10

196

Geometría en el espacioU

nid

adGeometría en el espacio

Naturaleza platónica

Platón (ca. 427-347 a. C.) fue uno de los filósofos más importantes de Grecia. En el aspecto matemático, Platón consideraba a las figuras geométricas como entidades perfectas residentes en el mundo de las ideas.

Según él, el círculo ideal no existe ni podrá existir ja-más, ni siquiera se puede trazar con la tecnología más avanzada. Cualquier representación real de un círculo solo es una aproximación al círculo platónico ideal. Sin duda, un círculo trazado con un programa de diseño asistido por ordenador se acerca más al círculo ideal que uno hecho con un bastón en la arena. Pero el círculo ideal se aleja de la realidad. Esto es lo que de-termina una relación tan fuerte entre las matemáticas y la filosofía platónica.

Nos podemos acercar a los objetos ideales, pero nunca los podremos tocar ni ver. La forma aparente del Sol o la Luna inspiran la idea de círculo; una naranja o una pelota inspiran la de esfera; o la formación basáltica de la Calzada de los Gigantes, en Irlanda del Norte, inspira la de prisma hexagonal; y también la de que, quizás la naturaleza es esencialmente platónica. Una idea que se refleja en las espectaculares cristalizaciones de los mine-rales. Según Platón, lo que es real no es ideal.

Los poliedros existen en el espacio tridimensional. ¿Cómo se genera el poliedro esencial representante de las tres dimensiones?

Empezamos con un punto, de dimensión cero. Un vez tenemos el punto, nada nos impide considerar otro. Entre el punto original y su duplicado creamos una relación denominada segmento. Es la capacidad de duplicación la que crea una nueva dimensión y da lu-gar al segmento unidimensional. Pero esto que hemos hecho con el punto también podemos hacerlo con el segmento. Duplicando el segmento creamos un vínculo entre el original y la copia llamado cara.

Mates3ESO_U10.indd 196 24/1/11 17:06:27

BA

197

Geometría en el espacioGeometría en el espacioFinalmente, solo tenemos que duplicar la cara para crear la tercera dimensión en una relación entre caras que denominamos cuerpo. Así, partiendo del punto adimensional, mediante duplicaciones creamos todas las dimensiones que queramos.

Los poliedros están hechos de vértices, aristas, caras y un cuerpo, que es el poliedro en sí.

Los polígonos contienen vértices, aristas (lados) y una única cara, que es el polígono en sí. En una dimensión no hay polígonos, solo segmentos hechos de vértices (los puntos extremos) y una arista, que es el segmento en sí. En la dimensión cero solo hay un vértice, que es el punto en sí.

El pensamiento platónico se centra más en la forma ideal o, mejor dicho, más en la idealización de la forma que en la dimensión. Fue el matemático suizo Leonhard Euler quien caracterizó los poliedros mediante un nú-mero directamente ligado a su dimensión espacial. La fórmula de Euler asegura que, para cualquier poliedro, la suma del número de caras y el número de vértices supera siempre en dos unidades el número de aristas. Este resultado no solo idealiza más los poliedros, sino también la tercera dimensión que los aloja.

Analiza y resuelve

1. Indica cuál de los siguientes círculos se aproxima más al

círculo ideal platónico.

a) Un círculo dibujado a mano alzada.

b) Un círculo trazado con compás.

c) El círculo determinado por los puntos del plano

que se hallan a una distancia menor o igual de un

punto denominado centro.

d) La Luna llena.

2. Pon ejemplos de cosas reales con forma de prisma hexa-

gonal.

3. Completa la siguien-

te tabla con los núme-

ros de elementos de las

figuras A y B:

figura caras(polígonos)

vértices(puntos)

aristas (segmentos) C + V − A

A

B

4. Traza una figura plana semejante a las de la actividad

anterior, pero en la cual el resultado de C + V − A no sea

ninguno de los obtenidos.

5. Completa la tabla y haz una predicción sobre los resultados

correspondientes al hiperespacio de cuatro dimensiones.

dimensión objeto vértices aristas caras hiper-cuerpos total

0 punto 1 0 0 0

1 segmento 2 1 0 0

2 cuadrado 4 4 1 0

3 cubo 8 12 6 1

4 hipercubo

Índice1. Ángulos en el espacio y poliedros2. Poliedros regulares. El teorema de Euler3. El teorema de Pitágoras en el espacio4. Área de los poliedros5. Volumen de los poliedros6. Cuerpos de revolución: el cilindro y el cono7. Simetría y semejanza en los cuerpos geométricos8. La esfera y el globo terráqueo

Competencias básicasMatemática. Reconocimiento de los elementos y propie-dades de los poliedros y de los cuerpos de revolución.Comunicativa lingüística. Representación de los ele-mentos de los poliedros y de los cuerpos de revolución.Aprender a aprender. Aplicación de métodos de resolu-ción de problemas.Tratamiento de la información y competencia digi-tal. Uso de herramientas de cálculo e informáticas.

punto

segmento

polígono

poliedro

Mates3ESO_U10.indd 197 24/1/11 17:06:29

1

cara

94,09º

94,09º

85,91º85,91º

180º

60º

270º

90º

90º

cara

198

Geo

met

ría

en e

l es

pac

io 1.1 Ángulo diedro

Dos planos secantes determinan cuatro regiones, cada una de las cuales se denomina ángulo diedro.

Los elementos que forman un ángulo diedro son las caras y la arista.

Como medida de un ángulo diedro se toma el ángulo formado por dos rectas perpendicu-lares a cada cara por un mismo punto de la arista.

Ejemplo

1. Estos ángulos diedros están determinados por dos, rectas se-cantes y forman cuatro ángulos iguales dos a dos, de 94,09º y 85,91º, respectivamente.

1.2 Ángulo poliedro

Cuando tres planos secantes o más coinciden en un punto, determinan una región del espacio que se denomina ángulo poliedro.

Los planos que forman el ángulo poliedro se llaman caras, las rectas determinadas por dos de los planos que lo forman se conocen como aristas y el punto común, como vértice.

Para poder construir un ángulo poliedro, la suma de los ángulos de las caras que lo forman tiene que ser inferior a 360º.

Ejemplos

2. Un triedro es la región del espacio de-finida por tres planos secantes. Se puede formar un ángulo triedro a partir de tres triángulos equiláteros iguales, puesto que su suma es de 180º, es decir, menor de 360º.

3. Se puede obtener un triedro a partir de tres rectángulos cuadrados, como ocu-rre en una esquina de una habitación. Su suma es de 270º.

1.3 Poliedros

La combinación de varios ángulos poliedros puede dar lugar a una región del espacio limitada por polígonos. Esta región del espacio se denomina poliedro.

Ejemplo

4. Considera un triedro formado por tres triángulos. Si se corta este triedro por un plano secante, se obtiene una fi-gura geométrica cerrada, cuyas caras serán triángulos. Esta figura es un ejemplo de poliedro de cuatro caras.

Ángulos en el espacio y poliedros

Recuerda

Un poliedro es una región del

espacio limitada por polígonos.

Un poliedro está formado por

varios ángulos diedros.

ángulo diedro

arista

aristascaras

aristas

vértices

vértices

Mates3ESO_U10.indd 198 24/1/11 17:06:31

diagonal

cara

altura

base

base

altura altura altura

base base base

base base

A B

199

1.4 Elementos de un poliedro. Poliedros cóncavos y convexos

Los elementos que forman un poliedro son:

Caras.• Cada uno de los polígonos que lo limitan.

Aristas.• Cada uno de los segmentos determinados por dos caras secantes.

