matematicas financieras para principiantes14

MATEMATICAS FINANCIERAS


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TABLA DE CONTENIDO


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OBJETIVOEstudiar y aprender las técnicas usuales de la Matemática Financiera, para aplicarlas a la AdministraciónPública.

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS ELEMENTALES


1. CONCEPTOSFUNDAMENTALES DE


INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Por. Cesar Aching

Michael Parkin, en su obra Macroeconomía dice: «El dinero, el fuego y la rueda, han estado con nosotrosdurante muchos años. Nadie sabe con certeza desde cuándo existe el dinero, ni de cuál es su origen».

En forma similar nos acompaña la matemática financiera, cuya génesis está en el proceso de latransformación de la mercancía en dinero. Según la teoría del valor: el valor solo existe de forma objetiva enforma de dinero. Por ello, la riqueza se tiene que seguir produciendo como mercancía, en cualquier sistemasocial. Como el sistema financiero está íntimamente ligado a las matemáticas financieras, describiremosescuetamente su origen.

Por el año 1,368 - 1,399 D.C. aparece el papel moneda convertible, primero en China y luego en la Europamedieval, donde fue muy extendido por los orfebres y sus clientes. Siendo el oro valioso, los orfebres lomantenían a buen recaudo en cajas fuertes. Como estas cajas de seguridad eran amplias los orfebresalquilaban a los artesanos y a otros espacios para que guardaran su oro; a cambio les giraban un recibo quedaba derecho al depositante para reclamarlo a la vista. Estos recibos comenzaron a circular como medio depago para comprar propiedades u otras mercancías, cuyo respaldo era el oro depositado en la caja fuerte delorfebre. En este proceso el orfebre se dio cuenta que su caja de caudales estaba llena de oro en custodia y lenace la brillante idea, de prestar a las personas "recibos de depósitos de oro", cobrando por sus servicios uninterés; el oro seguiría en custodia y solo entregaba un papel en que anotaba la cantidad prestada; tomando

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS ELEMENTALES


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como previsión el no girar recibos que excedieran su capacidad de respaldo. Se dio cuenta de queintermediando entre los artesanos que tenían capacidad de ahorro en oro y los que lo necesitaban, podíaganar mucho dinero. Así es la forma en que nació el actual mercado de capitales, sobre la base de un sistemafinanciero muy simple, de carácter intermediario.

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en eltiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodosde evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Llamada también análisis de inversiones,administración de inversiones o ingeniería económica.

Se relaciona multidisciplinariamente, con la contabilidad, por cuanto suministra en momentos precisos odeterminados, información razonada, en base a registros técnicos, de las operaciones realizadas por un enteprivado o público, que permiten tomar la decisión más acertada en el momento de realizar una inversión; conel derecho, por cuanto las leyes regulan las ventas, los instrumentos financieros, transportes terrestres ymarítimos, seguros, corretaje, garantías y embarque de mercancías, la propiedad de los bienes, la forma enque se pueden adquirir, los contratos de compra venta, hipotecas, préstamos a interés; con la economía, porcuanto brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un negocio o empresa, podrían obtenermayores beneficios económicos; con la ciencia política, por cuanto las ciencias políticas estudian y resuelvenproblemas económicos que tienen que ver con la sociedad, donde existen empresas e instituciones en manosde los gobiernos. Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en cuento ainversiones, presupuestos, ajustes económicos y negociaciones que beneficien a toda la población; con laingeniería, que controla costos de producción en el proceso fabril, en el cual influye de una manera directa ladeterminación del costo y depreciación de los equipos industriales de producción; con la informática, quepermite optimizar procedimientos manuales relacionados con movimientos económicos, inversiones ynegociaciones; con la sociología, la matemática financiera trabaja con inversiones y proporciona a lasociología las herramientas necesarias para que las empresas produzcan más y mejores beneficioseconómicos que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad y con las finanzas, disciplina que trabajacon activos financieros o títulos valores e incluyen bonos, acciones y préstamos otorgados por institucionesfinancieras, que forman parte de los elementos fundamentales de las matemáticas financieras.

Por ello, las matemáticas financieras son de aplicación eminentemente práctica, su estudio está íntimamenteligado a la resolución de problemas y ejercicios muy semejantes a los de la vida cotidiana, en el mundo de losnegocios. Dinero y finanzas son indesligables.

EL DINERO

"El dinero es el equivalente general, la mercancía donde el resto de las mercancías expresan su valor, elespejo donde todas las mercancías reflejan su igualdad y su proporcionalidad cuantitativa".

Según la economía habitual, dinero es cualquier cosa que los miembros de una comunidad estén dispuestos aaceptar como pago de bienes y deudas, cuya función específica estriba en desempeñar la función deequivalente general. El dinero surgió espontáneamente en la remota antigüedad, en el proceso de desarrollodel cambio y de las formas del valor. A diferencia de las otras mercancías, el dinero posee la propiedad de serdirecta y universalmente cambiable por cualquier otra mercancía.


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"Marx procede en este terreno de modo distinto. Cuando analiza el trueque directo de mercancías descubre eldinero en forma germinal.".

1. Funciones del dinero

Formas concretas en que se manifiesta la esencia del dinero como equivalente general. En la economíamercantil desarrollada, el dinero cumple las cinco funciones siguientes:

medida del valor". Con el dinero podemos medir, por ejemplo, el patrimonio que tiene cada ciudadano. Ytambién podemos medir el precio de cada hora de trabajo social medio. De manera que si expresamos elvalor del patrimonio personal en dinero, después debemos expresar este dinero en horas de trabajo."

medio de circulación, medio de acumulación o de atesoramiento, medio de pago y dinero mundial.

Siendo su función elemental la de intermediación en el proceso de cambio. El hecho de que los bienes tenganun precio proviene de los valores relativos de unos bienes con respecto a otros.

2. Tipos de dinero

Dinero mercancía: Consiste en la utilización de una mercancía (oro, sal, cueros) como medio para elintercambio de bienes. La mercancía elegida debe ser: duradera, transportable, divisible, homogénea, deoferta limitada.

Dinero signo: Billetes o monedas cuyo valor extrínseco, como medio de pago, es superior al valorintrínseco. El dinero signo es aceptado como medio de pago por imperio de la ley que determina sucirculación (curso legal). El dinero signo descansa en la confianza que el público tiene en que puedeutilizarse como medio de pago generalmente aceptado.

Dinero giral: Representado por los depósitos bancarios.

3. La transformación del dinero en capital

"El dinero se transforma en capital cuando con él compramos los factores objetivos y los factores subjetivospara producir riqueza. Los factores objetivos son los medios de producción y los factores subjetivos son lafuerza de trabajo. Por lo tanto, el dinero como capital se diferencia del dinero como simple dinero por la clasepeculiar de mercancías que compra: medios de producción y fuerza de trabajo. La economía convencionalsólo capta el dinero como medio de cambio, y el dinero que funciona como capital igualmente lo capta comomedio de cambio. Y es cierto que el dinero que circula como capital funciona como medio de cambio. Ladiferencia no estriba, por lo tanto, en la función que desempeña en el mercado, sino en la clase de mercancíasque se compra con él. El dinero como simple dinero se emplea como medio de cambio de medios de consumopersonal, mientras que el dinero como capital se emplea como medio de cambio de medios de producción yde fuerza de trabajo"...


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4. Sistemas monetarios

Un sistema monetario es un conjunto de disposiciones que reglamentan la circulación de la moneda de unpaís.Tradicionalmente, los países eligieron el oro y la plata como la base de un sistema monetario mono metalista.Cuando adoptaron ambos metales a la vez, se trataba de un sistema bimetalista. Actualmente todas lasdivisas (dólar, Euro, yen, etc.) son dinero fiduciario.

En épocas de inflación, la gente trata de desprenderse inmediatamente del dinero que se desvaloriza y deretener aquellos bienes que conservan su valor.

5. Los bancos y el dinero bancario

El dinero bancario está constituido por los depósitos en los bancos, cajas de ahorro, compañías financieras ocajas de crédito.

Los bancos reciben depósitos de sus clientes y conceden préstamos a las familias y a las empresas. Elvolumen de los préstamos concedidos es superior al de los depósitos que mantienen sus clientes.

LOS BANCOS

Al parecer, la palabra "banco" procede de los que utilizaban los cambistas para trabajar en las plazas públicasen las ciudades italianas medievales. El oficio de cambista era entonces una profesión muy especializada querequería amplios conocimientos ya que las docenas de pequeños Estados existentes entonces mantenían encirculación centenares de diferentes monedas que eran aceptadas para el comercio, no por su valor facial,sino por el peso y ley del metal en que se acuñaban y que sólo un experto discernimiento podía establecer.

Evolución histórica. Como señalábamos en la introducción, estas instituciones nacen en la Europa medieval,en las Repúblicas aristocráticas italianas, Venecia, Génova, Florencia, a mediados del siglo XII con la finalidadde prestar servicios de depósito. Al multiplicarse los bancos, amplían sus operaciones, agregan la emisión decertificados, antecedentes de nuestros actuales billetes.

Juan Fugger fue el iniciador en Alemania de una familia de banqueros y comerciantes que unió su destinoempresarial a la corona. Se constituyó en el prestamista de Carlos V. Desde Italia la prominencia comercial ybancaria pasó a Holanda y al norte de Europa.

En 1605 nace el Banco de Amsterdam, primer banco moderno que no tuvo como todos los bancos italianoscarácter de sociedad familiar o personal. Integrado por comerciantes a causa de la ubicación geográfica de suciudad y puerto, fue un factor de primer orden para la economía de Holanda y Alemania.

El Banco de Inglaterra fundado en 1694, como consecuencia de los préstamos que otorga, el gobierno leautorizó a emitir billetes.


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CLASES DE BANCOS

1. Según el origen del capital

Bancos públicos: El capital es aportado por el estado. Bancos privados: El capital es aportado por accionistas particulares. Bancos mixtos o Banca Asociada: Su capital proviene de aportes privados y estatales.

2. Según el tipo de operación

Bancos corrientes: Los más comunes, sus operaciones habituales incluyen depósitos en cuentacorriente, caja de ahorro, préstamos, cobranzas, pagos y cobranzas por cuentas de terceros, custodia detítulos y valores, alquileres de cajas de seguridad, financiación, etc.

Bancos especializados: Tienen una finalidad crediticia específica (Bancos Hipotecarios, Banco Industrial,Banco Agrario).

Bancos de emisión: Actualmente representados por bancos oficiales. Bancos Centrales: Son las casas bancarias de categoría superior que autorizan el funcionamiento de

entidades crediticias, las supervisan y controlan.

SISTEMA BANCARIO

1. Banco Central

Es la autoridad monetaria por excelencia en cualquier país que tenga desarrollado su sistema financiero. Esuna institución casi siempre estatal que tiene la función y la obligación de dirigir la política monetaria delgobierno.

Funciones.

Emisión de moneda de curso legal con carácter exclusivo. Es el «banco de los bancos». Los bancos comerciales tienen una cuenta corriente en el Banco Central de

igual forma que los individuos tienen las suyas en los comerciales. Es el asesor financiero del gobierno y mantiene sus principales cuentas. Es el encargado de custodiar las reservas de divisas y oro del país. Es el prestamista en última instancia de los bancos comerciales. Determina la relación de cambio entre la moneda del país y las monedas extranjeras. Maneja la deuda pública. Ejecuta y controla la política financiera y bancaria del país.

2. Bancos Comerciales

Dedicados al negocio de recibir dinero en depósito, los cuales los presta, sea en forma de mutuo, dedescuento de documentos o de cualquier otra forma. Son considerados además todas las operaciones quenatural y legalmente constituyen el giro bancario.


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Funciones

Aceptar depósitos. Otorgar adelantos y préstamos.

Los depósitos (pasivos) son deudas del banco hacia el público, por las cuales el banco paga un interés. Lospréstamos (activos) son deudas del público al banco, por ellos el banco recibe un interés, la diferencia entreambos constituye la ganancia (spread) que les otorga la actividad de intermediarios financieros.

3. Componentes del dinero y creación monetaria

Dinero son los billetes y monedas de circulación legal en un país, en poder del público, más los depósitosbancarios en cuenta corriente movilizados mediante el cheque.

O sea, el primer componente es el dinero en efectivo, el segundo es el denominado «dinero bancario»originado en la práctica de los negocios.

Los depósitos en cuenta corriente son denominados «depósitos a la vista» y son los que guardan mayorrelación con el dinero en efectivo. En los países de elevado desarrollo económico-financiero, la masa decheques en circulación representa una proporción muy significativa respecto del total monetario.

Los depósitos «a plazo» (cajas de ahorro, cuentas especiales, plazo fijo) poseen distintos grados deconvertibilidad líquida.

Desde el punto de vista de la creación monetaria, existen dos tipos de dinero:

Base monetaria o dinero primario (emitido por la autoridad financiera). Dinero secundario (inyectado por los bancos a través del poder adquisitivo generado por los préstamos).

Las entidades financieras tienen facultad de dar créditos hasta un determinado porcentaje de los depósitoscaptados. La autoridad monetaria establece una reserva obligatoria (efectivo mínimo o encaje), el resto puedeser afectado a operaciones de crédito.

Un cheque no es dinero, sino simplemente una orden a un banco para transferir una determinada cantidad dedinero, que estaba depositada en él.

Los depósitos no son una forma visible o tangible de dinero, sino que consisten en un asiento contable en lascuentas de los bancos.

En los países con un sistema financiero desarrollado, los billetes y las monedas representan una pequeñaparte del total de la oferta monetaria.

4. La creación del dinero bancario

El dinero otorga a su poseedor capacidad de compra. Ese dinero puede ser creado de dos maneras:


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Por emisión, dispuesta por la entidad autorizada en cada país. Por los préstamos que otorgan las entidades financieras.

Dado que los depósitos bancarios son convertibles en dinero líquido, los bancos tienen que asegurarse de queen todas las circunstancias se encuentren en posición de hacer frente a las demandas de liquidez (billetes ymonedas) por parte de sus depositantes.

La práctica bancaria muestra que el uso generalizado de cheques significa que cada día sólo un pequeñoporcentaje de los depósitos bancarios son convertidos en dinero efectivo y esos retiros son compensados conlos ingresos de efectivo que otras personas realizan. De esta forma, los banqueros han comprobado quepueden crear depósitos bancarios por encima de sus reservas líquidas.

Las reservas líquidas legalmente requeridas o encaje bancario es la fracción de depósitos que los bancosdeben mantener como reservas.

Si en un determinado momento todos los clientes de un banco quisieran a la vez retirar sus depósitos, elbanco no podría atender todas las peticiones.

Activos financieros. Los activos pueden ser:

Reales: tienen valor por sí mismos (mercaderías, muebles). Financieros: tienen valor por lo que representan (billetes, depósitos bancarios).

A. Efectivo: activo financiero líquido por excelencia.B. Depósitos bancarios: tienen mayor o menor liquidez según sean a la vista o a término.C. Títulos valores:

Acciones: títulos emitidos por las sociedades de capital a favor de sus socios, para acreditar su condiciónde tales.

Pagarés: promesas de pago emitidas por una persona (librador) a favor de otra (beneficiario). Letras de cambio: órdenes de pago emitidas por un librador a favor de un beneficiario y a cargo de otra

persona. Títulos de deuda, públicos y privados: sus titulares pasan a ser acreedores del ente emisor de aquellos.

Reciben una renta fija.

CRÉDITO Y CLASES DE CREDITO

Término utilizado en el comercio y finanzas para referirse a las transacciones que implican una transferenciade dinero que debe devolverse transcurrido cierto tiempo. Por tanto, el que transfiere el dinero se convierte enacreedor y el que lo recibe en deudor; los términos crédito y deuda reflejan pues una misma transacción desdedos puntos de vista contrapuestos. Finalmente, el crédito implica el cambio de riqueza presente por riquezafutura.


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1. Según el origen:

A. Créditos comerciales, son los que los fabricantes conceden a otros para financiar la producción ydistribución de bienes; créditos a la inversión, demandados por las empresas para financiar la adquisiciónde bienes de equipo, las cuales también pueden financiar estas inversiones emitiendo bonos, pagarés deempresas y otros instrumentos financieros que, por lo tanto, constituyen un crédito que recibe la empresa;

B. Créditos bancarios, son los concedidos por los bancos como préstamos, créditos al consumo o créditospersonales, que permiten a los individuos adquirir bienes y pagarlos a plazos;

C. Créditos hipotecarios, concedidos por los bancos y entidades financieras autorizadas, contra garantía delbien inmueble adquirido;

D. Créditos contra emisión de deuda pública. Que reciben los gobiernos centrales, regionales o locales alemitir deuda pública;

E. Créditos internacionales, son los que concede un gobierno a otro, o una institución internacional a ungobierno, como es el caso de los créditos que concede el Banco Mundial.

2. Según el destino:

De producción: Crédito aplicado a la agricultura, ganadería, pesca, comercios, industrias y transporte delas distintas actividades económicas.

De consumo: Para facilitar la adquisición de bienes personales. Hipotecarios, destinados a la compra de bienes inmuebles,

3. Según el plazo:

A corto y mediano plazo: Otorgados por Bancos a proveedores de materia prima para la producción yconsumo.

A largo plazo: Para viviendas familiares e inmuebles, equipamientos, maquinarias, etc.

4. Según la garantía:

Personal. Créditos a sola firma sobre sus antecedentes personales y comerciales. Real (hipotecas). Prendarias cuando el acreedor puede garantizar sobre un objeto que afecta en beneficio

del acreedor.

FINALIDAD DE UNA CARTERA DE CRÉDITOS

La cartera de créditos está dividida en: créditos comerciales, créditos a micro empresas (MES), créditos deconsumo y créditos hipotecarios para vivienda. Los créditos comerciales y de micro empresas son otorgados apersonas naturales o personas jurídicas y los créditos de consumo y créditos hipotecarios para vivienda sonsólo destinados a personas naturales. Por lo demás los créditos comerciales, de micro empresas y deconsumo, incluyen los créditos otorgados a las personas jurídicas a través de tarjetas de créditos, operacionesde arrendamiento financiero o cualquier otra forma de financiamiento que tuvieran fines similares a los deestas clases de créditos.

Créditos comerciales: Son aquellos que tienen por finalidad financiar la producción y comercialización debienes y servicios en sus diferentes fases.


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Créditos a las Micro Empresas MES): Son aquellos créditos destinados al financiamiento de actividadesde producción, comercio o prestación de servicios siempre que reúnan éstas dos características:

Créditos de consumo: Son créditos que tienen como propósito atender el pago de bienes, servicios ogastos no relacionados con una actividad empresarial.

Créditos hipotecarios para vivienda: Son aquellos créditos destinados a la adquisición, construcción,refacción, remodelación, ampliación, mejoramiento y subdivisión de vivienda propia, siempre que talescréditos sean otorgados amparados con hipotecas debidamente inscritas, pudiendo otorgarse los mismospor el sistema convencional de préstamo hipotecario, de letras hipotecarias o por cualquier otro sistemade similares características.

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Uno de los principios más importantes en todas las finanzas.

El dinero es un activo que cuesta conforme transcurre el tiempo, permite comprar o pagar a tasas de interésperiódicas (diarias, semanales, mensuales, trimestrales, etc.). Es el proceso del interés compuesto, losintereses pagados periódicamente son transformados automáticamente en capital. El interés compuesto esfundamental para la comprensión de las matemáticas financieras.

Encontramos los conceptos de valor del dinero en el tiempo agrupados en dos áreas: valor futuro y valorpresente (P). El valor futuro (F) describe el proceso de crecimiento de la inversión a futuro a un interés yperíodos dados. El valor presente describe el proceso de flujos de dinero futuro que a un descuento y períodosdados representa valores actuales.

PORCENTAJE

La palabra por ciento significa una cierta cantidad de cada ciento de una cantidad cualquiera.

EJEMPLO: 8% = ; significa 8 unidades de cada 100 unidades.

GANANCIAS Y PÉRDIDAS EN TRANSACCIONES COMERCIALES

Las ganancias en las transacciones comerciales pueden expresarse en forma de porcentaje. Las pérdidassuelen expresarse en forma de un porcentaje del precio de costo, en tanto que las ganancias puedenexpresarse como porcentaje del precio de costo o de venta.

EJEMPLO: Un artículo se compra en $100.000 y se vende en $120.000. La ganancia es de $20.000, queexpresado en porcentaje será:

Datos:

Valor del articulo = $100.000Valor de la venta = $120.000Ganancia = $20.000


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Solución:

En este caso se pueden presentar dos situaciones:

compradeValor100Ganancia

costoalrealcióncongananciadePorcentaje1). *

%20100.000

10020.000costoalrealcióncongananciadePorcentaje *

ventadeValor100Ganancia

ventalaarealcióncongananciadePorcentaje2). *

%67.16120.000

10020.000 ventalaarealcióncongananciadePorcentaje *

Este resultado significa que la ganancia sobre la inversión ha sido del 20%, o bien que el 16.67% de losingresos ha sido ganancia. Así mismo, si el artículo costó $100.000 y por circunstancias del mercado sevendió en $80.000, se obtuvo una pérdida de $20.000 sobre el costo, que representa:

compradeValor100Perdida

costoalrealciónconperdidadePorcentaje *

%20100.000

100000.02costoalrealciónconperdidadePorcentaje *

Para determinar el precio de venta de un artículo se añade al costo una cantidad suficiente para cubrir losgastos de operación y obtener una utilidad. Los gastos de operación son aquellos que la empresa invierte enel proceso de compra y venta del artículo, como por EJEMPLO: salarios, servicios públicos, publicidad, etc. Lacantidad que se le agrega al costo del artículo o servicio para cubrir los gastos de operación y obtener unaganancia, se llama utilidad bruta. La ganancia, o sea, lo que queda después de cubrir los gastos deoperación se llama utilidad neta.

TALLER 1: PORCENTAJE DE GANANCIAS Y PÉRDIDAS

1. Convierta cada uno de los siguientes porcentajes en números decimales:A. 10%,B. 83.54%,C. 0.56%,D. 850%,

Precio de venta = costo del artículo + utilidad brutaUtilidad bruta = gastos de operación + utilidad netaPrecio de venta = costo del artículo + gastos de operación + utilidad neta.


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E. 250%

2. Convierta los siguientes números en porcentajes:A. 0.25,B. 0.032,C. 0.86,D. 1.50,E. 0.75

3. Calcular los siguientes porcentajes:A. 20% de 4.728,B. 0.32% de 3.280,C. 3% de 15.600,D. 5% de 35.000,E. 12% de 234.890

4. Qué porcentaje de 120.000 es 86.000?

5. El arrendamiento de un edificio aumentó un 12%. Si actualmente se pagan $8.500.000, cuál era el valordel arrendamiento?

6. En qué porcentaje se debe incrementar un salario de $500.000 para que se convierta en $ 680.000?.

7. Juan David compró una grabadora cuyo precio es de $380.000. Si le hicieron el 15% de descuento, cuántopagó?

8. Un comerciante compró un artículo en $200.000. Desea agregarle una utilidad bruta del 40% sobre elcosto, para cubrir los gastos de operación y utilidad neta. A qué precio de bebe vender el artículo?

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Significa que una cantidad de dinero ubicada en tiempos diferentes tendrá valores diferentes, así: $ 1.000.000a un año tendrá valores diferentes en cada mes del año, esto debido a los siguientes factores:

La inflación. Este fenómeno económico hace que el dinero día a día pierda poder adquisitivo, es decir,que el dinero se desvalorice. Dentro de un año recibirá el mismo $ 1.000.000 pero con menor poder decompra de bienes y servicios.

Costo de oportunidad. Si se pierde la oportunidad de invertir el $ 1.000.000 en alguna actividad, lograndoque no sólo se proteja la inflación sino que también produzca una utilidad adicional.

Este cambio de la cantidad de dinero en el tiempo determinado es o que se llama valor en el tiempo y semanifiesta a través del interés. Una cantidad de dinero en el presente vale más que la misma cantidad en elfuturo.


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INTERÉS

Para compensar el valor del dinero en el tiempo futuro se utiliza el interés. Entonces el interés es la medida omanifestación del valor del dinero en el tiempo. Si se presta hoy una cantidad de dinero; tiempo presente (P) ydespués de un tiempo determinado se recibe una cantidad mayor tiempo futuro (F), la variación del valor deldinero de P a F se llama valor del dinero en el tiempo, y la diferencia entre F y P es el interés (I). La operaciónse representa mediante la siguiente expresión.

EJEMPLO: Si se deposita en una cuenta de ahorros $ 500.000 y después de 6 meses se tiene un saldo de $580.000, calcular el valor de los intereses.

Datos:

Valor presente P = $ 500.000Valor futuro F = $580.000

Solución:

I = F – P = $ 580.000 - $ 500.000 = $ 80.000

El valor de los intereses durante los 6 meses es de $ 80.000

TASA DE INTERÉS

La palabra tasa significa medir; la tasa de interés (i) se expresa en forma de porcentaje para un período detiempo determinado; la tasa de interés en forma matemática se expresa mediante la siguiente relación:

EJEMPLO: Se deposita en una entidad financiera la suma de $1.000.000 y al cabo de 1 mes se retira$1.030.000. Calcular el valor de los intereses y la tasa de interés ganada.

Datos:

Valor presente P = $ 1.000.000Valor futuro F = $ 1.030.000

I = F – P interésF = P + I valor futuroP = F – I valor presente

I = P*i


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Solución:

I= F – P = $1.030.000 - $ 1.000.000 = $ 30.000

100*PIi = 100*

000.000.1000.30 = 0.03*100 = 3%

El valor de los intereses es de $ 30.000 y la tasa de interés es del 3%

EQUIVALENCIA

Dos cantidades diferentes ubicadas en fechas diferentes son equivalentes: aunque no sean iguales, siproducen el mismo resultado económico. Esto es, $ 100.000 de hoy son equivalentes a $ 140.000 dentro deun año si la tasa de interés es del 40% anual. Un valor presente (P) es equivalente a un valor futuro (F)si el valor futuro cubre el valor presente más los intereses a la tasa exigida por los inversionistas.

TALLER 2: INTERESES Y TASAS DE INTERÉS

1. Expresa como número decimal las siguientes tasas de interés: 20% anual, 3% mensual, 18,5% trimestral,65% semestral, 1% diario, 23.65% anual.

2. Una inversión inicial de $235.000 produce después de 6 meses un resultado de $ 389.560. Calcular: Valorde los intereses ganados, tasa de interés de la operación.

3. Cuanto se debe invertir hoy para tener dentro de un año $ 10.500.000 y se ganen unos intereses por valorde $ 250.000?

4. Calcular el valor de los intereses que produce un capital de $ 5.000.000 a las siguientes tasas de interés:A. 3% mensual,B. 1.5% quincenal,C. 18% semestral,D. 0,25% diario,E. 25% anual.

FLUJO DE CAJA

Todas las operaciones financieras se caracterizan por tener ingresos y egresos. Estos valores se puedenregistrar sobre una recta horizontal, la cual puede estar dividida en periodos, que mide el tiempo de duraciónde la operación financiera. Al registro gráfico de entradas y salidas de dinero durante el tiempo que dura laoperación financiera se conoce como flujo de caja o diagrama de línea de tiempo. Los egresos de dinero serepresenta por flechas hacia abajo; los ingresos por su parte se representan por flechas hacia arriba.


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Para resolver los problemas de matemáticas financieras, el primer paso y quizá el más importante es laconstrucción correcta del flujo de caja, porque además de mostrar claramente el problema nos indica lasfórmulas que se deben aplicar para la solución.

EJEMPLO: Analizar el siguiente caso, el señor Castro deposita en una entidad financiera el 1º de enero del2008 la suma de $ 1.000.000 y después de 6 meses retira una cantidad de $ 1.075.000. Construir el flujo decaja.

Datos:

Deposito el 1º de enero del 2008 la suma de $ 1.000.000 (Valor presente)Tiempo n = 6 mesesRetira el 1º de julio una cantidad de $ 1.075.000 (Valor futuro)

Solución:

El problema se puede solucionar de desde dos puntos de vista:

Primero el flujo de caja para el prestamista (señor Castro) Segundo para el prestatario (entidad financiera)

1. Punto de vista del prestamista (señor Castro)

Julio/08 $1.075.000

1 Enero/08

$1.000.0000

2. Punto de vista de la entidad financiera (prestatario)


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$1.000.000

1 Enero/08 1 Julio/08

$1.075.000

TALLER 3: CONSTRUYA EL FLUJO DE CAJA

1. El señor Castro compra una casa a una constructora por $ 100.000.000 y se compromete a pagar de lasiguiente manera: cuota inicial de $ 20.000.000 y el saldo en 3 cuotas iguales en los meses 3, 6, 9 por valorde $30.000.000 cada una. Construir el flujo de caja para el señor Castro.

2. El banco Ganadero le concede al señor Castro un crédito por valor de $10.000.000 con plazo de un año.Tasa de interés trimestral es de 9%. El banco le exige al señor Castro la restitución del capital al final delaño. Construir el flujo de caja para el señor Castro y la constructora.

3. Considerando el ejercicio anterior pero suponiendo que el banco le exige al señor Castro la restitución delcapital en 4 cuotas trimestrales iguales además del pago de los intereses sobre los saldos. Construir el flujode caja para el señor Castro.

