matemáticas básicas: funciones
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Matemáticas Básicas: Funciones
M. en C. Juliho Castillo3 de marzo de 2017
ESDAI, Universidad Panamericana
1
¡Bienvenidas al Curso de Matemáticas Básicas!
Mi nombre es Juliho Castillo...(sí, con “h” entre la “i” y la“o”.)
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¡Bienvenidas al Curso de Matemáticas Básicas!
Mi nombre es Juliho Castillo...(sí, con “h” entre la “i” y la“o”.)
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Educación
1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:“Técnicas simplécticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajola dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.
2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha detitulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación deCapacidades Simplécticas en Superficies”, bajo ladirección del Dr. Rustam Sadykov.
3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 deenero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadoresde Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor SanchezMorgado.
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Educación
1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:“Técnicas simplécticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajola dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.
2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha detitulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación deCapacidades Simplécticas en Superficies”, bajo ladirección del Dr. Rustam Sadykov.
3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 deenero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadoresde Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor SanchezMorgado.
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Educación
1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:“Técnicas simplécticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajola dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.
2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha detitulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación deCapacidades Simplécticas en Superficies”, bajo ladirección del Dr. Rustam Sadykov.
3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 deenero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadoresde Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor SanchezMorgado.
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Publicaciones
2014 Symplectic capacities on surfaces: ManuscriptaMathematica, Vol. 229, artículo 701, Artículo deInvestigación.En colaboración con Dr. Rystam Sadykov
2012 Aplicaciones del Control Estocástico al AnálisisSemiclásico: Aportaciones Matemáticas, Memorias 45,69-96, Artículo de exposición.
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Reconocimientos
2011 Premio Nacional “Mixbaal” a las Mejores Tesis deLicenciatura en Matemáticas Aplicadas, MenciónHonorífica
2011 Conferencista invitado, Sesión del Premio Mixbaal,ENOAN XXI
2001 Seleccionado Estatal, XV Olimpiada Mexicana deMatemáticas, Delegación Oaxaca
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Experiencia docente
Actual Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,ESDAI, Ciudad de México.
2014-2015 Coordinador Académico, Club de Matemáticas“Teorema”, Centro de Formación en Ciencias yMatemáticas, Oaxaca.
2014 Codelegado, Olimpiada Mexicana de Matemáticas,Delegación Oaxaca.
2013 Profesor de Asignatura, Instituto Blaise Pascal, Académiade Matemáticas, Oaxaca de Juárez.
2013 Profesor de Asignatura, Universidad Anáhuac México Sur,Facultad de Ingeniería, Ciudad de México.
2012-2013 Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,Facultad de Ingeniería, Ciudad de México.
2005-2010 Entrenador, Olimpiada Mexicana de Matemáticas,Delegación Oaxaca.
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1 Definiciones y ejemplos2 Sistema de coordenadas rectangulares
Desplazamientos horizontales
Desplazamientos verticales
Cambio de coordenadas3 Rectas
Paralelas y perpendiculares4 Escalamiento y reflexión5 Ecuaciones linales6 Ecuaciones de segundo grado
Complemento de cuadrados
Intersecciones con los ejes
Diferencia de cuadrados
Ejemplos
Factorización
Aplicaciones
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Una relación es un conjunto de pares ordenados. Al conjuntode los primeros componentes de los pares ordenados se leconoce como dominio de la relación. Al conjunto de lossiguientes componentes se les llama rando de la relación.
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Una relación es un conjunto de pares ordenados. Al conjuntode los primeros componentes de los pares ordenados se leconoce como dominio de la relación. Al conjunto de lossiguientes componentes se les llama rando de la relación.
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Una relación es un conjunto de pares ordenados. Al conjuntode los primeros componentes de los pares ordenados se leconoce como dominio de la relación. Al conjunto de lossiguientes componentes se les llama rando de la relación.
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Ejemplo 2.1.¿Cuál es el dominio y el rango de la relación
{(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)}?
Solución.
Dominio = {1, 2, 3, 4} , Rango = {3, 6, 9, 12} .
13
Definición 2.1.Una función es una relación tal que cada elemento del dominiotiene su par con un solo elemento del rango.
14
Ejemplo 2.2.¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones?
1 {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}2 {(1, 2), (1, 3), (2, 8), (3, 9)}3 {(1, 3), (2, 3), (4, 3), (9, 3)}
Solución.
SíNo, 1 tiene como pares tanto a 2 como 3Sí
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Ejemplo 2.2.¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones?
1 {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}2 {(1, 2), (1, 3), (2, 8), (3, 9)}3 {(1, 3), (2, 3), (4, 3), (9, 3)}
Solución.
SíNo, 1 tiene como pares tanto a 2 como 3Sí
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Observación 2.1.
