matemÁtica duodÉcimo grado bachiller en humanidades
TRANSCRIPT
1
MATEMÁTICA
DUODÉCIMO GRADO
BACHILLER EN HUMANIDADES
2
Ministerio de educación
Dirección regional de educación
de san miguelito
Instituto Rubiano
Matemática
Tercer trimestre
Duodécimo grado
Bachiller en humanidades
Preparado por:
PROFESORES
Raquel Atencio ([email protected])
(Horas de atención) miércoles: 9:00 a.m./9:20 a.m.; jueves: 9:00 a.m./9:20 a.m.
Vilma Prado ([email protected])
(Horas de atención) miércoles: 9:00 a.m./9:20 a.m.; jueves: 9:00 a.m./9:20 a.m.
Gloribeth Vega ([email protected])
(Horas de atención) martes: 3:30 p.m./3:50 p.m.; jueves: 1:30 p.m./1:50 p.m.
Hernán Castillo ([email protected])
(Horas de atención) lunes: 1:30 p.m./1:50 p.m.; martes: 2:30 p.m./2:50 p.m.
FECHA DE ENTREGA DEL ESTUDIANTE AL PROFESOR: 12 DE NOVIEMBRE DE 2021
3
Índice
Contenido
Desigualdades
a. Desigualdades lineales 6
b. Desigualdades cuadráticas 16
c. Desigualdades racionales 21
d. Bibliografía 27
4
PRESENTACIÓN
Esta guía de auto instrucción se encuentra dirigidas a los estudiantes que cursan el duodécimo grado de los Bachilleres de Ciencias y Tecnología e Informática del Instituto Rubiano, para ser desarrollada por el alumno desde su casa de forma no presencial.
Las mismas tienen como objetivo lograr el aprendizaje de conocimientos básicos de Matemáticas con los cuales debe contar el alumnado para poder seguir satisfactoriamente sus estudios a nivel universitario.
Es importante que pongas todo tu empeño y esfuerzo en lograr cada uno de los objetivos propuestos, exhortándote cumplir con responsabilidad las lecturas de las partes teóricas, de los ejemplos resueltos, la observación de los videos de apoyo y la realización de las
actividades, de manera que lleguemos con éxitos al final de esta nueva experiencia de aprendizaje.
INDICACIONES GENERALES
Las guías didácticas son publicadas especialmente para los estudiantes que no se pueden conectar a las clases a través de Microsoft Teams. En cada una se muestran las definiciones,
ejemplos y asignaciones respectivas. También se encuentran páginas web, vídeos y bibliografía para que el alumno pueda complementar el contenido.
Las asignaciones que el alumno debe desarrollar y entregar deben ser enviadas al correo
institucional del profesor (a) en un único archivo en formato PDF.
OBJETIVO GENERAL
❖ Manifestar una actitud constructiva y reflexiva ante problemas planteados en la resolución de situaciones de su entorno.
❖ Resuelve correctamente situaciones reales que involucren diferentes tipos de
desigualdades, aplicando sus propiedades y procesos de solución.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
❖ Comprende el concepto de intervalos y reconoce los mismos.
❖ Define una desigualdad y los diferentes tipos de desigualdades.
❖ Resuelve desigualdades (o inecuaciones) lineales con una variable.
5
❖ Resuelve desigualdades no lineales aplicando el método de la tabla de signos y la
regla de los signos de un producto.
INDICADORES DE LOGROS
❖ Utiliza con precisión la simbología de relaciones de orden y la notación de los intervalos.
❖ Aplica correctamente las propiedades de las desigualdades y los procesos de solución.
❖ Resuelve, con claridad, problemas reales que involucren la
aplicación de las inecuaciones.
6
GUÍA DIDÁCTICA
DESIGUALDADES ACTIVIDAD DE INICIO:
Utilizando la tecnología, observa los siguientes videos instructivos del tema.
➢ https://www.youtube.com/watch?v=yhdmoH_lyeU
➢ https://www.youtube.com/watch?v=q5Yfn5DMlDc
➢ https://www.youtube.com/watch?v=jSZWvCh2PqI
➢ https://www.youtube.com/watch?v=1CmeGrYDgLU&t=33s
➢ https://www.youtube.com/watch?v=sjJp1zfWZq4
ACTIVIDAD DE DESARROLLO:
No se sabe exactamente el origen de las inecuaciones o desigualdades, pero se cree que se
originaron poco después de las ecuaciones (1700aC. - 1700dC.), debido al surgimiento de un
problema en el cual la respuesta podía ser más de una absoluta, sino que podía contener un
grupo de números.
