiplicacióny División

Prisma ConoPirámide Cilindro

Área y volúmen

Esfera

Poliédricos

encuentras: pueden ser

efectúas:

de:

se dividen en:

se subdividen en:

Mínimo común múltiplo

Operaciones

Cuerpos geométricos

Suma y resta

Redondos

Fracciones algebráicas

DescripcióndelProyecto

Cuando finalices esta unidad, mediante el cálculo de volúmenes le ayudarás a una empresa a escoger entre dos tipos de contenedores; para que pueda recoger la mayor cantidad de desechos.

Octavo grado - matemática 57

Cuarta Unidad

Motivación

Lección 1

determinarás el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas a partir de los números enteros, con perseverancia.

utilizarás y explicarás con seguridad el mínimo común múltiplo monomio.

utilizarás y explicarás con seguridad el mínimo común múltiplo polinomio.

resolverás con perseverancia problemas de aplicación del mínimo común múltiplo monomio y polinomio.

determinarás con perseverancia el máximo común divisor de expresiones algebraicas a partir de los números enteros.

utilizarás y explicarás con seguridad el máximo común divisor monomio.

utilizarás y explicarás con seguridad el máximo común divisor polinomio.

resolverás con perseverancia problemas de aplicación del máximo común divisor monomio y polinomio.

Indicadores de logro:

¿Cuál es la menor capacidad de un depósito que se puede llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de las dos llaves que vierten: la primera 15 litros por minuto y la segunda 20 litros por minuto?

mínimO cOmún múltiplO y máximO cOmún divisOr

Para darle solución a la situación anterior, encuentra los primeros 12 múltiplos de 15 y 20.

Los múltiplos de 15 son: 15, 30, 45, 60, 75, 90,105, 120, 135, 150, 165, 180,…

Los múltiplos de 20 son: 20, 40, 60, 80,100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240,…

El mcm de dos o más números es el menor de los múltiplos de dichos números.

Observa

Observa que los múltiplos comunes de 15 y 20 son: 60, 120 y 180, de ellos el menor es 60.

El menor múltiplo común de 15 y 20 es 60 Entonces el estanque se llenará con un mínimo de 60 litros. En este caso el número 60, recibe el nombre de mínimo común múltiplo, generalmente se representa por mcm.

El mcm se obtiene multiplicando todos los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.

Puntodeapoyo

Mínimocomúnmúltiplo

UNIDAD 4


Ejemplo 1

Calcula el mcm de 50 y 30.

Solución:

Recuerda que para calcular el mínimo común múltiplo, puedes hacerlo aplicando la descomposición de factores.

En este caso tienes:

502551

255

301551

235

50 = 2 (5)2

30 = 2 (3) (5)

Observa que has multiplicado todos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

Mínimocomúnmúltiplodemonomios

Ahora, efectúa de manera similar con una expresión algebraica.

Ejemplo 2

¿Cómo encontrarías el mcm de 8ab2c y 12a3b2?

Solución:

Primero encuentras el mcm de los coeficientes:

8421

126331

2223

Tienes que el mcm de 8 y 12 es 23 × 3 = 24.

Luego encuentras el mcm de la parte literal que estará formado por las letras comunes y no comunes con su mayor exponente.

En este caso el mcm de ab2c y a3b2 es a3b2c

El mcm de 8ab2c y 12a3b2 es 24a3b2c

Ejemplo 3

Encuentra el mcm de 9a2bx, 36ab2x2 y 18a3b3

¿Cómo lo harás?

Solución:

Calcula el mcm de los coeficientes:

99931

3618931

189931

2233

Para encontrar el mcm de monomios, primero encuentras el mcm de los coeficientes y a continuación de este se escriben todas las letras comunes y no comunes con su mayor exponente.

Observa

Luego encuentras el mcm de la parte literal 9a2bx , 36ab2x2 y 18a3b3, que es a3b3x2

El mcm de 9a2bx, 12ab2x2 de 18a3b3x es igual a 36a3b3x2

Ejemplo 4

Halla el mcm de 10a3x, 36a2mx2, y 24b2m4

Solución:

Primero encuentras el mcm de los coeficientes 10, 36 y 24.

105555

51

3618993

1

2412631

22233

5

mcm = 23 × 32 × 5 = 8 × 9 × 5 = 360Luego el mcm de la parte literal es a3b2m4x2

El mcm de 10a3x, 36a2mx2, y 24b2m4 = 360a3b2m4x2

el mcm es 22 × 32 = 4 × 9 = 36

mcm = 2 (3) (5)2 = 150

23x3

UNIDAD 4


Ejemplo 5

Encuentra el mcm de x3, x4 y, xy2, y3 ¿Cómo se resuelve?

Solución:

Observa que los monomios no tienen coeficiente, por lo tanto sólo encuentras el mcm de la parte literal que en este caso es x4y3.

Luego, el mcm de x3, x4 y, xy2, y3 es x4y3.

Ejemplo 6

Encuentra el mcm de 9x3, 2xy2, 5xy3 ¿Qué notas en sus coeficientes?

Solución:

Observa los coeficientes no tienen nada en común, entonces el mcm será el producto de ellos, es decir: mcm de 9, 2 y 5 es 9 × 2 × 5 = 90

Luego el mcm de 9x3, 2xy2 y 5xy3 es igual a 90x3y3

Actividad1Encuentra el mcm de:

a) a3, ab2 y a2b d) 3x3 6x2 y 9x4y2

b) 3x2y3z; 4x3y3z2 y 6x4 e) 10m2, 15mn2 y 20mn3

c) 5x2, 10xy y 15xy2 f) 8m2n3, 3m3n y 7mn2

Mínimocomúnmúltiplodepolinomios

Para encontrar el mcm de polinomios seguimos el proceso similar a los monomios, es decir, descomponiendo cada polinomio en factores primos.

Ejemplo 7

Encuentra el mcm de: x2 – 1 y x2 – x

Solución:

Expresa cada uno de los polinomios como producto de sus factores.

x2 – 1 es una diferencia de cuadrados, entonces

x2 – 1 = (x – 1)(x + 1)

x2 – x tiene factor común x2 – x = x (x – 1)

Para descomponer un polinomio en sus factores primos, tienes que aplicar los casos de factorización estudiados en unidades anteriores.

Puntodeapoyo

Escoge los factores primos diferentes que aparecen en ambas factorizaciones y elige la potencia mayor que aparece en una u otra. Su producto es el mínimo común múltiplo.

Es decir que el mcm de: x2 – 1 y x2 – x es x(x + 1)(x – 1)

Ejemplo 8

Halla el mcm de: x2 – 6x + 9, x2 – 9, x2 – 4x + 3

Solución:

Expresa cada polinomio como producto de sus factores:

x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)

x2 – 4x + 3 = (x – 3)(x – 1)

Selecciona los factores comunes y no comunes que aparecen en todas las factorizaciones con su mayor exponente.

El mcm de x2 – 6x + 9, x2 – 9 yx2 – 4x + 3 es (x – 3)2(x + 3)(x – 1)

Ejemplo 9

Encuentra el mcm de x2 – 3x – 4; x2 − 1

Solución:

Factorizas cada polinomio:

x2 – 3x – 4 = (x − 4)(x + 1)

x2 – 1 = (x − 1)(x + 1)

El mcm de x2 – 3x – 4; x2 − 1 es (x + 1 )(x – 1)(x – 4)

UNIDAD 4


Ejemplo 10

Halla el mcm de: y2 – 2y + 1; y2 + 2y + 1

Solución:

y2 – 2y + 1 = (y – 1)2 y2 + 2y + 1 = (y + 1)2

El mcm de y2 – 2y + 1; y2 + 2y + 1 es (y – 1)2 (y + 1)2

Ejemplo 11

Encuentra el mcm de: a3 +a2b; a3+2a2b + ab2

Solución:

Factoriza cada polinomio

a3+a2b = a2(a + b)

a3+2a2b + ab2 = a (a2 +2ab + b2) = a(a + b)2

El mcm de: a3 +a2b; a3+2a2b + ab2 es a2(a + b)2

Actividad2 Encuentra el mcm de:

a) 4a2 – 9b2; 4a2 − 12ab + 9b2

b) x3 – 25x; x2 + 2x − 15

c) x3 + y3; (x + y)3

d) a2 + a – 30; a2 + 3a – 18

e) 2a2 +2a; 3a2 – 3a; a4 –a2

f) x2 +2x; x3 − 2x2; x2 − 4

Máximocomúndivisor

Ana quiere hacer banderas de tres colores, y tiene 12 yardas de blanco, 24 yardas de azul y 18 yardas de verde, ¿qué debe hacer Ana para cortar la tela y que todas las banderas le queden del mismo tamaño sin sobrar ningún pedazo de tela?

Solución:

Encuentra los factores de cada una de las cantidades de tela.

Factores de 12: 12, 6, 4, 3 y 2

Factores de 24: 24, 12, 8, 6, 4, 3 y 2

Factores de 18: 18, 9, 6, 3 y 2

Los factores comunes son: 6, 3 y 2. El mayor de ellos es 6.

Entonces el máximo común divisor es 6. Es decir mcd = 6

Para que todas las banderas queden del mismo tamaño deben medir 6 yardas.

¿Cuántas banderas de color verde debe hacer Ana?186

3= , debe hacer 3 banderas verdes.

UNIDAD 4


Ejemplo 12

Encuentra el máximo común divisor de 36 y 48.

El máximo común divisor de dos o más números es el producto de los factores comunes con su menor exponente.

Puntodeapoyo

Solución:

Puedes utilizar cualquiera de las formas que estudiaste en grados anteriores.

En este caso, por descomposición en factores:

361893

4824124

223

El mcd es el producto de los factores comunes, en este caso:

mcd = 2 × 2 × 3 = 22 × 3 = 12

Máximocomúndivisordemonomios

Ejemplo 13

¿Cómo encontrarías el mcd de 12x2yz3; 18xy2z; 24x3yz2?

