matemÁticas iv - cnhprepa2y4.files.wordpress.com · colegio de bachilleres del estado de baja...

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA

MATEMÁTICAS IV

GUÍA DE ACTIVIDADES DEL ALUMNO PARA EL DESARROLLO DE COMPETENCIAS

CUARTO SEMESTRE

FEBRERO DE 2012

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA LIC. RAÚL S. ALEMÁN SALAZAR DIRECTOR GENERAL ING. ANA LILIA MARTÍNEZ MUÑOZ DIRECTORA DE PLANEACIÓN ACADÉMICA Edición, febrero de 2012 Diseñado por: Fís. Norman Edilberto Rivera Pazos Apoyaron en la revisión: Ing. Enrique Correa Estrella Arq. Juan Ramón Islas Sambrano M.C. José Alejandro Andalón Estrada Lic. Gastón Santos Cabrera Profra. María Lorena Mariscal Bobadilla Actualizado por: Q.I. Melquiades Gaxiola Brambila La presente edición es propiedad del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California, prohibida la reproducción total o parcial de esta obra. En la realización del presente material, participaron: JEFE DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS, Teresa López Pérez; COORDINACIÓN DE EDICIÓN, Roque Juan Soriano Moreno; EDICIÓN, Elvia Juana Munguía Carrillo / Paola Macías García.

Í N D I C E PRESENTACIÓN COMPETENCIAS GENÉRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO COMPETENCIAS DISCIPLINARES BLOQUE I. RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES ....................................... 3 BLOQUE II. APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS ........................................ 33 BLOQUE III. EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS .................................................. 59 BLOQUE IV. UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO ..................................................... 83

BLOQUE V. UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ....................................... 83 BLOQUE VI. APLICAS FUNCIONES RACIONALES ........................................ 107 BLOQUE VII. UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS ........................................................................ 127 BLOQUE VIII. APLICAS FUNCIONES PERIÓDICAS .......................................... 157 BIBLIOGRAFÍA: ....................................................................................................... 175

PRESENTACIÓN

¿Qué es formación de competencias en bachillerato? Es un enfoque didáctico

que pretende desarrollar en el estudiante conocimientos, habilidades de pensamiento,

destrezas, actitudes y valores que le permitan incorporarse a la sociedad de una forma

inteligente, consciente, propositiva, activa y creativa; y que en un momento dado, las

utilice para enfrentarse a una situación de vida concreta, resuelva problemas, asuma

retos, etc.

En la actualidad, es una exigencia ofrecer una educación de calidad que logre la

formación y consolidación del perfil de egreso en el bachiller de tal forma que pueda

contar con los elementos necesarios que le permitan crecer y desarrollarse en un

mundo cambiante, globalizado, competitivo y complejo; por lo que el proceso educativo

debe caracterizarse por presentar estrategias que contemplen actividades de

aprendizaje en diversos contextos y escenarios reales, donde pongan en juego,

movilice y transfiera las competencias desarrolladas.

Este material dirigido al estudiante, es producto de la participación de los

docentes, donde pusieron de manifiesto su experiencia, conocimiento y compromiso

ante la formación de los jóvenes bachilleres; mismo que se presenta en dos

modalidades: Guías de actividades para el alumno y la planeación didáctica para el

docente y se podrán consultar en la página web del Colegio: www.cobachbc.edu.mx

en la sección de alumnos o en docentes respectivamente.

COMPETENCIAS GENÉRICAS QUE EXPRESAN

EL PERFIL DEL EGRESADO

Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc. Estas competencias junto con las disciplinares básicas constituyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.

Se autodetermina y cuida de sí 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los

objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en

distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables.

Se expresa y se comunica 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la

utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Piensa crítica y reflexivamente 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos

establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general,

considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

Aprende de forma autónoma

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Trabaja en forma colaborativa 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Participa con responsabilidad en la sociedad 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y

el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias,

valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

COMPETENCIAS DISCIPLINARES

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos,

analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para

determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o

fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

1

BLOQUE I

RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE

FUNCIONES

RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

2


3

DESEMPEÑOS A DEMOSTRAR:

Utiliza los criterios que definen a una función para establecer si una relación dada es funcional o no.

Describe una función empleando diferentes tipos de registros y refiere su dominio y rango.

Emplea la regla de correspondencia de una función y los valores del dominio implícito o explicito, para obtener las imágenes correspondientes.

Aplica diferentes tipos de funciones en el análisis de situaciones. Utiliza operaciones entre funciones para simplificar procesos a través de

nuevas relaciones. Ejercicio cardiovascular

Una definición sencilla del ejercicio cardiovascular, es todo ejercicio que aumenta la frecuencia cardíaca a un nivel donde aún es posible hablar pero se empieza a sudar un poco.

Un mínimo de 20 minutos de ejercicio cardiovascular tres o cuatro días por semana típicamente es suficiente para mantener un buen nivel de condicionamiento físico. Cualquier tipo de movimiento es bueno, incluso la limpieza del hogar y la jardinería. Pero si desea adelgazar, deberá realizar algún tipo de ejercicio cardiovascular durante 30 a 45 minutos o más, cuatro o más días por semana.

El programa de ejercicio cardiovascular ideal comienza con 5 a 10 minutos de precalentamiento, que incluye movimientos suaves que aumentan levemente la frecuencia cardíaca.

Luego, gradualmente pasa a realizar unos 20 minutos o más de algún ejercicio cardiovascular, tal como gimnasia aeróbica, trote sobre tapiz rodante o caminata, hasta alcanzar lo que se denomina frecuencia cardíaca de entrenamiento. (La tabla a continuación lo ayudará a encontrar su zona de frecuencia cardíaca deseada o zona de entrenamiento). La frecuencia cardíaca de entrenamiento es una pauta que puede ayudarlo a medir su nivel de condicionamiento físico antes de iniciar su programa de ejercicio y a medir su progreso tras iniciar el programa. La frecuencia cardíaca de entrenamiento también te indica la intensidad del ejercicio. Al comenzar un programa de ejercicio, lo aconsejable es mantenerse cerca del límite inferior de su zona de entrenamiento. Si haces ejercicio con regularidad, puedes hacer ejercicio a una intensidad suficiente como para mantenerte cerca del límite superior de la zona de entrenamiento.

Situación didáctica


4

Para asegurarte de mantenerte dentro de tu zona de entrenamiento, deberás tomarte el pulso cada tanto al hacer ejercicio. Podrás encontrar el pulso en 2 lugares: en la base del pulgar de cualquiera de las dos manos (lo que se denomina «pulso radial») o de un lado del cuello (lo que se denomina «pulso carotídeo»). Coloca los dedos índice y medio sobre el pulso y cuenta el número de latidos en un espacio de 10 segundos. Multiplica esa cifra por 6 para calcular el número de latidos por minuto. Por ejemplo, si contaste 20 latidos durante los 10 segundos, tu frecuencia cardíaca será de 120 latidos por minuto.

Haz una gráfica que muestre los valores mínimo y máximo de % del ritmo cardíaco máximo que es aconsejable para un buen acondicionamiento físico. Inserta los datos de la tabla en el mismo plano cartesiano.

¿Cuál es el valor mínimo y máximo de edad para los cuales es útil esta gráfica? Los valores obtenidos, ¿representan el dominio o el rango de la gráfica? ¿Cuáles serían los valores máximo y mínimo de % de ritmo cardíaco para una persona

con 28 años?

Pregunta a tu profesor la edad que tiene y determine los valores correspondientes del % de ritmo cardíaco. Pregunta al médico de la escuela ¿cuál es ritmo cardíaco mínimo y máximo recomendable para la actividad física de jóvenes de 15, 16 y 17 años? O busca en Internet u otra fuente de información y agrega estos datos a la tabla y modifica la gráfica. Si el médico les ayuda, midan la frecuencia cardiaca de cinco de sus compañeros después de hacer una actividad física moderada (dos vueltas a la cancha corriendo o subir escaleras con paso rápido).

Frecuencia cardíaca de entrenamiento según la edad Latidos por minuto (% de la frecuencia cardíaca máxima)

Edad Baja (50 %) Alta (75 %) 20 100 150 25 98 146 30 95 143 35 93 139 40 90 135 45 88 131 50 85 128 55 83 124 60 80 120 65 78 116 70 75 113


5

Relaciones y Funciones

Seguramente en el transcurso de tu vida has necesitado relacionar algunos fenómenos para comprenderlos mejor por ejemplo, cuando se reparten los temas de una exposición en equipo, cuando asignan la posición que tomarán los jugadores de futbol, la distancia que recorre un automóvil al transcurrir el tiempo, es decir relaciona 2 cantidades, 2 variables, etc. De manera general se puede definir relación como todo el proceso generado por la correspondencia que existe entre dos conjuntos de objetos y fenómenos. Al primer conjunto se le denomina dominio y al segundo contradominio o codominio. A cada valor del contradominio que esté relacionado con algún elemento del dominio se le llama imagen y al conjunto de todas las imagenes se le llama rango.

Una función es la regla de correspondencia que asocia cada elemento del dominio con sólo un valor del contradominio, es decir que para cada valor de 푥 le corresponde solo un valor de 푦. Toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones.


6

Gráficamente quedaría: Función Dominio Contradiminio

Parejas de ordenadas (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)

Relación Dominio Contradiminio Parejas de ordenadas (x1, y1), (x1, y2), (x3, y3)

Después de analizar los esquemas podemos concluir que:

En una función solo existe un valor del contradominio para cada dominio. Si no ocurre esto, tendremos una relación.

En ninguna de los parejas ordenadas (푥,푦) se repite el primer valor (푥); pero el segundo valor puede repetirse o no.

X1

X2

X3

y1

y2

y3

X1

X2

X3

y1

y2

y3


7

Utilicemos el siguiente diagrama para encontrar la relación de correspondencia entre los estados de la república y sus capitales.

A B Michoacan Si usamos la regla de correspondencia 푓:퐴 → 퐵, de tal manera que A es un Estado de la República y B su capital, tendremos las parejas ordenadas: (Michoacán, Morelia), (Jalisco, Guadalajara), (Hidalgo, Pachuca), (Sinaloa, Cualiacán), (Nayarit, Tepic). Su dominio está dado por los estados que son: (Michoacán, Jalisco, Hidalgo, Sinaloa, Nayarit) Su rango es: (Morelia, Guadalajara, Pachuca, Cualiacán, Tepic) Su contradominio es: (Monterrey, Coahuila) Observa que el rango está formado por los únicos elementos que se encuentran relacionados con el contradominio, por lo que el rango es un subconjunto del contradominio. del dominio le corresponde únicamente un elemento del contradominio. Por lo que podemos decir que el ejemplo anterior es una función, ya que a cada elemento del dominio le corresponde únicamente un elemento del contradominio. En las funciones se presentan 2 tipos de variables:

Variable independiente (x).

Variable dependiente (y). Del siguiente ejemplo de pares ordenados, determinaremos si es relación o función:

(-9,7), (-8, 8), (-7, 9), (-6, 10), (-5, 11).

Como en este caso los valores de la primera coordenada, que es (x) no se repiten, por tanto es una función.

Michoacán Jalisco Hidalgo Sinaloa Nayarit

Monterrey Guadalajara Culiacán Tepic Morelia Pachuca Coahuila


8

Secuencia didáctica 1:

La cantidad de Hierro en un fruto depende del tipo de fruto seleccionado

X (fruto) Cereza Ciruela pasa Higo seco Pera Lima Aceituna

Y (mg Hierro) 0.5 3.9 4.0 0.5 0.4 4.0

a) ¿La relación de los datos (x, y) es una función?

b) ¿La relación de los datos (y, x) es una función? ¿Explica por qué usando la regla de correspondencia?

c) De la relación de los pares ordenados, su dominio es:

d) De la relación de los pares ordenados, su rango es:

Ahora mediante pares ordenados identificarás si es una relación o función, así como dominio y rango:

a) (-9,7), (-8, 8), (-7, 9), (-6, 10), (-5, 11).

Como en este caso los valores de la primera coordenada, que es (x) no se repiten, es una función.

b) (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6).

Función o relación: _______________________


9

c) (6, -3), (6, -5), (4, 0), (4, -8), (5, 3).


d) (1, 2), (4, 2), (7, 2), (10, 2)


e) (5, 0), (5, 8), (5, 4), (5, -3).


f) (8, 7), (9, 7), (11, 7), (13, 7), (15, 7)


g) (2,-1), (3, -4), (5, 0), (5, 2), (6,1).


Ahora identifica mediante la representación gráfica, si es función ó relación. 1.-

_____________________________

2.-

__________________________________


10

3.-

________________________________

4.-

__________________________________

5.-

______________________________

6.-

____________________________________


11

7.-

_____________________________

8.-

______________________________

9.-

____________________________

10.-

_________________________________


12

11.-

____________________________

12.-

__________________________________

Actividad 1:

En la columna de la derecha se observan diferentes modelos matemáticos que describen la asociación de las variables x e y, tales como una tabla, una gráfica o una expresión algebraica. Determina si cada modelo está describiendo a una función o una relación. Explique por qué.

Modelo matemático Tipo de expresión y = x2 - 3

x y

3 -1

4 6

5 15

6 26

7 39

y= 2x - 3


13

x y

2 -2

2 1

2 0

2 1

2 2

풚 = −ퟐ


14

x y

-2 1

-1 0

0 -1

1 1

2 1


15

Existen diferentes formas de representar a una función, de tal manera que estas son: Verbal: Es la descripción con palabras.

Por ejemplo: la población del mundo en un momento t

Algebraica: Por medio de un fórmula explícita. Por ejemplo: El área de un círculo esto es 퐴(푟) = 휋푟

Visual: Esto es a través de una gráfica. Por ejemplo:

Numérica: A través de una tabla de valores. Por ejemplo:

x y 1 3 2 4 3 5 4 6

En tus cursos anteriores, cuando graficaste una función te pedían que tabularas algunos de los valores de 풙, los sustituyeras en la ecuación y calcularas así los valores de 풚, para obtener parejas de ordenadas, las cuales localizabas en el plano cartesiano obteniendo su gráfica. Pues bien, los valores que dabas de 풙 pertenecen al dominio y los que obtenías eran los del contradominio.

Como se observa, en las funciones se presentan 2 tipos de variables:

Variable independiente, que corresponde a (x).

Variable dependiente, que corresponde a (y).


16

A los valores que se le pueden asignar a la variable 푥 en una función, siempre que no exista división entre 0 o una raíz par negativa, se le llama Dominio y a el conjunto de todos los valores posibles de 풚 conforme 풙 varía en todo el dominio se le llama Rango. Un intervalo es un espacio que existe entre los 2 límites o extremos a los que llamaremos 풂,풃, al dominio de una función y tener como limitante, el que estos deben ser números reales, da lugar a 4 casos que se pueden analizar como intervalos, de tal manera que al asignarle valores se encuentran clasificados de la siguiente manera: Intervalo abierto: Es aquel que no incluye los límites o extremos y matemáticamente

se denota de la siguiente manera:

풂 < 풙 < 풃ó(풂,풃)

y su gráfica es: 풂 < 풙 < 풃 a b

Intervalo cerrado: Es aquel que incluye los límites y matemáticamente se denota de la siguiente manera.

풂 ≤ 풙 ≤ 풃ó[풂,풃] y su gráfica es: 풂 ≤ 풙 ≤ 풃

Intervalo Abierto-Cerrado: Es aquel en el que no hay límite del lado izquierdo, pero sí del lado derecho y matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

풂 < 푥 ≤ 풃풐(풂,풃] y su gráfica es: 풂 < 푥 ≤ 풃


17

Intervalo Cerrado-Abierto: Es aquel en el que sí hay límite del lado izquierdo, pero no del lado derecho y matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

풂 ≤ 풙 < 푏풐[풂,풃)

y su gráfica es: 풂 ≤ 풙 < 푏

De los siguientes ejercicios determina en la recta numérica los intervalos de manera gráfica:

1. (-7,4)

2. [-2, 3].

3. (-∞, .4]

4. [-1, ∞)

5. [2, 4]

6. (-∞, -1] U [3, ∞)

7. (-∞, -1] U [0, 3] U [4, ∞) Del siguiente ejemplo de pares ordenados determina el dominio y rango.

a) (-9,7), (-8, 8), (-7, 9), (-6, 10), (-5, 11).

Su dominio es: D=[-9, -8, -7, -6, -5]

Su rango es R=[7, 8, 9, 10, 11] b) (-2, 1), (-2, 4), (-2, 6), (-2, 8), (-2, 10), (-2, 13)


18

Su dominio es: D=

Su rango es R=

c) (2, 8), (3, 9), (4, 10), (-2, 11), (-3, 12), ( -4, 13)

Su dominio es: D=

Su rango es R= d) (0, 1), (1, 0), (-1, 0), (2, 1), (-3, 0), (-4, 1).