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos
expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >,
menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas
expresiones de valores distintos.
Como nos indica el primer texto las desigualdades nos permite encontrar un conjunto de
soluciones para un mismo problema, a los cuales llamaremos intervalo solución.
DESIGUALDADES
7
Propiedades de las desigualdades:
Regla 1
Cuando un número real c se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el
sentido de la desigualdad no se altera:
Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c
Ejemplo 1:
3 < 8 → 3+𝟕 < 8 + 7 ∴ 10 < 15
3 < 8 → 3−𝟏𝟓 < 8 − 15 ∴ −12 < −7
(→ 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 "𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔"); (∴ 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 "𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐")
Regla 2
Cuando multiplicamos o dividimos por un número real c positivo a ambos lados de
una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera:
Si a < b entonces a ∙ c < b ∙ c y 𝒂 < 𝒃 𝒄 𝒄
Ejemplo2:
2 < 10 → 𝟐 × 𝟓 < 𝟏𝟎 × 𝟓 ∴ 𝟏𝟎 < 50
𝟖 < 𝟏𝟔 ∴ 4 < 8 𝟐 𝟐
Regla 3
Cuando multiplicamos o dividimos por un número real c negativo a ambos lados de una
desigualdad, el sentido de la desigualdad se cambia:
Si a < b entonces a ∙ c > b ∙ c y a > b
𝐜 𝐜
Ejemplo 3:
−𝟗 < 𝟏𝟓 → −𝟗 × −𝟓 > 𝟏𝟓 × −𝟓 ∴ −𝟒𝟓 > −𝟕𝟓
8
8 < 16 → 𝟖
𝟐 >
𝟏𝟔
𝟐 ∴ - 4 > - 8
Tipos de intervalos solución
Los intervalos solución pueden ser abiertos y se representan con los símbolos <, >. Este tipo
de intervalos utiliza los paréntesis para su representación ( )
Los intervalos cerrados se representan con los símbolos ≤, ≥. Este tipo de intervalos utiliza
los corchetes para su representación [ ].
El conjunto de soluciones para una desigualdad, lo podemos expresar en notación de
intervalos o en forma gráfica.
Tipo de intervalo Notación de intervalos Gráfica
Intervalo abierto
(utilizan paréntesis) (a, b)
a
b
Intervalo cerrado
(utilizan corchetes) [a, b]
a
b
Intervalos semi
abiertos por la derecha [a, b)
_
a
b
Intervalo semi abierto
por la izquierda (a, b]
a
b
Intervalos infinitos
(a, ∞)
[a, ∞) a
(-∞, b)
(-∞, b]
b
R o (-∞, ∞)
9
Ejemplo: Escriba la desigualdad en forma de notación de intervalo y en forma gráfica
Desigualdad Notación de intervalo Gráfica
−3 < 𝑥 ≤ 4
(-3, 4]
Semi abierto por la
izquierda
-3 4
𝑥 > 6 (6, ∞)
Intervalo infinito
6
𝑥 ≤ −4 (-∞, -4]
Intervalo infinito
-4
−7 ≤ 𝑥 ≤ 2 [-7, 2]
Intervalo cerrado
-7 2
Una desigualdad lineal con una variable x es una proposición que puede ser escrita de la forma
𝒄𝒙 + 𝒃 > 𝟎, (o bien ≥) donde c y b son constantes con 𝐜 ≠ 𝟎
¿Qué significa resolver una desigualdad lineal?
Resolver una desigualdad es hallar todos los valores x que hacen verdadera esta relación. La
manera para resolver desigualdades lineales es llevarla a otra equivalente de la forma 𝒙 > 𝒂
o cualquiera de las otras tres formas cuya solución es evidente: 𝒙 < 𝒂; 𝒙 > 𝒂; 𝒙 ≤
𝒂 ó 𝒙 ≥ 𝒂. Para llevarla a alguna de estas formas debemos tener en cuenta ciertas reglas que
se enuncian a continuación.
DESIGUALDADES LINEALES.
10
Ejemplo 1.
