matematicas - capitulo 1 - semejanza de triangulos
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Tipos y ejemplificaciones de semejanza en triangulosTRANSCRIPT
SEMEJANZA
Descripcioacuten Dos figuras son
semejantes cuando tienen la misma
ldquoformardquo pero no necesariamente el
mismo tamantildeo
Ejemplos de
figuras
semejantes
NO SON FIGURAS SEMEJANTES
DEFINICIOacuteN GEOMEacuteTRICA DOS FIGURAS SON SEMEJANTES
CUANDO LA RAZOacuteN ENTRE LAS MEDIDAS DE SUS LADOS HOMOacuteLOGOS
(CORRESPONDIENTES) ES CONSTANTE ES DECIR SON PROPORCIONALES Y SUS
AacuteNGULOS CORRESPONDIENTES SON CONGRUENTES
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos
son semejantes
5cm
2cm4cm
iquestTienen sus lados
respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos
rectaacutengulos todos los aacutengulos
miden 90ordm y se cumple que los
aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos
condiciones anteriores
podemos decir que los
dos rectaacutengulos son
semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que
los productos
ldquocruzadosrdquo son
iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes
congruentes
TRIAacuteNGULOS SEMEJANTES
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son
respectivamente iguales y sus lados homoacutelogos son
proporcionales
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos
son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y
todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de
criterios de semejanza de triaacutengulos
EXISTEN TRES CRITERIOS DE SEMEJANZA
DE TRIAacuteNGULOS
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I PRIMER CRITERIO
AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son
semejantes entre siacute
aacutea
bacute
b
gacute
g
Es decir Si a aacute b bacute de lo anterior se deduce que g gacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II SEGUNDO CRITERIO
LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionalesson semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EJEMPLO
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
III TERCER CRITERIO
LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES DE ESTOS
CONCEPTOS
EJERCICIOConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
EJERCICIOTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
LOS LADOS DE UN TRIAacuteNGULO MIDEN 30 40 Y 50 CENTIacuteMETROS RESPECTIVAMENTE LOS
LADOS DE UN SEGUNDO TRIAacuteNGULO MIDEN 12 16 Y 20 CENTIacuteMETROS iquestSON
SEMEJANTES EN CASO AFIRMATIVO iquestCUAL ES LA RAZOacuteN DE SEMEJANZA
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Descripcioacuten Dos figuras son
semejantes cuando tienen la misma
ldquoformardquo pero no necesariamente el
mismo tamantildeo
Ejemplos de
figuras
semejantes
NO SON FIGURAS SEMEJANTES
DEFINICIOacuteN GEOMEacuteTRICA DOS FIGURAS SON SEMEJANTES
CUANDO LA RAZOacuteN ENTRE LAS MEDIDAS DE SUS LADOS HOMOacuteLOGOS
(CORRESPONDIENTES) ES CONSTANTE ES DECIR SON PROPORCIONALES Y SUS
AacuteNGULOS CORRESPONDIENTES SON CONGRUENTES
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos
son semejantes
5cm
2cm4cm
iquestTienen sus lados
respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos
rectaacutengulos todos los aacutengulos
miden 90ordm y se cumple que los
aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos
condiciones anteriores
podemos decir que los
dos rectaacutengulos son
semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que
los productos
ldquocruzadosrdquo son
iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes
congruentes
TRIAacuteNGULOS SEMEJANTES
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son
respectivamente iguales y sus lados homoacutelogos son
proporcionales
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos
son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y
todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de
criterios de semejanza de triaacutengulos
EXISTEN TRES CRITERIOS DE SEMEJANZA
DE TRIAacuteNGULOS
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I PRIMER CRITERIO
AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son
semejantes entre siacute
aacutea
bacute
b
gacute
g
Es decir Si a aacute b bacute de lo anterior se deduce que g gacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II SEGUNDO CRITERIO
LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionalesson semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EJEMPLO
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
III TERCER CRITERIO
LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES DE ESTOS
CONCEPTOS
EJERCICIOConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
EJERCICIOTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
LOS LADOS DE UN TRIAacuteNGULO MIDEN 30 40 Y 50 CENTIacuteMETROS RESPECTIVAMENTE LOS
LADOS DE UN SEGUNDO TRIAacuteNGULO MIDEN 12 16 Y 20 CENTIacuteMETROS iquestSON
SEMEJANTES EN CASO AFIRMATIVO iquestCUAL ES LA RAZOacuteN DE SEMEJANZA
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
NO SON FIGURAS SEMEJANTES
DEFINICIOacuteN GEOMEacuteTRICA DOS FIGURAS SON SEMEJANTES