Solución:

Primero encuentras el mcd de los coeficientes:

1262

1893

24124

23

mcd de los coeficientes es igual a: 2 × 3 = 6

Luego encuentra el mcd de las letras: 12x2yz3; 18xy2z; 24x3yz2

En este caso, las letras se encuentran en todos los monomios, por lo que tomarás las que tienen menor exponente: x y z.

Por lo tanto el mcd de 12x2yz3; 18xy2z; 24x3yz2 es igual a 6xyz.

El máximo común divisor de dos o más monomios se define como la expresión que esta contenida exactamente en cada uno de los monomios.

Ejemplo 14

Encuentra el mcd de 12a2b; 60a3b2c; 54a4b3c

Solución:

Primero encuentras el mcd de los coeficientes:

1262

603010

54279

23

El mcd es: 2 × 3 = 6

A continuación encuentra el mcd de la parte literal de: 12a2b; 60a3b2c; 54a4b3c.

Observa que tanto la letra a y b están en los tres términos a excepción de c que está solamente en dos términos, lo que indica que no es factor común.

Seguidamente, tomas a y b con sus menores exponentes a2 y b.

El mcd de 12a2b; 60a3b2c; 54a4b3c es igual a 6a2b.

Ejemplo 15

Encuentra el mcd de 15a2b3c; 24ab2x; 36b4x

Halla el mcd de los coeficientes:

155

248

3612

3 el mcd de 15, 24 y 36 es igual a 3

El mcd de la parte literal es b2.

Luego el mcd de 15a2b3c; 24ab2x; 36b4x es 3b2.

UNIDAD 4


Ejemplo 16

Encuentra el mcd de 8x2y3; 17x2y4; 16x3yz.

Solución:

Observa los coeficientes: 8, 17 y 16 ¿Hay común divisor para los tres coeficientes?, solamente 8 y 16 tienen factor en común y 17 es primo por lo que en este caso no habrá un mcd de los coeficientes. Porque son monomios primos entre si.

¿Cuáles son los factores compuestos de la parte literal, ¿cuál es el mcd?

El mcd de 8x2y3; 17x2y4; 16x3yz es x2y porque x2 es la menor potencia de x; y la menor de y, z sólo está en uno de los polinomios.

Actividad3Encuentra el mcd de:

a) 6a2b3, 15a3b4 d) 12x2yz3, 18xy2z, 24x3yz2

b) 8am3n, 20x2m2 e) 28a2b3c4, 35a3b4c5, 42a4b5c6

c) 48a2b3x, 72ab2c, 30b4x2 f) 42am2n, 56m3n2x, 70m4n2y

Máximocomúndivisordepolinomios

Ejemplo 17

¿Cómo puedes encontrar el mcd de 2x2 +2xy; 4x2 – 4xy?

Solución:

Se descompone cada polinomio en sus factores primos, utilizando casos de factoreo ya estudiados. Luego el mcd es el producto de los factores comunes con su menor exponente. Entonces:

2x2 +2xy este polinomio se descompone mediante factor común.

2x2 +2xy = 2x(x + y)

4x2 – 4xy también es factorizable por factor común

4x2 – 4xy = 4x(x + y), pero como tiene que ser en factores primos, tienes:

4x2 – 4xy = 4x(x + y) = (2) (2x) (x + y)

Los factores primos comunes son: (2x) (x + y)

Luego, el mcd de 2x2 +2xy; 4x2 – 4xy es 2x(x + y)

UNIDAD 4


Ejemplo 18

Encuentra el mcd de 8x3 + y3; 4ax2 – ay2

¿Cómo lo encuentras?

Solución:

Factorizando los polinomios:

8x3 + y3 es una suma de cubos por lo que se factoriza de la siguiente manera:

8x3 + y3 = (2x + y)(4x2 – 2xy + y2)

4ax2 – ay2 = a(4x2 – y2), en este caso te das cuenta que se puede seguir factorizando:

4ax2 – ay2 = a(4x2 – y2) = a(2x – y)(2x + y)

Luego, tienes que el factor común es (2x + y)

Por lo tanto: El mcd de 8x3 + y3; 4ax2 – ay2 es 2x + y

Ejemplo 19

Encuentra el mcd de: n2 − 4 ; n2 – n – 6 ; n2 + 4n + 4

Solución:

Primero factorizas los tres polinomios:

n2 – 4 = (n – 2)(n + 2)

n2 – n – 6 = (n − 3)(n + 2)

n2 +4n + 4= (n + 2)2

El factor común con su menor exponente es n + 2

Entonces el mcd de n2 − 4; n2 – n – 6; n2 +4n + 4 es n + 2

Ejemplo 20

Encuentra el mcd de 2a3 – 12a2b + 18ab2; a3x – 9ab2x

Solución:

Factoriza los polinomios:

2a3 – 12a2b + 18ab2 = 2a(a2 – 6ab + 9b2) = 2a(a – 3b)2

a3x – 9ab2x = ax(a2 – 9b2) = ax (a – 3b)(a + 3b)

Recuerda que debes factorizar hasta llegar a factores primos.

Luego concluyes que el mcd de 2a3 – 12a2b + 18ab2; a3x – 9ab2x es igual a : a(a− 3b)

Actividad 4Encontrar el mcd de:

a) x2 – x; x3 − x2

b) 5a2 − 15a; a3 – 3a2

c) 4a2 + 4ab + b2; 2a2 − 2ab + ab – b2

d) 30ax2 − 15x3; 10axy2 – 20x2y2

e) 2ax2 +4ax; x3 – x2 − 6x

Para encontrar el mcm de monomios, primero encuentras el mcm.de los coeficientes y de la parte literal, y este será el producto de todos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Cuando se trata de polinomio, descompones en factores cada polinomio y luego procedes como en los monomios.

El mcd de monomios es el producto de los factores comunes con su menor exponente, tanto de los coeficientes como de la parte literal. Con polinomios, el proceso es similar, lo único que tienes que descomponer en factores cada polinomio.

Resumen

UNIDAD 4


Autocomprobación

4 Encuentra el mcd de 3x3 +15x2; ax2 + 5ax:

a) x(x + 5)b) 3ax2(x + 5)c) 3x2(x + 5)d) 3ax (x + 5)

2 El mcd de 18mn2, 27a2m3n4 es igual a:

a) 54mn2 b) 54a2m3n4 c) 9mn2

d) 9a2m3n4

1 El mcm de 6m2n2, 4m3 es igual a:

a) 2m3n2

b) 12m3nc) 12m3n2

d) 24m3n

3 El mcm de x3 – y3, (x – y)3 es igual a:

a) (x – y)3 (x + y)2

b) (x – y)3 (x2 +xy + y2)c) (x3 – y3)(x + y)2

d) (x3 – y3)(x2 +xy + y2)

El calendario Tzolkin de 260 días es el más usado por los pueblos del mundo maya. Lo usaban para

regir los tiempos de su quehacer agrícola, su ceremonial religioso y sus costumbres familiares,

pues la vida del hombre maya estaba predestinada por el día del Tzolkin que correspondía a la fecha

de su nacimiento. Esta cuenta consta de los números del 1 al 13 y 20 nombres para los días representados asimismo por glifos individuales

(260 es el mcm de 13 y 20)

1. c. 2. c. 3. b. 4. a. Soluciones

LOSMAYASYELMCM


Motivación

Cuarta Unidad

identificarás y explicarás con seguridad fracciones algebraicas.

determinarás y explicarás la simplificación de fracciones algebraicas a partir de los números racionales con orden y seguridad.

resolverás problemas de simplificación de fracciones algebraicas con orden.


El área de un rectángulo es 2x2 + 13x + 6 y su base mide 2x + 1. ¿Cómo encuentras su altura?El área de un rectángulo es A = bh, entonces despejas y obtienes que

hAb

= , luego al sustituir los datos conocidos resulta la siguiente expresión:

hx x

x=

+ ++

2 13 62 1

2

A esta expresión le llamas fracción algebraica. ¿Cuánto mide la altura y la base si el valor x es 2? ¿Cuál es el área del rectángulo?

fracciOnes algebraicas

Lección 2

determinarás con autonomía y confianza el valor numérico de fracciones algebraicas.

multiplicarás fracciones algebraicas con denominadores monomios, con orden y aseo.

resolverás con perseverancia problemas utilizando la multiplicación de fracciones algebraicas.

En el proceso de solución a la situación anterior,

tienes la expresión hx x

x=

+ ++

2 13 62 1

2

, notarás

que representa una división o un cociente indicado, donde el numerador y el denominador son expresiones algebraicas.

Una fracción algebraica es el cociente indicado entre dos expresiones algebraicas: monomios o polinomios; siempre y cuando el denominador sea una expresión diferente de cero.

En una fracción algebraica se debe aclarar los valores que no acepta la variable, por ejemplo:

a) xx+ 2 , para x ≠ 0 b)

2 32

yy

++

, para y ≠ – 2

Simplificacióndefraccionesalgebraicas

¿Cómo puedes simplificar la fracción 312

?

Recuerda que simplificar una fracción es expresarla en su forma más simple, es decir que el mcd del numerador y denominador es 1.

Para simplificar fracciones, primero descompones en factores, tanto el numerador como el denominador y luego cancelas o eliminas los que son comunes, así:

312

3 13 4

14

=××

= entonces, 312

equivale a 14

2x2 + 13 + 6

2x + 1

h

UNIDAD 4


Ejemplo 1

¿Cómo simplificas 1535

?

Solución:

Expresas el numerador y denominador como producto de factores, luego eliminas los comunes.1535

5 35 7

37

=××

=

Ejemplo 2

Simplifica la fracción 244

4 3 2

2 3

x y cx y

¿Cómo lo realizarás?

