matemÁtica 4

MATEMÁTICA 4

Horacio Eliseo Galván

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MÓDULO N° 4

Contexto Problematizador:

Economía y Desarrollo Sustentable

Situación Problemática:

El avance de la ciencia y la tecnología en la industria y su incidencia en el

aumento de la tasa de desempleo por la reducción de la mano de obra calificada.

Las situaciones problemáticas generan un grado de conflictividad que requiere de

los sujetos el pensar y mirar críticamente la realidad en que están inmersos para

tomar conciencia de su importancia y poder generar acciones transformadoras. En

otras palabras, que logren identificarlas, describirlas y fundamentalmente,

problematizarlas.

Núcleos Conceptuales

Resolución de problemas en diversos contextos utilizando las TICs como

herramienta para la elaboración de modelos matemáticos. Número, operaciones y

lenguaje algebraico. Geometría y medida.

Aprendizajes Socialmente Significativos

Los aprendizajes socialmente significativos, parten de la vinculación de los sujetos

y su contexto y que se validan, no sólo desde la lógica disciplinar, sino que parten

fundamentalmente de los saberes construidos por los estudiantes y se vinculan

con la problematización de los diversos contextos.

Se destacan un conjunto de saberes que construye un sujeto como resultado de

las experiencias vividas, su historia, su cultura y los conocimientos formales que

propone la escuela. Estos saberes son necesarios para afrontar los desafíos del

mundo del trabajo, de la vida política y ciudadana. Esto implica la capacidad de

comprender, interpretar, criticar la realidad e interpelarla a través de nuevos

significados.

En este espacio se propone:

Convertir Magnitudes directas o inversamente proporcionales

Resolver problemas de regla de tres simple directa e inversa

Entender los alcances de las Magnitudes Proporcionales

Resolver Medidas de uso cotidiano

Uso del Sistema Métrico Decimal

Resolver problemas sobre Medidas de longitud, peso, tiempo

Resolver problemas sobre Medidas para líquidos y gases

Entender el concepto de Porcentajes

Resolución del Problemas Utilizando Regla de tres simple directa

Resolución del Problemas Utilizando razones y proporciones

Cálculo de Interés Simple

Interpretar el concepto de Monto, Tasa de Interés

Cálculo de Interés a plazos de 1 año

Cálculo de Interés a plazos anuales, mayores a 1 año

Cálculo de Interés a plazos parciales al año

Cálculo de Interés Compuesto, Monto, Interés, Capital Inicial

Cálculo de Interés Compuesto, Tasa, Período de tiempo, Capital Final

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CAPACIDADES ESPECÍFICAS

Usar magnitudes para contextualizar hechos determinados.

Estudiar y analizar solución de problemas con el uso de regla de tres simple

directa e inversa.

Explorar y argumentar relaciones y propiedades de Medidas de longitud,

peso, tiempo, líquidos y gases.

Comprender y encuadrar cantidades dentro de un porcentaje.

Reconocer y aplicar propiedades del Cálculo de Interés Simple y

Compuesto.

Comprender los múltiples usos de las operaciones financieras para

solucionar situaciones cotidianas.

Analizar e interpretar situaciones problemáticas en contextos de compra a

crédito.

Análisis de estrategias de cálculo, selección del tipo de cálculo: mental,

escrito, exacto y aproximado; con y sin uso de calculadora, evaluando la

razonabilidad del resultado obtenido.

Capacidades específicas del campo:

Elaborar mentalmente soluciones al problema presentado.

Intuir posibles caminos y resultados.

Interpretar los ejercicios, planteando coherentemente las soluciones.

Vincula el recurso digital con lo cotidiano, las ciencias naturales y la

tecnología.

Predecir resultados para luego calcular.

Identificar qué datos son conocidos y cuáles son los que debe hallar.

Demostrar cada resultado obtenido verificando su veracidad.

Analizar qué estrategia es la más adecuada para la resolución de un

determinado problema.

Analizar diferentes caminos.

Analizar la coherencia de los resultados.

Opinar sobre diferentes soluciones, planteando otras posibles.

Comparar procesos y resultados con otros compañeros.

Respetar las reglas y propiedades para la resolución de ejercicios y

problemas.

Aplicar la lógica frente a la resolución y a los resultados obtenidos.

Asumir el control de su trabajo, realizándolo de forma tanto autónoma como

colaborativa.

Plan de Acción

Su articulación es un proceso dialéctico de generación de la práctica a partir de

conocimientos teóricos y de construcción conceptual a partir de la práctica.

Los proyectos de acción no son aquí considerados como una estrategia de

aprendizaje más sino como una forma de apropiarse, construir y organizar el

conocimiento promoviendo aprendizajes socialmente significativos y productivos

para los jóvenes y adultos por lo que se los consideran generadores de procesos

de aprendizaje. “En qué consiste” y “por qué” se realizan y “para qué” y “cómo” se

desarrollan los proyectos de acción.

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3

Del docente:

Ejemplificación de problemas reales, a través de ejercicios de situaciones

problemáticas y su relación con cálculos matemáticos para encontrar resultados.

Adaptación de ejercicios según necesidades reales del alumno.

Vincular contenidos ya aprendidos con la aplicación actual fortaleciendo el hecho

de que matemática es un aprendizaje continuo.

Realización de actividades individuales y grupales para incentivar el trabajo en

equipo.

Fortalecer la interpretación de problemas y resolución mediante ejercicios

matemáticos y lógicos.