Vértices.• Cada uno de los puntos comunes a tres aristas o más.

Diagonales.• Cada uno de los segmentos que unen dos vértices que pertenezcan a caras diferentes.

Un poliedro es convexo si dos puntos cualesquiera se pueden unir con un segmento inte-rior al cuerpo; en caso contrario es cóncavo.

Ejemplo

5. La figura muestra un poliedro convexo y uno cón-cavo. Fíjate en la analogía entre polígonos cóncavos y convexos y poliedros cóncavos y convexos.

1.5 Prismas y pirámides

Un prisma es un poliedro formado por dos polígonos cualesquiera, iguales y paralelos, deno-minados base, y por caras laterales, que son paralelogramos. Si todas las caras laterales son perpendiculares en las bases, el prisma se llama recto. En caso contrario, oblicuo.

La altura de un prisma es la distancia entre las dos bases.

Los prismas formados por paralelogramos reciben el nombre de paralelepípedos. Si los paralelogramos son rectángulos, el prisma se conoce como ortoedro.

Una pirámide es un poliedro formado por una base, que puede ser un polígono cual-quiera, y por caras laterales, que son triángulos cuyas aristas concurren en un punto denominado cúspide.

La altura de la pirámide es la distancia perpendicular entre la cúspide y la base de la pirámi-de. Si la base de una pirámide es un polígono regular, se trata de una pirámide regular.

Ejemplo

6. Las siguientes figuras representan un prisma recto, uno oblicuo, un ortoedro y una pirámide.

Atención

Aunque no lo parezca, el po-

liedro B también es una pirá-

mide.

Aplica

■1 Identifica los poliedros en cada figura:

a) b) c) d)

■■2 Di en qué situaciones se puede formar un ángulo po-

liedro.

a) Con dos rectángulos y un cuadrado.

b) Con tres pentágonos regulares.

c) Con un pentágono regular y dos hexágonos regulares.

d) Con tres octógonos y un triángulo equilátero.

arista

polígono cóncavo

caras laterales

caras laterales

cúspide

polígono convexopoliedrocóncavo

poliedroconvexo

vértice

Mates3ESO_U10.indd 199 24/1/11 17:06:33

2

180º

240º 300º

60º

60º 60º

270º

90º

324º

108º

360º

120º

200

Geo

met

ría

en e

l es

pac

io 2.1 Poliedros regulares

Un poliedro es regular si:

Sus caras son polígonos regulares iguales.•

En cada vértice concurren el mismo número de caras.•

Solo hay cinco poliedros que cumplen estas condiciones: el tetraedro, el cubo (o hexae-dro), el octaedro, el dodecaedro y del icosaedro.

Los poliedros regulares, también denominados sólidos platónicos, se pueden obtener a partir de sus desarrollos planos:

tetraedro cubo octaedro dodecaedro icosaedro

Ejemplos

7. Con triángulos equiláteros se pue-den formar ángulos poliedros de 3, 4 y 5 triángulos.

Tenemos, entonces, poliedros con 3, 4 y 5 triángulos por vértice. Podemos formar poliedros de 4, 8 y 20 caras, respectivamente, que corresponden al tetraedro, al oc-taedro y al icosaedro.

tetraedro octaedro icosaedro

8. Con cuadrados, solo se puede formar un triedro constituido por tres cuadrados. El ángulo del triedro es de 270º. Se obtiene un poliedro regular de seis caras: el cubo.

9. Con pentágonos regulares, solo se pueden formar triedros de tres polígonos. Se obtiene un poliedro de 12 caras llamado dodecaedro.

Pero no es posible construir poliedros a partir de polígonos regulares con más lados que el pentágono, puesto que hace falta un mínimo de tres polígonos para construir un triedro y la suma de los ángulos sería igual o superior a 360º. Por lo tanto, solo hay cinco poliedros regulares: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

Poliedros regulares. Teorema de Euler

cubo

dodecaedro

Razona

■3 Si se unen dos tetraedros por la base, se obtiene un po-

liedro formado por seis triángulos equiláteros. Explica por qué

este poliedro no es regular.

4 ■ Comprueba que la siguiente figura

corresponde al desarrollo de un cubo.

■5 ¿Por qué no se puede construir un polie-

dro de caras hexagonales?

Atención

No se puede construir un polie-

dro regular con hexágonos por-

que la suma de los ángulos es de

360º y tiene que ser de 270º.

Recuerda

El desarrollo plano de un po-

liedro es un dibujo formado por

un conjunto de polígonos uni-

dos por las aristas, por las que

puede doblarse, de manera que

dichos polígonos se convierten

en las caras del poliedro.

Mates3ESO_U10.indd 200 24/1/11 17:06:35

201

poliedro caras aristas vértices

tetraedro 4 6 4

cubo 6 12 8

octaedro 8 12 6

dodecaedro 12 30 20

icosaedro 20 30 12

2.2 Teorema de Euler

Un poliedro se compone de caras, aristas y vértices. En un poliedro convexo, sea regular o no, hay una relación matemática entre estos tres elementos conocida como teorema de Euler o fórmula de Euler.

Observa en la siguiente tabla que la suma de caras, C, y vértices, V, equivale al número de aristas, A, más 2.

C + V = A + 2

Ejemplo

10. El prisma pentagonal de la figura tiene 7 caras, 15 aristas y 10 vértices.

Se cumple, así, la relación C + V = A + 2, puesto que:

7 + 10 = 15 + 2

Atención

El teorema de Euler se cumple

para cualquier polígono simple,

sin agujeros, no solo para los

regulares.

Aplica

■6 Comprueba el teorema de Euler para todos los polígonos

regulares.

■■7 El poliedro de la figura está formado por

seis octógonos y ocho triángulos. ¿Cuántas aris-

tas tiene? Calcula el número de vértices usando

la fórmula de Euler.

Razona

■8 ¿La figura adjunta es un poliedro? ¿De

qué tipo? Cuenta el número de caras, aris-

tas y vértices que tiene, y comprueba si en

este caso se verifica el teorema de Euler.

¿Por qué?

Mates3ESO_U10.indd 201 24/1/11 17:06:37

c = 1

b = 1

a = 1

R diagonal

PQ

S

a b

c

3

a

b

c

A

B

C

202

Geo

met

ría

en e

l es

pac

io 3.1 Cálculo de diagonales de un ortoedro

Para calcular las diagonales de un ortoedro de anchura a, longitud b y altura c, hay que aplicar el teorema de Pitágoras.

Observa que la diagonal D es el segmento QR. Aplicando el teore-ma de Pitágoras al triángulo PQR, se obtiene:

D2 = (PQ)2 + c2

Por otro lado, el triángulo PQS también es rectángulo: sus catetos son a y b; por lo tanto, (PQ)2 = a2 + b2. Combinando esta fórmula con la anterior se obtiene:

D2 = a2 + b2 + c 2 D = a2 + b2 + c 2

Esta última fórmula permite calcular la diagonal de un ortoedro.

Ejemplo

11. La diagonal de un cubo de arista la unidad mide:

D = a2 + b2 + c 2 = 3 = 1,73 cm12 +12 +12 =

3.2 Cálculo de la apotema de una pirámide regular

En una pirámide regular, hay que distinguir entre la apotema de la base y la apotema de una de las caras laterales. La relación entre estas magnitudes viene dada por el teorema de Pitágoras.

El triángulo ABC es rectángulo. La apotema de la base es el segmento AC, la apotema de una cara lateral es AB y la altura de la pirámide es el segmento BC. La relación que mantienen es AB2 = AC 2 + BC 2.