CUANDO LA RAZOacuteN ENTRE LAS MEDIDAS DE SUS LADOS HOMOacuteLOGOS
(CORRESPONDIENTES) ES CONSTANTE ES DECIR SON PROPORCIONALES Y SUS
AacuteNGULOS CORRESPONDIENTES SON CONGRUENTES
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos
son semejantes
5cm
2cm4cm
iquestTienen sus lados
respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos
rectaacutengulos todos los aacutengulos
miden 90ordm y se cumple que los
aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos
condiciones anteriores
podemos decir que los
dos rectaacutengulos son
semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que
los productos
ldquocruzadosrdquo son
iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes
congruentes
TRIAacuteNGULOS SEMEJANTES
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son
respectivamente iguales y sus lados homoacutelogos son
proporcionales
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos
son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y
todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de
criterios de semejanza de triaacutengulos
EXISTEN TRES CRITERIOS DE SEMEJANZA
DE TRIAacuteNGULOS
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I PRIMER CRITERIO
AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son
semejantes entre siacute
aacutea
bacute
b
gacute
g
Es decir Si a aacute b bacute de lo anterior se deduce que g gacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II SEGUNDO CRITERIO
LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionalesson semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EJEMPLO
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
III TERCER CRITERIO
LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES DE ESTOS
CONCEPTOS
EJERCICIOConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
EJERCICIOTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
LOS LADOS DE UN TRIAacuteNGULO MIDEN 30 40 Y 50 CENTIacuteMETROS RESPECTIVAMENTE LOS
LADOS DE UN SEGUNDO TRIAacuteNGULO MIDEN 12 16 Y 20 CENTIacuteMETROS iquestSON
SEMEJANTES EN CASO AFIRMATIVO iquestCUAL ES LA RAZOacuteN DE SEMEJANZA
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
DEFINICIOacuteN GEOMEacuteTRICA DOS FIGURAS SON SEMEJANTES
CUANDO LA RAZOacuteN ENTRE LAS MEDIDAS DE SUS LADOS HOMOacuteLOGOS
(CORRESPONDIENTES) ES CONSTANTE ES DECIR SON PROPORCIONALES Y SUS
AacuteNGULOS CORRESPONDIENTES SON CONGRUENTES
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos
son semejantes
5cm
2cm4cm
iquestTienen sus lados
respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos
rectaacutengulos todos los aacutengulos
miden 90ordm y se cumple que los
aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos
condiciones anteriores
podemos decir que los
dos rectaacutengulos son
semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que
los productos
ldquocruzadosrdquo son
iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes
congruentes
TRIAacuteNGULOS SEMEJANTES
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son
respectivamente iguales y sus lados homoacutelogos son
proporcionales
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos
son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y
todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de
criterios de semejanza de triaacutengulos
EXISTEN TRES CRITERIOS DE SEMEJANZA
DE TRIAacuteNGULOS
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I PRIMER CRITERIO
AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son
semejantes entre siacute
aacutea
bacute
b
gacute
g
Es decir Si a aacute b bacute de lo anterior se deduce que g gacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II SEGUNDO CRITERIO
LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionalesson semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EJEMPLO
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
III TERCER CRITERIO
LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES DE ESTOS
CONCEPTOS
EJERCICIOConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
EJERCICIOTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
LOS LADOS DE UN TRIAacuteNGULO MIDEN 30 40 Y 50 CENTIacuteMETROS RESPECTIVAMENTE LOS
LADOS DE UN SEGUNDO TRIAacuteNGULO MIDEN 12 16 Y 20 CENTIacuteMETROS iquestSON
SEMEJANTES EN CASO AFIRMATIVO iquestCUAL ES LA RAZOacuteN DE SEMEJANZA
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
TRIAacuteNGULOS SEMEJANTES
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son
respectivamente iguales y sus lados homoacutelogos son
proporcionales
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos
son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y
todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de
criterios de semejanza de triaacutengulos
EXISTEN TRES CRITERIOS DE SEMEJANZA
DE TRIAacuteNGULOS
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I PRIMER CRITERIO
AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son
semejantes entre siacute
aacutea
bacute
b
gacute
g
Es decir Si a aacute b bacute de lo anterior se deduce que g gacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II SEGUNDO CRITERIO
LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionalesson semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EJEMPLO
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
III TERCER CRITERIO
LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES DE ESTOS
CONCEPTOS
EJERCICIOConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
EJERCICIOTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
LOS LADOS DE UN TRIAacuteNGULO MIDEN 30 40 Y 50 CENTIacuteMETROS RESPECTIVAMENTE LOS
LADOS DE UN SEGUNDO TRIAacuteNGULO MIDEN 12 16 Y 20 CENTIacuteMETROS iquestSON
SEMEJANTES EN CASO AFIRMATIVO iquestCUAL ES LA RAZOacuteN DE SEMEJANZA
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos
son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y
todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de
criterios de semejanza de triaacutengulos
EXISTEN TRES CRITERIOS DE SEMEJANZA
DE TRIAacuteNGULOS
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I PRIMER CRITERIO
AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son
semejantes entre siacute
aacutea
bacute
b
gacute
g
Es decir Si a aacute b bacute de lo anterior se deduce que g gacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II SEGUNDO CRITERIO
LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionalesson semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EJEMPLO
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
III TERCER CRITERIO
LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES DE ESTOS
CONCEPTOS
EJERCICIOConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
EJERCICIOTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
LOS LADOS DE UN TRIAacuteNGULO MIDEN 30 40 Y 50 CENTIacuteMETROS RESPECTIVAMENTE LOS
LADOS DE UN SEGUNDO TRIAacuteNGULO MIDEN 12 16 Y 20 CENTIacuteMETROS iquestSON
SEMEJANTES EN CASO AFIRMATIVO iquestCUAL ES LA RAZOacuteN DE SEMEJANZA
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
EXISTEN TRES CRITERIOS DE SEMEJANZA
DE TRIAacuteNGULOS
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I PRIMER CRITERIO
AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son
semejantes entre siacute
aacutea
bacute
b
gacute
g
Es decir Si a aacute b bacute de lo anterior se deduce que g gacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II SEGUNDO CRITERIO
LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionalesson semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EJEMPLO
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
III TERCER CRITERIO
LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES DE ESTOS
CONCEPTOS
EJERCICIOConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
EJERCICIOTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
LOS LADOS DE UN TRIAacuteNGULO MIDEN 30 40 Y 50 CENTIacuteMETROS RESPECTIVAMENTE LOS
LADOS DE UN SEGUNDO TRIAacuteNGULO MIDEN 12 16 Y 20 CENTIacuteMETROS iquestSON
SEMEJANTES EN CASO AFIRMATIVO iquestCUAL ES LA RAZOacuteN DE SEMEJANZA
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I PRIMER CRITERIO
AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son
semejantes entre siacute
aacutea
bacute
b
gacute
g
Es decir Si a aacute b bacute de lo anterior se deduce que g gacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II SEGUNDO CRITERIO
LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionalesson semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EJEMPLO
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
III TERCER CRITERIO
LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES DE ESTOS
CONCEPTOS
EJERCICIOConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
EJERCICIOTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
LOS LADOS DE UN TRIAacuteNGULO MIDEN 30 40 Y 50 CENTIacuteMETROS RESPECTIVAMENTE LOS
LADOS DE UN SEGUNDO TRIAacuteNGULO MIDEN 12 16 Y 20 CENTIacuteMETROS iquestSON
SEMEJANTES EN CASO AFIRMATIVO iquestCUAL ES LA RAZOacuteN DE SEMEJANZA
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
EJEMPLO
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de
sus aacutengulos
congruentes cumplen
con el criterio AA
II SEGUNDO CRITERIO
LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionalesson semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EJEMPLO
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
III TERCER CRITERIO
LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES DE ESTOS
CONCEPTOS
EJERCICIOConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
EJERCICIOTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
LOS LADOS DE UN TRIAacuteNGULO MIDEN 30 40 Y 50 CENTIacuteMETROS RESPECTIVAMENTE LOS
LADOS DE UN SEGUNDO TRIAacuteNGULO MIDEN 12 16 Y 20 CENTIacuteMETROS iquestSON
SEMEJANTES EN CASO AFIRMATIVO iquestCUAL ES LA RAZOacuteN DE SEMEJANZA
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
II SEGUNDO CRITERIO
LLL
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionalesson semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de
comparar los lados
homoacutelogos entre siacute