CONTENIDO DEL MÓDULO 4

Primer Semestre Funciones Par Ordenado El Plano Cartesiano La función lineal Representación gráfica de la función lineal por tabla de valores Constante de una Función Función Creciente y Decreciente Pendiente y ordenada al origen

Segundo Semestre Noción de Porcentaje Matemática Financiera Interés Simple Monto Tasa de Interés Intereses a plazos de 1 año Intereses a plazos anuales, mayores a 1 año Intereses a plazos parciales al año Unidad de Tiempo Interés Compuesto Monto Interés Capital Inicial Tasa Período de tiempo Capital Final

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4

Del alumno:

Siendo como somos personas adultas, el acuerdo que se intentará llevar a cabo

es consensuado pero deberá cumplir con pautas claras y valederas. Sabido es

que se tendrán en cuenta las situaciones personales que surjan en el tiempo, que

serán atendidas con la mayor de las consideraciones posibles. Pero del mismo

modo se le pedirá al estudiante respeto por los acuerdos consensuados en la

asistencia a clases, atención durante las mismas, compañerismo y compromiso

con la tarea a realizar.

Visualizar e interpretar información matemática en lo cotidiano (cálculos

combinados, porcentajes, incógnitas, representación gráfica).

Presenciales: Regularidad y compromiso en las clases, realizando trabajos en

término. Participación en la ejemplificación de problemas y resolución de

ejercicios.

Autónomos: Realizando el trabajo alternativo, presentando regularmente avances

y defendiendo su trabajo final al momento de entrega.

Indicadores de las Capacidades

1. Reconocerse como sujeto histórico, político, social y cultural

• Compromiso de participación en espacios educativos y comunitarios.

• Respeto y compromiso ético en las relaciones interpersonales y sociales.

• Respeto por los acuerdos consensuados en diversos ámbitos.

2. Participar en prácticas de expresión y comunicación como proceso de

construcción creativa y solidaria, entre personas y comunidades tendiente a la

igualdad.

• Selección y uso de distintas formas de expresión, apropiadas a variadas

situaciones y contextos, para hacerse escuchar y lograr una efectiva

comunicación.

• Análisis e interpretación de significados que subyacen en los distintos discursos

durante el proceso de comunicación.

• Comunicación de sentimientos, emociones e ideas.

3. Usar en forma crítica, creativa y responsable cualquier artefacto cultural que

permita acceder, distribuir y transformar la información en conocimiento.

• Uso de diversidad de fuentes y artefactos en la presentación de trabajos, tanto

individuales como grupales.

• Selección de diversos medios, soportes o formatos que resulten más adecuados

conforme a la finalidad y al contexto de uso.

• Argumentación acerca de la propia posición en relación con información sobre

temas controversiales o de importancia social.

4. Emplear estrategias cognitivas y metacognitivas que posibiliten la construcción

de conocimientos para analizar, comprender e intervenir en el entorno social,

cultural y natural en el que está inserto.

• Proyección de estrategias de acción individual y colectiva para la construcción de

conocimiento situado. Planificación, monitoreo y evaluación del propio proceso de

aprendizaje.

5. Reconocer el derecho a participar digna y solidariamente en el mundo del

trabajo como realización personal y colectiva.

• Elaboración y/o planificación de proyectos personales -vocacionales u

ocupacionales- a partir de reconocer los intereses, potencialidades y límites que lo

caracterizan como sujeto.

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5

• Producción de estrategias en la búsqueda de empleo: interpretación de avisos

laborales, elaboración de currículos vitae, cartas de presentación, entrevistas,

entre otros.

• Búsqueda y comprensión de información para planificar acciones y tomar

decisiones en torno a la generación de micro-emprendimientos productivos,

privilegiando las propuestas asociativistas y cooperativistas.

Interpretación de normas que regulan las distintas alternativas del trabajo y la

producción.

6. Comprender y situarse en la complejidad de los contextos socio-culturales

propiciando un diálogo crítico y comprometido que promueva relaciones solidarias

y de respeto en la diversidad.

• Disposición y apertura al diálogo.

• Reconocimiento de prejuicios o condicionantes culturales de quien realiza juicios

de valor.

• Uso del marco jurídico y vías de gestión en situaciones de discriminación o lesión

de derechos individuales y colectivos garantizados por el Estado.

7. Reconocerse como sujetos de prácticas socialmente productivas, políticamente

emancipadoras, culturalmente inclusivas y ecológicamente sustentables.

• Reflexión crítica de la propia práctica social.

• Participación en proyectos y organizaciones socio-comunitarias y socio-

productivas sustentables.

• Cooperación en la elaboración y desarrollo de proyectos de cuidado de la Tierra

que habitan.

8. Aprender de forma autónoma a lo largo de toda la vida.

• Interés por aprender y confianza en sus posibilidades.

• Actitud creativa y responsable frente a los desafíos de aprendizaje.

• Autonomía para gestionar aprendizajes que contribuyan al desarrollo del

proyecto de vida.

Evaluación

Evaluar el proceso es una tarea en donde se deberá establecer una evaluación

inicial para determinar saberes previos.

Será tenido en cuenta además de la apropiación de saberes, el esfuerzo, la

asistencia y todas las cuestiones inherentes al alcance de los objetivos previstos

alcanzar en el módulo. Teniendo en cuenta el proceso del desarrollo de las

capacidades de todos y de cada uno de nosotros, docentes y estudiantes es el

compromiso de esta nueva forma de reparación de derechos en el marco de la

educación permanente.