4. Usted compra un electrodoméstico que tiene un valor de contado de $ 1.500.000 y lo paga de la siguienteforma: cuota inicial del 10% y el resto en 6 cuotas mensuales iguales de $ 300.000 cada una, usted puededecir que pagó por el electrodoméstico realmente $ 1.950.000?.


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2. INTERES SIMPLE

Se llama interés simple aquel en el cual los intereses devengados en un período no ganan intereses en losperíodos siguientes, independientemente de que se paguen o no, únicamente sobre el capital se liquidan losintereses sin tener en cuenta los intereses precedentes causados. La liquidación de los intereses se hacesobre el saldo insoluto, es decir, sobre el capital no pagado.

CÁLCULO DE INTERESES

En interés simple, el interés a pagar por una deuda varía en forma directamente proporcional al capital y altiempo, es decir, a mayor capital y mayor tiempo es mayor el valor de los intereses; para el cálculo deintereses se utiliza la siguiente expresión:

Dónde:

P = Valor presenteI = Interesesi. = Tasa de interés expresada en decimalesn. = Tiempo

Despejando las diferentes variables de la ecuación anterior se obtiene las expresiones siguientes:

I = P*i*n


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Valor presente Tasa de interés Intervalo de tiempo

P = Ii. n i = IP. n n = Ii. PEJEMPLO. Juan Pedro tiene un capital de $ 2.000.000. Invierte el 60% de este capital a una tasa del 36%anual simple y el capital restante al 2% mensual. Calcular el valor de los intereses mensuales simple.

Datos:

El 60% de $ 2.000.000 = 0.60*2.000.000 = $ 1.200.000 o sea:Primer valor presente P = $ 1.200.000 a una tasa del 36% anual simple.Segundo valor presente P = $ 800.000 a una tasa del 2% mensual simple.

Solución:

1). Cálculo del interés mensual simple de $ 1.200.000

I = P*i*n

000.36$11236.01.200.000=I1

2). Cálculo del interés mensual simple de $ 800.000

I = P*i*n

I2= 800.000*0.02*1 = $16.000

Interés total mensual. I = I1 + I2 = $ 36.000 + $ 16.000 = $ 52.000

INTERÉS COMERCIAL Y REAL

Cuando se realiza cálculos financieros que involucren las variables tiempo (n) y tasa de interés (i), surge laduda sobre qué números de días se toma para el año, es decir, si se toma 365 o 360 días. Esto da origen ados tipos de interés: el interés ordinario o comercial, que es el que se calcula considerando el año de 360 días,y el interés real o exacto que se calcula considerando el año de 365 días, o 366 si se trata de año bisiesto.

EJEMPLO: Calcular el interés comercial y el interés real o exacto de $1.500.000 a una tasa de interés del36% anual simple durante 45 días.

Datos:

Valor presente P = $1.500.000Tasa de interés anua del i = 36%


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Número de días n = 45

Solución:

1. Interés comercial: año 360 días.

500.67$45360

36.01.500.000=niP=I **

2. Interés real o exacto: año 365 días.

34.575.66$45365

36.01.500.000=niP=I **

El interés comercial es mayor que el interés real o exacto

TALLER 4.

1. Hallar el valor de los intereses y el valor futuro para los siguientes casos:

Valor presenta (P) Tasa de interés (i) Periodos de tiempo (n)$4.500.000 1.5%mensual 2, 3, 4, 5 y 6 meses

$14.800.000 1.2%, 1.3%, 1.4%, 1.5% mensual 10 meses$40.500.000 1.4% mensual 1, 1.5, 2, 2.5, 3 años$15.300.000 1.8% mensual 15, 40, 75, 80 130 días

2. Hallar el valor de los intereses comercial y real, y el valor futuro (F) cuando un capital (P) de $21.000.000se invierte en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 18% anual para un tiempo de:

A. 15 díasB. 50 díasC. 75 díasD. 450 díasE. 720 días

CALCULO DEL NÚMERO DE DIAS ENTRE FECHAS

Al realizar operaciones financieras la variable tiempo no siempre se expresa en número de días, meses oaños, sino que aparece la fecha de iniciación de la operación y la fecha de vencimiento. Para calcular elnúmero de días transcurridos entre las fechas se manejan dos criterios: el cálculo aproximado que toma encuenta el año comercial y el cálculo exacto (días calendario) considerando el año real, que se realiza conapoyo de las tablas para calcular el número exacto de días o de una calculadora financiera.


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EJEMPLO. Calcular el número de días entre el 12 de enero y el 23 de octubre del 2007. Para el año comercialy el año real.

Año comercial:Año Mes Día

Fecha final 2007 10 23(-)Fecha inicial 2007 01 12Resultado 0 09 11

Son 9 meses y once días: 9*30 +11 = 270 +11 = 281 días

TABLA PARA CALCULAR EL NÚMERO EXACTO DE DÍASDía\mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiem

. Octubre Noviem. Diciem.

1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 3352 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 3363 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 3374 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 3385 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 3396 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 3407 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 3418 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 3429 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343

10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 34411 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 34512 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 34613 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 34714 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 34815 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 34916 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 35017 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 35118 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 35219 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 35320 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 35421 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 35522 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 35623 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 35724 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 35825 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 35926 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 36027 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 36128 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 36229 29 60 88 119 149 180 210 241 272 302 333 36330 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 36431 31 90 151 212 243 304 365

366


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Año real: días calendario. Procedimiento con la tabla

Hasta el 23 octubre marca 296 días(-) 12 de enero 12 díasResultado 284 días

EJEMPLO: La guerra de los Mil días, denominada también Guerra Magna, se desarrolló entre el 18 de octubrede 1899 y el 21 de noviembre de 1902. Cuántos días realmente duró la guerra?. Año comercial y año real.

Año comercialAño Mes Día

Fecha final 1902 11 21(-)Fecha inicial 1899 10 18Resultado 03 01 18

Son 3 años, un mes, 3 días: 3*360 + 1*30 + 3 = 1.113 días

Año real o exacto.18 de octubre a 31 de Diciembre 1899 365 – 291 = 74 díasDías del año 1990 365 díasDías del año 1901 365 díasDel 1 de Enero 1902 a 21 de Noviembre 325 díasResultado 1129 días

TALLER 5

Siguiendo un proceso ordenado y lógico hallar el tiempo real y comercial para las siguientes fechas

A. Entre el día de hoy y el día de su cumpleañosB. Entre el día de hoy y el 31 de Diciembre de este añoC. Entre el día de hoy y el 7 de Agosto de este añoD. Entre el día de hoy y el 11 de Noviembre de este añoE. Entre el día de hoy y el 20 de Julio del próximo añoF. Entre el 20 de Julio y el 11 de Noviembre de este añoG. Entre el 6 de Enero y el 31 de Octubre de este añoH. Entre el 20 de Marzo y el 14 de Julio de este añoI. Entre el 11 de Noviembre de este año y el 7 de Agosto del próximo añoJ. Entre el 21 de Mayo de este año y el 17 de Diciembre del próximo añoK. Entre el 10 de Noviembre de este año y el 27 de Diciembre del próximo añoL. Entre el 15 de Junio de este año y el 15 de Octubre del próximo añoM. Entre el 1 de Febrero de este año y el 10 de Mayo del próximo añoN. Entre el 2 de mayo del presente año y el 16 de Agosto dentro de tres añosO. Entre el 5 de Abril del presente año y el 20 de Marzo dentro de 4 años


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VALOR FUTURO A INTERÉS SIMPLE

Consiste en calcular el valor futuro F, equivalente a un valor presente P, después de n períodos a una tasa deinterés simple i. El valor futuro es igual al capital prestado más los intereses; su expresión es la siguiente:

Dónde:

P = Valor presenteF = Valor futuroi. = Tasa de interés expresada en decimalesn. = Tiempo

Una condición importante para utilizar la ecuación anterior, la tasa de interés y el período deben estarexpresados en la misma unidad de tiempo; si esto no sucede hay que hacer transformaciones para quecoincidan las unidades de tiempo. Desventajas del interés simple:

Su aplicación en el mundo financiero es limitado. Desconoce el valor del dinero en el tiempo. No capitaliza los intereses no pagados y, por lo tanto, estos pierden poder adquisitivo.

EJEMPLO. Cuál será el valor a cancelar dentro de 10 meses por un préstamo de $ 5.000.000 recibidos en eldía de hoy, si la tasa de interés es del 35% mensual simple.

Datos:

Valor presente P = $5.000.000Tasa de interés i = 35%Numero de meses n = 10

Solución:

F = P + P*i*n

F = 5.000.000 + 5.000.000*0.35*10F = 5.000.000 + 17.500.000 = 22.500.000F = $ 22.500.000

El valor que debe cancelar dentro de 10 meses es de $ 22.500.000

F = P + P*i*n = P(1+i*n)


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INTERESES MORATORIOS

Cuando una deuda no se paga en la fecha de vencimiento, comienza a ganar intereses llamados intereses demora, los cuales se calculan con base al capital prestado sobre el saldo insoluto por el tiempo que demora elpago. Por lo general, la tasa de interés moratorio es 1.50 veces la tasa de interés corriente vigente en elmomento de presentarse el incumplimiento, sin que se exceda el límite máximo permitido por la ley.

EJEMPLO. Un pagaré por valor de $ 500.000 devenga intereses del 2% mensual simple y tiene un plazo devencimiento de 45 días. Si se cancela 15 días después de su fecha de vencimiento, calcular el interésmoratorio y la cantidad total a pagar. La tasa de interés moratoria es del 3% mensual simple.

Datos:

Valor presente P = $ 500.000Tasa de interés i = 2%Periodos de tiempo n = 45 días

Solución:

F = P + P*i*n

Si el pagaré se paga en la fecha:

515.000$=15.000+500.00002.0*3045500.000+500.000=F

F = $ 515.000

Si el pagaré se paga en la fecha de vencimiento, el valor a cancelar es de $ 515.000

Al aplazarse el pago durante 15 días, se generan unos intereses moratorios a una tasa del 3% mensual.

I = P*i*n

Intereses moratorio 7.500$03.0*3015500.000=I

Cantidad total a pagar = F + intereses moratoriosCantidad total a pagar = $ 515.000 + $ 7.500 = $ 522.500La cantidad total a pagar es de $ 522.500

TALLER 6: USO DE LA EXPRESION

I = P*i*n

1. Hallar el valor de los intereses (I) para un capital de $10.000.000 a una tasa de interés mensual del 10%;para 9 meses de tiempo (n)


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2. Hallar el valor presente (P), cuando el valor de los intereses (I) es de $ 3.000.000, en un período detiempo (n) de 15 meses; cuando la tasa de interés (i) es del 2.5%.

3. Hallar la tasa de interés (i) para un capital (P) de $15.000.000 que ha producido unos intereses (I) de $3.000.000 para un período de tiempo de 18 meses.

4. Calcular el período de tiempo (n) para un capital de $ 12.000.000 que produce unos intereses (I) de $4.000.000, cuando la tasa de interés toma el valor del 4.0% mensual.

5. Calcular el valor del interés comercial y el interés real o exacto de $ 24.000.000 que sometido a una tasade interés del $ 36% anual simple; según los siguientes datos.

A. Se depositó el día de hoy y se retiró el 30 agosto dos años despuésB. Se depositó el 9 de abril del 2008 y se retiró el 5 de diciembre tres años después

VALOR PRESENTE A INTERÉS SIMPLE

Consiste en calcular un valor presente P equivalente a un valor futuro F, ubicado n períodos adelante a unatasa de interés simple i.

F = P(1 + i*n) entonces el valor presente será

Dónde:

F = Valor futuroi. = Tasa de interés expresada en decimalesn. = Tiempo

EJEMPLO. El señor castro tiene que cancelar dentro de un año y medio un valor de $ 2.500.000: Si la tasa deinterés es del 3% mensual simple. Cuál es el valor inicial de la obligación.

Datos:

Valor futuro F = $ 2.500.000Tasa de interés mensual i = 3%Periodo de tiempo n = 1 año o 18 meses

Solución:

La tasa de interés está en una unidad de tiempo diferente al número de períodos, por lo tanto, al aplicar lafórmula se deben convertir los años a meses.


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P =)*1( ni

F

=)03.0*181(

000.500.2

= $ 1.623.376.62

P = $ 1.623.376.62

La respuesta indica que $ 1.623.376.62 de hoy son equivalentes a $ 2.500.000 dentro de un año y medio, auna tasa de interés del 3% mensual simple. La diferencia entre estos dos valores pertenece a los intereses.

CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS SIMPLE

Consiste en calcular la tasa de interés simple (i), que produce una inversión inicial (P) y después de (n)períodos se recibe una cantidad acumulada (F). Despejando (i) de F = P(1 + i*n), se obtiene la expresióncorrespondiente

Dónde:

P = Valor presenteF = Valor futuron. = Tiempo

EJEMPLO. Un inversionista en el día de hoy invierte en una corporación $ 1.000.000 y después de 6 mesesretira $1.250.000. Calcular la tasa de interés simple ganada.

Datos:

Valor presente P = $ 1.000.000Valor futuro F = $ 1.250.000Periodos de tiempo n = 6 meses

Solución:

4.17%=0.0417=1000.000.1000.250.1

6111

PF

ni

i. = 4.17%

La tasa de interés simple es 4.17% mensual


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CÁLCULO DEL TIEMPO DE NEGOCIACIÓN

Consiste en determinar el número de períodos (n), que se requieren para que una inversión inicial (P) a unatasa de interés simple de (i) produzca un valor futuro (F). Despejando (i) de F = P(1 + in), se obtiene laexpresión correspondiente.

Dónde:

P = Valor presenteF = Valor futuroi. = Tasa de interés

EJEMPLO. Cuánto tiempo se debe esperar para que un capital de $1.000.000 se convierta en $ 2.500.000, sila operación se realiza al 4% mensual?.

meses37.5=1000.000.1000.500.2

04.01=n.

n. = 37 meses y 15 días

El tiempo de espera es de 37 meses y 15 días

OPERACIONES DE DESCUENTO

Un descuento es una operación financiera que consiste en cobrar el valor de un título o documento el valor delos intereses en forma anticipada. Esta operación es frecuente en el mundo de los negocios cuando se tienencuentas por cobrar o títulos valores y se necesita hacerlas efectivas antes de su fecha de vencimiento. Ennuestro país esta operación es usual cuando se acude a créditos bancarios de corto plazo. En este caso, en elmismo momento en que recibe el préstamo se cobran los intereses por anticipado. Estos intereses cobradosen forma anticipada se llaman descuento y la cantidad de dinero que recibe el tenedor del título, una vezdescontados los intereses, se llama valor efectivo del pagaré. El valor nominal es el monto que aparece en elpagaré.

Al vender un pagaré antes de la fecha de vencimiento, el comprador aplica una tasa de descuento sobre elvalor nominal del título (valor de vencimiento). Dependiendo de la forma como se aplique la tasa de descuentosobre el valor nominal, resultan dos tipos de descuento:

El descuento comercial El descuento racional o justo.


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El descuento comercial. En una operación con descuento comercial los intereses simples se calculan sobreel valor nominal, que corresponde al monto que aparece en el pagaré. Para tal caso se utiliza la siguienteexpresión:

Dónde:

Ve = Valor efectivoVn = Valor nominaln. = Período de tiempoi.= Tasa de interés

EJEMPLO. Supóngase que se tiene un documento por cobrar dentro de 12 meses por un valor de $1.000.000,que ya tiene incluido los intereses, y se desea negociar en día de hoy. El intermediario financiero cobra unatasa de descuento del 2% mensual. Se desea conocer el valor efectivo (Ve) a recibir.

Datos:

Valor nominal Vn = $1.000.000Periodos de tiempo n = 12 mesesTasa de interés i = 2% mensual

Solución:

760.000$=0.761.000.000=0.02)12-(11.000.000=i)n-(1V=V ***ne

El valor efectivo a recibir el día de hoy es $ 760.000

El descuento racional o justo. En una operación con descuento racional los intereses simples se calculansobre el valor efectivo. Para tal caso se utiliza la siguiente expresión:

Dónde:

Ve = Valor efectivoVn = Valor nominaln. = Período de tiempoi.= Tasa de interés

EJEMPLO. Utilizando los datos del EJEMPLO anterior el valor del descuento racional o justo será:


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Datos:

Valor nominal Vn = $1.000.000Periodos de tiempo n = 12 mesesTasa de interés i = 2% mensual

Solución:

806.451.61$)02.0121(

000.000.1)1(

=Ve**

inV n

El valor efectivo a recibir $ 806.451.61Descuento comercial =$1.000.000 – 760.000 = $ 240.000Descuento racional=$1.000.000 – 806.451.61 = $ 193.548.39

Se observa que para una misma operación financiera, es mayor el descuento comercial que el descuentoracional.

TALLER 7: USO DE LA EXPRESION

F=P(1+i*n)

1. Hallar el valor futuro (F) que produce un capital (P) de $15.550.000 sometido a una tasa de interés del 5%mensual; en 16 meses de tiempo (n).

2. Hallar el valor futuro (F) para un capital de $12.000.000 si la tasa de interés mensual es 8%; en 19 mesesde tiempo (n)

3. Encontrar el valor de un capital (P) que sometido a una tasa de interés (i) del 5% mensual produce unacantidad de dinero (F) de $ 18.600.000 en un tiempo 14 meses.

4. Hallar el valor presente (P), si se desea obtener un valor futuro (F) $ 36.000.000, en un período de tiempo(n) de 22 meses; si la tasa de interés (i) asignada es del 2.5% mensual

5. Hallar el valor de la tasa de interés mensual (i) para un capital (P) de $14.000.000 que ha producido unnuevo capital equivalente de $ 24.250.000 para un período de tiempo de 30 meses

TALLER 8: INTERÉS SIMPLE

1. Por medio de un pagaré nos comprometimos a cancelar después de un año y medio un valor de$3.285.000. Si la tasa de interés es del 1.5% mensual simple. Hallar el valor inicial de la obligación.Respuesta: $2.586.614.17

2. Un inversionista estima que un lote de terreno puede ser negociado dentro de 3.5 años por $85.000.000.Cuánto será lo máximo que él está dispuesto a pagar hoy, si desea obtener un interés del 18% semestralsimple?. Respuesta $ 37.610.619.47


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3. Hallar la tasa de interés mensual simple que obtenemos cuando invertimos $ 210.000.000 y al cabo de 10meses podemos retirar $ 311.650.000. Respuesta 4.84%

4. Se compra un lote de terreno por valor de $ 9.000.000. Si se espera venderlo dentro de un año en$12.00.000. Cuál es la tasa de interés mensual simple que rinden los dineros allí invertidos?. Respuesta2.78%

5. Una caja de ahorros reconoce el 5% trimestral simple. Si hoy deposito $ 250.000. Cuánto tiempo deboesperar para retirar $ 325.000?. Respuesta 6 trimestres

6. Se invirtieron $ 2.000.000 y después de 3 años se recibieron $ 3.600.000. Qué tasa trimestral simpleprodujo la operación financiera?. Respuesta 6.67% trimestral

7. hace 8 meses disponía de $ 2.000.000 y tenía las siguientes alternativas de inversión: a) Comprar uninventario de ropa por este valor, que a precios de hoy valen $ 3.300.000. b) Invertirlos en una entidad queme paga el 2.8% mensual simple. Después de consultarlo, me decidí por la primera alternativa. Fueacertada la decisión?. Respuesta sí; explique.


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3. INTERES COMPUESTO

El interés compuesto (llamado también interés sobre interés), es aquel que al final del período capitaliza losintereses causados en el período, debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevocapital sobre el cual se calculan los intereses. Capitalización es el proceso mediante el cual los intereses quese van causando periódicamente se suman al capital anterior. El período de capitalización es período pactadopara convenir el interés.

CARACTERÍSTICAS DEL INTERÉS COMPUESTO

El capital inicial cambia en cada período porque los intereses que se causan se capitalizan o sea, seconvierten en capital.

La tasa de interés siempre se aplica a un capital diferente. Los intereses periódicos siempre serán mayores.

VALOR FUTURO E INTERÉS COMPUESTO

Consiste en calcular el valor equivalente de una cantidad P, después de estar ganando intereses por (n)períodos, a una tasa de interés (i). Por lo tanto, el valor futuro equivalente a un valor presente está dado por lasiguiente fórmula:

Dónde:

P = Valor presentei. =Tasa de interés


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n. = Periodos de tiempoEsta fórmula es conocida como la fórmula básica de las matemáticas financieras debido a que, la mayoría delas operaciones financieras se realizan con su aplicación. El factor (1 + i )n se conoce con el nombre de factorde capitalización en pago único.

VALOR PRESENTE 10.000.000 F = P(1 + I )n INTERESES ACUMULADOS ALFIN DE CADA MES

Final del primer mes F1 =Final del segundo mes F2 =Final del tercer mes F3 =Final del cuarto mes F4 =Final del quinto mes F5 =Final del sexto mes F6 =Final del séptimo mes F7 =Final del octavo mes F8 =Final del noveno mes F9 =Final del décimo mes F10 =Final del décimo primer mes F11 =Final del décimo segundo mes F12 =

TALLER 9.

Se invierten $ 10.000.000 durante 12 meses en una corporación que reconoce una tasa de interés del 3%mensual compuesta. Se desea saber, cuánto dinero se tendrá acumulado al final de cada mes?.

VALOR PRESENTE CON INTERÉS COMPUESTO

Consiste en calcular el valor P, equivalente hoy a una cantidad futura F, ubicada (n) períodos adelante,considerando una tasa de interés compuesta i. Esta operación de calcular el valor actual de un capital equivalea lo pagado en el futuro, se presenta con mucha frecuencia en los negocios y se conoce como elprocedimiento para descontar una deuda.

n)i+P(1=F

Dónde:

F = Valor futuroi. =Tasa de interésn. = Periodos de tiempo

EJEMPLO. Don Pedro necesita disponer de $3.000.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícula dehijo. Si una corporación le ofrece el 3.5% mensual, cuánto deberá depositar hoy para lograr su objetivo?.


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Datos:

Valor futuro F = $ 3.000.000Periodos de tiempo n = 6 mesesTasa efectiva de interés i = 3,5%

Solución:

502.440.2229255326.1

000.000.3)035.1(

000.000.3)035.01(

000.000.3)1( 66

ni

FP

P= $ 2.440.502

Don Pedro deberá depositar hoy $ 2.440.502 para lograr su objetivo

TASA DE INTERÉS COMPUESTA

En algunos casos se conoce la cantidad invertida y la recibida después de un número de períodosdeterminado, y se desea conocer la tasa de interés. Cuando sólo existe una única cantidad invertida y unaúnica recibida, la tasa de interés no se puede calcular por solución directa aplicando la ecuación F = P(1 + i )n;para este caso la ecuación se transforma en:

Dónde:

F = Valor futuron. = Periodos de tiempoP = Valor presente

EJEMPLO. Si el día de hoy se invierten $ 10.000.000 y después de año y medio se tienen acumulados$30.500.000. Qué tasa de interés produjo la operación?.

Datos:

Valor futuro F = $30.000.000Valor presente P = $ 10.000.000Tiempo n = 18 meses

Solución:

6.39%=60.06391160=1-61.06391160105.31000.000.10000.500.301=i. 1818 n

PF


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i. = 6.39%La tasa de interés que produjo la operación es de 6.39%

TIEMPO DE NEGOCIACIÓN

Con frecuencia se hace una inversión inicial a una conocida tasa de interés con el propósito de obtener unacantidad futura determinada, y se desea conocer en cuánto tiempo se obtendrá esta cantidad futura. Desde elpunto de vista matemático, se plantea el problema de la siguiente forma: conocidos el valor presente (P), elvalor futuro (F) y la tasa de interés (i), se desea calcular el número de períodos (n).

n)i+P(1=F

Dónde:

F = Valor futuroP = Valor presentei. =Tasa de interés

EJEMPLO. Si se realiza una operación financiera con una tasa de interés del 4% mensual, cuánto tiempo (n)se debe esperar para que $ 5.000.000 de hoy se conviertan en $ 7.116.560?.

Datos:

Valor futuro F = $ 7.116.560Valor presente P = $ 5.000.000Tasa de interés i = 4%

Solución:

)04.01(000.000.5560.116.7

)1(

Log

LogLogiLogLogPLogFn

0000.901733339.015330011.0

01733339.0698970004.6852270115.6

n.= 9 meses

El tiempo espera para que $ 5.000.000 de hoy se conviertan en $ 7.116.560, es de 9 meses

VALOR FUTURO CON TASA VARIABLE

Por lo general la tasa de interés para todos los períodos de cálculo no es siempre la misma. Por EJEMPLO,las tasas de interés que pagan los bancos por las cuentas de ahorros y los CDT son fluctuantes en períodos


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cortos de tiempo, por lo que los cálculos de rentabilidades realizados con la aplicación de la fórmula básicaF=P(1+i)n resultan irreales. La fórmula para calcular el valor futuro con interés compuesto, cuando la tasa deinterés para cada período proyectado es diferente, queda de la siguiente forma:

Dónde:

P = Valor presentei1 = Tasa de interés del primer períodoi2 = Tasa de interés del segundo períodoin = Tasa de interés del período n

EJEMPLO. Blanca Helena desea invertir $ 2.500.000 durante 6 meses. La tasa de interés inicial que lereconocen es del 1% mensual. Si se espera que cada mes la tasa de interés aumente 0.20%, cuánto recibiráal final del semestre?

Datos:

P = $ 2.500.000i1 = 1.0%, i2 = 1.20%, i3= 1.40%, i4=1.60%, i5 = 1.80%, i6 = 2.00%

Solución:

Reemplazando estos valores se obtendrá:

F = 2.500.000(1.010)(1.012)(1.014)(1.160)(1.180)(1.020)= $ 2.733.515.29

Al final del semestre recibirá $ 2.733.515.29

VALOR PRESENTE CON TASA VARIABLE

Al hacer los cálculos del valor presente en la vida práctica las tasas de interés varían período a período lo quenos indica que la fórmula básica F = P(1 + i )n no es aplicable. Para este nuevo caso la fórmula matemática es:

Dónde:

F = valor futuroi1 = tasa de interés del primer período


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i2 = tasa de interés del segundo períodoi3 = tasa de interés del tercer períodoin = Tasa de interés del período n

EJEMPLO. Un padre de familia necesita tener disponibles $ 2.000.000 dentro de 6 meses. Calcular el valordel depósito inicial si se esperan las siguientes tasas de interés para los próximos 6 meses.

Datos:

Valor futuro F = $ 2.000.000Periodos de tiempo n = 6 meses

Tasa de interés variable 0.50% 0.60% 0.70% 0.80% 0.90% 1.00%

Solución:

Mes Mes1 Mes2 Mes3 Mes4 Mes5 Mes6Tasa 0.50% 0.60% 0.70% 0.80% 0.90% 1.00%

)1)...(1)(1)(1( 321 niiiiFP

=

)01.01)(009.01)(008.01)(007.01)(006.01)(005.01(000.000.2

=

P = $ 1.912.332.52

El valor del depósito inicial es de $ 1.912.332.52

TALLER 10: INTERÉS COMPUESTOF=P(1+i)n

1. Hallar el valor futuro (F) para un capital de $10.000.000 sometido si tasa de interés mensual es el 10%; enun tiempo (n) de 8 meses

2. Hallar el valor presente (P), cuando el valor futuro (F) es de $ 30.000.000, en un período de tiempo (n) de15 meses; cuando la tasa de interés (i) toma el valor del 3.0% mensual

3. Hallar la tasa de interés compuesta (i) para un capital (P) de $15.000.000 cando su valor equivalente (F) esde $ 63.000.000 para el período de tiempo de 46 meses

4. Calcular el período de tiempo (n) para un capital de $ 14.000.000 cuando su valor equivalente (F) es de$120.000.000, cuando la tasa de interés compuesta toma el valor del 2.5.0% mensual

5. Hallar el valor futuro (F) que produce un capital (P) de $12.550.000 sometido a una tasa de interéscompuesta del 6% mensual en el tiempo (n) 10 años.


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6. Hallar el valor futuro (F) para un capital de $18.000.000 si la tasa de interés mensual es del 9%; en unintervalo de tiempo (n) de 48 meses

7. Encontrar el valor del capital que sometido a una tasa de interés (i) del 36% anual produce una cantidad dedinero (F) de $28.600.000 en un tiempo de 26 meses.

8. Hallar el valor presente (P), si se desea obtener un valor futuro (F) $ 38.600.000, en un período de tiempo(n) de 20 meses; si la tasa de interés (i) es del 2.0% mensual

9. Hallar el valor de la tasa de interés mensual (i) para un capital (P) de $17.000.000 que ha producido unnuevo capital equivalente (F) de $ 34.250.000 para un tiempo de 30 meses.

Calcular el período de tiempo (n) para un capital (P) de $ 18.000.000; que después de un tiempo el capital10.equivalente (F) es $ 34.600.000, cuando la tasa de interés compuesta toma el valor del 48% anual.


