Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado.

Bachillerato L. O. E.

Materia: MATEMATICAS IIInstrucciones: El alumno debera contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.

Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas.

Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntua 2,5 puntos.

PROPUESTA A

1A. a) Calcula los valores de los parametros a, b ∈ R para que la funcion

f(x) =

{x2 − 2x+ a si x ≤ 0x2 + bex + 3 si x > 0

sea continua y derivable en x = 0. (1,5 puntos)b) Para los valores encontrados, calcula la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) en el puntode abscisa x = 0. (1 punto)

2A. Calcula la integral definida∫ 1

0(x2 + x+ 1)e−x dx (2,5 puntos)

3A. a) Sabiendo que A es una matriz cuadrada de orden 2 tal que |A| = 5, calcula razonadamente elvalor de los determinantes

| −A|, |A−1|, |AT |, |A3| (1 punto)

b) Sabiendo que ∣∣∣∣∣∣a b c1 1 13 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 2

calcula, usando las propiedades de los determinantes,∣∣∣∣∣∣3− a −b 1− c1 + a 1 + b 1 + c3a 3b 3c

∣∣∣∣∣∣ y

∣∣∣∣∣∣∣∣5 0 0 02 2a 2b 2c0 30 0 101 4 4 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ (1,5 puntos)

4A. a) Halla a ∈ R para que las rectas

r ≡{

x+ 2y − z = 1−x+ y − 3z = 2

y s ≡{

x+ y = 03x+ 2y + z = a

se corten en un punto. (1,25 puntos)b) Para dicho valor de a, da la ecuacion implıcita de un plano π que contenga a r y s. (1,25 puntos)

(sigue a la vuelta)

A1.- Solución:

==

⇒

=+=

==

⇒

=+=

−=−=⇒

>+<−

=

+==

⇒

+=++=

=+−=

=

⇒

>++≤+−

=

++

−−

++

−−

→→

→→

→→

→→

-2b

1a

-2b

3ba derivable continua ypara Por tanto

-2b

0x en derivablePara

2lim)('lim

222lim)('lim

02

022)('

3

0x encontinua Para

33lim)(lim

2lim)(lim

)0(

03

02)()

00

00

2

00

2

002

2

bbexxf

xxf

xsibex

xsixxf

babbexxf

aaxxxf

af

xsibex

xsiaxxxfa

x

xx

xx

x

x

xx

xxx

b) La ecuación de la tangente en un punto de abscisa x=a responde a la fórmula

12)0(21)0)(0(')0())((')( +−=⇒−−=−⇒−=−⇒−=− xyxyxffyaxafafy

A2.- Solución:

)43(2)12())(1()1(

212 tambiénpartesPor

2)12(2)12()12(

)12(1 partesPor

)12())(1()1(

222

2

22

++−=−+−−++=++

−=⇒==⇒+=

−+−=−−+−=+

−=⇒=+=⇒++=

++−++=++

−−−−−

−−

−−−−−

−−

−−−

∫

∫∫

∫∫

xxeexeexxdxexx

evdxedv

dxduxu

exedxexedxxe

evdxedv

dxxduxxu

dxxeexxdxexx

xxxxx

xx

xxxxx

xx

xxx

[ ] ( ) 48

)400((431()43()1( 20211

021

0

2 +−=++−−++−=++−=++ −−−−∫ e

eexxedxexx xx

A3.- Solución:

125;5;5

11;55

331 ======−=−=−⇒= − AAAAA

AAAA T

6

103

1113111

103

3111

13

3

333

111

13

−=−==+++−−−

=+++−−− cba

cbacba

cba

cba

cba

cba

cba

Hemos utilizado las propiedades de los determinantes: 1º sacando factor común 3, después

sumando la tercera fila a la primera y restándosela a la segunda y por último intercambiando la

primera y la tercera filas.

800

103

11141025

111

10341025

444

10030

222

5

4441

100300

2222

0005

−=•••−=•••==cbacbacba

cba

Hemos desarrollado por la primera fila, hemos sacado factores y hemos intercambiado la

segunda y la tercera filas.

A4.- Solución:

a) Para que se corten el sistema formado por las cuatro ecuaciones debe ser compatible. Para

ello el determinante de la matriz ampliada debe ser 0. Luego

1

01

101

012

001

11

232

111

113

0001

2321

1111

0

123

0011

2311

1121

−=

⇒=−−=+−

−=−

−−

=

−

−−−

⇒=−−−

a

a

aaaa

Hemos restado a la segunda columna la primera, desarrollado por la tercera y luego (en el de

orden 3) sumado la primera columna a la segunda y restado a la tercera.

b) Con el producto vectorial de los vectores perpendiculares a los planos que determinan cada

recta hallamos los vectores directores del plano pedido, después hallamos un punto de la

primera recta (hemos dado a z el valor 0 y resuelto, sale (-1,1,0) y con estos 3 elementos

conseguimos la ecuación pedida.