A menudo, las funciones y las relaciones se expresancomo ecuaciones.Cuando no se especifica el domino, éste se determinacomo el subconjunto más grande de números reales paralos que se define el ecuacipón.El rango se define encontrando el valor de la ecuaciónpara cada uno de los valores del dominio.
16
La variable asociada con el dominio se llama independiente,mientras que la variable asociada con el rango se llamadependiente.
17
La variable asociada con el dominio se llama independiente,mientras que la variable asociada con el rango se llamadependiente.
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Un sistema de coordenadas rectangulares se utiliza pararepresentar una gráfica de la relación entre dos variables.
1 La recta X ′X, denominada eje x, se sitúa en posiciónhorizontal.
2 La recta Y ′Y, denominada eje y, se sitúa en posiciónhorizontal.
3 El punto O es el origen del sistema.4 Los ejes dividen al plano en 4 cuadrantes.
23
Definición 3.1.La gráfica de una función y = f(x) es el lugar geométrico delos puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
y = f(x).
24
Observación 3.1.¡Graficar una función es muy sencillo! En SageMath Cloud,puede ocupar el siguiente código:
x=var("x") #se define la variable independientef(x)=x^2 #se define la funci\'ongrafica = plot(f, (0,1))show(grafica)
Puede ver ejemplos en SageMath Cloud.
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La gráfica de la función f(x − c) es la misma que la gráfica dela función f(x) pero desplezada a laderecha c > 0
izquierda c < 0.
27
Cambio de coordenadas
La gráfica de la función
y = f(x − h) + k
es la misma que la gráfica de la función y = f(x), perodesplazada hacia...la derecha si h > 0
la izquierda si h < 0arriba si k > 0abajo si k < 0
h (resp. k) nos indican cuantas unidades se tiene quedesplazar horizatalmente (resp. verticalmente).
38
Cambio de coordenadas
La gráfica de la función
y = f(x − h) + k
es la misma que la gráfica de la función y = f(x), perodesplazada hacia...la derecha si h > 0
la izquierda si h < 0arriba si k > 0abajo si k < 0
h (resp. k) nos indican cuantas unidades se tiene quedesplazar horizatalmente (resp. verticalmente).
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Cambio de coordenadas
La gráfica de la función
y = f(x − h) + k
es la misma que la gráfica de la función y = f(x), perodesplazada hacia...la derecha si h > 0
la izquierda si h < 0arriba si k > 0abajo si k < 0
h (resp. k) nos indican cuantas unidades se tiene quedesplazar horizatalmente (resp. verticalmente).
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Cambio de coordenadas
La gráfica de la función
y = f(x − h) + k
es la misma que la gráfica de la función y = f(x), perodesplazada hacia...la derecha si h > 0
la izquierda si h < 0arriba si k > 0abajo si k < 0
h (resp. k) nos indican cuantas unidades se tiene quedesplazar horizatalmente (resp. verticalmente).
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Puede graficar más funciones con cambios de coordenadas coneste script de SageMath.
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Diremos que una función f(x) es afín si es de la forma
f(x) = mx + b.
Muchas veces, a estas funciones también se les llama lineales;pero este término no es del todo correcto.
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Diremos que una función f(x) es afín si es de la forma
f(x) = mx + b.
Muchas veces, a estas funciones también se les llama lineales;pero este término no es del todo correcto.
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La gráficas de este tipo de funciones se llaman rectas; alcoeficiente m se le llama pendiente y a la constante b,
ordenada al origen.
Figura 4.1: Colección de líneas rectas
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La gráficas de este tipo de funciones se llaman rectas; alcoeficiente m se le llama pendiente y a la constante b,
ordenada al origen.
Figura 4.1: Colección de líneas rectas
50
La gráficas de este tipo de funciones se llaman rectas; alcoeficiente m se le llama pendiente y a la constante b,
ordenada al origen.
Figura 4.1: Colección de líneas rectas
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Si la pendiente m es negativa, la recta es decreciente.
Figura 4.3: Rectas con pendiente negativa
52
Si sabemos que la recta pasa por los puntos P0 = (x0, y0) yP1 = (x1, y1), entonces la pendiente de la recta está dada por
m = y1 − y0
x1 − x0.
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Si sabemos que la recta tiene pendiente m y pasa por el puntoQ = (a, b), entonces la ecuación de la recta está dada por
y = m ∗ (x − a) + b.
55
Ejemplo 4.2.
1 Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto(−2, 3) con pendiente m = 5
3 .
2 Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto(1, 8) con pendiente m = 5
3 .
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Observación 4.1.Si la ecuación de la recta y = mx + b se reescribe como
Ax + By + C = 0,
diremos que la ecuación está en su forma general. Siemprepreferiremos que los coeficientes A, B, C sean enteros, de serposible.