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4. TASAS DE INTERES

La tasa de interés es el precio del dinero tanto para el que lo necesita porque paga un precio por tenerlo, comopara el que lo tiene porque cobra un precio por prestárselo al que lo requiere. El dinero es una mercancía quetiene un precio y, como tal, su valor lo fija el mercado como resultado de la interacción entre la oferta y lademanda. La tasa de interés está presente cuando se abre una cuenta de ahorros, se utiliza una tarjeta decrédito, o se hace un préstamo de dinero. Su nivel debe ser la preocupación diaria de cualquier persona oempresa, porque mide el rendimiento como el costo del dinero. El nivel de las tasas de interés está afectadopor diversas variables, a saber: la inflación, la devaluación, la oferta y la demanda y el riesgoempresarial. Estas variables, en conjunto, o individualmente, determinan en un momento determinado elcosto del dinero.

TASA DE INTERES NOMINAL

Es una tasa de referencia que existe solo de nombre porque no nos determina la verdadera tasa de interésque se nos cobra en una operación financiera. La tasa nominal se representa por ( j ); el número de veces operiodos que el interés se convierte en capital se denomina capitalización y se simboliza con (m)

EJEMPLO. Tasa de interés nominal.

INTERES NOMINAL LECTURA CAPITALIZACION1 J =15% NM Se lee 15% nominal mensual Donde el interés se convierte 12 veces en capital (m=12)2 J =18% NM Se lee 18% nominal mensual Donde el interés se convierte 12 veces en capital (m=12)3 J =24% NM Se lee 24% nominal mensual Donde el interés se convierte 12 veces en capital (m=12)4 J =30% NM Se lee 30% nominal mensual Donde el interés se convierte 12 veces en capital (m=12)5 J =36% NM Se lee 36% nominal mensual Donde el interés se convierte 12 veces en capital (m=12)6 J =24% NT Se lee 34% nominal trimestral Donde el interés se convierte 4 veces en capital (m=4)7 J =24% NB Se lee 24% nominal bimestral Donde el interés se convierte 6 veces en capital (m=6)8 J =30% ND Se lee 30% nominal diaria Donde el interés se convierte 360 veces en capital (m=360)9 J =12% NS Se lee 12% nominal semestral Donde el interés se convierte 2 veces en capital (m=2)


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TASA DE INTERES PERIODICA

Es aquella tasa que en realidad se aplica a un capital en un periodo de tiempo que puede ser: un día, unasemana, un mes, un bimestre, un trimestre, un semestre, un año.

EJEMPLO. Tasa de interés periódica efectiva

TASA NOMINALMENSUAL LECTURA TASA PERIODICA EFECTIVA

MENSUAL1 J =15% NM La tasa efectiva mensual correspondiente será i = J/m = 15%/12 = 1.25%2 J =18% NM La tasa efectiva mensual correspondiente será i = J/m = 18%/12 = 1.50%3 J =24% NM La tasa efectiva mensual correspondiente será i = J/m = 24%/12 = 2.00%4 J =30% NM La tasa efectiva mensual correspondiente será i = J/m = 30%/12 = 2.50%5 J =36% NM La tasa efectiva mensual correspondiente será i = J/m = 36%/12 = 3.00%

TALLER 11:

Hallar la tasa efectiva periódica ( i ) para:

TASA NOMINAL LECTURA TASA PERIODICA EFECTIVA1 J =12% NS2 J =24% NT3 J =24% NB4 J =30% ND

TASA EFECTIVA

La tasa nominal es la tasa que se pacta, mientras que la tasa efectiva es la que se paga. Esta tasa mide elcosto efectivo de un crédito o la rentabilidad efectiva de una inversión, y resulta de capitalizar o reinvertir losintereses que se producen cada periodo. Cuando se habla de tasa efectiva se involucra el concepto de interéscompuesto, ya que resulta de la reinversión periódica de los intereses.

La tasa de interés nominal está relacionada con un interés simple, mientras que la tasa de interés efectivaestá relacionada con un interés compuesto.

EJEMPLO. Juan José deposita $10.000.000 en una entidad financiera el día de hoy que reconoce una tasade interés del 1,5% mensual. Juan José desea saber cuánto dinero se tendrá acumulado después de untiempo de 12 meses, bajo dos aspectos:

a) interés simple,b) interés compuesto.


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SOLUCION

a) EN INTERÉS SIMPLE: Cuando se habla de interés simple produce un interés nominal iN. Se debe utilizar lasiguiente expresión:

Dónde:

F = Valor futuroP = Valor presente

Dónde:

i. = Tasa de interés efectivan. = Periodos de tiempo

Datos:

Valor presente P = $10.000.000Tasa de interés mensual i = 1,5% = 0,015, tasa periódicaTiempo de capitalización n = 12 mesesValor futuro F= ?

Solución

El valor futuro será:

F = P + P.i.n. o también F = P(1 + in)

Reemplazando los valores se obtiene

F = 10.000.000(1 + 0,015*12)F = 10.000.000(1,18) = 11.800.000F = $ 11.800.000

Al final de los 12 meses Juan José recibe $ 11.800.000; pero él desea saber cuál fue el rendimiento anual(tasa anual nominal), para lo cual se puede calcular de la siguiente forma:

iN = FP − 1

iN = FP − 1

iN = ( + ) − 1


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iN = 11.800.00010.000.000 − 1 = 1,18 -1 = 0,18

iN = 18%, tasa anual nominal

iN = . = . ∗ = . = 18%

La tasa nominal se simboliza por ( J ), en donde sus componentes son tasa periódica ( i ) y el número deperiodos (m); que se puede escribir de la siguiente manera

J = Tasa periódica (i). Número de periodos (m)

b) PARA INTERÉS COMPUESTO. Cuando se habla de interés compuesto se obtiene un interés efectivo y sepuede hacer sus cálculos con la siguiente expresión:

Dónde:

F = Valor futuroP = Valor presente

Dónde:


Datos:

Valor presente P = $10.000.000Tasa de interés mensual i = 1,5% = 0,015, tasa periódicaTiempo de capitalización n = 12 mesesValor futuro F= ?

Solución:

Aplicamos la fórmula:

F = P(1+ i)n

F = 10.000.000(1+ 0,015)12

F = 10.000.000(1,015)12

ie = FP − 1

ie = (1+ i)n − 1


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F = 10.000.000(1,195618171)F = $11.956.181.71

Al final de los 12 meses Juan José recibirá $ 11.956.181,71; pero si él desea saber cuál fue el rendimientoefectivo anual, debe calcular de la siguiente forma:

ie = ( 1+ i )n − , o también

ie = FP − 1

ie = 11.956.181.7110.000.000 − 1 = 1,1956 -1 = 0,1956

ie = 19,56%, tasa efectiva anual (TEA)TEA = 19,56%, tasa efectiva anual

ECUACION DE LA TASA EFECTIVA.

Esta ecuación permite calcular las equivalencias entre tasas de interés periódicas; en esta ecuación nointeractúan ni valor presente ni futuro únicamente la tasa periódica (i) y los periodos de capitalización (n) quees un tiempo, veamos para el caso anterior:

Dónde:


EJEMPLO: Juan José deposita $10.000.000 en una entidad financiera el día de hoy que reconoce una tasade interés del 1,5% mensual. Juan José desea saber cuánto dinero se tendrá acumulado después de untiempo de 12 meses, bajo dos aspectos:

TE = ( 1+ i )n − 1 = ( 1+ 0,015 )12 − 1TE = 1,195618171 − 1 = 0,195618171TE = 0,195618171 = 19,56%TE = 19, 56%, tasa efectiva anual

Los valores de la tasa efectiva anual encontrados mediante dos procedimientos son iguales.

La ecuación de la tasa efectiva permite encontrar tasas efectivas de acuerdo a diferentes periodos decapitalización, pueden ser las siguientes:

A. TEA = Tasa efectiva anual

TE = ( 1+ i )n −


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B. TES = Tasa efectiva semestralC. TET = Tasa efectiva trimestralD. TEB = Tasa efectiva bimensualE. TEM = Tasa efectiva mensualF. TED = Tasa efectiva diaria

EJEMPLO. El señor Juan José, presta $10.000.000 a una tasa de interés del 18% Nominal mensual. Calcular.

a) El valor futuro que recibe al final del primer trimestre,b) Intereses del primer trimestrec) Tasa de interés efectivo trimestral

Datos:

Valor presente P = $10.000.000Tasa de interés i = 18% nominal mensual

SOLUCION

i =18%12 = 1,5% = 0,015

a) Valor futuro

F = P( 1+ i )n = 10.000.000( 1+ 0,015 )3

F = 10.000.000( 1,045678375)F = $10.456.783,75

b) Intereses del primer trimestre= − = 10.456.783,75=10.000.000= 457.783,75= $ 457.783,75

c) Tasa de interés efectivo trimestral

ie = FP − 1 = 10.456.783,7510.000.000 − 1 = 1,045678375 − 1 = 0,045678 = 4,57%

ie = 4,57%El mismo resultado se puede hallar utilizando la ecuación de la tasa efectiva: Tasa efectiva periódica = i

Las veces que se capitaliza la tasa efectiva periódica n = 3 (trimestre); reemplazando se tiene:

TE = ( 1+ i )n − = ( 1+0,015 )3 − 1 = (1,045678375) − 1 = 0,045678375 = 4,5678%TE = 4,57%


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Los dos valores son equivalentes o iguales.

TALLER 12.

Ahora don Juan José, dese saber si presta $10.000.000 a una tasa de interés del 18% Nominal mensual; lastasas efectivas para los siguientes casos:

A. TES = Tasa efectiva semestralB. TET = Tasa efectiva trimestralC. TEB = Tasa efectiva bimensualD. TEM = Tasa efectiva mensualE. TED = Tasa efectiva diaria

Utilizando los dos procedimientos desarrollados anteriormente para hacer sus respectivas comprobaciones.

TASAS EQUIVALENTES

Dos tasas son equivalentes cuando las dos, obrando en condiciones diferentes producen la misma tasaefectiva anual o el mismo valor futuro. El concepto de operaciones en condiciones diferentes hace referencia aque ambas capitalizan en períodos diferentes, o que una de ellas es vencida y la otra anticipada: en elsistema financiero actual se encuentran diferentes casos de tasas equivalentes:

A. De tasa efectiva a tasa efectivaB. De tasa nominal a tasa efectivaC. De tasa efectiva a tasa nominalD. De tasa nominal a tasa nominal

1. DE TASA EFECTIVA A TASA EFECTIVA

En este caso se pueden presentar dos alternativas: tasa efectiva de menor a una tasa efectiva mayor o tasaefectiva mayor a tasa efectiva menor y se puede calcular mediante:

Dónde:

n1. = Números de periodos de la nueva capitalizaciónn2 = Números de periodos de capitalizaciones inicialesi2 = Tasa efectiva inicial (conocida)i1. = ? Nueva tasa efectiva (desconocida)

EJEMPLO. Hallar la tasa efectiva mensual (TEM) para una tasa del 15% efectiva anual (TEA)


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Datos:

n1 = 12 nuevas capitalizaciones en un añon2 = 1 capitalización dada en un añoTEA =i2 = 15% = 0.15i1= ? nueva tasa efectiva

Solución:

Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:

TEM = 1TEA1121

= 115.01121

= 1.011714917 – 1 = 0.011714917 = 1.17% efectivo mensual

EJEMPLO. Se tiene una tasa del 2.5% efectivo mensual (TEM) y desea convertir en una nueva tasa efectivaanual (TEA)

Datos:

n1 = 1 nuevo número de capitalizaciones en un añon2 = 12 número de capitalizaciones dadas por añoTEM = i2 = 2,5% = 0.025i1. =? nueva tasa efectiva

Solución:

Reemplazando y haciendo operaciones en, se tiene:

1i1i1n2n

21

1TEM1i=TEA1n2n

1 1025.01i=TEA 12

1

1025.1i=TEA 121

1-1.3449i=TEA 1 anualefectivo49%34.=0.3449=i=TEA 1

TALLER 13.

1. Hallar la tasa efectiva mensual para los siguientes casos:

A. Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 20% (TEA)B. Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 22% (TEA)C. Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 24% (TEA)


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D. Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 36% (TEA)

2. Se tiene una tasa efectiva anual 42% (TEA) y se desea convertir a las siguientes tasas: (escriba el nombrede cada tasa encontrada); teniendo en cuenta que:

n1 = Nuevo número de capitalizaciones en un añon2 = Número de capitalizaciones dadas por añoTEA = Tasa de interés efectiva conocidai1. = Tasa de interés efectiva desconocida

TEA = 1TEA11

2

n

n

=

TES = 1TEA11

2

n

n

=

TET = 1TEA11

2

n

n

=

TEB = 1TEA11

2

n

n

=

TEM = 1TEA11

2

n

n

=

TED = 1TEA11

2

n

n

=

3. Se tiene una tasa del 2.5% efectivo mensual (TEM), convertir en tasa efectiva: anual, semestral, trimestral,bimestral y mensual

TEA = 1TEM11

2

n

n

=

TES = 1TEM11

2

n

n

=

TET = 1TEM11

2

n

n

=

TEB = 1TEM11

2

n

n

=

TEM = 1TEM11

2

n

n

=

2. DE TASA NOMINAL A TASA EFECTIVA

Conocida la tasa nominal del crédito se necesita conocer la tasa efectiva periódica equivalente. Esta situaciónse presenta con frecuencia en el sector financiero, debido a que las entidades financieras suelen expresar, porlo general, las tasas de interés de colocación en forma nominal y el deudor necesita conocer tanto la tasaefectiva periódica (que es la tasa que determina el valor de los intereses) como la tasa efectiva anual delcrédito.


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Dónde:

n1. = Número de periodos de la nueva capitalizaciónm = Números de periodos de capitalizaciones inicialesj. = Tasa nominal (conocida)i. = ?Nueva tasa efectiva (desconocida)

EJEMPLO. Se tiene una tasa nominal mensual del 36% (NM) y se desea convertir a una tasa efectiva anual(TEA)

Datos:

n1. = 1 número de periodos de la nueva capitalizaciónm = 12 número de capitalizaciones dadas en un añoj = 36%NM = 0.36

Solución:


TEA = 1mJ1 1n

m

= 1

1236.01

112

TEA = 0.4258 = 42.58 efectivo anual

EJEMPLO. Se tiene una tasa nominal mensual de 36% (NM) y se desea convertir en una tasa efectivabimensual (TEB)

Datos:

n1. = 6 números de periodos de la nueva capitalizaciónm = 12 número de capitalizaciones dadas en un añoj = 36%NM = 0.36

Solución:


TEB = 1mJ1 1n

m

= 1

1236.01

612

= 0.0609 = 6.09% efectivo bimensual


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EJEMPLO. Se tiene una tasa nominal trimestral del 24% (NT) y se desea convertir a una tasa efectivamensual (TEM)

Datos:

n1. = 12 números de periodos de la nueva capitalizaciónm = 4 número de capitalizaciones dadas en un añoj = 24%NM = 0.24

Solución:


TEM. = 1mJ1 1n

m

= 1

424.01

124

= 106.1

124

= 0.01961 = 1.96% efectiva trimestral

TALLER 14

1. Se tiene una tasa nominal mensual del 36% (NM) y se desea convertir en las siguientes tasas: (escriba elnombre de cada tasa encontrada)

TEA = 1mJ1 1n

m

=

TES = 1mJ1 1n

m

=

TET = 1mJ1 1n

m

=

TEB = 1mJ1 1n

m

=

TEM = 1mJ1 1n

m

=

2. Se tiene una tasa nominal semestral del 18% (NS) y se desea convertir a una tasa efectiva mensual (TEM)

TEM = 1mJ1 1n

m

=

3. Se tiene una tasa nominal bimestral del 8% (NS) y se desea convertir a una tasa efectiva mensual (TEM)


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TEM = 1mJ1 1n

m

=

5. Se tiene una tasa nominal anual del 30% (NA) y se desea convertir en las siguientes tasas (escriba elnombre de cada tasa encontrada):

TEA = 1mJ1 1n

m

=

TES = 1mJ1 1n

m

=

TET = 1mJ1 1n

m

=

TEB = 1mJ1 1n

m

=

TEM = 1mJ1 1n

m

=

3. DE TASA EFECTIVA A TASA NOMINAL

Conocida una tasa efectiva se puede calcular una tasa nominal equivalente. Para este caso se utiliza lasiguiente expresión.

Dónde:

n. = Número de capitalizaciones dadasm = Número de capitalizaciones nuevas en un añoi = Tasa efectiva periódica (conocida)J = ?Tasa nominal a buscar (desconocida)

EJEMPLO. Se tiene una tasa efectiva mensual del 2.5% y se desea convertir en una tasa nominal trimestral(TNT)

Datos:

n. = 12 números de capitalizaciones dadas en un año


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m = 4 números de capitalizaciones nuevas en un añoj = ? tasa nominali = 2.5% tasa efectiva periódica = 0.025

Solución:


TNT. =

1i1m m

n=

1025.014 4

12

= 1025.14 3 = 4(0.07689) = 0.3076 = 30.76% nominal

trimestral.

TALLER 15.

1. Se tiene una tasa efectiva mensual del 1.8% y se desea convertir a las siguientes:

Tasa nominal semestral (TNS)

TNS. =

1i1m m

n=

Tasa nominal trimestral (TNT)

TNT. =

1i1m m

n=

Tasa nominal bimestral (TNB)

TNB. =

1i1m m

n=

Tasa nominal anual (TNA)

TNA. =

1i1m m

n=

2. Se tiene una tasa efectiva mensual del 2.5% y se desea convertir a las siguientes:

Tasa nominal semestral (TNS),

TNS =

1i1m m

n=

Tasa nominal trimestral (TNT)

TNT =

1i1m m

n=

Tasa nominal bimestral (TNB)


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TNB =

1i1m m

n=

Tasa nominal anual (TNA).

TNA =

1i1m m

n=

3. Una entidad financiera ofrece pagar por los ahorros una tasa de interés del 22% capitalizablemensualmente, y otra ofrece pagar el 23% capitalizable semestralmente. Qué opción se debe elegir?

4. *A partir de una tasa nominal del 36% (TNA) calcular la:A. Tasa efectiva mensualB. Tasa efectiva bimestralC. Tasa efectiva trimestralD. Tasa efectiva semestralE. Tasa efectiva anual

5. *Se desea elegir entre estas dos opciones para aceptar un crédito bancario: 30%MV o 30% TV; realizar suproceso correspondiente.

4. DE TASA NOMINAL A TASA NOMINAL

Muchas veces se necesita, por razones de liquidez u otra circunstancia, cambiar el período de capitalizaciónde la tasa de interés nominal con que se pactó una operación financiera. Este caso conduce a calcular unatasa nominal conocida otra nominal mediante la siguiente expresión:

Dónde:

J1 = tasa nominal a buscarm1. = nuevos periodos de capitalizaciónJ2 = tasa nominal dadam2. = periodos de capitalización dados

EJEMPLO. Una entidad financiera aprueba a Don Pepe un crédito a una tasa del 36% con capitalizaciónmensual (36%TNM), quien solicita quiere que le conviertan esa tasa en una nueva tasa nominal perocapitalizable trimestralmente. Hallar esta nueva tasa equivalente.


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Datos:

J1 = ? tasa nominal a buscarm1. = 4 nuevos periodos de capitalización en el añoJ2 = 36% tasa nominal dada = 0.36m2. = 12 periodos de capitalización dados

Solución:

Reemplazando en la expresión correspondiente se tiene:

1

mJ1mJ

1

2

mm

2

211

1

1236.014J

412

1 =4 103.01 3 =4 1092727.1 =

= 4(0.092727)=0.3709=37.09% tasa nominal capitalizable trimestralmente J1 = 37.09% TNT

TALLER 16.

1. Dada una tasa nominal del 30%TNV calcular una tasa nominal TMV

2. Se tiene una tasa del 30% con capitalización mensual (36%TNM), se quiere convertir en una nueva tasanominal capitalizable:

A. BimestralB. TrimestralmenteC. SemestralD. Anual

EQUIVALENCIAS ENTRE TASAS ANTICIPADAS Y VENCIDAS

Cuando se cobra la tasa de interés en forma anticipada, primero se cobran los intereses y luego se permiteutilizar el dinero, lo que en realidad significa que se presta una cantidad menor, y esto se traduce en un mayorcosto del crédito. Las tasas anticipadas pueden ser Nominales o periódicas efectivas. Las tasas nominalesson las que se capitalizan más de una vez en el año.

1. CONVERSIÓN DE TASA PERIODICA ANTICIPADA A TASA VENCIDA

Consiste en diseñar una expresión que permita calcular la tasa periódica vencida equivalente a una tasaperiódica anticipada. La ecuación que permite realizar esta operación es la siguiente:


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Dónde:

iv = tasa efectiva periódica vencidaia = tasa efectiva periódica anticipada

EJEMPLO. Le ofrecen un préstamo de $ 100.000 que debe pagar después de un mes pero le cobranintereses del 5% mensual, pagaderos en forma anticipada. Como usted necesita la totalidad de los $100.000,le solicita a quien le presta el dinero que le cobre intereses mensuales vencidos, pues si son anticipados sólorecibirá $ 95.000. Se necesita conocer la tasa mensual vencida equivalente a una tasa del 5% mensualanticipado.

Datos:

ia. = 0.05

Solución:

%26.5)05.01(05.0

)i1(i

vi a

a

iv = 5.26% mensual

Al hacer la operación con esta tasa del 5.26% mensual, usted recibirá los $ 100.000 y al finalizar el mesentregaría $ 105.260, valor que se descompone en $ 100.000 de capital más $ 5.260 de interés(100.000*0.0526)

2. CONVERSIÓN DE TASA PERIODICA VENCIDA A TASA ANTICIPADA

Ahora estamos ante una situación contraria a la analizada anteriormente. Al conocerse una tasa periódicavencida se necesita calcular la tasa periódica anticipada equivalente.

Dónde:

iv = tasa efectiva periódica vencidaia = tasa efectiva periódica anticipada


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Algunos autores simbolizan la tasa periódica vencida como: iv = i

EJEMPLO. Si usted le va a prestar a un cliente una determinada cantidad de dinero al 2% mensual y le exigeel pago de intereses anticipados. Calcular esa tasa de interés.

Datos:

iv = 0.02

Solución:

%96.1019607843.0)02.01(02.0

)i1(i

ai v

v

ia = 1.96% anticipados

3. CONVERSIÓN DE TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA EFECTIVA VENCIDA

Dónde:

m. = número de capitalizaciones dadas en un añon. = número de capitalizaciones nuevas en un añoJ = tasa nominal dadaiv = ? tasa efectiva vencida

EJEMPLO. Se tiene una tasa del 30% (TNMA) y se desea pasar a una tasa efectiva anual vencida (TEAV).

Datos:

m. = 12 número de capitalizaciones dadas en un añon = 1 número de capitalizaciones nuevas en un añoj = 30% TNMA = 0.30TEAV = ?

Solución:



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1Jm

mTEAVnm

=

1

30.01212 1

12

=

1

70.1112 12 = 1025641020.1 12

TEAV = 0.3550 = 35.50%,TEAV = 35.50% tasa efectiva anual vencida

EJEMPLO. Se tiene una tasa del 32% TNTA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV).

Datos:

m. = 4 número de capitalizaciones dadas en un añon = 12 número de capitalizaciones nuevas en un añoj = 32% TNTA = 0.32

Solución:


1Jm

mTEMVnm

=

132.04

4 124

=

1

68.34 12

4

=

1086956522.1 12

4

=0.02818=2.82%,

TEMV = 2.82% tasa efectiva mensual vencida

TALLER 17.

1. Se tiene una tasa del 36% TNMA y se desea pasar a una tasa efectiva semestral vencida (TESV).2. Se tiene una tasa del 48% TNMA y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral vencida (TETV).3. Se tiene una tasa del 18% TNMA y se desea pasar a una tasa efectiva bimestral vencida (TEBV).4. Se tiene una tasa del 12% TNSA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV).5. Se tiene una tasa del 15% TNBA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV).6. Se tiene una tasa del 12% TNTA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV).

4. CONVERSIÓN DE TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA NOMINAL VENCIDA

Dónde:

m1. = número de capitalizaciones dadas en un añom2 = número de capitalizaciones nuevas en un año


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j1 = tasa nominal dadaj2. = ? tasa nominal a buscar

EJEMPLO. Se tiene una tasa del 24% NBA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral vencida (TNTV).

Datos:

m1. = 6 números de capitalizaciones dadas en un añom2 = 4 números de capitalizaciones nuevas en un añoj1 = 24% TNTA = 0.24j2. = ?

Solución:


1Jm

mmJ1

2

mm

12

122 =4

124.06

6 46

=

1

76.564

46

=4

1041666667.1 4

6

=0.2525

J2 = 25.26%, TNTV = 25.26% tasa nominal trimestral vencida

TALLER 18

1. Se tiene una tasa del 12% NBA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral vencida (TNTV).2. Se tiene una tasa del 18% NTA y se desea pasar a una tasa nominal semestral vencida (TNSV).3. Se tiene una tasa del 20% NBA y se desea pasar a una tasa nominal semestral vencida (TNSV).

5. CONVERSIÓN DE TASA EFECTIVA VENCIDA A TASA EFECTIVA ANTICIPADA

Dónde:

n1. = número de capitalizaciones dadas en un añon2 = número de capitalizaciones nuevas en un añoiv= tasa efectiva vencida dadaia. = ? tasa anticipada a buscar


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EJEMPLO. Se tiene una tasa del 35% TEAV y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral anticipada(TETA).

Datos:

n1. = 1 número de capitalizaciones dadas en un añon2 = 4 número de capitalizaciones nuevas en un añoTEAV = iv = 35% = 0.35ia. = ?

Solución:


7.23%=0.07228)35.1(

11)35.01(

11

)TEAV1(

11TETA41

41

nn

2

1

TETA = 7.23%TETA = ia.= 7.23% tasa efectiva trimestral anticipada

TALLER 19.

1. Se tiene una tasa del 20% TETV y se desea pasar a una tasa efectiva bimestral anticipada (TEBA).2. Se tiene una tasa del 12% TESV y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral anticipada (TETA).3. Se tiene una tasa del 18% TEAV y se desea pasar a una tasa efectiva semestral anticipada (TESA).

6. CONVERSIÓN TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA NOMINAL ANTICIPADA

Dónde:

m1. = número de capitalizaciones dadas en un añom2 = número de capitalizaciones nuevas en un año)j1 = tasa nominal mes anticipadaj2= ? tasa nominal anticipada a buscar

EJEMPLO. Se tiene una tasa del 24% TNMA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral anticipada(TNTA).


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Datos:

m1. = 12 números de capitalizaciones dadas en un añom2 = 4 números de capitalizaciones nuevas en un añoTNMA =j1 = 24% = 0.24TNTA = j2= ?

Solución:


2

1

mm

1

112 m

Jm1mTNTA =

412

1224.01214 =

412

1276.1114 = 941192.014 = 058808.04

=02352=23.52%TNTA = 23.52% nominal trimestral anticipada

TALLER 20.

1. Se tiene una tasa del 12% TNSA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral anticipada (TNTA).2. Se tiene una tasa del 18% TNTA y se desea pasar a una tasa nominal bimestre anticipada (TNBA).3. Se tiene una tasa del 28% TNSA y se desea pasar a una tasa nominal mensual anticipada (TNMA).

TALLER 21: FINAL

1. Hallar la tasa trimestral anticipada equivalente a:A. Al 26% efectiva vencida anualB. Al 35% efectiva anticipada añoC. Al 34% nominal trimestre vencidaD. Al 4% anticipada de bimestreE. Al 31% efectivo vencido anual

2. Hallar la tasa efectiva mensual equivalente a:A. Al 15% efectiva semestralB. Al 20% nominal bimestralC. Al 24% nominal trimestral anticipadaD. Al 25% anticipada año

DESCUENTO POR PRONTO PAGO

Los proveedores se constituyen en una importante fuente de financiamiento de corto plazo para cualquierempresa. Evidentemente, el crédito es un factor de demanda de un producto. Aunque lo ideal para lasempresas comerciales y manufactureras sería vender los productos al contado, ya se ha constituido en unapráctica comercial no exigirles a los compradores que paguen por las mercancías al momento de su entrega,sino que se les conceden un corto período de aplazamiento para hacerlo.


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Los proveedores plantean los descuentos por pronto pago de sus productos indicando los descuentos pormedio de fracciones, cuyo numerador señala el porcentaje de descuento y denominador se refiere al tiempodentro del cual el comprador tiene la opción de pagar, para tener derecho al descuento señalado en elnumerador.

EJEMPLO. Un proveedor factura una mercancía por valor de $ 500.000 con el siguiente plan de descuentopor pronto pago: 4/10 neto 30. Calcular el costo para el comprador si se acoge o no al descuento por prontopago.

La expresión 4/10 neto 30 significa que si el comprador paga la mercancía dentro de los primeros 10 díastendrá derecho a un descuento del 4%, de lo contrario pagará a los 30 días el valor neto de la factura.

