1º

BA

CH

ILLER

ATO

Matemáticas I

Geometría I 3

Introducción Estas prácticas constituyen un complemento esencial de los esquemas. Su finalidad principal es la de afianzar los conocimientos expuestos en el módulo. Las actividades propuestas se encuentran secuenciadas por esquemas. De esta forma, una vez terminada cada clase, usted podrá incidir sobre los contenidos fundamentales trabajados en ella y comprobar por sí mismo cómo evoluciona su proceso de aprendizaje. Es importante que intente realizar siempre los ejercicios sin mirar las soluciones. Luego, compruebe las respuestas. Solo así estas prácticas podrán cumplir su función.

4 Geometría I

Medida de ángulos

Uso de la calculadora. Selección del modo DEG (grados sexagesimales) Las calculadoras manejan tres unidades de medida de ángulos: • Grados sexagesimales (DEG). Son los que utilizamos normalmente. • Grados centesimales (GRA). Un ángulo recto tiene 100 grados centesimales. Nunca usaremos esta unidad de medida. • Radianes (RAD). Esta unidad de medida de ángulos está relacionada con el estudio funcional de las razones trigonométricas. Ahora utilizaremos, exclusivamente, los grados sexagesimales. Por tanto, seleccione en la

calculadora el modo DEG, a partir de la tecla , según el modelo de calculadora. Tecla

Esta tecla sirve para pasar un ángulo expresado en grados, minutos y segundos sexagesimales a un número decimal de grados. Para introducir el ángulo 90° 45'53'' tecleamos lo siguiente: 90 45 53 y aparece en pantalla 90.76472222. Pulsando

obtenemos 90° 45'53'' .

1 Pase a radianes los siguientes ángulos: a) 30° b) 60° c) 330° d) 200°

2 Pase a grados los siguientes ángulos: a) π /6 b) 3 π/2 c) π/5 d) 4 π/3

1

° ’ ”

° ’ ” ° ’ ” ° ’ ” SHIFT

Geometría I 5

Razones trigonométricas de un ángulo agudo Uso de la calculadora. Cálculo de una razón trigonométrica (seno, coseno y tangente) Teclas - Calcular sen 30o 30 = 0.5 Para calcular sen (47° 25'), se procede así:

1 En un triángulo , el ángulo  = 105°. ¿Cuánto suman y Ĉ?

2 Halle las razones trigonométricas del ángulo α en cada triángulo rectángulo.

2sin cos tan

sin

6 Geometría I

3 Calcule las razones trigonométricas de 300 y de 600. Para ello, toma un triángulo equilátero de lado a y divídalo en dos por una de sus alturas.

4 Calcule las razones trigonométricas de 450. Para ello, considere un triángulo rectángulo

isósceles de cateto x, los ángulos agudos son iguales y miden 45°.

5 Complete la tabla.

x

x

Geometría I 7

Resolución de triángulos rectángulos (I) Uso de la calculadora. Cálculo del ángulo dada la razón trigonométrica. Para calcular el valor de α se puede proceder con la calculadora del siguiente modo: Ejemplo, sabiendo que sen α = 0,5, tecleando

1 Calcule, usando la calculadora, la amplitud del ángulo agudo : a) sen = 0,5765 b) cos = 0,3907 c) tg = 1,8940 d) cos = 0,3786

2 Resolver los siguientes triángulos rectángulos: a) c = 15 cm y 35ºA ˆ

b) a = 5 cm y b = 8 cm

3

8 Geometría I

c) b = 24 cm y '62º45'12'C ˆ

Geometría I 9

Resolución de triángulos rectángulos (II)

1 Se sabe que un faro tiene una altura, sobre el nivel del mar, de 196 m. Desde un barco situado en el mar se ve el faro bajo un ángulo de 140 16’ 32’’ (como se observa en la siguiente figura). ¿A qué distancia se encuentra el barco de la costa?

2 Desde un faro situado a 50 metros sobre el nivel del mar se observan dos barcos: uno se ve bajo un ángulo de depresión de 300 y otro (alineado con el primero y con el faro) bajo un ángulo de depresión de 100. Calcula la distancia que hay entre los dos barcos.

4

x

x

50 m

10º 30º

y

10 Geometría I

3 Un tronco de 6,2 m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de 55°. a) ¿A qué altura de la pared se encuentra apoyado? b) Calcule la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared.

4 Una escalera de bomberos que mide 20 m de longitud se apoya sobre una fachada. El ángulo que forma el suelo con la escalera es de 75°. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la fachada?