Llamando h a la altura de la pirámide, aC a la apotema de una cara y aB a la apotema de la base, la relación anterior se escribe:

aC2 = aB

2 + h2

Ejemplo

12. Calcula la altura de una pirámide de base cuadrada, cuyo lado mide 10 m, y la apotema de una cara, 20 m.

h = aC2 aB

2 h = 202 52 h = 375 = 19,36 m

El teorema de Pitágoras en el espacio

Recuerda

En un triángulo rectángulo, el

cuadrado de la hipotenusa c es

igual a la suma de los cuadra-

dos de los catetos a y b.

c2 = a2 + b2

Recuerda

La apotema de un polígono

regular es el segmento que va

desde el centro del polígono

al punto medio de uno de sus

lados; o dicho de otro modo,

el segmento trazado desde el

centro del polígono que es per-

pendicular a uno de sus lados.

Aplica

■9 Halla la diagonal de un ortoedro de aristas 3, 4 y 12 cm.

■10 Calcula la apotema de una pirámide de base cuadrada,

cuya apotema mide 10 cm y la altura, 8 cm. ¿Cuál es el área de

la base?

■11 Calcula las dimensiones de la arista de una pirámide de

base cuadrada de apotema lateral 10 cm y altura 8 cm.

Resuelve

■■12 El área de la base de un ortoedro de base cuadrada es

de 36 dm2. Calcula la diagonal del ortoedro si su altura es de

45 cm.

■■13 La base de una pirámide es un hexágono de 3 cm de

lado. La altura de la pirámide es de 6 cm. Halla las dimensiones

de la apotema de cada cara y las dimensiones de la arista de la

pirámide.

Mates3ESO_U10.indd 202 24/1/11 17:06:40

4

A

Bapotemalateral

aL (apotemalateral)

C

4 cm

6 cm

203

4.1 Área de un prisma

El área total AT de un prisma es la suma de las áreas laterales, AL, y del área de las dos bases, AB:

AT = AL + 2AB

Ejemplo

13. La figura muestra un prisma pentagonal recto con su desarrollo plano. El área total se obtiene a partir del área de uno de los pentágonos de la base multiplicada por 2, más el área de una de las caras rectangulares laterales multiplicada por 6.

4.2 Área de una pirámide

El área total, AT, de una pirámide se calcula sumando el área de la base, AB, y el área la-teral, AL.

AT = AB + AL

Si la pirámide es regular, el área lateral es

AL =PB aL

2, en donde PB es el perímetro de

la base y aL, el apotema lateral.

Área de los poliedros

Resuelve

■14 Calcula el área total de un ortoedro de anchura a = 4 cm,

longitud b = 5 cm y altura c = 6 cm.

■15 Una pirámide de base cuadrada tiene una base de 81 cm2.

Calcula el área total de esta pirámide si su altura es de 6 cm.

■16 La caja de un regalo tiene for-

ma de prisma hexagonal. Si el lado

del hexágono mide 5 cm y la altura

del prisma, 10 cm, ¿cuál es la mí-

nima cantidad de papel necesaria

para envolverlo?

Recuerda

Las fórmulas para calcular las

áreas, A, de los principales po-

lígonos son:

Rectángulo: A = b · h

Cuadrado: A = c2

Romboide: A = b · h

Rombo: A =D · d

2

Triángulo: A =b · h

2

Polígono regular: A =P · a

2

Trapecio: A =B · b( )h

2Círculo: A = πr 2

La utilización de formas polié-

dricas es una constante en la

arquitectura moderna.

Como aplicarlo. Calcular el área de una pirámide regular.

Calcula el área de una pirámide de base cuadrada de lado c = 6 cm y altura 4 cm.

Primero hay que calcular el área de la base, que es • un cuadrado: AB = c2 = 62 = 36 cm2. En un cuadra-do, la apotema mide la mitad que un lado, 3 cm.

Aplicando el teorema de Pitágoras, la apotema late-•

ral mide: (aL)2 = (aB)

2 + h2 → (aL)2 = 32 + 42 = 25 → aL = 5 cm.

El perímetro de la base es 6 · 4 • = 24 cm. Por lo tanto, el área lateral será:

AL =24 5

2= 60 cm2, y el área total AT = 60 + 36 = 96 cm2

Consejos

Haz un esquema gráfico antes de empezar.

No confundas la apotema de la base con la apotema del triángulo.

Mira los ejercicios:

14 pág. 203; y 69 y 71 pág. 218.

Mates3ESO_U10.indd 203 24/1/11 17:06:42

5

b

c

a

altura

204

Geo

met

ría

en e

l es

pac

io 5.1 Volumen de un ortoedro

Si tenemos un ortoedro de anchura a, longitud b y altura c, su volu-men, V, se calcula multiplicando las tres dimensiones.

V = a · b · c

Como el área de la base AB de un ortoedro es AB = a · b, y la altura c se puede designar como h, también se puede decir que el volumen de un ortoedro es igual al producto del área de la base por la altura.

V = AB · h

Ejemplo

14. Las dimensiones del ortoedro de la figura son a = 3 cm, b = 4 cm y c = 4 cm. Su volumen es V = 3 · 4 · 4 = 48 cm3.

5.2 Volumen de un prisma. El principio de Cavalieri

Piensa que dos cuerpos o más que cumplen las siguientes condiciones:

Tienen la misma altura y las áreas de sus bases son iguales.•

Un plano paralelo en la base determina secciones de área igual.•

Entonces, el volumen de estos cuerpos es igual.

Esta propiedad es general y recibe el nombre de principio de Cavalieri, y permite dedu-cir que el volumen de un prisma es el mismo que el de un ortoedro de base AB y altura h.

V = AB · h

Ejemplos

15. La figura contigua representa un prisma recto de base triangular, un ortoedro de base cuadrada y un prisma oblicuo de base cuadrada. Observa que los tres cuerpos verifi-can el principio de Cavalieri.

El área de sus bases es la misma, tienen la misma altura y las secciones paralelas a la base tienen la misma área; por lo tanto, tienen el mismo volumen.

16. Calcula el volumen de un prisma oblicuo, inclinado 45º, que tiene una base cua-drada de 10 cm2 y una altura de 15 cm.

El hecho de que esté inclinado no influye; se puede calcular el volumen aplicando la fórmula directamente: V = AB · h → 10 · 15 = 150 cm2.

Recuerda

Un ortoedro es un paralelepí-

pedo ortogonal, es decir, las

caras forman entre sí ángulos

diedros rectos. Son prismas

rectangulares rectos. Las caras

opuestas de un ortoedro son

iguales. Un cubo es un caso

especial de ortoedro en el que

todas las caras son cuadrados.

Volumen de los poliedros

Aplica

■17 Calcula el volumen de un prisma de base cuadrada de

lado 4 cm y de altura 6 cm.

■18 Un cubo tiene un volumen de 64 cm3. Calcula las dimen-

siones de su arista. ¿Cuál es el área del cubo?

Resuelve

■19 Un envase de leche tiene forma de ortoedro. Las medidas

de su base son 64 y 72 mm. Si la capacidad del envase es de

1 L, ¿cuál es la altura? (recuerda que una capacidad de 1 L es

equivalente a un volumen de 1 dm3).

