MATEMÁTICA 3° AÑO

TRABAJO PRÁCTICO N°3

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática (o función de segundo grado) es una función

polinómica de grado 2, es decir, el mayor exponente de 𝑥 es 2.

Su forma estándar es:

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒂 ≠ 𝟎

Son a, b y c valores constantes, llamados coeficientes de la función.

Su representación gráfica es una parábola vertical.

Existen elementos fundamentales en la parábola que la definen:

1. Las raíces: son los puntos donde la parábola corta el eje x. Las raíces se calculan

igualando la función a cero.

Obtenemos una ecuación cuadrática o de segundo orden cuando la función cuadrática se iguala a cero: f(x) = y = 0. Tiene la forma:

La fórmula para el cálculo de las raíces de una ecuación cuadrática es:

Una función cuadrática puede tener: Dos raíces reales distintas, cortando el eje 𝑥 en dos puntos. Puede tener dos raíces reales iguales (o raíz real doble), cortando al eje 𝑥 en un solo punto. Puede no tener raíces reales y no cortar al eje 𝑥.

2. El vértice: es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría. 𝑉 = (𝑥𝑣; 𝑦𝑣)

𝑥𝑣 = −𝑏

2𝑎 𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑥𝑣 =

𝑥1+𝑥2

2

𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣)

Se puede expresar la función cuadrática, en forma canónica, en función de las

coordenadas del vértice y del coeficiente principal a, de esta manera:

𝒇(𝒙) = 𝒂. (𝒙 − 𝒙𝒗)𝟐 + 𝒚𝒗

Si el coeficiente principal es positivo, es decir a > 0, la parábola se abre hacia arriba y

el vértice es el punto mínimo de la función. En cambio, si a < 0, la parábola se abre hacia

abajo y el vértice es el punto máximo de la función.

3. El eje de simetría: es una recta vertical, perpendicular al eje x, que parte la parábola en dos ramas iguales. La ecuación del eje de simetría es

4. La ordenada al origen: es el punto donde la parábola corta el eje y. La

ordenada se calcula especializando la función en 𝑥 = 0.

Se puede también expresar la función cuadrática en forma factorizada, en función de sus raíces y del coeficiente principal a, de esta manera:

𝒇(𝒙) = 𝒂. (𝒙 − 𝒙𝟏). (𝒙 − 𝒙𝟐) Dominio e imagen de la función En toda función es muy importante determinar su dominio, es decir, los valores que toma la variable 𝒙. Para las funciones cuadráticas el dominio está formado por el conjunto de los números reales.

𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∶ 𝑅 La imagen de la función, es decir los valores que toma la variable 𝒚, van a depender de cada función, pudiendo ser:

𝐼𝑚 𝑓 ∶ [𝑦𝑣; +∞ ) 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑒𝑠 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎

𝐼𝑚 𝑓 ∶ (−∞; 𝑦𝑣] 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑒𝑠 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜

Ejemplo 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 − 3

Raíces −𝑥2 + 4𝑥 − 3 = 0

𝑎 = −1 ; 𝑏 = 4 ; 𝑐 = −3

𝑥1,2 =−(4) ± √(4)2 − 4. (−1). (−3)

2. (−1)

𝑥1,2 =−4 ± 2

−2

𝑥1 = 1 ; 𝑥2 = 3

𝑦1 → −(1)2 + 4. (1) − 3 = 0

𝑦2 → −(3)2 + 4. (3) − 3 = 0

Las intersecciones con el eje x son: 𝑃1 : (𝑥1, 𝑦1) = (1,0) y 𝑃2 : (𝑥2, 𝑦

2) = (3,0).

Vértice

V: (xv; yv)= (2,1)

𝑥𝑣 = −4

2(−1)

𝑥𝑣 = 2

𝑦𝑣 = −(2)2 + 4. (2) − 3 𝑦𝑣 = 1

Eje de simetría

𝑥 = 𝑥𝑣 = −4

2(−1)

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎 → 𝑥 = 2

Ordenada al origen

𝑦 = −(0)2 + 4. (0) − 3 𝑦 = −3

Dominio e Imagen

𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∶ 𝑅

𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑒𝑠 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 → 𝐼𝑚 𝑓 ∶ (−∞; 1]

Gráfico

Utilicen los siguientes links para revisar los conceptos de dominio e imagen de una función cuadrática y la explicación sobre su representación gráfica. https://www.youtube.com/watch?v=xRq3feSSfyc https://www.youtube.com/watch?v=IuBn42uLjLs

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2.