Resuelva la siguiente desigualdad: 2(3 − 𝑥) ≤ 5 − 4𝑥
Solución:
Resolver el producto indicado 2 (3 – x)
6 − 2x ≤ 5 − 4x
Luego se dejan los términos en x en un
lado y las constantes en el otro lado. El 6
está sumando pasa restando y el 4x está
restando pasa sumando sin alterar el
sentido de la desigualdad
−2x + 4x ≤ 5 − 6
Se reducen los términos semejantes 2x ≤ −1
Ahora, el 2 está multiplicando, pasa
dividiendo sin alterar el sentido de la
desigualdad
−1 x ≤
2
1 x ≤ −
2
Expresaremos la solución en notación de
intervalos y gráficamente
Conjunto solución: (−∞, − 𝟏]
𝟐
−∞ −1
2
11
𝟏 𝒕 𝟑+𝒕 Ejemplo 2. Resuelva la siguiente desigualdad: − <
𝟒 𝟑 𝟐
Solución:
Buscamos el 𝒎. 𝒄. 𝒎 ( 𝟒, 𝟑, 𝟐) = 𝟏𝟐, se
multiplica cada término por el m.c.m
(12) 1
− (12) 𝑡
< (12) 3+𝑡
4 3 2
3 − 4𝑡 < 6(3 + 𝑡)
Se resuelve el producto indicado 6(3 + t) 3 − 4𝑡 < 18 + 6𝑡
Luego se dejan los términos en t en un lado y
las constantes en el otro lado. El 3 está
sumando pasa restando y el 6t está sumando
pasa restando sin alterar el sentido de la
desigualdad
−4𝑡 − 6𝑡 < 18 − 3
Se reducen los términos semejantes −10𝑡 < 15
Ahora, el -10 está multiplicando, pasa
dividiendo, cambiando (por ser negativo) el
sentido de la desigualdad
15 3 𝑡 > ; 𝑡 > −
−10 2
Expresaremos la solución en notación de
intervalos y gráficamente:
Conjunto solución: (− 3
, ∞ ) 2
−3 ∞
2
12
−𝟑𝒙−𝟏 Ejemplo 3. Resuelva la siguiente desigualdad: 𝟒 < < 𝟕
𝟐
Solución:
Se trata de una desigualdad simultánea.
Una estrategia para utilizar es hallar primero el
mcm: 2, y se multiplica cada término por ese
común denominador 2.
(2)(4) < (2) −3𝑥−1
< (2)(7) 2
8 < 1(−3𝑥 − 1) < 14
Se resuelve el producto indicado 8 < −3𝑥 − 1 < 14
Luego se dejan los términos x en el medio y las
constantes que la acompañan pasan a la izquierda
y a la derecha. El -1 pasa sumando a ambos
lados sin alterar el sentido de la desigualdad
8 + 1 < −3𝑥 < 14 + 1
Se reducen los términos semejantes 9 < −3𝑥 < 15
Ahora, el -3 está multiplicando, pasa dividiendo a
ambos lados cambiando (por ser negativo) el
sentido de la desigualdad
9 > 𝑥 > 15
−3 −3
−3 > 𝑥 > −5
Se escribe poniendo el número menor a la
izquierda
−5 < 𝑥 < −3
Expresaremos la solución en notación de
intervalos y gráficamente:
Conjunto solución: (−5, −3)
−𝟓 −𝟑
13
INSTITUTO RUBIANO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ASIGNACIÓN SUMATIVA # 1
DESIGUALDADES LINEALES
Nombre:
Grupo:
Profesor: Fecha: Puntos: / 50
I. En los siguientes problemas, escriba la desigualdad en notación de intervalos y luego
trace la gráfica del intervalo. 10 puntos
DESIGUALDAD INTERVALO GRÁFICO
x ≥ −12
x < −19
−7 < x ≤ 10
−20 ≤ x < −13
5 < x ≤ 15
ACTIVIDAD DE CIERRE:
14
II. Determina el intervalo solución de las siguientes inecuaciones de primer grado, con
una incógnita. De su respuesta como intervalo y como gráfico. Recuerda escribir todos
los procedimientos. 30 puntos
15x − 6(x + 3) ≤ 3x 1 1 1 2
4 x −
3 ≤
6 x +
3
3(x – 1) + 5 ≤ 5(x + 2) (x + 2) (x − 1) + 26 < (x + 4)(x + 5)
−8 ≤ −1 + 3x ≤ 11 x + 6 −6 ≤
2 ≤ 0
15
Puntuación
esperada
Aspectos por evaluar Puntuación
obtenida
Observaciones
5 Puntualidad. Entrega a fecha
indicada por el docente,
según organización del
colegio.