58
Observación 4.1.Si la ecuación de la recta y = mx + b se reescribe como
Ax + By + C = 0,
diremos que la ecuación está en su forma general. Siemprepreferiremos que los coeficientes A, B, C sean enteros, de serposible.
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Cuado y = 0, obtenemos la ecuación
Ax + C = 0;
la solución x∗ de ésta se llama raíz, y el punto (x∗, 0) seencuentra sobre el eje “x′′.
60
Cuando x = 0, obtenemos la ecuación
By + C = 0;
la solución y∗ de ésta se llama ordenada al origen, y el punto(0, y∗) se encuentra sobre el eje “y′′.
61
Si (x∗, y∗) 6= (0, 0), entonces podemos graficar la rectauniendo los puntos (x∗, 0) y (0, y∗).
En otro caso, podemos graficar la recta uniendo los puntos(0, 0) y (q, p), donde
m = p
q;
de hecho, si (a, b) es un punto de la recta, basta unir éste con(a + q, b + p) para graficar la recta.
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Si (x∗, y∗) 6= (0, 0), entonces podemos graficar la rectauniendo los puntos (x∗, 0) y (0, y∗).
En otro caso, podemos graficar la recta uniendo los puntos(0, 0) y (q, p), donde
m = p
q;
de hecho, si (a, b) es un punto de la recta, basta unir éste con(a + q, b + p) para graficar la recta.
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Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales:
m1 = m2.
Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes satisfacen laecuación;
m1m2 = −1.
66
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales:
m1 = m2.
Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes satisfacen laecuación;
m1m2 = −1.
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Ejemplo 4.6.Determine si la recta que pasa por los puntos A y B esparalela, perpendicular o ninguna de las opciones anteriores ala recta que pasa por los puntos C y D :
1 A(2, 4), B(3, 8); C(5, 1), D(4, −3).2 A(2, −3), B(−4, 5); C(0, −1), D(−4, −4).3 A(1, 9), B(4, 0); C(0, 6), D(5, 3).4 A(8, −1), B(2, 3); C(5, 1), D(2, −1).
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Ejemplo 4.7.Escriba la ecuación de la recta que pasa por el punto (−5, 6) yque es paralela a la recta
3x − 4y = 5.
68
Escriba la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, 6) yque es perpendicular a la recta
2x − y = 8.
69
En las sección anteriores, hemos considerado cambios decoordenadas:
y = f(x − h) + k
es la misma gráfica que y = f(x), pero desplazada h unidadeshorizontalmente y k unidades verticalmente.
71
La gráfica y = m ∗ f(x) es similar a la gráfica y = f(x) peroexpandida si |m| > 1contraída si |m| < 1;
además si m < 0, la gráfica se refleja verticalmente.
73
Ejemplo 6.1.Cecilia recibió $435.00 una semana por trabajar 52 horas. Supatrón paga 1.5 = 150 % cada hora extra, por encima de las40 horas semanales. Con esta información, determine el pagopor hora regular de Cecilia.
80
Definición 6.1.El interés generado por una inversión P, a una tasa de interésr en un tiempo t esta dado por
I = Prt (6.1)
81
Ejemplo 6.2.Una inversionista con $70, 000 decide colocar parte de sudinero en bonos corporativos que pagan 12 % anual, y el restoen un Certificado de Depósito que paga 8 % anual. Si elladesea obtener una ganacia total del 9 % anual, ¿cuánto debecolocar en cada inversión?
82
Definición 6.2.Si un objeto se mueve a una velocidad media v, la distancia s
cubierta en el tiempo t está dada por la fórmula
s = vt. (6.2)
83
Ejemplo 6.3.Un amigo de usted, quien es corredor de distancia, corre a unavelocidad media de 8 millas por hora. Dos horas después deque su amigo inicia una carrera desde su casa, usted sale en suautomovil y sigue la misma ruta que su amigo a un velocidadde 40 millas por hora. ¿Cuánto tiempo tardará en darle alcancea su amigo? ?A qué distancia estarán entonces de la casa?
84
Ejemplo 6.3.Un amigo de usted, quien es corredor de distancia, corre a unavelocidad media de 8 millas por hora. Dos horas después deque su amigo inicia una carrera desde su casa, usted sale en suautomovil y sigue la misma ruta que su amigo a un velocidadde 40 millas por hora. ¿Cuánto tiempo tardará en darle alcancea su amigo? ?A qué distancia estarán entonces de la casa?
