• OBJETIVO:

Utilizar las características de las funciones trigonométricas para resolver problemas

Utilizar las funciones trigonométricas inversas para resolver problemas

Use la ley del seno y coseno para resolver problemas que involucran triángulos

• INDICADOR: Utiliza los teoremas del seno y el coseno para resolver problemas

Aplica de manera significativa las razones trigonométricas en la solución de problemas

CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y LEY DEL SENO Y COSENO

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS:

Sabemos que las razones trigonométricas surgieron al establecer la razón entre los lados de un triángulo rectángulo y que se usan para encontrar la información que de él haga falta. ¿Esto significa que sólo se puede encontrar las razones trigonométricas de un ángulo agudo? Al ubicar un triángulo rectángulo en el sistema de ejes coordados de tal forma que el vértice de uno de los ángulos agudos coincida con el origen del sistema y el cateto adyacente con el eje horizontal, como muestra la gráfica, se logró

establecer que los catetos coinciden con las coordenadas del punto que se forma en el círculo que tiene radio igual a la hipotenusa del triángulo. Se obtuvo que : “x” representa el valor del cateto adyacente y el valor del cateto opuesto es el “y” del punto. Y, al mover el triángulo sobre sobre el sistema coordenado obtenemos ángulos en posoicón normal de medida superior a 90°. Así: Esto significa que podemos hallar las razones trigonométricas para cualquier ángulo, sin importar su medida. Recordemos que vamos a tener infinitos angulos que son coterminales, a todos les podremos hallar sus razónes trignometrícas y van a coincidir en sus valores con ángulos que se encuentran entre 0° y 360°. Lo que hace que las razone trigonométricas sean cíclicas.

Como las coordenadas “x” y “y” son negativas o positivas, dependiendo del cuadrante en el quede ubicado el punto, esto hace que las razones trigonométricas también sean po sitivas o negativas de acuerdo al cuadrante al cual pertenece el á ngulo, la hipotenusa nunca podrá ser negativa, por referirse a una distancia (distancia entre el origen del sistema y el punto).

Ejemplo 1: por el punto (-2,√5) pasa el lado final de un ángulo θ, en posición normal, determine sus razones trigonométricas. Las razones trigonometricas de θ son las mismas de las razones trigonométricas de su ángulo de referencia θR, para el cual:

MATEMATICAS DECIMO

Imagen tomada de: : https://www.matematicaspr.com/l2dj/blog/funciones-trigonometricas.

Imagen tomada de: Cidead 4° ESO

θR

Imagen tomada de: Trigonometría FIUNAM

https://www.matematicaspr.com/l2dj/blog/funciones-trigonometricashttps://www.matematicaspr.com/l2dj/blog/funciones-trigonometricas

el cateto opuesto es: -2 y el cateto adyacente es √5. Para establecer las razones trigonométricas aún nos falta el valor de la hipotenusa, aplicamos pitágoras:

ℎ2 = (𝑜𝑝)2 + (𝑎𝑑)2 ℎ2 = (−2)2 + (√5)2 ℎ = √4 + 5 entonces ℎ = 3. Luego las razone trigonometricas pedidas son:

𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑜𝑝

ℎ=

−2

3= −

2

3 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑎𝑑

ℎ=

√5

3 𝑡𝑎𝑛𝜃 =

𝑜𝑝

𝑎𝑑=

−2

√5= −

2

√5

𝑐𝑠𝑐𝜃 =ℎ

𝑜𝑝=

3

−2= −

3

2 𝑠𝑒𝑐𝜃 =

ℎ

𝑎𝑑=

3

√5 𝑐𝑡𝑔𝜃 =

𝑎𝑑

𝑜𝑝=

√5

−2= −

√5

2

Ejemplo 2: Hallar las razones trigonométricas para el ángulo φ, cuyo lado terminal tiene el punto (-5, -3)

Recuerde, el ángulo a tener en cuenta es el que se forma con el semieje x y el lado terminal, que tienen las coordenadas dadas. En este caso el lado opuesto es: - 3 y el adyacente es: -5. Debemos hallar la hipotenusa