Así, 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 es una ecuación de segundo grado. En esta ecuación La “x” es la variable o incógnita y las letras a, b y c son los coeficientes, los cuales pueden tener cualquier valor, excepto que a = 0.

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Es hallar las raíces de la ecuación. Para ello hacemos uso de la fórmula resolvente.

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ↔ 𝒙𝟏,𝟐 =−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒. 𝒂. 𝒄

𝟐. 𝒂

El ± expresa que la ecuación tiene como máximo dos soluciones. La expresión 𝒃𝟐 − 𝟒. 𝒂. 𝒄 se denomina discriminante (se denota con la letra griega ∆):

• si ∆ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones distintas.

• si ∆ es cero, la ecuación tiene una única solución,

• si ∆ es negativo, la ecuación tiene dos soluciones, pero no son números

reales.

Para calcular el discriminante, la ecuación tiene que estar escrita en su forma general

(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ) y no hay que olvidar los signos de los coeficientes.

Ejemplo

2𝑥2 + 5𝑥 + 2 = 0

𝑎 = 2 ; 𝑏 = 5 ; 𝑐 = 2

𝑥1,2 =−(5) ± √(5)2 − 4. (2). (2)

2.2

𝑥1,2 =5 ± 3

4

𝑥1 = −1

2 ; 𝑥2 = −2

Utilicen el siguientes link para revisar el concepto de discriminante vinculado al número de soluciones de las ecuaciones cuadráticas.

https://youtu.be/R1yVaOv_x58

SISTEMAS MIXTOS

Es todo sistema de ecuaciones en el que por lo menos una de las ecuaciones no es el

lineal.

Analizamos, a continuación, el sistema mixto formado por dos ecuaciones, una lineal y

la otra cuadrática.

Ejemplo

{𝑦 = 2𝑥 + 1

𝑦 = 𝑥2 − 2

Resolución gráfica

Resolución analítica

Para resolver el sistema, es decir, determinar los puntos de intersección entre la parábola y la recta, se puede usar cualquiera de los métodos aplicados para sistemas de dos ecuaciones lineales (sustitución, igualación, reducción). Se aplica igualación.

{𝑦 = 2𝑥 + 1

𝑦 = 𝑥2 − 2

2𝑥 + 1 = 𝑥2 − 2

0 = 𝑥2 − 2 − 2𝑥 − 1

0 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3

De la ecuación cuadrática que resultó de la igualación, no se puede despejar

directamente el o los valores de 𝑥 que la satisfacen, hay que usar la fórmula resolvente.

𝑎 = 1 ; 𝑏 = −2 ; 𝑐 = −3

𝑥1,2 =−(−2) ± √(−2)2 − 4. (1). (−3)

2.1

𝑥1 = −1 ; 𝑥2 = 3

Los valores obtenidos representan gráficamente las coordenadas en 𝑥, de los puntos de corte o intersección entre la parábola y la recta. Es necesario hallar las coordenadas en 𝑦 de dichos puntos.

Se reemplaza 𝑥1 en las ecuaciones del sistema (en ambas ecuaciones el valor de 𝑦 obtenidos debe coincidir).

𝑥1 = −1 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 → 2. (−1) + 1 = −1

𝑥1 = −1 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 → (1)2 − 2 = −1

Para 𝑥1 = −1, la coordenada en 𝑦1 = −1

El punto (−𝟏, −𝟏) es un punto de intersección entre la parábola y la recta.

Se reemplaza 𝑥2 en las ecuaciones del sistema para determinar el otro punto de corte entre la parábola y la recta.

𝑥2 = 3 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 → 2. (3) + 1 = 7

𝑥2 = 3 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 → (3)2 − 2 = 7

Para 𝑥2 = 3, la coordenada en 𝑦2 = 7

El punto (𝟑, 𝟕) es el otro punto de intersección entre la parábola y la recta.

Abran el siguiente enlace para ver otro ejemplo resuelto de sistema mixto parábola y recta.

https://youtu.be/iMoXa7BgbQQ

Intersección entre parábola y recta

Para reconocer cuántas soluciones tiene un sistema mixto, se analiza el discriminante de la ecuación cuadrática que surge de resolver el sistema por el método de igualación o sustitución.