Rúbrica

Se establece una rúbrica para monitorear los avances de los estudiantes en

función del alcance de sus saberes, sus dificultades y capacidades para que en

cualquier momento pueda ser consultada por la dirección de la escuela como así

también pueda ser compartida la información entre los docentes, y la coordinación.

En dicha rúbrica se registrará diariamente la asistencia, el tema abordado en

clase, las dificultades visibilizadas y los logros conseguidos, mediante una serie de

letras y números que sean en momento de análisis, útiles para la evaluación de su

desempeño.

Material de Estudio y ejercitación

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Funciones

FUNCIÓN:

Si dos conjuntos de valores están relacionados, de manera tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un sólo elemento del segundo conjunto, se dice que dicha relación es una función.

El diagrama que encierra los valores que corresponden a los baldes de cal se llama Conjunto de salida.

El diagrama que encierra los valores que corresponden a los baldes de arena se llama Conjunto de llegada.

La relación entre baldes de cal y arena, nos da como resultado varios valores relacionados de a pares, se les llama pares de valores, se los escribe encerrados entre paréntesis.

Algunos de los pares de valores que se forman, a partir de la relación entre baldes de cal y arena son estos:

(1; 3) (2; 6) (3; 9) (6; 18)

Cada uno de estos pares de valores relacionados se llama par ordenado porque el primer elemento pertenece al conjunto de salida y el segundo elemento pertenece al conjunto de llegada.

PAR ORDENADO: Son dos elementos o números asociados por medio de una relación. El primer elemento pertenece al conjunto de salida y El segundo elemento pertenece al conjunto de llegada.

El primer valor, el 1, se marca en el eje horizontal (abscisas) y el segundo valor, el 3, en el eje vertical (ordenadas). Esos dos valores se les llaman coordenadas del punto. Ese par de valores es un par ordenado, porque “siempre” el primer valor corresponde a la coordenada x, (abscisa) y el segundo valor a la coordenada y (ordenada).

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EL PLANO CARTESIANO

Las relaciones entre números, pueden graficarse en el plano cartesiano, se dibuja a partir de dos rectas perpendiculares, llamadas Ejes Cartesianos, también se le llama Sistema de Ejes Cartesianos.

Al eje horizontal se lo llama eje de abscisas o eje x.

Al eje vertical se lo llama eje de las ordenadas o eje y.

Al punto donde se cortan los ejes se lo llama origen de coordenadas.

DIAGRAMA CARTESIANO

Un diagrama cartesiano es una gráfica en donde en uno de sus ejes (el horizontal)

representamos los valores de “x”. Mientras que en el otro eje (el vertical) los

valores de “y”.

LAS COORDENADAS EN EL PLANO CARTESIANO: Las coordenadas son dos números, es decir un par de valores, que se les denomina par ordenado. En el plano cartesiano se representan los pares de valores surgidos de una

relación, figura representado, con un punto, el par de valores (1; 3). Los puntos

correspondientes al siguiente par ordenado:

(1; 3)

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8

Representación gráfica de una relación: “1 de cal y 3 de arena”

Pero para poder hacer un gráfico sencillo, nos va a resultar más conveniente tomar, para las “x” como valores, números enteros entre -10 y 10, para de esta manera ubicarlos en el Plano cartesiano. Algunos de los pares ordenados que obtuvimos de la relación son:

(1; 3) (2; 6) (3; 9) (6; 18)

Poder unir los puntos con una línea. Quiere decir que están “alineados”. A partir de la relación establecida en el primer ejemplo, el de la mezcla de

construcción, obtuvimos un conjunto de pares de valores que se pueden

representar en el Plano cartesiano.

FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es una función cuya representación en el plano cartesiano es

una línea recta.

Un diagrama cartesiano es una gráfica en donde se representa la relación entre

dos magnitudes, donde observamos los puntos en donde convergen los valores de

ambos ejes.

Cuando los pares de valores que tenemos en la tabla, se pueden representar en el

Plano cartesiano y es posible trazar la línea recta. Estamos en presencia de una

función lineal.

Esa función lineal puede ser creciente o decreciente.

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FÓRMULA DE CONSTANTE (k) Buscamos entonces la constante “k” en esta relación.

𝑘 =𝑦

𝑥 𝑘 =

3

1

3 : 1 = 3 k = 3

CONVERCIÓN DE FÓRMULAS DESDE LA CONSTANTE (k)

PARA HALLAR VALORES DE (x) e (y)

Mediante el pasaje de términos despejamos “y” pasando “x” que está dividiendo al

otro lado de la igualdad multiplicando, para luego invertir la igualdad y presentar la

fórmula de: ”y”

k = 𝑦

𝑥 k · x = y y = k · x

Mediante el pasaje de términos despejamos “x” pasando “y” que está multiplicando

al otro lado de la igualdad dividiendo.

k = 𝑦

𝑥 k · x = y x =

𝑦

𝑘

LA FUNCIÓN LINEAL POR TABLA DE VALORES Siendo que los valores de cal están representados en el eje horizontal “x” y la cantidad de arena representada en el eje vertical “y”, la expresión algebraica de dicha relación sería: Para hacer la representación gráfica de una función lineal a partir de una tabla de valores, a la “x” podemos darle cualquier número y calcular el valor de “y” que le corresponde Aplicando la tabla de valores le asignamos cantidades a “x”

k · x = y

x 3 · x = y

1 3 · 1 = 3

2 3 · 2 = 6

3 3 · 3 = 9

4 3 · 4 = 12

5 3 · 5 = 15

GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN LINEAL CRECIENTE En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta, la

otra también aumenta y si una de las variables disminuye, la otra también

disminuye.