Mates3ESO_U10.indd 204 24/1/11 17:06:44

c

c2—

10 cm

13 cm

B B

A A

12 cm

10 cm

5 cm

5 cm

7 cm

C C

C’ C’A’ A’

205

5.3 Volumen de una pirámide

El volumen de una pirámide es la tercera parte del área de su base por su altura, y es equivalente a un tercio del volumen de un prisma de la misma base y altura:

V =13

AB h

Ejemplo

17. Observa como, en un cubo de arista c, caben 6 pirámides iguales cuya altura es la mitad de la arista.

Como el volumen del cubo es V = c3, entonces, el volumen de cada pirámide es

V =16

c3

. Teniendo en cuenta que la altura de la pirámide es h =

c2

, el volumen se

puede expresar V =16

c3 =13

c 2 h. Como c2 es el área de la base de la pirámide AB,

finalmente se llega a la expresión V =13

AB h.

5.4 Volumen de un tronco de pirámide

Un tronco de pirámide es el cuerpo que resulta de seccionar una pirámide por un plano paralelo a la base. Si la pirámide es regular, las caras son trapecios isósceles.

El volumen de un tronco de pirámide es igual al volumen de la pirámide de la cual proviene menos el de la pirámide que se le corta.

Aplica

■20 Calcula el volumen de una pirámide de base cuadrada de

lado a = 8 cm y altura h = 10 cm.

■21 Se secciona a 4 cm de la base una pirámide de base cua-

drada de 20 cm de lado y altura 30 cm.

Calcula el volumen del tronco.

■■22 Calcula el volumen de la pirámide.

Consejos

Hazte un esquema gráfico antes de empezar.

Recuerda las relaciones entre lados de triángulos semejantes.

Mira los ejercicios:

24 pág. 207; y 77 pág. 219.

Como aplicarlo. Calcular el volumen de un tronco de pirámide.

Se corta una pirámide de base cuadrada de 10 cm de lado y altura 12 cm por un plano paralelo a 5 cm de la base. Calcula el volumen del tronco.

Primero debes calcular el volumen de la pirámide original:•

Vpirámide original =13

AB h13

100 12 = 400 cm3

Para calcular el volumen de la pirámide sobrante, ten en cuenta que los triángu-• los rectángulos ABC y A’BC’ son semejantes. Para calcular la apotema de la base

se establece por Tales la relación de proporcionalidad 5

12=

x7

x = 2,92 cm.

La longitud de la base de la pirámide sobrante es el doble de la apotema, • b = 2,92 · 2 = 5,84 cm y su área A es el cuadrado de la base:

A = b2 → A = 5,842 = 24,03 cm2

El volumen de la pirámide sobrante es • Vpirámide sobrante =13

34,03 7 = 79,40 cm3

.

El volumen del tronco es: • Vtronco = Vpirámide original − Vpirámide sobrante = 400 − 79,40 = 320,60 cm3

Mates3ESO_U10.indd 205 24/1/11 17:06:46

6

raltura

alturar

r

base

altura

base

base

altu

ra h

altu

ra h

altu

ra h

altu

ra h

206

Geo

met

ría

en e

l es

pac

io 6.1 Área y volumen de un cilindro

Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar 360º una figura plana alrededor de un eje. Los principales cuerpos de revolución son el cilindro, el cono y la esfera.

Un cilindro es un cuerpo de revolución generado por la rotación de un rectángulo. El eje de rotación es uno de los lados del rectángulo.

El área de un cilindro es la suma del área de las bases y del área lateral, que es un rectángulo:

Área de la base: • AB = πr 2.

Área lateral: • AL = 2πr · h.

Por lo tanto, el área total es:

A = 2AB + AL → A = 2πr 2 + 2πr · h

El volumen de un cilindro se calcula aplicando el princi-pio de Cavalieri. Es, entonces, equivalente al volumen de un prisma de la misma base y altura. Como el área de la base es AB = πr 2:

V = AB · h → V = πr 2 · h

Ejemplo

18. Para calcular el área y el volumen de un cilindro con un radio de 30 cm a la base y 60 cm de altura, solo hay que aplicar las fórmulas:

Área: A = 2πr 2 + 2πr · h = 2πr(r + h) = 2 · 3,14 · 30(30 + 60) = 16 956 cm2.

Volumen: V = πr 2 · h = 3,14 · 302 · 60 = 169 560 cm3.

6.2 Área de un cono

Un cono es un cuerpo de revolución generado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de un cateto.

La generatriz, g, del cono es la hipotenusa del triángulo rectángulo. El desarrollo plano del cono consta de un sec-tor circular, cuyo radio es la generatriz, y de un círculo.

El área del cono se obtiene sumando el área del sector circular y el área del círculo que forma la base.

Para calcular el área del sector circular, hay que tener en cuenta la longitud de su arco. Si r es el radio de la base, la longitud del arco es l = 2πr. Entonces, el área del sector es As = πr · g. Por lo tanto, el área total del cono será:

A = πr · g + πr 2

Ejemplo

19. Calcula el área de un cono de 30 cm de altura y 20 cm de radio.

Para poder aplicar la fórmula hace falta la generatriz. Teniendo en cuenta que equivale a la hipotenusa de un triángulo de catetos 30 cm y 20 cm, la generatriz se puede ob-

tener aplicando el teorema de Pitágoras: g = 302 + 202 = 900+ 400 = 36,05 cm.

A = πr · g + πr2 → A = πr (g + r) → A = 3,14 · 20 (36,05 + 20) = 3 519,94 cm3

Cuerpos de revolución: el cilindro y el cono

generatriz

generatriz

generatriz

generatriz longitud del arco: 2πr

eje de rotación

vértice

eje

radio

eje de rotación

volumen cilindro =área base · altura

volumen prisma =área base · altura

radio r

radio: rradio

radiobase rectángulo: 2πr

Mates3ESO_U10.indd 206 24/1/11 17:06:47

altura

altura

r

r

R

r

2πr

2πr

A

B

ACAC’

CBCB’

ABAB’

—— = —— = ——

B’

C

C’

207

6.3 Volumen de un cono

El volumen del cono se puede obtener por analogía con el volumen de una pirámide aplicando el principio de Cavalieri.

Es decir, el volumen de un cono de altura h es el mismo que el volumen de una pirámide de la misma altura:

V =13

AB h V =r 2 h3

Ejemplo

20. Para calcular el volumen de un cono con una base de 30 cm de radio y una altura de 60 cm solo hay que aplicar la fórmula:

V =r 2 h3

=3,14 302 60

3=

1695603

= 56 529 cm3

6.4 Área y volumen de un tronco de cono

Cuando se secciona un cono por un plano paralelo a la base, se obtiene una figura llamada tronco de cono. Su área es la suma del área de las bases más el área lateral:

Área de las bases:• AB = πR2 + πr2, en donde R es el radio de la base grande, y r, el de la pequeña.

Área lateral:• es un trapecio circular limitado por dos arcos de longitudes 2πR y 2πr, respectivamente. El área lateral es, pues, la de un trapecio de bases 2πR y 2πr y de altura g (g es la generatriz del tronco de cono), por lo tanto:

AL =2 R + 2 r( )g

2= R + r( )g

El volumen se obtiene restando el volumen del cono grande y el del cono sobrante:

V = Vcono grande − Vcono sobrante

Ejemplo

21. Para calcular el área de un tronco de cono con una base grande de 30 cm de ra-dio, una pequeña de 15 cm y una generatriz de 10, solo hay que aplicar las fórmulas:

AB = πR2 + πr2 → AB = 3,14(302 + 152) → AB = 3 532,5 cm2

AL = π(R + r) = 3,14(30 + 15)10 = 1 413 cm2

A = AB + AL = 3 532,5 + 1 413 = 4 945,5 cm2

Resuelve

■23 Calcula el área y el volumen de un cilindro de 10 cm de altu-

ra si tiene un diámetro de 5 cm. ¿Qué capacidad en litros tiene?

