matematicas:

MATEMÁTICAS IIISEGUNDA EDICIÓN

CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS

PATRICIA IBÁÑEZ CARRASCOGERARDO GARCÍA TORRES

Portada Matemáticas.indd 1 29/06/13 17:27

SEMESTRE

TERCER Patricia Ibáñez CarrascoPatricia Ibáñez CarrascoGerardo García Torres Gerardo García Torres

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Segunda ediciónSegunda ediciónSegunda edición

Revisión técnica: Ing. Edgar González Yebra

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Datos para catalogación bibliográfi ca:

Ibáñez Carrasco, Patricia y Gerardo García Torres

Matemáticas III, segunda edición

ISBN 13: 978-607-519-048-8

ISBN 10: 607-519-048-1

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Impreso en México1 2 3 4 5 6 7 17 16 15 14

Matemáticas IIISegunda ediciónPatricia Ibáñez Carrasco

Gerardo García Torres

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EditorasIvonne Arciniega Torres

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Diseño de portadaEdiciones OVA

Composición tipográfi caHeriberto Gachuz Chávez

Fotografías de interioresDreamstime

Shutterstock

iii

CONTENIDO

Bloque IReconoces lugares geométricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Evaluación diagnóstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Geometría analítica introductoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Sistema de coordenadas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Parejas ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Igualdad de parejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Lugares geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Lectura Matemáticas y GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Evaluación formativa por proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Guía de autoobservación de la evaluación formativa por proyectos . . . . . . . . . . . . . 26

Mi competencia fi nal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Lista de cotejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Bloque IIAplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


Segmentos rectilíneos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Segmentos rectilíneos dirigidos y no dirigidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Perímetro y área de polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Punto de división de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

iv

Punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Lectura Mapas. Coordenadas geográfi cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65




Lista de cotejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Bloque IIIAplicas los elementos de una recta como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


Línea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Defi nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Pendiente y ángulo de inclinación de una recta . . . . . . . . 78

Relación de la pendiente con el ángulo de inclinación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Ángulo formado por dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad . . . . . . . 96Lectura Línea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


Guía de autoobservación de evaluación formativa por proyectos. . . . . . . . . . . . . . . . 102


Lista de cotejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Bloque IVUtilizas distintas formas de la ecuación de una recta . . . . 106


Ecuaciones de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Ecuación de la recta dadas su pendiente y ordenada en el origen. . . . . . . . . . . . . . . . 109

v

Ecuación de la recta en su forma punto-pendiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Ecuación de la recta dados dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Forma simétrica de la ecuación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Ecuación de la recta dadas sus intersecciones con los ejes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Forma general y normal de la ecuación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Forma normal de la ecuación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Conversión de la forma general a la forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Distancia dirigida de una recta a un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Distancia no dirigida entre un punto y una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Distancia entre dos rectas paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Lectura Línea recta y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158




Lista de cotejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Bloque 5Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166


Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Defi nición y elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Rectas y segmentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Ecuaciones de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Ecuación canónica de la circunferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

vi

Ecuación ordinaria de la circunferencia. . . . . . . . . . . . . . . . 181

Obtención de la ecuación a partir del centro y el radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Radio y centro de una circunferencia con centro fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . 182

Forma general de la ecuación de la circunferencia . . . . . . 189

De la forma general a la ordinaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Lectura El círculo en la naturaleza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210


Guía de autoevaluación de la evaluación formativa por proyectos . . . . . . . . . . . . . . . 212


Lista de cotejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Bloque VIAplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola . . . 218


Parábola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Elementos asociados con la parábola. . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en el origen. . . . . . . . . . . . . . 227

La parábola a partir de su ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Ecuación de una parábola a partir de sus elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice fuera del origen . . . . . . . . . . 241

Los elementos a partir de la ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

La ecuación a partir de los elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Forma general de la ecuación de la parábola . . . . . . . . . . . 248

Conversión de la forma ordinaria a la general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

vii

Conversión de la forma general a la ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Lectura Formas parabólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261




Lista de cotejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Bloque VIIAplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse. . . . . . 270


Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Elementos asociados con la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro en el origen y ejes paralelos a los ejes cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Elipse horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Elipse vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Lado recto de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Forma general de la ecuación de la elipse . . . . . . . . . . . . . . 289Lectura Propiedades de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294




Lista de cotejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Reconoces lugaresgeométricos

Propósito• Que el(la) alumno(a) alcance desempeños que le permitan

reconocer las características matemáticas que defi nen un lugar geométrico.

Desempeños del estudiante al concluir el bloque• Identifi ca las características de un sistema de coordenadas

rectangulares.• Interpreta la información a partir de la noción de parejas

ordenadas.• Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas

ordenadas para determinar un lugar geométrico.

Bloque I

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Objetos de aprendizaje• Geometría analítica introductoria• Sistema de coordenadas rectangulares• Parejas ordenadas —Igualdad de parejas• Lugares geométricos

Competencias a desarrollar• Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas,

matemáticas y gráfi cas; asimismo, interpreta tablas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científi cos.

