20/3/2015 El triángulo de Pascal

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El triángulo de Pascal

Una de las pautas de números más interesantes el es triángulo dePascal (llamado así en honor de Blaise Pascal, un famosomatemático y filósofo francés).

Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, ypon números debajo formando un triángulo. 

Cada número es la suma de los dos números que tieneencima, menos los extremos, que son siempre "1".

(Aquí está remarcado que 1+3 = 4)

   

Pautas en el triángulo

Diagonales

La primera diagonal es, claro, sólo "unos", y lasiguiente son todos los númerosconsecutivamente (1,2,3, etc.)

La tercera diagonal son los números triangulares

(La cuarta diagonal, que no hemos remarcado,son los números tetraédricos.)

Pares e impares

Si usas distintos colores para los números parese impares, obtienes un patrón igual al delTriángulo de Sierpinski

Sumas horizontales

¿Notas algo en las sumas horizontales? ¿Hayalgún patrón? ¡Es increíble!

Se dobla cada vez (son las potencias de 2).

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Sucesión de Fibonacci

Prueba esto: empieza con un 1 de laizquierda, da un paso arriba y uno allado, suma los cuadrados donde caigas(como en el dibujo)... las sumas quesalen son la sucesión de Fibonacci.

(La sucesión de Fibonacci se hacesumando dos números para conseguir elsiguiente, por ejemplo 3+5=8, después5+8=13, etc.)

Simetría

El triángulo es simétrico, esto quiere decir que se ve igual desde la derechaque desde la izquierda

Usar el triángulo de Pascal

Caras y cruces

El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y cruces de pueden salir tirando monedas. Asípuedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación.

Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tresmaneras de sacar dos caras y una cruz (CCX, CXC, XCC), también tres de sacar una cara y dos cruces (CXX,XCX, CXX) y sólo una de sacar tres cruces (XXX). Esta es la pauta "1,3,3,1" en el triángulo de Pascal.

Tiradas Resultados posibles (agrupados) Triángulo de Pascal

1 HT

1, 1

2HHHT THTT

1, 2, 1

3

HHHHHT, HTH, THHHTT, THT, TTH

TTT

1, 3, 3, 1

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4

HHHHHHHT, HHTH, HTHH, THHH

HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHHHTTT, THTT, TTHT, TTTH

TTTT

1, 4, 6, 4, 1

  ... etc ...  

¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?

Hay 1+4+6+4+1 = 16 (o 4×4=16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente doscaras. Así que la probabilidad es 6/16, o 37.5%

Combinaciones

El triángulo también muestra cuántas combinaciones de objetos son posibles.

Por ejemplo, si tienes 16 bolas de billar, ¿de cuántas maneras puedes elegir tres de ellas (sin hacer diferenciadel orden en que las eliges)?

Respuesta: baja a la fila 16 (la primera es la fila 0), y mira 3 lugares a la derecha, allí está la respuesta, 560.Aquí tienes un trozo del triángulo en la fila 16:

1    14    91    364  ...1    15    105   455   1365  ...

1    16   120   560   1820  4368  ...

Polinomios

El triángulo de Pascal también te da los coeficientes en la expansión de un binomio:

Potencia Expansión polinomial Triángulo de Pascal

2 (x + 1)2 = 1x2 + 2x + 1 1, 2, 1

3 (x + 1)3 = 1x3 + 3x2 + 3x + 1 1, 3, 3, 1

4 (x + 1)4 = 1x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 1, 4, 6, 4, 1

  ... etc ...  

Las 15 primeras líneas

Como referencia, aquí tienes las filas 0 a 14 del triángulo de Pascal

                                           1                                        1     1

                                     1     2     1                                  1     3     3     1

                               1     4     6     4     1                            1     5     10    10    5     1

                         1     6     15    20    15    6     1                      1     7     21    35    35    21    7     1

                   1     8     28    56    70    56    28    8     1                1     9     36    84    126   126   84    36    9     1

             1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1          1     11    55    165   330   462   462   330   165   55    11    1

       1     12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12    1    1     13    78    286   715   1287  1716  1716  1287  715   286   78    13    1

 1    14     91   364   1001  2002  3003  3432  3003  2002  1001   364   91    14    1

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Los chinos ya lo conocían

Este dibujo se titula "El antiguo gráfico del método de los sietecuadrados multiplicadores". Ver imagen completa

Esto es de la portada del libro de Chu ShiChieh "Ssu Yuan YüChien" (Espejo precioso de los cuatro elementos), escrito en1303 (¡hace más de 700 años!), y en el libro se dice que eltriángulo ya era conocido más de dos siglos antes.

El quincunceEsta asombrosa máquina creada por Sir Francis Galton es untriángulo de Pascal hecho con palos. Se llama quincunce. 

Las bolas se dejan caer sobre el primer palo y rebotan hasta abajodel triángulo donde caen en pequeños contenedores.

Parece completamente aleatorio (y lo es)pero después de un rato verás que las bolascaen en un bonito patrón: la distribuciónnormal.

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