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En estos casos hablamos de una función lineal creciente, ya que a medida que los valores de “x” crecen los valores de “y” lo hacen también. El gráfico correspondiente a una relación de proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el punto de origen de un sistema de coordenadas cartesianas.

x - 2 - 1 0 1 2

y - 4 - 2 0 2 4

GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN LINEAL DECRECIENTE

En este caso hablamos de una función lineal decreciente, ya que a medida que los valores de “x” aumentan, los valores de “y” disminuyen.

x - 6 - 3 0 2 4

y 4 1 - 2 - 4 - 6

A partir de ir asignándole valores a “x” el resultado de la operación se anota en la tabla de valores generando valores de “y”; hallando pares ordenados que serán marcados en el eje cartesiano.

Para armar una mesa, se necesitan 30 tornillos. ¿Cuántos tornillos necesitamos para armar 6 mesas?,

Buscamos la constante y aplicando la fórmula de “y” y generamos una tabla de valores.

𝑘 = 𝑦 ∶ 𝑥 𝑘 = 30 ∶ 1

𝑘 = 30

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𝑘 · 𝑥 = 𝑦

30 x = y

x 30 · x y

1 30 · 1 30

2 30 ·2 60

3 30 ·3 90

4 30 ·4 120

5 30 ·5 150

6 30 ·6 180

Mesas x 1 2 3 4 5 6 7 8

Tornillos y 30 60 90 120 150 180 210 240

En la tabla de valores observamos que mientras la variable independiente:”x” (mesas), crece. La variable dependiente: ”y” (tornillos) también crece. Por lo que estamos frente a una proporcionalidad directa.

Función Creciente:

Ejemplo: y = 2x +1

x 2 ∙ x +1 = y

-8 2 ∙ (-8) +1= -16 +1= -15

-4 2 ∙ (-4) + 1 = -8 + 1= -7

-2 2 ∙ (-2) + 1 = -4 + 1= - 3

-1 2 ∙ (-1) + 1 = -2 + 1= - 1

0 2 ∙ ( 0 ) + 1 = 0 + 1 = 1

1 2 ∙ ( 1 ) + 1 = 2 + 1= 3

2 2 ∙ ( 2) + 1 = 4 + 1= 5

4 2 ∙ ( 4 ) + 1 = 8 + 1= 9

Función decreciente: Ejemplo: y = 5 – 4x

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x 5 – 4x = y

0 5 – 0 = 5

1 5 – 4 = 1

Función constante:

Una función constante es una función que asigna a cada valor de la variable

independiente x siempre el mismo valor de la variable dependiente. Si ese valor se

denota por k, la fórmula de este tipo de funciones es y = k (y permanece invariable

sea quien sea x).

Ejemplo: y = (x · 0) + 2

Todos los puntos de su gráfica tienen la misma ordenada k, por tanto dicha gráfica es una recta horizontal. Por ejemplo, la gráfica de la función constante y = 2 es:

Pendiente y ordenada al origen.

Una función lineal puede representarse en un diagrama cartesiano usando la

técnica de la pendiente y ordenada al origen.

La ordenada al origen representa al punto donde la recta corta al eje “y”.

La pendiente es el siguiente punto que al unirse con el punto de la ordenada traza

una línea.

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Para una función 𝑦 =3

2𝑥 − 4

ORDENADA AL ORIGEN

- 4 punto donde la recta corta al eje “y”

PENDIENTE

El denominador de la fracción indica las unidades desde el origen hacia la derecha.

El nominador de la fracción indica las unidades desde el nuevo punto hacia arriba

si es positivo y hacia abajo si la fracción es negativa.

Si el número no representa una fracción debemos expresarlo como tal, ya que

todo número entero puede representarse como fracción con denominador 1

3 =3

1

-3 Ordenada al origen (y)

2

3 es la pendiente

Observamos si los puntos de intersección coinciden con los valores de x =

Aplicando la tabla de valores, asignamos cantidades a “x”: -9, -6,-3, 0, 3, 6 y 9.

y =2

3𝑥 − 3

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x 2

3𝑥 − 3 = 𝑦 “y”

-9 2

3𝑥 − 3

2

3· (−9) − 3 −

18

3− 3 −6 − 3 -9

-6 2

3𝑥 − 3

2

3· (−6) − 3 −

12

3− 3 −4 − 3 -7

-3 2

3𝑥 − 3

2

3· (−3) − 3 −

6

3− 3 −2 − 3 -5

0 2

3𝑥 − 3

2

3· (0) − 3 0 − 3 -3

6 2

3𝑥 − 3

2

3· (6) − 3

12

3− 3 4 − 3 1

9 2

3𝑥 − 3

2

3· (9) − 3

18

3− 3 6 − 3 3

Usando el mecanismo de la tabla de valores verificamos que los puntos de

intersección de la recta confeccionada por el mecanismo de pendiente y ordenada

al origen son coincidentes.

Práctico 45

Porcentajes

La palabra porcentaje se refiere a “cuantos de cada 100”. El total de algo en matemática se representa con el número 100 seguido del símbolo %.

100% Cálculo de la cantidad que representa al 100%. Ejemplo: Si 11 alumnos representan el 55% de los chicos que participaron en los intercolegiales ¿Cuántos alumnos hay en total en el aula? Cuando pregunta por “el total de en el aula” se refiere al 100%.