Geometría I 11

5 En lo alto de un edificio en construcción hay una grúa de 4 m. Desde un punto del suelo se ve el punto más alto de la grúa bajo un ángulo de 50° con respecto a la horizontal y el punto más alto del edificio bajo un ángulo de 40° con la horizontal. Calcule la altura del edificio.

12 Geometría I

Ángulos orientados

1 Indique en cada caso el signo de α.

2 Dibuje dos semirrectas cualesquiera OA y OB con el mismo origen O y represente los diferentes ángulos:

a) BOA b) -AOB c) -BOA d) -[AOB + dos vueltas]

3 Exprese en radianes el ángulo , menor que 3600, al que equivalen estos ángulos. a) 4800 c) 9300 b) 12350 d) 14400

5

Geometría I 13

4 Calcule el ángulo equivalente en sentido positivo a cada uno de los siguientes. Utilice en cada caso la misma unidad de medida en que vienen dados.

14 Geometría I

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

1 Indique en qué cuadrante está cada ángulo. a) sen α= 0,8 b) sen β= −0,8 c) sen γ= 0,5

cos α= −0,6 cos β= −0,6 tg γ= 0,57

2 Indique el signo que tienen las razones trigonométricas de estos ángulos. a) 66° b) 175° c) 342° d) 18° e) 135°

6

Geometría I 15

Relaciones entre las razones trigonométricas

1 Sabiendo que es un ángulo agudo y que el cos = 1/5, calcule sen y tg .

2 De un ángulo a sabemos que la tg = 3/4 y 180° < < 270°. Calcule sen y cos .

3 Si cos = 3

2 y 270°< < 360°, calcule sen y tg .

7

16 Geometría I

4 ¿Existe algún ángulo con sen α= 0,4 y cos α= 0,6? Justifique la respuesta.

5 Sabiendo que cos 58° = 0,53, sen 58° = 0,85 y tg 58° = 1,6, calcule las razones trigonométricas de 122°.

6 Calcule las razones trigonométricas de 227° a partir de las razones trigonométricas de 47°: sen 47° = 0,73; cos 47° = 0,68; tg 47° = 1,07

7 Determine las razones trigonométricas del ángulo α = 1 470°.

18 Geometría I

Resolución de triángulos cualesquiera Para resolver un triángulo cualquiera se utilizan las herramientas siguientes: - La suma de los ángulos de un triángulo es 180°. - Teorema de los senos. - Teorema de los cosenos. Casos que pueden presentarse:

1er caso: Dados dos lados y el ángulo comprendido.

Este caso siempre tiene solución y ésta es única. 2º caso: Dado un lado y dos ángulos.

Este caso tiene solución y es única, siempre que A+ B < 180°. 3er caso: Dado los tres lados. En este caso la solución existe y es única, siempre que la

suma de dos lados cualesquiera sea menor que el tercero. 4º caso: Dados dos lados y el ángulo no comprendido.

Este caso puede no tener solución, tener una o dos.

1 Resuelva los siguientes triángulos: a) (Dados dos lados y el ángulo comprendido) Del triángulo ABC se conocen b = 10 cm, c = 14 cm y A = 50°. Halle el lado a y los ángulos B y C. b) (Dados un lado y dos ángulos) Del triángulo ABC se conocen A = 30°, B = 80° y a = 8 cm. Halle el ángulo C y los lados b y c.

8

Geometría I 19

c) (Dados los tres lados) Del triángulo ABC se conocen a = 9 cm, b = 7 cm y c = 14 cm. Halle sus ángulos. d1) (Dados dos lados y el ángulo no comprendido) Del triángulo ABC se conocen a = 4 cm, b = 1,5 cm y B = 30°. Halle el lado c y los ángulos A y C. d2) (Dados dos lados y el ángulo no comprendido) Del triángulo ABC se conocen a = 4 cm y B = 30°. Halle A en los siguientes casos: b = 0,5 cm, b = 2 cm y b = 4 cm

20 Geometría I

2 Un globo aerostático se encuentra sujeto al suelo, mediante dos cables de acero, en dos puntos que distan 60 m. El cable más corto mide 80 m y el ángulo que forma el otro cable con el suelo es de 37°. Calcule: a) La medida del otro cable.

Geometría I 21

b) La distancia del globo al suelo.

3 Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un ángulo

de 110°. Al cabo de 2 horas, el primer barco está a 34 km del punto inicial y el segundo barco, a 52 km de dicho punto. En ese mismo instante, ¿a qué distancia se encuentra un barco del otro?

4 Dos personas están en una playa a 150 m de distancia y en el mismo plano vertical ven un

pájaro que se encuentra volando entre ambos. En un momento dado, uno lo ve con un ángulo de elevación de 50° y el otro con un ángulo de 38°. ¿Qué distancia hay de cada uno de ellos al pájaro?