• Sigue instrucciones y procedimientos de manera refl exiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

• Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez.

• Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

• Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específi co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confi abilidad.

• Defi ne metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.

• Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, defi niendo un curso de acción con pasos específi cos.

• Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera refl exiva.

• Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Competencias disciplinares básicas del campo de matemáticas• Construye e interpreta modelos matemáticos mediante

la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

• Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

• Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

• Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráfi cos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de la tecnología de la información y la comunicación.

• Cuantifi ca, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y de las propiedades físicas de los objetos que los rodean.

• Interpreta tablas, gráfi cas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científi cos.

4

Completa los siguientes enunciados.

1. El sistema de coordenadas está compuesto por:

2. ¿Cuántos cuadrantes tiene el sistema de coordenadas cartesianas?

3. La combinación de todas las combinaciones de los elementos de dos conjuntos se denomina:

4. En una pareja de elementos en la que si se cambia el orden se cambia el sentido:

5. La coordenada x se denomina:

6. La coordenada y se denomina:

7. Conjunto de puntos que cumplen una relación matemática:

Evaluación diagnóstica

Bloque I. Reconoces lugares geométricos 5

La geometría analítica se ha desarrollado desde tiempos remotos. Podemos con-

siderar la obra de Fibonacci, Practica Geometriae, como el punto de arranque

de la geometría renacentista, aunque únicamente se ocupe de la medida de áreas de

polígonos y volúmenes de cuerpos.

Debemos a Jordanus Nemorarius la primera formulación correcta del problema

del plano inclinado.

En París, el profesor Nicole Oresme utilizó coordenadas rectangulares en una

de sus obras, de forma primitiva y rudimentaria, para la representación gráfi ca de

ciertos fenómenos físicos.

Sin duda, uno de los grandes en esta materia fue René Descartes con su famo-

sa obra el Discurso del Método, en cuyo apéndice llamado “Géometrie” detalla las

instrucciones geométricas para resolver ecuaciones cuadráticas, después describe

la aplicación del álgebra a ciertos problemas geométricos. Casi toda la “Géometrie”

está dedicada a la interrelación del álgebra y la geometría con ayuda del sistema de

coordenadas, justo lo que actualmente denominamos geometría analítica.

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René Descartes

Geometría analítica introductoria

Objeto de aprendizaje

Actividad de investigación 1

Organízate con tus compañeros y formen parejas como actividad extraclase; investiguen en fuentes impresas y

electrónicas (Internet) los antecedentes de la geometría analítica y diseñen una línea de tiempo en la que se desta-

que a los principales precursores, su aportación y el año correspondiente. Elaboren una presentación electrónica y

expónganla ante el grupo para su realimentación. Después evalúen su desempeño con la guía de autoobservación.

6 Matemáticas III

Guía de autoobservación

Un arreglo de dos rectas numéricas (una en posición horizontal y otra en posición

vertical) unidas en sus ceros (origen) se denomina sistema de coordenadas rec-tangulares, o plano cartesiano, en honor a René Descartes.

La recta horizontal se llama eje X y la recta vertical, eje Y. Observa que el siste-

ma de coordenadas divide al plano en cuatro regiones, llamadas cuadrantes.

6

5

4

3

2

1

�1

�2

�3

�4

�5

�6

�7

�7 �6 �5 �4 �3 �2 �1

1 2 3 4 5 6 7

Negativos

Positivos

Cuadrante I (�, �)

Cuadrante IV (�, �)

Cuadrante II (�, �)

Cuadrante III (�, �)

Origen

Sistema de coordenadas rectangulares. Es un arreglo de dos rectas numéricas, una horizontal y la otra vertical, que se unen en el cero (origen).

Eje X. Es la recta horizontal del sistema de coordenadas rectangulares.

Eje Y. Es la recta vertical del sistema de coordenadas rectangulares.

Cuadrantes. Son las cuatro regiones en las que se divide al plano en el sistema de coordenadas.

GLO

SARI

O

Coordenada (�2, 3)

Objeto de aprendizaje Sistema de coordenadas rectangulares

Y

X

Primero, obtén tu califi cación de manera individual: coloca una en la puntuación que refl eja tu desempeño en cada

indicador y súmalas para conocer el total. Después, reúnete con tus compañeros para realizar un promedio y obtener

su califi cación como equipo.

Desempeño

Número IndicadorBueno

(2)

Regular

(1)

Malo

(0)

1 Empleamos las TIC para presentar nuestra información.

2 Empleamos fuentes de información confi able y relevante tanto en forma

electrónica como impresa.

3 Elaboramos una línea de tiempo que destaca precursores, año y aportaciones.

4 Manejamos de manera fl uida la información que expusimos al grupo.

5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia la realimentación.

Califi cación:


El primer cuadrante tiene la parte positiva del eje X y del eje Y, el segundo

cuadrante tiene la parte negativa del eje X y la parte positiva del eje Y, el tercer cua-

drante tiene la parte negativa del eje X y del eje Y y el cuarto cuadrante tiene la parte

positiva del eje X y la parte negativa del eje Y.