■24 Calcula el volumen y el área de un cono de 12 cm de

altura si el radio de la base es de 4 cm.

■25 Una lata mide 6,5 cm de diámetro y 10,5 cm de altura.

¿Qué volumen tiene? ¿Con cuánto material se ha construido?

■■26 La generatriz de un cono mide 15 cm y la base tiene

un radio de 9 cm. Calcula el volumen y el área del cono. Si se

secciona por un plano situado a 4 cm de la base, calcula el área

y el volumen del tronco de cono resultante.

Recuerda

La sección de un cono y de una

pirámide con la misma base y

la misma altura, por un plano

situado en la misma altura, tie-

nen la misma área.

Recuerda

Dos triángulos rectángulos con

un ángulo común son

semejantes.

generatriz

cono sobrante

Mates3ESO_U10.indd 207 24/1/11 17:06:48

7

A’

A

M1M2

M3 M4

AB

C

90º

208

Geo

met

ría

en e

l es

pac

io 7.1 Elementos de simetría. Plano de simetría

Los elementos de simetría que puede tener un polígono son:

En el • plano, los ejes de simetría y los centros de simetría.

En el • espacio, los planos de simetría, que son los que estudiarás en esta unidad. Un pla-no de simetría es una superficie que divide el objeto en dos mitades especulares iguales.

Ejemplo

22. Los puntos M1, M2, M3 y M4 son los puntos medios de dos parejas de aristas paralelas. El plano que determinan divide el cubo en dos mitades iguales. Observa que los dos vértices A y A’, situados en la misma arista, son puntos simétricos respecto del punto M1.

El plano determinado por los puntos M1, M2, M3 y M4 es uno de los diversos planos de simetría de un cubo.

7.2 Planos de simetría de los poliedros regulares

Todos los poliedros regulares tienen planos de simetría.

Ejemplo

23. Fíjate en el número de planos de simetría de cada poliedro regular en la siguiente tabla:

Simetría y semejanza en los cuerpos geométricos

Los minerales cristalizan en

forma de poliedros.

La halita o la sal gema, por

ejemplo, cristaliza en forma

de cubos.

Atención

Todos los poliedros regulares

tienen planos de simetría, pero

no todos los poliedros los tie-

nen, como, por ejemplo, este

prisma de caras romboédricas: poliedro planos de simetría ejemplo

tetraedro Tiene seis planos de simetría. Cada plano pasa por una arista y por el punto medio de la arista opuesta.

cubo Tiene nueve planos de simetría. Hay tres que pasan por el punto medio de aristas paralelas, y seis que pasan por dos aristas opuestas.

octaedro Tiene nueve planos de simetría. Seis pla-nos que pasan por los puntos medios de dos aristas opuestas y tres planos que pa-san por un par de vértices opuestos.

dodecaedro El dodecaedro tiene quince planos de si-metría. En la figura puedes observar uno.

icosaedro El icosaedro tiene quince planos de sime-tría. En la figura puedes observar uno.

Mates3ESO_U10.indd 208 24/1/11 17:06:50

209

7.3 Planos de simetría de otros poliedros y de los cuerpos de revolución

Los • prismas rectos tienen tantos planos de simetría como ejes de simetría tengan las bases y, además, un plano paralelo a una de las bases que los secciona por la mitad.

Respecto a las • pirámides rectas, la situación es la misma que la de los prismas en cuanto a los ejes de simetría de la base, pero no tienen plano de simetría paralelo a la base.

Los • cuerpos de revolución tienen infinitos planos de simetría perpendiculares a la base que contiene el eje de rotación. En el caso de la esfera, todo plano que seccione la esfera y pase por su centro es un eje de simetría.

Ejemplos

24. Un triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría, por lo tanto, un prisma con esa base tendrá tres pla-nos perpendiculares a las bases y un plano paralelo a ellas que lo seccione por la mitad. La figura muestra los ejes de simetría de un triángulo equilátero y su correspondencia con los planos de simetría del prisma.

25. Observa algunos de los infinitos planos de un cuerpo de revolución. En el cono y el cilindro, los pla-nos de simetría son perpendiculares a la base y con-tienen el eje de rotación. En la esfera, cualquier plano que pase por el centro es un plano de simetría.

7.4 Semejanza en cuerpos geométricos

La razón de semejanza, k, entre las áreas de dos poliedros construidos a partir de polí-gonos semejantes es k2 y la razón entre los volúmenes es k3.

Ejemplo

26. Los dos paralelepípedos de la figura están construidos a partir de paralelogramos semejantes. La razón de semejanza entre las aristas es 2 (2 : 1 = 2). Observa que la razón de las áreas de los paralelogramos que forman los dos cuerpos es el cuadrado de la razón de semejanza (22 = 4), y que caben 8 cuerpos como el primero en el segundo. Por lo tanto, la razón entre volúmenes es el cubo de la razón de semejan-za (23 = 8).

Aplica

■27 Dibuja los ejes de simetría de un rectángulo y úsalos para

deducir los ejes de simetría de un ortoedro.

■28 ¿Cuántos planos de simetría tiene un

prisma recto cuya base es un hexágono regu-

lar?

■29 ¿Cuántos planos de simetría tiene una

pirámide regular de base cuadrada?

■30 Un cubo tiene 2 cm de arista, y otro tiene una arista de

8 cm. ¿Qué relación hay entre los dos volúmenes?

■■31 Un tetraedro tiene una arista de 4 cm. Calcula el volu-

men. ¿Cuál será el volumen de un tetraedro de 6 cm de arista?

planos de simetría perpendiculares a las bases

eje de rotación

eje de rotación

eje de rotación

plano de simetría paralelo a las bases

Mates3ESO_U10.indd 209 24/1/11 17:06:52

8

r

d d

r

r

90º

210

Geo

met

ría

en e

l es

pac

io 8.1 Concepto de esfera y sus elementos

Una esfera es un cuerpo de revolución generado por un giro de 360º de un semicírculo alrededor de su diámetro. Todos los puntos de la superficie esférica equidistan de un punto llamado centro. La distancia de un punto al centro se denomina radio de la esfera, y se corresponde con el radio de la semicircunferencia que la genera. Además, en la esfera hay que considerar los siguientes elementos:

Círculos.• Son secciones determinadas por un plano que corta la esfera. Si el plano pasa por el centro, el círculo es máximo; en caso contrario, el círculo se denomina menor.

Polos.• Son los dos extremos opuestos al diámetro perpendicular de un círculo.

Casquetes esféricos.• Son la parte menor de la superficie esférica determinada por la sección de un plano.

Ejemplo

27. Fíjate en los elementos de esta esfera:

8.2 Área y volumen de una esfera

El área, A, de una superficie esférica de radio r es:

A = 4πr 2

A diferencia del cilindro y el cono, la esfera no admite un desarrollo plano. Esto hace que el área de una superficie esférica no sea fácil de deducir.

El volumen, V, se puede deducir aplicando el principio de Cavalieri. Arquímedes imaginó una semiesfera, un cono y un cilindro con la misma altura y la misma base. Dedujo que sec-cionando los tres cuerpos para un plano horizontal que los cortara por la mitad de la altura, la sección del cilindro sería la suma de las áreas de las secciones del cono y de la semiesfera.

Por lo tanto, aplicando el principio de Cavalieri: Vcilindro = Vcono + Vsemiesfera, y por lo que:

Vsemiesfera = Vcilindro − Vcono = r 2 r13

r 2 r =23

r 3

El volumen de la esfera se obtiene multiplicando por 2 el volumen de la semiesfera, es decir:

Vesfera =43

r 3

Ejemplo

28. Calcula el área de la superficie esférica y el volumen de una esfera de 2 dm de radio.

A = 4πr 2 → A = 4 · 3,14 · 22 = 50,27 dm2

V =43

r 3 V =43

8 = 33,51 dm3

La esfera y el globo terráqueo

Atención

No confundas superficie esférica

con esfera:

Cuando hablamos de esfera,

nos referimos a todo el cuerpo.