2 Limpieza y orden. No se
aprecian borrones, tachones.
3 Expresa adecuadamente la
solución de cada problema.
40 Desarrolla correctamente
todos los procedimientos de
acuerdo con las fórmulas y
propiedades.
.
CALIFICACIÓN.
16
Observar los siguientes videos
➢ https://www.youtube.com/watch?v=keJwrVpvarI
➢ https://www.youtube.com/watch?v=7OoLfOeKCIA&t=500s
➢ https://www.youtube.com/watch?v=p3Sv3Wa5qYQ
➢ https://www.youtube.com/watch?v=CiCp1-3n3sU
Se muestra cómo resolver desigualdades que contienen una expresión cuadrática. En los
próximos ejemplos se mostrará el uso de la tabla de signos y las propiedades del signo de un
producto.
Propiedades del signo de un producto: el producto de dos números reales es positivo
(negativo) si y sólo si los números tienen signos iguales (opuestos).
REGLAS PARA RESOLVER DESIGUALDADES CUADRÁTICAS.
i) Use las propiedades de las desigualdades para replantear la desigualdad dada en
forma tal que todas las variables y constantes diferentes de cero se encuentren del
mismo lado del símbolo de desigualdad y el número cero quede del otro lado.
ii) Luego, si es posible, factorizamos el lado distinto de cero de la desigualdad.
iii) Obtenemos las raíces igualando a cero cada factor. Estos números dividen la recta
numérica en intervalos.
iv) En cada uno de estos intervalos, determine el signo de cada factor y luego determine el
signo del producto aplicando las propiedades de los signos de un producto.
Para resolver una ecuación cuadrática se utilizan los conceptos de números críticos
y número de prueba.
ACTIVIDAD DE INICIO:
DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
ACTIVIDAD DE DESARROLLO:
17
Ejemplo 1. Resuelva la desigualdad: 𝐱𝟐 + 𝟐𝐱 − 𝟏𝟓 > 𝟎
SOLUCIÓN:
Comenzamos factorizando la
expresión cuadrática puesto
que uno de los lados es
igual a cero.
𝑥2 + 2𝑥 − 15 > 0
(𝑥 + 5) ( 𝑥 -3) > 0
Ahora buscamos los puntos
críticos en la ecuación
(𝒙 + 𝟓) ( 𝒙 − 𝟑) = 𝟎.
Obtenemos que
𝑥 + 5 = 0 𝑜 𝑥 − 3 = 0:
𝑥 = −5 𝑜 𝑥 = 3
Estos valores dividen la
recta real en tres intervalos:
(−∞, −5) (−5,3) (3, ∞ ).
−5 3
Sabemos que
𝒙 = −𝟓 y 𝒙 = 𝟑 son los
puntos críticos que
satisfacen la ecuación
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 > 𝟎.
Deseamos determinar el signo
de la expresión
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓
en los intervalos:
(−∞, −𝟓), (-5,3) y (3, ∞). Para
esto determinamos el signo de
cada uno de los factores
usando un valor de 𝒙 en cada
uno de los intervalos. Este
valor particular de 𝒙 se
conoce como valor prueba.
x < - 5; -5< x < 3 ; x > 3
Intervalos (−∞, −5) (-5,3) (3, ∞)
Signo de 𝑥 +5 - + +
Signo de 𝑥 -3 - - +
Signo de(𝑥 +5)(𝑥 -3) + - +
18
Construimos una tabla,
llamada una tabla de signos,
para organizar la
información obtenida:
Por ejemplo, para determinar el signo del factor 𝒙 +5 en el intervalo (−∞, −𝟓) escogemos
un valor de x que este en este intervalo, digamos x = -8 y lo substituimos en 𝒙 +5.
Obtenemos 𝒙 +5 = -8 +5= -3. Luego 𝒙 +5 es negativo en el intervalo (−∞, −𝟓). Por otro
lado, 𝒙 -3 = -8-3 = -11 por lo que 𝒙 -3 es negativo en el intervalo (−∞, −𝟓).
Repetimos este procedimiento para los otros dos intervalos.