ℎ2 = (𝑥)2 + 𝑦2 ℎ2 = (−5)2 + (−3)2 ℎ = √34

𝑠𝑒𝑛𝜑 =𝑜𝑝

ℎ=

−3

√34= −

3

√34 𝑐𝑜𝑠𝜑 =

𝑎𝑑

ℎ=

−5

√34= −

5

√34 𝑡𝑎𝑛𝜑 =

𝑜𝑝

𝑎𝑑=

−3

−5=

3

5

𝑐𝑠𝑐𝜑 =ℎ

𝑜𝑝=

√34

−5= −

√34

5 𝑠𝑒𝑐𝜑 =

ℎ

𝑎𝑑=

√34

−5= −

√34

5 𝑐𝑡𝑔𝜑 =

𝑎𝑑

𝑜𝑝=

−5

−3=

5

3

Ejemplo 3: Hallar las razones trigonoméricas del ángulo β, sabiendo que se conoce una coordenada del punto

P, que se encuentra sobre el lado terminal del ángulo, y la distancia (d) del origen al punto: x=4 y d=5, P en el IV cuadrante. En este caso nos están dando el cateto adyacente, x=4, y la hipotenusa, d=5. Debemos hallar el cateto opuesto, para ello aplicamos el teorema de Pitágoras pero la coordenada la tendremos que dar negativa porque en el IV cuadrante las coordenadas “y” son negativas.

ℎ2 = (𝑥)2 + 𝑦2 52 = (4)2 + (𝑦)2 −√25 − 16 = 𝑦 𝑦 = −3 P (4,-3) y hallamos:

𝑠𝑒𝑛𝛽 =𝑜𝑝

ℎ=

−3

5= −

3

5 𝑐𝑜𝑠𝛽 =

𝑎𝑑

ℎ=

4

5 𝑡𝑎𝑛𝛽 =

𝑜𝑝

𝑎𝑑=

−3

4= −

3

4 𝑐𝑡𝑔𝛽 =

𝑎𝑑

𝑜𝑝=

4

−3= −

4

3

𝑐𝑠𝑐𝛽 =ℎ

𝑜𝑝=

5

−3= −

5

3 𝑠𝑒𝑐𝛽 =

ℎ

𝑎𝑑=

5

4

Podemos concluir que las razones trigonométricas se pueden calcular para cualquier ángulo sin importar su medida y que su signo será positivo o negativo dependiendo del cuadrante al cual pertenezca el angulo.

Además, todas las razones trigonoméricas serán numéricamente igual a las razones trigonométricas del ángulo de referencia pero con el signo que corresponda según el cuadrante al cual pertencezca. Ejemplos:

Sin usar calculadora halle el valor del seno para 210°. El ángulo dado es del tercer cuadrante y su ángulo de referencia es 30°. El seno en el tercer cuadrante es negativo, entonces 𝑆𝑒𝑛210° = −𝑠𝑒𝑛30° = −1/2

Hallar la tangente de y el coseno de 315° (sin calculadora). Este ángulo es del cuarto cuadrante, por tanto su tangente es negativa y su coseno es positivo. Como el ángulo de referencia para 315° es 45° tenemos:

𝑐𝑜𝑠315° = cos 45 ° =√2

2 𝑡𝑎𝑛315° = −tan45 ° = −1

Se está preguntando, ¿cómo sin calculadora puedo saber el valor de las razones trigonométricas?

Hay unos ángulos a los que se les llama fundamentales o notables, y que se espera aprendamos cual es el valor de sus razones trigonométricas.

En la tabla se encuentran las razones seno, coseno y tangente pero las otras 3 las encontramos aplicando lo que ya sabemos, que son las inversas multiplicativas.

𝑠𝑒𝑐𝜃 =1

𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑠𝑐𝜃 =

1

𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑡𝑔𝜃 =

1

𝑡𝑎𝑛𝜃

Cuando encontremos una expresión con radical en el denominador es necesario racionalizar: amplificar por la expresión requerida para eliminar el radical del denominador.

Ejemplo: 2

√5=

2∗√5

√5∗√5=

2√5

(√5)2=

2√5

5

Al observar la tabla,vemos que el seno de un ángulo es igual al coseno de su ángulo complementario (sumados dan 90°) . Por ejemplo: sen30° = cos60°, sen(60°)= cos (30), sen(45°)=cos(45°).

Ejemplo: hallar, sin calculadora, el coseno de 38° sabiendo que sen 52°= 0.788. Si no podemos usar calculadora y no es un ángulo fundamental entonces ¿cómo podemos hallar el valor pedido? Si observamos bien 38° y 52 son complementarios porque 38° + 52° = 90° por tanto el seno de un ángulo es igual al coseno del otro: cos38° = sen52° cos 38°= 0.788. Hasta aquí hemos tratado de encontrar las razones trigonométricas conciendo información sobre los lados sin necesidad de buscar el valor del ángulo, pero, ¿qué pasa si mi interes está en averiguar el ángulo? Ejemplo 1: Hallar el ángulo θ del triángulo dado

En este caso nos han dado la hipotenusa y el cateto opuesto a θ, por tanto, podemos establecer la razon sen θ.