Pareja ordenada. Es una pareja de números (x, y) escritos en un orden particular.

GLO

SARI

O

Para iniciar el tema analicemos el siguiente ejemplo: María tiene blusas de color

blanco y rosa, y faldas de color café, azul y negro. Quiere saber cuántos posibles

atuendos puede tener. Aquí está la lista que obtuvo:

• Blusa blanca con falda café.

• Blusa blanca con falda azul.

• Blusa blanca con falda negra.

• Blusa rosa con falda café.

• Blusa rosa con falda azul.

• Blusa rosa con falda negra.

Además, tiene la idea de darle un número a

cada blusa y a cada falda para que sea más fácil

escoger el atuendo:

• Blusas:

1. blanca.

2. rosa.

• Faldas:

1. café.

2. azul.

3. negra.

Haciendo la “traducción” obtuvo la siguiente lista:

1, 1

1, 2

1, 3

2, 1

2, 2

2, 3

En donde el primer número pertenece a la blusa y el segundo a la falda. Observa

que no tendría ningún signifi cado pedir (3, 2) ya que no hay ninguna blusa 3. En-

tonces el orden en estas parejas es importante; lo mismo sucederá con las parejas

de números que veremos a continuación.

Las parejas ordenadas tienen dos elementos, uno de ellos ocupa el primer lugar,

y otro el segundo, y si se cambian de lugar el sentido varía. Se representan encerran-

do sus elementos entre paréntesis. Por ejemplo: (3, 4), (6, 8), (9, 1), (4, 3), etcétera.

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Objeto de aprendizaje Parejas ordenadas

8 Matemáticas III

Actividad 1

Igualdad de parejasObserva que si cambias los números de lugar, no quieren decir lo mismo, es decir,

3 y 4 es una pareja ordenada, pero 4 y 3 hace referencia a un arreglo distinto. En

general, las parejas ordenadas cumplen que:

(a, b) � (b, a)

y

(a, b) � (b, a) si y solo si a � b

Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas estas deben tener los mismos elementos en el mismo orden. Por ejemplo: (5, 5).

Organízate con tus compañeros, formen un equipo de cuatro integrantes, de preferencia alumnas y alumnos, y

resuelvan los siguientes ejercicios con una actitud de respeto y tolerancia. Al fi nal, refl exionen con los integrantes

de otro equipo sus procedimientos y resultados.

1. La fonda de Chonita tiene tortas de jamón y tacos de pollo para comer, y agua de jamaica, refresco y jugo para

beber. Formen todos los posibles menús que Chonita puede tener.

2. La fl orería “Mil hojas” tiene rosas, tulipanes y orquídeas como fl ores y, helecho y dracaena como follaje. Cons-

truyan los posibles arreglos que puede hacer de un tipo de fl or con un tipo de follaje.

3. En la fi esta de Luis, su mamá quiere servir algunas ensaladas que contengan un tipo de fruta y un tipo de

semilla. Cuenta con frutas como naranjas, uvas, papayas y mangos, en cuanto a las semillas, tiene nueces,

almendras, avellanas y pistaches. Describan las ensaladas que puede haber en la fi esta de Luis.


Ejemplo

Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de números entre dos

conjuntos es por medio del producto cartesiano, que se representa como A � B. Producto cartesiano. Es la colección de todas las relaciones (combinaciones) de los elementos de A con los elementos de B. G

LOSA

RIO

Desarrolla el producto cartesiano A � B y B � A dados A � �1, 2, 3� y B � �1, 2, 3, 4�.

Solución:

A � B �

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)

Ahora,

B � A �

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

Observa que las parejas (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2) y (3, 3) son iguales en ambos pro-

ductos.

El producto cartesiano de dos conjuntos de números es un nuevo conjunto de pa-

rejas ordenadas en el que todas estas son distintas. El primer elemento corresponde

al conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B.

Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatro,

entonces el conjunto A � B tiene 3 � 4 � 12 elementos (parejas ordenadas), de

ahí la razón de llamarlo producto (multiplicación) y se le llama cartesiano porque se

puede representar gráfi camente en un plano cartesiano, como el siguiente:

Una aplicación de las parejas ordenadas es la localización de puntos en el sistema

de coordenadas rectangulares.

1 2 3 A

(1, 4)

(1, 3)

(1, 2)

(1, 1)

(2, 4)

(2, 3)

(2, 2)

(2, 1)

(3, 4)

(3, 3)

(3, 2)

(3, 1)

B

4

3

2

1

10 Matemáticas III

Actividad 2

Organízate con tus compañeros y reúnanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno, realicen de

manera colaborativa los siguientes ejercicios. Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsa-

bilidad. Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados. Al fi nal, califi quen su desempeño con la guía de

autoobservación.

1. Respondan las siguientes preguntas respecto a las características del sistema de coordenadas:

a) ¿Cuántas rectas numéricas conforman el sistema de coordenadas rectangulares?

b) ¿Cuál es la posición de cada una de estas rectas?