Cuando hablamos de superfi-

cie esférica, nos referimos a la

superficie que la limita.

círculo menor

radio

casquete

polo

polo

círculo máximo

Mates3ESO_U10.indd 210 24/1/11 17:06:54

211

8.3 El globo terráqueo

La Tierra tiene forma de esfera ligeramente achatada por los polos debido al movi-miento de rotación. Su superficie también presenta otras irregularidades.

En términos relativos, la diferencia entre una esfera perfecta y la forma real de la Tierra es muy pequeña y, en la práctica, se habla de la esfera terrestre o globo terráqueo. Hay que distinguir los siguientes elementos:

Eje de rotación.• Es el eje imaginario alrededor del cual la Tierra efectúa diariamente un movimiento de rotación.

Polos.• Son los puntos en que el eje de rotación corta la superficie terrestre. Se distingue el polo norte y el polo sur.

Círculo ecuatorial.• Es el círculo máximo perpendicular al eje de rotación. Divide la esfera terrestre en dos mitades iguales, que se denominan hemisferio norte y hemis-ferio sur. La circunferencia que corresponde al círculo ecuatorial es el ecuador.

Meridianos.• Son las circunferencias máximas que pasan por los polos. Hay infinitos meridianos.

Paralelos.• Son las circunferencias menores paralelas al ecuador. Hay infinitos paralelos, y todos son perpendiculares al eje de rotación.

Huso esférico o huso terrestre.• Es la parte de la superficie terrestre limitada por dos meridianos.

Ejemplo

29. Identifica los elementos del globo terráqueo.

Resuelve

■32 Calcula el área y el volumen de una esfera de 4 dm de radio.

■33 El radio de la Tierra es de unos 6370 km. Calcula:

a) La longitud de una circunferencia máxima.

b) El área de la superficie terrestre.

c) Su volumen.

■34 ¿Cuál es la distancia máxima que puede haber entre dos

puntos de la Tierra?

■35 ¿Cuál es el radio de una esfera si su volumen es 100 m3?

■■36 Nos dicen que el volumen de una esfera es igual al valor

numérico de su área. ¿Cuánto mide el radio si tomamos como

unidad de medida el metro?

Imagen de la Tierra vista desde

el espacio. Se puede apreciar un

ligero aplastamiento por los po-

los (21 km) debido la rotación.

Atención

Todos los meridianos tienen la

misma longitud, mientras que

la longitud de los paralelos de-

crece del ecuador a los polos.

polo norte

paralelo

paralelo

círculo ecuatorial

polo norte

polo sur

polo sur

ecuador

huso esférico

ecuador

meridianoseje de

rotación

Mates3ESO_U10.indd 211 24/1/11 17:06:56

P

AB

P

A

39º 28’ 12’’ N0º 22’ 36’’ O

B

A

35º 29’ 18’’ S62º 58’ 31’’ O

212

Geo

met

ría

en e

l es

pac

io 8.4 Longitud y latitud

Los meridianos y los paralelos forman una cuadrí-cula imaginaria que permite definir la posición de un punto cualquiera de la superficie terrestre cono-ciendo su latitud y longitud.

Para definir estos conceptos se necesita un meridiano de referencia, que es el meridiano de Greenwich o meridiano cero, y un paralelo de referencia, que es el ecuador.

La • latitud geográfica de un punto P es la medi-da del arco comprendido entre el ecuador y ese punto. Los valores de la latitud están comprendi-dos entre 0º (que correspondería a un punto sobre el ecuador) y 90º (que correspondería a un punto situado sobre uno de los polos). Un punto tiene latitud norte si está situado al norte del ecuador o latitud sur si está situado al sur del ecuador.

La • longitud geográfica de un punto P es la medida en grados del arco comprendido entre el meridiano de Greenwich y el meridiano que pasa por el punto P. Los valores de la longitud están comprendidos entre 0º y 180º. Un punto tiene longitud este si está situado al este del meridiano de Greenwich o longitud oeste si está situado al oeste de ese meridiano.

Ejemplo

30. Fíjate en la cuadrícula terrestre. El punto A tiene latitud norte y longitud oeste, y el punto B tiene longitud este y latitud sur.

8.5 Las coordenadas geográficas

Las coordenadas geográficas de un punto son su latitud y su longitud. Se indica pri-mero la latitud y después la longitud, normalmente separadas por una coma.

Ejemplo

31. Las coordenadas geográficas de Valencia son 39° 28’ 12” N, 0° 22’ 36” O. Esto quiere decir que está situada 39° 28’ 12” al norte del ecuador y 0° 22’ 36” al oeste del meridiano de Greenwich.

Las coordenadas de la ciudad de Buenos Aires (Argentina) son 35° 29’ 18” S, 62° 58’ 31” O. Esto quiere decir que está situada 35° 29’ 18” al sur del ecuador y 62° 58’ 31” al oeste del meridiano de Greenwich.

Hasta hace pocos años, para de-

terminar las coordenadas de un

punto se utilizaban instrumen-

tos, como el sextante, basados

en la posición del Sol. Actual-

mente se utilizan los GPS.

Aplica

■37 Sabiendo que la circunferencia de la Tierra es de unos

40 000 km, ¿qué distancia sobre un meridiano habrá entre dos

puntos cuya diferencia de latitud es de 2º?

■38 Calcula la distancia entre el polo norte y el polo sur.

■39 Busca en un atlas o por Internet las coordenadas geo-

gráficas de las ciudades de Madrid, Barcelona, Berlín, Moscú y

Ciudad del Cabo.

Razona

■40 ¿Hay algún punto de la Tierra cuya latitud sea 92º N?

meridiano que pasa por P

paralelo que pasa por P

meridiano de Greenwich

polo norte

polo norte

Valencia

Buenos Aires

la longitud de P es la medida, en grados, del arco AB.

La longitud de P es la medida, en grados, del arco AB.

polo sur

polo sur

ecuador

ecuador

Mates3ESO_U10.indd 212 24/1/11 17:06:58

–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 –11+120

213

8.6 Rotación y diferencia horaria

La Tierra tarda 24 horas en dar una vuelta entera sobre sí misma (movimiento de rotación). Como tiene forma esférica, los rayos solares no iluminan a la vez toda su superficie y el Sol describe en el cielo un movimiento aparente de este a oeste. En consecuencia, dos puntos alejados (en longitud) de la Tierra tienen una hora solar diferente. Por el contrario, dos pun-tos situados sobre el mismo meridiano reciben la misma iluminación y tienen la misma hora.

Ejemplo

32. Teniendo en cuenta que la Tierra tarda 24 h en hacer un giro de 360º, cada hora

girará 360o

24= 15o.

Por lo tanto, si entre dos puntos de la Tierra hay una diferencia de longitudes de 15º, su diferencia horaria solar es de 1 h.

8.7 Las zonas horarias

Las zonas horarias o husos horarios se corresponden, aproximadamente con meridianos separados por 15º, para los cuales se establece una hora oficial. Para simplificar, se establece que dos puntos situados dentro del mismo huso horario tienen la misma hora oficial, aunque su hora solar no sea exactamente la misma.

Las zonas horarias presentan límites irregulares que a menudo no coinci-den con los 15º de amplitud, fruto de su acomodación a las fronteras estatales y regionales.