Descuento = i*500.00 = 0.04*500.000 = $ 20.000Costo a pagar dentro de los 10 primeros días = 500.000 – 20.000 = $ 480.000Si no se acoge al descuento pagará a los 30 días el valor neto de la factura $ 500.000


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5. ANUALIDADES O SERIES

Una anualidad es un conjunto de pagos iguales (constantes) hechos a intervalos de tiempo. El términoanualidad parece significar que los pagos se hacen anualmente. En el sentido estricto de la expresión, esto nonecesariamente es así. En matemáticas financieras, anualidad significa pagos hechos a intervalos iguales detiempo, que pueden ser anuales, trimestrales, mensuales, quincenales, diarios, etc. El estudio de lasanualidades es de mucha importancia en finanzas, entre otras razones, porque es el sistema de amortizaciónmás común en los créditos comerciales, bancarios y de vivienda. Este sistema de pagos permite que elfinanciador, cada vez que recibe el pago de la cuota, recupere parte del capital prestado.

Las clases de anualidades más comunes son las siguientes:

Anualidades vencidas Anualidades anticipadas Anualidades diferidas Anualidades perpetuas Anualidad con interés global

1. ANUALIDADES VENCIDAS

Son aquellas cuotas en donde los pagos se hacen al final del período: así, por EJEMPLO, el salario mensualde un empleado, las cuotas mensuales iguales y vencidas en la compra de vehículos y electrodomésticos, soncasos de anualidades vencidas.

VALOR DE LA CUOTA VENCIDA EN FUNCION DEL VALOR PRESENTE

Para hallar el valor de una anualidad o cuota (A) se utiliza la siguiente fórmula:


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Dónde:

Valor presente = PValor de la primera cuota = ATasa de interés efectiva = iNumero de cuotas por periodo = n

EJEMPLO. Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% y 12cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas y el valor totalpagado.

Datos:

Valor del lote = $20.000.000Cuota inicial 10% del valor del loteValor presente P = $18.000.000Numero de cuotas mensuales n = 12Tasa de interés efectiva i = 2%

Solución:

Valor a financiar = $ 20.000.000 - $ 2.000.000 = $ 18.000.000

1)1(

)1(P=A n

n

iii =

1)02.01(

)02.0.1(02.018.000.000 12

12

= $ 1.702.072.74

A = $ 1.702.072.74 valor de la cuota mensual.

Total a pagar = (A)*(12)+2.000.000 =(1.702.072.74)*(12)+2.000.000=20.424.872.88+2.000.000=$22.424.872.88

Total a pagar = $ 22.424.872.88

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD O CUOTA VENCIDA

El valor presente de una anualidad vencida es equivalente a una serie de pagos iguales y periódicos. Desde elpunto de vista matemático, es la suma de los valores presentes de todos los pagos. Para hallar el valorpresente de una anualidad vencida se utiliza la siguiente expresión:


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Dónde:

Valor presente = PValor de la primera cuota = ATasa de interés efectiva = iNúmero de cuotas por periodo = n

EJEMPLO. Se compró un vehículo con una cuota inicial de $1.000.000 y 60 cuotas mensuales iguales$500.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehículo.

Datos:

Cuota inicial $ 1.000.000Número total de cuotas mensuales n = 60Valor de cuota mensual A = $500.000Tasa efectiva de interés i = 2.5%

Solución:

n

n

iiiA

)1(1)1=P =

60

60

)025.01(025.01)025.01000.500 =

)399789748.4(025.0

399789748.3000.500 =

P = $ 15.454.328.24Valor del vehículo = $15.454.328.24 + $ 1.000.000 = $ 16.454.328.24

VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD O CUOTA VENCIDA

Es valor ubicado en la fecha del último pago, equivalente a toda la serie de pagos iguales y periódicos. Enforma matemática, es el valor final que resulta de sumar todos los valores llevados al futuro. Su fórmula paraeste caso es:

Dónde:

Valor futuro = FValor de la primera cuota = A


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Tasa de interés efectiva = iNúmero de cuotas por periodo = n

EJEMPLO. Catalina deposita $ 400.000 cada fin de mes, durante 2 años, en una entidad financiera que pagauna tasa de interés del 4% mensual. Cuánto dinero tendrá acumulado al final de este tiempo?.

Datos:

Cuota mensual $400.000Numero de cuotas mensuales n = 24Tasa efectiva de interés i = 4%

Solución:

ii n 1)1(A=F =

04.0

1)04.01(400.00024

= ,6515.633.041$=04.0

)563304165.1(400.000

F = $ 15.633041.65Al final de los dos años Catalina tendrá acumulada $ 15.633.041,65.

VALOR DE LA CUOTA VENCIDA EN FUNCIÓN DEL VALOR FUTURO

Conocidos el valor futuro equivalente de una serie de pagos iguales (F), la tasa de interés efectivo periódico (i)y el número de pagos (n), se desea calcular el valor de la cuota igual y periódica. Su fórmula es la siguiente:

Dónde:

Valor futuro = FValor de la primera cuota = ATasa de interés efectiva = iNúmero de cuotas por periodo = n

EJEMPLO. Dayana desea saber, cuánto debe depositar al final de cada mes, durante dos años, en unaentidad financiera que reconoce una tasa de interés del 10% mensual para reunir la suma de $17.000.000?

Datos:

Valor futuro F = $17.000.000Tasa efectiva de interés mensual i = 10%Numero cuotas mensuales n = 24


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Solución:

)849732676.8(

1.0000.000.171)1.01(

1.0000.000.171)1( 24ni

iFA

A= $192.096.20Dayana debe depositar al final de cada mes $192.096.20

NUMERO DE PAGOS O DE UNA ANUALIDAD VENCIDA EN FUNCION DEL (F)

Es el número de cuotas necesarias para amortizar una obligación. Para las anualidades vencidas, el tiempo dela operación, medido en número de períodos, algunas veces coincide con el número de pagos, lo cual nosiempre se cumple. El número de cuotas o tiempo de negociación la podemos calcular a partir de la fórmulade valor presente o de la fórmula del valor futuro, dependiendo de qué valor de ellos se conocen en laoperación. La fórmula es la siguiente:

Dónde:


EJEMPLO. Cuántos depósitos mensuales vencidos de $560.000 se deben hacer en una institución financieraque paga el 12% mensual, para tener un valor acumulado de $ 15.000.000

Datos

Cuota mensual A = $560.000Valor futuro F = $15.000.000Tasa efectiva de interés n = 12%

Solución

)1()(=n. *

iLogLogAAiFLog

=

)12.01()000.560()000.56012.0000.000.15( *

LogLogLog =

)12.1()000.560()000.360.2(

LogLogLog

=049218022.0

748188027.5372912003.6 = 612.6929921=049218022.0624723975.0

n. = 12.69299216 = 13 pagos mensuales.


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NUMERO DE PAGOS O DE UNA ANUALIDAD VENCIDA EN FUNCION DE (P)

Teniendo en cuenta el conocimiento del valor presente (P), las cuotas o anualidades (A) y la tasa de interés,además de un modelo matemático tal como:

n

n

iii

)1(1)1A=P

A partir de esta expresión utilizando las propiedades de los logaritmos se puede calcular una nueva expresiónfórmula matemática que permita calcular el número de cuotas, que es la siguiente:

Dónde:

Valor presente =PValor de la primera cuota = ATasa de interés efectiva = iNúmero de cuotas por periodo = n

EJEMPLO. A Juan José el día de hoy le hacen un préstamo de $90.000.000 y se compromete a pagar cuotasde $5.000.000 mensuales; la entidad financiera reconoce una tasa de interés de 1.5% mensual. Se deseaconocer el número de cuotas

Datos

P = $90.000.000A = $5.000.000i.= 1.5% mensual

Solución

)1(LogP)i-A(LogA)(Logn *

i )015.01(Log)90.000.0000.015-000.000.5(Log)000.000.5(Log *

)015.1(Log)000.650.3(Log)000.000.5(Logn

22490.0064660456292864.646.69897000n

13768109,21422490.00644660

90.13667713n

Aproximadamente 21.13768109 cuotas mensuales.


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CÁLCULO DEL SALDO INSOLUTO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA

El saldo que se debe de una obligación en cualquier momento de su plazo. Conocer su monto, es importantepara efectos de control financiero y para el prepago de una deuda. Para estos casos se utiliza la siguientefórmula:

Dónde:

Valor futuro =PNúmero de pagos que o Número de cuotas que faltan por pagar = nValor de la primera cuota = ATasa de interés efectiva = i

EJEMPLO. Un electrodoméstico que tiene un valor de contado de $ 4.500.000, se financia con 24 pagosmensuales de $ 265.713.37, cobrando una tasa de interés de financiación del 3% mensual. Calcular el saldode la deuda después de cancelada la cuota 17.

Procedimiento: El saldo de la deuda es igual al valor presente de una anualidad vencida conformada por 7pagos mensuales iguales de $ 265.713.37, a una tasa del 3% mensual. Los 7 pagos corresponden al númerode cuotas que faltan por pagar.

Datos:

Cuota mensual A = $265.713.37Numero de cuotas n = 7Tasa efectiva de interés i = 3%

Solución

n

n

iiiA

)1(1)1=P=17cuotaaSaldo =

7

7

)03.01(03.01)03.0137.713.265 =

036896215.0229873865.0*265.713.37

Saldo a la cuota 17 = $ 1.655.469.48

TALLER 22: ANUALIDADES O CUOTAS VENCIDAS

1. Una casa cuesta $80.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 15% de la cuota inicial y 180cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas y el valor totalpagado.


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2. Se compró un vehículo con una cuota inicial de $500.000 y 72 cuotas mensuales iguales $600.000. Laagencia cobra el 3.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehículo.

3. Rosa María deposita $ 500.000 cada fin de mes, durante 2.5 años, en una entidad financiera que paga unatasa de interés del 10% mensual. Cuánto dinero tendrá acumulado al final de este tiempo?.

4. David desea saber, cuánto debe depositar al final de cada mes, durante tres años, en una entidadfinanciera que reconoce una tasa de interés del 11% mensual para reunir la suma de $38.000.000?

5. Cuántos depósitos mensuales vencidos de $380.000 se deben hacer en una institución financiera que pagael 60% mensual, para tener un valor acumulado de $ 150.000.000

6. Al comprar un carro sin cuota inicial queda debiendo $ 35.000.000 que se los financian a una tasa deinterés del 3.5% mensual por medio de 60 cuotas mensuales iguales. Se desea calcular el valor de cadapago con interés global.

7. Un negocio que tiene un valor de contado de $ 45.000.000, se financia con 48 pagos mensuales de $1.000.000, cobrando una tasa de interés de financiación del 2% mensual. Calcular el saldo de la deudadespués de cancelada la cuota: a) 12 b) 24 c) 36 d) 40 e) 45

2. ANUALIDADES ANTICIPADAS.

Es aquella en cual los pagos se hacen al principio de cada período. Son Ejemplos de anualidades anticipadaspos pagos de arrendamientos anticipados, pagos de cuotas por el financiamiento de electrodomésticos. UnEJEMPLO real de esta clase de anualidades se presenta en algunos créditos comerciales en los que se lemanifiesta al cliente que no le cobrarán cuota inicial, pero en el mismo momento en que se hace lanegociación se le exige el pago de la primera cuota del conjunto de cuotas que tiene que pagar.

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

El valor presente de una serie de pagos iguales anticipados será el valor, que en el momento de realizada laoperación financiera, sea equivalente a toda la serie, sus fórmulas para encontrar estos valores son:

Dónde:

Valor presente =PValor de la primera cuota = ATasa de interés efectiva = iNumero de cuotas por periodo = n


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EJEMPLO. Se tiene una obligación que en un momento se había pactado cancelar con 18 cuotas iguales de$15.000 cada mes una por cada mes por anticipado. Se decide, a última hora, cancelar de contado. Si la tasade interés acordado es del 3% mensual, hallar este valor.Datos:

Cuota mensual A = $15.000Tasa efectiva de interés i = 3%Número total de cuotas n = 18

Solución

n

n

iiiiAP

)1(1)1()1( =

18

18

)03.01(03.01)03.01()03.01(000.15 = 212.449.78

P = $ 212.449.78

Comprobar con la segunda fórmula, si el resultado es igual o no.

VALOR DE LA CUOTA EN UNA ANUALIDAD ANTICIPADA EN FUNCION DEL (P)

Corresponde al valor de la cuota, de una serie de cuotas, que se pagan al principio del período. La expresiónque nos permite calcular su valor es la siguiente:

Dónde:


EJEMPLO. Se recibe un préstamo de $ 10.000.000 para pagarlo en 12 cuotas mensuales iguales, pagaderasen forma anticipada. Si le cobran el 4% de interés mensual, calcular el valor de las cuotas.

Datos:

Valor presente P = $10.000.000Numero de cuotas n = 12Tasa efectiva de interés i = 4%


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Solución

n

n

iiii

PA

)1(1)1()1(

=

12

12

)04.01(04.01)04.01()04.01(

000.000.10 = 1.024.540.12

A= $ 1.024.540.12

Comprobar el valor de la cuota para la segunda fórmula.

NUMERO DE PAGOS O DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA EN FUNCION DEL (P)

Es el número de pagos, pagaderos al principio de período, necesarios para amortizar una obligación. Sepuede calcular en función del valor presente o del valor futuro. Sus fórmulas son las siguientes:

Dónde:


EJEMPLO. Una obligación de $ 2.000.000 se va cancelar con pagos mensuales iguales anticipados de$358.441.75. Si se cobran una tasa de interés del 3% mensual, calcular el número de pagos necesarios paracancelarla.

Datos

Valor presente P = $2.000.000Cuota mensual A = $358.441.75Tasa efectiva de interés i = 3%

Solución:

1)1(

)(=n

iLog

APiALogLogA =

1)03.01(

)75.441.358000.000.2(03.075.441.35875.441.358=n

Log

LogLog


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101284.0

49023.555442.5=n = 6

n = 6 número de cuotas.Realizar el mismo ejercicio utilizando la segunda fórmula.

VALOR FUTURO EN UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

Para encontrar este valor se utiliza la siguiente expresión:

Dónde:


EJEMPLO. Elena recibe al principio de cada mes la suma de $ 100.000 por concepto del arriendo de unabodega de su propiedad. En el mismo momento en que recibe el pago del arriendo deposita la mitad en unacuenta de ahorros que le reconoce una tasa de interés del 3% mensual. Ella desea saber cuánto tendrádisponible en la cuenta final del año.

Datos:

Cuota mensual A = $50.000Numero de cuotas n = 12Tasa efectiva de interés i = 3%

Solución:

iiiAF )1()1( 1n

= 03.0)03.01()03.01(000.50

112

= 730.889.52

F = $ 730.889.52

TALLER 23: ANUALIDAD O CUOTA ANTICIPADA

1. Don Pedro tiene una obligación que había pactado cancelar con 36 cuotas iguales de $90.000 cada mesuna por cada mes por anticipado. Se decide, a última hora consigue unos dineros y decide cancelar decontado. Si la tasa de interés acordado es del 2.5% mensual, hallar este valor.


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2. Don José se recibe un préstamo para compra de casa por valor de $ 90.000.000 para pagarlo en 180cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 2% de interés mensual, calcularel valor de las cuotas y el valor futuro.

3. Según el caso anterior otras personas desean saber cuál será el valor de las cuotas y el valor futuro apagar en:

A. 10 años,B. 2 años,C. 20 años

4. Carlos adquiere una obligación de $ 18.000.000 y se compromete a cancelar con pagos mensuales igualesanticipados de $ 1.433.767. Calcular el número de pagos necesarios para cancelar. Si se cobran una tasade interés del:

A. 3.5% mensual,B. 3.0% mensual

5. Doña María recibe al principio de cada mes la suma de $ 2.200.000 por concepto del arriendo de variosinmuebles. Ella deposita la mitad de sus ingresos en una cuenta de ahorros en donde le reconocen a unatasa de interés del 3% mensual. Ella desea saber cuánto tendrá disponible en su cuenta final de:

A. 1 año,B. 2 años,C. 3 años,D. 4 años,E. 5 años

TALLER 24: COMPLEMENTARIO

Para los siguientes casos hacer uso de las formulas pertenecientes a las anualidades o series de tiempo

1. En un Municipio Z se propone comprar un terreno para realizar un polideportivo que cuesta $820.000.000la propuesta de compra consiste de la siguiente manera; cuota inicial del 20% y 40 cuotas mensuales conuna tasa de interés del 1.5% mensual. Calcular el valor de las cuotas (A) y el valor total pagado; para: a)Una anualidad vencida, b) Una anualidad anticipada

2. Un Municipio X negocio maquinaria de trabajo pesado; y se comprometió cancelar una cuota inicial de$35.000.000 y 60 cuotas mensuales iguales $1.750.000. La casa distribuidora cobra el 1.8% mensualsobre saldos. La administración desea saber el valor presente (P) de la maquinaria al pago de la últimacuota para: a) Una anualidad vencida., b) Una anualidad anticipada,

3. Juanito realiza un depósito de $1 400.000 al final de cada mes, durante 6 años, en una entidad financieraque reconoce una tasa de interés del 1.2% mensual. Juanito desea saber cuánto dinero tendrá acumulado(F) al final de este tiempo?, para: a) Una anualidad vencida. b) Una anualidad anticipada

4. Cuántos depósitos mensuales (n) vencidos de $5.600.000 se deben hacer en una institución financieraque paga el 1.8% mensual, para tener un valor acumulado de $ 1.500.000.000.


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5. Don José adquiere una obligación (P) de $ 220.000.000 y se comprometió cancelar en cuotas mensualesiguales de manera anticipada por un valor de $3.580.000. Se cobra a una tasa de interés del 1.5%mensual. Don José desea calcular el número (n) de pagos que debe hacer para cancelar la obligación.

6. La Administración de un Municipio compra maquinaria sin cuota inicial y queda debiendo $ 2000.000.000que son financiados a una tasa de interés del 1.2% mensual por medio de 40 cuotas mensuales iguales. Laadministración desea saber el valor de cada cuota con interés global.

7. Una entidad estatal compro material para construcción de contado por un valor de $ 450.000.000, sefinancia a 36 pagos mensuales de $ 2.650.000, cobrando una tasa de interés de financiación del 1.25%mensual. Calcular el saldo de la deuda después de cancelada la cuota número 28.

8. En los problemas siguientes hallar el valor presente de la anualidad vencida dada:A. $ 5.000.000 por año durante 5 años a la tasa del 8% compuesto.B. $ 1.000.000 cada 6 meses durante 4 años a la tasa del 10% compuesto semestralmente.C. $ 2.000.000 por trimestre durante 4.5 años a la tasa del 8% compuesto trimestralmente.D. $ 1.500.000 mensual durante 15 meses a la tasa del 9% compuesto.

9. En los problemas siguientes encuentre el valor presente de la anualidad anticipada dada.A. $ 8.000.000 pagaderos al inicio de cada 6 meses durante 6 años a la tasa del7% compuesto semestral.B. $ 10.000.000 pagadero al inicio de cada trimestre durante 5 años a la tasa del 6% compuesto

trimestralmente.

10. En los problemas siguientes encuentre el valor futuro de la anualidad vencida dada.A. $ 2.000.000 mensual durante 3 años a la tasa de interés del 15% compuesto mensual.B. $ 6.000.000 por trimestre durante 4 años a la tasa del 8% compuesto trimestral.C. $ 5.000.000 por año durante 20 años a la tasa del 7% compuesto anual.D. $ 2.000.000 cada 6 meses durante 10 años a la tasa del 6% compuesto semestralmente.

11. En los siguientes problemas encuentre el valor futuro de la anualidad anticipada dada.A. $ 1.200.000 cada año durante 12 años a la tasa del 8% compuesto anual.B. $ 5.000.000 cada trimestre durante 5.5 años a la tasa del 9% compuesto trimestralmente.

3. ANUALIDADES DIFERIDAS

Hasta el momento se ha considerado que el pago de las rentas se inicia inmediatamente después de quese plantea la operación; no obstante, existen transacciones donde los pagos o rentas se realizan despuésde haber pasado cierta cantidad de periodos, en estos casos la operación se denomina anualidad diferida.

VALOR PRESENTE DE LAS ANUALIDADES DIFERIDAS

Para hallar el valor presente de la anualidad diferidas se puede utilizar la formula siguiente.


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Dónde:

Valor de los pagos =ANúmero de pagos mensuales = nTasa de interés efectiva mensual = i

EJEMPLO: Una empresa acepta que un cliente le pague el valor de una compra realizada el día de hoy, enseis cuotas mensuales de $800.000 a partir del séptimo mes. Si la empresa aplica una tasa efectiva deinterés del 2,5% efectiva mensual. ¿Cuál será el valor de la venta?

Datos:

Valor de los pagos A = $800.000A partir del mes 7 el número de pagos mensuales n = 6Tasa de interés efectiva mensual i = 2,5%

Solución:

n2

n

*)i1(i1)i1(AP

62

6

*)025.01(0.0251)025.01(000008P

12

6

)025.1(0.0251)025.1(000008P

03362222.0159693418.0000008P

38,711.799.3$P El valor de la venta por la empresa es de $ 3.799.711,38

VALOR FUTURO DE LAS ANUALIDADES DIFERIDAS

En este caso se halla el valor presente de la anualidad med ian te la siguiente formula


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Dónde:

Valor de los pagos = ANúmero de pagos mensuales = nTasa de interés efectiva mensual = i

EJEMPLO: Si un padre inicia un ahorro mensual de $50.000, cuando su hijo cumple 1 año, ¿Cuál será elvalor ahorrado, cuando este cumpla 18 años, si el banco donde hace el depósito le reconoce un interésanual del 0,6% efectivo mensual?

Datos:

Valor de los pagos A = $50.000Numero de pagos: 204 mensuales, a partir del mes n = 12Tasa de interés efectiva mensual i = 0,6%

Solución:

Calcular el valor presente en periodo 11, por medio de la siguiente ecuación.

)i1(i

1)i1(AFn

)006.01(0.006

1)006.01(000.05F204

)006.1(0.006

1)006.1(000.05F204

)006.1(0580764.398000.05F

24,321.022.20$F

El valor del ahorro cuando el hijo cumpla 18 años es de $ 20.022.321,24

4. ANUALIDADES PERPETUAS

Cuando el número de pagos de una anualidad es muy grande, o cuando no se conoce con exactitud lacantidad de pagos se dice que la anualidad es perpetua.

Al deducirse los modelos matemáticos se debe tener en cuenta que solo existe el valor presente ya quepor tratarse de una anualidad perpetua el valor futuro de este tipo de anualidades sería infinito.


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; Para i 0

Dónde:

Valor de los pagos = ANúmero de pagos mensuales = nTasa de interés efectiva mensual = i

Partiendo del valor presente formula de la anualidad se puede hallar el limite cuando n tiende a infinito,teniendo en cuenta la definición de anualidad perpetua.

; Para i 0 ojo

Dónde:

Valor de los pagos = ATasa de interés efectiva anual = i

Para calcular el valor presente una anualidad perpetua se puede utilizar la siguiente expresión:

; Para i 0 ojo

Dónde:

Valor de los pagos = ANúmero de pagos: = nTasa de interés efectiva anual = i

EJEMPLO: El consejo municipal de Santa Fe de Antioquia resuelve crear un fondo para proveer aperpetuidad las reparaciones del puente colonial de esa población que se estima tendrá un costo anual de$91.000.000, doce años después de una reparación general. ¿Cuánto se deberá colocar en el fondo almomento de terminar la reparación general, si la tasa de interés de colocación del mercado es del 7% anual?

Datos:

Valor de los pagos A = $91.000.000Numero de pagos: infinitos, a partir del año n = 12


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Tasa de interés efectiva anual i = 7%

Solución:

ni)i(1AP

12)07.00.07(191.000.000P

12)07.0.07(191.000.000P

547.215.557$P En el fondo se deben colocar $ 577.215.547

5. ANUALIDAD O CUOTA CON INTERÉS GLOBAL

Las personas que prestan dinero al interés y las casas comerciales que financian electrodomésticos diseñan,en forma permanente sistemas de amortización de créditos que en últimas persiguen crear sobre costosinvisibles en las negociaciones que realizan con sus clientes, al plantearles una tasa de interés y cobrarles enrealidad una tasa mayor. Es el caso del sistema de amortización de créditos con interés global, que supone elpago de cuotas periódicas iguales, pero en el que los intereses se calculan sobre el capital prestadoinicialmente, desconociendo el abono que se le hace a la deuda cada período. La fórmula para encontrar estaanualidad es la siguiente:

Dónde:

Valor presente = PNúmero de cuotas mensuales = nTasa efectiva de interés mensual = i

EJEMPLO. Al comprar una lavadora sin cuota inicial queda debiendo $ 5.000.000 que se los financian a unatasa de interés del 4% mensual por medio de 4 cuotas mensuales iguales. Se desea calcular el valor de cadapago con interés global.

Datos:

Valor presente P = $5.000.000Numero de cuotas mensuales n = 4Tasa efectiva de interés mensual i = 4%


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Solución:

iPnP

*=A = 04.0000.000.54

000.000.5* = 1.250.000 + 200.000 = 1.450.000

A= $ 1.450.000 cada cuota

Valor total a pagar = (4)(1.1450.000) = $ 5.800.000

RESUMEN DE FORMULAS DE ANUALIDADES O CUOTASANUALIDAD VENCIDA ANUALIDAD ANTICIPADA

1. VALOR DE LACUOTA

1)1()1(n

n

iiiPA

1. VALOR DE LACUOTA

n

n

iiii

PA

)1(1)1()1(

1)1( ni

iFA

2. VALORPRESENTE

n

n

iiiAP

)1(1)1(

2. VALOR PRESENTE

n

n

iiiiAP

)1(1)1()1(

3. VALOR FUTURO

iiAFn 1)1(

3. VALOR FUTUROi

iiAFn )1()1( 1

4. CÁLCULO DELTIEMPO )1(

)(=n *

iLogLogAAiFLog

4. CÁLCULO DEL

TIEMPO

1)1(

)(

iLog

APiALogLogAn

5. ANUALIDAD CON INTERÉS GLOBAL iPnPA *

6. CÁLCULO DEL SALDO INSOLUTO O SALDO DE LA DEUDA

n

n

iiiAP

)1(1)1(


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6. GRADIENTE

Para la preparación y desarrollo de esta temática se tomaron temas tratados y resueltos por los autores CarlosMario Morales y Jhonny de Jesús Meza Orozco; quienes trabajaron el tema de gradientes y afirman que, sonoperaciones financieras en las cuales se pacta entre una persona natural y jurídica y la entidad financiera paracubrir la obligación en una serie de cuotas o pagos crecientes o decrecientes, que están relacionados con elpago anterior, en una cantidad constante en pesos o en un porcentaje; estos pagos deben cumplir unascondiciones que son las siguientes:

Los pagos deben tener una ley de formación Los pagos deben ser periódicos La serie de pagos deben tener un valor presente (P) equivalente en el valor futuro (F). El número de periodos debe ser igual al número de pagos.

En las entidades financieras el gradiente más utilizado es el aritmético y el geométrico. El monto en que varíacada pago determina la clase de gradiente:

Si la cantidad es constante el gradiente es aritmético; por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en$200.000 mensuales.

Si la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior el gradiente esgeométrico; por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en 1.5% mensual.

1. GRADIENTE ARITMETICO

Para el gradiente aritmético, la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior, más unaconstante K; la cual puede ser positiva en cuyo caso las cuotas son crecientes, negativa lo cual generacuotas decrecientes. En el caso de que la constante sea cero, los pagos son uniformes, es decir se tiene elcaso de una anualidad.

De acuerdo a la ley de formación, en este caso, cada pago será igual al anterior más una constante. Para


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la deducción del modelo matemático se considera una operación en la cual un préstamo se paga en unaserie de cuotas formada a través de un gradiente aritmético, a una tasa de interés efectiva por periodo i,durante n periodos.

A Primer pagoA2=A + K Segundo pagoA3=A2 + K = A + 2K Tercer pagoA4=A3 + K = A + 3K Cuarto pago………………………. ……………An = A + (n-1)K Ultimo pago

GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO (GACV)

Cuando los flujos de caja crecen en una cantidad fija periódicamente, se presenta un gradiente lineal crecientevencido, sí los flujos de caja se pagan al final de cada periodo.

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO

Para el desarrollo de esta temática se tendrá símbolos y nombres de las siguientes variables:

F: valor futuroP: valor presenteA: valor del primer pagoK: valor del incremento (gradiente aritmético)n: número de pagosi: tasa de interés del período


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En matemática financiera cada uno de los símbolos anteriores tienen su respectiva función; por lo tanto lescorresponde una expresión matemática que los relaciona entre sí, unas más complejas que otras; permitiendodesarrollar cálculos matemáticos y obtener resultados exactos acordes con el sistema financiero.

Para calcular el valor presente se puede utilizar cualquiera de las dos fórmulas siguientes:

nn

n

n

n

)i1(n

)i1(i1)i1(

iK

)i1(i1)i1(A=P

ini-1-)i1(K1)i1(A

)i1(i1=P

nn

n

Dónde:

Número de cuotas = nValor de la primera cuota = ATasa efectiva de interés = iGradiente aritmético = K

EJEMPLO: Guillermo compro compró un vehículo con una cuota inicial de $1.000.000 y 60 cuotas mensualesiguales de $500.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehículo hoy si sepaga una serie de cuotas crecientes mes vencido de $20.000.