Solución:

Expresas el numerador y el denominador como producto de factores, luego eliminas los comunes.

244

64

46

4 3 2

2 3

2 2 3 2

2 32 2x y c

x yx x y cx y

x c= =.

Entonces: 244

64 3 2

2 32 2x y c

x yx c=

Para simplificar fracciones algebraicas procedes de la misma forma que en las expresiones aritméticas.El signo × lo sustituyes por un punto.

Observa

Ejemplo 4

¿Cómo simplificas x y

x xy y

3 3

2 22−

− +?

Solución:

En este caso tienes que descomponer en factores el numerador x3 – y3 y el denominador x2 – 2xy + y2, luego eliminas los comunes.

x yx xy y

x y x xy yx

3 3

2 2

2 2

2−

− +=

− + +( )( )( −−

=− + +

− −=

yx y x xy y

x y x yx

)( )( )

( )( )2

2 2 2 + +−xy y

x y

2

Luego: x y

x xy yx xy y

x y

3 3

2 2

2 2

2−

− +=

+ +−

Ejemplo 3

Simplifica: 356

3 4

2

n mn p

Solución:

En este caso los coeficientes 35 y 6 son primos entre si, solamente se simplifica la parte literal. 356

356

356

3 4

2

2 4

2

4n mn p

n nmn p

nmp

= =

UNIDAD 4


Ejemplo 5

Simplificar: 3 96 9

3 2

2

x xx x

++ +

Solución:3 9

6 93 3

333 2

2

2

2

2x xx x

x xx

x++ +

= ++

=( )( )

(( )( )( )

xx x

++ +

33 3

Luego: 3 9

6 93

3

3 2

2

2x xx x

xx

++ +

=+

Ejemplo 6

Simplifica: x xx

2

2

8 1616

−−

+

Solución:x x

xx

x xx2

2

28 1616

44 4

− +−

= −− +

=( )( )( )

( − −− +

= −+

4 44 4

44

)( )( )( )

xx x

xx

Es decir: x x

xxx

2

2

8 1616

44

− +−

=−+

Ejemplo 7

Simplifica: x xx x

2

2

2 158 15

− −+ +

Solución:

x xx x

x xx

2

2

2 158 15

5 33

− −+ +

= − ++

( )( )( )( xx

x xx x+

= − ++ +55 33 5)

( )( )( )( )

Luego: x x

x xxx

2

2

2 158 15

55

− −+ +

=−+

Simplifica las siguientes fracciones:

a) xy

x y xy3 32 2− d)

x yx y

2 2

3 3

−−

b) a aa a

2

2

207 10

− −− +

e) 3 15

25

2

2

x y xyx

+−

c) 2 43 6ax bxay by

++

f) n n

n n

3

2 5 6−

− −

Actividad 1

UNIDAD 4


Si Pedro en su vehículo, recorre 150 km en 2 horas. ¿A qué velocidad viaja Pedro en su vehículo?

La velocidad de un vehículo se puede calcular por medio de la fórmula v

dt

= .

Sustituye los datos en la fórmula así:

vdt

kmh

km h= = =1502

75 / Viaja a 75 km/h

El valor encontrado corresponde al valor numérico de la fórmula.

Como dt

es una fracción algebraica porque su

numerador y denominador lo forman monomios, entonces tienes que el número que obtuviste después de sustituir las variables por los valores correspondientes, y efectuada la operación indicada, se llama valor numérico de una fracción algebraica.

Ejemplo 8

Si retomamos la situación inicial el área en cm2 de un rectángulo es 2x2 + 13x + 6 y su base mide 2x + 1. ¿Cuál es la altura si x = 2?

Solución:

Antes habías despejado la altura que es:

hx x

x=

+ ++

2 13 62 1

2

Ahora sustituye el valor x = 2, en la fórmula:

hx x

x=

+ ++

=+ +

+2 13 6

2 12 2 13 2 6

2 2

2 2( ) ( )( ) 1

=+ +

+= =

8 26 64 1

405

8 La altura es 8 cm.

Ejemplo 9

Encuentra el valor numérico de xx

2 93

−+

, para x = 5,x = – 2

Solución:

Para x = 5, sustituyes en la fracción:

xx

2 293

5 95 3

25 98

168

2−+

=−+

=−

= =

Cuando x = 5, xx

2 93

2−+

=

Para x = – 2, sustitúyelo en la fracción:

xx

2 293

2 92 3

4 91

5−+

=− −− +

=−

= −( )( )

El valor numérico de xx

2 93

−+

cuando x = –2, es – 5

Ejemplo 10

Encuentra el valor numérico de: y y

y

2 10 244

− +−

para y = 3

Solución:

Sustituye el valor es la fracción dada:y y

y

2 210 244

3 10 3 243 4

− +−

=− +

−( ) ( )

=− +

−= −

9 30 243 4

3 El valor numérico de y y

y

2 10 244

− +−

cuando x = 3 es – 3

Valornuméricodeunafracciónalgebraica

UNIDAD 4


Encuentra el valor numérico en cada caso:

a) zz

++222

para z = – 2 c) 832x x−

para x = 1 e) z

z

2 366

−−

para z = – 6

b) y yy

2

2

4 124

− −−

para y = 4 d) 6 32 1

2x xx

−−

para x = 3 f) y

y y+

− +1

2 12 para y = 2

¿Cuánto mide el área de un rectángulo si de largo mide 43

m y de ancho 610

m ?

Para encontrar el área multiplicamos largo 43

por

ancho 610

Para efectuarla puedes hacerlo de dos formas:

1)

43

610

41224

30155

45

× = =

2) 43

610

2 23

3 25 2

2 2 3 23 5 2

× =( )

×( )( )

=( )( )( )( )( )

==( )

=2 25

45

El área es 45

2m

Para efectuar esta operación con fracciones algebraicas es más recomendable la forma 2, ya que te permitirá simplificar los factores comunes en el numerador y denominador de las fracciones, quedando productos más sencillos de resolver.

Actividad2

Puntodeapoyo

El producto de fracciones algebraicas es similar a la de fracciones numéricas.

Aplica los mismos pasos.

Multiplicacióndefraccionesalgebraicas

Ejemplo 11

Efectúa la multiplicación de las fracciones 23

64

2 2xy

yx

x

y luego simplifícala.

Solución:

Primero multiplicas:

23

64

2 6

3 4

2 2 2 2xy

yx

x yy x

× =( )( )

Luego descompones en factores el numerador y denominador de los términos:

2 6

3 4

2 2 3

3 2 2

2 2x yy x

x x y yy

( )( )

=( ) ( )

( )( ) xxxy=

Luego obtienes: 23

64

2 2xy

yx

xy× =

UNIDAD 4


Ejemplo 12

Multiplica las siguientes fracciones: 5 2514

7 710 50

x xx

+×

++

Solución:

Primero debes de factorizar las fracciones:

5 2514

7 710 50

5 52 7

7x xx

x x+×

++

=+( )

×( ) ( +

( ) +1

2 5 5)

( )x ahora que están factorizados

tanto el numerador como el denominador de ambas fracciones, simplificas o cancelas los factores comunes:5 52 7

7 12 5 5

12 2

( ) ( )( )

x xx

x+( ) × +

( ) += +

( )== +x 1

4

Entonces: 5 2514

7 710 50

14

x xx

x+×

++

=+

Ejemplo 13

Multiplica: xy yx xy

x xy yx xy

−+

×+ +−

2 22

2

2

2 2

2

Solución:

Primero factoriza: xy yx xy

x xy yx xy

y x−+

×+ +−

=−2 2

2

2

2

2 2

2

( 222

2yx x y

x yx x y

)( )

( )( )−

×+−

Ahora simplifica:

y x y x yx x y x x y

y x( )( )( ) ( )

(− +− −

=+2

2

2 yyx x x y

y x yx x y

)( )

( )( )

2 2

2−=

+−

Luego tienes que: xy y

x xyx xy yx xy

y x−+

×+ +−

=+2 2

2

2

2

2 2

2

( yyx x y

)( )

2

2 −Ejemplo 14

Multiplicar: x xx

x xx x

x xx

2

2

2

3 2

2

2

216

2 8 4+−

×− −

+×

+++ +4 4x

Solución:

Factorizas: x xx

x xx x

x xx x

x xx

2

2

2

3 2

2

2

216

2 8 44 4

24

+−

×− −+

×+

+ ++

−=

( )( ))( )

( )( )( )

( )( )x

x xx x

x xx+

×− +

+×

++4

4 21

422 2

Simplificas: x x x x x xx x x x x x

( )( )( ) ( )( )( ) ( )(

+ − + +− + +

2 4 2 44 4 1 ++ + +2 2

11)( )x x

=

Luego: x xx

x xx x

x xx x x

2

2

2

3 2

2

2

216

2 8 44 4

11

+−

×− −+

×+

+ + +=

UNIDAD 4


Actividad 3Multiplica las siguientes fracciones:

a) x y a

mmx

2 3

2 35103

9x x d) 5 2 3

102aab

bx x

b) 215

3 57

3

3

2 2

2

xa

ay

xxy

x x e) m nmn n

nm n

+−

×−2

2

2 2

c) x xy yx xy

xx y

2 2

2

2

2 2

4 42 4

− ++

×−

f) 2 22

32 3

2

2

2

2

x xx

x xx x

+ × −− −

En esta lección estudiaste algunos aspectos referentes a fracciones algebraicas.

Simplificar una fracción es expresarla en su forma más simple, es decir que el mcd del numerador y denominador es 1.

Hallar el valor numérico de una fracción algebraica consiste en sustituir las variables por los valores correspondientes, y luego efectuar la operación indicada, obteniendo así un resultado numérico.

Otro aspecto es lo relacionado al producto, cuyo proceso es similar a la de fracciones numéricas.

Resumen

Ejemplo 15

Multiplica: 2 35 2

6 17 4

xx

xx

+−

×−

− +¿Qué diferencia observas comparando con las multiplicaciones anteriores?