En 1º lugar escribo el planteo % alumnos

55 11 100 x

La proporción que obtenemos de este planteo es 55

100=

11

x

Si aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones

55 ∙ x = 100 ∙ 11

Resolvemos el 2º miembro 55 ∙ x = 1100

Pasamos al 2º miembro el 20 que está multiplicando, dividiendo

x = 1100 : 55

Resolvemos el 2º miembro x = 20

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15

Respuesta: El total de los alumnos en el aula es de 20.

20

Cálculo de una cantidad menor al 100%. Ejemplo: En una escuela, 11 de 20 alumnos participaron en las competencias intercolegiales. ¿Qué porcentaje representan los competidores sobre el total de los alumnos?

Si lo expresamos como una razón , 11 de cada 20, quedaría así:

11

20

Para reducir a fracción decimal equivalente, multiplicamos el numerador y el denominador por “5”

11 ∙ 5

20 ∙ 5=

55

100

Lo que quiere decir que en principio que

11

20 equivale a

55

100

Expresado como porcentaje quedaría así 55

100 equivale a 55%

Respuesta: El 55% de los alumnos participa de los intercolegiales

55%

Porcentajes

Resolución del Problemas

Utilizando Regla de tres simple DIRECTA:

En principio determinamos que es una regla de tres simple directa porque menor cantidad de alumnos, equivale a menor cantidad de porcentaje. Dado que 20 alumnos es el 100% y 11 alumnos es una parte de ese total, debemos determinar el porcentaje que éstos representan.

La proporción que obtenemos de este planteo es 20

11=

100

x

Si aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones

20 ∙ x = 11 ∙ 100

Resolvemos el 2º miembro 20 ∙ x = 1100

Pasamos al 2º miembro el 20 que está multiplicando, dividiendo

x = 1100 : 20

Resolvemos el 2º miembro x = 55

Respuesta: El 55% de los alumnos participa de los intercolegiales

55%

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16

Utilizando razones y proporciones Ejemplo: de un total de 12 alumnos, hoy asistieron 9 ¿Qué porcentaje de alumnos están presentes?

12 alumnos …………….100% 9 alumnos………………x %

Aplicando

12

100=

9

𝑥

Planteamos una igualdad multiplicando el nominador de la primera fracción (12) por el denominador de la segunda (9). Y el denominador de la primera fracción (100) por el nominador de la segunda (9)

12 ∙ x = 100 ∙ 9

Resolvemos el segundo miembro 12 ∙ x = 900

Despejamos la incógnita (x) pasando el (12) que está multiplicando al otro miembro dividiendo

x = 900 : 12

Resolvemos el segundo miembro X = 75

Están presentes el 75% de los alumnos 75%

Ejercicio

1. Calcular el 83% de 9500 2. Calcular el 100% de una cantidad cuyo 83% es 9500 3. ¿Qué porcentaje representa $450 de un total de $600? 4. ¿Qué porcentaje representa $560 de un total de $800? 5. Para un producto de $1800 pesos. Si se agrega el IVA. ¿Cuál es el precio

final? 6. Una máquina fabrica al día 450 piezas de las que 18 presentan algún

defecto y se desechan. ¿Qué porcentaje de piezas defectuosas fabricó la máquina?

7. Un partido político obtuvo el 42,5% de los votos. Sobre un total de 4600 votantes. ¿Cuántas personas lo han votado?

8. El precio de una computadora es de $4400. Por pago al contado el descuento es del 15% ¿Cuál es el precio final?

9. ¿Cuánto deberá abonarse por una factura de $250, pagada fuera de vencimiento, si se le recarga un 2%?

10. ¿Qué porcentaje de bonificación se habrá aplicado a un producto cuyo precio de lista era de $25 y se vendió a $23?

Representar en un gráfico circular 11. El 33% de $3000 12. El 75% de $5000

Ejercicio

a) Calcular el porcentaje.

a) En una escuela, hay 150 alumnos. 90 alumnos fueron de viaje de

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estudio. ¿Qué porcentaje representa? b) En el aula somos 30 alumnos, en el examen de matemáticas, aprobaron 24 alumnos. ¿Cuál es el porcentaje de aprobados? c) Para ingresar a la Escuela de Policía, se presentan 180 aspirantes, 81 mujeres y el resto varones. ¿Cuál es el porcentaje de varones y de mujeres que se presentan para ingresar?

b) Calcular la cantidad que representa al porcentaje. a) En una escuela de 150 alumnos, el 72% son mujeres. ¿Cuántas mujeres hay? b) Un empleado cobra un sueldo de $2500. Se le descuenta el 15% para la Obra social. ¿Cuánto dinero es el descuento? c) Para ingresar a la Escuela de Policía, se presentan 180 aspirantes, el 30% no ha ingresado. ¿Cuántos aspirantes no lograron ingresar?

c) Calcular la cantidad que representa al 100%. a) El 70% de los alumnos aprobaron el examen de matemáticas. ¿Si 21 son los alumnos que aprobaron, cuantos alumnos hay en total? b) En la última elección Presidencial, en un pueblo, no concurrieron a votar 300 personas, que representan el 12% del padrón. ¿Cuántas personas en total estaban habilitadas para votar? c) En la Escuela de Policía, en el año 2000, ingresaron 32 personas, que representaron el 80% de los aspirantes. ¿Cuántos aspirantes hubo en total?

