Matemticas para Ingenieros Rectas y Planos en el espacio Matemticas para Ingenieros Rectas y Planos en el espacio

PlanosTEOREMA 1TEOREMA 1

El plano que pasa por P0 (x1, y1 , z1) y tiene el vector normal a = a1 ,a2, a3 tiene como

ecuacin :

a1(xx1)+a2( y y1)+a3(zz1)=0

Ejemplo 1 Ecuacin del plano cuando pasa por un punto y se da un vector normal (o perpendicular).

Halle la ecuacin del plano que pasa por el punto P ( 5,-2,4) y tiene el vector normal

Q=1,2,3

solucin:

hay que identificar cada trmino:

Q=1,2,3 = a1 ,a2, a3 ; P ( 5,-2,4) = (x1 , y1 , z1)

de esta forma por el TEOREMA 1TEOREMA 1

1(x5)+2( y(2))+3(z4)=0 o lo que es igual a : (5 -x) +2 (y+2) + 3 (z 4) =0

que es x 5 + 2y + 4 + 3z -12 = 0 con lo cual la ecuacin del plano nos da

x + 2y + 3z 13 = 0

Ejemplo 2 Ecuacin del plano cuando pasa por tres puntos o dados tres puntos

Hallar una ecuacin del plano determinado por los puntos P ( 4, -3, 1) ; Q (6, -4 , 7 );

y R ( 1 , 2, 2 ).

Solucin:

los puntos P, Q y R forman tres vrtices de un triangulo que esta dentro del plano, de esta

forma hay que hallar los vectores a y b , de la siguiente forma:

a = PQ ; b = PR

a = PQ = Q P = (6 4 , - 4 - ( - 3), 7 1 ) = PQ=2,1,6 = a

b = PR = R Q = (1 4, 2 -(-3) , 2 1) . = PR=3,5 ,1 = b

ahora hay que hallar el vector normal al plano determinado por P, Q, R , para ello hacemos

el producto cruz entre los vectores a y b

a = 2,1,6 ; b = 3,5,1

ab =

ab = [(- 1)(1) (6)(5)] i - [ (2)(1) (6)(-3)] j + [(2)(5) - ( -1)(-3)] k

ab = -31i -20j +7k = 31,20,7

ahora usando el teorema que nos dice que el plano se construye con el vector normal al

plano

V = = 31,20,7 y un punto (x1, y1 , z1) P= (4, -3 ,1)

y aplicando la ecuacin

a1(xx1)+a2( y y1)+a3(zz1)=0

tenemos

-31(x-4) 20(y +3) +7(z-1) = -31x 124 -20y -60 +7z -7= 0

entonces la ecuacin del plano nos queda

-31x 20y +7z + 57= 0

TEOREMA 2TEOREMA 2La grfica de toda ecuacin lineal ax + by + cz + d =0 , es un plano con vector normalLa grfica de toda ecuacin lineal ax + by + cz + d =0 , es un plano con vector normala ,b , c

Ejemplo 3:Encontrar una ecuacin del plano que pasa por el punto P ( 5, -2, 4) y es paralelo al plano

3x +y -6z + 8= 0

Solucin:

Segn el TEOREMA 2, el plano 3x +y -6z + 8= 0, tiene un vector normal de la forma a = a ,b , c = 3,1,6 , por lo tanto un plano paralelo a est tendr una ecuacin de la

forma:

3x +y -6z + d= 0 y como pasa por el punto P ( 5, -2, 4) =(x,y,z) reemplazamos estos valores

en la ecuacin del plano y despejamos el valor de d.

3(5) + (-2) 6(4) + d = 0 -11 + d = 0 d = 11

por lo tanto la ecuacin del plano es

3x +y - 6z + 11= 0Con esta informacin pueden resolver los problemas del taller 2.a) ; 2.b),2.c) ; 2.d) .

ANGULOS ENTRE PLANOS

Si dos planos, P1 y P2 , se cruzan o se cortan, se puede hallar el ngulo que forman

encontrando el ngulo entre sus normales, N 1 y N2 Se elige el ngulo cuyo coseno sea positivo, aplicando la siguiente frmula:

cos=N1N2N1N2

Ejemplo 4, ngulo entre planos

Consideremos los planos:

P1 = 2( x 1) 3 y + 5 ( z 2) = 0

P2 = - 4x + 6 y + 10 z + 24 = 0

Encuentre el ngulo que forman los dos planos cuando se cruzan.

Solucin.

Como vectores normales tomamos a

N1 = 2i 3j + 5k , N 2 = - 4i + 6j + 10 khay que realizar el producto punto entre estos dos vectoresN1 * N2 = (2)(-4) + (-3)(6) + (5)(10) = 24

como es un escalar la magnitud de esta expresin es ese mismo escalar N1N2 =24

ahora calculamos la magnitud de cada vector normal, as

N1 = (2)2+(3)2+(5)2 = 38N1 = (4)2+(6)2+(10)2 = 152

con esta informacin podemos aplicar la frmula:

cos=N 1N 2N1N2

= cos= 2438152

= 0,316

pero como nos preguntan el ngulo aplicamos la funcin inversa del coseno y nos da:

= cos1(0,316) = 71,59 grados

Con esta informacin se pueden desarrollarlos puntos 5.a) y

5.b)