=−+

=−−−

−+

⇒

∈⇒==⇒=

−−=−=

−=−−

−−=−

12

0

13

141

151

r(-1,1,0)1y-1,x0zpara r,recta la En

)1,1,1()23

11,

13

01,

12

01(x(3,2,1))0,1,1(

)3,4,5()11

21,

31

11,

3-1

1-2(x(-1,1,-3))1,2,1(

zyx

z

y

x

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Bachillerato L. O. E.

Materia: MATEMATICAS II

PROPUESTA B

1B. a) Calcula los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcionf(x) = 1 + x2e−x2

. (1,5 puntos)b) Calcula las asıntotas de f(x). (1 punto)

2B. Para cada c ≥ 2 definimos A(c) como el area de la region encerrada entre la grafica de

f(x) =1 + x2

x4

el eje de abscisas, y las rectas x = 1 y x = c.a) Calcula A(c). (1,5 puntos)b) Calcula

lımc→+∞

A(c) (1 punto)

3B. a) Se sabe que el sistema de ecuaciones linealesx − 2y + 3z = 42x − y + z = 8x − 5y + az = 4

a ∈ R

es compatible indeterminado. Calcula a y resuelve el sistema para dicho valor del parametro. (2 puntos)b) Para el valor de a encontrado, da una solucion particular del sistema tal que x = y. (0,5 puntos)

4B. Dados el plano π ≡ x− y = 4 y la recta

r ≡{

x+ z = 12x+ y + az = 0

a ∈ R,

se pide:a) Estudia si existe algun valor del parametro a para el que r y π sean paralelos. (0,75 puntos)b) Estudia si existe algun valor del parametro a para el que r y π se corten perpendicularmente. (0,75puntos)c) Para a = 1, da la ecuacion implıcita de un plano π′ que contenga a r y corte perpendicularmente a π.(1 punto)

B1.- Solución:

Puesto que la función es derivable tantas veces como queramos, utilizamos la derivada

primera y la segunda para hallar los máximos y mínimos

∞+∞−=−−⇒<−=−

=⇒<−==⇒>=

+−=−−−=

===

=⇒−=−+=

−−−

−−−

a 1 de edecrecient y 1a 0 de creciente 0,a 1- de edecrecient 1,-hasta - de creciente

)2,1())1(,1(06)1(''

)2,1())1(,1(061

(0,1)f(0))(0, en Mínimo020 Luego

)4102()1(4)62()(''

-1x

1x

0x

para 0)(')1(2)2(2)('

222

222

42222

22

f

fenMáximof

fenMáximo)f''(

)f''(

exxexxexxf

xfexxxxexexf

xxx

xxx

b) Como está definida en todo R no hay asíntotas verticales

oblicuas asíntotashay no Por tanto

horizontalasíntota 111

lim12

2lim1lim11lim)(lim 222

22

2 =⇒=+=+=+=+=∞→∞→∞→

−

∞→∞→y

exe

x

e

xexxf

xxxxxx

x

xx

B2.- Solución:

3

4

3

4

3

13lim)(lim

3

4

3

131

3

1)

11(

1)(

3

2

3

2

131 241 4

2

=+−−=

+−−=

−−=+=+=

+∞→+∞→

∫∫

c

ccA

c

c

xxdx

xxdx

x

xcA

cc

ccc

B3.- Solución:

Para que sea compatible indeterminado el rango de la matriz de coeficientes de las incognitas

debe ser menor que 3, lo que implica que el determinante de la matriz formada por los

coeficientes de las incógnitas debe ser cero

4

9z ;

4

15 y,

4

15x es soluciónla Luego

4

9

3

5

33

yx queremos Si

3

5y53y

sumando y 2-por 1ªla ndoMultiplica3

3x-123x-

sumando y 2-por 2ªla ndoMultiplica

82

342

eequivalentsistema elqueda caso este en 802430

51

112

321

===

=⇒=+

=⇒

=⇒=

+=⇒−=⇒

−=−=

=⇒=−⇒=−−−

λλλ

λλ

λλ

λx-y

λyx-

aa

a

B4.- Solución:

a) Para que el plano π y la recta r sean paralelos el sistema formado por sus ecuaciones tiene

que ser incompatible lo que exige que el determinante de la matriz de coeficientes sea 0

30120

12

011

011

=⇒=−+−⇒=−

aa

a

Hemos restado a la segunda columna la primera,

b) Para que sean perpendiculares, el vector asociado al plano (1,-1,0) y el director de la recta

deben ser paralelos, por tanto proporcionales.

1

0

1

1 porque imposible es que

1

0

2

1

1

1 que queremos

dedirector es

)1,2,1(

0

)2(2

1

22

1

02

1

≠−

=−−=

−

−−

⇒

+=−+−=

−=⇒

=−+−=

−=⇒

=++=+

a

r

a

z

ay

x

z

ay

x

azyx

zx

λλ

λ

λλλ

λ

Ningún valor de a hace que sean paralelos.

c) Los vectores directores del plano π’pueden ser el director de la recta y el asociado al plano

(porque queremos que π y π’ sean perpendiculares); un punto de π’ puede ser el (1,-2,0) de r .

Por tanto

' plano delimplícita ecuaciónla es 1010

010

112

111

π−=+⇒=++⇒=−

−+−−

yxyx

z

y

x