El signo de (𝒙 + 5) (𝒙 -3) se obtiene multiplicando el signo de 𝒙 +5 con el signo de 𝒙
-3. Nos interesa saber dónde (𝒙 + 5) (𝒙 -3) > 0, es decir dónde (𝒙 + 5) (𝒙 -3) es positivo.
Esto ocurre en (−∞, −𝟓) U (3, ∞ ).
Ejemplo 2. Resuelva la desigualdad 𝒙𝟐 ≤ 𝟕𝒙 + 𝟒𝟒
Solución: Primero
despejemos para que un lado
de la desigualdad sea cero y
factoricemos la expresión
resultante:
𝑥2 ≤ 7𝑥 + 44
𝑥2 − 7𝑥 − 44 ≤ 0
(𝑥 − 11) (𝑥 + 4) ≤
0
Resolvemos la ecuación
(x - 11) (x + 4) = 0.
Obtenemos los puntos
críticos
x + 4 = 0 o x -11 = 0.
Luego
x = - 4 o x = 11
Ahora construimos una tabla
de signos.
(−∞, −4) z (-4,11) (11, ∞ ).
-4 11
Intervalos (−∞, −4) (-4,11) (11, ∞ )
Signo de 𝑥 -11 - - +
Signo de 𝑥 + 4 - + +
Signo de (𝑥 -11)( 𝑥 +4) + - +
Buscamos todos los valores de x tales que (𝒙 + 𝟒) (𝒙 − 𝟏𝟏) ≤ 0.
19
(𝒙 + 𝟒) (𝒙 − 𝟏𝟏) es menor que cero en el intervalo (-4, 11) e igual a cero en x = -4 y en
x = 11.
Luego la solución de la desigualdad es el intervalo [-4, 11].
Ejemplo 3. Resuelva la desigualdad 𝟒𝟓 ≤ 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟒𝒙
SOLUCIÓN. Primero despejemos
para que un lado de la desigualdad
sea cero y factoricemos la
expresión resultante:
45 ≤ 4𝑥2 + 24𝑥
0 ≤ 4𝑥2 + 24𝑥 − 45
4𝑥2 + 24𝑥 − 45 ≥ 0
(2𝑥 + 15) (2𝑥 − 3) ≥
0
Resolvemos la ecuación
(𝟐𝒙 + 𝟏𝟓) (𝟐𝒙 − 𝟑) = 0.
Obtenemos los puntos críticos:
𝟐𝒙 + 𝟏𝟓 = 𝟎 𝒐 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎
Luego
𝒙 = − 𝟏𝟓
𝒐 𝒙 = 𝟑
𝟐 𝟐
Ahora construimos una tabla de
signos.
(−∞, −
15) (−
15, 3 ) ( 3, ∞ ).
2 2 2 2
− 15 3
2 2
Intervalos
(−∞, − 𝟏𝟓
) (− 𝟏𝟓
, 𝟑) ( 𝟑, ∞ ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
Signo de 2𝑥 + 15 - + +
Signo de 2𝑥 - 3 - - +
Signo de (2𝑥 + - + +15)( 2𝑥 -11)
Buscamos todos los valores de x tales que (𝟐𝒙 + 𝟏𝟓) (𝟐𝒙 − 𝟑) ≥ 0
(𝟐𝒙 + 𝟏𝟓) (𝟐𝒙 − 𝟑) es mayor que cero en el intervalo (−∞, 15) o en intervalo (3, ∞)
igual a cero en 2 𝟐
x = 1 5
y en x = 3 𝟐 2
Luego la solución de la desigualdad es el intervalo (−∞, 15] U [ 𝟑, ∞) . 𝟐 𝟐
20
ACTIVIDAD DE CIERRE:
Desarrolla la siguiente actividad de aprendizaje.
INSTITUTO RUBIANO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ASIGNACIÓN SUMATIVA NO.2
DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
Nombre: Grupo:
Fecha: Profesor: Puntos: /50
I PARTE. En los problemas siguientes problemas, escriba la desigualdad en notación de
intervalos y luego trace la gráfica del intervalo. Recuerda escribir todo el procedimiento. 5
puntos c/u
5𝑥2 + 4𝑥 − 1 ≥ 0 𝑥2 − 2𝑥 − 5 ≥ 3
𝑥 (3𝑥 + 5) > 0 2𝑥2 + 𝑥 − 1 < 0
3𝑥2 − 7𝑥 < 0 2𝑥2 − 7𝑥 + 3 ≤ 0
𝑥2 + 10𝑥 ≤ 0 3𝑥2 + 10𝑥 ≥ 8
21
DESIGUALDADES RACIONALES.