Su dominio es: D=

Su rango es R= e) (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)

Su dominio es: D=

Su rango es R= f) (2,-1),(3, 0), (4, 1), (4,2), (5, 3), (6, 5)

Su dominio es: D=

Su rango es R=

g) (-3, 4), (-2, 2), (-1, 0), (0, 2), (1, 4), (2, 6)

Su dominio es: D=

Su rango es R=

Para encontrar los valores del Dominio y Rango en una gráfica se toma en consideración lo siguiente: 1. Para el Dominio, se toma en consideración los valores que se tienen en el eje horizontal,

es decir desde -x a x.

2. Para el Rango, se toman los valores que hay en el eje vertical, desde los valores mínimos hasta los máximos, es decir -y a y

Por ejemplo:


19

y= 2x + 3 y

Valores en eje X D= ( −∞,∞) R= (−∞,∞)

y= x2 - 1 y

Valores en eje X D= (−∞,∞) R=[-1, ∞)

y= x + 1 y

D=[-3, 2] R=[-2,3]

y y= x - 1

D=[1,5] R=[0,2]


20

Actividad 2: Dadas las siguientes funciones, determinar el dominio y rango: a) y = x-3 b) y = |x| c) y = x2 +1

d) y = 2x

e) 푦 = 4

Clasificación de funciones Las funciones se clasifican de acuerdo con la información que se puede obtener de ellas: por su representación gráfica, pueden ser algebraicas o trascendentes, por la forma de sus gráficos: continuas o discontinuas, por su monotonía: crecientes o decrecientes.

Funciones algebraicas o trascendentes:

Según la forma en que se representan matemáticamente, podemos clasificarlas en:

1. Algebraicas: son aquellas que pueden formarse usando simplemente operaciones algebraicas

- Función constante 푦 = 푎

- Función lineal 푦 = 푚푥 + 푏

Funciones - Función cuadrática 푦 = 푎푥 + 푏푥 + 푐

algebraicas - Función cúbica 푦 = 푎푥 + 푏푥 + 푐푥 + 푑

- Función cuántica 푦 = 푎푥 + 푏푥 + 푐푥 + 푑푥 + 푒 2. Trascendente: Son aquellas que no son algebraicas. A esta clasificación pertenecen las

funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, por ejemplo:

풇(풙) = 푺풆풏(풙) 풇(풙) = 푪풐풔(풙) 풇(풙) = 푳풐품(풙) 풇(풙) = 풆풙 풇(풙) = 풍풏(풙) 풇(풙) = 풂풓풄풔풆풏(풙)


21

y= Sen(x)

y= 2x

y= Sen(x)

y= 2x


22

Según por el comportamiento las podemos clasificar en continuas y discontinuas.

3. Continua: Son aquellas que se presentan cuando no hay ruptura para cierto valor en 푥. Por ejemplo:

Función continua

Función continua

4. Discontinua: Son aquellas que se presentan cuando hay ruptura, un caso especial sería cuando la función presenta en cierto valor de 푥 una división entre cero.

Por ejemplo:

Función discontinua

Función discontinua


23

Otra clasificación de funciones es respecto a su monotonía: 5. Creciente: Se dice que 푓(푥) es creciente en un intervalo 퐼, si para cualquier par de valores

푥 , 푥 que pertenecen al intervalo 퐼, donde:

풙ퟏ < 풙ퟐ, 풔풆풕풊풆풏풆풇(풙ퟏ) < 푓(풙ퟐ)

Función Creciente

6. Decreciente: Se dice que 푓(푥) es creciente en un intervalo 퐼, si para cualquier par de

valores 푥 , 푥 que pertenecen al intervalo 퐼, donde:

풙ퟏ < 풙ퟐ, 풔풆풕풊풆풏풆풇(풙ퟏ) > 푓(풙ퟐ)

Función decreciente


24

También se da clasificación de las funciones respecto a la relación que existe entre dominio y contradominio, éstas son inyectivas, sobreyectivas, biyectivas. Observa la siguiente figura: Dominio Contradiminio

A. Inyectiva o uno a uno: Se define como 푓:퐴 → 퐵: si para cada 푥 , 푥 en el dominio de 푓(푥) se encuentra un valor diferente y único en el rango. Estos es que para cada valor en el contradominio, existe solo un valor en el dominio. Para saber gráficamente si una función es de este tipo, se traza una línea horizontal y si cruza únicamente un sólo punto se dice que la función es uno a uno, ejemplo de ello es la función lineal.

X1

X2

X3

y1 y2 y3

y4


25

B. Funciones sobreyectivas: En estas funciones los valores del dominio tienen su imagen en el contradominio; incluso más de una imagen, pues no queda un solo valor en 푦 sin que esté relacionado por lo menos con uno de 푥.

Dominio Contradiminio La función es sobreyectiva, ya que todo valor de 푦 proviene de por lo menos una “푥”. Esta función no es inyectiva puesto que existen tres valores diferentes de 푥 que al sustituirlos en la función dan el mismo resultado, como se observa en el cruce de la función con el eje de las 푥, por mencionar un ejemplo de ello.

C. Funciones biyectivas: Una función de este tipo es cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez, es decir, el dominio solamente se tiene un solo valor en el contradominio y ningún valor del contradominio sobra.

Dominio Contradiminio

X1

X2

X3

y1

y2

y3

X1

X2

X3

y1

y2

y3


26

Operaciones con funciones

Cuando existe más de una función, se puede realizar entre ellas una serie de operaciones básicas como son: suma, resta, multiplicación y división de polinomios.

Por ejemplo de las funciones 푓(푥) = 2푥 − 2 y 푔(푥) = 3푥 + 1, obtener:

A) (f + g)(x)= f(x) + g(x)= (2푥 − 2) + (3푥 + 1) = 5푥 − 1

b) (f - g)(x)= f(x) - g(x)= (2푥 − 2) −(3푥 + 1)= −푥 − 3

c) ( f g)(x)= f(x)g(x)= (2푥 − 2) + (3푥 + 1)= 6푥 + 2푥 − 6푥 − 2

6푥 − 4푥 − 2

d) (x)= ( )( )

=

En el siguiente ejercicio realizaremos las operaciones básicas y evaluaremos el resultado cuando 푥 = 3

푓(푥) = 푥 − 2 푔(푥) = 2푥 + 3

A) (f + g)(3)= f(x) + g(x)= (푥 − 2) + (2푥 + 3) = 2푥 + 푥 + 1

2(3)2+(3)+1=

18 + 3 + 1= 22

B) (f - g)(3)= f(x) - g(x)= (푥 − 2)−(2푥 + 3) = −2푥 + 푥 − 5

-2(3)2+(3) - 5=

-18 + 3 - 5= -20

C) ( f g)(3)= f(x)g(x)= (푥 − 2)(2푥 + 3) = 2푥 + 3푥 − 4푥 − 6

= 2푥 − 4푥 + 3푥 − 6

2(3)3- 4(3)2 + 3(3) - 6=

54 - 36 + 9 - 6= 18

D) (3)= ( )( )

= (푥−2)(2푥2+3)=

( ) = =


27

Funciones compuestas: Considerando a las funciones 푓(푥)푦푔(푥). Si el rango de 푔(푥) está incluida en el dominio de 푓, entonces la función compuesta 푓(푔(푥)), denominada 푓 con 푔, se encuentra definida de la siguiente manera:

g f

Dominio de g(x) Contradominio de g(x) Contradominio de 푓(푥) Dominio de f(x) por tanto 푓 푔(푥) = 푓 ∗ 푔

sea 푓(푥) = 2푥 − 8 y 푔(푥) = 5− 3푥, obtener:

푓 푔(푥) = 2(5− 3푥)− 8 = 10− 6푥 − 8 = 2 − 6푥

푔 푓(푥) = 5 − 3(2푥 − 8) = 5 − 6푥 + 24 = −6푥 + 29

Obtener la función compuesta de la forma 풇 품(풙) ó 품 풇(풙) de las siguientes funciones:

1. 푓(푥) = √푥 + 2 y 푔(푥) = 2푥 + 8

2. 푓(푥) = 3푥 − 9 y 푔(푥) =

3. 푓(푥) = y 푔(푥) =

x

f(x)

g(x)


28

Secuencia didáctica 2

Cierta compañía farmacéutica requieren una bandeja con dimensiones muy específicas del metal níquel para que sea aprobado su uso, un vendedor llega ofreciendo láminas de dicho metal con las siguientes medidas 40 x 20 por lo que el gerente le hace las siguientes preguntas, mostrándole el diseño que se requiere.

a) ¿Cuál es el largo y ancho de la bandeja en función de la altura 푥?

b) ¿Cuál es la función que nos determina el área de la base de la bandeja?

c) ¿Qué función nos expresa el volumen de la bandeja?


29

Actividad 3: Identifica el tipo de función que es cada una de las siguientes expresiones, según las diferentes clasificaciones.

Función Algebraica o trascendente Continua o discontinua

Inyectiva, sobreyectiva o

biyectiva

y = 2x-5

y = x2 + 3

y = ln(x)

y = sen(x)

y = 1/x

1. Tomando como referencia las funciones de la actividad anterior, evalúa cada una de ellas en f(2), f(-1), f(0), f(0.5), f(10). Operaciones con funciones: Después de realizar operaciones con funciones, determina el resultado así como el dominio de las nuevas funciones obtenidas al operar f(x) = x3 y g(x) = x : a) f + g

b) f - g

c) f.g

d) f/g

2. Utilizando f(x) = x3 y g(x) = x+5, obtén las siguientes composiciones:

a) f º g

b) g º f

c) f º f

d) g º g


30

3. Actividad 4: Resuelve los siguientes problemas: a) La intensidad de la iluminación I de una fuente de luz varía inversamente con el

cuadrado de la distancia d a la fuente de luz. i. Escribe este enunciado en forma de ecuación. Ayuda: Cada vez que se escribe

una igualdad que relaciona a dos variables, se incluye una constante en el lado derecho de la igualdad.

ii. Determina la constante de proporcionalidad si se sabe que una lámpara tiene una intensidad de 1000 candelas a una distancia de 8m.

iii. ¿Cuál es la intensidad de esta lámpara a una distancia de 20m?

b) El número de tarjetas navideñas vendidas por una tienda depende del período del año. Traza una gráfica aproximada del número de tarjetas navideñas vendidas como una función de la fecha.

Material a utilizar: Graficador de funciones online. http://fooplot.com/index.php Páginas para descargar programas para graficar funciones. http://www.programas-gratis.net/b/programa-para-graficar-funciones-matematicas

Programa Winplot para graficar funciones. Se puede elegir la versión en español. http://math.exeter.edu/rparris/

Excel Proyector Laboratorio de cómputo (en donde sea posible). Material para hacer gráficas en papel (lápiz, regla, borrador)

31

BLOQUE II

APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y

TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS

APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRAFICAS

32


33


Representa el conjunto de parejas ordenadas que corresponde a función inversa de una función dada.

Escribe la ecuación de la relación inversa de una función dada. Señala si la relación inversa corresponde a una función. Utiliza la tabla y gráfica de una función para trazar la gráfica de su función

inversa posible. Resuelve problemas que involucren funciones inversas, escalonadas,

valor absoluto, idéntica y constante. .

La expresión h=0.42t+10 describe el crecimiento de una planta, donde t es el tiempo medido en semanas y h se mide en centímetros. Estas plantas se cultivan en un laboratorio de Ecología de una universidad y están listas para plantarse cuando tienen una altura de 10 cm.

¿Cuál es el crecimiento de la planta 2, 4, 5, 8 y 12 semanas después? ¿Cuál es su gráfica?

Unos biólogos han encontrado esa planta creciendo en forma silvestre en una región aislada. Algunas de las plantas miden 22 cm, 30 cm, 80 cm y 111 cm.

¿Cómo escribiría una expresión matemática para obtener el tiempo de vida (en semanas), a partir de la longitud que han medido los biólogos?

¿Cuál es la edad de cada una de esas plantas? ¿Cuál es la gráfica que describe el crecimiento de esas plantas?



34

Funciones inversas Estas funciones son una segunda forma de obtener nuevas funciones a partir de una función ya conocida. El proceso se usa comúnmente para funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. Sin embargo en funciones algebraicas también es posible dada una relación F, si se intercambia el orden de los elementos que forman cada pareja ordenada que pertenecen a F obteniéndose una nueva relación que se denomina Función Inversa y se expresa como F-1. Por ejemplo los pares ordenados son: F(x)= {(-1,3), (0,2), (2,4)} F-1= {(3,-1), (2,0), (4,2)}

Es función D=[ -1, 2] R=[2, 4]

Es relación D=[ 2,4] R=[-1, 2]

Cualquier pareja de ordenadas de números que satisfaga la ecuación original al invertir su orden se puede verificar.


35

X Y 1 1 2 3 3 5

Y X 1 1 3 2 5 3

El dominio de la gráfica denominada 풚 es: D=(−∞,∞) para el Rango R=(−∞,∞) y para la función inversa los términos dominio y rango son: D=(−∞,∞) y R=(−∞,∞) Si se ha dado una función F, hay maneras de saber si anticipadamente su inversa F-1 es una función inversa o no, para ellos es necesario analizar si existe una correspondencia Biunívoca entre 2 conjuntos, esto significa que a un primer elemento le corresponde un segundo elemento con base en el siguiente esquema: Dominio f Rango f

Rango f-1 Dominio f-1

( f f-1 ) ( y )= y Se presenta si existe una correspondencia biunívoca. ( f-1 f ) ( x )= x En las ecuaciones la función inversa también se puede obtener, esto se da mediante el manejo del álgebra de tal manera que se despeja la variable 풙 de la ecuación dada y posteriormente se da un intercambio por la variable 풚, obteniéndose una nueva ecuación que puede ser una relación o una función. Por ejemplo: 1.- 풚 = ퟑ풙 − ퟖ 푦 + 8 = 3푥


36

= 푥 Al intercambiar las variables queda así:

= 푓

2.- 풚 = ퟐ풙ퟑ

+ ퟓ

3푥 = 2푥 + 5 3푥 − 5 = 2푥

= 푥

= 푓

3.- 푦 =

El término que está dividiendo pasa al otro lado de la

igualdad. 푦(3푥 − 4) = 2푥 − 8 La 푦 multiplica a dicho término.

(3푥푦 − 4푦) = 2푥 − 8 Se agrupan términos semejantes 푥.

3푥푦 − 2푥 = 4푦 − 8 Se despeja a 푥.

푥(3푦 − 2) = 4푦 − 8

푥 =

Al intercambiar las variables se tiene:

푓 = 4푦−83푦−2

Actividad 1:

1. De las siguientes parejas de ordenadas determina su inversa, grafícalas y determina el dominio y rango.


37

X Y

-2 -3

-1 -1

0 1

1 3

2 5

Y X

X Y

0 -5

1 -2

2 1

3 4

Y X


38

X Y

-5 7

-3 5

0 2

3 5

Y X

Si y= 푥 + 1

X Y

0

1

2

3

4

y-1=

X Y

0

1

2

3

4


39

Observa las siguientes funciones e identifica características en común: a) ¿Qué pasa si por ejemplo, de las funciones de la izquierda, despeja “x” y compara la expresión obtenida con las funciones de la derecha? ¿Se parecen? ¿Qué ocurre si en la expresión despejada intercambias “x” por “y”, y la “y” por la “x”? b) Ahora, grafica las funciones, por pares. Es decir, en el mismo plano cartesiano, grafica el primer par, en otro plano el segundo par y así sucesivamente. Usa los mismos valores de x para ambas funciones. ¿Qué observas en las gráficas obtenidas? ¿Qué característica tienen?

No. Función 1 Despeja “x” de la función 1 Función 2

1 y = 2x-1 y

x 12

2 y = x2 + 3 y x 3

3 y

1x 1

y 1x1

4 y

x3 2

y = 3(x-2)

A continuación, se proponen en la columna de la izquierda cuatro funciones. Haz la gráfica de cada una de ellas usando los valores -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 y 4, y determina mediante líneas cuál función corresponde a uno de los nombres de la derecha, con base en las características de la expresión algebraica o de la gráfica.

Funciones especiales

Una función especial es una función matemática particular, que por su importancia en el campo del análisis matemático, análisis funcional, la física y otras aplicaciones, posee nombres y designaciones más o menos establecidos.

No existe una definición general de las mismas, pero la lista de funciones matemáticas contiene funciones que son generalmente aceptadas como especiales. En particular, las funciones elementales son también consideradas funciones especiales.


40

Muchas funciones especiales se originan como soluciones a ecuaciones diferenciales o integrales de funciones elementales. Por tanto, las tablas de integrales por lo general incluyen la descripción de algunas funciones especiales, y las tablas de funciones especiales incluyen las integrales más importantes; por lo menos, la representación integral de las funciones especiales por ejemplo:

A) Función constante: Está definida por f(x)=C, donde la C es un número real cualquiera. Su gráfica es una línea recta horizontal paralela al eje de las X, si dominio son todos los números reales y sus imágenes el valor constante.

El dominio de este tipo de funciones es desde −∞ℎ푎푠푡푎∞ y el rango está dado por el valor de la función en un intervalo cerrado, es decir R= [f(x)]

Por ejemplo: y=4

El dominio de esta función es D= (−∞,∞) y el rango es R= [4]

B) Función valor absoluto: Está definida como la distancia que existe entre el cero y el número en cuestión, siempre da como resultado un número positivo.