𝒔𝒆𝒏𝜽 =𝒐𝒑

𝒉𝒊𝒑=

𝟔

𝟖= 𝟎. 𝟕𝟓 pero nos están pidiendo el valor del ángulo, así que

recurrimos a las razones trigonométricas inversas para poder despejar θ:

𝑠𝑒𝑛−1(𝑠𝑒𝑛𝜃) = 𝑠𝑒𝑛−1(0.75) θ= 𝑠𝑒𝑛−1(0.75) θ≅45.6°

Las razones trigonométricas inversas permiten hallar un ángulo del que se conoce su seno, su coseno o su tangente. Es decir, las razones trigonométricas inversas se usan para hallar el ángulo cuando se conoce el valor de una de una de las razones trigonométricas. Aun cuando son 6 las razones trigonométricas generalmente utilizamos las 3 mencionadas porque las podemos calcular directamente con la calculadora (shift/función/valor). Para representar las funciones trigonométricas inversas se utilizan las notaciones sen-1 (seno inverso) o arcsen (arco seno), cos-1 (coseno inverso) o arccos (arco coseno) y tan-1 (tangente inversa) o arctan (arco tangente).

Ejemplo 2: Encuentre los ángulos que faltan en el triángulo, aproxime al grado más cercano

Debemos encontrar el valor de los dos ángulos agudos. Tenemos los catetos. Para el ángulo “x” el cateto opuesto es 23 y el cateto adyacente es 31, entonces

𝑡𝑎𝑛𝑥 =23

31≅ 0.742 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1(0.742) = 36.58° como me piden aproximar al

grado más cercadno decimos que x=37°

Para hallar el valor del ángulo “y” podemos usar la razón trigonométrica 𝑡𝑎𝑛𝑦 o encontrar su valor a través de las sumas de ángulos internos de un triángulo: y = 180° – (90°+37°) y = 53° Ahora ya podemos resolver cualquier triángulo rectángulo, si conocemos uno de

sus ángulos agudos y uno de sus lados podemos usar las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras para hallar los otros lados. Y, si conocemos sus lados podemos usar las razones trigonométricas inversas para hallar los ángulos. Sin embargo, no siempre queremos averiguar el ángulo en un triángulo. A través de las razones trigonométricas inversas podemos determinar el ángulo que cumple una condición dada. No olvidemos, siempre vamos a tener 2 ángulos, en una vuelta, que tienen sus razones trigonométricas exactamente iguales, en valor y en signo. Ejemplo 1: encuentre los valores para ángulo β, si senβ=0.5. Si el seno es positivo, β puede ser un

ángulo del I o II cuadrante, entonces: 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛−1(0.5) β1=30° β2=180° – 30° =150°.

Ejemplo2: Encontrar el valor que debe tener el ángulo φ para que 𝑡𝑎𝑛𝜑 = 1.12. La tangente es positiva en el I y III cuadrante, entonces: 𝜑 = 𝑡𝑎𝑛−1(1.12) φ1=48.2° φ1=180°+48.2=228.2°.

Ejemplo 3: hallar el ángulo si cos θ= -1.5. Al intentar encontrar aplicar la función inversa para coseno en la calculadora nos aparece un mensaje: Math ERROR. Esto significa que no hay solución porque ningún ángulo cumple que su coseno sea menor a -1. Características de las funciones trigonométricas: Todas las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, sus valores se repiten en un intervalo determinado. Función seno y coseno: son acotadas, tiene valor máximo (1) y mínimo (-1) al cual se le denomina amplitud, son continuas, su periodo es 2π. Su domino son todos los reales (D= R) y su rango son los números reales entre -1 y 1,R= [-1, 1]

Función tangente y cotangente: son funciones discontinuas: hay ángulos para los que no se puede calcular la función, su gráfica no se puede hacer de un solo trazo. Su periodo es π, no son acotadas. Su dominio son todos los reales menos los en donde no se puede calcular y rango son todos los reales. Función secante y cosecante: son funcione discontinuas, no son acotadas pero no cortan al eje x, están formadas por 2 ramas, una abre hacia arriba desde 1 y la otra hacia abajo desde -1. Su periodo es 2π. El dominio son todos los números reales menos aquello en donde la función no existe y el rango

son todos los reales menores a -1 o mayores a 1: R= (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

ANGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN Al resolver problemas con frecuencia se hace referencia a los ángulos de elevación o a los ángulos de depresión. El ángulo que se forma entre la línea horizontal y la línea visual de un observador cuando el objeto se encuentra arriba del nivel de los ojos se denomina ángulo de elevación. Si el objeto observado se encuentra abajo del nivel de los ojos del observador el ángulo con el que se observa dicho objeto se denomina ángulo de depresión. Si una persona de estatura 2 metros divisa lo alto que es un edificio de altura H con un ángulo de elevación de 20°, estando a 40 m de su base, ¿Qué tan alto es el edificio? Es recomendable realizar un dibujo que permita visualizar la información dada:

La altura del edificio H se calcula: H = h1 + 2m. h1 es el cateto opuesto a 20 ° en el triángulo rectángulo que se formó:

𝑡𝑎𝑛20° =ℎ1

40𝑚 40𝑚(0.364) = ℎ1 ℎ1 = 14.56𝑚

𝐻 = 14.56𝑚 + 2𝑚 𝑯 = 𝟏𝟔. 𝟓𝟔𝒎. El edificio tiene una altura de 16.56m.

LEY DEL COSENO: Para poder encontrar los elementos de un triángulo que no sea rectángulo contamos con las leyes del seno y del coseno. En la guía 8 hablamos de la Ley del seno. Ahora veamos en qué consiste la Ley del coseno. Si los lados de un triángulo son a, b y c, la Ley del coseno afirma que:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴 El ángulo A es el que se forma entre b y c 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑐𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵 El ángulo B es el que se forma entre a y c 𝑐2 = 𝑏2 + 𝑎2 − 2𝑏𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶 El ángulo C es el que se forma entre b y a

Para usar esta Ley o teorema es necesario conocer 2 lados y el ángulo que se forma entre ellos o conocer los 3 lados para hallar el ángulo. Siempre debemos usar el Teorema o Ley en el que sólo quede un dato desconocido. Ejemplo1: Encuentre el lado y los ángulos que faltan en el triángulo

Como se conoce 2 lados y el ángulo que se forma entre ellos aplicamos ley del coseno:

𝑐2 = 𝑏2 + 𝑎2 − 2𝑏𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶 𝑐2 = 52 + 112 − 2(5)(11)𝑐𝑜𝑠20°

𝑐 = √25 + 121 − 110(0.94) 𝑐 = √42.6 𝒄 = 𝟔. 𝟓𝟑

Para hallar los ángulos que faltan puedo volver a aplicar la Ley del coseno o la ley del seno. Aplicamos ley del

seno así: 5

𝑠𝑒𝑛𝐵=

6.53

𝑠𝑒𝑛20° 5𝑠𝑒𝑛20° = 6.53𝑠𝑒𝑛𝐵

5𝑠𝑒𝑛20°

6.53= 𝑠𝑒𝑛𝐵 𝐵 = 𝑠𝑒𝑛−1(0.262)

Entonces: 𝑩 = 𝟏𝟓. 𝟐° Calculamos el ángulo A: A = 180° - (20+15.2) = 144.8° Los datos pedidos son: el lado c= 6.53 y los ángulos B=15.2 y A = 144.8°

h1

Ejemplo 2: Resolver el triángulo (hallar los valores que faltan) Aplicamos Ley del coseno, en este caso el dato desconocido es el ángulo Si el ángulo A es el opuesto al lado que mide 5m tenemos:

52 = 112 + 7.52 − 2(11)(7.5)𝑐𝑜𝑠𝐴 165𝑐𝑜𝑠𝐴 = 121 + 56.25 − 25

𝑐𝑜𝑠𝐴 =152.25

165 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠−1(0.923) A=22.7°

Aplico Ley del seno para encontrar otro de los ángulos: 𝑠𝑒𝑛𝐵

7.5=

𝑠𝑒𝑛22.7°

5 𝑠𝑒𝑛𝐵 =

7.5𝑠𝑒𝑛22.7°

5

𝐵 = 𝑠𝑒𝑛−1(0.579) 𝑩 = 𝟑𝟓. 𝟒° Por último calculamos el ángulo C: C=180° – (22.7° + 35.4°) = 121.9° Los ángulos del triángulo son A = 22.7° ; B = 35.4° y C = 121.9°

ACTIVIDAD

Basándose en la información aquí suministrada y las explicaciones desarrolladas en los encuentros sincrónicos desarrollar la actividad de la guía de matemáticas en las Hojas de respuestas. No olvide, siempre debe ir el procedimiento y justificaciones.