Matemática Financiera

Interés Simple

Monto (M): Es el capital más el interés generado durante un período de tiempo

Capital (C): Es la cantidad de dinero prestado

Interés (I): Es la renta que se paga por el uso del dinero ajeno

La relación entre las tres variables anteriores: M = C + I

Tabla de Fórmulas

cuál es el Monto (M):

M = C + I

cuál es el Capital (C)

modificamos la fórmula pasando de

términos para despejar el capital

M – I = C C = M – I

cuál es el Interés (I)


términos para despejar el Interés

M – C = I I = M – C

Ejemplo: Una persona solicita un préstamo de $5000 y después de un año lo regresó pagando por el uso del dinero en concepto de interés, $2500 ¿Cuál es el monto total que pagó?

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18

Monto (M)

=……...? Capital (C)= $5000

Interés (I) = $2500

Monto (M): M = C + I

M = C + I M = $5000 + $2500 M = $7500

Ejemplo: Una persona devolvió a su banco la suma de $7500 luego de un año, abonando los $2500 que en concepto de interés le cobraran. ¿Cuál fue el capital solicitado?

Monto (M) = $7500 Capital (C)=

……...?

Interés (I) = $2500

Capital (C): C = M – I

C = M – I C = $7500 - $2500 C = $5000

Ejemplo: Una persona solicita un préstamo de $5000 y después de un año canceló pagando en total, $7500 ¿Cuál es el importe del interés que pagó?

Monto (M) = $7500 Capital (C)= $5000

Interés (I) =

……...?

Interés (I): I = M – C

I = M – C I = $7500 - $5000 I = $2500

Tasa de Interés (i): Es el porcentaje en el cual se incrementó en un tiempo el

capital original

La tasa de interés es el resultado de la división del interés por el capital= i = I : C

Tabla de Fórmulas

cuál es la tasa (i) i = I : C

cuál es el Interés (I)


términos para despejar el Interés

i ∙ C = I I = i ∙ C

cuál es el Capital (C)


términos para despejar el capital

i ∙ I = C C = i ∙ I

Ejemplo: Una persona devolvió a su banco la suma de $7500 luego de un año, abonando los $2500 que en concepto de interés le cobraran. Sabiendo que el Capital solicitado fue de $5000. ¿Cuál fue la tasa que le cobraron por el préstamo?

Capital (C) = $5000

Interés (I)= $2500 Tasa de Interés (i) = ?

i = I : C

i = $2500 : $5000 i = 0,50 i = 50%

Respuesta: La tasa es del 50% anual

Ejemplo: Una persona solicita un préstamo de $5000 al 50% anual ¿Cuál es el importe del interés que pagó, al finalizar el año?

MATEMÁTICA 4


19

Capital (C) = $5000

Interés (I) = ? Tasa de Interés (i) = 50%

I = i ∙ C

I =50

100 ∙ 5000 I =

250000

100

I = 2.500 Respuesta: El interés fue de

$2.500.-

Ejemplo: Una persona paga por un préstamo al 50% anual un interés de $2500.- al finalizar el año ¿Cuál es el importe del capital solicitado?

Capital (C) = ?

Interés (I) = $2500 Tasa de Interés (i)

= 50%

C = i ∙ I

C =50

100 ∙ 2500 C =

125.000

100 C = 1250

Intereses a plazos de 1 año

Tabla de Fórmulas

cuál es el interés (I) I = C ∙ i

cuál es el capital (C) I ∶ i = C C = I ∶ i

cuál es la tasa (i) I ∶ C = i i = I ∶ C

Ejemplo sobre cuál es el interés anual de un capital a una tasa anual

Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 5 000 pesos invertido durante 1 año a una tasa del 50 % anual.

interés (I) = ? capital (C) = 5.000 tasa (i)= 50% anual

I = C ∙ i

I = 5000 ∙50

100 I =

250000

100 I = 2.500

Ejemplo sobre cuál es el capital invertido para que nos dé un interés anual a una tasa anual Calcular cuánto un fue el capital invertido durante 1 año a una tasa del 50 % anual para que nos reditúe un interés de 2.500 pesos.

interés (I) =2.500 capital (C) = ? tasa (i)= 50% anual

C = I : i

C = 1500 ∶50

100 C = 1500 ∙

100

50

C =150000

50

C = 3000

Ejemplo sobre cuál es la tasa anual para que un capital invertido nos dé un interés anual Calcular cuál es la tasa anual para que un capital de 5.000 pesos invertido durante 1 año nos reditúe un interés de 2.500 pesos.

MATEMÁTICA 4


20

interés (I) =2.500 capital (C) = 5.000 tasa (i) = ?

i = I : C

i = 2500 ∶ 5000 i = 0,50 i = 50%

Intereses a plazos anuales, mayores a 1 año

El interés crece cada período que transcurre en la misma cantidad, a la fórmula

original se le agrega multiplicar por el tiempo (n) transcurrido I = C ∙ i ∙ n

Tabla de Fórmulas

cuál es el interés (I) I = C ∙ i ∙ n

cuál es el capital (C) I ∶ i ∶ n = C C = I ∶ i : n

cuál es el tiempo (n) I ∶ C ∶ i = n n = I ∶ C ∶ i

cuál es la tasa (i) I ∶ C ∶ n = i i = I ∶ C ∶ n

Ejemplo sobre cuál es el interés, sabiendo el capital, el tiempo y la tasa Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 5 000 pesos invertido durante 2 años a una tasa del 50 % anual.