Esta función está formada por un par de funciones de identidad y su dominio son números reales. Por ejemplo: y= |x|


41

Para este caso el valor del dominio es D= (−∞,∞) y el rango esta dado por R= [0,∞) El valor absoluto de un número es informalmente, su “valor positivo”. Si el número es positivo o 0, entonces su valor absoluto es sí mismo. Si un número es negativo, entonces su valor absoluto es el valor positivo. Grafica la función f(x)= | x - 2| +2, obtén el dominio y rango.

X Y -1 5 0 4 1 3 2 2 3 3 4 4 5 5

Grafica la función f(x)= - |4 - 2x|, obtén el dominio y rango.


42

X Y -1 0 1 2 3 4 5

C) Función identidad: Es una función que está definida por f(x)=x. Su característica principal es que los valores de sus pares ordenados son iguales, es decir, el valor de X es igual a y, pasa por el origen y tiene una pendiente igual a uno, una inclinación de 45º.

El dominio está dado por D= (−∞,∞), es decir todos los números reales, al igual que el rango, por tanto esta función es biyectiva.

Por ejemplo: y= x

D) Función escalonada o seccionada: Están formadas por diferentes compartimentos o secciones en distintas partes del Dominio, es decir la función puede ser continua o discontinua. La forma más utilizada es la función Máximo entero y éstas simulan una escalera. Por ejemplo: y= [[ x ]]


43

-3 -3 x -2

-2 -2 x -1

-1 1 x 0

0 0 x 1

1 1 x 2

2 2 x 3

Traslación de funciones Si el concepto de traslación está vinculado al movimiento, en las funciones también se presenta; tomando como referencia a una función cuadrática, en ésta se puede mostrar los movimientos que en ella puede ocurrir, tales como: Traslación horizontal Se presenta cuando se da la conversión de una función f(x) en otra llamada g(x)= f(x + c) la gráfica se desplaza a lugares hacia la izquierda y si la convertimos en g(x)= f(x - c) se desplaza hacia la derecha.


44

Por ejemplo: y= x2

y=( x + 1)2

y=( x - 1)2

Traslación vertical Se presenta cuando la gráfica de la ecuación de la forma y = f(x) + c es la gráfica de y = f(x) desplazada hacia arriba si c es positiva y desplazada hacia abajo si c es negativa. De manera que, la gráfica de y = f(x) + c se puede obtener de la gráfica de y = f(x) al trasladar verticalmente la gráfica de y = f(x), c unidades hacia arriba si c es positiva y c unidades hacia abajo si c es negativa. y= x2

y=x2 +1

y= x2 - 1


45

Secuencia didáctica 1: Cierta compañía de agua embotellada determinó que el consumo de su producto estaba dado por la función 풇(풙) = ퟏퟎ+ ퟎ.ퟎퟐퟗ풙ퟐ, donde 푓(푥) describe la cantidad en millones de consumidores de su producto, considerando desde 2000 a 2015 ( 푥 = 0 corresponde al año 2000). a) Representa la gráfica de la función que corresponda al año 2000. b) Proporciona la nueva función y la gráfica de modo que el origen corresponda al año 2005. c) ¿Cuántas personas tomaron agua embotellada de dicha compañía para el año 2015?


46

Actividad 2: Haz las gráficas y confirma tus resultados, haciendo las gráficas mediante algún programa graficador o una página interactiva de las siguientes funciones.

y= x2

x y -3 -2 -1 0 1 2

y= (x + 1)2

X Y -3 -2 -1 0 1 2


47

y= (x - 1)2

X Y -3 -2 -1 0 1 2

y= x3

X Y -2 -1 0 1 2


48

y= x3 - 1 X Y -2 -1 0 1 2

y= x3 + 1 X Y -2 -1 0 1 2


49

y= x + 1 X Y -3 -2 -1 0 1 2

y= (x + 1) +2 X Y -3 -2 -1 0 1 2


50

y= (x + 1) - 2 X Y -3 -2 -1 0 1 2

y= Sen(x) X Y

- 2휋 - 3휋/2

- 휋 - 휋/2

0 휋/2 휋

3휋/2 2휋


51

y= Sen(x) + 1 X Y

- 2휋 - 3휋 /2

- 휋 - 휋 /2

0 휋 /2 휋

3휋 /2 2휋

y= Sen(x) - 1 X Y

- 2휋 - 3휋 /2

- 휋 - 휋 /2

0 휋 /2 휋

3휋 /2 2휋

Realizadas las gráficas, ¿qué tipo de traslación observaste en ellas?


52

Reflexión con respecto al eje X Esta transformación se obtiene al convertir f(x) en –f(x), debido a que las imágenes de ambas funciones tienen la misma magnitud pero con signo contrario, lo cual se comprenderá mejor al observar las siguientes gráficas.

Tomaremos como ejemplo a la función cuadrática y= x2, para observar más clara la reflexión en el eje X.

y= x2

X Y -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4

.

y= - x2

X Y -2 - 4 -1 - 1 0 0 1 - 1 2 - 4


53

Reflexión con respecto al eje Y

Esta transformación se obtiene a partir de invertir el signo de los valores de “x”, es decir, si se tiene la función base f(x) la reflexión con respecto al eje Y se obtiene con f(-x)

Por ejemplo, analizaremos las siguientes funciones:

y=x - 1

x y 1 2 3 4 5

y= -x - 1

x y 1 2 3 4 5


54

Contracción y expansión de funciones Éstas son otro tipo de transformaciones que pueden sufrir las funciones; éstas al ser multiplicadas por diferentes constantes. Para visualizarlas mejor se mostrarán algunos ejemplos de las transformaciones que sufre la función.

y= x2

y= 3x2

y= x

Esto es, entre más grande sea el número que multiplica al término cuadrático en la función, ésta se contrae y cuando es pequeño el número se expande. Actividad 3: Resuelve los siguientes problemas:


55

1. Un automóvil mantiene una velocidad constante de 10 m/s. Encuentra la distancia que

recorre en 1, 2, 3, 4 y 5 segundos, considerando que la expresión que relaciona a la distancia con el tiempo es 푑 = 푣푡.

2. El costo de una llamada por celular es de 2.0 pesos los primeros cinco minuto y 1.10 por cada minuto o fracción adicional. Expresar la función que representa esta situación. Primero hay que determinar las variables involucradas, por lo tanto, se considerará C(t) como el costo de la llamada en “t” minutos.

3. El costo de una llamada telefónica diurna de larga distancia de Toronto a Nueva York es de 69 centavos el primer minuto y 58 para cada minuto adicional (o fracción de minuto). Traza la gráfica del costo C (en dólares) de la llamada telefónica como una función del tiempo t (en minutos).

Material a utilizar:

Graficador de funciones online. http://fooplot.com/index.php Páginas para descargar programas para graficar funciones. http://www.programas-gratis.net/b/programa-para-graficar-funciones-matematicas

Programa Winplot para graficar funciones. Se puede elegir la versión en español.

http://math.exeter.edu/rparris/

- Proyector.

- Laboratorio de cómputo (en donde sea posible).

- Material para hacer gráficas en papel (lápiz, regla, borrador).


56

57

BLOQUE III

EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE

GRADOS CERO, UNO Y DOS

EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS

58


59


Compara el modelo general de las funciones polinominales con los de funciones particulares y determina si corresponden a dicha clase de funciones.

Identifica la forma polinominal de las funciones constante, lineal y cuadrática, así como sus gráficas respectivas.

Determina si la situación corresponde a un modelo lineal o cuadrático empleando los criterios de comportamiento de datos en tablas, descripción de enunciados, tipos de gráficas y regularidades particulares observadas.

Emplea los modelos lineales y cuadráticos para describir situaciones teóricas o prácticas que implican, o no, razones de crecimiento o decrecimiento constante que se asocian con dichos modelos.

Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que contenía 10% de proteína. La proteína consistía en levadura y harina de maíz. Variando el porcentaje P de levadura en la mezcla de proteína se estimó que el peso promedio ganado w (en gramos) de una rata en cierto período fue de

w =

150

P 2 2P 20.

Construye la gráfica de esta función. Según la gráfica, encuentra el máximo peso ganado, ¿cuál es la cantidad de levadura que debe darse a las ratas para obtener el peso máximo?

Sugerencia: Toma valores entre 0 y 100, para P, usando el % sin convertirlo a decimal.



60

Funciones polinomiales Generalmente las funciones polinomiales tienen la siguiente notación: p(x)= anxn + an-1xn-1 + …. + a2x2 + a1x1 + a0x0 donde a= coeficiente, n= potencia o grado y cumple con las siguientes características:

an, an-1, an-2, y a0 son valores constantes, denominados coeficientes de la función.

El coeficiente principal es an, porque acompaña a la potencia mayor del polinomio y

cumple con la característica a 0.

n es un número entero no negativo que representa el grado del polinomio.

Nota: cualquier número elevado a una potencia CERO es igual a UNO.

Características de las funciones polinomiales Es importante recordar que el grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos, como se muestra en las siguientes funciones: 1. f(x)= 7 , es de grado cero, se le conoce como función constante. 2. f(x)= 4x- 5, es de grado uno, también conocida como función lineal. 3. f(x)= 5x2 - 2x + 1 es de grado dos, se le conoce como función cuadrática. 4. f(x)= -x3 + 3x2 - 1 es de grado tres y se le conoce como función cúbica. 5. f(x)= 2x4-x3-7x es de grado cuatro y se le conoce como función cuártica. Las 3 funciones particulares de un polinomio más importantes son: la función lineal, cuadrática, cúbica. De cada una de ellas se analizará su comportamiento gráfico, su dominio y su rango, al igual que las aplicaciones que pueden tener. Ejemplo: f(x)= 3x3+4x-5 f(x)= 7x2-√5 x -1 f(x)= 9x+6

Función constante o grado cero

Está definida por f(x)=C, donde la C es un número real cualquiera. Su gráfica es una línea recta horizontal paralela al eje de las X, si dominio son todos los números reales y sus imágenes el valor constante.


61

El grado del polinomio es igual a CERO y se representa por: f(x)= a0 o y= c

y= 2

y= -3

Función lineal o de grado uno

Se presenta la ecuación del tipo y= mx + b, que está en su forma pendiente-ordenada en el origen. Analizando los parámetros, se tiene que:

“m” es la pendiente de la recta, la cual está relacionada con su inclinación en el plano, además es el coeficiente de la variable.

“b” es llamada ordenada al origen y es la constante que indica el lugar por donde la recta cruza el eje Y, además se le denomina término independiente.

“x” es la variable independiente.

Todas aquellas gráficas que representen un lugar geométrico con líneas rectas, su grado máximo de potencia será UNO. Además toda función lineal tiene la característica de que su dominio y rango son intervalos abiertos, por tanto se pueden construir gráficas con sólo asignarle 2 valores a una función.


62

Existen varios métodos para graficar funciones lineales, tal como:

Sustituir valores en tablas.

Usando los parámetros de m y b

Haciendo la intersección en los ejes.

Los parámetros en el comportamiento gráfico de la función dicen mucho, como es el caso de la pendiente, cuando el ángulo de inclinación es mayor que 0º y menor que 45º, la pendiente es mayor que cero y menor que uno; cuando el valor de la pendiente es mayor que uno su ángulo de inclinación es mayor que 45º y menor que 90º; y en el caso de tener pendiente negativa, el ángulo de inclinación es mayor de 90º y menor que 180º. Vamos analizando las siguientes funciones: y= 2x + 2

y= x + 2

y= x + 2

y= x + 2

y= x + 2

Como las pendientes son positivas, las gráficas son crecientes; la velocidad de crecimiento está determinada por la inclinación de la pendiente, esto es entre menor sea ésta, el crecimiento será más lento y la recta estará más cerca del eje X, por tanto entre más grande sea la pendiente, la velocidad de crecimiento será más rápida, es decir, la recta estará más cerca del eje Y. Ahora se analiza el caso en el que la pendiente es negativa.


63

Ejemplo 1. Graficar las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano: 1.- y= -x + 2

2.- y=- x + 2

3.- y= -2x + 2

4.- y=- x + 1

5.- y=- x + 1

6.- y= -4x + 1

¿Cómo se comportan las gráficas?, ¿son crecientes o decrecientes? ¿Cuando las pendientes negativas son grandes, siguen cumpliendo con la misma condición de las pendientes positivas, es decir, se acercan al eje de la Y? ¿Hacia qué eje se acercan las pendientes negativas pequeñas? El comportamiento que tienen las funciones lineales ayuda a visualizar rápidamente la gráfica, y con ello, visualizar la solución de problemas que se describen mediante funciones, en este caso, lineales. El uso principal de las funciones lineales es la variación directa, la cual es una relación directa entre dos variables, esto significa que al aumentar una, aumenta la otra; la variación que sufre una variable con respecto a la otra se puede observar mejor en una tabla o en la regla de


64

correspondencia. Esto es la razón de cambio entre 2 magnitudes que tengan una variación directa entre ellas. A través de las funciones se pueden modelar fenómenos de la vida cotidiana, con el propósito de poder analizar y describir hechos sin necesidad de realizar cálculos complicados de cada evento del fenómeno por separado. m= y2 - y1

x2 - x1

es igual a:

풎 = 횫풚횫풙

Ejemplo 1:

Un tanque tiene una capacidad de 1500 litros. Si se sabe que diariamente se consumen 150 litros, considerando que el tanque no se está rellenando sino vaciando. ¿Cuál será el modelo matemático y la gráfica que representa el consumo total del tanque de agua?

La razón de cambio de la función está dada por:

Cantidad de litros del tanque Consumo diario de agua


65

En relación con esto podemos deducir que el tinaco se vaciaría en: 1500 litros = 10 días. 150 litros/día Considerando los días como la variable independiente y la cantidad de litros del tanque como la variable dependiente, podemos definir el par ordenado (días, litros del tanque). Al principio tendremos (0,1500) y al término (10,0). Entonces el valor de la pendiente es: m= 0 - 1500 = -150 10 - 0 De manera física, esto explica que cada día se consume esa cantidad de litros de agua. Ahora encontraremos la ecuación del modelo lineal que explica cómo se vacía el tanque. Consideremos el punto (0,1500) y la pendiente m= -150, la ecuación queda así:

y - y1= m(x - x1)

y - 1500= -150(x - 0)

y - 1500= -150x

y= - 150x + 1500

f(x)= - 150x + 1500

X y 0 1500 1 1350 2 1200 3 1050 4 900 5 750 6 600 7 450 8 300 9 150

10 0


66

Secuencia didáctica 1: La polución del aire se compone de muchos tipos de gases, gotitas y partículas que reducen la calidad el aire. El aire puede estar contaminado, tanto en la ciudad como en el campo. En la ciudad, la polución del aire puede ser causada por automóviles, camiones y aviones, al igual que por la industria y la construcción. La polución del aire en el campo puede ser causada por el polvo de los tractores que están arando los campos, camiones y automóviles que están manejando por carreteras destapadas o con gravilla, por canteras de donde extraen piedras, por humo de fuego de madera y de fuego de cultivos. Se mide el nivel de polución del aire en una ciudad durante un día, desde las 8 horas hasta las 18 horas. Sea “p” el nivel de polución, medido en partes por millón, y “t” el tiempo en horas, después de 8 horas. Sabiendo que a las 10 horas el nivel de polución era de 50 partes por millón (ppm), y que crece uniformemente a razón de 15 partes por millón por hora. a) Identificar la pendiente y un punto de la función: b) Escribir la función que modela la polución en función del tiempo transcurrido: c) Graficar la polución como función del tiempo transcurrido:


67

En los siguientes ejercicios encuentra lo que se te pide. 1. Por el alquiler de un auto cobran $500 diarios más $20 por kilómetro. Encuentra la ecuación

de la recta que relaciona el costo diario con el número de kilómetros. Si en un día se ha hecho un total de 300 km.

a) ¿Cuál es el valor de la pendiente?

b) ¿Cuál es el valor de la ordenada al origen?

c) ¿Cuánto hay que pagar de importe por el uso del auto?

d) ¿Traza la gráfica que describe el comportamiento?