Las zonas horarias tienen como referencia el meridiano de Greenwich. Como la Tierra gira de oeste a este, se añade una hora cada 15º al este y se resta una hora cada 15º al oeste.

Ejemplo

33. Barcelona tiene una longitud de 2º 10’ E y Buenos Aires de 62º 58’ O. ¿Cuál es la diferencia horaria solar que hay entre las dos ciudades?

Hay que tomar las longitudes este como positivas y las oeste como negativas y restar:

2º 10’ − (−62º 58’) = 64º 68’ = 65º 8’ = 65,13º (en forma incompleja).

Como cada hora gira 15º, tenemos que: 65 : 15 = 4,35 h = 4h 20 min.

Resuelve

■41 Un huso horario equivale a una diferencia de longitud de

15º. ¿Qué distancia sobre el ecuador habrá entre dos puntos

separados por un huso horario?

■42 Busca las coordenadas geográficas de París y Nueva York,

y calcula la diferencia horaria.

■■43 Busca las coordenadas geográficas del cabo de Creus y

de Finisterre y calcula la diferencia horaria solar.

■■44 Observa un mapa y halla la diferencia horaria entre la

España peninsular y Argentina.

■■45 En un billete de avión leemos la siguiente información:

salida de Málaga, 12.35 h; hora de llegada a Estambul, 16.50 h.

¿Cuánto ha durado el vuelo?

Las diferencias horarias se ex-

plican por la forma y la rota-

ción de la Tierra.

Atención

Te puedes encontrar que las

coordenadas de un lugar no

estén expresadas en el sistema

sexagesimal, sino en metros. Se

trata del sistema de coordena-

das UTM (Universal Transversal

de Mercator). Barcelona, en

coor denadas UTM, está situada

a E 430698,8; N 4582145,4.

cam

bio

de fe

cha

cam

bio

de fe

cha

mer

idia

no d

e G

reen

wic

h

Mates3ESO_U10.indd 213 24/1/11 17:07:02

214

Todo son matemáticas

Las matemáticas de Escher

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) es el artista más ad-mirado por el mundo matemático. Después de dejar los estudios de arquitectura, destacó especialmente como dibujante y grabador. Una parte importante de su obra se expone en el Museo Escher de La Haya (Países Bajos).

Las construcciones de Escher se inspiran en la matemática y los temas que tratan se pueden dividir en tres grandes grupos: la forma del es-pacio, la lógica del espacio y el autorreferencia.

LA FORMA DEL ESPACIO (geometría no euclidiana)

Estas obras se basan en un esquema del matemático francés Henri Poincaré, que describía el comporta-miento de un espacio hiperbólico, un tipo de geo-metría no euclidiana, es decir, en la cual no se cum-plen los clásicos postulados de Euclides, como por ejemplo, que el camino más corto entre dos puntos es la línea recta.

Imagina que fueras bidimensional y que vi-vieras dentro de este grabado. Empezando desde el centro, a medida que te acercaras a los lados, te harías pequeño y, así, nun-ca podrías llegar, porque tus pasos serían también cada vez más cortos.

LA LÓGICA DEL ESPACIO

Por «lógica del espacio» se entienden las relaciones habituales que hay entre los objetos del espacio según nuestra percep-

ción. Cuando se viola esta lógica, aparecen las paradojas visuales y las ilusiones ópticas. En su obra, Escher nos reta a determinar si son posibles o no algunos volúme-nes en el espacio, juega con los conceptos de dentro y fuera (triángulo de Penrose), crea paradojas infinitas (como el efecto Droste) o escaleras que suben y bajan al mismo tiempo.

Una imagen que exhibe el efecto Droste contiene una versión más pequeña de sí misma, que a la vez incluye una versión, en un lugar similar, todavía más pequeña y así sucesivamente.

Mates3ESO_U10.indd 214 24/1/11 17:07:10

215

Geo

met

ría

en e

l es

pac

io

Analiza e investiga

1. Busca cuáles son los axiomas o postu-

lados de Euclides y cómo los modificaron

matemáticos como Gauss, Lobachevski,

Bolyai o Riemann para definir otras geo-

metrías no euclidianas. Busca ejemplos

de imágenes que aparentemente violen

alguno de los postulados de Euclides.

2. Explica qué es la lógica del espacio.

¿Cómo se puede relacionar con la crea-

ción artística?

3. Formad parejas, con ayuda del profe-

sor, y con una cámara fotográfica digital y

algún sistema de reflexión (espejos) o un

ordenador, intentad crear imágenes con

el efecto Droste. Confeccionad un peque-

ño trabajo, mural o presentación de dia-

positivas sobre la obra creada y explicad

los detalles más relevantes.

4. Buscad información sobre el juego de

ordenador Echochrome. ¿En qué se basa?

¿Cómo se relaciona con la obra de Es-

cher?

5. Los escritores y guionistas a menudo

utilizan el recurso de la «historia circular»

o la «autorreferencia». Explica en qué

consisten estos recursos y busca ejemplos

de obras literarias o cinematográficas en

que se utilicen.

La autorreferencia es la capacidad de referirse a uno mismo, y está relacionada con la conciencia, la posibilidad de los seres humanos de pensar en su propia existencia. Escher aborda la autorreferencia en su obra de manera clásica: «¿Quién mira a quién cuando nos miramos en un espejo?». O con efectos totalmente nuevos como «La obra que se crea a sí misma».

AUTORREFERENCIA

Mates3ESO_U10.indd 215 24/1/11 17:07:17

diagonal

cara

altura

base

base

alturaaltura

basebase

basebase

altura

base

cúspide

base

base

altu

ra h

base

altu

ra h

90º

90º

216

Esto es básicoG

eom

etrí

a en

el

esp

acio Poliedro. Región del espacio limitada por polígonos.

Fórmula de Euler. Relación entre el

número de caras, C, aristas, A, y vér-

tices, V, de un poliedro simple, sin

agujeros.

C + V = A + 2

Poliedro convexo. Todo segmento

entre dos puntos es completamente

interior.

Poliedro cóncavo. Caso contrario.

Poliedros regulares. Sus caras son polígonos regulares iguales

y en cada vértice concurren el mismo número de caras.

Prismas. Poliedros formados por dos bases poligonales iguales y

caras laterales rectangulares. Pueden ser rectos u oblicuos.

A = 2AB + AL

V = AB · h

Pirámides. Poliedros formados por una base poligonal y por ca-

ras laterales triangulares. Pueden ser rectas u oblicuas.

A = 2AB + AL

V =13

AB h

Figura de revolución. Cuerpo generado por una figura plana cuando gira 360º alrededor de un eje.

Cilindro. Cuerpo generado por la revolu-

ción de un rectángulo.

A = 2πr2 + 2πr · h

V = πr2 · h

Cono. Cuerpo generado por la revolución

de un triángulo rectángulo.

V =13

r 2 h

A = πr · g + πr2

Esfera. Cuerpo generado por la revolu-

ción de un semicírculo.

A = 4πr2

V =43

r 3

El globo terráqueo

Cómo aplicarlo

Procedimiento Paso a paso

Aplicar el principio

de Cavalieri para deducir

el volumen de un cuerpo

cualquiera a partir de otro

1. Asegúrate de que los dos cuerpos tienen la misma altura.

2. Verifica que las áreas de sus bases respectivas son iguales.

3. Verifica que dos secciones paralelas en la base tengan la misma área.

4. Si se cumplen todas estas condiciones, el volumen de los dos cuerpos es igual y puedes aplicar

la fórmula del cuerpo de forma más regular.