Traza un cuadrado y un triángulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares, luego descríbelos indican-

do las coordenadas (x, y ) que representan a sus vértices.

Solución:

Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referencias,

una está sobre el eje X, denominada abscisa, y la otra sobre el eje Y, denominada

ordenada. Por tanto, las parejas ordenadas tienen la siguiente forma:

(abscisa, ordenada)

La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (también se le llama eje de las abscisas),

y la ordenada, sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas).

Las coordenadas del cuadro son:

(�3, 3), (�3, �3), (3, �3) y (3, 3)

Las coordenadas del triángulo son:

(0, 4), (0, 6) y (4, 4)

Ejemplo

Abscisa. Es la coordenada x de un punto en un sistema de coordenadas cartesianas.

Ordenada. Es la coordenada y de un punto en un sistema de coordenadas cartesianas.

GLO

SARI

O

7

6

5

4

3

2

1

�1

�2

�3

�4

�5

�6

�7

�7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6 7

Y

X


c) ¿Cuál es el nombre de la recta horizontal?

d ) ¿Cuál es el nombre de la recta vertical?

e) ¿Cómo se llama al punto donde se cruzan los ejes?

f ) ¿Cómo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuántas son?

g) ¿Cuáles son los signos de cada cuadrante?

2. Dados los siguientes conjuntos, calculen los productos cartesianos y represéntenlos en un plano. Además,

rodeen las parejas ordenadas iguales.

A � �a, b, c, d � B � �1, 3, 5� C � �2, 4, 6, 8� D � �x, y, z�

a) A � B f ) B � D

b) C � D g) B � A

c) A � C h) D � C

d ) C � B i ) B � C

e) D � A j ) A � D

3. Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos, e identifi quen a qué cua-

drante per tenecen:

a) A (4, 2) h) H (�8, 3)

b) B (3, 5) i ) I �6

4, �

12

5

c) C1

2,

1

4 j ) J (6, 2)

d ) D (�2, 7) k ) K8

3, �3

e) E (�7, �3) l ) L (0, 0)

f ) F2

3, �

4

5 m ) M (�1, �2)

g) G (2, �4) n ) N (�5, ��8)

12 Matemáticas III

4. Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano:

a) A ( , ) f ) F ( , )

b) B ( , ) g) G ( , )

c) C ( , ) h) H ( , )

d ) D ( , ) i ) I ( , )

e) E ( , ) j ) J ( , )

5. Representen en un sistema de coordenadas rectangula-

res los polígonos con los siguientes vértices e inclú yan-

los en su portafolio de evidencias.

a) A (3, 4), B (2, 1), C (�5, �1)

b) A (�9, �3), B (�5, 1), C (4, 0)

c) A (�4, 2), B (�2, �3), C (1, �6), D (0, 4)

7

6

5

4

3

2

1

�1

�2

�3

�4

�5

�6

�7

�7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6 7

Y

X

G

F

E

A

C

B

D

J

I

H




su califi cación como pareja.

Desempeño


(2)

Regular

(1)

Malo

(0)

1 Trazamos correctamente el sistema de coordenadas, identifi cando los ejes.

2 Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto.

3 Unimos correctamente los puntos, formando la fi gura geométrica.

4 Identifi camos la fi gura correctamente de acuerdo con el número y posición

de los vértices.

5 Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de la

solución.

Califi cación:


Organízate con tus compañeros y formen parejas, de preferencia alumno y alumna. Realicen los siguientes ejerci-

cios de manera colaborativa.

1. Tracen las líneas rectas siguientes; una de ellas pasa por A (0, 6) y B (6, 0); la otra pasa por C (6, 6) y D (0, 0),

comprueben que estas líneas rectas se cruzan en el punto (3, 3).

2. Dibujen en un sistema coordenado un triángulo isósceles (de cualquier medida). Luego indiquen las coorde-

nadas de sus tres vértices, también marquen dos puntos que estén dentro y dos puntos que estén afuera del

triángulo e indiquen sus coordenadas.

3. Grafi quen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas, únanlos y

escriban el tipo de fi gura geométrica:

a) A(2, 4), B(2, 1), C (�2, 1), D(�2, 4)

b) E(2, 5), F(5, 2), G(0, �4)

c) H(�3, 5), I (�3, 9), J (3, 5)

d ) K(4, �2), L(4, �4), M (2, �4), N (2, �2)

e) O(�5, �2), P(�1, �2), Q(�1, �4), R(�5, �4)

4. Resuelvan los siguientes problemas:

a) María tiene una casa con una puerta al sur, sale de ella y

camina 4 cuadras, luego decide caminar 3 cuadras al este,

después gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras, fi nal-

mente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras. Si se coloca la

casa de María en el origen de un sistema de coordenadas

rectangulares y se sigue su trayectoria, ¿en qué punto se

encontrará al fi nal de su camino? Elaboren una hipótesis y

compruébenla en un sistema de coordenadas.

b) El terreno de Félix tiene coordenadas (5, 2), (10, 2), (5, 10)

y (10, 10).

i. Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rec-

tangulares.

ii. ¿Qué forma tiene el terreno?

iii. Calculen su área.