2 35 2

6 17 4

2 3 6 15 2 7 4

xx

xx

x xx x

+−

×−

− ++ −− − +

=( )( )( )( )

Que no hay factores comunes, entonces tienes que realizar las multiplicaciones en: ambos términos y obtendrás:

( )( )( )( )2 3 6 15 2 7 4

12 16 335 34 8

2

2

x xx x

x xx x

+ −− − +

+ −− + −

=

Entonces:

2 35 2

6 17 4

12 16 335 34 8

2

2

xx

xx

x xx x

+−

×−

− ++ −

− + −=

UNIDAD 4


Las fracciones algebraicas son usadas en muchas actividades del entorno.

Algunas de ellas representan leyes descubiertas por grandes científicos de la historia, por ejemplo descubrimiento realizado por Isaac Newton sobre

la ley de la gravitación universal.

La ley de la gravitación universal descubierta por Newton se escribe así:

F Gm mr

= 1 22

Otra ley de Newton establece que mFa

=

Autocomprobación

El producto de las fracciones nn

nn n

++

×+

− +12

22 12

es:

a)n

n n+

− +1

2 12 c) n

n+−

11

b)1

1n − d)

11 2( )n +

4 La fracción x yx xy y

2 2

2 22−

+ + es equivalente a:

a)−12xy

c)−12xy

b)x yx y−+

d)x yx y+−

2

Al efectuar 41

122

xyx

xxy( )−

×− obtienes:

a)2 c)21x −

b)2

1xy

x − d)2(x-1)

1 3 La fracción xx x

3

2

811 26−

+ − evaluada en x = – 3 es:

a)150

c)−2716

b)1950

d) 710

TM08P164

Foto de Newton

Soluciones1. c. 2. b. 3. d. 4. a.

UNALEYDENEWTON


Cuarta Unidad

Motivación

aplicarás y explicarás la división de fracciones algebraicas a partir de los números racionales, con seguridad.

dividirás fracciones algebraicas con denominadores monomios, con orden y aseo.

mostrarás orden y aseo al reflejar de forma escrita la división de fracciones algebraicas con denominadores polinomios.

mostrarás perseverancia al resolver problemas utilizando la división de fracciones algebraicas.

resolverás con perseverancia problemas de aplicación de suma y resta de fracciones algebraicas.

resolverás problemas de aplicación de operaciones combinadas con fracciones algebraicas.


En el comedor de doña Elena, tienen un recipiente grande con cinco compartimientos iguales en el cual pueden almacenar 120 litros de jugo en total. Si los litros almacenados en un compartimiento se reparten en cantidades iguales en 8 recipientes más pequeños, ¿cuántos litros de jugo irán en cada recipiente?¿Cómo plantearías esta operación? ¿Cómo la resuelves?

OperaciOnes cOn fracciOnes algebraicas

Lección 3

Para dar respuesta a la situación anterior, es decir, para calcular el número de litros que irán en cada recipiente pequeño; realizas la siguiente operación.Primero encuentras lo que cabe en un compartimiento 1205

litros de jugo; y luego lo repartes en 8 recipientes

pequeños, entonces tienes que dividir la cantidad de litros de jugo entre el número de recipientes, es decir:

12058

120581

12040

3= = =

R: En cada recipiente irán 3 litros de jugo.

Ejemplo 1

¿Cómo efectúas la división 65

210

2 3 2

2

x yn

xyn

÷ ?

Solución:

Recuerda como se dividen fracciones en aritmética.Primero convierte la división en una multiplicación del dividendo por el recíproco del divisor:65

210

65

102

2 3 2

2

2 3 2

2

x yn

xyn

x yn

nxy

÷ ×= luego simplificas y

multiplicas:

65

102

2 3 2 5

5 2

2 3 2

2

2x yn

nxy

x x y y n nn x

×( ) ( )

= (3) (2) = 6y

xy n nxy2 =

Entonces: 65

210

2 3 2

2

x yn

xyn

÷ = 6nxyLa división algebraica se realiza como un proceso similar a la de una división de fracciones aritméticas.

Observa

Divisióndefraccionesalgebraicas

UNIDAD 4


Actividad1Divide:

a) 35

2

22 2a b

xa b÷

b) 57

1014

2

3

4

4

mn

man

÷

c) 1519

2038

2

3

2

3 4

max

ya x

÷

d)

36 9

53

2

2 2

3

2 2

aa ab b

aa b ab+ +

÷+

e) x x

x xx x

x

3

2

2

2 65 52 6

−+

÷−+

f) 1

302

422 2a a a a− −÷

+ −

Ejemplo 2

Divide: x x−÷

−13

2 26

Solución:x x x

x−

÷− −

×−

13

2 26

13

62 2

= en este caso debes factorizar para simplificar:

xx

xx

− ×−

= − ×× −

= =13

62 2

1 2 33 2 1

11

1( )

( )

Ejemplo 3

Efectúa: x xx

x xx

3

2

212149

117

−−

÷−+

Solución:

x xx

x xx

x xx

xx x

3

2

2 3

2 2

12149

117

12149

711

−−

÷−+

−−

×+−

= =

luego factorizas:

x xx

xx x

x xx x

x3

2 2

212149

711

1217 7

7−−

×+−

−− +

×+

=( )

( )( )( ))( )

( )( )( )( )( ) (x xx x x xx x x x−

=− + +

− + −1111 11 7

7 7 11))=xx+−117

Por lo tanto: x xx

x xx

xx

3

2

212149

117

117

−−

÷−+

+−

=

UNIDAD 4


Ejemplo 5

María tiene un litro de leche, reparte a sus amigas 38

y

a sus hermanos 512

.

¿Qué parte del litro de leche ha repartido?

Solución:

Tienes que realizar una suma, así: 38

512

+ , observa

que tiene diferente denominador, para que puedas realizar esta operación tienes que recordar como sumar fracciones de diferente denominador lo primero es encontrar el mínimo común múltiplo de sus denominadores.

Recordarás como sumar números fraccionarios.

Ejemplo 4

Pedro, Juan y Rolando tienen que pintar una pared. Si

Pedro pinta 37

; Juan pinta 27

y Rolando, 17

.

¿Qué parte de la pared han pintado?

Solución:

Para encontrar la respuesta tienes que sumar:

37

+ 27

+ 17

, observa que todas las fracciones tiene

igual denominador.Entonces efectúas la suma así:37

27

17

3 2 17

67

+ + =+ +

=

R: La parte de pared que han pintado es 67

Puntodeapoyo

Para sumar fracciones de igual denominador, sumas los numeradores y al resultado le colocas el denominador común.

Sumadefraccionesalgebraicas

Al calcular el mcm de los denominadores obtienes 24, luego divides este mcm entre el denominador de cada fracción y lo multiplicas por el numerador respectivo.38

512

3 3 2 524

9 1024

1924

+ =( )( ) ( )( )+

=+

=

Si este resultado se puede simplificar debes hacerlo.

R: La parte del litro de leche es 1924

Este mismo proceso que aplicaste en aritmética, para sumar números fraccionarios, es el que debes utilizar para sumar fracciones algebraicas.

Ejemplo 6

Efectúa la siguiente suma: 43

23

73

2ax

ax

ax

+ +

Solución:

Observa, es una suma de fracciones que tienen el mismo denominador: 3x

Entonces tienes:

43

23

73

4 2 73

4 93

2 2 2ax

ax

ax

a a ax

a ax

+ ++ + +

= =

Es decir que:

43

23

73

4 93

2 2ax

ax

ax

a ax

+ ++

=

UNIDAD 4


Actividad2Efectúa las siguientes sumas:

a) a ba

b ab

−+

−215 20

c) xx

xx

xx

++

−+

−23

25

29

2

2

2

3 e) m n

mnn ana

a mam

−+

−+

−2

b) 35

22

26

2

2++

++x

xx

x d) a a a−

+ ++1

326

3 412

f) 12 2

3

2

2 2abb aab

ab ba b

+−

++

Ejemplo 7

Suma: a aa a

aa a

2 3 25 2

4 125 2

+ −+ −

++ −( )( ) ( )( )

+

Solución:

Como los denominadores son iguales, sumas los numeradores y conservas el común denominador:a aa a

aa a

a a a2 23 25 2

4 125 2

3 2 4 12+ −+ −

++ −

+ − + +( )( ) ( )( )

+ =(( )( ) ( )( )a a

a aa a+ −+ ++ −5 2

7 105 2

2

=

Ahora, observa si el numerador se puede descomponer en factores para simplificar si es posible:a aa a

a aa a

aa

2 7 105 2

5 25 2

22

+ ++ −

+ ++ −

+−( )( )

( )( )( )( )

= =

Luego tiene que: a a

a aa

a aaa

2 3 25 2

4 125 2

22

+ −+ −

++ −

+−( )( ) ( )( )

+ =

Ejemplo 8

Suma: 12

2 132 2

−+

++

xx

xx ax

Solución:

Observa que los denominadores son distintos, entonces encuentras el mcm. de ellos: El mcm de 2x, x2 , 3ax2 es 6ax2

Luego divides el mcm entre cada denominador y luego este resultado lo multiplicas por el numerador respectivo:12

2 13

3 1 6 2 2 162 2

−+

++

− + + +xx

xx ax

ax x a xa

=( )( ) ( )( ) ( )( )

xx 2

Al efectuar las multiplicaciones obtienes:( ) ( ) ( )3 3 6 12 2

63 3 6 12

2

2ax ax ax aax

ax ax ax− + + + − + +=

22 26

3 9 12 262

2

2

aax

ax ax aax

+ − + + +=

Notarás que no hay factores comunes, por lo tanto no se puede simplificar

Entonces: 12

2 13

3 9 12 262 2

2

2

−+

++

− + + +xx

xx ax

ax ax aax

=

UNIDAD 4


Restadefraccionesalgebraicas

Para restar fracciones utilizarás un proceso similar al de la suma, transforma la resta en una suma cambiando el signo del sustraendo y luego efectúa la suma.