Datos

Cuota inicial = $1.000.000Numero de cuotas n = 60Valor de la primera cuota A = $500.000Tasa efectiva de interés i = 2.5%Gradiente aritmético K = $20.000

Solución


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ini-1-)i1(K1)i1(A

)i1(i1=P

nn

n

0.0250.02560-1-)025.1(000.021)025.1(000.500

)025.1(025.01=P *

6060

06

0.0251.5-399790.3000.02399790.3000.500

109995.01=P

0.025899789749.1000.02874.1699894

109995.01=P

799.1519831874.1699894109995.0

1=P

673.3219726109995.0

1=P

1.000.0001.271.573,029=P

010.271.573,3$=P

El valor de carro al día de hoy es de $30.271.573,01

VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO DADO (P)

i1-ni-)i1(K-i)i1(P

1-)i1(1=A

nn

n

Dónde:

Valor presente = PNúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés = iGradiente aritmético = K

EJEMPLO: Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% y 12cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas ( A ) si se paga unaserie de cuotas crecientes mes vencido de $30.000.y el valor total pagado.

Datos

Valor presente P = $20.000.000 - $2.000.000 =$18.000.000Cuota inicial = $2.000.000Numero de cuotas n = 12


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Tasa efectiva de interés i =2.0%Gradiente aritmético K = $30.000

Solución

i1-ni-)i1(K-i)i1(P

1-)i1(1=A

nn

n

0.020.0212-1-)02.01(000.03-0.02)02.01(000.000.81

1-)02,01(1=A *

12

*12

12

0.02

0.0212-1-)02.1(000.03-0.02)02.1(18.000.0001-)02,1(

1=A *12

*12

12

2362.691844-56567.0464268241794.0

1=A

3542.414204268241794.0

1=A

2544.145,48.1$=A

EL valor de la cuota a pagar es de $1.544.145,482El valor total a pagar es de = ( A ) (12) + $2.000.000 = $(1.544.145,482(12) + $2.000.000 = $20.529.745,78El valor total a pagar es de = $20.529.745,78


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VALOR DE LA CONSTANTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO

1-)i1(A-i)i1(P1-ni-)i1(

i=K nnn

Dónde:

Valor presente = PNúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés = iValor de la primera cuota = A

EJEMPLO: Juan José desea comprar una finca que cuesta $120.000.000, la entidad financiera le ofrece pagaren un plazo de 60 cuotas mensuales de $2.000.000. Cuanto deberá incrementar el comprador mensualmentepara poder realizar la compra si la tasa efectiva de interés mensual es de 1.2%.

Datos

Valor presente P = $120.000.000Cuota mensual A = $2.000.000Tasa efectiva de interés i = 1.2%Numero de cuotas n = 60

Solución:

1-)i1(A-i)i1(P1-ni-)i1(

i=K nnn


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1-)012.1(2.000.000-0.012)012.1(0120.000.001-0.01260-)012.1(

0.012=K 60*

60

*60

091294.5362-945732,0662325647268.0

0.012=K

53,854437325647268.0

0.012=K

53,854437325647268.0

0.012=K

11.485,75583$=K

El valor del gradiente aritmético creciente vencido es de $31.485,76

VALOR DE CUALQUIER CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO

Para calcular el valor de cualquier cuota en la serie es la siguiente:

K1)-(nA=C n

Dónde:

Cn = Valor de la cuota nn.= Numero de la cuotaA = Valor de la primera cuotaK = Variación de cada cuota

EJEMPLO: El valor de una maquina procesadora de arroz se está cancelando con 24 cuotas mensuales queaumentan cada mes en $10.000, y el valor de la primera cuota es de $150.000. Si la tasa de interés que seestá cobrando es del 3% mensual, calcular el valor hoy (P) de la máquina y la cuota número 23 y 24.

Datos:

Valor de la cuota A = $ 150.000Incremento constante cada mes K = $ 10.000Tasa efectiva de interés i = 3%Numero de cuotas mensuales n = 24


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Solución:

a). Valor de presente de la máquina.

ini-1-)i1(K1)i1(A

)i1(i1=P

nn

n

0.030.0324-1-)03.01(000.011)03.01(000.501

)03.01(03.01=P *

2424

24

0.030.0324-1-)03.1(000.011)03.1(000.501

)03.1(03.01=P *

2424

24

7022.104264116.1549196.397791211=P

1364.250.042,$=P

El valor de la maquinaria hoy es de $ 4.250.042,136

b). Valor de cuota 23. K1)-(nA=C n

10.0001)-(23150.000=C23

370.000$=C23

El valor de cuota número 23 es de $370.000

c). Valor de cuota 24. K1)-(nA=C n


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10.0001)-(24150.000=C 24

380.000$=C 24

El valor de cuota número 24 es de $380.000

VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO

Para hallar el valor futuro (F) de un gradiente aritmético se utiliza la siguiente expresión matemática

ni

1)i1(iK

i1)i1(A=F

nn

i1-ni-)i1(K1)i1(A

i1=F

nn

Dónde:

Gradiente aritmético = KNúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés = iValor de la primera cuota = A

EJEMPLO: Catalina deposita $ 400.000 cada fin de mes, durante 2 años, en una entidad financiera quereconoce una tasa efectiva de interés del 4% mensual. Cuánto dinero tendrá acumulado al final de estetiempo, si además se compromete hacer un incremento de constante de $18.000 mensuales?.

Datos

Cuota mensual A = $400.000Tasa efectiva mensual i = 4%lGradiente aritmético creciente K = $18.000Numero de cuotas n = 24

Solución


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i1-ni-)i1(K1)i1(A

i1=F

nn

0.041-0.0424-)04.01(000.811)04.01(000.004

0.041=F *

2424

0.041-0.0424-)04.1(000.811)04.1(000.004

0.041=F *

2424

8742.271486666.6253210.04

1=F

8742.271486666.6253210.04

1=F

512.420.213,2$=F

Al final de los 24 meses Catalina tendrá acumulado $22.420213,51

VALOR PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO DADO (F)

i

1)-ni-)i1(K-Fi1-)i1(

1=An

n

Dónde:

Gradiente aritmético = KNúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés =iValor futuro = F


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EJEMPLO: Margarita desea saber, cuánto debe depositar al final de cada mes, durante tres años, en unaentidad financiera que reconoce una tasa de interés del 2.5% mensual para reunir la suma de $34.000.000?.Además Margarita se compromete hacer un incremento constante de $25.000 mensuales.

Datos:

Valor futuro F = $34.000.000Tasa de interés efectiva i = 2.5%Numero de cuotas mensuales n = 36Gradiente aritmético K = $25.000

Solución:

i

1)-ni-)i1(K-Fi1-)i1(

1=An

n

0.025

1)-0.02536-)025.01(25.000-0.02534.000.0001-)025.01(

1=A *36

*36

0.025

1)-0.02536-)025.1(25.000-0.02534.000.0001-)025.1(

1=A *36

*36

0.025532535315.025.000-850000

432535316.11=A

6843.317464432535316.1

1=A

21.610.372$=A

El valor de la cuota que debe depositar Margarita es de $221.610,37


Página 92 de 170

VALOR DE LA CONSTANTE (K) GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO DADO (F)

1-)i1(A-Fi1-ni-)i1(

i=K nn

Dónde:

Valor de la primera cuota = ANúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés = iValor futuro = F

EJEMPLO: Juanita desea obtener $20.000.000 en un tiempo de 5 años, acude a una entidad financiera y estale ofrece depositar $150.000 al finalizar cada mes a una tasa efectiva de interés de 1.5%. Cuanto deberáincrementar mensualmente (K) Juanita para cumplir con sus deseos?.

Datos:

Valor futuro F = $20.0000.000Cuota mensual A = $150.000Tasa efectiva de interés i = 1.5%Numero de cuotas mensuales n = 60

Solución

1-)i1(A-Fi1-ni-)i1(

i=K nn


Página 93 de 170

1-)015.01(150.000-0.01520.000.0001-0.01560-)015.01(

0.015=K 60*

*60

1-)015.1(150.000-0.01520.000.0001-0.01560-)015.1(

0.015=K 60*

*60

9664.216482-300.000543219775.0

0.015=K

03365.83517543219775.0

0.015=K

2306.17$=K

Juanita debe depositar un valor constante (K) de $2.306,17

GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE ANTICIPADO (GACA)

Si los flujos de caja ocurren al comienzo de cada período se está frente a un gradiente lineal crecienteanticipado.

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE ANTICIPADO

1-n1-n

n

1-n

n

)i1(n

)i1(i1)i1

iK

)i1(i1)i1A=P

i1-ni-)i1(K1)i1(A

)i1(i)i1(=P

nn

n

Dónde:


EJEMPLO: Juan Pedro tiene una obligación financiera, que en un momento había pactado cancelar con 36cuotas iguales de $150.000 cada mes por anticipado y además un incremento constante mensual de $2.500.A última hora, cambia su manera de pensar y decide cancelar de contado. Si la tasa de interés acordado esdel 2% mensual, hallar el valor hoy de la obligación.

Datos:

Cuota mensual A = $150.000


Página 94 de 170

Numero de cuotas mensuales n = 36Tasa efectiva de interés i = 2%Gradiente aritmético K = $2.500

Solución:

i1-ni-)i1(K1)i1(A

)i1(i)i1(=P

nn

n

0.021-0.0236-)02.01(500.21)02.01(000.150

)02.01(02.0)02.01(=P *

3636

36

0.021-0.0236-)02.1(500.21)02.1(000.150

)02.1(02.0)02.1(=P *

3636

36

91796.3998531016.1559835.001380672=P

899.501,27.4$=P

La obligación hoy es de $ 4.899.501,27

VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE ANTICIPADO

i1-ni-)i1(K-

)i1(i)i1(P

1-)i1(1=A

nn

n

Dónde:

Gradiente aritmético = K


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Número de cuotas = nTasa efectiva de interés = iValor presente = P

EJEMPLO: José Antonio recibe un préstamo de $ 100.000.000 para pagarlo en 24 cuotas mensuales iguales,pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 1.4% de interés mensual; si además José Antonio decideincrementar un valor constante cada mes de $ 5.000, calcular el valor de la primera cuota.

Datos:

Valor presente P = $100.000.000Numero cuotas mensuales n = 24Tas efectiva de interés i = 1.4%Gradiente aritmético creciente anticipado K = $5.000

Solución:

i1-ni-)i1(K-

)i1(i)i1(P

1-)i1(1=A

nn

n

0.0141-0.01424-)014.01(0005.-

)014.01(0.014)014.01(000.000.001

1-)014.01(1=A *

24*

24

24

1457.848262-927529.3541.5247298862=A

5812.447,16.4$=A

El valor de la cuota mensual que debe pagar es de $4.812.447,165


Página 96 de 170

VALOR DE LA CONSTATANTE DE GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE ANTICIPADO

1-)i1(A

)i1(i)i1(P

1-ni-)i1(i=K n

n

n

Dónde:

Valor de la primera cuota = ANúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés = iValor presente = P

EJEMPLO: A Juan Carlos le ofrecen la compra una pequeña fábrica que cuesta $240.000.000, acude a unaentidad financiera que le ofrece pagar en un plazo de 48 cuotas mensuales de $4.000.000 por anticipado.Cuanto deberá incrementar el comprador mensualmente para poder realizar la compra; si la tasa efectivamensual de interés es del 0.9%.

Datos:

Valor presente P = $240.000.000Cuota mensual A = $4.000.000Numero de cuotas mensuales n = 48Tasa efectiva de interés i = 0.9%

Solución:

1-)i1(A

)i1(i)i1(P

1-ni-)i1(i=K n

n

n


Página 97 de 170

1-)009.01(000.000.4

)009.01(009.0)009.01(000.000.402

1-0.0948-)009.01(0.009=K 48*

48

*48

1-)009.1(000.000.4

)009.1(009.0)009.1(000.000.402

1-0.0948-)009.1(0.009=K 48*

48

*48

696.2149445947.3291080.0854202570=K

304.1141634.0854202570=K

695697.518,9$=K

El valor constante que se debe consignar mensual es de $97.518.70

GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE (GAD)

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE

Para calcular el valor presente se utiliza la formula siguiente:

nn

n

n

n

)i1(n

)i1(i1)i1

iK

)i1(i1)i1A=P

i1-ni-)i1(K1)i1(A

)i1(i1=P

nn

n

Dónde:


EJEMPLO: Para la compra de una vivienda se pacta cancelar en 18 cuotas mensuales que decrecen en $10.000 cada mes, siendo la primera cuota de $2.500.000. Si la tasa de financiación que se está cobrando esdel 3%, calcular el valor de la vivienda.

Datos:

Valor de la primera cuota A = $2.500.000Numero de cuotas mensuales n = 18Cuota mensual decreciente K = $10.000Tasa efectiva de financiación i = 3%


Página 98 de 170

Solución:

i1-ni-)i1(K1)i1(A

)i1(i1=P

nn

n

0.031-0.0318-)03.01(000.011)03.01(000.500.2

)03.01(03.01=P *

1818

18

0.031-0.0318-)03.1(000.011)03.1(000.500.2

)03.1(03.01=P *

1818

18

0.03330612.1624653.1756082

051072991.01=P

,5333.323.646$=P

El valor de la vivienda es de $ 33.323.646,53

VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE DADO P

i1-ni-)i1(Ki)i1(P

1-)i1(1=A

nn

n

Dónde:

Gradiente aritmético = KNúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés = iValor presente = P


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EJEMPLO: Juan Carlos recibe un préstamo hoy por $ 35.000.000 y se compromete cancelar en 24 cuotasmensuales que decrecen en $ 10.000 cada mes. Si la tasa de financiación que se está cobrando mensual esdel 3%, calcular el valor de la primera cuota.

Datos:

Valor presente P = $ 35.000.000Numero de cuotas mensuales n = 24Cuota mensual decreciente K = $10.000Tasa de interés efectiva mensual i = 3%

Solución:

i1-ni-)i1(Ki)i1(P

1-)i1(1=A

nn

n

0.031-0.0324-)03.01(000.010.03)03.01(000.000.53

1-)03.01(1=A *

24

*24

24

0.031-0.0324-)03.1(000.010.03)03.1(000.000.53

1-)03.1(1=A *

24

*24

24

04264.702212134433.3812.9682471980=A 1472.167.613,$=A

El valor de la primera cuota es de $ 2.167.613,147

VALOR DE LA CONSTANTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE

i)i1(P-1-)i1(A1-ni-)i1(

i=K nnn


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Dónde:

Valor presente = PNúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés = iValor de la primera cuota = A

EJEMPLO: A Cándida le hacen un préstamo hoy por un valor $ 65.000.000 y se compromete cancelar en 48cuotas mensuales de $ 2.500.000. Si la tasa de financiación que se está cobrando mensual es del 2.5%,calcular el valor del gradiente en esta operación financiera.

Datos:

Valor presente P = $ 65.000.000Valor de la primera cuota A = $ 2.500.000Numero de cuotas mensuales n = 48Tasa de interés efectiva mensual i = 2.5%

Solución:

i)i1(P-1-)i1(A1-ni-)i1(

i=K nnn

0.025)025.01(65.000.000-1-)025.01(2.500.0001-0.02548-)025.01(

0.025=K *4848

*48

0.025)025.1(65.000.000-1-)025.1(2.500.0001-0.02548-)025.1(

0.025=K *4848

*48

316170.5365-2678723.3905,0233320050=K 8539.362552,0233320050=K

8459.085$=KEl valor del gradiente en esta operación financiera es $ 8.459,09


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VALOR DE CUALQUIER CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE

K1)-(n-A=C n

Dónde:

Número de cuotas = nGradiente aritmético = KValor de la primera cuota = A

EJEMPLO: Juan Carlos recibe un préstamo hoy por $ 35.000.000 y se compromete cancelar en 24 cuotasmensuales que decrecen en $ 10.000 cada mes. Si la tasa de financiación que se está cobrando mensual esdel 3%, calcular el valor de la cuota 15, 20 y 23. Si el valor de la primera cuota es de $ 2.167.613,147

Datos:

Valor presente P = $ 35.000.000Numero de cuotas mensuales n = 24Cuota mensual decreciente K = $10.000Tasa de interés efectiva mensual i = 3%Valor de la primera cuota A = $ 2.167.613,147

Solución:

K1)-(n-A=C n

El valor de la cuota 15 será:

10.0001)-(15-1472.167.613,=C15

140000-1472.167.613,=C15

,147$2.027.613=C15


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El valor de la cuota 15 es de $ 2.027.613,147


10.0001)-(20-1472.167.613,=C 20

190000-1472.167.613,=C 20

,147$1.977.613=C 20



10.0001)-(23-1472.167.613,=C 23

220000-1472.167.613,=C 23

,147$1.947.613=C 23


VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE

Para hallar el valor futuro ( F ) de un gradiente aritmético se utiliza la siguiente expresión matemática

ni

1)i1iK

i1)i1A=F

nn

i1-ni-)i1(K1)i1(A

i1=F

nn

Dónde:


EJEMPLO: Se realiza un primer depósito por $ 500.000 en el día de hoy, en una entidad financiera quereconoce por el dinero una tasa de interés del 2% mensual. Cada mes se hacen depósitos que disminuyen en$10.000. Cuál será el valor acumulado después de hacer 6 depósitos.

Datos:

Valor de la primera cuota A = $500.000Tasa efectiva de interés i = 2%Deposito decreciente K = $10.000


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Numero de meses n = 6

Solución:

i1-ni-)i1(K1)i1(A

i1=F

nn

0.021-0.026-)02.01(000011)02.01(000005

0.021=F *

66

0.021-0.026-)02.1(000011)02.1(000005

0.021=F *

66

0.021-0.026-)02.1(000011)02.1(000005

0.021=F *

66

20963.308120963.630810.02

1=F

3.000.000$=FEl valor acumulado después de hacer 6 depósitos es de $ 3.000.000

VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE DADO (F)

i1-ni-)i1(KFi

1-)i1(1=A

n

n

Dónde:

Valor futuro = FNúmero de cuotas = n

0 1 2 3

i = 2%

$500.000$490.000 $480.000 $470.000

F

54


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Tasa efectiva de interés = iGradiente aritmético = K

EJEMPLO: Don Luis se propone ahorrar para lo cual realiza un primer depósito en el día de hoy, en unaentidad financiera que reconoce por el dinero una tasa de interés del 2% mensual. Cada mes se hacendepósitos que disminuyen en $100.000. Si durante 12 meses el valor acumulado es de$ 30.000.000; Cuál seráel valor de la primera cuota.

Datos:

Valor futuro F = $ 30.000.000Tasa efectiva de interés i = 2%Deposito decreciente K = $100.000Numero de meses n = 12

Solución:

i1-ni-)i1(KFi

1-)i1(1=A

n

n

0.021-0.0212-)02.01(000010.0230000000

1-)02.01(1=A *

12

*12

0.021-0.0212-)02.1(000010.0230000000

1-)02.1(1=A *

12

*12

4120.897281600.000.7279798313=A

3192.289.430,$=A

Bajo estas condiciones el valor de la primera cuota es de $ 2.289.430,319


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VALOR DE LA CONSTANTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE DADO F

Fi1-)i1(A1-ni-)i1(

i=K nn

Dónde:

Valor futuro = FNúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés =iValor de la primera cuota = A

EJEMPLO: Juan Pedro está dispuesto a realizar unos ahorros para lo cual realiza su primer depósito por $5.000.000 en el día de hoy, en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 2% mensual ydurante 20 meses el valor acumulado es de $ 90.000.000. Juan Pedro necesita saber el valor de cadadepósito que disminuye constantemente.

Datos:

Valor futuro F = $ 90.000.000Tasa efectiva de interés i = 2%Numero de meses n = 20Valor de la primera cuota A = $4.000.000

Solución:

Fi1-)i1(A1-ni-)i1(

i=K nn

)02.(0000.000.091-)02.01(4.000.0001-)(0.0220-)02.01(

0.02=K *20

*20


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)02.(0000.000.091-)02.1(4.000.0001-(0.02)20-)02.1(

0.02=K *20

*20

1800000584.5943789.2327004760=K 08964.261,81$=K

El valor de cada depósito que disminuyen y es de aproximadamente $ 964.261,80

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE INFINITO

Cuando se habla de pagos de gradientes matemáticos infinitos, solo tiene sentido hablar del valorpresente, como equivalente de dichos pagos. La principal aplicación de dicha serie es el cálculo del costode capital.

2iK

iA=P

Dónde:

Gradiente aritmético = KTasa efectiva de interés = iValor de la primera cuota = A

EJEMPLO: Que valor deberá cancelar una persona un año antes de su retiro para recibir anualmente unapensión de $30.000.000, la cual se incrementa $2.000.000 cada año?. El fondo de pensiones reconoce unatasa de interés efectiva del 6.5% anual.

Datos:

Valor de la cuota A = $30.000.000Gradiente creciente de K = $2.000.000Tasa de interés efectiva anual i = 6.5%Numero de pagos: infinitos = ∞

Solución:


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2iK

iA=P

2)065.(02.000.000

0.06530.000.000=P

004225.02.000.0005461538461.=P

1.4733727815461538461.=P ,6034.911.2429$=P

El futuro pensionado deberá cancelar $ 934.991.242,60

TALLER COMPLEMENTARIO

1. Un padre de familia está dispuesto a realizar el ahorro que se muestra en la gráfica; de cuánto deberíaser la inversión hoy para igualar dicho ahorro, sí el banco reconoce una tasa de interés del 5% semestral.

2. ¿Qué valor recibirá una persona que realiza el ahorro semestral que se indica en la gráfica? Elbanco donde se realiza el ahorro reconoce una tasa de interés del 6% semestral.

3. ¿Qué valor deberá cancelar una persona un año antes de su retiro para recibir anualmente una pensión


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de $30.000.000, la cual se incrementara $2.000.000 cada año? El fondo de pensiones reconoce una tasade interés del 6,5% anual.

Ejercicios tomados del Grupo de Investigación GNÓSIS de la Universidad Libre sede Cartagena

GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE VENCIDO

4. El valor de un torno se cancela en 18 cuotas mensuales, que aumentan cada mes en $ 30.000, y el valorde la primera es de $ 220.000. Si la tasa de interés es del 3,5% mensual, hallar el valor del torno.

5. Una deuda de $ 60.000.000 se va a financiar en 36 cuotas mensuales, que aumentan en $ 30.000 cadames. Si la tasas de interés es del 2,8% mensual, determinar el valor de la primera cuota y el valor de lacuota 24.

6. En qué valor debe aumentar el valor de 48 cuotas mensuales, si se está financiando una obligaciónfinanciera que tiene un valor de $ 60.000.000, si se exige una primera cuota de $ 400.000 y se cobra unatasa de interés del 3% mensual.

7. Calcular el valor de un préstamo que se está cancelando en 12 pagos mensuales que aumentan cada mesen $ 40.000, pero el primer pago por valor de $ 500.000 se realizó 9 meses después de la fecha de lanegociación, y la tasa de interés es del 3% mensual. Durante los primeros 9 meses se cobró una tasa deinterés del 2,5% mensual.

8. El caso que se presenta a continuación, se refiere a una serie gradiente aritmética anticipada, en la cuallos flujos de caja cada período crecen en una cantidad constante de pesos con respecto al flujo anterior,pero el primer pago se realiza en el mismo momento en que se la operación financiera. ¿Cuál será el valorde un artículo que se financia en 36 cuotas mensuales anticipadas, que crecen cada mes en $ 40.000, sila primera cuota tiene un valor de $ 150.000 y se paga el mismo día de la negociación?. La tasa de interéses del 3% mensual.


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9. En una institución financiera que reconoce una tasa de interés del 15% semestral, se hacen depósitossemestrales, que aumentan cada semestre en $ 20.000, durante 12 años. Si el valor del primer depósitoes de $ 300.000, calcular el valor acumulado al final del año doce.

10. Financiar una vivienda que tiene un valor de $ 150.000.000 a una tasa de interés del 2,5% mensual, pormedio de 60 cuotas mensuales que aumenten cada mes $ 20.000. Calcular el valor de la primera cuota yel saldo de la deuda después de cancelar la cuota No 45.

11. Un vehículo que al final de dos años tiene un valor de $ 30.000.000 se adquirirá haciendo depósitosmensuales durante los dos años, que aumentan cada mes en $ 50.000, si la entidad financiera reconoce el2,5% mensual. ¿Cuál debe ser el primer depósito?.

12. Una persona se dispone invertir en una institución financiera depósitos mensuales que aumentan cadames en $ 70.000. Si comienza hoy con $ 800.000, ¿ Cuál será el valor de la inversión al término de unaño, sabiendo que le pagan un 2,5% mensual?.

13. Una persona desea comprar un automóvil que cuesta hoy $ 25.000.000; para lo cual hará depósitosmensuales durante 18 meses, que aumenten cada mes a $ 45.000, en una entidad financiera que lereconoce el 2,8% mensual, Si la inflación promedio mensual es del 1,2%. ¿Cuál será el valor de la primeracuota?.

GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE VENCIDO

14. Una vivienda se está cancelando con 120 cuotas mensuales que decrecen en $ 20.000 cada mes, siendola primera cuota $ 3900.000. Si la tasa de financiación que se cobra es del 2,5% mensual, calcular el valorde la vivienda.

15. En el ejercicio anterior, calcule la cuota 80.

16. Una persona realiza depósitos en una institución bancaria que disminuyen en $ 15.000 cada mes, si sedevenga un interés del 2,5% mensual, ¿cuál será el valor que se tendrá acumulado al cabo de 12 meses,si el depósito del primer mes es $ 600.000.

17. En el ejercicio anterior calcule la cuota No 6

2. GRADIENTE GEOMETRICO

Para el gradiente geométrico, la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior, multiplicado poruna constante (1+G); si G es positiva el gradiente será con cuotas crecientes, si G es negativo el gradienteserá decreciente y si G es igual a 0, los pagos son uniformes, es decir se tiene el caso de una anualidad.

Para la deducción de modelo matemático se considera una operación en la cual un préstamo o valor presente(P) se paga en una serie de cuotas formadas a través de un gradiente geométrico, a una tasa de interésefectiva por periodo i, durante n periodos.


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A Primer pagoA2 = A (1 + G) Segundo pagoA3 = A2(1 + G) = A (1 + G)2 Tercer pagoA4 = A3(1 + G) = A (1 + G)3 Cuarto pago

………………………. ……………An = A (1 + G) (n-1) Ultimo pago

Para esta clase de series de pagos se utiliza por lo general las siguientes variables, que posteriormente seconvertirán en expresiones matemáticas que permiten el cálculo de procesos financieros:

F: valor futuroP: valor presenteA: valor del primer pagon: número de pagosi: tasa de interés del períodoG: tasa de incremento por período (gradiente geométrico)

GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO (GGV)

En el caso en que los flujos de caja aumenten en cada período en un porcentaje y se realizan al final de cadaperíodo se tiene un gradiente geométrico creciente vencido

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO

Para calcular el valor presente de un gradiente geométrico se puede calcular bajo dos condiciones:


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1) Si G i, entonces: 2) Si G = i; entonces:

1

)i(1)G1(

i)-(GA=P n

n

i)(1An=P *

Dónde:

Valor del primer pago = ANúmero de pagos = nTasa de interés del período = iTasa de incremento (gradiente geométrico) = G

EJEMPLO: Una obligación se está cancelando mediante el pago de una cuota inicial de $5.000.000 y 24cuotas mensuales que aumentan un 5% cada mes. Si el valor de la primera cuota es de $1.500.000 y se cobrauna tasa de interés del 4% mensual. Calcular:

a) Valor de la obligaciónb) Valor de cuota 22

Datos:

Cuota inicial = $5.000.000Valor de la primera cuota A = $1.500.000Numero de cuotas n = 24Tasa de incremento por periodo G = 5%Tasa de interés por periodo i = 4%

Solución:


Página 112 de 170

1

)i(1)G1(

i)-(GA=P n

n

1

)04.0(1)05.01(

0.04)-(0.051.500.000=P 24

24

1

)04.(1)05.1(

(0.01)1.500.000=P 24

24

1

563304165.2225099944.3

(0.01)1.500.000=P

258180745.0(0.01)

1.500.000=P

75.727.111,38$=PEl valor de la obligaciones $5.000.000 + $38.727.111,75 = $43.727.111,75

EJEMPLO: En el caso anterior si las dos tasas son iguales (G = i); entonces la expresión apropiada es lasiguiente:

i)(1An=P *

Dónde:

Valor del primer pago = ANúmero de pagos = nTasa de interés del período = i

62,384.615.34)04.(1

36000000)04.0(1

000.500.124=P *

62,384.615.34$=PEl valor de la obligaciones $5.000.000 + $34.625.384.62= $39.615.384,62

PARA EL CACULO DE CUALQUIER CUOTA.