Actividad 3

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Shutt

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3/

Shutt

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tock

14 Matemáticas III

c) En la clase de Biología, Pati realizó un experimento para

observar el crecimiento de una colonia de bacilos. Se

registraron los siguientes datos anotando el tiempo que

transcurrió y el número de bacilos presentes en el ex-

perimento.

• 200 bacilos en 6 minutos





Representen los pares de valores que Pati recabó en un sistema de coordenadas rectangulares, en el que el eje

horizontal sea el tiempo, y el eje vertical el número de bacilos.

© M

ate

j Kast

elic

/Shutt

ers

tock

En geometría analítica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacio-

nados con los lugares geométricos:

1. Dada una ecuación, encuentra el lugar geométrico que la representa.

2. Dado un lugar geométrico, encuentra la ecuación que lo representa.

Con esto en mente podemos hablar de un método general para resolver proble-

mas de geometría analítica que consta de tres secciones bien defi nidas:

1. Geométrica: En esta expondrás todo lo que sabes respecto al lugar geométrico

que se propone antes de iniciar con el análisis.

2. Analítica: Aquí efectuarás el análisis de las ecuaciones dadas, para ello usarás

álgebra y aritmética.

3. Conclusión: Esta parte es importantísima ya que aquí redactarás lo que hayas

encontrado a lo largo de todo el proceso.

Encontrarás problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analítica y

después la geométrica; sin embargo, habrá otros en los que tanto la parte analítica

como la geométrica deberán desarrollarse al mismo tiempo, pero en cualquiera de

los casos ambas están presentes.

Cuando queremos saber cuál es el lugar geométrico asociado con una expresión

algebraica sugerimos realizar los siguientes pasos:

1. Haz una tabulación en donde se asignen valores a x.

2. Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuación original.

Objeto de aprendizaje Lugares geométricos

Lugar geométrico. Es un conjunto de puntos que cumplen una propiedad geométrica en particular.

GLO

SARI

O


3. Calcula las intersecciones con los ejes:

a) Para el corte en el eje Y, toma x � 0 y calcula el valor de y.

b) Para el corte en el eje X, toma y � 0 y calcula el valor de x.

4. Por último, elabora la gráfi ca, colocando los puntos tabulados y la intersección

con los ejes.

Ejemplos

1. ¿Qué lugar geométrico representa la ecuación y � 3x � 2?

Solución:

• Parte analítica

Si observas la ecuación te darás cuenta de que es una ecuación lineal, por lo que se representa como una

recta pero, ¿cuáles son las características de esta recta en particular? Sigamos los pasos propuestos; re-

cuerda que para grafi car una línea recta son sufi cientes dos puntos:

x �2 1

y �4 5

(x, y ) (�2, �4) (1, 5)

Para las intersecciones con los ejes:

Con el eje Y, x � 0

y � 3x � 2

y � 3(0) � 2

y � 0 � 2

y � 2

La intersección con el eje Y es el punto (0, 2).

Con el eje X, y � 0:

y � 3x � 2

0 � 3x � 2

0 � 2 � 3x

�2

3 � x

x � �2

3

La intersección con el eje X es el punto �2

3, 0 .

16 Matemáticas III

• Parte geométrica

Haciendo la gráfi ca tenemos que el lugar geométrico y � 3x � 2 es:

7

6

5

4

3

2

1

�1

�2

�3

�4

�5

�6

�7

�7 �6 �5 �4 �3 �2 �1

1 2 3 4 5 6 7

y � 3x � 2

X

Y

• Conclusión

El lugar geométrico es una línea recta que interseca al eje Y en y � 2 y al eje X en x � �23

.

Por otro lado, si queremos saber cuál es el lugar geométrico asociado con un conjunto de pares ordenados,

te sugerimos seguir los siguientes pasos:

a) Hacer una tabulación con los valores de x y y.

b) Calcular la relación que se presenta entre los datos.

c) Calcular las intersecciones con los ejes:

i. Para el corte en el eje Y, toma x � 0 y calcula el valor de y.

ii. Para el corte en el eje X, toma y � 0 y calcula el valor de x.

d ) Por último, hacer la gráfi ca, colocando los puntos tabulados y la intersección con los ejes.

2. ¿Qué ecuación representará el lugar geométrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (�5, 25),

(�4, 16), (�3, 9), (�2, 4), (�1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)?

Solución:


Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relación entre las abscisas y las

ordenadas:

x �5 �4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4 5

y � ¿? 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25


Para encontrar la relación debemos preguntarnos, ¿qué le hacemos a �5 para que sea 25?, ¿a �4 para que

sea 16?, ¿a �3 para que sea 9?, etcétera.

Si pensamos un poco, la respuesta es evidente… ¡Claro! Lo elevamos al cuadrado, o sea:

25 � (�5)2, 16 � (�4)2, 9 � (�3)2, etcétera.

Por tanto, la relación es:

y � x2

Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una parábola con vértice en

el origen, que es la única intersección con el eje X o Y; para verifi car lo anterior, desarrollemos la parte

geométrica.


