Solución al 1-A

Para ser continua en 0, 1º tiene que estar definida para ese valor, y lo está porque f(0)=b.0+c=c .

2º Debe tener límite en ese punto , y lo tendrá si el límite por la izquierda que es (aplicamos

L’Hôpital)

2

1

22

)cos(

2

)(limlim

02

0

a

x

xa

xx

xsenax

xx

coincide con el límite por la derecha que es c

3º El límite debe coincidir con el valor de la función es decir c.

En resumen cuando ca

2

1, la función será continua en 0. Esto ocurre para muchos valores de a y

de c, pero como nos piden que la función cumpla más condiciones, debemos encontrar más

relaciones entre los parámetros. Seguimos.

Para ser continua en x=1 necesitamos que 2

1cb (lo obtenemos después de estudiar en x=1 las

tres condiciones que antes hemos estudiado en x=0, resulta más sencillo en este caso).

Para que sea derivable en x=1

bx

xb

x

cbxb

x

cbx

xxx 1

0)1(

1

2

1)1(

1

2

1

limlimlim111

porque por ser continua

2

1cb . También debe ser b la derivada por la derecha, pero esta derivada es:

4

1

)22)(1(

)1(

1

22

12

1

2

1

1

1

limlimlim111 xx

x

x

x

x

x

x

xxx

Luego 2

11

2

3

4

3

4

1

2

1

4

1acb Estos son los valores pedidos y con ellos la gráfica

queda:

Solución al 2-A

a) El dominio está formaado por los valores de x que hacen el radicando mayor o igual que cero, es

decir, los 2

1x

b) La integral es fácil, prácticamente inmediata:

3

1)01(

3

1)12(

3

1)12(2

2

112

0

2

1

2

30

2

12

10

2

1 xdxxdxx

Solución al 3-A

a) El determinante de M es 12 para sólo anula se que 232 y , por tanto para

todos los demás valores existe inversa.

Para el valor 0 el determinante vale 2 y la inversa la podemos calcular utilizando la fórmula

adecuada, por ejemplo con la traspuesta de adjuntos, queda:

002

4212

319

2

11M

La ecuación se puede resolver así:

319

4212

002

22· 1 XFMXFMX

Solución al 4-A

Los vectores (1,1,1) y (1,-1,0) son perpendiculares respectivamente al primer y segundo plano que

definen la recta r, por tanto el vector producto vectorial de ambos (1,1,-2) es un vector director de la

recta r (intersección de los planos).

El punto E (a,b,c) de r situado “enfrente” del punto P(0,0,1), debe ser tal que el vector PE sea

perpendicular al vector director de la recta, luego su producto escalar debe ser 0, es decir:

(a-0,b-0,c-1).(1,1,-2)=a+b-2c+2=0 . Esta condición y que el punto E pertenezca a r nos lleva a que las

coordenadas de E son la solución del sistema

3

53

23

2

0

3

22

c

b

a

ba

cba

cba

Se resuelve fácil: por ejemplo, restamos las dos primeras y obtenemos c; sustituimos c en la segunda

y sumamos la 3ª y obtenemos a; sustituimos a en la 3ª y obtenemos b.

El módulo del vector PE es la distancia entre ambos puntos y también la distancia del punto P a la

recta r 3

32

3

41

3

5

3

2

3

2),(

222

rPd

Unas ecuaciones paramétricas de s son: 1,, zyx (teniendo en cuenta que pasa por P

y el vector (1,1,1) es un vector director). Graficamente:

Solución al 1-B

Resolviendo el determinante 3618)(''369)('1183)( 223 xxfxxxfxxxf

Observamos que la derivada segunda sólo se anula en x=2 y la tercera no se anula nunca. Luego hay

un punto de inflexión en (2 , f(2))= (2 , -36). Además para los valores de x mayores que 2 es

0)('' xf y para los menores que dos la derivada segunda es menor que 0, luego es concava hacia

abajo desde menos infinito hasta 2 y cóncava hacia arriba desde 2 hasta más infinito. La gráfica es:

Solución al 2-B

a) duvvudvu ...

b)

2;

1ln

4ln

22ln

2

1

2ln

2ln

2

22222

xvxdxdvdx

xduxu

kx

xx

dxx

xx

dxx

xx

xxdxx

Solución al 3-B

La matriz de coeficientes de las incognitas del sistema es:

131

121

12

y su determinante

105 se anula para 2 . Todo esto nos indica que el sistema es compatible determinado para

todos los 2 porque los rangos de la matriz de coeficientes y ampliada son iguales y coinciden

con el número de incógnitas (3 en este caso).

Cuando 2 el rango de la matriz de coeficientes es 2 porque la submatriz 21

12 tiene

rango 2 porque su determinante es –5, distinto de 0, y la ampliada tiene rango 3 porque la

submatriz

1031

021

012

tiene determinante –50, luego el sistema es incompatible.

Cuando 3 el sistema (como hemos visto) es compatible determinado; el determinante

de la matriz de coeficientes es -25. Lo resolvemos utilizando la regla de Cramer y queda:

225

1031

021

012

,225

1101

101

302

,225

50

25

1310

120

310

zyx

Solución al 4-B

a) Para que los planos sean paralelos los coeficientes de las “incógnitas” deben ser

proporcionales 3,61

3

12ba

ba

b) El sistema

42

032

336

zy

zx

czyx

nos determina la posición relativa de la recta y el

plano. Como el rango de la matriz de coeficientes es 2 ya que

210

020

210

302

336

y lo que puede ocurrir es que la recta esté contenida en el

plano o que ambos sean paralelos. Puesto que 242

410

002

36

c

c

, resulta que

cuando c =12 la recta está contenida en el plano y para el resto delos valores de c la recta y

el plano no se cortan, son paralelos.