Es decir: mn

xy

mn

xy

− = −

Ejemplo 9

Efectúa: 32

42

xy

xy−

−−

Solución:

Observa que tiene igual denominador, por lo tanto sólo se restan los numeradores y colocas el mismo denominador:32

42

3 42 2 2

xy

xy

x xy

xy

xy−

−−

−−

=−−

=−−

= Luego: 32

42 2

xy

xy

xy−

−−

−−

=

Ejemplo 10

Efectúa: nn

nn

−−

+13

22

. Observa, ¿qué diferencia encuentras con el ejemplo anterior?

Solución:

Primero encuentras el mcm. de los denominadores, que es 3n2:

nn

nn

n n nn

−−

+ − − +( )[ ]13

2 1 3 232 2=

( ) realizas la resta:

=− − −n n n

n

2

2

3 63

elimina signos de agrupación:

=− −n n

n

2

2

4 63

reduce términos semejantes

Entonces = nn

nn

n nn

−−

+ − −13

2 4 632

2

2=

Actividad 3Efectúa las siguientes restas de fracciones algebraicas.

a) a a−−

+34

28

d) a ba

bab

+−

−5 32

b) 2

31

22 2mn m n− e) a

abab

a b−

−−3

54 33

2

2 3

c) 2 34

28

aa

aa

+−

− f) y x

xx y

y−

−−2

203

24

UNIDAD 4


Fraccionescomplejas

En alguna ocasión has observado expresiones como estás:

3256

2

xyxy

,

xy

yxyx

+

− +2,

2

44

1

2

2 2

n mn

m

n mnm

− −

+ +: Estos son algunos ejemplos de fracciones complejas

Una fracción compleja es la fracción que posee en el numerador y/o denominador fracciones algebraicas.

Observa la siguiente fracción compleja

235

2

abxy

esto indica 23

5 23 5

23 52

2 2ab

xy

ab

yx

a yb x

÷ = × =( )( )( )( )

Por lo tanto:

235

215

2

2abxy

a yx b

=..

Extremo por extremoMedio por medio

Ejemplo 11

¿Cómo podrías simplificar la fracción

xy

yxyx

+

− +2?

Solución:

Simplificas el numerador: xy

yx

x yxy

+ =+2 2

Simplificas el denominador: − + =− +

22y

xx yx

Sustituyes en la fracción dada

xy

yxyx

x yxyx yx

+

− +=

+

− +2

2

2 2

luego divides:

x yxy

y xx

x yxy

xy x

x x yxy y x

x2 2 2 2 2 2 222 2

+÷

−=

+×

−=

+−

=( )( )

++−

=+−

yy y x

x yy xy

2 2 2

22 2( )Observa que esta operación indicada equivale a que en el numerador tienes el producto de los extremos de la fracción resultante y en el denominador el producto de los

términos medios: =+−( ) =

+−

x yy y x

x yy xy

2 2 2 2

22 2

Luego tienes la fracción compleja simplificada: =

xy

yxyx

x yy xy

+

− +

+−2 2

2 2

2=

UNIDAD 4


Actividad 4Simplifica las siguientes fracciones:

a)

xx

x

2 1

11

−

− c)

xy

yxyx

−

−1

b) x

x

xx

+

−2

4

d) x

x

xx

+ +

− −

43

45

En esta lección estudiaste la división, suma y resta de fracciones algebraicas cuyos procesos de resolución son similares a los aplicados en aritmética con números fraccionarios. Lo mismo sucede con las fracciones complejas.

Resumen

Ejemplo 12

Simplifica la siguiente fracción: 2

22

222

+−

−−

a

xaSolución:

Simplificas el numerador:

222

2 2 22

2 4 22

2 22

+−

=−( )+−

=− +−

=−−a

aa

aa

aa

Simplificas el denominador:

xa

x aa

a x xa

−−

=−( )−−

=− −−

22

2 2

22 2

22

2

2

2

2

Sustituyes:

2 22

2 22

2

2

aa

a x xa

−−

− −−

Efectúas el producto de los extremos y lo divides entre el producto de los medios:

2 2 2

2 2 22 2 4 42

2

2

3 2

3 2

a aa a x x

a a aa x a

−( ) −( )−( ) − −( ) =

− − +− xx ax a x− − + +2 2 4 4

Luego tienes que:

222

22

2 2 4 42 2 2 4 4

2

3 2

3 2

+−

−−

= − − +− − − + +

ax

a

a a aa x a x ax a x

Ejemplo 13

Reduce la siguiente fracción:

1 1

1 1m n

m n

+

−Solución:

Simplificas el numerador: 1 1m n

n mmn

+ =+

Simplificas el denominador 1 1m n

n mmn

− =−

Sustituyendo

n mmnn mmn

+

− efectúas el producto

de los extremos y lo divides entre el producto de los medios:

1 1

1 1m n

m n

mn n mmn n m

n mn m

+

−

+−

= +−

=( )( )

UNIDAD 4


Diofanto de Alejandría (Diophanti Alexandrini) fue un antiguo matemático griego que se considera el padre

del álgebra. Nacido en Alejandría, poco se conoce con seguridad sobre su vida salvo la edad a la que falleció, gracias a este epitafio redactado en forma de problema y

conservado en la antología griega: Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después,

durante la décima segunda parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de

su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada

la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle,

llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."

La reducción de 34

5 68

aa

a−

− es igual a:2

El cociente de 34

1612

2

3

2

2

xy

xy

÷ es igual a:

a)916

4

5

yy

c)43 y

b)9

16 y d)

43

1Autocomprobación

3 Al efectuar la suma x aax

xx x

−+

−+

42

25

1102

obtienes:

a) 2 4 117 2

x aax

− −

b) x a

x

2

2

4 210− −

c) 5 17 4

10

2

2

x ax aax

− −

d) 5 17 417

2

2

x ax aax

− −a) − −5 68a c) −

58

b) 12 5

8− a

d) 58

Soluciones1. b. 2. b. 3. c.

DIOFANTODEALEJANDRÍA


Motivación

Cuarta Unidad

Es posible que menciones que está formado por partes curvas. Construye un semicírculo, gíralo a partir de uno de los extremos del diámetro notarás que se te forma algo como una esfera.

describirás y trazarás los elementos geométricos de una esfera, con seguridad y precisión.

determinarás, utilizarás y explicarás, con confianza la fórmula del área de la esfera.

determinarás, utilizarás y explicarás, con confianza la fórmula del volumen de la esfera.

describirás y trazarás los elementos geométricos de un cono, con seguridad y precisión.

determinarás, utilizarás y explicarás, con confianza la fórmula del área del cono.

determinarás, utilizarás y explicarás, con confianza la fórmula del volumen del cono.

resolverás problemas de área y de volumen de cuerpos esféricos.


Con seguridad ya habrás jugado con un balón de fútbol o de basquetbol y te has preguntado alguna vez, ¿Cómo hacen las fábricas de balones para saber la cantidad exacta de material que se necesita para su elaboración?

la esfera y el cOnO

Lección 4

La forma de un balón o pelota de fútbol, basquetbol, voleibol, es esférica.

¿Cómo defines una esfera?

Entonces, una esfera se define como un sólido de revolución, ya que se obtiene de girar en el espacio, un semicírculo alrededor de su diámetro.

La superficie de una circunferencia es la región geométrica de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo llamado centro, donde la distancia del centro a cualquier punto de la superficie se llama radio.

Elemento de una esfera:

O: es el centro.

r: es el radio, segmento que une el centro con un punto de la superficie esférica.

d: es el diámetro, segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la superficie AB y CD.

E

F

BoC

DA

Laesfera

r

UNIDAD 4


Ejemplo 1

Berta le regalará a su sobrino una pelota de 14 cm de diámetro y solicita que se envuelvan en papel de regalo. ¿Qué cantidad de papel utilizarán?

Solución:

Con seguridad has pensado en encontrar el área de la pelota para conocer la cantidad de papel a utilizar

El proceso que se sigue para encontrar el área es similar al que se sigue para encontrar el área de un círculo; pero, el área de la superficie esférica es igual a cuatro veces el área del circulo máximo, es decir el círculo más grande que cabe en la esfera:

A = 4 π r2

Entonces, a partir de los datos que te proporcionan, tienes que conocer el diámetro, por lo tanto, el radio es la mitad.

Sustituyes los datos en la fórmula:

A = 4 π r2 = 4 (3.1416) (7 cm)2 = 615.75 cm2

R: La cantidad de papel a utilizar es 615.75 cm2

Ahora, con este ejemplo, puedes decir que para saber la cantidad de material que se utiliza para fabricar balones de fútbol, básquetbol, y otros, tienen que calcular el área de los balones y como su forma es esférica, utilizan la fórmula de la esfera.

Solución:

Sustituye el valor del radio en la fórmula y obtienes el área, así:

A = 4 π r2

A = 4(3.1416) (10 cm)2 = 1,256.64 cm2

R: La cantidad de papel que necesita para hacer el globo es 1,256.64 cm2

Ejemplo 3

¿Cual será el área total de una pelota cuyo diámetro es igual 12 cm?

Solución:

Sabes que para encontrar el área necesitas únicamente el radio, pero en este caso conoces el diámetro, entonces divide 12 cm entres dos.

Ahora lo sustituye en la fórmula:

A = 4 π r2 = 4(3.1416) (6 cm)2 = 452.39 cm2

R: El área total de la pelota es 452.39 cm2

Áreadelaesfera

Ejemplo 2

Un grupo de estudiantes para demostrar una ley científica, deciden construir un globo. ¿Qué cantidad de papel se utilizará para hacer un globo de 10 cm de radio?