Si grafi camos los puntos que tenemos y los

unimos con una curva suave, entonces se

forma la parábola cóncava hacia arriba con

su vértice en el origen:

5

10

15

20

25

5�5X

Y

• Conclusión

Entonces, tenemos que los puntos (�5, 25), (�4, 16), (�3, 9), (�2, 4), (�1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4),

(3, 9), (4, 16), (5, 25) representan el lugar geométrico denominado parábola, con vértice en el origen, cuya

ecuación es y � x 2.

3. ¿Qué lugar geométrico representa la ecuación y � x 2 � 4?

Solución:


Primero tabulemos la ecuación.

Como vimos, las líneas rectas sólo necesitan 2 puntos en la tabulación pero en este caso no hablamos

de una ecuación lineal, así que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendrán que tabular

Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

Propósito• Que el(la) alumno(a) alcance desempeños que le permitan realizar

un estudio de las propiedades geométricas de la recta y de sus posibilidades analíticas.

Desempeños del estudiante al concluir el bloque• Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta.• Transforma ecuaciones de una forma a otra.• Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar

problemas y/o ejercicios de la vida cotidiana.

Bloque IV

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hoto

redakt

or/

Dre

am

stim

e

Objetos de aprendizaje:• Ecuaciones de la recta —Pendiente y ordenada al origen —Punto-pendiente —Dos puntos —Simétrica• Ecuación general y normal de la ecuación de la recta• Distancia de la recta a un punto• Distancia entre dos rectas paralelas

Competencias a desarrollar• Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas,

matemáticas o gráfi cas.• Sigue instrucciones y procedimientos de manera refl exiva,

comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

• Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

• Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

• Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específi co y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confi abilidad.

• Defi ne metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.

• Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, defi niendo un curso de acción con pasos específi cos.

• Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera refl exiva.

• Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo

Competencias disciplinares básicas del campo de matemáticas• Construye e interpreta modelos matemáticos mediante

la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

• Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

• Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

• Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráfi cos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de la tecnología de la información y la comunicación.

• Cuantifi ca, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y de las propiedades físicas de los objetos que los rodean.

• Interpreta tablas, gráfi cas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científi cos.

108

Responde correctamente las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es la distancia más corta entre dos puntos?

2. ¿Cuáles son las referencias mínimas para defi nir una recta en el plano?

3. ¿Cómo se llama al punto de intersección de una recta con el eje Y ?

4. ¿Cómo se denomina a la intersección de la recta con el eje X ?

5. ¿En qué forma de la ecuación de la recta se puede identifi car de inmediato su “inclinación” y la intersección de

esta con el eje Y ?

6. ¿Cómo se conoce a la forma de la ecuación de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-

nada al origen?

7. ¿Cómo se escribe la expresión para la forma general de la ecuación de la recta?

8. ¿Cuáles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuación de la recta?

Evaluación diagnóstica

Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta 109

Para determinar una recta, siempre se necesitan dos referencias como mínimo y

esto nos permite usar una forma de la ecuación de acuerdo con los datos que se

proporcionan:

1. La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos.

2. La forma punto-punto, que requiere dos puntos pertenecientes a la recta.

3. La forma simétrica usa las intersecciones con los ejes.

4. La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores.

5. La forma normal emplea la distancia al origen y el ángulo de inclinación de la

recta que representa dicha distancia.

Estudiaremos todas a lo largo del bloque.

Ecuación de la recta dadas su pendiente y ordenada en el origen¿Cómo se puede trazar la gráfi ca de una recta de manera rápida y sin la ayuda

de una tabulación? Necesitamos dos referencias, una de ellas puede ser un punto

“especial” que obtenemos de la intersección con el eje Y, al que se designa con la

letra b; por tanto, sus coordenadas son (0, b) y se le llama ordenada en el origen; la otra referencia es m, la pendiente. ¿Cómo identifi carla en la ecuación de una

recta? ¡Es muy fácil!

A partir de la defi nición del punto al cual corresponde la ordenada en el origen

(0, b) y la pendiente de una recta (m), podemos emplear la forma punto-pendiente

de la ecuación de la recta; veamos:

y = mx + b

expresión que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquier

punto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y su-

mada a la intersección con el eje Y.

Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta

9. ¿Cuáles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta?

10. ¿Cuáles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas?

110 Matemáticas III

Ejemplos

1. Grafi ca la ecuación y � 3x � 2.

Solución:

Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen

y � mx � b

y � 3x � 2

Entonces, la ecuación tiene como ordenada en el origen b � 2; esto

signifi ca que en ese lugar la recta interseca al eje Y, además es fácil

observar que la pendiente es m � 3. Gráfi camente:

Si deseas trazar la recta puedes grafi car

la pendiente a partir de la ordenada en

el origen, tal como vimos en el bloque

anterior.

2. Grafi ca la ecuación y � 3

2 x � 2.