1-nn G)(1A=C

Dónde:

Valor del primer pago = ANúmero de pagos = nTasa de incremento (gradiente geométrico) = G


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EJEMPLO: Para calcular el valor de la cuota 22

1-nn G)(1A=C

1-2222 0.05)(11.500.000=C

2122 .05)(11.500.000=C

,886$4.178.943=C22

El valor de cuota número 22 es de $ 4.178.943,886

VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO

Para hallar el valor futuro (F), de un gradiente geométrico se puede utilizar, bajo dos condiciones:

1). Si G i, entonces: 2). Si G = i, entonces:

nn )i1()1(i)-(G

A=F G 1n* i1An=F


EJEMPLO: Cuál será el valor final de un ahorro durante 36 semestres iniciando con un pago de $3.000.000con un incrementos del 4%?. Suponga que se reconoce una tasa de interés del 3.5% efectivo semestral.

Datos:

Valor de la primera cuota A = $3.000.000Numero de pagos semestrales n = 36Tasa de interés efectiva semestral i = 3.5%El gradiente tiene un crecimiento G = 4%

Solución:


Página 114 de 170

Si G i, entonces

nn )i1()1(i)-(G

A=F G

3636 )035.01()04.01(0.035)-(0.04

3.000.000=F

3636 )035.1()04.1((0.005)

3.000.000=F

450266111.3103932554.4(0.005)

3.000.000=F

653666442.0(0.005)

3.000.000=F

5,50392.199.86$=F

El valor del ahorro es de $ 392.199.865,50

Ahora si consideramos que las dos tasas de interés son iguales, G = i; entonces el valor futuro será:

EJEMPLO: Cuál será el valor final de un ahorro durante 36 semestres iniciando con un pago de $3.000.000con un incrementos del 4%?. Suponga que se reconoce una tasa de interés del 3.5% efectivo semestral.


Página 115 de 170

Datos:


1n* i1An=F

Dónde:

Valor del primer pago = ANúmero de pagos = nTasa de interés del período = i

Datos:


163* 035.01000000336=F

53* 035.1000000336=F

8,20360.027.76$=FCuando G = i, el valor futuro es de $ 360.027.768.20

VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO DADO (P)

nn

n

)i(1G)1(i1i-GP=A

Dónde:

Valor presente = PNúmero de pagos = nTasa de interés del período = iTasa de incremento (gradiente geométrico) = G

EJEMPLO: Don Pablo compro el día de hoy una finca productiva por el valor de $ 450.000.000, secompromete cancelar en 72 cuotas cada mes la entidad financiera le propone incrementos del 3.5% mensual;


Página 116 de 170

además esta entidad reconoce una tasa de interés del 2.5% efectivo mensual. Don Pablo quiere saber el valorde primera cuota.

Datos:

Valor presente P = $ 450.000.000Numero de pagos semestrales n = 72Tasa de interés efectiva semestral i = 2.5%El gradiente tiene un crecimiento G = 3.5%

Solución:

nn

n

)i(1G)1(i1i-GP=A

7272

72

)025.0(1)035.01(025.010.025-0.035450000000=A

7272

72

)025.(1)035.1(025.10.025-0.035450000000=A

917228062.590433624.1105917228.0450000000=A

,014$4.447.477=A

El valor de primera cuota (A) es de $ 4.447.477,014


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VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO DADO F

nn )i(1G)1(

i-GF=A

Dónde:

Valor futuro = FNúmero de pagos = nTasa de interés del período = iTasa de incremento (gradiente geométrico) = G

EJEMPLO: Anita hizo un ahorro y obtuvo una cantidad de $ 120.000.000 durante 48 meses, la entidadfinanciera le propuso incrementos del 4% mensual; además esta entidad reconoce una tasa de interés del3.5% efectivo mensual. Anita quiere saber el valor de primera cuota.

Datos:

Valor futuro F = $ 120.000.000Numero de pagos mensuales n = 48Tasa de interés efectiva mensual i = 3.5%El gradiente tiene un crecimiento G = 4%

Solución:


Página 118 de 170

nn )i(1G)1(

i-GF=A

4848 )035.0(1)04.01(

0.035-0.0412000000=A

4848 )035.(1)04.1(

0.035-0.0412000000=A

213588981.5570528242.60.005120000000=A

442.171,60$=AEl valor de primera cuota es $ 442.171,60.

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO VENCIDO AL INFINITO

Para calcular el valor presente de un gradiente geométrico cuando el número de cuotas tiende al infinito, paraeste caso se puede calcular bajo dos aspectos:

1) Si, G < i, entonces 2) Si, G i, entonces

G)-(iA=P

=P

Dónde:

Valor del primer pago = ATasa de interés del período = iTasa de incremento (gradiente geométrico) = G

EJEMPLO: Cual será el valor de la prima de un seguro que pretende realizar pagos de forma indefinida,iniciando en $4.000.000 con incrementos mensuales del 1%. Suponga que se reconoce una tasa de interésdel 1.5% efectivo mensual.

Datos:

Valor de la primera cuota A = $4.000.000Numero de pagos: infinitosTasa de interés efectiva mensual i = 1.5%El gradiente tiene un crecimiento del G = 1%

Solución:


Página 119 de 170

G)-(iA=P

0.01)-(0.0154.000.000=P

(0.005)4.000.000=P

00$800.000.0=PEl valor del ahorro es de $800.000.000

GRADIENTE GEOMÉTRICO ANTICIPADO (GGA)

Si los flujos ocurren al inicio de cada período, se tiene un gradiente geométrico creciente anticipado.

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ANTICIPADO

1

)i(1)G1(

i)-(Gi)1(A=P n

n

Dónde:

Valor del primer pago = ANúmero de pagos = n


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Tasa de interés del período = iTasa de incremento (gradiente geométrico) = G

EJEMPLO: Juan Pedro realiza un compromiso financiero de cancelar con 36 cuotas iguales de $450.000 cadames por anticipado, además la entidad financiera le propuso incrementos del 2.5% mensual. Si la tasa deinterés acordado es del 1.2% mensual. A última hora, cambia de parecer y decide cancelar de contado; hallareste valor.

Datos:

Valor de la primera cuota A = $ 450.000Numero de cuotas mensuales n = 36Tasa de interés efectivo mensual i = 1.2%Gradiente o tasa de crecimiento G = 2.5%

Solución:

1

)i(1)G1(

i)-(Gi)1(A=P n

n

1

)012.0(1)025.01(

0.012)-(0.025)012.01(450000=P 36

36

1

)012.(1)025.1(

0.012)-(0.025)012.1(450000=P 36

36

1

53637931.1432535316.25030769.233=P

,4420.433.127$=P

El valor que debe cancelar de contado $20.433.127,44.


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VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ANTICIPADO

nn )i1()1(i)-(Gi)1(A=F G

Dónde:


EJEMPLO: Carlitos decide ahorrar al principio de cada mes la suma de $ 980.000 en una entidad financieraque reconoce una tasa de interés del 2% mensual; además la entidad financiera propone incrementos del2.5% mensual. El desea saber cuánto dinero tendrá disponible en la cuenta de ahorros final de un año ymedio.

Datos:

Cuota mensual A = $980.000Numero de cuotas mensuales n = 18Tasa efectiva de interés i = 2%Tasa de incremento o gradiente G = 2.5%

Solución:

nn )i1()1(i)-(Gi)1(A=F G


Página 122 de 170

1818 )02.01()025.01(0.02)-(0.025

)02.01(800009=F

1818 )02.1()025.1(0.02)-(0.025

)02.1(800009=F

428246248.1559658718.10.005

999600=F

,0926.271.981$=F

El dinero disponible en la cuenta de ahorros final de un año y medio es de $ 26.271.981,09

VALOR DE LA PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ANTICIPADO DADO (P)

nn

n

)i(1G)1(i1i-G

i1P=A

Dónde:

Valor presente = PNúmero de pagos = nTasa de interés del período = iTasa de incremento (gradiente geométrico) = G

EJEMPLO: Don Chucho recibe un préstamo hoy de $ 100.000.000 para pagarlo en 48 cuotas mensualesiguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 1.5% de interés mensual, además la entidad financierale propone incrementos del 2.3% mensual; calcular el valor de las cuotas.

Datos:

Valor presente P = $100.000.000Numero de cuotas n = 48Tasa efectiva de interés i = 1.5%Tasa de incremento o gradiente G = 2.3%

Solución


Página 123 de 170

nn

n

)i(1G)1(i1i-G

i1P=A

4848

48

)015.(1)023.1(015.10.015-0.023

.0151100000000=A

043478289.2978725053.2043478289.2*008.0

.0151100000000=A

935246764.0016347826.0

.0151100000000=A

2411.722.137,$=AEl valor de la primera cuota es de $ 1.722.137,24

VALOR PRIMERA CUOTA DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ANTICIPADO DADO (F)

nn )i(1G)1(

i-Gi1

F=A

Dónde:

Valor futuro = FNúmero de pagos = nTasa de interés del período = iTasa de incremento (gradiente geométrico) = G

EJEMPLO: Carlitos decide ahorrar al principio de cada mes una suma determinada, en una entidad financieraque le reconoce una tasa de interés del 2% mensual; además la entidad financiera le propuso incrementos del


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2.5% mensual. Si el dinero disponible en la cuenta de ahorros al fin de año y medio es de $ 26.271.981,09.Calcular la suma que debe deposita al iniciar cada mes.

Datos:

Valor futuro F = $ 26.271.981,09Numero de cuotas mensuales n = 18Tasa efectiva de interés i = 2%Tasa de incremento o gradiente G = 2.5%

Solución:

nn )i(1G)1(

i-Gi1

F=A

1818 )020.0(1)025.01(

0.020-0.025020.01

,0926.271.981=A

1818 )020.(1)025.1(

0.020-0.025020.1

926271981.0=A

428246248.1559658718.10.005

020.1926271981.0=A

13141247.00.005

020.1926271981.0=A

980.000$=A

La suma que debe deposita al iniciar cada mes es $ 980.000


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3. GRADIENTE ARITMETICO DIFERIDO

Se conoce como gradiente diferido aquella serie en la que el primer pago de la serie se hace varios períodosdespués de iniciada la operación financiera. El lapso de tiempo durante el cual no hay movimiento de efectivose denomina período de gracia o tiempo muerto, y se identifica con ( r ) y el lapso de tiempo durante el cual sedan los movimientos de efectivo, se identifica con ( s ).

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO DIFERIDO

Este gradiente resulta de la suma del valor presentes de la serie uniforme más el valor presente de la serievariable

ss

s

rs

s

r i)(1s

i)i(11i)1(

i)i(1K

i)i(11i)1(

i)(1A=P

s

i1i)1(K1i)1(A

ii)(1i)(11=P

ss

sr

Dónde:

Tasa periódica de interés = iNúmero total de meses = nNúmero de meses muertos = rNúmero de meses de movimientos de efectivo = sValor primera cuota = ACuota adicional constante = K

EJEMPLO: Don Pedro solicita un préstamo hoy en el Banco Agrario y se compromete cancelar en 42 mesesde la siguiente manera: le dan un lapso de tiempo durante el cual no hay movimiento de efectivo denominadoperíodo de gracia o tiempo muerto de 6 meses ( r ) con una tasa de interés del 2.5%; después de este lapsode tiempo empieza a cancelar el complemento de los meses 36 (s); además el valor de la primera cuota es de$250.000 y un gradiente de $75.000. Don Pedro necesita saber el valor del préstamo.

Datos:

Tasa periódica de interés i = 2.5%Número total de meses n = 42Número de meses muertos r = 6Número de meses de movimientos de efectivo s = 36Valor primera cuota A = $250.000


Página 126 de 170

Cuota adicional constante K = $75.000

Solución:

s

i1i)1(K1i)1(A

ii)(1i)(11=P

ss

sr

63

0.0251)025.01(750001)025.01(500002

025.0)025.0(10.025)(11=P

3636

366

63

0.0251)025.1(750001)025.1(500002

025.0)025.(1.025)(11=P

3636

366

6330141263.5775000432535316.15000024.179393171=P 947.1597605829.3581334.179393171=P .2227.731.203$=P

El préstamo que don Pedro adquirió el día de hoy es de $ 27.713.203,22

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO DIFERIDO

En algunas ocasiones cuando hay tiempo muerto tiene y una tasa de interés diferente a la tasa de interés enel número de meses de movimientos de efectivo; para este caso se debe utilizar la siguiente expresión:

1)i(1s

i1KA

)i(1i)i(11)i(1=P s

sss

ssr

r

ss


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Dónde:

Número total de meses = nTasa periódica de interés en tiempo muerto = irNúmero de meses muertos = rNúmero de meses de movimientos de efectivo = sTasa de interés en el tiempo de movimiento efectivo=isValor primera cuota = ACuota adicional constante = K

EJEMPLO: Suponiendo que Don Pedro solicita un préstamo hoy en el Banco Agrario y se comprometecancelar en 42 meses de la siguiente manera: le dan un lapso de tiempo durante el cual no hay movimiento deefectivo denominado período de gracia o tiempo muerto 6 meses ( r ) a una tasa de interés de 1.5%; despuésde este lapso de tiempo empieza a cancelar el complemento que son 36 meses (s) en este periodo de tiempola tasa de interés es de 2.5%; el valor de la primera cuota es de $250.000 y un gradiente aritmético diferido de$75.000. Don Pedro necesita saber el valor del préstamo.

Datos:

Número total de meses n = 42Tasa periódica de interés en tiempo muerto ir = 1.5%Número de meses muertos r = 6Número de meses de movimientos de efectivo s = 36Tasa de interés en el tiempo de movimiento efectivo is = 2.5%Valor primera cuota A = $250.000Cuota adicional constante K = $75.000

Solución:

1 2 *** 7

$250.000

40 41 42398

iS =2.5%

0

$325.000

$2.950.000

ir =1.5%

P


Página 128 de 170

1)i(1s

i1KA

)i(1i)i(11)i(1=P s

sss

ssr

r

ss

1)025.0(136

0.025150007500002

)025.00.025(10.015)(11)025.0(1=P 36366

36

1)025.(136

0.025150007500002

)025.0.025(1.015)(11)025.(1=P 36366

36

13027051.254050007500002070524879.0432535316.1=P

712.1115229500002066495983.0432535316.1=P

,3329.411.397$=PBajo las nuevas condiciones el préstamo que don Pedro adquirió el día de hoy es de $ 29.411.397,33

VALOR DE LA PRIMERA CUOTA GRADIENTE ARITMÉTICO DIFERIDO

1)i(1s

i1K

1)i(1)i(1i)iP(1=A s

sss

s

sssr

r

Dónde:

Valor presente = PNúmero de periodos mensuales = nTasa de interés en el tiempo muerto = irTasa de interés en el tiempo no muerto = isNúmero de periodos muertos = rNúmero de periodos no muertos = sIncremento constante mensual = K

EJEMPLO: Don Carlos solicita un préstamo hoy en el Banco Agrario de $ 150.000.000 y se comprometecancelar en 36 meses de la siguiente manera: le dan un lapso de tiempo muerto de 6 meses a una tasa deinterés del 2%; después de este tiempo de 30 meses empieza a cancelar de la siguiente manera: tasa deinterés 2.5%; además el valor de un gradiente aritmético diferido de $500.000. Don Carlos necesita saber elvalor de la primera cuota a cancelar.

Datos:

Valor presente P = $150.000.000Numero de periodos mensuales n = 36Tasa de interés en el tiempo muerto ir = 2%


Página 129 de 170

Tasa de interés en el tiempo no muerto is = 2.5%Numero de periodos muertos r = 6Numero de periodos no muertos s = 30Incremento constante mensual K = $500.000

Solución:

1)i(1s

i1K

1)i(1)i(1i)iP(1=A s

sss

s

sssr

r

1)025.0(130

0.0251000005

1)025.0(1)025.00.025(10.02)1150000000(=A 3030

306

1)025.(1

300.025

10000051)025.(1)025.0.025(11.02)150000000(=A 3030

306

33316888.274000000504777764.09168924362.=A

56.6333415070807.3978=A

8171.737.391,$=A

El valor de la primera cuota a cancelar es de $ 1.737.391,817

4. GRADIENTE GEOMÉTRICO DIFERIDO (GGD)

Se tendrá un gradiente geométrico creciente diferido, si los flujos se presentan en períodos posteriores a lafecha de realizada la operación financiera

1 2 *** 7

A+0*$500.000

34 35 36338

iS =2.5%

0

A+1*$500.000

A+30*$500.000

ir = 2%

$150.000.000


Página 130 de 170

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO DIFERIDO

sr

ss

i)(1i)i)(1-G(i)1(1)G(A=P

Dónde:

Tasa periódica de interés = iNúmero de periodos mensuales = nNúmero de mensuales muertos = rTiempo de movimiento de efectivo = sValor de la primera cuota = ATasa de interés en el movimiento efectivo = G

EJEMPLO: A Tomas le hacen un préstamo y desea conocer el valor presente si se compromete bajo ungradiente geométrico diferido del 1%; si el valor de la primera cuota es de $ 1.200.000 pagaderos en untiempo de 42 meses, la entidad financiera da un tiempo muerto de 6 meses y en los restantes 36 seincrementa en forma geométrica; la tasa periódica de interés es del 1.5% efectivo mensual.

Datos:

Tasa periódica de interés i = 1.5%Numero de periodos mensuales n = 42Numero de mensuales muertos r = 6Tiempo de movimiento de efectivo s = 36Valor de la primera cuota A = $ 1.200.000Tasa de interés en el movimiento efectivo G = 1%

Solución:


Página 131 de 170

sssr i)1(1)G(

i)(1i)i)(1-G(A=P

3636366 )015.01(1)01.0(

)015.0(1)015.00.015)(1-0.01(1200000=P

3636366 )015.1(1)01.0(

)015.(1)015.0.015)(1-0.01(1200000=P

3636366 )015.1(1)01.0(

)015.(1)015.0.015)(1-0.01(1200000=P

709139538.1430768784.1)015.(1)015.0.015)(1-0.01(

1200000=P 366

709139538.1430768784.128421419.91=P

7,49$35.748.76=P

El préstamo hoy de Tomas es de $ 35.748.767,49

VALOR DE LA PRIMERA CUOTA GRADIENTE ARITMÉTICO DIFERIDO

ss

sr

i)(11)G(i)i)(1-G(i)P(1=A


Página 132 de 170

Dónde:

Tasa periódica de interés = iNúmero total de periodos = nNúmero de periodos muertos = rNúmero de periodos activos = sGradiente geométricos = GValor presente = P

EJEMPLO: Anita solicita un préstamo en una entidad financiera por un valor de $ 35.748.768; la entidadfinanciera le propone cancelar las 42 cuotas según las condiciones siguientes: la da un tiempo muerto de 6meses y los restantes 36 según un gradiente que se incrementa en forma geométrica con una tasa de interésde 1%. Anita desea conocer el valor de la primera cuota.

Datos:

Tasa periódica de interés i = 1.5%Número total de periodos n = 42Numero de periodos muertos r = 6Numero de periodos activos s = 36Gradiente geométricos G = 1%Valor presente P = $35.748.768

Solución:

ss

sr

i)(11)G(i)i)(1-G(i)P(1=A


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3636

366

)015.0(11)01.0()015.00.015)(1-01.0(0.015)35748768(1=A

3636

366

)015.(1)01.1()015.0.015)(1-01.0(.015)(135748768=A

3636

366

)015.(1)01.1()015.)(1005.0(.015)(135748768=A

709139538.1430768784.19097.334044=A

278370754.09097.334044=A

1.200.000$=AEl valor de la primera cuota que debe Anita es de $ 1.200.000.

TALLER COMPLEMENTARIO

1. ¿Cuál será el valor hoy de una pensión de un trabajador que le pagaran durante su época dejubilación 24 pagos anuales iniciando en $2´000.000 y con incrementos del 10% anual? Suponga que sereconoce una tasa de interés del 7% efectivo anual

2. ¿Cuál será el valor hoy de una pensión de un trabajador que le pagaran durante su época dejubilación 24 pagos anuales iniciando en $2´000.000 y con incrementos del 10% anual? Suponga que sereconoce una tasa de interés del 10% efectivo mensual


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3. ¿Cuál será el valor final de un ahorro que se realiza durante 36 semestres iniciando con un pago de$3´000.000 e incrementos del 4%? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 3,5% efectivosemestral.

4. ¿Cuál será el valor final de un ahorro que se realiza durante 36 semestres iniciando con un pago de$3´000.000 e incrementos del 4%? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 4% efectivosemestral

5. ¿Cuál será el valor de la prima de un seguro que pretende realizar pagos de forma indefinida,iniciando en $4´000.000 con incrementos mensuales del 1%? Suponga que se reconoce una tasa deinterés del 1,5% efectivo mensual


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Ejercicios tomados del Grupo de Investigación GNÓSIS de la Universidad Libre sede Cartagena

GRADIENTE GEOMETRICO CRECIENTE

6. Una obligación se está cancelando en 24 cuotas mensuales que aumentan un 10% cada mes. Si el valorde la primera cuota es $ 850.000 y se cobra una tasa de interés del 3% mensual, calcular:

a) El valor de la obligación,b) El valor de la cuota 18.

7. Una persona desea comprar un apartamento que tiene un valor de $ 65.000.000, se le plantea el siguienteplan: 20% de cuota inicial, 24 cuotas que aumentan cada mes en el 1,5% mensual, y un abonoextraordinario en el mes 18 por valor de $ 5.000.000, si la tasa de financiación es del 2,8 mensual, calcularel valor de la primera cuota.

8. Calcular el valor futuro equivalente a 18 pagos que aumentan cada mes en el 2% si se cobra una tasa del3% mensual, siendo el primer pago de $ 2.500.000

9. Se hacen depósitos trimestrales que crecen en un 4% durante 3 años, en una institución financiera quepaga el 7,5% trimestral, si se desea tener disponible $ 5.000.000, determinar el primer pago.

GRADIENTE GEOMETRICO DECRECIENTE

10. Calcular el valor presente de 18 pagos semestrales que disminuyen cada semestre en el 2,5%, siendo elprimer pago de $ 650.000. La tasa de Interés es del 24% NS.

11. Encuentre la cuota 12 del ejercicio anterior

12. Calcular el valor que se tendrá ahorrado en una institución financiera si se hacen 12 depósitos trimestralesque decrecen en un 4%, siendo el primer depósito de $ 3.200.000 y se devenga una tasa de interés del6% trimestral. Encontrar la cuota 7.

13. Un préstamo de $ 20.000.000 se cancela con 15 cuotas mensuales que disminuyen en 1,8% cada mes,determinar el primer pago o cuota si la tasa de financiación es del 2% mensual.

GRADIENTE ARITMETICO PERPETUO

14. Encontrar el valor presente de una serie de flujos de caja a perpetuidad que crecen en $ 10.000, si elprimer flujo vale $ 200.000 y la tasa de interés es del 2,5%.

15. Actualmente las acciones de una empresa cuestan $ 10.000 y están pagando un dividendo mensual de $100. Por experiencia de los últimos 5 años se sabe que cada mes el valor del dividendo se vieneincrementando en $ 1 y se espera mantener esta tendencia en el futuro. Calcular el costo de capital enestas condiciones.


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GRADIENTE GEOMETRICO PERPETUO

16. Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos que crecen en un 10%, si la tasa de interés es del20% y el primer pago es $ 300.000.

17. El valor comercial de una acción de una empresa es actualmente de $ 8.000 y desea hacerse una nuevaemisión de acciones, manteniendo la tendencia de aumentar los dividendos mensualmente, en un 1,5%.¿Cuál será el costo de capital, si el dividendo actual es de $ 75 por mes y por acción?.


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7. AMORTIZACIONES

Una amortización financiera se define como el proceso por medio del cual se cancela una deuda, junto consus respectivos intereses, mediante una serie de pagos en un tiempo determinado. En términos concretos,amortizar una deuda es pagarla con sus respectivos intereses. Por lo general, cada cuota de pago queamortiza una deuda tiene dos componentes: intereses y abono a capital. Al diseñar un plan de amortización deuna deuda se acostumbra construir la tabla de amortización, que registra período a período la forma como seva pagando la deuda. Una tabla de amortización debe contener como mínimo 5 columnas: la primera muestralos períodos de pago, la segunda muestra el valor de la cuota periódica, la tercera el valor los intereses, lacuarta muestra el abono a capital y la quinta columna muestra el saldo de cada período.

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO012456789

101112

TOTALES


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SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN

Cuando se adquiere una obligación, su pago se pacta con una serie de condiciones mínimas que determina elcomportamiento que debe asumir el deudor. Para que se pueda hablar de la existencia de un sistema deamortización, es necesario conocer cuatro datos básicos:

Valor de la deuda. P Plazo durante el cual estará vigente la obligación n Costo financiero que debe asumir el deudor en la cancelación de la deuda. Este costo financiero es la tasa

de interés cobrada en la operación financiera i. El patrón de pago del crédito. Se debe especificar la forma de pago de las cuotas A.

CLASES DE AMORTIZACIONES

1. SISTEMA DE AMORTIZACIÓN CON PAGO UNICO DEL CAPITAL AL FINAL DEL PLAZO

En este sistema, se pagan periódicamente los intereses y al final del plazo del crédito se devuelve el capitalprestado.

EJEMPLO. Una deuda de $20.000.000 se va a financiar a 6 meses a una tasa de interés del 2.5% mensual.Los pagos mensuales serán únicamente intereses y el capital se pagará al final del plazo del crédito. Construirla tabla de amortización.

Datos:

Valor presente P = $ 20.000.000Tasa efectiva de Interés i = 2.5%Tiempo de financiación 6 meses

Solución:

Calcular el valor de los intereses mensuales.

I = P*iI = 20.000.000*0.025 = 500.000I = $ 500.000

Abono capital = cuota – interés;Cuota = abono a capital + interés


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AMORTIZACIÓN CON PAGO ÚNICO DEL CAPITAL AL FINAL DEL PLAZO20.000.000,00 2,50%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO01 500.000,00 500.000,00 20.000.000,002 500.000,00 500.000,00 20.000.000,003 500.000,00 500.000,00 20.000.000,004 500.000,00 500.000,00 20.000.000,005 500.000,00 500.000,00 20.000.000,006 $ 20.500.000,00 $ 500.000,00 $ 20.000.000,00 0

2. SISTEMA DE CUOTA FIJA

Este sistema, llamado también sistema de amortización simple o crédito plano, tiene la característica que lospagos son iguales y periódicos, o sea, que hace referencia a la anualidad o serie uniforme. En la vida prácticaes el sistema más utilizado por los Bancos y casas comerciales para financiamiento de artículos de consumo,créditos bancarios y de vivienda. Tiene la particularidad que desde el pago de la primera cuota, el saldo de ladeuda empieza a disminuir hasta llegar a cero, debido a que siempre el valor de la cuota sobre pasa el costofinanciero.

EJEMPLO. Un electrodoméstico que vale de contado $ 5.000.000 se financia de la siguiente forma: una cuotainicial (Ci) de $ 500.000 y el saldo en 6 cuotas mensuales iguales. Si la tasa de interés de financiación que secobra es del 30% capitalizable mensualmente, calcular el valor de las cuotas y construir la tabla deamortización.

Datos:

Valor presente P = $5.000.000Cuota inicial Ci = $500.000Tasa de interés capitalizable mensualmente del 30%Numero de cuotas n = 6

Solución:

i. = 0.30/12 = 0.025 = 2.5%

A = (P-Ci)

1)1(

)1(n

n

iii

A=(5.000.000-500.000)

1)025.01()025.01(025.0

6

6 =4.500.000

1)025.1(

)025.1(025.06

6 =

159693418.055095.130465 =$ 816.974,87

A = Abono a capital + Intereses = $ 816.974,87


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TABLA: SISTEMA DE CUOTA FIJA5.000.000,0 2,50%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO0 500.000,00 4.500.000,001 816.974,87 112.500,00 704.474,87 3.795.525,132 816.974,87 94.888,13 722.086,74 3.073.438,393 816.974,87 76.835,96 740.138,91 2.333.299,484 816.974,87 58.332,49 758.642,38 1.574.657,095 816.974,87 39.366,43 777.608,44 797.048,656 816.974,87 19.926,22 797.048,65 0,00

$ 5.401.849,22 $ 401.849,22 $ 4.500.000,00

3. SISTEMA DE CUOTA FIJA CON CUOTAS EXTRAORDINARIAS

Básicamente casi es el mismo sistema de amortización con cuota fija, pero con la diferencia de que en elplazo del crédito se hacen abonos adicionales al capital, para lograr disminuir el valor de las cuotas periódicas.

EJEMPLO. Un vehículo que tiene un valor de contado $ 20.000.000 se piensa financiar de la siguiente forma:cuota inicial de $ 2.000.000 y el saldo en 12 cuotas mensuales iguales de $1.500.000 y 2 cuotasextraordinarias de 1.994.324.21 en los meses 6 y 12; construir la tabla de amortización.