2. Se ha observado que el crecimiento de una planta es directamente proporcional al tiempo, en su primer medición el resultado fue de 2.0 cm, después de la primera semana ésta mide 2.5 cm.

a) ¿Cuál es la función a fin que da la altura de la planta en función del tiempo?

b) Si han pasado 10 semanas, ¿cuánto mide la planta?

c) Traza la gráfica que describe el crecimiento de la planta:


68

3. Una compañía refresquera sabe que producir 1,200 refrescos tiene un costo de $6,000 y que si se producen 3,200 el costo es de $4,700. Si se sabe que el costo varía de manera lineal con respecto a la cantidad producida.

a) ¿Cuál es el valor de la pendiente?

b) ¿Cuál es la función que describe el comportamiento de la producción?

c) ¿Cuánto costará producir 7,000 refrescos?

d) Traza la gráfica que represente el problema:


69

Función cuadrática o grado dos Este tipo de función representa a una polinomial, cuya característica principal es que su grado máximo es 2. Su expresión analítica es f(x)= a2x2 + ax + a0, de tal forma que a2= a, a1= b y a0= c queda expresada de la siguiente manera f(x)= ax2 + bx + c, más bien conocida como forma general, con la condición de que su coeficiente principal debe ser diferente de cero. Sus componentes son: ax2 Término cuadrático bx Término lineal C Término independiente La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que aparezcan en ellas. Se les llama completas cuando poseen todos los términos, e incompletas cuando carecen de alguno. Si no tiene el término lineal se denominan puras, y si no aparece el término independiente se conocen como mixtas. En el siguiente esquema observarás su estructura: Funciones completas: f(x)= ax2 + bx + c Clasificación de las funciones cuadráticas Funciones puras: f(x)= ax2 + c Funciones incompletas Funciones mixtas: f(x)= ax2 + bx Cuando se completan los cuadrados perfectos se puede representar en su forma estándar: y= a(x-h)2 + k, donde h y k serán las coordenadas del vértice de la parábola. El análisis de la forma general es el siguiente: 1.- Si el coeficiente de a 0, la función es creciente y cóncava hacia arriba.


70

2.- Si el coeficiente de a 0, la función es decreciente y cóncava hacia abajo:

m Nota: Este tipo de funciones presentan un máximo o un mínimo, el cual está dado por el valor del término a, donde a0.


71

3.- Este tipo de función presenta 2 raíces y dependen del discriminante:

Si b2 - 4ac 0, tendrá 2 raíces diferentes.

Si b2 - 4ac = 0, presentará 2 raíces reales iguales.


72

Si b2 - 4ac 0, poseerá 2 raíces imaginarias.

. Las gráficas de una función cuadrática presentan simetría con respecto a una recta paralela al eje y, la cual divide exactamente la parábola en 2 partes iguales. Recuerda que el punto donde la recta corta a la parábola de manera simétrica se le llama vértice, que es también el punto donde una parábola cambia, es decir, decrece o crece, abre hacia arriba o hacia abajo .


73

Las coordenadas del vértice se obtienen mediante la siguiente relación:

V -b, 4ac - b2 2a 4a Por ejemplo:

1. Un jugador de beisbol batea una pelota que describe la trayectoria parabólica, definida por h= -3t2 + 6t + 9. ¿Cuál es la altura máxima y en qué tiempo lo logra?

Las coordenadas del vértice serán V( t, h ), al aplicar la fórmula queda así:

V -(6), 4(-3)(9) - (6)2 2(3) 4(-3) V -6, -108 - 36 6 -12 V 1, -144 -12 V ( 1,12)

Como el vértice está dado en el punto (1,12), representa el lugar donde se presenta el máximo cuya concavidad es hacia abajo. Al compararlo con V( t, h) se tiene que la pelota alcanzará su altura máxima de 12 metros durante el primer minuto.


74


Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -2x2 + 4x. A 1 km del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación y = 6x - 6. Hallar el punto de la montaña donde se producirá el impacto.

Realiza lo que se te pide en los siguientes ejercicios, así como la gráfica correspondiente

1. El dueño de un terreno quiere cercar un terreno rectangular, sólo cuenta con 120 metros de tela ciclónica, si de un extremo existe un río.

a) ¿Cuál es la ecuación?

b) ¿Cuánto mide de ancho y cuánto de longitud?

c) ¿Cuál es el área máxima a cercar?

2. Juan está parado en el techo de un edificio, arroja una pelota hacia arriba desde una altura de 30 metros con una velocidad inicial de 5 m/s. Si la altura máxima se encuentra

determinada por h= at + v t + h


75

a) ¿Cuánto tiempo ha transcurrido después de que se lanzó la pelota, si se encuentra a 10 metros del piso?

b) ¿Cuánto tiempo tardará en caer al piso?

c) ¿Cuál será la altura máxima alcanzada por la pelota?

Actividad 1 Dadas las siguientes funciones, determina qué tipo de función son, grafícalas y anota las características que tiene cada gráfica.

Función Nombre Características

y = 2x - 1

y = 4

y = x2 - 4

y = x + 2

y = x2 – 3x + 2

y= -x +1

y= -2

y= x2 + 2x + 3

y= -3x - 2


76

A partir de las siguientes gráficas determina Dominio, rango, el tipo de función de que se trata y escribe la ecuación asociada, según las intersecciones con los ejes.

Gráfica Función y características


77


78

Actividad 2

Resuelve los siguientes problemas:

1. Una empresa de refrigeradores estima que el costo de producción de 50 unidades es igual a $200,000 y $240,000 si se fabrican 130 unidades. Esta empresa sabe que el costo unitario de los refrigeradores tienen una relación directa con la cantidad total de unidades producidas, así que a mayor producción menor costo. Encuentra la ecuación que representa el costo de producir un refrigerador y cuánto costaría producir 150 refrigeradores:


79

2. Una casa fue comprada en 1990 en $1'200,000 y en 2005 fue vendida en $5'600,000. Suponiendo que el valor de la casa se incrementa de manera lineal, encuentra la ecuación que relaciona:

a) El valor de la casa con el tiempo. b) El valor de la casa en 1996. c) Cuánto costará para 2020

3. Una máquina se compra a un precio de $4'000,000. Se sabe que al pasar 4 años se

deprecia y su valor será de $3'120,200. Si la depreciación se comporta de manera lineal con respecto al tiempo. Encuentra:

a) La función que describe el comportamiento. b) El valor de la máquina dentro de 6 años.

4. Una empresa vende computadoras netbook en 300 dlls. cada una. Si se fabrican X

cantidades de unidades al día y si el costo se representa por la ecuación C(x)= -x2 + 98x -720. ¿Cuál es la cantidad de unidades a producir para obtener la máxima utilidad?

5. La dosis en mg de antibiótico que se suministra a niños menores de 10 años, depende en forma lineal del peso del niño. Para un niño de 3 kg se suministra 40 mg y para un niño de 4 kg se suministra 65 kg.

a) Calcular la función que da la dosis del medicamento, dependiendo del peso. b) ¿Cuánto debe recetarse a un niño que pesa 7.5 kg?

6. Chirrido de grillos. Los biólogos han encontrado que el número de chirridos por minuto

hechos por los grillos de cierta especie están relacionados con la temperatura. La relación es casi lineal. Los grillos chirrían todo el verano a 68 º F, los chirridos de los grillos son 124 por minuto. A 80º F son alrededor de 172 por minuto.

a) Determina una ecuación que dé la temperatura Fahrenheit, t en términos del número de chirridos, c por minuto.

7. La utilidad diaria de la venta de árboles para el departamento de jardinería de un almacén está dada por p x x 2 18x 144 , en donde x es el número de árboles vendidos.

a) Determina el vértice.

b) Las intersecciones con los ejes de la función y traza la gráfica de la función.


80

8. Arquería. Un muchacho que está parado en una colina, dispara una flecha directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies por segundo. La altura h, de la flecha en pies, t segundos de que se soltó se describe por la función h t 16t 2 80 t 32 .

a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la flecha?

b) ¿Cuántos segundos después de que se suelta, alcanza esta altura?

9. Arquería. Un muchacho que está parado en una colina, dispara una flecha directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies por segundo. La altura h, de la flecha en pies, t segundos de que se soltó se describe por la función h t 16t 2 80 t 32 .

a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la flecha?

b) ¿Cuántos segundos después de que se suelta, alcanza esta altura?

Material a utilizar: Graficador de funciones online. http://fooplot.com/index.php Páginas para descarga de programas para graficar funciones. http://www.programas-gratis.net/b/programa-para-graficar-funciones-matematicas

Programa winplot para graficar funciones. Se puede elegir la versión en español.


- Excel - Proyector. - Laboratorio de cómputo (en donde sea posible). - Material para hacer gráficas en papel (lápiz, regla, borrador)

81

BLOQUE IV

UTILIZAS FUNCIONES POLINOMINALES DE GRADOS

TRES Y CUATRO

BLOQUE V

UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

82


83

DESEMPEÑOS A DEMOSTRAR (BLOQUE IV):

Reconoce el patrón de comportamiento gráfico de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro.

Describe las propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro.

Utiliza transformaciones algebraicas y propiedades geométricas para obtener la solución de ecuaciones factorizables y representar gráficamente las funciones polinomiales de grados tres y cuatro en la resolución de problemas.

DESEMPEÑOS A DEMOSTRAR (BLOQUE V):

Utiliza consecutivamente los teoremas del factor y del residuo, y la división sintética, para hallar los ceros reales de funciones polinomiales.

Emplea la división sintética para obtener en forma abreviada el cociente y el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x a.

Emplea la prueba del cero racional, el teorema fundamental del álgebra y el teorema de la factorización lineal para hallar los ceros de una función polinomial factorizable.

Aplica y combina las técnicas y procedimientos para la factorización y la obtención algebraica y gráfica de ceros de funciones polinomiales, en la resolución de problemas teóricos o prácticos

La temperatura de una superficie caliente, tal como un comal o el cofre de un carro al mediodía, y la potencia emitida por dicha superficie se relaciona mediante la Ley de Stefan Boltzman expresada como:

P= T 4



84

donde

P= se mide en W/m2

constante de Boltzmann, 5.67x10-8 W/m2 K

emisividad, que depende del material de la superficie

T= la temperatura de la superficie

Un ingeniero está observando la potencia térmica asociada con celdas solares. El ingeniero mide la temperatura de 7 celdas solares y luego, usando la función propuesta por Stefan Boltzmann, calcula la potencia emitida por cada celda, considerando además que 0.8.

A continuación, aparece una tabla en la que se observa la temperatura medida por el ingeniero y una columna para registrar la potencia emitida. Enseguida, aparece una gráfica en la que se observa la relación de Temperatura vs Potencia térmica.

a) Usando la ley de Stefan Boltzmann obtén los valores que faltan en la columna de la potencia real y compara sus valores con la gráfica que se muestra a continuación.

b) La potencia térmica ideal es la que se obtiene usando la ley de Stefan Boltzmann, pero considerando que la emisividad 1, de donde la ecuación queda como P = T 4 . Usando los valores de T, de la tabla, obtén los valores de la potencia ideal y grafícalos en la misma gráfica donde está la curva de la potencia real. Observa la diferencia entre las dos curvas. Con base en estas dos gráficas, ¿qué puedes decir acerca del efecto de la emisividad en la ley de Stefan Boltzmann?

T(K) P real (W/m2)

P ideal (W/m2)

290 320.8

295

320 475.6

400

420

500 2835

530


85

Función cúbica

Es aquella en el cual el valor de su potencia es 3, por tanto su expresión polinomial es: f(x)= a3x3 + a2x2 + a1x + a0.

Por lo que podemos decir que los coeficientes a3, a2, a1 y a0 se pueden cambiar por las siguientes literales a, b, c, d, donde la expresión queda de la siguiente manera: f(x)= ax3 + bx2 + cx + d donde a es diferente de Cero. Cuando el coeficiente a es mayor que cero, la gráfica crece hacia la derecha en algún valor de X y continua creciendo hacia la izquierda en algún valor de X, por ejemplo:

0200400600800

100012001400160018002000220024002600280030003200340036003800

200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550

Pot

enci

a té

rmic

a (W

/s)

Temperatura (K)

Temperatura vs Potencia térmica


86

f(x)= 2x3

f(x)= x3 + 4x2 + x - 2

Pero si a es menor que cero, la gráfica decrece hacia la derecha en algún valor de X y crece hacia la izquierda en algún lugar de X, por ejemplo:


87

f(x)= - x3

f(x)= -x3 + 3x2 + x -3

Las funciones polinomiales presentan gráficas, dependiendo de su grado. Dichas funciones presentan raíces cuyos números son aquellos que hacen el valor de y=0 o visualmente son aquellos puntos que tocan al eje de las X, que en este caso particular se trata de una función de tercer grado o cúbica.


88

Dadas las siguientes funciones, determina qué tipo de función son, grafícalas y anota las características que tiene cada gráfica.

Función Características

y = x3 - 1

y = 2x3

y = x3 - 3x2 +1

y = x3 – 4x + 2

y= -x3 +x +4

y= -3x3 + 2

y= x3 + 2x2 + 3x

y= x3 - 5x2 + x + 2

Función cuártica

Es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

con a 0, donde a, b, c, d y e, son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a los reales o los complejos, en su forma estándar se presenta como


89

En la función cuártica el dominio es el conjunto de números reales, pero el rango sólo es una parte de ellos, a diferencia de la función cúbica la cual cruza desde hasta - a . Los parámetros tienen el mismo efecto que en la función de grado dos (cuadrática); en el caso que el parámetro “a” sea positivo la función tiende infinitamente hacia arriba, si el parámetro “a” es negativo, la función tiende infinitamente hacia abajo.

Cuando se conoce la función estándar de una función cuártica, se puede conocer el punto máximo o mínimo, esto dependerá del signo del parámetro “a”.

Así mismo, una gráfica de cuarto grado, corta en 4 puntos al eje de las X, tal como se observa en la siguiente gráfica.

Para encontrar las raíces o ceros de una función es necesario considerar que f(x)= 0. Cuando es una función de primer grado, su solución es resolver, despejando la variable X, por ejemplo:

푓(푥) = 4푥 − 8

Si 푓(푥) = 0, entonces 4푥 − 8 = 0 y despejando x tenemos:

4푥 = 8

푥 = = 2

Esto significa que la gráfica cortaría en 2.


90

Cuando la función es de segundo grado, debemos encontrar los valores que satisfagan la ecuación 푓(푥) = 0, es decir, hay que resolver la ecuación por los diferentes métodos que son fórmula general, factorización, completando cuadrados. Por ejemplo: 푓(푥) = 푥 + 2푥 − 8

Al igualar a cero tenemos que: 푥 + 2푥 − 8 = 0

Factorizando:

(푥 − 2)(푥 + 4) = 0

Resolviendo:

푥 − 2 = 0 푥 + 4 = 0

푥 = 2 푥 = −4


91

Actividad 1

A continuación, se muestran siete funciones cúbicas y de cuarto grado. Según las características que escribiste en el ejercicio anterior y las características de cada expresión algebraica, determina cuál función corresponde a cada gráfica. Escribe la letra correspondiente en la columna “tipo de función” de la tabla anterior. a) y=x3+2 b) y=x4-3x2+1 c) y= -x4+2 d) y= -x3+x e) y=x3-3x-4 f) y= -x4-2x3-1

Gráfica Tipo de función

Características


92


93


94

Teorema del residuo y del factor

El método más comúnmente usado en la resolución de funciones de orden 3 ó 4 es la división. Cuando tenemos un polinomio p(x) y queremos dividirlo entre un binomio de la forma 푥 − 푎, donde 푎 es un número real cualquiera, es más sencillo realizar la división sintética, cuyo proceso empieza por ordenar el polinomio de manera decreciente en las potencias, utilizando los coeficientes del polinomio para realizar la división entre el binomio 푥 − 푎. El Teorema del residuo se enuncia de la siguiente forma: Si un polinomio f(x) se divide entre el binomio x - c, donde “c” es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(c). Esto significa que el residuo viene a ser el valor que se obtiene al sustituir “a” en el polinomio.

El proceso de la división de polinomios es muy parecida al proceso de la división con números.


95

Por ejemplo:

Cociente

6x - 2 Divisor x - 4 6x2 - 26x + 12 Dividendo -6x2 + 24x - 2x + 12 +2x - 8

4 Residuo

El proceso termina cuando el último renglón es de menor grado que el divisor. Entonces el último renglón contiene el residuo, y el superior al cociente, interpretando el resultado de las siguientes maneras: 6x2 - 26x + 12 = 6x - 2 + 4___ x - 4 x - 4 6x2 - 26x + 12=(x - 4)(6x - 2) + 4

Este teorema proporciona una herramienta de comprobación del algoritmo de la división, como se muestra a continuación:

Si se considera 푓(푥) = 6푥 − 26푥 + 12 y se evalúa en x= 4, el cual resulta de despejar a 푥 − 4 = 0 se obtiene: 푓(푥) = 6푥 − 26푥 + 12

푓(4) = 6(4) − 26(4) + 12

푓(4) = 96 − 104 + 12

푓(4) = 4

Lo cual significa que el algoritmo de la división que se realizó es correcto, ya que el polinomio evaluado en x=4 resulta 4, como el residuo en la división.

Este teorema es importante para encontrar las raíces o ceros de una función, pues si el residuo es cero, significa que el binomio por el cual se dividió es un factor, esto es, se ha encontrado otra forma de factorizar un polinomio.


96

Usa la división y el teorema del residuo para evaluar P(c):

a) P (x) = 2x2+9x+1, c=1/2 b) P (x) = x3+3x2-7x+6, c=2 c) P (x) = 5x4+30x3-40x2+36x+14, c=-7 d) P (x) = 6x5+10x3+x+1, c=-2

Dando origen al teorema del factor, el cual dice:

Si “c” es una raíz de f(x) =0, es decir f(c)=0, entonces 풙 − 풄, es un factor de f(x).