22 Geometría I

5 Dos fuerzas de 18 N y 30 N actúan sobre un punto formando un ángulo de 45°. Calcule la

intensidad de la resultante y el ángulo que forma con cada una de las fuerzas.

Geometría I 23

Vector fijo

1 ¿Cuáles son las componentes de los vectores?

2 Dado el punto A (– 5, 4), halle el vector , represéntelo y halle sus componentes.

3 Calcule las componentes de los vectores en los siguientes casos: a) A(– 2, 1), B(3, – 2) b) A(4, 1), B(– 3, 5)

4 Las componentes del vector son (5, 3). Siendo B(-1, 4), calcule las coordenadas del punto A.

9

24 Geometría I

Vector libre

1 Las componentes de son (2, 4) y las de son (-1, -2). ¿Tienen el mismo módulo? ¿Y la misma dirección?

2 Sean los puntos A (0, 3), B (-1, 1), C (1, 5) y D (3, 9). ¿Tienen y la misma dirección? ¿Y el mismo sentido?

3 Calcule el módulo de los vectores.

10

Geometría I 25

4 Halle el módulo del vector de origen A(1, 1) y de extremo B(5, 4).

5 Siendo A(1, 4) y B(0, 6), ¿el vector fijo es un representante del vector libre (-1, 2)?

6 Dados los puntos A(0, 0), B(1, 1) y C(0, 2), halle las coordenadas de un punto D para que los

vectores y sean equipolentes.

26 Geometría I

PERACIONES CON VECTORES LIBRES

1 Calcule y represente en cada caso los vectores siguientes: a) Multiplique por 3 el vector (1, 2) b) Multiplique por – 2 el vector (– 3, 1)

2 Dados los siguientes vectores: (– 3, 2) y (4, 3) calcule analítica y geométricamente: a) + b) –

11

Geometría I 27

3 A partir de los vectores , y representados en la figura, calcule: a b) 3 c) -

4 Dados los puntos A (3, 1), B (-1, m) y C (2, m), halle el valor de m para que los vectores

y tengan la misma dirección.

5 Dados los vectores (-7, 2) y (10, -4) determine si son linealmente dependientes.

6 Dados los puntos A(3, 7), B(4, 9), C(−4, 3) y D(4, 9), ¿son paralelos los vectores y ?

28 Geometría I

Producto escalar de dos vectores

1 Los módulos de dos vectores son 6 y 10. Halle el producto escalar de ambos vectores si el ángulo que forman es de 600.

2 Dados los vectores (- 6, 8) y (1, 7), calcule ·

3 Estudie si los vectores (6, 9) y (-3, 2) son perpendiculares entre sí.

4 Dos vectores y cumplen que: | | = 4, | | = 3/2 , cos ( ) = 30°. Calcule

5 Dados los vectores (3, -4) y (-1, 3), halle: a) y b)| |, | | y ( ) c) El valor de k para que (4, k) sea perpendicular a .

12

Geometría I 29

6 Calcule el ángulo que forman los vectores y sabiendo que | |= 2, | |= 1,

7 Calcule el valor de a para que los vectores (a, 3) y (-1, 5) sean perpendiculares.

8 Dados los vectores (1, 3) y (6, 4), halle la proyección de sobre .

9 Dados los vectores (x, 2) y (3, 1), determine x para que y : a) Sean paralelos. b) Sean perpendiculares.

30 Geometría I

Aplicaciones de los vectores

1 Halle el punto medio del segmento de extremos A(-5,2) y B(7,-4).

2 Considere los puntos A(-1, 3), B(2, 6) y C (x , y). Halle los valores de x e y para que C sea: a) El punto medio del segmento de extremos A y B. b) El simétrico de A con respecto a B.

3 Compruebe si R(2, 7), S(5, –1) y T(15, –25) están alineados.

4 El punto medio del segmento AB es M(2, -1). Halle las coordenadas de A, sabiendo que B(-3, 2).

13

Geometría I 31

5 Encuentre el valor de t para que A(1, 2), B(7, –11) y C(t, 2t) estén alineados.

32 Geometría I

Ecuaciones de la recta

1 Halle las ecuaciones vectorial, paramétricas, continua y general de la recta determinada por el punto P(–3, 1) y vector director (2, 3).

2 Indique un punto y un vector de estas rectas.

3 Halle todas las formas de la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(3, 0) y Q(0, -3).

14

Geometría I 33

4 Represente gráficamente la recta que pasa por los puntos A(3,-1) y B(8, 9), y halle todas las formas de su ecuación.

34 Geometría I

Otras ecuaciones de la recta

1 Dadas las rectas y = 3x-5 e y = -2x+5, ¿cuál es su pendiente? ¿Y su ordenada en el origen?

2 Escriba, en forma explícita, la ecuación de la recta que corta el eje de ordenadas en y = 3 y el valor de cuya pendiente es 7.