recibe el nombre de
razoacuten de semejanza
Es deciraaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EJEMPLO
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
III TERCER CRITERIO
LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES DE ESTOS
CONCEPTOS
EJERCICIOConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
EJERCICIOTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
LOS LADOS DE UN TRIAacuteNGULO MIDEN 30 40 Y 50 CENTIacuteMETROS RESPECTIVAMENTE LOS
LADOS DE UN SEGUNDO TRIAacuteNGULO MIDEN 12 16 Y 20 CENTIacuteMETROS iquestSON
SEMEJANTES EN CASO AFIRMATIVO iquestCUAL ES LA RAZOacuteN DE SEMEJANZA
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
EJEMPLO
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que
los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
III TERCER CRITERIO
LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES DE ESTOS
CONCEPTOS
EJERCICIOConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
EJERCICIOTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
LOS LADOS DE UN TRIAacuteNGULO MIDEN 30 40 Y 50 CENTIacuteMETROS RESPECTIVAMENTE LOS
LADOS DE UN SEGUNDO TRIAacuteNGULO MIDEN 12 16 Y 20 CENTIacuteMETROS iquestSON
SEMEJANTES EN CASO AFIRMATIVO iquestCUAL ES LA RAZOacuteN DE SEMEJANZA
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
III TERCER CRITERIO
LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EJEMPLO
iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES DE ESTOS
CONCEPTOS
EJERCICIOConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
EJERCICIOTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
LOS LADOS DE UN TRIAacuteNGULO MIDEN 30 40 Y 50 CENTIacuteMETROS RESPECTIVAMENTE LOS
LADOS DE UN SEGUNDO TRIAacuteNGULO MIDEN 12 16 Y 20 CENTIacuteMETROS iquestSON
SEMEJANTES EN CASO AFIRMATIVO iquestCUAL ES LA RAZOacuteN DE SEMEJANZA
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
EJEMPLO
iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es
ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por
estos dos lados son
congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque
tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES DE ESTOS
CONCEPTOS
EJERCICIOConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
EJERCICIOTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
LOS LADOS DE UN TRIAacuteNGULO MIDEN 30 40 Y 50 CENTIacuteMETROS RESPECTIVAMENTE LOS
LADOS DE UN SEGUNDO TRIAacuteNGULO MIDEN 12 16 Y 20 CENTIacuteMETROS iquestSON
SEMEJANTES EN CASO AFIRMATIVO iquestCUAL ES LA RAZOacuteN DE SEMEJANZA
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
ALGUNAS APLICACIONES DE ESTOS
CONCEPTOS
EJERCICIOConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
EJERCICIOTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
LOS LADOS DE UN TRIAacuteNGULO MIDEN 30 40 Y 50 CENTIacuteMETROS RESPECTIVAMENTE LOS
LADOS DE UN SEGUNDO TRIAacuteNGULO MIDEN 12 16 Y 20 CENTIacuteMETROS iquestSON
SEMEJANTES EN CASO AFIRMATIVO iquestCUAL ES LA RAZOacuteN DE SEMEJANZA
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOConocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes
y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cm
b) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
65 10 = 65528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular
los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
EJERCICIOTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
LOS LADOS DE UN TRIAacuteNGULO MIDEN 30 40 Y 50 CENTIacuteMETROS RESPECTIVAMENTE LOS
LADOS DE UN SEGUNDO TRIAacuteNGULO MIDEN 12 16 Y 20 CENTIacuteMETROS iquestSON
SEMEJANTES EN CASO AFIRMATIVO iquestCUAL ES LA RAZOacuteN DE SEMEJANZA
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOTenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31
iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de
semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de
ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
LOS LADOS DE UN TRIAacuteNGULO MIDEN 30 40 Y 50 CENTIacuteMETROS RESPECTIVAMENTE LOS
LADOS DE UN SEGUNDO TRIAacuteNGULO MIDEN 12 16 Y 20 CENTIacuteMETROS iquestSON
SEMEJANTES EN CASO AFIRMATIVO iquestCUAL ES LA RAZOacuteN DE SEMEJANZA
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
LOS LADOS DE UN TRIAacuteNGULO MIDEN 30 40 Y 50 CENTIacuteMETROS RESPECTIVAMENTE LOS
LADOS DE UN SEGUNDO TRIAacuteNGULO MIDEN 12 16 Y 20 CENTIacuteMETROS iquestSON
SEMEJANTES EN CASO AFIRMATIVO iquestCUAL ES LA RAZOacuteN DE SEMEJANZA
Otro ejercicio similar
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de
semejanza se calcula una
de las razones
50 20 = 25
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute
altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45
metros(Haz un dibujo del problema)
Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra
son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA tienen
iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo
de elevacioacuten que
forman los rayos
solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 452
Formamos la proporcioacuten