UNIDAD 4


Solución:

Para encontrar la respuesta tienes que conocer la

fórmula del volumen de la esfera.

El volumen de una esfera es igual a 43

de π por el cubo

del radio o sea; V = 43

3π r como en este caso el radio

mide 18 cm.

Ejemplo 4

¿Cual es el diámetro de una esfera cuya área es igual a 452.16 cm2?

Solución:

Este procedimiento es inverso a los anteriores ejemplos. Observa:

Tienes que A = 4 π r2 despejas el radio y tienes: r2 = A4π

como se trata de un cuadrado, tienes que extrae la raíz

cuadrada así: r = A

4πAhora sustituyes los datos

r = 452161256

2..cm

= 36 2cm = 6 cm.

Esto indica que el radio de la esfera es 6 cm, por lo tanto su diámetro es de 12 cm .

Volumendelaesfera

Ejemplo 5

¿Que cantidad de agua puede almacenar un recipiente esférico con radio igual a 18 cm.?

Ahora, sustituye los datos:

V = 43

3π r = 4331416 18 3( )( cm).

=

4331416 5 832 3( )( cm ). ,

=

73 287243

24 429083

2, ., .

cmcm=

R: La cantidad de agua que puede almacenar el recipiente es: 24,429.08 cm3

El volumen es el espacio ocupado por un cuerpo. En una esfera, se calcula utilizando la fórmula:

43

3π r

Ejemplo 6

Calcula el volumen de una pelota cuyo diámetro mide 16 cm.

Solución:

Primero encuentra el valor del radio, ya que conoces el diametro.

Sustituyes los datos en la fórmula:

V = 43

3π r = 4331416 8 3( )( cm).

= =4

331416 512 3( )( cm ). 2,144.67cm3

UNIDAD 4


Ejemplo 7

Calcula el área de la superficie esférica y su volumen, si su diámetro es igual a 10 cm.

Solución:

Primero encuentras el área:

El diámetro es 10 cm, su radio es 5 cm

Lo sustituyes en la fórmula:

A = 4 π r2 = 4(3.1416) (5 cm)2 = 314.16 cm2

Ahora encuentra el volumen:

Sabes que el radio es igual a 5 cm, luego sustituyes en:

V = 43

3π r = 4331416 5 3( )( cm). ;

4331416 125 3( )( cm ). =

157083

3. cm= 523.6 cm3

Entonces tienes que A = 314.16 cm2 V = 523.6 cm3.

¿Qué cantidad de agua puedes tomar en un recipiente de forma cónica que usan en algunos lugares como oficinas, clínicas y otros?

Forma un triángulo rectángulo en cartulina, recórtalo y haz lo girar sobre uno de sus catetos, observa, ¿qué se forma?, posiblemente notes un cono.

El cono circular recto es el cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un triangulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

Así como el de la figura.

B

A o

g

ElCono

Observa la figura.

El punto B es el vértice del cono; el cateto OB es la altura y eje del cono; el cateto OA es el radio de la base , y la hipotenusa formada por el cateto AB es la generatriz del cono.

a) Encuentra la cantidad de papel para forrar una pelota cuyo radio mide 9 cm.

b) Encuentra el área de una esfera si su diámetro mide 22 cm.

c) Encuentra el radio de una cantimplora esférica, sabiendo que su área es igual a 314.16 cm2.

d) Encuentra el diámetro de una pelota cuya área es igual a 113.04 cm2.

e) Encuentra el volumen de una esfera sabiendo que su área es igual a 452.39 cm2.

Actividad1

UNIDAD 4


Entonces, los elementos de un cono circular recto son: vértice, altura, eje, radio y generatriz.

Áreadeuncono

El área total del cono se obtiene sumando el área lateral más el área de la base.

El área lateral es igualAL = π rg

Área total: AT = π rg + π r2 ó AT = π r (g + r)

La generatriz se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras g = h r2 2+

Ejemplo 8

Encuentra la cantidad de papel que se necesita para elaborar un cono cuya generatriz es igual 12 cm y el radio de su base es igual a 3.5 cm. ¿Piensa, cómo resolverlo?

Solución:

Tienes que g = 12 cm y r = 3.5 cm, en este caso necesitas el área lateral, sustituyes los datos en la fórmula

AL = π rg = (3.1416) (3.5 cm) (12 cm) = 131.95 cm2

R: La cantidad de papel para elaborar un cono es 131.95 cm2

Ejemplo 9

Un carpintero construyó un cono de madera, de 10 cm de altura y el diámetro de su base igual a 14 cm. ¿Cómo calculas el área total de dicho cono?

Solución:

Primero tienes que encontrar el valor de la generatriz divide 14 cm entre 2 para encontrar el radio, el radio es 7 cm.

Ahora, sustituye los datos en la fórmula de la generatriz:

g = h r2 2+ = = =( cm) ( cm) cm 12.2cm10 7 1492 2 2+

Con estos datos calcula el área total

AT = π r(g + r) = π (7 cm)(12.2 cm + 7 cm)

= (3.1416) (7 cm)( 19.2 cm) = 422.23 cm2

R: El área total es 422.23 cm2

Ejemplo 10

Rosa ocupa un cono para tomar agua y quiere saber cuanto tiene de altura. ¿Cómo encuentra la altura del cono sabiendo que la generatriz es igual a 8 cm y el radio de su base es igual 4 cm?

base

generatriz

Vértice

Altura

radio

8 cm

4 cmSolución:

En este caso utilizas la fórmula de la generatriz.

h = g r2 2−

Sustituyes los datos en la formula:

h = ( cm) ( cm) cm cm8 4 64 162 2 2 2− −,

h = 48 2cm = 6.9cm

R: La altura aproximadamente 6.9 cm

UNIDAD 4


Actividad2a) Los conos que utilizan en una sorbetería, tienen las siguientes medidas: radio igual 2 cm y generatriz

6 cm. Encuentra el área lateral de los conos

b) ¿Qué cantidad de cartulina se necesita para construir un cono cuyo diámetro de la base mide 20 cm y su generatriz 12 cm.

c) Encuentra el área de un cono cuya base tiene 7 cm de radio y una altura de 9 cm.

Volumendelcono

Ejemplo 11

A un niño le regalaron un cono de madera con las siguientes dimensiones: 4 cm de radio y 10 cm de altura. Calcula su volumen.

Solución:

Tienes que el volumen de un cono es 13

del producto

del área de su base por su altura, es decir:

V = 13

2π r h

Al sustituir los datos tienes:

V = 13

4 102π( cm) ( cm)

V = 50243

3. cm = 167.5 cm3

R: El volumen del cono es 167.5 cm3

Ejemplo 12

¿Cómo calculas la cantidad de agua con la que se llena un cono, sabiendo que su altura es 15 cm y su generatriz 18 cm.

Solución:

Primero debes encontrar el radio luego sustituye los datos:

r = g h2 2 2 218 15

324

− −=

=

( cm) ( cm)

ccm cm2 2225−

r = 99 2cm donde r = 9.9 cm

Como ya tienes el valor del radio, ahora sustituye en la fórmula de volumen:

V = 13

2π r h

= =1331416 99 15

4 61862343

23

. ., .

( cm) ( cm)cm

esto indica que el volumen del cono es igual a:

V = 1,539.5411 cm3

18 cm

15 cm

UNIDAD 4


Ejemplo 13

¿Cómo encuentras el área total y el volumen de un cono de durapax, si sabes que su altura es de 11 cm y su diámetro 12 cm.

Solución:

Para encontrar el área total necesitas la generatriz y el radio. Los datos que conoces son: h= 11 cm y D= 12 cm

Entonces, primero encuentra la generatriz h r2 2+ , ahora sustituye los datos:

g = = =( ) ( )11 6 121 362 2 2 2cm cm cm cm+ + 12.5 cm

Ahora encuentra el área total

AT = π r(g + r) = 3.1416(6 cm)(12.5 cm + 6 cm) = 348.72 cm2

Luego encuentra el volumen: Sustituye los datos en la fórmula:

V = 13

2π r h =1331416 6 112. ( cm) ( cm) = =1 24407

3

3, . cm 414.69 cm3

Tienes entonces que el área total es 348.72 cm2 y el volumen 414.69 cm3

Actividad 3a) El papá de Joaquín construyó un cono de madera con las siguientes dimensiones: una altura de 6

cm y la base de 2 cm de radio. ¿Cuál es el volumen?

b) Calcula el volumen de un cono construido de cartón, con radio de 7 cm y generatriz igual 12 cm.

c) Alicia tiene en su tienda un embudo para medir el aceite que vende por botellas. ¿Cuál es el volumen del embudo si su altura es igual a 4 cm y generatriz 5 cm?

En general tienes que una esfera es un sólido de revolución, ya que se obtiene de girar en el espacio, un semicírculo alrededor de su diámetro. Su área se calcula utilizando la fórmula A = 4π r2 y para calcular el volumen, se tiene: 4

33π r .

El cono circular recto es el cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un triangulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. y puedes calcular el área lateral y el área total, aplicando las siguientes fórmulas: AL = π rg , AT = π rg + π r2 ó AT = π r(g + r)

Y para el volumen, utilizas: 13

2π r h

Resumen

UNIDAD 4


Se le atribuye a Arquímedes el haber descubierto el volumen de la esfera.

El cálculo del volumen de la esfera fue uno de los descubrimientos que Arquímedes más estimaba de todos los que hizo en su vida.

Llegó a demostrar de un modo muy original que el volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circular circunscrito a ella. Tanto le impresionó esto a él mismo (tal

vez porque en ese entonces se hablaba de los cuerpos perfectos) que mandó que en su tumba se grabase esta figura en recuerdo de la mejor

de sus ideas.