I = C ∙ i ∙ n I = 5000 ∙50

100 ∙ 2 I =

250000

100 ∙ 2 I = 5000

Ejemplo sobre cuál es el capital invertido, sabiendo el tiempo, los intereses y la tasa Calcular cuánto un fue el capital invertido durante 2 años a una tasa del 50 % anual para que nos reditúe un interés de 5000 pesos

C = I ∶ i ∶ n C = 5000 ∶

50

100∶ 2

C = 5000 ∙100

50: 2 C =

500000

50: 2

C = 10.000: 2 C = 10.000 ∙ 1

2 C =

10.000

2 C = 5.000

Ejemplo sobre cuál es el tiempo transcurrido, sabiendo el capital, los intereses y la tasa Calcular cuánto un fue el tiempo transcurrido para que a una tasa del 50 % anual nos reditúe un interés de 5000 pesos habiendo invertido un capital de 5000 pesos

n = I ∶ C ∶ i n = 5000 ∶50

100∶ 5000

n = 5000

∙100

50: 5000

n =500000

50: 5000

n = 10.000: 5000 n

= 10.000 ∙ 1

5000

n = 10000

5000 n = 2

Ejemplo sobre cuál es la tasa, sabiendo el capital, los intereses y el tiempo transcurrido Calcular cuánto un fue la tasa aplicada, para que un capital invertido de 5000 pesos nos reditúe un interés de 5000 pesos habiendo transcurrido 2 años

i = I ∶ C ∶ n i = 5000 ∶ 5000

∶ 2 i = 1 ∶ 2

i = 0,50

i = 50%

MATEMÁTICA 4


21

Intereses a plazos parciales al año

Es posible que los plazos no sean anuales

La Tasa de interés (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo.

A la fórmula original se le agrega dividir por la unidad de tiempo en que se ha

expresado la tasa

Unidad de Tiempo (ut): Cuando la duración del préstamo o inversión no es exactamente años exactos,

debemos incorporar a la fórmula, el concepto (ut) unidad de tiempo. Por ejemplo si

la tasa es anual y el plazo está expresado en meses entonces la (ut) será de “12”

(meses)

Tabla de Fórmulas

cuál es el interés (I) I =C ∙ i ∙ n

100 ∙ ut

cuál es el capital (C) I ∙ 100 ∙ ut

i ∙ n= C C =

I ∙ 100 ∙ ut

i ∙ n

cuál es el tiempo (n) I ∙ 100 ∙ ut

i ∙ C= n n =

I ∙ 100 ∙ ut

i ∙ C

cuál es la tasa (i) I ∙ 100 ∙ ut

C ∙ n= i i =

I ∙ 100 ∙ ut

C ∙ n

Ejemplo sobre cuál es el interés, sabiendo el capital, el tiempo y la tasa

Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 5 000 pesos invertido durante 1 año y 6 meses (18 meses), a una tasa del 50 % anual.

I =C ∙ i ∙ n

100 ∙ ut I =

5000 ∙ 50 ∙ 18

100 ∙ 12 I =

4500000

1200 I = 3750

Ejemplo sobre cuál es el capital invertido, sabiendo el tiempo, los intereses y la tasa Calcular cuánto un fue el capital invertido durante 1 año y 6 meses (18 meses), a una tasa del 50 % anual para que nos reditúe un interés de 3750 pesos

C =I ∙ 100 ∙ ut

i ∙ n C =

3750 ∙ 100 ∙ 12

50 ∙ 18 C =

4500000

900 C = 5.000

Ejemplo sobre cuál es el tiempo transcurrido, sabiendo el capital, los intereses y

la tasa Calcular cuánto un fue el tiempo transcurrido para que a una tasa del 50 % anual nos reditúe un interés de 3750 pesos habiendo invertido un capital de 5000 pesos

n =I ∙ 100 ∙ ut

i ∙ C n =

3750 ∙ 100 ∙ 12

50 ∙ 5000 n =

4500000

250000 n = 18

Ejemplo sobre cuál es la tasa, sabiendo el capital, los intereses y el tiempo

transcurrido Calcular cuánto un fue la tasa aplicada, para que un capital invertido de 5000 pesos nos reditúe un interés de 3750 pesos habiendo transcurrido 1 año y 6 meses (18 meses)

i =I ∙ 100 ∙ ut

C ∙ n i =

3750 ∙ 100 ∙ 12

5000 ∙ 18 i =

4500000

90000 i = 50

Matemática Financiera

Interés Compuesto

MATEMÁTICA 4


22

Las operaciones financieras alcanzadas por el interés compuesto se caracterizan porque los intereses a medida que se van generando se van incorporando al capital, se van acumulando produciendo en nuevos períodos más interés ya que el capital se ha incrementado. Para calcular el interés compuesto se necesita saber las variables que lo generan:

(Cf ) o Monto

Ci i

n I

: es el Capital Final o Monto : es el Capital Inicial

: es la tasa de interés expresada como número decimal (

4 % = 0,04) : es el número de períodos de tiempo

: es el interés

Las fórmulas que se utilizan para calcular el interés compuesto son las siguientes:

Capital Final (Cf ) Capital Inicial (Ci ) Interés (I) Tasa (i)

𝐌 = 𝐂𝐢 (𝟏 + 𝐢)𝐧 𝐂𝐢 = 𝐌

(𝟏 + 𝐢)𝐧 𝐈 = 𝐌 − 𝐂𝐢 𝐢 = √

𝐌

𝐂𝐢

𝐧

− 𝟏

Ejemplo: Calcular el monto y los intereses obtenidos al invertir $430, al 5% anual durante 10 años de capitalización compuesta.