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Ejemplo 6.3.Un amigo de usted, quien es corredor de distancia, corre a unavelocidad media de 8 millas por hora. Dos horas después deque su amigo inicia una carrera desde su casa, usted sale en suautomovil y sigue la misma ruta que su amigo a un velocidadde 40 millas por hora. ¿Cuánto tiempo tardará en darle alcancea su amigo? ?A qué distancia estarán entonces de la casa?
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Ejemplo 6.4.Un bote de motor avanza río arriba una distancia de 24 millasen un río cuya corriente fluye a 3 millas por hora. El viaje deida y vuelta es de 6 horas. Suponiendo que el bote mantieneuna velovidad constante relativa al agua, ¿cuál es suvelocidad?
85
Ejemplo 6.4.Un bote de motor avanza río arriba una distancia de 24 millasen un río cuya corriente fluye a 3 millas por hora. El viaje deida y vuelta es de 6 horas. Suponiendo que el bote mantieneuna velovidad constante relativa al agua, ¿cuál es suvelocidad?
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Cualquier función cuadrática se puede reescribir en la forma
f(x) = a(x − h)2 + k,
por el método de complementos de cuadrado.
91
Para completar el cuadrado, podemos usar el método dedivisión sintética:
h a b c
↓ +ah . . .
a . . . k
94
Para encontrar las raíces de una polinomio cuadrático,necesitamos resolver la ecuación de segundo grado
a(x − h)2 + k = 0.
99
Si r es una raíz de p(x) = a(x − h)2 + k, entonces la parábolay = a(x − h)2 + k cruza al eje x en el punto (r, 0).
100
Observación 7.1.Si k > 0, entonces a(x − h)2 + k > 0 y por tanto no existenraíces. Por lo tanto, la parábola y = a(x − h)2 + k nuncacruza el eje x.
101
Una identidad que es muy útil al momento de resolverecuaciones es la diferencia de cuadrados
(a − b) (a + b) = a2 − b2.
104
Una ecuación de la forma
z2 − c2 = 0
se puede reescribir como
(z − c) (z + c) = 0...
...en cuyo caso tenemos que z − c = 0 o z + c = 0, y portanto las soluciones son
z = ±c.
105
Una ecuación de la forma
z2 − c2 = 0
se puede reescribir como
(z − c) (z + c) = 0...
...en cuyo caso tenemos que z − c = 0 o z + c = 0, y portanto las soluciones son
z = ±c.
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Ejemplo 7.10.
Encuentre las raíces de los siguientes polinomios
1 7x2 − 5x
2 x2 − 5x + 63 3x2 + 2x − 54 x2 − 4x + 4
114
Ejemplo 7.11.
Encuentre las raíces de los siguientes polinomios
1 x2 − 6x − 22 3x2 − 5x + 1 = 03 4x2 − 6x + 3
115
Si un polinomio p(x) = ax2 + bx + c tiene raíces r1, r2
diferentes, entonces podemos factorizar de la siguiente manera
p(x) = a(x − r1) (x − r2) .
117
Si el polinomio se puede escribir como
p(x) = a(x − h)2 − c2,
podemos utilizar la diferencia de cuadrados y factorizar como
p(x) = a (x − h − c) (x − h + c) .
118
Si un polinomio p(x) = ax2 + bx + c tiene una única raź r1,entonces podemos factorizar de la siguiente manera
p(x) = a (x − r1)2 .
119
Ejemplo 7.14.
Encuentre dos números positivos sabiendo que uno de ellos esigual al triple del otro más 5 y que el producto de ambos esigual a 68.
123
Ejemplo 7.15.
Encuentre un número sabiendo que la suma del triple delmismo con el doble de su recíproco es igual a 5.
124
Ejemplo 7.16.
Encuentre las dimensiones de un rectángulo cuto perímetro esde 50 pies y área es de 150 pies cuadrados.
125
Ejemplo 7.17.
La hipotenusa de un triángulo es igual a 34 pulgadas.Encuentre las longitudes de los catetos sabiendo que uno deellos es 14 pulgadas mayor que el otro.
126
Ejemplo 7.18.
Las dimensiones exteriores de un marco de fotografía son 12por 15 pulgadas. Sabiendo que el ancho permanece constante,encuentre su valor a) cuando la superficie de la fotografía esde 88 pulgadas y b) cuando dicha superficie vale 100 pulgadascuadradas.
127
Ejemplo 7.19.
Un piloto realiza un vuelo de 600 millas. Sabiendo que siaumenta la velocidad en 40 millas/hora podría recorrer dichadistancia empleando 30 minutos menos, encuentre la velocidadpromedio.
128
Ejemplo 7.20.
Un comerciante compra determinado número de camisas por$180 y las vende todas menos 6 con una ganancia de $2 encada camisa. Sabiendo que con el dinero recaudado en laventa podría haber comprado 30 camisas más que antes,calcule el precio de cada camisa.
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