Autocomprobación

El área de una esfera cuyo diámetro es igual a 4 cm es igual a:a) 33.52 cm2

b) 100.48 cm2

c) 50.27. cm2

d) 16.74 cm2

2

El área total de una esfera es igual a:

a) 4 π r2 c) π r2

b) π r(g + r) d) 43

3π r

1 3 Una tienda de campaña de forma cónica tiene 2 m de radio y 2.2m de altura. La cantidad de tela que se utilizó para su construcción, incluyendo el piso, es:a)18.66 m2 c) 26.39 m2

b) 30.79 m2 d) 31.23 m2

La fórmula para encontrar el radio de una esfera conociendo su área, es:

a)A

4π c)

Aπ

b) g h2 2+ d) g h2 2−

4

1. a. 2. c. 3. b. 4. a. Soluciones

LAGEOMETRÍAYARQUÍMIDES


Motivación

Cuarta Unidad

Zulma quiere saber cuánto papel utilizará para envolver una caja de galletas de la forma en que se presenta en la figura.La caja mide 20 cm de altura, su base 7 cm por lado y su apotema 6 cm.¿Podrías tú ayudarle a Zulma a calcular la cantidad de papel que necesitará?

describirás y trazarás con seguridad y precisión, los elementos geométricos de un prisma recto.

determinarás, utilizarás y explicarás, con confianza la fórmula del área de un prisma recto.

determinarás, utilizarás y explicarás, con confianza la fórmula del volumen de un prisma recto.

resolverás problemas aplicados al entorno sobre el área y volumen de cuerpos en forma de prisma recto.

describirás y trazarás con seguridad y precisión los elementos geométricos de una pirámide regular hasta 6 lados en su base.

determinarás, utilizarás y explicarás, con confianza la fórmula del área de una pirámide regular hasta 6 lados en su base.

determinarás, utilizarás y explicarás, con confianza la fórmula del volumen de una pirámide regular hasta 6 lados en su base.

resolverás problemas aplicados al entorno sobre el área y de volumen de cuerpos en forma de pirámide regular.

resolverás problemas aplicándose la formula del área y volumen de cuerpos en forma de cilindro circular recto.

prisma, pirámide y el cilindrO

Lección 5

Para resolver la situación anterior, observa que la forma de la caja es de un prisma, por lo tanto debes encontrar el área de este.

El área de la superficie es la suma de las áreas de todas sus caras incluidas sus bases.

Para ello, primero calculas las áreas laterales, es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma.

AL = p × h donde p es perímetro y h altura.

Prisma.Área

B

BB

Luego encuentras el área de la base, entonces tienes que el área total es: AT = AL + 2B (B área de la base)

UNIDAD 4


Observa los elementos de un prisma:

Tomando las medidas dadas para darle solución al ejemplo, tienes:

Para encontrar el área lateral primero calculas el perímetro, en este caso se trata de una base con forma de hexágono, multiplicas el número de lados por 7 cm:

p = nl = 6(7 cm) = 42 cm

El área de un polígono regular se calcula así:

A = perímetro apotema2x

A =

pa2

Puntodeapoyo

Ahora ya conoces el perímetro de la base y sabes que su altura del prisma es de 20 cm.

Entonces sustituyes estos valores en la fórmula:

AL=p × h = (42 cm)(20 cm) = 840 cm2

Luego encuentras el área de la base.

Es un hexágono, el área de su base es A =pa2

sustituyes los valores dados.

Área de la base =( )( )42 6

2252

2126

22cm cm cm

cm= =

Sustituyes los valores en la fórmula para calcular el área total:

AT = AL + 2B = 840 cm2 + 2(126 cm2)

= 840 cm2 + 252 cm2 = 1,092 cm2

R: La cantidad de papel es 1,092 cm2

Partiendo de la figura del ejemplo anterior y las de la derecha, obsérvalas, ¿qué características tienen? Con seguridad dirás que tiene una base poligonal, sus lados son rectángulos y otras.

Cuerpos geométricos como los de la figura, se conocen con el nombre de prismas rectos.

Vértice

Base

Aristas laterales

Caras laterales

Aristas básicas

Un prisma es un cuerpo geométrico que posee dos caras poligonales iguales y paralelas llamadas bases. Las demás caras se llaman caras laterales que poseen forma de paralelogramos.

Ejemplo 1

Encuentra el área total de un prisma triangular recto cuyos lados de su base son 20 cm, 20 cm, y 28.3 cm por 30 cm de altura.

30 cm

20 cm20 cm

28.3 cm

UNIDAD 4


Volumendeunprisma

Ejemplo 2

Un hojalatero construyó un depósito para usarlo como papelera, que tiene la forma de prisma con base cuadrada cuyo lados miden 20 cm y la altura del prisma mide 35 cms.

¿Cómo encuentras su volumen?

Solución:

Para encontrar el volumen de un prisma, multiplicas el área de la base por su altura del prisma. Es decir:

V = B h; donde B es el área de la base y h la altura del prisma.

En este caso, tienes:

V = B h la base es cuadrada, su área es A = 2

V = (20 cm)2 (35 cm)

= (400 cm2)(35 cm)

= 14,000 cm3

R: El volumen es 14,000 cm3

Ejemplo 3

Calcula el volumen de un depósito de agua que tiene forma de prisma rectangular de 5 m de altura. Las aristas de la base miden 4 y 3 m, respectivamente.

Solución:

Como la base es un rectángulo, entonces tienes:

V = B.h = (4 m)(3 m)(5 m) = 60 m3

R: El volumen del depósito de agua es 60 m3

Actividad 1a)Encuentra el área total de una caja que contiene zapatos,

cuyas dimensiones son: su base es de 20 por 14 cm y su altura de 30 cm.

b)Encuentra el área de un depósito que tiene la forma de prisma pentagonal cuya área de su base es igual a 105 cm2 y el perímetro 35 cm y con una altura de 23 cm.

c)¿Qué cantidad de papel se necesita para forrar una caja de forma de prisma cuadrangular sabiendo que su base es cuadrada de 8 cm por lado y una altura de 18 cm?

Solución:

En un prisma triangular, su base es un triángulo:

Verifica en tu cuaderno, que h = 14.13 cm utilizando el teorema de Pitágoras

AL = p × h

AL = (20 cm + 20 cm + 28.3 cm)(30 cm)

= (68.3 cm)(30 cm) = 2049 cm2

Luego encuentras el área total sumándole 2 veces el área de la base:

AT= AL + 2B

AT = 2,049 cm2 + 2 ( . )( . )283 14132

AT = 2049 cm2 + 399.88 cm2

AT = 2,448.88 cm2

Observa

Recuerda que el área de un triangulo es igual a: bh2

35 cm

20 cm20 cm

UNIDAD 4


Pirámideregularhastaseislados

Ejemplo 4

A un niño de segundo ciclo le han dejado de tarea que arme una pirámide pentagonal y quiere saber que cantidad de cartulina utilizará ,si lo hará de 10 cm de altura y su base mide de lado 4 cm y apotema 5 cm, ayúdale a calcular la cantidad de papel.

Solución:

Para calcular su área total, primero calculas el área de cada cara, A =bh2

luego esto lo multiplica por n lados según el número de lados que posea la base:

AL= n bh nb h2 2

=( )( )

es decir, el perímetro por la altura entre dos.

AL =ph2

luego, para encontrar el área total le sumas el área de la base.

AT =ph2

+ B, donde B es el área de la base.

La fórmula general del área de la superficie de una pirámide.

AT = +ph bh2 2

(fórmula para una pirámide de base triangular).

AT =ph2

+ l2 (fórmula para una pirámide de base cuadrada).

AT = ph l2

52

+( )apotema

(fórmula para una pirámide de base pentagonal).

AT = ph l2

62

+( )apotema

(fórmula para una pirámide de base hexagonal).

Ahora puedes ayudarle al niño a calcular la cantidad de papel. La fórmula que debes usar es la siguiente:

AT = +ph l2

52

( )apotema

Sustituyes los datos que te dan:

AT = + = +( cm)(10 cm) ( cm)(5 cm) cm cm202

5 42

2002

1002 22

2=

= 100 cm2 + 50 cm2 = 150 cm2

R: La cantidad de papel a utilizar es 150 cm2.

Observa la figura, notarás que sus caras laterales son triángulos y su base un pentágono.

UNIDAD 4


Observa la siguiente figura. Identifica sus partes:

Ejemplo 5

Encuentra el área de una pirámide triangular cuya base es un triángulo equilátero de 5 cm por lado y altura 6 cm y a = 10 cm.

Solución:

Primero encuentras el área lateral.

AL =ph2

AL = ( cm)( cm)15 102

(15 cm por el perímetro de la

base y 10 cm la altura de las caras que es el apotema)

AL= 75 cm2

Luego calcula el área total AT = +ph bh2 2

sustituye los datos en la fórmula:

AT = + =ph bh2 2

75cm2 + =( cm)( cm)5 6

2 75 cm2 + 15 cm2

= 90 cm2

R: El área total es 90 cm2.

La apotema es la altura de las caras en una pirámide.

Observa

Volumendeunapirámide

Ejemplo 6

Encuentra el volumen de una pirámide pentagonal si se sabe que los lados de la base son de 8 cm y apotema 7 cm y la altura de la pirámide 20 cm. El volumen de una pirámide es un tercio del producto del área de la base por la altura de la pirámide.

V =13B h. donde B es el área de la base de la pirámide y

h la altura de la pirámide.

En este caso: Para encontrar el área de un pentágono, tienes que calcular su perímetro, que este caso es: 5 (8cm) = 40 cm

Luego el área A =pa2

40 72

140 2= =( cm)( cm)cm

Ahora, efectúas el cálculo del volumen:

V = 13Bh sustituyendo los valores

V = 1

3140 202( cm )( cm) = =2 800

3

3, cm 933.3 cm3

Recuerda que el área de un polígono regular es el producto del perímetro por la apotema dividido entre dos.