3 Halle la ecuación punto-pendiente y la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto A(2, 8) y tiene como vector director (-1, 9).

4 Exprese en forma continua la recta y = 2x + 1.

5 Compruebe si el punto B(4, -6) pertenece a alguna de estas rectas. a) y = 9 - 3x b) 5x + 3y - 2 = 0

6 Halle el coeficiente a para que la recta ax + 4y = 11 pase por el punto P(1, 2). Haga la representación gráfica.

15

Geometría I 35

7 Compruebe si los puntos A(2, 1) y B(-1, -4) pertenecen a la recta de ecuaciones: x = t y = -3 + 2t

8 Halle la pendiente de las siguientes rectas.

36 Geometría I

Resumiendo

1 Dadas las siguientes rectas, escriba el tipo de ecuación, halle un punto, un vector director y la pendiente:

2 Halle las ecuaciones continua y general de la recta que pasa por los puntos A(-1, 4) y B(3, 1).

3 Halle la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto A(1, 3) y tiene la misma pendiente que la recta y = 4x - 9.

16

Geometría I 37

4 Escriba en todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3, 1) y tiene la dirección del vector (5, -2).

38 Geometría I

Paralelismo y perpendicularidad

1 Dada la recta r : 3x + y = 2, halle una recta s, paralela a r, y otra perpendicular t que pasen por el punto P(2, – 1). Haga la representación gráfica.

2 Escriba las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(2, -1) y es perpendicular a la recta de ecuación 3x - 2y + 1 = 0.

17

Geometría I 39

3 Halle la ecuación de la recta perpendicular a en su punto medio, siendo A(–5, 3) y B(2, 7).

4 ¿Cuál ha de ser el valor de k para que estas dos rectas sean paralelas? x + 3y - 2 = 0 kx + 2y + 3 = 0

5 Halle el valor de k para que las rectas 2x - 3y + 4 = 0 -3x + ky -1 = 0 sean perpendiculares.

40 Geometría I

Posiciones relativas de dos rectas en el plano

1 Halle el punto de intersección de las rectas: 3x + 8y – 7 = 0 y 4x + 2y – 31 = 0

2 Dadas la recta r, determinada por los puntos A(2, 3) y B(4, 7), y la recta s, determinada por los puntos C(2, 7) y D(7, 8), razone si r y s son paralelas o secantes.

3 Estudie la posición relativa de los siguientes pares de rectas y, si son secantes, halle su punto de corte.

a) r: 2x -5y + 7 = 0 s: x - 2y - 2 = 0 b) r: 6x + 4y - 12 = 0 s: 3x + 2y - 6 = 0 c) r : x - 5y + 3 = 0 s: 3x - 15y + 8 = 0

18

Geometría I 41

4 Estudie la posición relativa del siguiente par de rectas:

5 Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto de corte de r: 8x - 5y + 2 = 0 y s: 2x + y - 4 = 0, y por el punto A(0, 3).

6 Halle la ecuación de la recta que es paralela a la recta 5x + y - 2 = 0, y pasa por el punto de intersección de las siguientes rectas: r: 2x - 3y - 4 = 0 s: 3x - y + 1= 0.

42 Geometría I

7 Calcule las coordenadas de los vértices del triángulo, cuyos lados están contenidos en las rectas que vienen expresadas mediante estas ecuaciones. r : x −y −1 = 0 s : x + y + 2 = 0 p: 3x −y + 2 = 0

Geometría I 43

Problemas métricos

1 Halle el ángulo que forman las rectas: r : 2x – 7y = 4 y s : 3x + 4y = 1.

2 Halle la distancia de Q(–3, 4) a las siguientes rectas:

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44 Geometría I

3 Halle la distancia de P a Q y de P a r, siendo: P(-1, -1), Q(2, -3) y r: 3x - y + 6 = 0

4 Dado el triángulo de vértices los puntos A(-1, -2), B(2, 0) y C(1, 1): a) Pruebe que es isósceles. b) Halle la longitud de la altura correspondiente al lado BC (En un triángulo isósceles, la altura

corta al lado desigual en el punto medio). c) Calcule su área.

Geometría I 45

Lugares geométricos

1 Halle la ecuación de la circunferencia de diámetro PQ, siendo P(–5, 2) y Q(3, –6).

2 Obtenga la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2, 3) y B(4, 1).

3 Halle la ecuación de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas r1: x + 3y +1 = 0 y r2: 3x - y + 4 = 0.

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