Por ejemplo: f(x)= x3 - 7x + 6

Si x= 1

f(x)= (1)3 - 7(1) + 6

= 1 - 7 + 6 = 0

Si x= 2

f(x)= (2)3 - 7(2) + 6

= 8 - 14 + 6 = 0

Si x= 3

f(x)= (3)3 - 7(3) + 6

= 27 - 21 + 6 = 12 "No es raíz "

Si x= -3

f(x)= (-3)3 - 7(-3) + 6

= -27 - 21 + 6 = 0 tenemos que:

(푥 − 1)(푥 − 2)(푥 + 3) = 0, entonces:

푥 = 1, 푥 = 2, 푥 = −3


97

Recordando que si 푓(푐) = 0, entonces el número 푐 es un cero del polinomio 푓. También podemos expresar lo anterior diciendo que 푐 es una raíz de la ecuación polinomial 푓(푥) = 0 , así los ceros del polinomio son 1, 2푦 − 3 .

Ejemplo 1: Si las raíces de la función polinomial son −1, 1, −5, -2, determinar dicha función.

Basándose en el teorema del factor, con cada una de las raíces se forma el factor correspondiente, quedando de la siguiente manera:

x1= - 1, x2= 1, x3= - 5 y x4= 2

Por tanto, la ecuación que satisface es:

(푥 + 1)(푥 − 1)(푥 + 5)(푥 − 2) = 0

Multiplicando los factores nos queda:

(푥 − 1)(푥 + 3푥 − 10) = 0

푥 + 3푥 − 11푥 − 3푥 +10 = 0 Por tanto la función se expresa: 푓(푥) = 푥 + 3푥 − 11푥 − 3푥 + 10 La función obtenida se extiende infinitamente hacia arriba, pero esta ecuación no es la única que cumple con las raíces, hay otra forma de función que cumple con las raíces anteriores y es: 푓(푥) = −푥 − 3푥 + 11푥 + 3푥 − 10

Para simplificar aún más el procedimiento de la división de polinomios, se puede utilizar otro método menos complicado, el cual es la división sintética, el cual es un proceso abreviado del algoritmo de división que se conoce hasta ahora.

Evalúa las siguientes funciones, mediante el teorema del factor, indicando si es raíz o no.

a) 푓(푥) = 푥 + 3푥 − 76푥 − 288,푠푖푐 = −4.

b) 푓(푥) = 5푥 + 4푥 − 7푥 + 푥 + 10,푠푖푐 = 1

c) 푓(푥) = 푥 − 5푥 ,푠푖푐 = 5

d) 푓(푥) = 푥 + 4푥 − 8,푠푖푐 = −2

e) 푓(푥) = 4푥 + 푥 + 6푥 − 10, 푠푖푐 = −1


98

División sintética

Para usar el método de la división sintética o regla de Ruffini es importante identificar dos términos 푞푦푝, donde 푞 son los factores de 푎 y 푝 son los factores de 푎 , considerando este ejemplo 푓(푥) = 3푥 − 14푥 + 7푥 + 4. Los factores de 4 son 푝=±1, 2, 4 y los factores de 푞=±1, 3. Se requiere determinar todos los cocientes .

= ± 1, , 2, , 4,

Este grupo de números representa todas las posibilidades de raíces racionales de 푓(푥), para saber cuáles son se requiere realizar la división sintética y aquellos cuyo residuo sea igual a cero nos permitirá encontrar los factores del polinomio.

3 -14 7 4 1 3 -11 -4 3 -11 -4 0 El resultado del residuo es igual a cero, por lo que x=1 es una raíz de 푓(푥) = 3푥 − 14푥 +7푥 + 4, por tanto los coeficientes de los resultados del cociente son: 3, -11 y -4, obteniendo el polinomio:

푓(푥) = 3푥 − 11푥 − 4 Igualando a cero nos queda:

3푥 − 11푥 − 4 = 0

Factorizando y encontrando las raíces nos queda:

(푥 − 4)(3푥 + 1) = 0 (푥 − 4) = 0 (3푥 + 1) = 0 푥 = 4 푥 = − Por lo que las raíces del polinomio 푓(푥) = 3푥 − 14푥 + 7푥 + 4 son:

푥 = 1,푥 = 4,푥 = −


99

Ejercicios:

a) f(x)= x3 - x2 - 14x + 24

b) f(x)= x3 - 4x2 - 9x + 36

c) f(x)= x3 + 3x2 - 40x

d) f(x)=4x4 - 28x3 - 76x2 + 28x + 72

e) f(x)= x4 - 20x2 + 64

Teorema fundamental del Álgebra

Dado que cualquier número real es también un número complejo, el teorema fundamental del álgebra el cual establece que 푷(풙) = 풂풏풙풏 + 풂풏 ퟏ풙풏 ퟏ+... +풂ퟏ풙+ 풂ퟎ. Cuando (풏 ≥ ퟏ,풂풏 ≠ ퟎ) se aplica a polinomios con coeficientes reales.

Esto significa que toda ecuación de grado 1 o mayor tiene al menos un número complejo como solución. Por tanto, toda ecuación polinomial de grado 푛 tiene exactamente 푛 soluciones.

Puesto que todo cero es un polinomio, corresponde a un factor lineal (según el teorema del factor), el teorema fundamental del álgebra asegura que podemos factorizar cualquier polinomio P(x) de grado 푛 como:

푃(푥) = (푋 − 퐶 ).푄 (푥)

Donde 푄 (푥) es el grado 푛 − 1 y 퐶 es un cero de 푝(푥). Al aplicar el teorema fundamental del álgebra al cociente 푄 (푥) obtenemos la factorización

푃(푥) = (푋 − 퐶).(푥 − 퐶 ).푄 (푥)

Donde 푄 (푥) es el grado de 푛 − 2 y 퐶 es un cero de 푄 (푥). Continuando este proceso durante 푛 pasos, se llegará a un cociente final 푄 (푥).

Teorema de factorización lineal:

Un polinomio de grado 푛 tiene exactamente 푛 factores lineales.


100

Por ejemplo:

푦 = 푥 − 3푥 − 6푥 + 18

La función se iguala a cero:

푥 (푥 − 3) − 6(푥 − 3) = 0

Se factoriza:

(푥 − 3)(푥 − 6) = 0

Al resolver los términos:

(푥 − 3) = 0 (푥 − 6) = 0

푥 = 3 푥 = ±√6

Ejercicios: a) x3 + 2x2 - 3x +6 b) x3 + 4x2 - 8x + 32 c) x4 - 2x3 - 4x2 + 8x Secuencia didáctica 1 El gasto del ingreso quincenal que tiene cierta familia se ve reflejado por la función 푓(푥) = 푥 −2푥 − 3푥 + 12. Esta función modela el comportamiento del ingreso familiar conforme avanzan los días de la semana.


101

1.- ¿Cuánto recibe de sueldo quincenalmente esta familia? 2.- ¿Cuál es el comportamiento de la gráfica que representa los gastos? 3.- ¿Cuánto es el monto con el que cuenta esta familia al paso de una semana? Problema. 1. Una caja de cartón tiene una base cuadrada y cada una de las cuatro aristas de la base tiene una longitud de x pulgadas como se muestra en la figura. La longitud total de las aristas de la caja es de 144 pulgadas.

a) Expresa el volumen V de la caja como una función de x. b) Trace la gráfica de la función V. c) Dado que tanto x como V representan cantidades positivas (longitud y volumen,

respectivamente), ¿cuál es el dominio de V?


102

2. La caja de un trailer que transporta mercancías para una cadena de supermercados, tiene una capacidad de 100 m, si el ancho es x, el largo 3x+3 y la altura 2x-2 metros, ¿cuáles son sus dimensiones?

Actividad 1 1. Usa Winplot u otro programa de computadora, o bien, una tabulación para valores

cercanos a cero, para graficar las siguientes funciones. Ayúdate de papel milimétrico si no se cuenta con una computadora. Utiliza media hoja para la gráfica o imprímela si usas algún paquete de computadora y en la otra mitad anota sus características según las siguientes preguntas:

¿Corta al eje x? ¿Cuántas veces? ¿Sus extremos están hacia arriba, hacia abajo o alternados? ¿Qué pasa cuando el signo del término principal (el que tiene la potencia mayor) es

positivo o negativo? a) y = x3 b) y = -x3-1 c) y = x3+2 d) y = -x3+x e) y = x3+x2-3x-1

2. Dadas las siguientes funciones, grafícalas a partir de encontrar los ceros de los polinomios mediante factorización.

a) y = x3-x b) y = x3-x2-6x c) y = x4-4x2 d) y = -x4-4x3-3x2

(Problema tomado del libro Precálculo, Stewart, J., Ed. Thompson).


103

3. Usa la división sintética para realizar las siguientes divisiones:

a) 3x 3 12 x 2 9x 1

x 5 b)

x 4 x 3 x 2 x 2x 2

c)x 3 9x 2 27 x 27

x 3 d)

6x 4 10x3 5x2 x 1

x 23

4. Usa la división sintética y el teorema del residuo para evaluar P(c):

e) P (x) = 2x2+9x+1, c=1/2

f) P (x) = x3+3x2-7x+6, c=2

g) P (x) = 5x4+30x3-40x2+36x+14, c=-7

h) P (x) = 6x5+10x3+x+1, c=-2

Actividad 2 A partir de la lectura del procedimiento para la obtención de los ceros (o soluciones) de un polinomio o la explicación del profesor, determina los ceros de los siguientes polinomios:

a) x3-3x2-4x+12=0

b) x3-4x2+x+6=0

c) x3-4x2-7x+10=0

d) x4-5x2+4=0

e) x4-x3-5x2+3x+6=0

f) 4x3-4x2-x-1=0

Actividad 3: Resuelve los siguientes problemas:

a) Un silo de granos está formado por una sección principal cilíndrica y un techo semiesférico. Si el volumen total del silo (incluyendo la parte dentro de la sección del techo) es de 15,000 pies3 y la parte cilíndrica tiene 30 pies de altura, ¿cuál es el radio del silo, aproximado a la décima de pie más cercana?

b) Un predio rectangular tiene un área de 5000 pies2. Una diagonal entre esquinas opuestas mide 10 pies más que un lado del predio. ¿Cuáles son las dimensiones del predio, aproximadas al entero más cercano?


104

Material a utilizar: Graficador de funciones online.

http://fooplot.com/index.php Páginas para descarga de programas para graficar funciones. http://www.programas-gratis.net/b/programa-para-graficar-funciones-matematicas

Programa winplot para graficar funciones. Se puede elegir la versión en español.


- Excel. - Proyector. - Laboratorio de cómputo (en donde sea posible). - Material para hacer gráficas en papel (lápiz, regla, borrador).

105

BLOQUE VI

APLICAS FUNCIONES RACIONALES


106


107


Identifica el dominio de definición de las funciones racionales y determina la existencia de asíntotas verticales.

Emplea la calculadora para tabular valores de funciones racionales. Aplica los criterios para determinar la existencia de asíntotas horizontales

y oblicuas, y utiliza éstas para dibujar la gráfica de una función racional. Aplica las propiedades de las funciones racionales y su relación con

rectas que son asíntotas para solucionar problemas teóricos o prácticos.

A continuación se presentan ciertos valores de R:

R (Ω) I (Amp)

0.3

0.5

1

10

25

Usando la función anterior, obtén la intensidad de la corriente (I) para cada resistencia. Haz una gráfica, utilizando la tabla que ha completado con los valores de I.

Según la gráfica, ¿qué pasaría con I, si R fuera menor a 0.2? ¿Qué pasaría con el valor de I si el valor de R fuera de 200 Ω o más?

Supón que la empresa sólo construye resistencias con valores entre 0.1 y 100 Ω.

¿Cuál es el rango máximo de intensidad de corriente que ofrece la empresa a sus clientes?


En una empresa que fabrica dispositivos electrónicos, se están probando ciertas resistencias. Se mide el

valor de la resistencia (R) y según la función I = ,

se calcula la corriente (I) asociada con cada resistencia.

120R


108

Función racional

Es la que resulta al dividir 2 funciones polinomiales, donde el denominador de cualquier función debe ser diferente de cero.

Sus características principales son:

A toda función polinomial le corresponde un límite y se pueden encontrar usando valores muy próximos a dicho límite.

El lugar en el que se intersectan los límites le corresponden un intervalo abierto, el cual representa las asíntotas de la función, la cual no es continua.

Estas funciones resultan imposible reducir, si se reduce por factorización entonces no es racional.

Dominio y rango: Intervalos. El dominio de una función racional está formado por los valores que se asignan a 푥, de manera que no exista división entre cero. Algebraicamente el intervalo se establece con un denominador diferente de cero. Al graficar las funciones racionales generan asíntotas que son líneas rectas que guardan una distancia con los puntos de la curva y que nunca tocan a la función, pero que se encuentran muy cercanas a ellas, es decir una tangente a la curva en el infinito. Estas se clasifican en: A) Verticales: Se obtienen cuando los valores de 푥 anulan al denominador, pero no al numerador.


109

Por ejemplo:

풚 =ퟏ풙

풙 풚 -3 -0.33 -2 -0.5 -1 -0

-0.5 -2.0 -0.4 -2.5 -0.2 -5.0

0 ∞ 0.2 5.0 0.4 2.5 0.5 2.0 1 1.0 2 0.5

El Dominio está dado por: D= 풙 ∈ 푹/풙 ≠ ퟎ ó D= (−∞,ퟎ)푼(ퟎ,∞) B) Horizontales: Estas resultan de dividir el numerador y denominador entre la 푥 de mayor potencia.


110

Por ejemplo:

푓(푥) =4푥 − 56푥 − 6

Para encontrar la asíntota vertical, se iguala a cero el denominador: ퟔ풙 − ퟔ = ퟎ Se despeja 푥:

ퟔ풙 = ퟔ

풙 ≠ ퟔퟔ

= ퟏ

Su dominio es: D= (−∞, 1)푈(1,∞) Para encontrar la asíntota horizontal, se dividen todos los términos entre la mayor potencia. Esto es:

푓(푥) =

Sustituyendo a 푥푝표푟∞ 0

푓(푥) = 0

Se obtiene:

푓(푥) = , que es igual a 0.66 Su rango es: R=(−∞, 0.66)푈(0.66,∞)


111

C) Asíntotas oblicuas: Es aquella que se da al realizar la división de polinomios y el resultado del cociente, tendrá la forma de la ecuación de la recta 푦 = 푚푥 + 푏. Esto porque en la ecuación 푹(풙) = 푨(풙)

푫(풙) ,

el grado de 푨(풙) es más grande que el de 푫(풙). Por ejemplo:

풇(풙) = 풙ퟐ − ퟐ풙 + ퟔ

풙 + ퟓ

Para encontrar la asíntota Vertical, se iguala a cero de denominador: 풙+ ퟓ = ퟎ Se despeja 푥:

풙 = −ퟓ

Su Dominio es: D= (−∞,−5)푈(−5,∞) Para encontrar la asíntota horizontal, se dividen todos los términos entre la mayor potencia. Esto es:

푓(푥) =

Sustituyendo a 푥푝표푟∞ 0 0

푓(푥) =

=

Esto significa que no tiene asíntota horizontal. Para calcular la asíntota oblicua, dividimos x - 7 x+5√ x2 – 2x +6 -x2 - 5x

-7x + 6 +7x + 35

41

La ecuación de la recta es 푦 = 푥 − 7


112

Resuelve los siguientes ejercicios, determinando sus asíntotas, dominio, rango y grafica los siguientes ejercicios: A)

푓(푥) =4푥 − 96 − 3푥

X y -2 -1 0 1

1.2 1.4 2

2.2 2.5 3 4

B)

푓(푥) =

X Y -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6


113

C)

푦 =

X Y -8 -6 -5

-4.01 -4

-3.99 -3 -2 0 1 2

2.99 3.01

4 5 6 7

D)

푦 =

X Y -6 -5 -4 -3

-2.5 -2 -1 0 1 2

2.8 3 4 5


114

E)

푦 =푥 + 8푥 − 5

X Y

-20 -10 0

4.5 5

5.5 8

10 20

F)

푦 =푥 + 6푥 + 9

푥 − 8

X Y

-20 -10 0

3 4

4.5 5

15 20 30


115

Ejemplos: 1. Un globo aerostático de 4000 m3 ejerce una presión de 700 N/m2 a temperatura constante.