Gráficamente, buscaremos los puntos de intersección entre la recta y la parábola, observando si:

• la recta es secante a la parábola, es decir, se cortan en dos puntos (∆> 0).

• la recta es tangente a la parábola, es decir, hay un punto de corte (∆= 0). • la recta es exterior a la parábola, es decir, no hay intersección (∆< 0).

Los sistemas que tienen solución ( (∆> 0 𝑦 ∆= 0) , son sistemas compatibles, los

sistemas que no tienen solución son sistemas incompatibles (∆< 0).

Intersección entre parábola y parábola

Así como se puede estudiar la intersección entre una recta y una parábola, también se

puede estudiar la intersección entre dos parábolas, los métodos de resolución son

similares a los vistos para determinar la intersección entre parábolas y rectas.

A parte de las soluciones vistas anteriormente, un solo punto en común, dos puntos

en común o ningún punto en común, en el caso de un sistema con dos parábolas,

aparece la posibilidad de que éstas compartan todos sus puntos.

Los sistemas que tienen solución son sistemas compatibles determinados, los sistemas

que no tienen solución son sistemas incompatibles, y los sistemas que tienen infinitas

soluciones son sistemas compatibles indeterminados.

Ejemplo:

Resolución analítica

{𝑦 = 3𝑥2 + 2𝑥 + 1

𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 − 4

3𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 𝑥2 + 𝑥 − 4

2𝑥2 + 𝑥 + 5 = 0

𝑎 = 2 ; 𝑏 = 1 ; 𝑐 = 5

𝑥1,2 =−(1) ± √(1)2 − 4. (2). (5)

2.1→ 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠

𝐿𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛

Resolución gráfica:

Abran el enlace para ver un ejemplo resuelto de sistema mixto parábola y parábola.

https://youtu.be/oMBmKid2K-c

EJERCITACIÓN

1) Representar gráficamente las siguientes funciones cuadráticas, cada una en un sistema de ejes cartesianos, indicando en cada caso: dominio, imagen, ordenada al origen, raíces, coordenadas del vértice y ecuación del eje de simetría. Expresar cada función en forma canónica y en forma factorizada.

a) 𝑦 = 2(𝑥 − 1)2 b) 𝑦 = − 𝑥2 + 6𝑥 c) 𝑦 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) d) 𝑦 = − 𝑥2 − 𝑥 + 2 e) 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 3

2) Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas.

a) 3𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 0 b) − 4𝑥2 + 12𝑥 + 16 = 0 c) 0 = 𝑥2 + 4𝑥 d) 30 − 20𝑥 = −2𝑥2 − 20 e) 1 − 3𝑥(1 − 𝑥) = 0

3) Determinar en cada caso el valor pedido aplicando la noción de

discriminante.

a) ¿Cuánto debe valer 𝑐 para que la ecuación 𝑥2 + 4𝑥 + 𝑐 tenga una única

solución?

b) Determinar “k” de modo que las dos raíces de la ecuación 𝑥2 − 𝑘𝑥 + 36 = 0

sean distintas.

c) ¿Qué valor debe tomar m, para que 𝑦 = 2𝑥2 − 𝑥 − 𝑚 no tenga raíces reales?

4) Observen las siguientes gráficas, ¿cómo debería ser el discriminante en

cada caso para que la parábola se apoye en el eje 𝒙, lo atraviese o no lo

toque? Completen las fórmulas y comprueben el número de soluciones

según ∆.

𝑦 = (𝑥 − 𝑥𝑣)2 + 𝑦𝑣

𝑦 = (𝑥 − 𝑥1). (𝑥 − 𝑥2)

𝑦 = 2𝑥2 + 𝑥 + 𝑐

5) Resolver los siguientes sistemas e indicar si son sistemas compatibles o incompatibles según el número de soluciones. Graficar.

a) {𝑦 = 𝑥 + 1

𝑦 = 𝑥2 + 1

b) { 𝑥2 − 𝑦 = 4

𝑦 + 8 = −4𝑥

c) {𝑥2 + 𝑦 = 0

𝑦 + 𝑥 − 6 = 0

d) {𝑦 = 2 − 𝑥2

𝑦 = 𝑥2

e) {𝑦 + 5 = 2𝑥 + 𝑥2

𝑦 + 𝑥2 = 2𝑥 − 3