Datos:

Valor de contado = $ 20.000.000Cuota inicial Ci = $ 2.000.000Numero de cuotas n = 12Cuotas mensuales A = $1.500.000Cuotas extraordinarias = 2

CUOTA FIJA CON CUOTAS EXTRAORDINARIAS20.000.000,0 3,00% 1.994.324

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO0 2.000.000,00 18.000.000,001 1.500.000 540.000 960.000 17.040.0002 1.500.000 511.200 988.800 16.051.2003 1.500.000 481.536 1.018.464 15.032.7364 1.500.000 450.982 1.049.018 13.983.7185 1.500.000 419.512 1.080.488 12.903.2306 3.494.324 387.097 3.107.227 9.796.0027 1.500.000 293.880 1.206.120 8.589.8828 1.500.000 257.696 1.242.304 7.347.5799 1.500.000 220.427 1.279.573 6.068.006

10 1.500.000 182.040 1.317.960 4.750.04611 1.500.000 142.501 1.357.499 3.392.54812 3.494.324 101.776 3.392.548 0

23.988.648 3.988.648 18.000.000,0


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4. SISTEMA DE CUOTA FIJA CON PERIODO DE GRACIA

El período de gracia o tiempo muerto es un período en el cual no hay amortización de capital, pero si haycausación de intereses. Si los intereses se pagan periódicamente, el capital inicial permanece constante ysobre éste mismo se calculan las cuotas. Si los intereses causados no se pagan, estos se capitalizan y ladeuda habrá aumentado al final del período de gracia y sobre este nuevo capital se calculan las cuotas deamortización.

EJEMPLO. Una deuda de $ 20.000.000 se va a cancelar con 4 pagos trimestrales iguales, a una tasa del 9%trimestral, con un período de gracia de 6 meses. Calcular el valor de las cuotas trimestrales y construir la tablade amortización, suponiendo:

Datos:

Valor presente P = $ 20.000.000Numero de cuotas trimestrales n = 4Tasa de interés i = 9%Periodo de gracia = 6

Solución:

4.1 Durante el período de gracia los intereses causados se pagan periódicamente. En este caso, cadatrimestre se debe pagar los intereses causados por la obligación inicial a la tasa de interés pactada. Como losintereses se pagan, el capital inicial no cambia.

I = P.i

I = 20.000.000*0.09 = 1.800.000

I = $ 1.800.000 trimestral

A = P

1)1(

)1(n

n

iii

A = 20.000.000

1)09.01()09.01(09.0

4

4 = 20.000.000

1)09.1(

)09.1(09.04

4 =

411581609.090.846.540.2 = 6.173.373.24

A = $ 6.173.373.24

SISTEMA DE CUOTA FIJA CON PERIODO DE GRACIA20.000.000,0 9,00%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO0 20.000.000,001 1.800.000,00 1.800.000,00 - 20.000.000,002 1.800.000,00 1.800.000,00 - 20.000.000,00


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3 6.173.373,24 1.800.000,00 4.373.373,24 15.626.626,764 6.173.373,24 1.406.396,41 4.766.976,83 10.859.649,935 6.173.373,24 977.368,49 5.196.004,75 5.663.645,186 6.173.373,24 509.728,07 5.663.645,17 0,01

$ 28.293.492,96 $ 8.293.492,97 $19.999.999,99

4.2 Los intereses causados durante el período de gracia se capitalizan. Este caso despierta confusiónentre los usuarios de un préstamo, porque al no hacer el pago periódico de cuotas durante el período degracia creen que siempre están debiendo el capital inicial. En verdad, al no pagar los intereses durante elperíodo de gracia, estos se capitalizan aumentando nominalmente el valor del préstamo sobre el cual se haráel cálculo de las cuotas periódicas.

En este caso los intereses causados durante el período de gracia se capitalizan de tal forma que, al final delmes 6 el capital inicial se ha transformado en:

Construimos la tabla de amortización.20.000.000,0 9,00%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO0 20.000.000,001 1.800.000,00 1.800.000,00 21.800.000,002 - 1.962.000,00 1.962.000,00 23.762.000,003 7.334.584,75 2.138.580,00 5.196.004,75 18.565.995,254 7.334.584,75 1.670.939,57 5.663.645,18 12.902.350,075 7.334.584,75 1.161.211,51 6.173.373,24 6.728.976,836 7.334.584,75 605.607,91 6.728.976,84 -0,01

$ 29.338.339,00 $ 9.338.338,99 $ 20.000.000,01

F = P(1 + i)n

F = 20.000.000 *(1 + 0.09)2

F = $ 23.762.000

Con este nuevo capital calculamos el valor de cada una de las cuotas trimestrales.

A = P

1)1(

)1(n

n

iii = 23.762.000

1)09.01()09.0.1(09.0

4

4 = $ 7.334.584.75

A = $ 7.334.584.75

5. SISTEMA DE ABONO CONSTANTE A CAPITAL

Este es uno de los sistemas de amortización utilizados por los bancos para sus créditos ordinarios y deconsumo, como también para la amortización de los créditos de vivienda. Aunque los intereses pueden sercobrados en forma vencida o anticipada, la amortización al capital es constante, es decir, cada período se


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abona al capital una cantidad constante igual al monto del préstamo dividido entre el número de períodos depago. En el siguiente EJEMPLO se analizará los intereses en forma vencida y en forma anticipada.

5.1 Con intereses vencidos

EJEMPLO. El Banco Ganadero concede un crédito por valor de $ 100.000.000 a una tasa de interés del 36%trimestre vencido, con un plazo de 1 año. La restitución del capital se hará en 4 cuotas trimestrales iguales.Calcular el valor de las cuotas y construir la tabla de amortización.

Datos:

Valor presente P = $ 100.000.000Tasa de interés trimestre vencido i = 36%Plazo de = 1 añoNumero de cuotas trimestrales n = 4

Solución:

Calculamos las 4 cuotas, mediante la siguiente ecuación con intereses vencidos:

Ck = iPnP

*

nK 11 , Dónde: Ck = valor de cada una de las cuotas para: k = 1,2,3,4,…

La primera cuota:

C1 = 09.0000.000.1004

000.000.100*

4111 ,

C1 = 25.000.000 + 9.000.000 = 34.000.000

La segunda cuota:

C2 = 09.0000.000.1004

000.000.100*

4121 ,

C2 = 25.000.000 + 6.750.000 = 31.750.000

CON INTERESES VENCIDOS100.000.000,0 9,00%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO0 100.000.000,001 34.000.000,00 9.000.000,00 25.000.000,00 75.000.000,002 31.750.000,00 6.750.000,00 25.000.000,00 50.000.000,003 29.500.000,00 4.500.000,00 25.000.000,00 25.000.000,004 27.250.000,00 2.250.000,00 25.000.000,00 -

$ 122.500.000,00 $ 22.500.000,00 $ 100.000.000,00


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La tercera cuota:

C3 = 09.0000.000.1004

000.000.100*

4131 ,

C3 = 25.000.000 + 4.500.000 = 29.500.000

La cuarta cuota:

C4 = 09.0000.000.1004

000.000.100*

4141 ,

C4 = 25.000.000 + 2.250.000 = 27.250.000

5.2 Con intereses anticipados

Este es el caso utilizado con mayor frecuencia por los bancos para amortizar los créditos a corto plazo. Laamortización del capital se hace con cuotas constantes pagaderas al final del período, pero los intereses soncobrados en forma anticipada.

EJEMPLO. Con los datos del EJEMPLO anterior, calcular el valor de las cuotas, valor de intereses y construirla tabla de amortización, pero asumiendo una tasa del 36% trimestre anticipado.

Dividimos la tasa nominal: i. = j/m = 0.36/4 = 0.09 = 9%

En el momento de hacer el desembolso del préstamo, momento 0, se cobran los intereses, cuyo valor es:

I = P.i = 100.000.000*0.09 = $ 9.000.000

Luego calculamos las 4 cuotas mediante la siguiente ecuación:

Ck = iPnP

*

nK1 ,

Dónde: Ck = valor de cada una de las cuotas para cada valor de k = 1,2,3,4,…

La primera cuota:

C1 = 09.0000.000.1004

000.000.100*

411 ,

C1 = 25.000.000 + 6.750.000 = 31.750.000

La segunda cuota:

C2 = 09.0000.000.1004

000.000.100*

421 ,

C2 = 25.000.000 + 4.500.000 = 29.500.000


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La tercera cuota:

C3 = 09.0000.000.1004

000.000.100*

431 ,

C3 = 25.000.000 + 2.250.000 = 27.250.000

La cuarta cuota:

C4 = 09.0000.000.1004

000.000.100*

441 ,

C4 = 25.000.000 + 0 = 25.000.000

La tabla de amortización será:

CON INTERESES ANTICIPADOS100.000.000,0 9,00%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO0 9.000.000,00 100.000.000,001 31.750.000,00 6.750.000,00 25.000.000,00 75.000.000,002 29.500.000,00 4.500.000,00 25.000.000,00 50.000.000,003 27.250.000,00 2.250.000,00 25.000.000,00 25.000.000,004 25.000.000,00 - 25.000.000,00 -

$ 113.500.000,00 $ 13.500.000,00 $ 100.000.000,00

CUOTAS FIJA MES ANTICIPADO

EJEMPLO. Se obtiene una obligación de $ 212.491.72 y pacta cancelar con 18 cuotas iguales de $ 15.000cada una por mes anticipado, construir la tabla de amortización correspondiente.

SISTEMA DE CUOTA FIJA MES ANTICIPADO212.491,78 3,00%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO0 15.000,00 197.491,781 15.000,00 5.924,75 9.075,25 188.416,532 15.000,00 5.652,50 9.347,50 179.069,033 15.000,00 5.372,07 9.627,93 169.441,104 15.000,00 5.083,23 9.916,77 159.524,335 15.000,00 4.785,73 10.214,27 149.310,066 15.000,00 4.479,30 10.520,70 138.789,377 15.000,00 4.163,68 10.836,32 127.953,058 15.000,00 3.838,59 11.161,41 116.791,649 15.000,00 3.503,75 11.496,25 105.295,39

10 15.000,00 3.158,86 11.841,14 93.454,2511 15.000,00 2.803,63 12.196,37 81.257,8812 15.000,00 2.437,74 12.562,26 68.695,6113 15.000,00 2.060,87 12.939,13 55.756,4814 15.000,00 1.672,69 13.327,31 42.429,17


Página 146 de 170

15 15.000,00 1.272,88 13.727,12 28.702,0516 15.000,00 861,06 14.138,94 14.563,1117 15.000,00 436,89 14.563,11 0,00

$ 270.000,00 $ 57.508,22 $ 197.491,78

6. SISTEMA DE CUOTA FIJA CON INTERÉS GLOBAL

Este sistema de pagos consiste en abonar una porción al capital, los intereses se siguen cobrando sobre elcapital prestado inicialmente. Lo importante es diseñar la tabla de amortización para observar elcomportamiento del crédito.

EJEMPLO. Se propone prestar $ 10.000.000 para cancelar por medio de 4 cuotas trimestrales iguales coninterés global del 6% trimestral. Calcular el valor de las cuotas y diseñar la tabla de amortización.

Datos:

Valor presente P = $ 10.000.000Numero de cuotas trimestrales n = 4Tasa de interés global i = 6%

Solución:

iPnPA * = 06.0000.000.10

4000.000.10

* = $ 3.100.000

SISTEMA DE CUOTA FIJA (CON INTERÉS GLOBAL)10.000.000,0 6,00%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO0 10.000.000,001 3.100.000,00 600.000,00 2.500.000,00 7.500.000,002 3.100.000,00 600.000,00 2.500.000,00 5.000.000,003 3.100.000,00 600.000,00 2.500.000,00 2.500.000,004 3.100.000,00 600.000,00 2.500.000,00 -

$ 12.400.000,00 $ 2.400.000,00 $ 10.000.000,00

EJEMPLO. Se compró un vehículo con una cuota inicial de $ 1.000.000 y 12 cuotas mensuales iguales de $200.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor de vehículo y la tabla deamortización correspondiente.(PAG 210 E5.2)

Datos:

Cuota inicial Ci = $ 1.000.000Numero de cuotas mensuales n =12Valor de las cuotas mensuales A = $ 200.000Tasa de interés mensual i = 2.5%


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Solución:

n

n

iiiACiP

)1(1)1(

12

12

)025.01(025.01)025.01(000.200000.000.1P = 3.051.552.92

TABLA DE AMORTIZACION3.051.552,92 2,50%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO0 1.000.000,00 2.051.552,921 200.000,00 51.288,82 148.711,18 1.902.841,742 200.000,00 47.571,04 152.428,96 1.750.412,793 200.000,00 43.760,32 156.239,68 1.594.173,114 200.000,00 39.854,33 160.145,67 1.434.027,435 200.000,00 35.850,69 164.149,31 1.269.878,126 200.000,00 31.746,95 168.253,05 1.101.625,077 200.000,00 27.540,63 172.459,37 929.165,708 200.000,00 23.229,14 176.770,86 752.394,849 200.000,00 18.809,87 181.190,13 571.204,71

10 200.000,00 14.280,12 185.719,88 385.484,8311 200.000,00 9.637,12 190.362,88 195.121,9512 200.000,00 4.878,05 195.121,95 0,00

$ 3.400.000,00 $ 348.447,08 $ 2.051.552,92

EJEMPLO. Se compra un artículo con una cuota inicial de$ 3.387.108,42 y 24 cuotas mensuales de $800.000. La tasa de interés de financiación es del 3% mensual. Calcular el valor del artículo y la tabla deamortización correspondiente (PAG 214 E5.3)

Datos:

Cuota inicial Ci = $3.387.108,42Numero de cuotas n = 24Cotas mensuales A = $ 800.000La tasa de interés de financiación i = 3%

Solución:

n

n

iiiACiP

)1(1)1(

24

24

)03.01(03.01)03.01(000.80042.108.387.3P = 16.935.542,12


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No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO0 3.387.108,42 13.548.433,701 800.000,00 406.453,01 393.546,99 13.154.886,712 800.000,00 394.646,60 405.353,40 12.749.533,313 800.000,00 382.486,00 417.514,00 12.332.019,314 800.000,00 369.960,58 430.039,42 11.901.979,895 800.000,00 357.059,40 442.940,60 11.459.039,296 800.000,00 343.771,18 456.228,82 11.002.810,467 800.000,00 330.084,31 469.915,69 10.532.894,788 800.000,00 315.986,84 484.013,16 10.048.881,629 800.000,00 301.466,45 498.533,55 9.550.348,07

10 800.000,00 286.510,44 513.489,56 9.036.858,5111 800.000,00 271.105,76 528.894,24 8.507.964,2712 800.000,00 255.238,93 544.761,07 7.963.203,1913 800.000,00 238.896,10 561.103,90 7.402.099,2914 800.000,00 222.062,98 577.937,02 6.824.162,2715 800.000,00 204.724,87 595.275,13 6.228.887,1416 800.000,00 186.866,61 613.133,39 5.615.753,7517 800.000,00 168.472,61 631.527,39 4.984.226,3618 800.000,00 149.526,79 650.473,21 4.333.753,1619 800.000,00 130.012,59 669.987,41 3.663.765,7520 800.000,00 109.912,97 690.087,03 2.973.678,7221 800.000,00 89.210,36 710.789,64 2.262.889,0822 800.000,00 67.886,67 732.113,33 1.530.775,7623 800.000,00 45.923,27 754.076,73 776.699,0324 800.000,00 23.300,97 776.699,03 -0,00

$ 22.587.108,42 $ 5.651.566,30 $ 13.548.433,70

EJEMPLO. Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% y 12cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas y la tabla deamortización. (PAG 217 E5.5)

Datos:

Valor del terreno = $20.000.000Cuota inicial Ci = 10%Valor presente P = $18.000.000Tasa de interés mensual i = 2%

Solución:

1)1()1(n

n

iiiPA


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1)02.01()02.01(02.0000.000.18 12

12

A = 1.702.072,74


No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO0 2.000.000,00 18.000.000,001 1.702.072,74 360.000,00 1.342.072,74 16.657.927,262 1.702.072,74 333.158,55 1.368.914,19 15.289.013,073 1.702.072,74 305.780,26 1.396.292,48 13.892.720,594 1.702.072,74 277.854,41 1.424.218,33 12.468.502,265 1.702.072,74 249.370,05 1.452.702,69 11.015.799,576 1.702.072,74 220.315,99 1.481.756,75 9.534.042,827 1.702.072,74 190.680,86 1.511.391,88 8.022.650,948 1.702.072,74 160.453,02 1.541.619,72 6.481.031,229 1.702.072,74 129.620,62 1.572.452,11 4.908.579,10

10 1.702.072,74 98.171,58 1.603.901,16 3.304.677,9411 1.702.072,74 66.093,56 1.635.979,18 1.668.698,7612 1.702.072,74 33.373,98 1.668.698,76 -0,0013 22.424.872,87 2.424.872,87 18.000.000,00

EJEMPLO. Se tiene un crédito de $5.000.000 para pagarlo en 18 cuotas mensuales de $ 50.000 más doscuotas extras de $ 2.802.277,50 pagaderos en los meses 6 y 12. Si la operación financiera se realiza con uninterés del 3% mensual, construir la tabla de amortización. (PAG 219 E5.6)

Datos:

Valor presente P = $5.000.000Numero de cuotas mensuales n = 18Valor de la cuota mensual A = $ 50.000Dos cuotas extras de = $ 2.802.277,50 en los mese 6 y 12Tasa de interés mensual i = 3%

Solución:

TABLA DE AMORTIZACION5.000.000,0 3,00% 2.802.277,50

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO0 5.000.000,001 50.000,00 150.000,00 100.000,00 5.100.000,002 50.000,00 153.000,00 103.000,00 5.203.000,003 50.000,00 156.090,00 106.090,00 5.309.090,004 50.000,00 159.272,70 109.272,70 5.418.362,705 50.000,00 162.550,88 112.550,88 5.530.913,586 2.852.277,50 165.927,41 2.686.350,09 2.844.563,497 50.000,00 85.336,90 35.336,90 2.879.900,398 50.000,00 86.397,01 36.397,01 2.916.297,41


Página 150 de 170

9 50.000,00 87.488,92 37.488,92 2.953.786,3310 50.000,00 88.613,59 38.613,59 2.992.399,9211 50.000,00 89.772,00 39.772,00 3.032.171,9112 2.852.277,50 90.965,16 2.761.312,34 270.859,5713 50.000,00 8.125,79 41.874,21 228.985,3614 50.000,00 6.869,56 43.130,44 185.854,9215 50.000,00 5.575,65 44.424,35 141.430,5716 50.000,00 4.242,92 45.757,08 95.673,4817 50.000,00 2.870,20 47.129,80 48.543,6918 50.000,00 1.456,31 48.543,69 0,00

6.204.555,00 1.475.414,57 4.729.140,43

EJEMPLO. Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% dela cuota inicial y 12 cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotasy el valor total pagado.

Datos:

Valor del terreno = $20.000.000Cuota inicial Ci = 10% costo del terrenoNumero de cuotas mensuales n = 12Tasa de interés i = 2%

Solución:

Valor a financiar = $ 20.000.000 - $ 2.000.000 = $ 18.000.000

A = P

1)1(

)1(n

n

iii = 18.000.000

1)02.01(

)02.0.1(02.012

12= $ 1.702.072.74

A = $ 1.702.072.74 valor de la cuota mensual.

Total a pagar=A*12+2.000.000=1.702.072.74*12+2.000.000=20.424.872.88+2.000.000= $22.424.872.88

Total a pagar = $ 22.424.872.88

PAGINA ANUAMORTIZA 1 UN LOTE DE TERRENO20.000.000,0 2,00% 1.702.072,74

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO0 2.000.000,00 18.000.000,001 1.702.072,74 360.000,00 1.342.072,74 16.657.927,262 1.702.072,74 333.158,55 1.368.914,19 15.289.013,073 1.702.072,74 305.780,26 1.396.292,48 13.892.720,594 1.702.072,74 277.854,41 1.424.218,33 12.468.502,265 1.702.072,74 249.370,05 1.452.702,69 11.015.799,576 1.702.072,74 220.315,99 1.481.756,75 9.534.042,827 1.702.072,74 190.680,86 1.511.391,88 8.022.650,94


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8 1.702.072,74 160.453,02 1.541.619,72 6.481.031,229 1.702.072,74 129.620,62 1.572.452,11 4.908.579,10

10 1.702.072,74 98.171,58 1.603.901,16 3.304.677,9411 1.702.072,74 66.093,56 1.635.979,18 1.668.698,7612 1.702.072,74 33.373,98 1.668.698,76 0,00

TOTAL 22.424.872,87 2.424.872,87 20.000.000,00

EJEMPLO. Se compró un vehículo con una cuota inicial de $1.000.000 y 60 cuotas mensuales iguales$500.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehículo.

Datos:

Cuota inicial Ci = $1.000.000Numero cuotas mensuales n = 60Valor de la cuota mensual A = $500.000Tasa de interés mensual 2.5%

Solución:

n

n

iiiA

)1(1)1=P =

60

60

)025.01(025.01)025.01000.500 =

)399789748.4(025.0399789748.3000.500 =

P = $ 15.454.328.24Valor del vehículo = $15.454.328.24 + $ 1.000.000 = $ 16.454.328.24

PAGINA ANUAMORTIZA 2 COMPRÓ VEHICULO16.454.328,24 2,50%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO0 1.000.000,00 15.454.328,241 500.000,00 386.358,21 113.641,79 15.340.686,452 500.000,00 383.517,16 116.482,84 15.224.203,613 500.000,00 380.605,09 119.394,91 15.104.808,704 500.000,00 377.620,22 122.379,78 14.982.428,925 500.000,00 374.560,72 125.439,28 14.856.989,646 500.000,00 371.424,74 128.575,26 14.728.414,387 500.000,00 368.210,36 131.789,64 14.596.624,748 500.000,00 364.915,62 135.084,38 14.461.540,369 500.000,00 361.538,51 138.461,49 14.323.078,87

10 500.000,00 358.076,97 141.923,03 14.181.155,8411 500.000,00 354.528,90 145.471,10 14.035.684,7412 500.000,00 350.892,12 149.107,88 13.886.576,8513 500.000,00 347.164,42 152.835,58 13.733.741,2814 500.000,00 343.343,53 156.656,47 13.577.084,81


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15 500.000,00 339.427,12 160.572,88 13.416.511,9316 500.000,00 335.412,80 164.587,20 13.251.924,7317 500.000,00 331.298,12 168.701,88 13.083.222,8418 500.000,00 327.080,57 172.919,43 12.910.303,4219 500.000,00 322.757,59 177.242,41 12.733.061,0020 500.000,00 318.326,53 181.673,47 12.551.387,5321 500.000,00 313.784,69 186.215,31 12.365.172,2122 500.000,00 309.129,31 190.870,69 12.174.301,5223 500.000,00 304.357,54 195.642,46 11.978.659,0624 500.000,00 299.466,48 200.533,52 11.778.125,5325 500.000,00 294.453,14 205.546,86 11.572.578,6726 500.000,00 289.314,47 210.685,53 11.361.893,1427 500.000,00 284.047,33 215.952,67 11.145.940,4728 500.000,00 278.648,51 221.351,49 10.924.588,9829 500.000,00 273.114,72 226.885,28 10.697.703,7030 500.000,00 267.442,59 232.557,41 10.465.146,3031 500.000,00 261.628,66 238.371,34 10.226.774,9532 500.000,00 255.669,37 244.330,63 9.982.444,3333 500.000,00 249.561,11 250.438,89 9.732.005,4434 500.000,00 243.300,14 256.699,86 9.475.305,5735 500.000,00 236.882,64 263.117,36 9.212.188,2136 500.000,00 230.304,71 269.695,29 8.942.492,9237 500.000,00 223.562,32 276.437,68 8.666.055,2438 500.000,00 216.651,38 283.348,62 8.382.706,6239 500.000,00 209.567,67 290.432,33 8.092.274,2940 500.000,00 202.306,86 297.693,14 7.794.581,1441 500.000,00 194.864,53 305.135,47 7.489.445,6742 500.000,00 187.236,14 312.763,86 7.176.681,8143 500.000,00 179.417,05 320.582,95 6.856.098,8644 500.000,00 171.402,47 328.597,53 6.527.501,3345 500.000,00 163.187,53 336.812,47 6.190.688,8646 500.000,00 154.767,22 345.232,78 5.845.456,0847 500.000,00 146.136,40 353.863,60 5.491.592,4948 500.000,00 137.289,81 362.710,19 5.128.882,3049 500.000,00 128.222,06 371.777,94 4.757.104,3650 500.000,00 118.927,61 381.072,39 4.376.031,9751 500.000,00 109.400,80 390.599,20 3.985.432,7652 500.000,00 99.635,82 400.364,18 3.585.068,5853 500.000,00 89.626,71 410.373,29 3.174.695,3054 500.000,00 79.367,38 420.632,62 2.754.062,6855 500.000,00 68.851,57 431.148,43 2.322.914,2556 500.000,00 58.072,86 441.927,14 1.880.987,1057 500.000,00 47.024,68 452.975,32 1.428.011,7858 500.000,00 35.700,29 464.299,71 963.712,0859 500.000,00 24.092,80 475.907,20 487.804,8860 500.000,00 12.195,12 487.804,88 0,00

TOTAL 31.000.000,00 14.545.671,76 15.454.328,24


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EJEMPLO. Catalina deposita $ 400.000 cada fin de mes, durante 2 años, en una entidad financiera que pagauna tasa de interés del 4% mensual. Cuánto dinero tendrá acumulado al final de este tiempo?

Datos:

Cuota mensual A = $ 400.000Numero de cuotas mensuales n = 24Tasa de interés mensual i = 4%

Solución:

=1)1(A=F

ii n =

04.01)04.01(400.000

24

=04.0

)563304165.1(400.000

$ 15.633041.65

F = $ 15.633041.65

PAGINA ANUAMORTIZA 3 CATALINA4,00%

No CUOTA INTERES DEPOSITO+INTERESES SALDO1 400.000,00 400.000,002 400.000,00 16.000,00 416.000,00 816.000,003 400.000,00 32.640,00 432.640,00 1.248.640,004 400.000,00 49.945,60 449.945,60 1.698.585,605 400.000,00 67.943,42 467.943,42 2.166.529,026 400.000,00 86.661,16 486.661,16 2.653.190,187 400.000,00 106.127,61 506.127,61 3.159.317,798 400.000,00 126.372,71 526.372,71 3.685.690,509 400.000,00 147.427,62 547.427,62 4.233.118,12

10 400.000,00 169.324,72 569.324,72 4.802.442,8511 400.000,00 192.097,71 592.097,71 5.394.540,5612 400.000,00 215.781,62 615.781,62 6.010.322,1913 400.000,00 240.412,89 640.412,89 6.650.735,0714 400.000,00 266.029,40 666.029,40 7.316.764,4815 400.000,00 292.670,58 692.670,58 8.009.435,0616 400.000,00 320.377,40 720.377,40 8.729.812,4617 400.000,00 349.192,50 749.192,50 9.479.004,9618 400.000,00 379.160,20 779.160,20 10.258.165,1519 400.000,00 410.326,61 810.326,61 11.068.491,7620 400.000,00 442.739,67 842.739,67 11.911.231,4321 400.000,00 476.449,26 876.449,26 12.787.680,6922 400.000,00 511.507,23 911.507,23 13.699.187,9223 400.000,00 547.967,52 947.967,52 14.647.155,4324 400.000,00 585.886,22 985.886,22 15.633.041,65

TOTAL 9.600.000,00 6.033.041,65 15.233.041,65


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EJEMPLO. Dayana desea saber, cuánto debe depositar al final de cada mes, durante dos años, en unaentidad financiera que reconoce una tasa de interés del 10% mensual para reunir la suma de $17.000.000?

Datos:

Valor futuro F = $17.000.000Numero de cuotas mensuales n = 24Tasa de interés mensual i = 10%

Solución:

1)1(

=A niiF

1)1.01(

1.0000.000.17= 24

)849732676.8(

1.0000.000.17=

A = $192.096.20

PAGINA ANUAMORTIZA 4 DAYANA10,00%

No CUOTA INTERES DEPOSITO+INTERESES SALDO01 192.096,20 192.096,202 192.096,20 19.209,62 211.305,82 403.402,023 192.096,20 40.340,20 232.436,40 635.838,424 192.096,20 63.583,84 255.680,04 891.518,455 192.096,20 89.151,85 281.248,04 1.172.766,506 192.096,20 117.276,65 309.372,85 1.482.139,357 192.096,20 148.213,93 340.310,13 1.822.449,488 192.096,20 182.244,95 374.341,15 2.196.790,629 192.096,20 219.679,06 411.775,26 2.608.565,88

10 192.096,20 260.856,59 452.952,79 3.061.518,6711 192.096,20 306.151,87 498.248,07 3.559.766,7412 192.096,20 355.976,67 548.072,87 4.107.839,6113 192.096,20 410.783,96 602.880,16 4.710.719,7714 192.096,20 471.071,98 663.168,17 5.373.887,9415 192.096,20 537.388,79 729.484,99 6.103.372,9316 192.096,20 610.337,29 802.433,49 6.905.806,4217 192.096,20 690.580,64 882.676,84 7.788.483,2618 192.096,20 778.848,33 970.944,52 8.759.427,7919 192.096,20 875.942,78 1.068.038,98 9.827.466,7720 192.096,20 982.746,68 1.174.842,87 11.002.309,6421 192.096,20 1.100.230,96 1.292.327,16 12.294.636,8022 192.096,20 1.229.463,68 1.421.559,88 13.716.196,6823 192.096,20 1.371.619,67 1.563.715,87 15.279.912,5524 192.096,20 1.527.991,25 1.720.087,45 17.000.000,00

TOTAL 4.610.308,75 12.389.691,25 17.000.000,00


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EJEMPLO. Cuántos depósitos mensuales vencidos de $560.000 se deben hacer en una institución financieraque paga el 12% mensual, para tener un valor acumulado de $ 15.000.000

Datos:

Valor de la cuota mensual A = $560.000Tasa de interés mensual i = 12%Valor futuro F = $ 15.000.000

Solución:

n.=)1(

)( *

iLogLogAAiFLog

=

)12.01(000.560)000.56012.0000.000.15( *

LogLogLog =

n.=)12.1(

000.560)000.360.2(Log

LogLog =049218022.0

748188027.5372912003.6 =049218022.0624723975.0 =12.69299216

n. = 12.69299216 pagos mensuales.