Si queremos que la presión aumente a 8000N/m2. ¿Cuánto debe disminuir el volumen si no cambia la temperatura? Partiendo de la Ley de Boyle-Marriote establecemos que:

= 푉 por tanto /

= 4000푚 al despejar la variable K, nos queda así-

퐾 = (4000푚 ) = 2.8푥10 푁/푚 por tanto el volumen se determina por:

= 푉 al sustituir valores nos queda así: . /

/= ퟑퟓퟎ풎ퟑ

2. A un paciente se le suministra un medicamento, el cual se está monitoreando la concentración en la sangre de dicho medicamento. En el momento que se suministra el medicamento la concentración (mg/lt) está dada por:

푪(풕) = ퟓ풕풕ퟐ ퟏ

x(tiempo) y(concentración) 0 hr O mg/lt 1 hr 2.5 mg/lt 2 hr 2.0 mg/lt 3 hr 1.5 mg/lt 4 hr 1.17 mg/lt 5 hr 0.96 mg/lt 6 hr 0.81 mg/lt 7 hr 0.7 mg/lt 8 hr 0.62 mg/lt 9 hr 0.55 mg/lt

10 hrs 0.5 mg/lt

a) ¿Cuál es la concentración máxima alcanzada en el torrente sanguíneo del paciente? 2.5 mg/lt

b) ¿Cuánto tiempo ha pasado para que la concentración en la sangre sea menor a 0.60 mg/lt? Aproximadamente 9 horas.


116

c) ¿Qué ocurre con la concentración del medicamento conforme pasa el tiempo? R= Ésta va disminuyendo al paso de las horas.


Cuando 2 resistores r1 y r2 están conectados en paralelo, su resistencia R está en función de

푅 = Suponiendo que un resistor es de 5 ohm y está conectado como se muestra en la figura: 5

A) Establece la función de R. B) Encuentra el valor de la asíntota en X. C) Construye su gráfica.


117

Actividad 1 1.- Dadas las gráficas identifica a qué función corresponden, encuentra el dominio, rango y sus

respectivas asíntotas en cada una de ellas.

Dominio:_______________________

Rango:_________________________

Dominio:_______________________

Rango:_________________________

Dominio:_______________________ Rango:_________________________

Dominio:_______________________ Rango:_________________________


118

Dominio:_______________________

Rango:_________________________

Dominio:_______________________

Rango:_________________________

Dominio:_______________________ Rango:_________________________

Dominio:_______________________ Rango:_________________________

1. 2.푦 = − 2 3.푦 = 4.푦 = 5.푦 = 6.푦 = 7. 8.


119

Actividad 2 Resuelve los siguientes problemas:

1. En un buque cisterna transportador de petróleo se presenta un derrame, el petróleo permanece en el mar 4 meses, al efectuarse en ese tiempo las tareas de recuperación y limpieza por parte de la empresa responsable. Se determina que el porcentaje de residuos del hidrocarburo se representa por 푓(푥) =

( ) , pues a partir de ahí el proceso se

hace más lento por la acción natural de los procesos de biodegradación.

a) ¿Qué porcentaje de residuos de petróleo queda al concluir la operación de limpieza?

b) ¿Al cabo de 10 meses se podrá disminuir 20% los residuos?

c) ¿Cuánto será el porcentaje de contaminante que se queda en el mar?

d) ¿Cuál es el máximo porcentaje de limpieza que se puede obtener de acuerdo con este modelo?

2. La ecuación P 1

V 10 describe la relación del volumen y la presión de un cierto gas a una

temperatura constante, donde V se da en litros (L) y P se da en atmósferas (Atm). Obtén la presión que se mide en un recipiente que contiene a este gas, para los volúmenes siguientes dados.

V(L) 15 13 12 10.5 10.2

P(atm)

Con la tabla terminada, haz la gráfica respectiva.

¿Cuál es el mínimo volumen al que se puede comprimir el gas? ¿Cuál es la presión máxima que puede ejercerse sobre ese gas?


120

3. Cada año la mariposa Monarca viaja 4500 km de Canadá a nuestro país para reproducirse. La cantidad de ellas (en millones) en los bosques de Oyemal se puede calcular con

풚 = 풙ퟐ ퟓퟓퟗ풙 ퟓퟔퟐ

풙 ퟏ

a) Dibuja la gráfica de esta función:

X(meses) y(millones de

mariposas )

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

¿Cuántas mariposas habrá para 2050? c) Interpreta la intersección en el eje 푦:


121

4. Las feromonas y dopaminas son sustancias químicas que libera el organismo en los individuos cuando empiezan a enamorarse, produciendo una doble sensación de

aletargamiento y de hiperactividad. Si se supone que la función racional 푓(푥) = , que representa el porcentaje de estas sustancias en una persona, durante una etapa de su enamoramiento, donde “x” representa el número de meses:

a) Utiliza una tabla de valores para que traces la gráfica.

X (meses) Y (concentración)

0 0.5 1 2 3 4 5 6 7

b) ¿Cuál es la cantidad global de estas substancias presentes a los cuatro meses?

c) Basados en el modelo, ¿en cuánto tiempo se alcanza la máxima producción y cuál es ésta?

5. El valor de un automóvil se deprecia en proporción inversa a su antigüedad. Si un automóvil

valía $80,000 cuando tenía 3 años.

a) Encuentra la constante de proporcionalidad.

b) Al tener 10 años de uso, ¿cuál será su valor?


122

6. La ley de iluminación dice que la cantidad de luz que recibe una superficie es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la que se encuentra la superficie de la fuente luminosa.

http://www.canonistas.com/foros/blogs/iluminacion/470-fundamentos-sobre-iluminacion-ley-inversa-del-cuadrado-de-la-distancia.html

Esta ley se expresa por la ecuación: E I

d2

donde: E = La iluminación en la superficie (medida en lux) d = La distancia a la que se encuentra la superficie de la fuente luminosa (medida en metros) I = La intensidad de la fuente luminosa (medida en candelas, cd) Supón que una fuente luminosa tiene una intensidad de 10 cd. La empresa que las produce tiene una tabla que toma como referencia para mostrar a los clientes la iluminación de sus lámparas. Dadas las siguientes distancias en metros:

i) Obtén la iluminación que se obtiene en una superficie ubicada a esas distancias.

d (m) 0.4 0.8 1 2 5 7 10

E (lux)

ii) Construye la gráfica que muestra la relación entre E y d. iii) ¿Por qué la gráfica que describe esta ley física es una función racional? iv) ¿Cómo sería la gráfica para una fuente de 5 cd? Usa las mismas distancias. v) Supón que deseas iluminar una pared a 3m de la fuente luminosa, ¿es lo mismo

iluminar la pared con una fuente de 10 CD que con dos de 5 CD? Explica.


123



Excel Proyector Laboratorio de cómputo (en donde sea posible) Material para hacer gráficas en papel (lápiz, regla, borrado)


124

125

BLOQUE VII

UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y

LOGARÍTMICAS

UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

126


127


A partir de la expresión de la función exponencial decide si ésta es creciente o decreciente.

Obtiene valores de funciones exponenciales y logarítmicas, utilizando tablas o calculadora.

Traza las gráficas de funciones exponenciales tabulando valores y las utiliza para obtener gráficas de funciones logarítmicas.

Utiliza las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Un biólogo ha estudiado cierta población de aves en una isla de Pascua (¿Sabe dónde está esa isla?). Dicha población está limitada de acuerdo al tipo de hábitat necesario para la anidación. Según los datos que ha obtenido desde que llegó a la isla, la población se puede calcular mediante la expresión:

n(t) 5600

0.5 27.5e0.044 t

donde 푡 se mide en años. De vuelta a la universidad, el biólogo les dice a sus estudiantes que obtengan:

a) La población inicial de aves que había en la isla a partir de la ecuación b) El tamaño al que tendería la población al transcurrir los años c) El tiempo en el que la población se habrá reducido a la mitad de la inicial

¿Será posible saber esta información a partir de la función mostrada? ¿Ayudaría a responder alguna de esas preguntas o todas, la construcción de la gráfica?

(Problema basado en uno propuesto en el libro Precálculo de Stewart, J., Ed. Thompson, 2001).



128

Funciones exponenciales

Son aquellas funciones en las que el exponente es una variable y se caracteriza por una constante elevada a una variable (son biunívocas porque crece en exponente x+ y decrece en exponentes x-) Su notación está dada de 2 formas: 풚 = 풂풙 ó 풇(풙) = 풂풙 En donde풂, se denomina base y debe cumplir con diferentes características, tales como: Debe ser un valor constante. No puede tomar un valor negativo. 푎 ≠ 0 y 푎 ≠ 1

Este tipo de funciones tienen una amplia variedad de usos, tales como crecimiento de población, crecimiento en problemas de salud, entre otros. Estas funciones exponenciales, se pueden representar de las siguientes maneras:

풚 = ퟐ풙

풚 = ퟐ 풙

Como se puede observar en las gráficas anteriores, la función 풚 = ퟐ풙 es Creciente, puesto que su tendencia es hacia arriba. Su Dominio esta dado por 푫 = (−∞,∞) y su Rango 푹 =[ퟎ,∞), mientras que 풚 = ퟐ 풙, es Decreciente, pues va hacia abajo, Dominio está dado por 푫 = (−∞,∞) y su Rango 푹 = (∞,ퟎ].


129

Las gráficas anteriores muestran un caso típico de una función exponencial, la cual se puede definir como 풇 = {(풙,풚)/풚 = 풃풙,풃 > 0, 푏 ≠ 1,푋 ∈ 푅}. Todos los pares ordenados se pueden formar a partir de una base 푏, la cual debe ser mayor que cero, pero diferente de 1, ya que la potencia de corresponder a un número cero. Ejemplo: En cierto laboratorio se cultiva la cepa de una bacteria, causal de múltiples problemas. Con el fin de determinar la rapidez de reproducción de dicha bacteria, esta se coloca en un medio de crecimiento y condiciones favorables. La población existente es de 250 bacterias y se observa que cada hora se duplica la cantidad existente. a) Escribe un modelo exponencial que describa el crecimiento de la colonia. 풚 = ퟐퟓퟎ(ퟐ)풙 b) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 3 y 5 horas? c) Tabula los siguientes datos y grafica.

X (horas) Y (bacterias) 0 1 2 3 4 5


130

Base "e" Estas funciones expresan un valor irracional llamado Número Euler (e), el cual es el que se utiliza con mayor frecuencia para representar funciones exponenciales, tanto teóricas como prácticas y se expresa 풇(풙) = 풆풙 , la cual equivale a una función de orden racional del tipo

(ퟏ + ퟏ풏

)풏, la cual se aproxima a su límite cuando el valor de푛 es suficientemente grande y

queda representado por la constante 2.718281. Las características de las funciones exponenciales son:

La curva es una función creciente en todo su dominio.

El dominio de 푥 ∈ 푅, puede ser cualquier numero real, por lo que 퐷 = (−∞,∞)

El rango de la función podrá ser cualquier número real mayor que cero 푓(푥) > 0, por lo que 푅 = (0,∞)ó푦 > 0

Esta constante es igual de importante que √2, el valor de 휋 siendo ampliamente usada para solucionar problemas reales en la matemáticas y a diversos fenómenos. Crecimiento Exponencial Observaste que la función es creciente para todos los valores de 풙 , ya que, pues su exponente es positivo. Estas funciones se utilizan en situaciones de crecimiento de bacterias, crecimiento poblacional, interés compuesto, entre otros. Matemáticamente, se expresa con la función:

풇(풙) = 푩풆풌풙

Donde B se le llama factor de crecimiento y k tasa de crecimiento, donde ambos valores son positivos. Construye las gráficas de las siguientes funciones exponenciales, si usamos el intervalo 풙 = −ퟐ ≤ 풙 ≤ ퟐ, determina su dominio y rango. 풚 = 풆풙

x y -2 -1 0 1 2


131

Decaimiento exponencial Al tener un exponente negativo, la función indica un decrecimiento lo que equivale a decir que la coordenada disminuye cuando la variable aumenta. Estas se utilizan principalmente para establecer la depreciación de equipos, disminución de población, desintegración radioactiva. Matemáticamente, se expresa con la función:

Donde B se le llama factor de crecimiento y k tasa de crecimiento, donde su valor es negativo. Construye la gráfica de la siguiente función exponencial, si usamos el intervalo determina su dominio y rango.

x y -2 -1 0 1 2

LAS LEYES DE EXPONENTES

Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas:

El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces.

Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir.

Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz n-ésima:


132

1. LEY DE LA MULTIPLICACIÓN: al multiplicar dos potencias de igual base se copia la base y se suman los exponentes, para tener el exponente del producto.

2. LEY DE LA DIVISIÓN: al dividir dos potencias de igual base, se copia la base y al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor, dando el exponente del cociente.

Estas son dos consecuencias importantes de la ley de la división:

o PROPIEDAD DE LOS EXPONENTES NEGATIVOS: toda cantidad con un exponente negativo es un número racional, que representa el inverso multiplicativo de un número entero.

o PROPIEDAD DEL EXPONENTE 0: al dividir dos cantidades exactamente iguales que tengan idéntico exponente, obtendremos una expresión con exponente cero, que también será equivalente a la unidad.

3. LEY DE LA INVOLUCIÓN, O ELEVAR A UNA POTENCIA: al elevar una potencia a un exponente, se copia la base y se multiplican los exponentes.

4. LEY DE LA EVOLUCIÓN, O DE LA EXTRACCIÓN DE RAÍCES: al extraer la raíz de una potencia, se copia la base de la cantidad subradical, y al exponente de este subradical se le divide el índice de la raíz.


133

o Esta es una consecuencia natural de la ley de extracción de raíces: una expresión radical cualquiera puede transformarse en una expresión en notación exponencial.

Por ejemplo:

Una empresa de laboratorios médicos determina que para ciertos cultivos, el número de bacterias está dado por 푵(풕) = 푩풆ퟎ.ퟎퟑ풕, donde 푡 se expresa en minutos. a) ¿Cuál será el valor del factor de crecimiento (B), si inicialmente (t=0) existen 1,800 bacterias?

푵(ퟎ) = 푩풆ퟎ.ퟎퟑ(ퟎ)

ퟏퟖퟎퟎ = 푩풆ퟎ.ퟎퟑ(ퟎ)

ퟏퟖퟎퟎ = 푩풆(ퟎ)

ퟏퟖퟎퟎ = 푩(ퟏ)

ퟏퟖퟎퟎ = 푩

b) ¿Cuál es la cantidad de bacterias que hay a los 30 minutos?

푵(ퟑퟎ) = 푩풆ퟎ.ퟎퟑ(ퟑퟎ)

푵(ퟑퟎ) = ퟏퟖퟎퟎ(ퟐ. ퟒퟓퟗ)

푵(ퟑퟎ) = ퟒퟒퟐퟕ.ퟐퟖퟓ


134

c) Completa el tabulador y realiza la gráfica correspondiente, usando la función del ejercicio.

x y 1

5

10

15

20

25

30


Se tienen 100 gramos de estroncio 90 (radioactivo) en confinamiento, se sabe que la desintegración ocurre de acuerdo con 푵 = 푵ퟎ풆 ퟎ.ퟐퟒퟖ풕, donde N0 es el número inicial de átomos radiactivos y N representa al residuo de átomos después de 푡 años. a) ¿Cuántos gramos quedan a los 5 años?

b) ¿Cuántos años tienen que pasar para decir que los 100 gramos se desintegraron?


135

C) Tabula los siguientes valores y realiza la gráfica.

x y 0 5

10 15 20 25 30 40 50

Actividad 1: 1. Dadas las siguientes gráficas de funciones exponenciales, determina el dominio, rango y si

la curva es creciente y decreciente.

Gráfica Diagnóstico

풚 = 풆풙

D= R=

Creciente Decreciente


136

풚 = −ퟐ풆 풙

D= R=


푦 = 3 −푒

D= R=


푦 = 푒

D= R=



137

푦 = 3 + 1

D= R=


푦 =12 푒

.

D= R=


푦 = −2

D= R=



138

푦 = 0.5푒

D= R=


¿Qué relación existe entre la forma de la curva y la función?

¿Cómo se puede determinar el crecimiento o decrecimiento de una función exponencial a partir de su expresión algebraica?

1. En enero de 2010 adquiriste un automóvil en $110,000.00. Si cada año su valor se disminuye en 11%. ¿Cuánto valdrá en el año 2015?

a) Encuentra la ecuación que determina la depreciación del automóvil. b) ¿Cuánto valdrá el automóvil para el año 2015?


139

2. Un producto derivado de la familia de las cipermetrinas se usa para aniquilar parásitos que destruyen a las plantas del jardín. La función 풚 = ퟏퟎ,ퟎퟎퟎ풆 ퟎ.ퟏퟕퟑퟐ풕 proporciona la cantidad de parásitos que sobreviven al cabo de 푡 horas después de la aplicación.

a) ¿Cuál es la cantidad inicial de parásitos? b) ¿Cuál es la cantidad presente después de 4 horas? c) Traza la gráfica en el siguiente intervalo:

X (horas) Y (Parásitos)

0 1 2 3 4 5 6 7

3. Un banco invita a los clientes a invertir, para lo cual ofrece una taza de interés de 3.8%

anual, basada en un interés compuesto. Construye una gráfica que muestre el comportamiento de una inversión de $1,000, cuando ha transcurrido un tiempo en años de 0 ≤ 푥 ≤ 4.

Donde la expresión matemática es: 푨 = 푷풆풓풕 P= capital r = tasa de interés t = tiempo (años) P(t) = tamaño de la población al tiempo t


140

a) Determina la ecuación que permite calcular el interés compuesto. b) Determina la ganancia que se ha obtenido al cabo de 4 años y grafica los datos.