Ahora estudiaremos las desigualdades racionales. Las desigualdades racionales pueden resolverse
mediante el procedimiento anterior, excepto que colocamos los ceros tanto del numerador P(x) como del
denominador Q(x) en la recta numérica y usamos las propiedades de los signos de un cociente.
Una inecuación racional es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que
tienen una sola incógnita, la cual APARECE en el DENOMINADOR. El numerador
puede ser una inecuación lineal o cuadrática, y en el denominador también, Ejemplos:
;
Resolver una inecuación racional en una variable significa encontrar el conjunto de números reales (Intervalo) que satisface la desigualdad. Para ello, recurrimos a las propiedades básicas de las desigualdades.
REGLAS PARA RESOLVER DESIGUALDADES RACIONALES
i) Use las propiedades de las desigualdades para replantear la desigualdad dada en forma tal que todas las
variables y constantes diferentes de cero se encuentren del mismo lado del símbolo de desigualdad y el número
cero quede del otro lado.
ii) Luego, si es posible, factorice los polinomios 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) en factores lineales.
iii) Marque la recta numérica en los ceros reales de 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥). Estos números dividen la recta numérica en
intervalos.
iv) En cada uno de estos intervalos, determine el signo de cada factor y luego determine el signo del cociente
aplicando las propiedades de los signos de un cociente.
Ejemplo 1. Resuelva la desigualdad
Solución: En esta inecuación
debemos calcular los intervalos
donde la función racional es
menor que cero, es decir, los
intervalos donde la función
racional sea negativa:
22
Para ello vamos a obtener en primer lugar los puntos donde la función cambia de signo. Esos puntos los obtenemos igualando el numerador a cero por un lado e igualando el denominador a cero por otro lado. Despejamos x
Obtenemos los puntos
críticos
x - 2 = 0 o x +2 = 0.
Luego
x = 2 o x = -2
Ahora construimos una tabla
de signos.
Es importante recalcar que el
valor que resulta de igualar el
denominador a cero, nunca se
toma, ya que el denominador de
una función racional nunca
puede ser cero. Por tanto, el -2,
también queda abierto.
Puntos críticos:
x< -2 -2 < x < 2 x > 2
Intervalos (-∞, -2) ( -2. 2) (2, ∞)
Valor de prueba -3 +1 4
Signos de x-2 - - +
Signos de x+2 - + +
Signos de + - + x-2/x +2
Evaluamos todos los valores de pruebas en x < -2, -2 < x < 2 y x > 2
Para terminar, la solución de nuestra inecuación son los valores de x que hacen que la función
sea menor que cero, es decir los tramos negativos:
Luego la solución de la desigualdad es el intervalo (-2, 2).
23
Ejemplo 2. Resuelva la desigualdad
SOLUCIÓN: Primero
organizamos los ceros del
numerador y el denominador, de
la expresión racional a la
izquierda del símbolo de
desigualdad, en la recta
numérica, desde la más pequeña
hasta la más grande de la
siguiente manera.
x
– 2 = 0
x =2
x
+ 1
x=
=
-
0
1
Seleccione un valor de x en
cualquiera de los intervalos y (- -∞, -1) (- 1, 2) (2, ∞ ).
úselo para encontrar el signo de
la expresión racional. Ejemplo
para x =-3 en el intervalo (-∞, -1)
Intervalos (-∞, -1) ( -1. 2) ( 2, ∞)
Los ceros -1 y 2 son de una
Valor de prueba
-3 +1 4
multiplicidad impar y, por lo tanto, el Signos de x-2 Signos de x+1
- -
- +
+ +
signo de la expresión (x - 2) / (x + 1)
cambiará en ambos ceros a medida que
Signos de x-2/x +1
+ - +
avancemos de un intervalo a otro.
Buscamos todos los valores de x:
Seleccione un valor de x en cualquiera de los intervalos y úselo para encontrar el
signo de la expresión racional. Ejemplo para x = -3 en el intervalo (-∞, -1) la expresión
racional (x - 2) / (x + 1) = (- 3 - 2) / (- 3 + 1) = 5 / 2. Por lo tanto, la expresión racional
(x - 2) / (x + 1) es positiva en el intervalo (-∞, -1).