Solución:


Toma la ecuación y compárala con la forma pendiente-ordenada en el origen:

y � 3

2 x � 2

y � mx � b

A esta forma de la recta se le denomina forma común o pendiente-ordenada en el origen y es muy útil ya que mediante ella es posible identifi car de inmediato

la pendiente y la ordenada en el origen.

X

Y

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7

b Ordenada en el origen

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

�1

�2

�3

�4

�5

�6

�7

�8

�9

�10

�10 �9 �8 �7 �6 �5 �4 �3 �2 �1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X

Y


De donde:

m � 3

2

b � 2


Localizando el punto (0, b), que en este caso es (0, 2), y grafi cando los avances vertical y horizontal que

nos dé la pendiente, obtenemos la siguiente recta:

Pero, ¿qué pasaría si la pendiente es negativa?

3. Grafi ca la ecuación y � �4x � 5.

Solución:


De la ecuación se obtiene:

m � �4

1

b � 5


Localizamos en el plano cartesiano los datos ob-

tenidos anteriormente:

y � 3

2x � 2

3

Ordenada en

el origen, b

m � 3

2

Pendiente

2

4x � y � 5 � 0

Recuerda que si el

numerador es negativo

entonces debemos

recorrernos hacia abajo


4. Grafi ca la ecuación y � �2x � 3:

Solución:


m � 2

�1

b � �3


Localicemos en el sistema de coordenadas los datos

obtenidos anteriormente:

También se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para

que encontremos la ecuación de una recta.

1. Determina la ecuación de la recta que tiene pendiente m � 2 y ordenada en el origen b � 6.

Solución:


Ya sabemos grafi car rápidamente una

recta dada su ordenada en el origen y

su pendiente:


Para determinar esta ecuación lo úni-

co que debemos hacer es sustituir los

datos que nos proporcionan en la for-

ma común de la recta:

y � mx � b

y � 2x � 6

2x � y � 3 � 0

Ejemplos

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

�1

�2

�3

�4

�5

�6

�7

�8

�9

�10

�10 �9 �8 �7 �6 �5 �4 �3 �2 �1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X

Y


Si deseas escribir esta ecuación de otra forma, lo más conveniente es que la iguales a cero, observa:

2x � y � 6 � 0

Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta. Por tanto, la ecuación buscada es:

2x � y � 6 � 0

• Conclusión

La ecuación y la gráfi ca

de la recta son: 10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

�1

�2

�3

�4

�5

�6

�7

�8

�9

�10

�10 �9 �8 �7 �6 �5 �4 �3 �2 �1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X

Y 2x � y � 6 � 0

2. Calcula la ecuación de la recta que tiene pendiente m � �1

2 y su intersección con el eje Y es 0,

1

2.

Solución:


Tomaremos m � �1

2 y b �

1

2.


Sustituimos los datos que se propor-

cionan en la forma común:

y � mx � b

y � �1

2x �

1

2


Ahora podemos expresarla de manera general:

y � �x

2 �

1

2

y � �x � 1

2

2y � �x � 1

Así que la ecuación que buscamos es:

x � 2y � 1 � 0

• Conclusión

La ecuación y la gráfi ca que nos piden son:

x � 2y � 1 � 0

Organízate con tus compañeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnos.

Resuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia.

1. Determinen la ecuación de la recta que corresponda a la pendiente e intersección con el eje Y que se indica:

a) m � 3, b � 7 e) m � �6

3, b � 6

b) m � �6, b � �4 f ) m � �3

4, b � 5

c) m � 1

2, b � �2 g) m � �5, b � �8

d ) m � �5

3, b � �

1

5 h) m �

1

6, b � �5

2. Determinen la ecuación que representa la gráfi ca de cada fi gura en su forma común:

a) b)

Actividad 1

7

6

5

4

3

2

1

�1

�2

�3

�4

�5

�6

�7

�7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6 7X

Y

7

6

5

4

3

2

1

�1

�2

�3

�4

�5

�6

�7

�7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6 7X

Y


c) d )

7

6

5

4

3

2

1

�1

�2

�3

�4

�5

�6

�7

�7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6 7X

Y

7

6

5

4

3

2

1

�1

�2

�3

�4

�5

�6

�7

�7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6 7X

Y

3. De acuerdo con una investigación del periódico La verdad

al día, las ecuaciones y � 1.80x � 1.70, y � 1.80x � 1.80

y y � 1.40x � 1.50 representan lo que cuesta un viaje en

taxi en el D.F., Guadalajara y Puebla, respectivamente. La

pendiente es el costo por kilómetro y la ordenada en el ori-

gen es la tarifa inicial. Grafi quen las ecuaciones en el mis-

mo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomar

un taxi en las tres ciudades.

4. Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y compró un auto en 1986; equiparlo completamente le costó

cerca de $250 000.00. Investigó en revistas especializadas y concluyó que los costos de equipamiento aumen-

tan $25 000.00 por año. Escriban la ecuación lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representa

el costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986. Consideren que la tasa de incremento permanece

constante.