X Y

0

1

2

3

4

c) Suponiendo que pides un préstamo de $ 1,000 al banco con un interés anual de 12%. Determina la ecuación que permite calcular el interés compuesto. ¿Cuánto pagarás en el tiempo de 0 ≤ 푥 ≤ 4 ? Grafica los datos del inciso b y c.

x y

0

1

2

3

4


141

4. Los médicos utilizan yodo radiactivo como trazador en el diagnóstico de ciertos desórdenes de la glándula tiroides. Este tipo de yodo se desintegra de forma que la masa que queda después de 푡 días está dada por la función 풎(풕) = ퟔ풆 ퟎ.ퟎퟖퟕ풕 , donde m está dada en gramos.

a. Determina la masa en el tiempo t=0.

b. ¿Cuánta masa queda después de 20 días?

5. La población del mundo fue de 8,700 millones en 2005, si la tasa de crecimiento relativo observada fue de 3% anual.

a) ¿En cuántos años se habrá duplicado la población?

b) ¿Para qué año se habrá triplicado la población?

6. La población de cierta ciudad era de 680, 000 en 1996 y crece con una tasa relativa de 12% anual.

a. Determina una fórmula para la población de esta ciudad t años después de 1996.

b. Estima la población para el año 2012.


142

Función logarítmica

Podemos definir al logaritmo de la siguiente manera sea "푎" un número positivo ≠1, entonces podemos decir que:

푳풐품풂풚 = 풙풔풊풂풙 = 풚 Todo función exponencial 푓(푥) = 푎 ,푎 > 0푦푦 ≠ 1, es una funcion biunivoca, por tanto si nos basamos en el criterio de la recta horizontal 푦 = 푥, existe una función inversa 푓 que se conoce como la función logaritmo con base 푎(Log a). Ahora convertiremos una expresión logarítmica a exponencial o viceversa.

por ejemplo: 퐿표푔 = 9 ¿cómo resolverlo? 푎 = 3 = 9

Podemos decir que el logaritmo de cualquier número equivale a la potencia que debe elevarse la base para encontrar dicho número.

1. 퐿표푔 = 8 su solución es: 퐿표푔2 = 퐿표푔8

푥퐿표푔2 = 퐿표푔8

풙 = 푳풐품ퟖ푳풐품ퟐ

= ퟑ por lo que ퟐퟑ = ퟖ



풙 = 푳풐품ퟏퟓퟔퟐퟓ푳풐품ퟖ

= ퟔ por lo que ퟓퟔ = ퟏퟓퟔퟐퟓ



풙 = 푳풐품ퟑퟒퟑ푳풐품ퟕ

= ퟑ por lo que ퟕퟑ = ퟑퟒퟑ


143

Propiedades de los logaritmos

Propiedad Justificación

1.- 풍풐품풂ퟏ = ퟎ Debemos elevar 풂 a la potencia 0 para obtener 1

2.- 풍풐품풂풂 = ퟏ Debemos elevar 풂 a la potencia 1 para obtener 풂

3.- 풍풐품풂풂풙 = 풙 Debemos elevar 풂 a la potencia 1 para obtener 풂풙

4.- 풂풍풐품풂풙 = 풙 풍풐품풂풙 es la potencia a la cual debe elevarse 풂 para obtener 풙

El logaritmo con base 10 se conoce como logaritmo común y se denota omitiendo la base:

퐥퐨퐠 풙 = 풍풐품ퟏퟎ풙 Es importante hacer notar que cuando en un logaritmo la base es 10, el logaritmo se llama logaritmo común, pues es lo que se utiliza de manera ordinaria.

Por ejemplo:

1. log1000 = log 1000 = 3,yaque10 = 1000

2. 푙표푔1 = 푙표푔 1 = 0 , 푦푎푞푢푒10 = 1

3. log 0.00001 = log 10 = −5, 푦푎푞푢푒10 = 0.00001

Debido a que el logaritmo es una función inversa a la exponencial y como la gráfica de 풚 = 풂풙 jamás toca al eje de la 푥, podemos decir que no existe en logaritmo cero o número negativo.

Características de la función logarítmica:

Su crecimiento es lento

Su dominio será cualquier número real

Su rango será cualquier número real

El logaritmo de CERO no existe

El logaritmo de 1= 0


144

Construye la gráfica de la función exponencial 풚 = ퟐ풙 en el intervalo −2 ≤ 푥 ≤ 3, así como de la función 풇(풙) = 풍풐품ퟐ풙. 풚 = ퟐ풙

x Y -2 -1 0 1 2 3

풇(풙) = 풍풐품ퟐ풙

x Y 0.25 0.5 1 2 4 8

De la gráfica anterior obtenida de una función exponencial y una logarítmica se puede deducir que:

Función exponencial 풚 = 풂풙 Función logarítmica 풚 = 풍풐품풙

Nunca toca al eje 풙 Nunca toca el eje 풚

Corta al eje 풚 en 1 Corta el eje 풙 en 1

Su dominio es (−∞,∞) Su dominio son todos los valores positivos en 풙

Su rango son los valores positivos en 풚 Su rango es (−∞,∞)

Logaritmos comunes y naturales No obstante también existen los logaritmos naturales que son los que tienen por base el valor de 풆, por lo que representa la función inversa de la exponencial natural, los logaritmos naturales se representan de la siguiente manera:

푳풐품풆푿 = 퐥퐧 푿


145

De lo visto en el bloque 3 acerca de funciones inversas, demuestra que la función 풚 = 풆풙 es inversa de 풚 = 퐥퐧 풙, esto mediante la siguiente tabulación y graficando los puntos obtenidos.

풚 = 풆풙 x y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

풚 = 퐥퐧 풙 x y

0.2

0.6

1

2

3

4

5

¿Qué puedes deducir de las siguientes gráficas? ¿Cuál es su dominio y rango de las funciones anteriores?


146

Leyes de los logaritmos

Con base a las leyes de los exponentes, se pueden enunciar las propiedades de los logaritmos comunes, es importante aclarar que estos también aplican a los naturales:

Leyes de los logaritmos 1.- Multiplicación 퐥퐨퐠 풂풃 = 퐥퐨퐠 풂 + 퐥퐨퐠 풃

2.- División 풍풐품 풂풃 = 퐥퐨퐠 풂 − 퐥퐨퐠 풃

3.- Potencia 퐥퐨퐠 풂풏 = 풏 퐥퐨퐠(풂)

4.- Raíz 퐥퐨퐠 √풙풎풏 = 풎풏 퐥퐨퐠 풙

Para poder aplicar estas leyes, los logaritmos deben tener la misma base, por lo que ahora transformaremos las siguientes expresiones aplicando las propiedades de los logaritmos: Por ejemplo:

1. 푙표푔3푥 = 푙표푔3 + log푥

2. 푙푛5푥 = ln 5 + ln 푥 = 푙푛5 + 3푙푛푥

3. 푙표푔 = = 푙표푔푥 푦 − 푙표푔푧

= log 푥 + log 푦 − log 푧 = 3 log 푥 + log 푦 − log 푧

4. 푙표푔√푥 = log 푥

5. ln(푥푦 ) = 3(ln 푥 + 푙푛푦 )

= 3(ln 푥 + 2 ln 푦) = 3 ln 푥 + 6 ln 푦 Para diferenciar las ecuaciones exponenciales de las operaciones con logaritmos es importante que observes el signo de igualdad que se presenta en la ecuación, pues nos da la oportunidad de resolver ecuaciones donde la incógnita aparece como exponente o dentro de una expresión logarítmica.


147

Por ejemplo: 1. Log(3x – 2) + log x= 0

10log(3x - 2) ( x) = 100

(3x2 - 2x)= 1 3x2 – 2x – 1= 0 (3x + 1) (x – 1)= 0

x= x= 1

2. ln( )( )

= 1

푒 = 푒 = 3x−8

5x−4 = 2.7182

= 3x – 8= 2.7182(5x – 4) = 3x – 8= 13.591x – 10.8728 = 3x – 13.591x = 8 – 10.8728 = - 10.591x= -2.8728

= x= .

. = 0.2712

3. 3 = √27 푙표푔3 = 푙표푔√27 푥푙표푔3 = 푙표푔√27

푥 = √ = ..

4. √8 =

푙표푔√8 = 푙표푔√

log 8 = log 1 − log √32

= √

= ..

= ..

= −0.8333

1 = −0.8333푥

.

= 푥푝표푟푡푎푛푡표푥 = −1.20


148

5. 8 = 16 log 8 = 푙표푔16 (2푥 − 3) log 8 = (푥 + 4) log 16 (2x − 3)(0.9030) = (x + 4)(1.2041) 1.8060푥 − 2.7090 = 1.2041푥 + 4.8164 1.8060푥 − 1.2041푥 = 4.8164 + 2.7090 0.6019푥 = 7.5254

푥 = ..

= 12.50

6. 5 + 5 = 750 5 . 5 . 5 = 750 5 (5 + 1) = 750 5 (6) = 750

5 =

5 = 125 log 5 = log 125 푥 log 5 = log 125

푥 =

= 3

Secuencia didáctica 2 La población económicamente activa del país, se modela por la función 푓(푥) = 38.5 +푒 . a partir del 2000(푡 = 1) a) ¿Cuántas personas produjeron ingresos para el país en el año 2000? b) ¿En cuánto tiempo la población económicamente activa ascenderá a 46 millones?


149

Ejemplo 1: La sustancia radioactiva cobalto-60 tiene una vida media de 5.27 años, se tiene una muestra cuya masa es de 350 mg.

a) Establecer la fórmula que representa la desintegración en función de la vida media con los siguientes parámetros.

h= vida media si m(t)= moe-rt

mo= masa inicial tenemos que 푚( ) = 350푒( . )( )

m(t)= masa final t= tiempo (días)

푟 = .

= 3.65푥10

b) ¿Cuánta masa quedará de la sustancia después de un año?

푚( ) = 350푒( . )( ) = 306.34 mg

c) ¿Cuánto tiempo tardarán en desintegrarse 100 mg de cobalto-60?

100=350푒( . )( )

ln 100= 350푒( . )( )

350 ln

ln(0.2857)= (−3.65푥10 ) t

.

(−3.65푥10−4 = 3432.22días


150

Actividad 2

1.- Dadas las siguientes gráficas de funciones logarítmicas, determina el dominio, rango y si la curva es creciente y decreciente.

Gráfica Diagnóstico

풚 = 풍풐품(풙 − ퟐ)

D= R=


풚 = −ퟐ풍풐품(풙)

D= R=


풚 = 풍풐품(−풙) + ퟏ

D= R=



151

풚 = −풍풐품−풙ퟐ

D= R=


2.- Encuentra lo que se te pide: a) Usando las propiedades de los logaritmos, realiza los siguientes ejercicios:

i. Expresa la ecuación dada en forma exponencial:

log4 2= 12

, log5 1= 0, log3 81 = 4, ln y = 5, ln(x-1) = 4, ln 5 = x

ii. Expresa la ecuación dada en forma de logaritmo:

8-1 = 18

, 811/2 = 9, 10m = n, ex = 2, e3 = y, e0.5x = t

iii. Usa la definición de logaritmo para determinar el valor de x:

log2 16 = x, log5 x = 2, logx 25 = 2, logx 3 = 13

b) Usa las leyes de los logaritmos, para reescribir las expresiones que se proponen a

continuación:

i. log 6푥

ii. log √4

iii. log(푥 푦 )

iv. 푙푛

v. log (6푥) √푥


152

c) Cambio de base. Evalúa los siguientes logaritmos, haciendo el cambio de base correspondiente: i. log2 7 ii. log3 11 iii. log6 92 iv. log12 2.5 v. 푙표푔 0.324

d) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas:

i. 3x+2 = 7

ii. 8e2x = 20

iii. e3-2x = 4

iv. log2 (x+2) = 5

v. 4+3log (2x) = 16

vi. log (푥 − 4) + 푙표푔 (푥 + 4) = 2

Una vez aplicado el logaritmo natural a cada variable, se puede seguir el procedimiento propuesto en el siguiente video:

http://www.youtube.com/watch?v=BfdvfTrJAYs

Actividad 3: Resuelve el problema planeado: a) La intensidad del sonido de un motor de jet, al momento del despegue fue de 100 ,

mientras la del medio ambiente para tomar referencia fue de 10-12.

푩 = ퟏퟎ풍풐품푰푰ퟎ


153

i. Determina la Intensidad del sonido en decibeles al momento del despegue.

ii. Al aproximarse otro jet a la pista se hace una medición para tenerla como referencia, ésta da por resultado 10-3. ¿Cuánto es la diferencia con respecto a la primer medición en decibeles?



Excel Proyector Laboratorio de cómputo (en donde sea posible) Material para hacer gráficas en papel (lápiz, regla, borrador)


154

155

BLOQUE VIII

APLICAS FUNCIONES PERIÓDICAS


156


157


Describe la relación que existe entre las funciones trigonométricas y las

funciones circulares seno y coseno. Argumenta la elección de una de las dos formas senoidales para modelar

una situación o fenómeno específico. Obtiene la amplitud y el período para graficar una función senoidal. Describe la relación entre período y frecuencia.

.

La tuba

Dos tenores en si bemol y dos bajos en fa, destinados a completar la familia de las trompas en el grave; las quiso con una embocadura de trompa, a fin de hacerlas tocar por cuatro de los otros trompistas que figuraban en su orquesta. Buckner las empleó también en alguna de sus sinfonías y se hallan igualmente en la Sinfonía de los Alpes de R, Strauss. Estos instrumentos son equivalentes a los saxhorns, llamados en Alemania Althorn y Euphanium. En Francia, los


La tuba es el mayor de los instrumentos de viento de la familia de los metales y uno de los más recientemente añadidos a la orquesta sinfónica moderna, aparecido en 1835 con Wilhelm Wieprecht y Johann Gottfried Moritz, sustituyendo al ophicleide del siglo XVIII. La primera vez que se utilizó la tuba moderna en una orquesta sinfónica fue en El Anillo de los Nibelungos de Richard Wagner.

Wagner hizo construir para sus representaciones en Bayreuth un cuarteto de tubas:


158

fabricantes han titulado basse y contrabasse a unos instrumentos de género tuba de cuatro o cinco pistones, que usan las bandas militares en substitución del ofícielo.

Habitualmente en una orquesta hay una sola tuba, utilizada como el bajo de la sección de metales. Gracias a su versatilidad permite utilizarla para reforzar cuerdas y vientos de madera o, cada vez más, como instrumento para solos.

Lectura tomada de

http://bach2411111.blogcindario.com/2006/01/00078-tuba.html

Un ejecutante de tuba toca la nota mi y sostiene el sonido durante cierto tiempo. Suponiendo que el sonido es un mi puro, su ecuación está dada por:

푉(푡) = 0.2푠푒푛80휋푡

Donde V(t) es la variación en presión de la presión normal en el tiempo t, medida en libras por pulgada cuadrada. Determina la frecuencia, la amplitud y el período del sonido.

¿Qué valor en la ecuación debe aumentar si se quiere aumentar el volumen V(t)? ¿Qué debe modificarse en la ecuación si el sonido se hace grave o agudo?

Nota: Si las condiciones de infraestructura del plantel son las adecuadas, se sugiere ver el video siguiente acerca de una escala musical usando la tuba, o bien, se puede elegir algún otro.

http://www.youtube.com/watch?v=Dy2CqBXndlo

O bien, un tributo a los Beatles con sonido de tuba.

http://www.youtube.com/watch?v=_K5Nhc6Mm6Q


159

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas se estudiaron por primera vez en relación con el círculo y no como razones de lado del triángulo equilátero y se refirió a un arco de circunferencia en lugar de un ángulo central.

Para tal efecto se construye un círculo trigonométrico usando un sistema de coordenadas y un radio que vale una unidad de longitud.

Es importante recordar los signos de las diferentes funciones en cada cuadrante y para determinarlos se toma en cuenta lo siguiente:

Todos los segmentos perpendiculares al eje de las 푥 sin positivos si están arriba de él y negativo si están abajo.

Todos los segmentos perpendiculares al eje de las 푦 son positivos si están a la derecha de él y negativos si están por la izquierda.

Por lo que las funciones respecto a los cuadrantes quedan así:

Cuadrante Seno Coseno Tangente Cotangente

I + + + + II + - - - III - - + + IV - + - -

El círculo unitario trigonométrico es un círculo con radio de 1, centrado en el eje del plano 푋푦푌 y está representado por la ecuación 푥 + 푦 = 1.


160

Entonces si un punto empieza en (1,0) y se mueve por la izquierda, regresando al punto (1,0) ésta es igual al 2휋, pero si recorre al punto (0,1) que es un cuarto es ퟏ

ퟒퟐ흅 = 흅

ퟐ, si recorre al

punto (-1,0) que representa la mitad es ퟏퟐퟐ훑 = 훑, si recorre al punto (0, -1) que representa tres

cuartas partes es ퟑퟒퟐ훑 = ퟑ

ퟐ훑.