Calculamos el Monto 𝐌 = 𝐂𝐢 (𝟏 + 𝐢)𝐧

M = 430 (1 + 0,05)10 M = 430 (1,05)10 M = 430 (1,63) M = 700

Calculamos el Interés 𝐈 = 𝐌 − 𝐂𝐢

M = 700 Ci = 430 I = 700 − 430 I = 270

Comprobación: Utilizando los datos obtenidos calculamos el Capital Inicial, para ver si coincide aproximadamente, con el planteo.

𝐂𝐢 = 𝐌

(𝟏 + 𝐢)𝐧

Ci = 700

(1 + 0,05)10 Ci =

700

(1,05)10 Ci =

700

1,62 Ci = 432

Comprobación: Utilizando los datos obtenidos calculamos la tasa, para ver si coincide aproximadamente, con el planteo. 𝐢 = √

𝐌

𝐂𝐢

𝐧

− 𝟏

i = √700

430

10

− 1 i = √1,6210 − 1 i = 1,05 − 1 i = 0,05

i = 5%

Ejemplo: ¿Qué intereses producirán $520.- invertidos durante 4 años al 7% anual?

Calculamos el Monto 𝐌 = 𝐂𝐢 (𝟏 + 𝐢)𝐧

MATEMÁTICA 4


23

M = 520 (1 + 0,07)4 M = 520 (1,07)4 M = 520 (1,31) M = 681,20

Calculamos el Interés 𝐈 = 𝐌 − 𝐂𝐢

M = 681,20 Ci = 520 I = 681,20 − 520 I = 161,20

Comprobación: Utilizando los datos obtenidos, sabiendo entonces el Monto y la tasa. Calculamos el Ci para ver si coincide con el planteo

𝐂𝐢 = 𝐌

(𝟏 + 𝐢)𝐧

Ci = 681,20

(1 + 0,07)7 Ci =

681,20

(1,07)7 Ci =

681,20

1,31 Ci = 520

Comprobación: Utilizando los datos obtenidos, sabiendo entonces el Monto, el

Ci y el tiempo. Calculamos la tasa para ver si coincide con el planteo

𝐢 = √𝐌

𝐂𝐢

𝐧

− 𝟏

i = √681,20

520

4

− 1 i = √1,314 − 1 i = 1,07 − 1 i = 0,07 i = 7%

Ejemplo: ¿Qué Capital se debe invertir para que al cabo de 2 años podamos disponer de $1500 al 11% anual?

Calculamos el Capital Inicial 𝐂𝐢 = 𝐌

(𝟏 + 𝐢)𝐧

Ci = 1500

(1 + 0,11)2 Ci =

1500

(1,11)2 Ci =

1500

1,23 Ci = 1219,51

Comprobación: Utilizando los datos, calculamos el Monto para ver si coincide con el planteo.

M = Ci (1 + i)n 1219,51 (1,11)2 1219,51 ∙ (1,23) M = 1.500

Comprobación: Utilizando los datos, calculamos la tasa para ver si coincide con el planteo.

Calculamos la tasa 𝐢 = √𝐌

𝐂𝐢

𝐧

− 𝟏 i = √1500

1219,51

2

− 1 i = √1,232 − 1

i = √1,232 − 1 i = 1,11 − 1 i = 0,11 i = 11%

Determine la tasa de interés anual a la que debieron invertirse $1200.-para que en 2 años se obtenga un monto de $1500.-

MATEMÁTICA 4


24

Calculamos la tasa 𝐢 = √𝐌

𝐂

𝐧

− 𝟏

i = √1500

1200

2

− 1 i = √1,252

− 1 i = 1,11 − 1 i = 0,11

i = 11%

Comprobación: Utilizando los datos obtenidos, sabiendo

entonces el Ci y la tasa calculo el Monto para ver si coincide con el planteo. El resultado es similar ya que se ajustaron decimales

M = Ci (1 + i)n

M = 1200 (1 + 0,11)2 M = 1200 (1,11)2 M= 1200 ∙ (1,23)

M = 1476

Comprobación: Utilizando los datos obtenidos, sabiendo entonces la tasa y el Monto calculo el Capital Inicial para ver si coincide con el planteo. El resultado es similar ya que se ajustaron decimales

Ci = M

(1 + i)n

Ci = 1500

(1 + 0,11)2 Ci =

1500

(1,11)2 Ci =

1500

1,23 Ci = 1219.51

n: es el número de períodos de tiempo

Los intereses son productivos, lo que significa que a medida que se generan, se

acumulan al capital inicial para producir mayores intereses en los períodos

siguientes.

El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al

inicio del mismo los intereses generados durante el período anterior

Este carácter acumulativo de los intereses modifica el Monto o Capital Final si se

capitalizan los intereses mayor cantidad de veces en el año.

Ejemplo:

M = Ci (1 + i)n

12 meses ÷ 1 = 12 12 meses ÷ 2 = 6 12 meses ÷ 4 = 3

Interés anual del 12% Interés semestral del 6% Interés trimestral del 3%

M = 1.000 ∙ (1 + 0,12)1 M = 1.000 ∙ (1 + 0,06)2 M = 1.000 ∙ (1 + 0,03)4

M = 1.000 ∙ (1,12)1 M = 1.000 ∙ (1,06)2 M = 1.000 ∙ (1,03)4

M = 1.000 ∙ 1,12 M = 1.000 ∙ 1,1236 M = 1.000 ∙ 1,1255

M = 1.120,00 M = 1.123,60 M = 1.125,50

Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalización de los intereses

se está realizando con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en

los diferentes tipos aplicados

matemÁtica 4

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