PAGINA ANUAMORTIZA 5 n DEPOSITOS12,00%

No CUOTA INTERES DEPOSITO+INTERES SALDO01 560.000,00 560.000,002 560.000,00 67.200,00 627.200,00 1.187.200,003 560.000,00 142.464,00 702.464,00 1.889.664,004 560.000,00 226.759,68 786.759,68 2.676.423,685 560.000,00 321.170,84 881.170,84 3.557.594,526 560.000,00 426.911,34 986.911,34 4.544.505,867 560.000,00 545.340,70 1.105.340,70 5.649.846,578 560.000,00 677.981,59 1.237.981,59 6.887.828,169 560.000,00 826.539,38 1.386.539,38 8.274.367,53

10 560.000,00 992.924,10 1.552.924,10 9.827.291,6411 560.000,00 1.179.275,00 1.739.275,00 11.566.566,6412 560.000,00 1.387.988,00 1.947.988,00 13.514.554,6313 560.000,00 1.621.746,56 2.181.746,56 15.696.301,1914 560.000,00 1.883.556,14 2.443.556,14 18.139.857,3315 560.000,00 2.176.782,88 2.736.782,88 20.876.640,2116 560.000,00 2.505.196,83 3.065.196,83 23.941.837,0417 560.000,00 2.873.020,44 3.433.020,44 27.374.857,4818 560.000,00 3.284.982,90 3.844.982,90 31.219.840,38

TOTAL

EJEMPLO. Al comprar una lavadora sin cuota inicial queda debiendo $ 5.000.000 que se los financian a unatasa de interés del 4% mensual por medio de 4 cuotas mensuales iguales. Se desea calcular el valor de cadapago con interés global.


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Datos:

Valor presente P = $ 5.000.000Numero de cuotas mensuales n = 4Tasa de interés mensual i = 4%

Solución:

A = iPnP

* = 04.0000.000.54

000.000.5* = 1.250.000 + 200.000 = 1.450.000

A= $ 1.450.000 cada cuotaValor total a pagar = 4*1.1450.000= $ 5.800.000

PAGINA ANUAMORTIZA 6 INTERES GLOBAL LAVADORA5.000.000,00 4,00%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO0 5.000.000,001 1.450.000,00 200.000,00 1.250.000,00 3.750.000,002 1.450.000,00 200.000,00 1.250.000,00 2.500.000,003 1.450.000,00 200.000,00 1.250.000,00 1.250.000,004 1.450.000,00 200.000,00 1.250.000,00 -

TOTAL 5.800.000,00 800.000,00 5.000.000,00

EJEMPLO. Se tiene una obligación que en un momento se había pactado cancelar con 18 cuotas iguales de$15.000 cada mes una por cada mes por anticipado. Se decide, a última hora, cancelar de contado. Si la tasade interés acordado es del 3% mensual, hallar este valor.

Datos:

Numero de cuotas mensuales n = 18Valor de la cuota mensual A = $15.000Tasa de interés mensual i = 3%

Solución:

n

n

iiiiAP

)1(1)1()1( =

18

18

)03.01(03.01)03.01()03.01(000.15 = 212.449.78

P = $ 212.449.78

PAGINA ANUAMORTIZA ANTICIPADOS UNA OBLIGACIÓN212.491,78 3,00%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO0 15.000,00 197.491,781 15.000,00 5.924,75 9.075,25 188.416,532 15.000,00 5.652,50 9.347,50 179.069,033 15.000,00 5.372,07 9.627,93 169.441,10


Página 157 de 170

4 15.000,00 5.083,23 9.916,77 159.524,335 15.000,00 4.785,73 10.214,27 149.310,066 15.000,00 4.479,30 10.520,70 138.789,367 15.000,00 4.163,68 10.836,32 127.953,048 15.000,00 3.838,59 11.161,41 116.791,639 15.000,00 3.503,75 11.496,25 105.295,38

10 15.000,00 3.158,86 11.841,14 93.454,2411 15.000,00 2.803,63 12.196,37 81.257,8712 15.000,00 2.437,74 12.562,26 68.695,6113 15.000,00 2.060,87 12.939,13 55.756,4814 15.000,00 1.672,69 13.327,31 42.429,1715 15.000,00 1.272,88 13.727,12 28.702,0516 15.000,00 861,06 14.138,94 14.563,1117 15.000,00 436,89 14.563,11 -18

TOTAL 270.000,00 57.508,22 197.491,78

EJEMPLO. Se recibe un préstamo de $ 10.000.000 para pagarlo en 12 cuotas mensuales iguales, pagaderasen forma anticipada. Si le cobran el 4% de interés mensual, calcular el valor de las cuotas.

Datos:

Valor presente P = $ 10.000.000Numero de cuotas mensuales n = 12Tasa de interés mensual i = 4%

Solución:

=

)1(1)1()1(

n

n

iiii

PA =

)04.01(04.01)04.01()04.01(

000.000.10

12

12

1.024.540.12

A= $ 1.024.540.12

PAGINA ANUAMORTIZA ANTICIPADOS RECIBE UN PRÉSTAMO10.000.000,00 4,00%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO0 1.024.540,12 8.975.459,881 1.024.540,12 359.018,40 665.521,73 8.309.938,152 1.024.540,12 332.397,53 692.142,60 7.617.795,563 1.024.540,12 304.711,82 719.828,30 6.897.967,264 1.024.540,12 275.918,69 748.621,43 6.149.345,825 1.024.540,12 245.973,83 778.566,29 5.370.779,536 1.024.540,12 214.831,18 809.708,94 4.561.070,597 1.024.540,12 182.442,82 842.097,30 3.718.973,308 1.024.540,12 148.758,93 875.781,19 2.843.192,119 1.024.540,12 113.727,68 910.812,44 1.932.379,67


Página 158 de 170

10 1.024.540,12 77.295,19 947.244,94 985.134,7311 1.024.540,12 39.405,39 985.134,73 0,00

TOTAL 12.294.481,46 2.294.481,46 8.975.459,88

EJEMPLO. Una obligación de $ 2.000.000 se va cancelar con pagos mensuales iguales anticipados de$358.441.75. Si se cobran una tasa de interés del 3% mensual, calcular el número de pagos necesarios paracancelarla.

Datos:

Valor presente P = $ 2.000.000Cuota mensual anticipada A = $358.441.75Tasa de interés mensual i = 3%

Solución:

1)1(

)(

iLog

APiALogLogAn =

n= 1)03.01(

)75.441.358000.000.2(03.075.441.35875.441.358

LogLogLog

n =01284.0

49023.555442.5 = 6, n = 6 número de cuotas.

PAGINA ANUAMORTIZA ANTICIPADOS OBLIGACIÓN DE 2.000.0002.000.000,00 3,00%

No CUOTA (A) INTERESES ( I ) ABONO A CAPITAL (A – I) SALDO0 358.441,75 1.641.558,251 358.441,75 49.246,75 309.195,00 1.332.363,252 358.441,75 39.970,90 318.470,85 1.013.892,393 358.441,75 30.416,77 328.024,98 685.867,424 358.441,75 20.576,02 337.865,73 348.001,695 358.441,75 10.440,05 348.001,70 0,01

2.150.650,50 150.650,49 1.641.558,26

EJEMPLO. Elena recibe al principio de cada mes la suma de $ 50.000 por concepto del arriendo de unabodega de su propiedad. En el mismo momento en que recibe el pago del arriendo deposita la mitad en unacuenta de ahorros que le reconoce una tasa de interés del 3% mensual. Ella desea saber cuánto tendrádisponible en la cuenta final del año.

Datos:

Valor de la cuota mensual A = $ 50.000Numero de cuotas mensuales n = 12Tasa de interés mensual i = 3%

Solución:


Página 159 de 170

iiiAF

n )1()1( 1 =03.0

)03.01()03.01(000.50112

= 730.889.52

PAGINA ANUAMORTIZA ANTICIPADOS ELENA3,00%

No CUOTA INTERES DEPOSITO+INTERESES SALDO0 50.000,00 50.000,001 50.000,00 1.500,00 51.500,00 101.500,002 50.000,00 3.045,00 53.045,00 154.545,003 50.000,00 4.636,35 54.636,35 209.181,354 50.000,00 6.275,44 56.275,44 265.456,795 50.000,00 7.963,70 57.963,70 323.420,496 50.000,00 9.702,61 59.702,61 383.123,117 50.000,00 11.493,69 61.493,69 444.616,808 50.000,00 13.338,50 63.338,50 507.955,319 50.000,00 15.238,66 65.238,66 573.193,97

10 50.000,00 17.195,82 67.195,82 640.389,7811 50.000,00 19.211,69 69.211,69 709.601,4812 21.288,04 21.288,04 730.889,52

TOTAL 600.000,00 130.889,52 680.889,52


Página 160 de 170

RESUMEN DE FÓRMULAS MÁS COMUNES EN MATEMÁTICAS FINANCIERAS

FORMULAS interés simple PROPOSITO

IP=F Valor futuroP = Valor presenteI = Intereses

I-F=P Valor presenteF = Valor futuroI = Intereses

P-F=I InteresesF = Valor futuroP = Valor presente

niP=I **InteresesP = Valor presentei. = Tasa de interés expresada en decimalesn. = Tiempo

niP=I **Intereses comercialP = Valor presentei. = Tasa de interés expresada en decimalesn. = Tiempo año de 360 días

niP=I **Intereses real o exactoP = Valor presentei. = Tasa de interés expresada en decimalesn. = Tiempo año de 365 días

niI.

=PValor presenteI = Valor de los interesesi. = Tasa de interés expresada en decimalesn. = Tiempo

nPI.

=iTasa de interésI = Valor de los interesesP = Valor presenten. = Tiempo

PiI.

=nNúmero de periodos de tiempoI = Valor de los interesesP = Valor presentei. = Tasa de interés expresada en decimales

n)i+P(1=F *Valor futuroP = Valor presentei. = Tasa de interés expresada en decimalesn. = Tiempo

)*1(=P

niF

Valor presenteF = Valor futuroi. = Tasa de interés expresada en decimalesn. = Tiempo

11PF

ni

Tasa de interésF = Valor futuron. = TiempoP = Valor presente


Página 161 de 170

11PF

in

Tiempo de negociaciónF = Valor futuroi. = Tasa de interés expresada en decimalesP = Valor presente

i)n-(1V=V *ne

Descuento comercial,Ve = Valor efectivoVn = Valor nominaln. = Período de tiempoi.= Tasa de interés

).1(=Ve inVn

Descuento racional o justoVe = Valor efectivoVn = Valor nominaln. = Período de tiempoi.= Tasa de interés

FORMULAS interés compuesto PROPOSITO

n)i+P(1=F Valor futuroP = Valor presentei. =Tasa de interésn. = Periodos de tiempo

niFP

)1(

Valor presenteF = Valor futuroi. =Tasa de interésn. = Periodos de tiempo

1 nPFi

Tasa de interésF = Valor futuron. = Periodos de tiempoP = Valor presente

)1( iLogLogPLogFn

Tiempo de negociaciónF = Valor futuroP = Valor presentei. =Tasa de interés

)i+(1…)i+)(1i+)(1i+P(1F n321 Valor futuro con tasa variableP = Valor presentei1, i2, i3, i4 …… =Tasa de interés variable

)1)...(1)(1)(1( 321 niiiiFP

Valor presenta con tasa variableF = Valor futuroi1, i2, i3, i4 …… =Tasa de interés variable

FORMULAS Tasas de interés PROPOSITO

iN = FP

− 1 , Tasa de interés nominal, interés simpleiN = ?Tasa de interés nominalF = Valor futuroP = Valor presente

iN = ( + ) − 1 = in Tasa de interés nominal, interés simpleiN = ?Tasa de interés nominali. = Tasa de interés efectivan. = Periodos de tiempo

ie = FP

− 1, Tasa de interés efectivo, interés compuestoie = ?Tasa de interés efectivoF = Valor futuro


Página 162 de 170

P = Valor presente

ie = (1+ i)n − 1 Tasa de interés efectivo, interés compuestoie = ?Tasa de interés efectivoi. = Tasa de interés efectivan. = Periodos de tiempo

1i1i1n2n

21 De tasa efectiva a tasa efectivan1. = Números de periodos de la nueva capitalizaciónn2 = Números de periodos de capitalizaciones inicialesi2 = Tasa efectiva inicial (conocida)i1. = ? Nueva tasa efectiva (desconocida)

1mJ1i 1n

m

De tasa nominal a tasa efectivan1. = Número de periodos de la nueva capitalizaciónm = Números de periodos de capitalizaciones inicialesj. = Tasa nominal (conocida)i. = ?Nueva tasa efectiva (desconocida)

1i1mJ m

n De tasa efectiva a nominaln. = Número de capitalizaciones dadasm = Número de capitalizaciones nuevas en un añoi = Tasa efectiva periódica (conocida)J = ?Tasa nominal a buscar (desconocida)

1

mJ1mJ

1

2

mm

2

211

De tasa nominal a tasa nominalJ1 = ?Tasa nominal a buscarm1. = Nuevos periodos de capitalizaciónJ2 = Tasa nominal dadam2. = Periodos de capitalización dados

)i1(iia

av

De tasa periódica anticipada a tasa vencidaiv = ?Tasa efectiva periódica vencidaia = Tasa efectiva periódica anticipada

)i1(iiv

va

De tasa periódica vencida a tasa anticipadaia = ?Tasa efectiva periódica anticipadaiv = Tasa efectiva periódica vencida

1

Jmmi

nm

v

De tasa nominal anticipada a tasa efectiva vencidaiv = ? Tasa efectiva vencidam. = Número de capitalizaciones dadas en un añon. = Número de capitalizaciones nuevas en un añoj = Tasa nominal dada

1Jm

mmJ1

2

mm

12

122

De tasa nominal anticipada a tasa nominal vencidaj2. = ? Tasa nominal a buscarm1. = Número de capitalizaciones dadas en un añom2 = Número de capitalizaciones nuevas en un añoj1 = Tasa nominal dada

2

1

nn

)i1(

11i

v

a

De tasa efectiva vencida a tasa efectiva anticipadaia. = ? Tasa anticipada a buscarn1. = Número de capitalizaciones dadas en un añon2 = Número de capitalizaciones nuevas en un añoiv = Tasa efectiva vencida dada

2

1

mm

1

1122 m

Jm1mJ

Tasa nominal anticipada a tasa nominal anticipadaj2 = ? Tasa nominal anticipada a buscarm1. = Número de capitalizaciones dadas en un añom2 = Número de capitalizaciones nuevas en un año)j1 = Tasa nominal mes anticipada


Página 163 de 170

FORMULAS anualidades o series PROPOSITO

1)1(

)1(P=A n

n

iii Valor de la cuota vencida en función del valor

presenteValor de la primera cuota = AValor presente = PTasa de interés efectiva = iNúmero de cuotas por periodo = n

n

n

iiiA

)1(1)1=P

Valor presente de una anualidad o cuota vencidaValor presente = PValor de la primera cuota = ATasa de interés efectiva = iNúmero de cuotas por periodo = n

ii n 1)1(A=F

Valor futuro de una anualidad o cuota vencidaValor futuro = FValor de la primera cuota = ATasa de interés efectiva = iNúmero de cuotas por periodo = n

1)1( ni

iFAValor de la cuota vencida en función del valorfuturoValor de la primera cuota = AValor futuro = FTasa de interés efectiva = iNúmero de cuotas por periodo = n

)1()( *

iLogLogAAiFLogn

Número de pagos o de una anualidad vencida enfunción del (F)Número de cuotas por periodo = nValor futuro = FValor de la primera cuota = ATasa de interés efectiva = i

)1(LogP)i-A(LogA)(Log *

in

Número de pagos o de una anualidad vencida enfunción de (P)Número de cuotas por periodo = nValor presente =PValor de la primera cuota = ATasa de interés efectiva = i

n

n

iiiAP

)1(1)1 Cálculo del saldo insoluto de una anualidad

vencidaValor presente =PNúmero de cuotas que faltan por pagar = nValor de la primera cuota = ATasa de interés efectiva = i

n

n

iiiiAP

)1(1)1()1(

1

1

)1(1)1(

n

n

iiiAAP

Valor presente de una anualidad anticipadaValor presente = PValor de la primera cuota = ATasa de interés efectiva = iNúmero de cuotas por periodo = n

n

n

iiii

PA

)1(1)1()1(

1

1

)1(1)1(1 n

n

iiiPA

Valor de la cuota en una anualidad anticipada enfunción del (P)Valor de la primera cuota = AValor presente = PTasa de interés efectiva = iNúmero de cuotas por periodo = n


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1)1(

)(

iLog

APiALogLogAn

)1(

)1()1(iLog

PiiALogiALogn

Número de pagos o de una anualidad anticipada enfunción del (P)Número de cuotas por periodo = nValor presente = PValor de la primera cuota = ATasa de interés efectiva = i

iiiAF )1()1( 1n

Valor futuro en una anualidad anticipada


2n

n

)i1(i1)i1(AP

Valor presente de las anualidades diferidasValor presente = PValor de los pagos =ANúmero de pagos mensuales = nTasa de interés efectiva mensual = i

)i1(i

1)i1(AFn

Valor futuro de las anualidades diferidasValor futuro = FValor de los pagos = ANúmero de pagos mensuales = nTasa de interés efectiva mensual = i

n

n

)i1(i1)i1(AP Siempre i 0

Valor presente de una anualidad perpetuaValor presente = PValor de los pagos = ANúmero de pagos mensuales = nTasa de interés efectiva mensual = i

iAP Para i 0

Valor presente de una anualidad perpetuaValor presente = PValor de los pagos = ATasa de interés efectiva anual = i

ni)i(1AP

Valor presente una anualidad perpetuaValor presente = PValor de los pagos = ANúmero de pagos: = nTasa de interés efectiva anual = i

iPnPA *

Anualidad o cuota con interés globalValor de los pagos = AValor presente = PNúmero de cuotas mensuales = nTasa efectiva de interés mensual = i

FORMULAS de gradientes aritméticos PROPOSITO

nn

n

n

n

)i1(n

)i1(i1)i1(

iK

)i1(i1)i1(A=P

n2

n

n

n

)i1(ini-1-)i1(K

)i1(i1)i1(A=P

Valor presente de un gradiente aritmético crecientevencidoValor presente = PNúmero de cuotas = nValor de la primera cuota = ATasa efectiva de interés = iGradiente aritmético = K

1-)i1(i1-ni-)i1(K-

1-)i1(i)i1(P=A n

n

n

n Valor de la primera cuota de un gradientearitmético creciente vencido dado (P)Valor de la primera cuota = AValor presente = P


Página 165 de 170

Número de cuotas = nTasa efectiva de interés = iGradiente aritmético = K

1-ni-)i1(

1-)i1(A-i)i1(Pi=K n

nn

Valor de la constante de un gradiente aritmético

creciente vencidoGradiente aritmético = KValor presente = PNúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés = iValor de la primera cuota = A

K1)-(nA=C n Valor de cualquier cuota de un gradiente aritméticocreciente vencidoValor de cualquier cuota = CnNúmero de cuotas = nGradiente aritmético = KValor de la primera cuota = A

ni

1)i1(iK

i1)i1(A=F

nn

i1-ni-)i1(K1)i1(A

i1=F

nn

Valor futuro de un gradiente aritmético crecientevencidoValor futuro = FGradiente aritmético = KNúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés = iValor de la primera cuota = A

1-)i1(i.1)-ni-)i1(K-

1-)i1(Fi=A n

n

n

Valor primera cuota de un gradiente aritméticocreciente vencido dado (F)Valor de la primera cuota = AGradiente aritmético = KNúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés =iValor futuro = F

1-)i1(A-Fi1-ni-)i1(

i=K nn

Valor de la constante de un gradiente aritméticocreciente vencido dado (F)Gradiente aritmético = KValor de la primera cuota = ANúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés = iValor futuro = F

1-n1-n

n

1-n

n

)i1(n

)i1(i1)i1

iK

)i1(i1)i1A=P

i1-ni-)i1(K1)i1(A

)i1(i)i1(=P

nn

n

Valor presente de un gradiente aritmético crecienteanticipadoValor presente = PGradiente aritmético = KNúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés = iValor de la primera cuota = A

1-)i1(i.1-ni-)i1(K-

1-)i1()i1(i)i1(P=A n

n

n

n Valor de la primera cuota de un gradientearitmético creciente anticipadoValor de la primera cuota = AGradiente aritmético = KNúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés = iValor presente = P


Página 166 de 170

1-)i1(A

)i1(i)i1(P

1-ni-)i1(i=K n

n

n

Valor de la constante de gradiente aritméticocreciente anticipadoGradiente aritmético = KValor de la primera cuota = ANúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés = iValor presente = P

nn

n

n

n

)i1(n

)i1(i1)i1

iK

)i1(i1)i1A=P

i1-ni-)i1(K1)i1(A

)i1(i1=P

nn

n

Valor presente de un gradiente aritméticodecrecienteValor presente = PGradiente aritmético = KNúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés = iValor de la primera cuota = A

i1-ni-)i1(Ki)i1(P

1-)i1(1=A

nn

n

Valor de la primera cuota de un gradientearitmético decreciente dado PValor de la primera cuota = AGradiente aritmético = KNúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés = iValor presente = P

i)i1(P-1-)i1(A1-ni-)i1(

i=K nnn

Valor de la constante de un gradiente aritméticodecrecienteGradiente aritmético = KValor presente = PNúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés = iValor de la primera cuota = A

K1)-(n-A=C nValor de cualquier cuota de un gradiente aritméticodecrecienteValor de cualquier cuota = CnNúmero de cuotas = nGradiente aritmético = KValor de la primera cuota = A

ni

1)i1iK

i1)i1A=F

nn

i1-ni-)i1(K1)i1(A

i1=F

nn

Valor futuro de un gradiente aritmético decrecienteValor futuro = FGradiente aritmético = KNúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés = iValor de la primera cuota = A

i1-ni-)i1(KFi

1-)i1(1=A

n

n

Valor de la primera cuota de un gradientearitmético decreciente dado (F)Valor de la primera cuota = AValor futuro = FNúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés = iGradiente aritmético = K

Fi1-)i1(A1-ni-)i1(

i=K nn

Valor de la constante de un gradiente aritméticodecreciente dado FGradiente aritmético = KValor futuro = FNúmero de cuotas = nTasa efectiva de interés =iValor de la primera cuota = A


Página 167 de 170

2iK

iA=P

Valor presente de un gradiente aritmético crecienteinfinitoValor presente = PGradiente aritmético = KTasa efectiva de interés = iValor de la primera cuota = A

FORMULAS de gradientes geométricos vencidos PROPOSITO

Si G i:

1

)i(1)G1(

i)-(GA=P n

n Valor presente de un gradiente geométrico vencidoValor presente = PValor del primer pago = ANúmero de pagos = nTasa de interés del período = iTasa de incremento (gradiente geométrico) = G

Si G = i: i)(1An=P *

Valor presente de un gradiente geométrico vencidoValor presente = PValor del primer pago = ANúmero de pagos = nTasa de interés del período = i

1-nn G)(1A=C Para el caculo de cualquier cuota

Valor de cualquier cuota = CnValor del primer pago = ANúmero de pagos = nTasa de incremento (gradiente geométrico) = G

nn )i1()1(i)-(G

A=F G Si G i, entoncesValor futuro de un gradiente geométrico vencidoValor futuro = FValor del primer pago = ANúmero de pagos = nTasa de interés del período = iTasa de incremento (gradiente geométrico) = G

1n* i1An=F Si G = i, entonces

Valor futuro de un gradiente geométrico vencidoValor futuro = FValor del primer pago = ANúmero de pagos = nTasa de interés del período = i

nn

n

)i(1G)1(i1i-GP=A

Valor de la primera cuota de un gradientegeométrico vencido dado (P)Valor del primer pago = AValor presente = PNúmero de pagos = nTasa de interés del período = iTasa de incremento (gradiente geométrico) = G

nn )i(1G)1(

i-GF=AValor de la primera cuota de un gradientegeométrico vencido dado (F)Valor del primer pago = AValor futuro = FNúmero de pagos = nTasa de interés del período = iTasa de incremento (gradiente geométrico) = G

G)-(iA=P Si, G < i, entonces

Valor presente de un gradiente geométrico vencidoal infinitoValor presente = PValor del primer pago = ATasa de interés del período = i


Página 168 de 170

Tasa de incremento (gradiente geométrico) = G=P G i, entonces Valor presente de un gradiente geométrico vencido

al infinito

FORMULAS de gradientes geométricos anticipados PROPOSITO

1

)i(1)G1(

i)-(Gi)1(A=P n

n Valor presente de un gradiente geométricoanticipadoValor presente = PValor del primer pago = ANúmero de pagos = nTasa de interés del período = iTasa de incremento (gradiente geométrico) = G

nn )i1()1(i)-(Gi)1(A=F G

Valor futuro de un gradiente geométrico anticipadoValor futuro = FValor del primer pago = ANúmero de pagos = nTasa de interés del período = iTasa de incremento (gradiente geométrico) = G

nn

n

)i(1G)1(i1i-G

i1P=A

Valor de la primera cuota de un gradientegeométrico anticipado dado (P)Valor del primer pago = AValor presente = PNúmero de pagos = nTasa de interés del período = iTasa de incremento (gradiente geométrico) = G

nn )i(1G)1(

i-Gi1

F=AValor primera cuota de un gradiente geométricoanticipado dado (F)Valor del primer pago = AValor futuro = FNúmero de pagos = nTasa de interés del período = iTasa de incremento (gradiente geométrico) = G

FORMULAS de gradientes aritméticos diferidos PROPOSITO

s

i1i)1(K1i)1(A

ii)(1i)(11=P

ss

sr

ss

s

rs

s

r i)(1s

i)i(11i)1(

i)i(1K

i)i(11i)1(

i)(1A=P

Valor presente de un gradiente aritmético diferidoValor presente = PTasa periódica de interés = iNúmero total de meses = nNúmero de meses muertos = rNúmero de meses de movimientos de efectivo = sValor primera cuota = ACuota adicional constante = K

1)i(1s

i1KA

)i(1i)i(11)i(1=P s

sss

ssr

r

ss

Valor presente de un gradiente aritmético diferidoValor presente = PNúmero total de meses = nTasa periódica de interés en tiempo muerto = irNúmero de meses muertos = rNúmero de meses de movimientos de efectivo = sTasa de interés en el tiempo de movimiento efectivo=isValor primera cuota = ACuota adicional constante = K


Página 169 de 170

1)i(1s

i1K

1)i(1)i(1i)iP(1=A s

sss

s

sssr

r

Valor de la primera cuota gradiente aritméticodiferidoValor primera cuota = AValor presente = PNúmero de periodos mensuales = nTasa de interés en el tiempo muerto = irTasa de interés en el tiempo no muerto = isNúmero de periodos muertos = rNúmero de periodos no muertos = sIncremento constante mensual = K

FORMULAS de gradientes geométricos diferidos PROPOSITO

sr

ss

i)(1i)i)(1-G(i)1(1)G(A=P Valor presente de un gradiente geométrico diferido

Valor presente = PTasa periódica de interés = iNúmero de periodos mensuales = nNúmero de mensuales muertos = rTiempo de movimiento de efectivo = sValor de la primera cuota = ATasa de interés en el movimiento efectivo = G

ss

sr

i)(11)G(i)i)(1-G(i)P(1=A

Valor de la primera cuota gradiente geométrico

diferidoValor primera cuota = ATasa periódica de interés = iNúmero total de periodos = nNúmero de periodos muertos = rNúmero de periodos activos = sGradiente geométricos = GValor presente = P


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BIBLIOGRAFIA

1) Meza Orozco Jhonny de Jesús. MATEMATICAS FINANCIERAS APLICADAS

2) Haeussleir Jr. Ernest. MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION, ECONOMIA, CIENCIAS SOCIALESY DE LA VIDA

3) Arévalo Niño José Abdenago. MATEMATICA FINANCIERA APLICADA A LA ADMINISTRACIONPUBLICA

4) Carlos Ramírez Molinares. FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS FINANCIERAS

5) Carlos Mario Morales. INTRODUCCION A LAS MATEMATICAS FINANCIERAS

6) Rafael Serna Espitia. MAMNUAL DIDACTICO DE MATEMATICAS FINANCIERAS

matematicas financieras para principiantes14

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