Para encontrar los valores de los lados se traza el triángulo equilátero ABC de 2 unidades por lado, se bisecta el ángulo C para formar 2 triángulos rectángulos iguales, ya que la suma de los ángulos internos es igual a 180º, sus ángulos miden 60º se obtienen los siguientes valores:

0º 30º 45º 60º 90º

0 훑ퟔ

훑ퟒ

훑ퟑ

훑ퟐ

1, 0 √ퟑퟐ

,ퟏퟐ

√ퟐퟐ

,√ퟐퟐ

ퟏퟐ

,√ퟑퟐ

0, 1

Puesto que el círculo unitario es simétrico respecto a la recta 푦 = 푥, se deduce que P está en la recta de 푦 = 푥.

Figura 1


161

Supongamos que 푡 es cualquier número real y que p(x,y) es el punto terminal en el círculo unitario determinado por 푡, definimos:

1.- 푺풆풏풕 = 풚 2.- 푪풐풔풕 = 풙 3.- 퐭퐚퐧 풕 = 풚풙(풙 ≠ ퟎ)

4.- 푪풔풄풕 = ퟏ풚

= (풚 ≠ ퟎ) 5.- 푺풆풄풕 = ퟏ풙(풙 ≠ ퟎ) 6.- 푪풐풕풕 = 풙

풚(풚 ≠ ퟎ)

Las funciones trigonométricas no pueden definirse para ciertos números reales, para esto es necesario determinar su dominio. Las funciones seno y coseno están definidas para todos los valores 푡. Puesto que las funciones cotangente y cosecante incluyen a 풚, en el denominador no quedan definidas cuando la coordenada 풚 del punto terminal 풑(풙,풚) determinado por 풕 es cero. Esto ocurre cuando 풕 = 풏흅 para cualquier número entero 푛 por lo que sus dominios no incluyen puntos. Dominio de funciones trigonométricas

Función Dominio Seno, Coseno Todos los números reales

Tangente, Secante Todos los números reales diferentes a + 푛휋 para cualquier entero 푛.

Cotangente, Cosecante Todos los números reales diferentes a 푛휋 para cualquier entero 푛

Las gráficas de las funciones nos ayudan a tener una mejor comprensión de su comportamiento. La de las funciones seno y coseno, toman valores de manera periódica, esto porque la circunferencia del círculo unitario es ퟐ흅. El punto 풑(풙,풚) determinado por un número real 풕 es el mismo para 풕 + ퟐ흅 , y ya que seno y coseno están definidas en términos de coordenadas, se deduce que los valores no cambian al sumar cualquier múltiplo entero ퟐ흅, esto es:

푠푒푛(푡 + 2푛휋) = 푠푒푛푡푑표푛푑푒푛 = 푛ú푚푒푟표푒푛푡푒푟표. cos(푡 + 2푛휋) = 푐표푠푡푑표푛푑푒푛 = 푛ú푚푒푟표푒푛푡푒푟표.

Una función 풇 es periódica si existe un entero positivo 푃 tal que 풇(풕 + 풑) = 풇(풕) para toda 푡, el número positivo más pequeño correspondiente (si existe) es el período de 풇. Si 풇 tiene un período 푝, entonces la gráfica de 풇 en cualquier intervalo de longitud 풑 se conoce como un período completo de 풇.

Propiedades de periodicidad del seno y coseno La función seno tiene un período 2휋 푠푒푛(푡 + 2휋) = 푠푒푛푡 La función coseno tiene un período 2휋 cos(푡 + 2휋) = cos 푡


162

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180o equivale a π radianes (recordemos que el número 휋 = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales ángulos se muestran en las siguientes tres figuras:

Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180o equivalen a 휋 radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.

EJEMPLO A: Convertir 38o a radianes.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.

Despejamos x, también simplificamos.

Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:

x = 0.6632 radianes

EJEMPLO B: Convertir 2.4 radianes a grados.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados.

Despejamos x.

Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:

x = 137.5099o


163

A partir de los datos que se encuentran en la figura 1, utilízalos para graficar y analizar el comportamiento que tiene la función seno y posteriormente la función coseno.

x 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π 7π/6 4π/3 3π/2 5π/3 11π/6 2π

Grados 0 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º y=senx

¿Qué representan los valores que se obtienen en los puntos ퟎ, 흅, ퟐ흅del eje 풙?

x 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π 7π/6 4π/3 3π/2 5π/3 11π/6 2π

Grados 0 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º y=cosx


164

¿Qué representan los valores que se obtienen en los puntos ퟎ, 흅ퟐ

, ퟑ흅ퟐdel eje 풙?

Estas funciones también tienen transformaciones, observemos cómo se describen las funciones seno.

Ahora observemos el comportamiento de las funciones coseno.


165

Las funciones trigonométricas 풚 = 풂풔풆풏풌풙 y 풚 = 풂퐜퐨퐬풌풙, donde 풌 > 0 presentan amplitud y período de esta manera: amplitud es igual a |풂|

período es igual a ퟐ흅풌

, donde 푘 es el valor que está a un lado de la variable

Amplitud es la distancia o valor máximo de una cantidad variable, de su valor medio o

la mitad del valor máximo pico a pico de una función periódica, es decir, qué tanto se extiende la función hacia arriba o hacia abajo en el eje 풚.

Período es el tiempo transcurrido entre 2 puntos equivalentes de la oscilación, es decir, el tiempo que tarda la función en volver a sus valores iniciales, lo inverso a la frecuencia.

Longitud de una onda es el período espacial de la misma, es decir, la distancia a la que se repite la forma de la onda. Normalmente se consideran dos puntos consecutivos que poseen la misma fase: dos máximos, dos mínimos, dos cruces por cero (en el mismo sentido).

Frecuencia es una magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier fenómeno.

Por ejemplo:

1.- 풚 = 풔풆풏ퟐ풙 풂 = ퟏ |ퟏ| = ퟏ es la amplitud

풌 = ퟐ, por tanto ퟐ흅ퟐ

= 흅 es el período.

2.- 풚 = −ퟒ퐜퐨퐬 ퟑ풙 풂 = −ퟒ | − ퟒ| = ퟒ es la amplitud

풌 = ퟑ, por tanto ퟑ훑ퟐ

es el período

3.- 풚 = ퟑ풔풆풏(ퟐ풙) 풂 = ퟑ |ퟑ| = ퟑ es la amplitud


= 흅 es el período


166

Ahora podemos ver gráficamente a la función 풚 = ퟑ풔풆풏(ퟐ풙):

Por lo que podemos decir que la amplitud es lo que crece hacia arriba y también hacia abajo la gráfica con respecto al eje de 풙 y el período que es cuando la función cumple sus 360º, el dominio de esta función es (−∞,∞) y su rango es [-1, 1]. En las funciones trigonométricas al igual que las algebraicas, también se presentan las traslaciones horizontales y verticales, como por ejemplo, si tomamos a la función 풔풆풏풐(풙), a 풔풆풏풐(풙) + ퟏ, y a 풔풆풏풐(풙)− ퟏ, podemos ver la variación que se tienen entre estas funciones de tal manera que éstas se mueven con respecto al eje 풚, es decir el movimiento es vertical.


167

El movimiento horizontal en las funciones seno y coseno está dado por:

풚 = 풂풔풆풏풌(풙 − 풃) 풌 > 0 풚 = 풂풄풐풔풌(풙 − 풃) 풌 > 0 Tienen una amplitud | a |, un período ퟐ흅 풌 y un corrimiento de fase 풃

Un intervalo completo en el cual se puede trazar un período completo sería [풃,풃 + ퟐ흅풌 ]

Por ejemplo: 1. 풚 = ퟐ풔풆풏ퟐ(풙 − 흅

ퟒ)

풂 = ퟐ |ퟐ| = ퟐ es la amplitud


= 흅 es el período

corrimiento de fase =흅ퟒ este corrimiento de 흅ퟒes hacia la derecha

El intervalo está dado por: , + 휋 = ,

Las funciones trigonométricas son funciones muy utilizadas en las ciencias naturales para analizar fenómenos periódicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente eléctrica alterna, cuerdas vibrantes, oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento periódico de los planetas, ciclos biológicos, etc. En aplicaciones de las funciones trigonométricas relacionadas con fenómenos que se repiten periódicamente, se requiere que sus dominios sean conjuntos de números reales.


168

Actividad 1: Complementa los siguientes ejemplos, determinando la amplitud, período, dominio, rango, raíces y grafica los datos obtenidos:

X 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π 7π/6 4π/3 3π/2 5π/3 11π/6 2π

Grados 0 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º y=1+senx 1 1.5 1.87 2 1.87 1.5 1 1

| a |= D=

Período= R=

X 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π 7π/6 4π/3 3π/2 5π/3 11π/6 2π

Grados 0 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º y=-cos(2x)

| a |= D=

Período= R=


169

X 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π 7π/6 4π/3 3π/2 5π/3 11π/6 2π

Grados 0 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º y=-2sen(x)

| a |= D=

Período= R=

X 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π 7π/6 4π/3 3π/2 5π/3 11π/6 2π

Grados 0 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º y=-1-cos(x)

| a |= D=

Período= R=


170

X -π/3 -π/6 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π

Grados -60º -30º 0 30º 60º 90º 120º 150º 180º

y=ퟑퟒ퐜퐨퐬ퟐ 퐱+ 훑

ퟑ

| a |= D=

Período= R=

Ejemplos: 1. Un trompetista toca la nota sol y sostiene el sonido durante cierto tiempo. Suponiendo que

el sonido es puro, su ecuación está dada por:

푽(풕) = ퟎ.ퟖ풔풆풏ퟏퟐퟎ흅풕

Donde 푽(풕) es la variación en presión respecto a la presión normal en tiempo 풕 , medida en libras por pulgada cuadrada.

a) Determina la frecuencia, amplitud y periodo del sonido. Para determinar estos datos ocupamos aplicar las siguientes formulas:

La ecuación que describe el desplazamiento 푦 de un objeto en un tiempo 푡 está dado por:

풚 = 풂풔풆풏흎풕풐풚 = 풂풄풐풔흎풕 Entonces el objeto está sujeto al movimiento armónico simple. En este caso: Amplitud = | a | Desplazamiento máximo del objeto


171

Período = Tiempo necesario para completar un ciclo.

Frecuencia = Número de ciclos por unidad de tiempo

Al obtener los datos del problema tenemos que:

풂 = ퟎ.ퟖ 흎 = ퟏퟐퟎ흅 Entonces al sustituir los datos en las fórmulas anteriores tenemos que:

La amplitud es | 0.8|= 0.8

El período es

=

La frecuencia es = 60

b) ¿Cómo cambia la ecuación 푽(풕) si el ejecutante disminuye la nota?

- El valor 0.8 sería reemplazado por otro menor si la nota es grave.

2. La temperatura media anual en cierta cuidad de la República Mexicana es de 19ºC, oscilando, la máxima y mínima entre 36ºC y 2ºC (enero-diciembre). Nota 1: los modelos senoidales se distinguen por las siguientes características: Se menciona un ciclo o período (casi siempre tiempo). Una cantidad fluctúa entre un valor máximo y uno mínimo

Nota 2: Cuando el valor máximo se alcanza desde un inicio se utilizan los modelos de coseno; si no es así, se utilizan los de seno. Obtención de los parámetros: M= Valor máximo m= Valor mínimo. 풂 = 풂풎풑풍풊풕풖풅 = 푴 풎

ퟐ

풃 = ퟐ흅푷풅풐풏풅풆풑 = 풑풆풓풊풐풅풐

풄 = 풃풙풅풆풔풑풍풂풛풂풎풊풆풏풕풐풉풐풓풊풛풐풏풕풂풍 풅 = 푽풂풍풐풓풎풆풅풊풐 = 푴 풎

ퟐ

a) Obtén el modelo matemático y grafica la ecuación.

Como el período tiene 12 meses, entonces 푝 = = 12, 푝표푟푡푎푛푡표푏 = =


172

푎 = = 17 푑 = = 19 푐 = 푥9 =

Por tanto, el modelo buscado es: 푇 = 19 + 17푠푒푛 푡 +

Como 푡 = 0 es 1 de enero y así para los meses restantes la gráfica muestra la temperatura por meses.


En una playa observas que cada segundo, 3 olas de 110 cm de altura, pasan de manera sucesiva frente a un objeto fijo que está dentro del agua separadas con una distancia de 1.60 mts.

a) ¿Cuál es la velocidad del agua del mar?

b) ¿Encuentra la ecuación que describe el movimiento de las olas?


173

Actividad 2

1. Una estrella variable, es una estrella cuya brillantez aumenta o disminuye de manera alternada. Para la estrella más visible Delta Cephei, el tiempo entre períodos de máxima brillantez es de 5.4 días. La brillantez promedio de la estrella es de 4 días y varia ± 0.35 de magnitud. Expresa la brillantez en función del tiempo.

2. La siguiente tabla registra la presión arterial promedio, considerada normal en (mm de Hg), para distintos períodos en la vida de las personas.

Niño 90/50

Joven 110/60 Adulto 120/80

Anciano 150/90

a) ¿Cuál es la expresión algebraica que describe la presión arterial del joven?

b) ¿Cuál es la frecuencia cardiaca del joven por minuto? Si se sabe que 푓 = 1퐻푧 =1푐푖푐푙표푥푠푒푔푢푛푑표.

3. Dada la equivalencia π rad=180º, determina usando una regla de tres simple las siguientes

conversiones de grados a radianes o viceversa: a) De radianes a grados: b) De grados a radianes: π/4 500º 5π/3 120º 1.5 75º 2.8 10º


174

4. Ejemplo práctico. Observar el funcionamiento de un osciloscopio, real o virtual, la forma en la que se puede modificar la amplitud, la longitud de onda, etc. Observar diferentes frecuencias y sus respectivos períodos, etc. (Actividad alternativa). Buscar aplicaciones de las funciones senoidales, relacionadas con la electrónica, medicina, música, etc. En cuanto a diversas aplicaciones, como la descripción del movimiento de un pistón como un movimiento periódico o la frecuencia de las notas de un piano, revisar:

http://www.intmath.com/Trigonometric-graphs/2_Graphs-sine-cosine-period.php

Material a utilizar:

Documentos en PDF:

Gráfico de funciones trigonométricas. Funciones trigonométricas.

Páginas interactivas para modelado de funciones senoidales.

http://mathdemos.org/mathdemos/sinusoidapp/sinusoidapp.html http://www.belgrano.esc.edu.ar/matestudio/funcion_sinusoidal.htm http://www.intmath.com/Trigonometric-graphs/2_Graphs-sine-cosine-period.php

175

BIBLIOGRAFÍA Stewart, Redlin, Watson. Precálculo Matemáticas para el cálculo. 3a edición.

International Thomson Editores.

Méndez Hinojosa, Arturo. Matemáticas 4. 1a edición. Editorial Santillana, México, D.F., 2007

Ruiz Basto, Joaquín. Matemáticas, precálculo: funciones y aplicaciones. Editorial Patria. México 2011.

Barnett, Ziegler, Byleen. Precálculo, funciones y gráficas. 4a edición. Editorial McGraw-Hill. México, D.F., 1999.

Baja California Camalú

Ciudad Morelos Ejido Nayarit

El Florido Ensenada

Estación Coahuila Extensión Mtro. Rubén Vizcaíno Valencia

Extensión Maneadero del Plantel Ensenada Extensión Primer Ayuntamiento

Extensión Tecate Guadalupe Victoria

La Mesa Mtro. José Vasconcelos Calderón

Mtro. Rubén Vizcaíno Valencia Mexicali

Miguel Hidalgo y Costilla Nueva Tijuana

Nuevo León Primer Ayuntamiento Playas de Rosarito

Profr. Arturo David Velázquez Rivera Rosarito

San Felipe San Quintín

Tecate Tijuana Siglo XXI

Valle de Guadalupe

El Hongo El Rosario

Punta Colonet Real del Castillo

San Vicente Trabajadores No. 1 Trabajadores No. 2 Trabajadores No. 3 Valle de la Trinidad Valle de las Palmas

PLANTELES

CENTROS EMSAD

ESTE MATERIAL FUE ELABORADO BAJO LA COORDINACIÓN Y SUPERVISIÓN DE LA DIRECCIÓN DE PLANEACIÓN ACADÉMICA Y

REPRODUCIDO POR LA UNIDAD DE DISEÑO GRÁFICO E IMPRENTA DEL COLEGIO DE BACHILLERES DEL

ESTADO DE BAJA CALIFORNIA.

Blvd. Anáhuac 936, C. Cívico, Mexicali, B. C.

FEBRERO DE 2012 Esperamos recibir de los usuarios, en especial de los maestros

y alumnos del Colegio, cualquier observación que a su juicio

sea necesario hacernos llegar, más aún si se tratara de errores

u omisiones.

Dirigirse a la Dirección y domicilio arriba consignados.

matemÁticas iv - cnhprepa2y4.files.wordpress.com · colegio de bachilleres del estado de baja...

Documents