1. Sin usar calculadora, halle las razones trigonométricas indicadas a. ctg 135° y csc 135 b. cos 240° y tan 240° c. sen330° y sec330°

2. Resolver cada situación

a. Hallar las 6 razones trigonométricas para el ángulo que tienen en su lado final el punto (−√3,1) b. El lado terminal de un ángulo cuya medida es θ está en el tercer cuadrante y determina un ángulo de

referencia de π/ 3. ¿Cuál es el valor de la cotangente y de la cosecante? c. El lado terminal de un ángulo cuya medida es θ está en el segundo cuadrante y determina un ángulo de

referencia de π /6. ¿Cuál es el valor del coseno y de la cosecante? d. Si θ es un ángulo agudo tal que tan θ = − 3 /4. Hallar el valor de sec θ, ctg θ y csc θ.

3. En cada uno de los siguientes puntos P encontrar la coordenada que falta: (d es la distancia del punto al origen, conocido también como el radio). Sabiendo que el punto hace parte del lado terminal de un ángulo determinado, encontrar sus razones trigonométricas. NO debe hallar el valor del ángulo.

a. x=2, d=√5, P en el IV cuadrante. b. x=-3, d=5, P en el II cuadrante.

c. x=-2, d=√11, P en el III cuadrante

4. ¿ En qué cuadrante cae el lado terminal de θ, si a. sen θ y sec θ son ambos negativos? b. sen θ y tan θ son ambos positivos? c. sec θ es positiva y tan θ es negativa? d. sen θ es positivo y sec θ es negativa?

5. Realice, en cada caso, lo indicado a. Resuelva el siguiente triángulo rectángulo. Aproxime sus respuestas a la decena más

cercana.

b. Resuelve el triángulo. Aproxime las medidas de los lados a la decena más cercana y los ángulos al grado más cercano.

c. En cada caso halle los valores posibles para el ángulo, aproximando al grado más cercano, si cumple: 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0.2234 𝑡𝑎𝑛𝛽 = 2.45 𝑐𝑜𝑠𝛼 = −0.785

6. Sin usar calculadora, determine el valor de las siguientes expresiones

a. 3sen(30°) + 2cos(60)

b. √3 tan(60°) − 3tan(45°) c. sen(60º) + cos(45º) – tan(60º) · tan(30º)

7. Resolver los problemas

a. Si desde un punto en tierra ubicado a 20 metros de la base de un edificio; el ángulo de elevación para su parte más alta mide 37°. Calcular la altura del edificio.

b. Una persona de 2 metros de estatura, ubicada a 32 m de una torre de 34 metros de altura; divisa su parte más alta. ¿Con qué ángulo de elevación hace dicha observación?

c. Lucas observa un buque de carga desde el balcón de un faro costero, con un ángulo de depresión de 60°. Si el faro se encuentra a 28 m sobre el nivel del mar, ¿cuál es la distancia entre el balcón y el buque?

d. Un niño de 1,5 m de estatura divisa una piedra en el suelo con u ángulo de depresión de 37°. ¿A qué distancia del niño se encuentra la piedra?

e. Encuentre los datos que faltan en cada triángulo

Tomado de:

Chacón A., Ana José, García C., Guillermo, Rupin G., Pedro, & otros. Texto del Estudiante Matemática 2° Medio. Chile. 2019

file:///C:/Users/mares/Downloads/trigonometria-angulos-referencias%20ejercicios%20(1).pdf

https://www.youtube.com/watch?v=G4nz7WsUlNA

https://www.youtube.com/watch?v=ruD5L-V4eYA

https://www.youtube.com/watch?v=Fr-9XqEKqTA

https://www.ck12.org/book/ck-12-conceptos-de-%c3%81lgebra-ii-con-trigonometr%c3%ada-en-espa%c3%b1ol/section/13.3/

https://trigonometriapdf.blogspot.com/2018/11/angulos-elevacion-depresion-ejercicios.html

https://www.youtube.com/watch?v=G4nz7WsUlNAhttps://www.youtube.com/watch?v=ruD5L-V4eYAhttps://www.youtube.com/watch?v=Fr-9XqEKqTAhttps://www.ck12.org/book/ck-12-conceptos-de-%c3%81lgebra-ii-con-trigonometr%c3%ada-en-espa%c3%b1ol/section/13.3/https://www.ck12.org/book/ck-12-conceptos-de-%c3%81lgebra-ii-con-trigonometr%c3%ada-en-espa%c3%b1ol/section/13.3/https://trigonometriapdf.blogspot.com/2018/11/angulos-elevacion-depresion-ejercicios.html