Puntodeapoyo

Actividad2a)Encuentra el volumen de un prisma pentagonal cuya área de su

base es igual 10.5 cm2 y con una altura de 23 cm.

b)Calcula el área de una pirámide triangular sabiendo que los lados de su base son de 8 cm y una altura de 7 cm con apotema de 2 cm.

c)La pirámide de Keops, en Egipto, tiene una base cuadrada de 230 m de lado, y una altura de 146.60 m. Encuentra el volumen de la pirámide de Keops.

Base

Aristas laterales

Aristas básicas

Altura

Vértice de la base

UNIDAD 4


¿Cómo encuentras la cantidad de lámina que se utilizará para construir un granero de forma cilíndrica cuyas bases tendrán 2 m de radio y una altura de 3 m?

Recuerda, ¿qué es un cilindro?

Dibuja un rectángulo en cartulina, recórtalo y hazlo girar sobre uno de sus lados, observa la figura que se forma.

El cilindro circular recto es el cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Áreadeuncilindrorecto

Observa que el área lateral de un cilindro es equivalente al área del rectángulo.

Ejemplo 7

Retomamos la situación que está al inicio y damos solución.

Solución:

Para conocer la cantidad de lámina debes encontrar el área del granero que tiene forma cilíndrica, es decir:

AL = 2π r.h donde 2π r. es la base del rectángulo.

Luego las bases del cilindro son 2 circunferencias cuyas áreas son 2πr2

Entonces el área total lo encuentra sumando las áreas laterales:

AT = 2πr.h + 2πr2

AT = 2πr(h + r)

En este caso:

AT = 2π r(h + r) conoces que el radio es 2 m. y la altura h = 3 m luego sustituyes

AT = 2(3.14) (2 m) [(3 m + 2 m)]

= (12.56 m)(5 m) = 62.8 m2

R: Se necesitan 62.8 m2 de lámina para la construcción del granero.

Ejemplo 8

Encuentra el área lateral de una lata de conservas de forma cilíndrica sabiendo que el diámetro de la base es de 10 cm. y su altura 20 cm.

Solución:

El diámetro es 10 cm lo que implica que el radio es igual a 5 cm y altura igual a 20 cm.

AL = 2π r.h al sustituir los datos tienes

AL = 2π r.h = 2( 3.14)(5 cm)(20 cm) = 628 cm2

R: El área lateral mide 628 cm2

h

r

h

h

r

r

El área lateral de un cilindro coincide con la del rectangulo del desarrollo.

A LATERA L = 2πrh2πr

r

El área total del cilindro se obtiene sumando a la lateral el doble del área del circulo de la base: 2πr2

Elcilindrocircularrecto

UNIDAD 4


Volumendeuncilindro

Ejemplo 9

Encuentra la cantidad de agua que almacena en su totalidad un tanque cilíndrico, de agua potable cuyas dimensiones son: radio de la base 5 m y altura de 7 m.

Solución:

El volumen del cilindro como en el caso del prisma es el área de la base por la altura.

Como la base de un cilindro es un círculo su volumen es:

V = (πr2) h, donde πr2 = B

Luego V = Bh

Ahora sustituye los valores: V = Bh

V = (3.14)(5 m)2(7 m) = (3.14)(25 m2)(7 m) V = 549.5m3

R: El tanque almacena en su totalidad 549.5 m3 de agua.

Resumen

Cuerpo Área VolumenPrisma: cuerpo geométrico que posee dos caras poligonales iguales y paralelas llamadas bases. Las demás caras se llaman caras laterales formadas por paralelogramos.

AL = p × hAT= AL + 2B

V = B .h

B: área de la base

Pirámide: cuerpo geométrico cuyas caras laterales son triángulos y su base un polígono. AL =

p h.2

AT =p h.2

+ B V =13B h. B: área de la base

El cilindro circular recto es el cuerpo geométrico generado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

AL = 2π r.hAT = 2π r.h + 2π r2

= 2π r (h + r)

V = (π r2) h = BhB: área de la base.

a) Cuál será la cantidad de pintura en cm3 que almacena una cubeta de forma cilíndrica de 30 cm de diámetro y 50 cm de altura.

b) Calcula la cantidad de aluminio que se empleará en la construcción de un envase de refresco de forma cilíndrica si las dimensiones serán diámetro igual 14 cm y una altura de 20 cm.

Actividad 3

UNIDAD 4


Las pirámides de Egipto son de todos los

vestigios que nos legaron los egipcios de la antigüedad, los más portentosos y

emblemáticos monumentos de esta civilización, y en particular, las tres grandes pirámides

de Giza.

Las pirámides muestran, para su época, el gran conocimiento de los técnicos egipcios y

la capacidad organizativa necesaria para erigir tales monumentos con medios

muy simples.

Autocomprobación

Fórmula para encontrar el área total de una pirámide regular:

a) p.h c) p h.2

b) AL + 2B d) p h.2

+ B

2

Un recipiente cilíndrico contiene melocotón en almíbar, si las dimensiones son 5 cm de radio y 12cm de altura, la cantidad de material utilizado para elaborar el recipiente es:a) 534.07cm2

b) 106.81 cm2

c) 377 cm2

d) 942.48 cm2

1 3 El volumen de un prisma hexagonal que tiene de altura 20 cm. El lado de la base mide 6 cm y su apotema 8 cm es:a) 960 cm3

b) 2,880 cm3

c) 5,760 cm3

d) 1,920 cm3

1. a. 2. b. 3. b. 4. c. Soluciones

4 El área lateral de una caja con base cuadrada de 20 cm de lado y altura de 15 cm es:a) 300 cm2

b) 600 cm2

c) 1,200 cm2

d) 2,000 cm2

LASPIRAMIDESDEEGIPTO


Solucionario

Lección1

Actividad 1

a) a3b2 c) 30x2y2 e) 60m2n3

b) 12x4y3z2 d) 18x4y f) 168m3n3

Actividad 2

a) (2a – 3b) (2a − 3b)2 c) (x + y)3 (x2 − xy + y2) e) 6a2(a + 1)(a – 1)

b) x (x2 – 25) (x − 3) d) (a + 6) (a– 5) (a – 3) f) x2 (x2 − 4)

Actividad 3

a) 3a2b3 b) 4m2 c) 6b2 d) 6xyz e) 7a2b3c4 f)14m2n

Actividad 4

a) x(x – 1) b) a(a – 3) c) 2a + b d) 5x e) x(x + 2)

Lección2

Actividad 1

a) 13( )x y−

b) aa+−42

c) 23xy

d) x yx xy y

++ +2 2

e) 35

xyx −

f) n nn( )−

−16

Actividad 2

a) 0 b) – 1 c) – 4 d) 9 e) 0 f) 3

Actividad 3

a) 63a y

mx c) x xy

x xy y

2

2 2

24 4−

+ + e) n

m mn n2 22− +

b) 27

4

3

xay

d) 3b

f) 1

Lección3

Actividad 1

a) 3

5 2bx b)

anm 2 c)

32

2 2

2

a m xy

d) 3

5 15b

a b+ e)

xx+15

f) aa++7

2 10


Solucionario

Actividad 2

a) − + −3 7 8

60

2 2a ab bab

c) 24 30 18 1045

3 2

3

x x xx

+ − + e) 1m

b) 19 15 515

2

2

x xx

+ + d) 1112

a f) b ab a

a b

3 2 2

2 3

3+ −

Actividad 3

a) a − 8

8 c) 3 8

8a

a+ e) 3 6 20

15

2 2 2

2 3

a b aba b

+ −

b) 4 36 2 2

m nm n

− d) 5 32

2

b aa b+

f) 6 3 5120

2 2y xy xxy

+ −

Actividad 4

a) x2 + x + 1 b) 2 c) x yy+

d)xx+−35

Lección4

Actividad 1

a) 1,017.88 cm2 b) 1,520.53 cm2 c) 5 cm d) 3 cm e) 904.78 cm3

Actividad 2

a) 37.7 cm2 b) 690.80 cm2 c) 404.6 cm2

Actividad 3

a) 25.13 cm3 b) 497.5 cm3 c) 37.68 cm3

Lección5

Actividad 1

a) 2,600 cm2 b) 1,015 cm2 c) 704 cm2

Actividad 2

a) 241.5 cm3 b) 172 cm2 c) 437.5 cm2 d) Aproximadamente 2,585,047 m3

Actividad 3

a) 35325 cm3 b) 1186.92 cm2


Proyecto

Una empresa dispone de dos tipos de recipientes para recolectar desechos reciclables y desea escoger el mejor de ambos.

Uno tiene forma cilíndrica de 1.2 m de altura y su base de 50 cm de radio.

Otro de forma de un prisma pentagonal de 1.4 m de altura y cuya base tiene las siguientes dimensiones: lado = 50 cm y apotema = 40 cm.

a) Encuentra la capacidad de cada uno de los contenedores.

b) ¿Cuál le recomendarías a la empresa para recoger la mayor cantidad de desechos?

UNIDAD 4


Recursos

Ángel, Allen R, Álgebra elemental. Editorial Prentice Hall, 4ª Edición, México 1997, 600p.

Aponte Gladis, Pagán Estela, Fundamentos de Matemática Básica, Editorial Addison Wesley, 1ª Edición. México 1998, 482p.

Carpinteyro Vigil Eduardo, Sánchez Hernández Rubén, Álgebra, Publicaciones Cultural, 1ª Edición, México 2002 622p.

Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática II, Geometría y Trigonometría, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición, México 1995, 179p.

Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática I, Aritmética y Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1994, 281p

Mendoza William y Galo de Navarro Gloria, Matemática 8º grado, UCA Editores, 2ª edición. San Salvador, El salvador, 2003, 419p

Ormaechea , Luís María, Álgebra, UCA Editores, 1ª Edición, San Salvador, El Salvador, 1996. 378p.

Rees Paul K, Sparks Fred W, Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1991, 626p.

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