© C

ham

ele

onsE

ye/

Shutt

ers

tock


Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confi ables (bibliográfi cas o

electrónicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen; corroboren la forma de solución que se pre-

sentó en el salón y elaboren una presentación electrónica en la que se plasmen sus resultados y su conclusión,

incluyan las fuentes y expónganla ante el grupo. Por último, evalúen su desempeño en esta actividad con la guía

de autoobservación que se presenta a continuación.


Ecuación de la recta en su forma punto-pendienteOtra forma de calcular la ecuación de una recta es una generalización del caso

anterior, ya que se puede proporcionar un punto A(x1, y1) que pertenece a esta y su

pendiente m, para calcular:

y � y1 � m (x � x1)




su califi cación como equipo.

Desempeño


(2)

Regular

(1)

Malo

(0)

1 Utilizamos las TIC para obtener la información y presentarla de manera

creativa.

2 Corroboramos las formas de solución presentadas.

3 Todo el equipo participó de manera responsable y colaborativa.

4 Elegimos por lo menos tres fuentes de información confi ables y de acuerdo

con el tema.

5 Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestros

compañeros de manera refl exiva.

Califi cación:

Ejemplo

Determina la ecuación de la recta que pasa por A(�3, 1) y tiene pendiente m � �2

3. Grafi ca la recta.

Solución:


Sustituyendo el punto A(�3, 1) y m � �2

3 en la forma punto-pendiente, tenemos:

y � y1 � m(x � x1)

y � 1 � �2

3 [x � (�3)]

3 (y � 1) � �2(x � 3)

3y � 3 � �2x � 6

2x � 3y � 3 � 6 � 0

2x � 3y � 3 � 0



Debemos ubicar el punto A(�3, 1) y después grafi car

la pendiente:

• Conclusión

La ecuación de la recta que pasa por A(�3,1) y tiene

pendiente m � �2

3 es 2x � 3y � 3 � 0.

Organízate con tus compañeros y formen un equipo de cuatro integrantes, de preferencia alumnas y alumnos.

Resuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes.

1. Calculen la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el ángulo de inclinación que

se indica (sugerencia: recuerden que a partir del ángulo pueden obtener la pendiente).

a) P(3, �5) y � � 45° d ) P(�5, �8) y m � 2

3

b) P(3, �4) y m � �4

5 e) P(�6, �3) y m � �

4

7

c) P(2, �4) y � � 135°

2. Determinen la ecuación de la recta que pasa por el punto P(�5, 8) y que es perpendicular a la recta 2x �

y � 5 � 0.

3. Establezcan la ecuación de la recta que pasa por el punto P(�8, 9) y que es paralela a la recta 2x � 3y �

24 � 0.

4. Una recta pasa por el punto A(3, 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B(–2, 2) y C(3, –4). Deter-

minen su ecuación.

5. Hallen la ecuación de la recta que tiene una pendiente de �4, y que pasa por el punto de intersección de las

rectas 3x � y � 7 � 0 y 4x � 5y � 2 � 0.

6. Calculen la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas x � 3y � 7 � 0,

2x � y � 7 � 0 y es paralela a la recta 4x � y � 7 � 0.

Actividad 2


7. Escriban la ecuación que representa la gráfi ca de cada fi gura en su forma punto-pendiente:

a) b)

c) d )

7

6

5

4

3

2

1

�1

�2

�3

�4

�5

�6

�7

�7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6 7X

Y

7

6

5

4

3

2

1

�1

�2

�3

�4

�5

�6

�7

�7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6 7X

Y

7

6

5

4

3

2

1

�1

�2

�3

�4

�5

�6

�7

�7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6 7X

Y

7

6

5

4

3

2

1

�1

�2

�3

�4

�5

�6

�7

�7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6 7X

Y


Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confi ables (bibliográfi cas o

electrónicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solución que se presentó en el salón.

Elaboren un documento, de al menos una cuartilla, en el que se plasmen sus resultados y su conclusión; incluyan

al menos dos imágenes y las fuentes. Expónganlo frente al grupo. Por último, evalúen su desempeño en esta acti-

vidad con la guía de autoobservación que se presenta a continuación.

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Además de fomentar el desarrollo de la competencia investigativa, Student Resources In Context refuerza en los estudiantes habilida-des como el pensamiento crítico, la solución de problemas, la co-municación, la colaboración, la creatividad y la innovación.

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Las matemáticas se han convertido en un parámetro internacional de medición del aprovechamiento escolar en el nivel medio superior. Matemáticas III con enfoque por competencias, segunda edición, surge de la necesidad de contar con un texto ágil, novedoso y actual, que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias que establece la Dirección General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor docente. El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos por la DGB:

Bloque I Reconoces lugares geométricos. Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos. Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico. Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta. Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia. Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola. Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse.

Además, cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propues-tas: rúbricas, listas de cotejo y guías de autoobservación, que conforman las evaluacio-nes diagnóstica, formativa y sumativa; con lo cual se subsana la necesidad de que éstas sean transparentes para el alumno y útiles para el docente.

I S B N 1 0 : 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 1

I S B N 1 3 : 9 7 8 - 6 0 7 5 1 9 0 4 8 - 8

9 786075 190488


matematicas:

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