El conjunto de solución de la desigualdad viene dado por la unión de todos los
intervalos donde (x - 2) / (x + 1) es positivo o igual a 0. De ahí que la solución
establecida para la desigualdad anterior, en notación de intervalo, esté dada por:
(-∞, -1) 𝖴 [ 2, +∞)
24
Ejemplo 3. Resuelva la desigualdad
Solución: Primero
reescribimos la desigualdad
dada con el lado derecho igual
a cero.
Luego, despejemos para que
un lado de la desigualdad sea
cero y factoricemos la
expresión resultante:
Use x + 3 como un
denominador común para
reescribir el lado izquierdo de
la desigualdad como
expresiones racionales
individuales de la siguiente
manera: agregue las dos
expresiones racionales;
organizamos los ceros del
numerador y el denominador
en la recta numérica desde la
más pequeña a la más
grande.
Ahora construimos una tabla
de signos.
(-∞, -5) (-5,-3) (-3, ∞ ).
Intervalos (-∞, -5) ( -5. -3) ( -3, ∞)
Valor de prueba
-6 +1 4
Signos de x+5 - - + Signos de x+3 - + +
Signos de -x-5/x +3
+ - +
Buscamos todos los valores de x.
Seleccione un valor de x en el intervalo (-∞, - 5) y úselo para encontrar el signo de
la expresión racional. Ejemplo para x = - 6, la expresión racional (-x - 5)(x + 3) =
(6- 5) /(- 6 + 3) = -1 / 3. De ahí la expresión racional (-x - 5) (x + 3) es negativo en el
intervalo (- ∞, - 5).
25
Los ceros - 5 y - 3 son de multiplicidad impar y, por lo tanto, el signo de (-x - 5) (x
+ 3) cambiará en ambos ceros. Por lo tanto, los signos de la expresión (-x - 5) (x +
3) a medida que avanzamos de izquierda a derecha.
El conjunto de soluciones de la desigualdad viene dado por la unión de todos los
intervalos donde (-x - 5) (x + 3) es negativo o igual a 0. Por lo tanto, el conjunto de
soluciones para la desigualdad anterior, en notación de intervalo, está dado por:
(-∞, - 5] 𝖴 (- 3, + ∞)
26
ACTIVIDAD DE CIERRE:
Desarrolla la siguiente actividad de aprendizaje.
INSTITUTO RUBIANO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ASIGNACIÓN SUMATIVA NO.3
DESIGUALDADES RACIONALES
Nombre: Grupo:
Fecha: Profesor: Puntos: /50
I PARTE. En los problemas siguientes problemas, escriba la desigualdad en notación de
intervalos y luego trace la gráfica del intervalo. Recuerda escribir todo el procedimiento.
10 puntos c/u.
I. RESUELVE LAS SIGUIENTES DESIGUALDADES. EXPRESA TUS RESULTADOS EN INTERVALOS Y GRAFICO.
1.
4
3𝑥+2
> 0
3 2. ≤ 0
2𝑥+5
3.
𝑤+5
𝑤−6
≥ −9
4𝑥2−3𝑥+8 4. ≥4
𝑥2−1
𝑧−1 5. ≤ 3
𝑧−8
6.
𝑡+9
𝑡−3 < −
1
2
7.
5𝑧+2
𝑧+3
5 >
2
8.
5𝑏+2
𝑏−2
> −1
27
Aspectos por evaluar Puntuación
obtenida
Observaciones
5 Puntualidad. Entrega a fecha
indicada por el docente,
según organización del
colegio.
3 Limpieza y orden. No se
aprecian borrones, tachones.
2 Expresa adecuadamente la
solución de cada problema.
40 Desarrolla correctamente
todos los procedimientos de
acuerdo con las fórmulas y
propiedades.
.
CALIFICACIÓN.
BIBLIOGRAFÍA.
1) MATEMÁTICA 11, ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA. DIANA
DE LAJÓN; RICARDO LAJÓN.
2) MATEMÁTICA 11. SERIE SER COMPETENTES. SANTILLANA. APUNTES DE LOS PROFESORES: HERNÁN CASTILLO, GLORIBETH VEGA, RAQUEL ATENCIO y VILMA PRADO