Calcular la diferencia horaria

solar entre dos puntos1. Resta las longitudes de los puntos respectivos. Hay que tomar las longitudes este como positivas

y las oeste como negativas.

2. Divide la diferencia obtenida entre 15º. El resultado es la diferencia en horas solares.

Longitud. Medida del arco comprendido entre el meridiano de Greenwich y el que pasa por un punto.

Latitud. Medida del arco sobre el meridia-no entre el ecuador y un punto.

Paralelos. Circunferencias menores paralelas al ecuador.

Meridianos. Circunferencias máximas que pasan por los polos.

Huso horario. Zona entre dos meridianos separados por una longitud de 15º. La diferencia horaria entre dos husos es una hora.

vértice

vértice

poliedro convexo

poliedro cóncavo

careslaterals

caras laterales

eje de rotación

eje de rotación

generatriz

radioradio

arista

prisma recto prisma oblicuoparalelepípedo

círculo menor

radio

casquete

círculo máximo

eje de rotación

círculo ecuatorial

ecuador

ecuador

polo nortepolo norte

polo surpolo sur

tetraedro cubo octaedro dodecaedro icosaedro

Mates3ESO_U10.indd 216 24/1/11 17:07:19

217

Geo

met

ría

en e

l es

pac

io

Actividades

Ángulos en el espacio y poliedros

■46 Define los siguientes términos:

a) Ángulo diedro d) Arista g) Diagonal

b) Ángulo poliedro e) Vértice h) Poliedro

c) Triedro f) Cara

■47 Clasifica los siguientes cuerpos en poliedros cóncavos,

convexos y formas no poliédricas.

c) d)

a) b)

■48 Observa los diferentes desarrollos planos de algunos po-

liedros. Identifica cada desarrollo con el poliedro correspon-

diente.

a) b) c)

Poliedros regulares. Teorema de Euler

■49 Los poliedros con cavidades no tienen que cumplir necesa-

riamente la relación de Euler. Compruébalo con estos ejemplos:

a) b)

■50 Un método para contar las aristas de un cubo es:

1. Como un cubo tiene 6 caras que son cuadrados, se multiplica

el número de caras por el número de lados: 6 · 4 = 24.

2. Se divide el número resultante por 2, para no contar la misma

arista dos veces. El número de aristas es, por lo tanto, 12.

Comprueba, siguiendo este método, que el número de aristas de

los poliedros regulares es:

Tetraedro: 6, cubo: 12, octaedro: 12, dodecaedro: 30 e icosae-

dro: 30.

■51 Aplica la fórmula de Euler para deducir el número de vérti-

ces de los poliedros regulares.

■52 Para contar las aristas de un poliedro formado por más de

un tipo de polígono, se puede hacer lo siguiente:

1. Se multiplica el número de caras de cada tipo por el número

de lados que tiene cada una.

2. Se suman los resultados y se divide el total por 2, para no con-

tar una misma arista dos veces.

Calcula aplicando este método el número de aristas de una pirá-

mide hexagonal.

■■53 Fíjate en este poliedro llamado

cubooctaedro. Está formado por 6 cua-

drados y 8 triángulos equiláteros. Calcu-

la el número de caras, aristas y vértices

que tiene.

■■54 Si se une el centro de cada cara

de un cubo, se obtiene un octaedro.

El octaedro así obtenido se denomina

poliedro dual del cubo.

a) Halla la relación que hay en-

tre el número de aristas de los

dos poliedros.

b) Halla la relación que hay entre el número de caras del

cubo y el número de vértices del octaedro.

c) Halla la relación que hay entre el número de vértices

del cubo y el número de caras del ortoedro.

■■55 ¿Cuáles son los poliedros duales de un tetraedro y de un

octaedro?

El teorema de Pitágoras en el espacio

■56 Calcula la diagonal de un cubo de 2 cm de arista.

■57 ¿Cuál es la distancia máxima que puede haber entre dos

puntos de un cubo cuya arista mide 5 cm?

■58 Calcula la diagonal de una caja de zapatos de:

3 × 20 × 15 dm

Mates3ESO_U10.indd 217 24/1/11 17:07:21

18 cm

8 cm

60º 60º

60º

12 cm

6 cm

12 cm

9 cm 6 cm

13 cm

10 cm

6 dm

8 dm

12 cm5 cm

8 cm

15 dm

218

Geo

met

ría

en e

l es

pac

io ■59 Para poner los lápices usamos un

recipiente cilíndrico con las dimensiones

representadas en la figura. ¿Cuánto mide

el lápiz más largo que se puede poner sin

que sobresalga?

■60 La caja de transporte de una furgoneta mide 2 m de longi-

tud, 1,25 de anchura y 1,10 m de altura. Hay que transportar en

ella un listón de 2,5 m.

a) Calcula si este listón cabe metido en diagonal, apoyado

sobre el suelo de la caja.

b) Calcula si cabe metido en diagonal, de un ángulo su-

perior a un ángulo inferior.

■61 Calcula la altura de una pirámide de base cuadrada, cuyo

lado mide 20 m sabiendo que la apotema de una cara mide 45 m.

■62 La apotema de la base de una pirámide hexagonal mide

20 m, y la apotema de una cara, 45 m. Calcula la altura de esa

pirámide.

Área de los poliedros

■63 Calcula el área total de:

a) Un cubo de 4 cm de arista.

b) Un ortoedro de aristas 3, 6 y 9 dm.

■■64 Un hexágono regular se puede

descomponer en triángulos equiláteros

tal como indica la figura:

a) Halla la apotema de un he-

xágono regular cuyo lado mide

6 cm.

b) Calcula el área total de un

prisma hexagonal regular de

arista básica l = 6 cm y de altura

h = 12 cm.

■■65 Tenemos un tetraedro de 10 cm de arista.

a) Calcula el área de cada triángulo.

b) Calcula el área total del tetraedro.

■■66 Las bases de cierto prisma

son triángulos isósceles. Calcula el área

total del prisma, cuyas dimensiones se

especifican en la siguiente figura:

■67 Calcula el área de un octoedro de 10 cm de arista.

■68 Calcula la diagonal de un cubo si su área total es de

54 cm2.

■■69 La arista de una pirámide de

base cuadrada mide 13 cm, mientras

que su arista básica mide 10 cm. Calcu-

la el área total de la pirámide.

■■70 Calcula las áreas de los siguientes troncos de pirámide:

■■■71 Tenemos una pirámide regular de base cuadrada. La

arista de la base mide 12 cm, y la altura, 15 cm.

a) Calcula el área.

b) Calcula el área del tronco de pirámide resultante de

seccionarla por un plano paralelo a la base, de manera

que la altura del tronco resultante es de 3/5 partes de la

altura de la pirámide.

Volumen de los poliedros

■72 Calcula el volumen de los siguientes poliedros:

a) Un cubo de arista 5 dm.

b) Un ortoedro de dimensiones:

a = 5, b = 12 y c = 13 cm

c) Una pirámide de base cuadrada de 6 cm de arista bá-

sica y 7 cm de altura.

d) Un prisma pentagonal de 10 cm de arista básica,

6,88 cm de apotema y 15 cm de altura.

Mates3ESO_U10.indd 218 24/1/11 17:07:23

6 dm

8 dm

12 cm5 cm

8 cm

15 dm

2 cm 2 cm

5 cm

6 cm

2 cm

3 cm

2 cm

1 cm

3 m

1,5 m

1,5 m

21,7 cm

7,2 cm6,4 cm

219

Geo

met

ría

en e

l es

pac

io

Actividades

■■73 Calcula el volumen de una pirámide de base cuadrada

sabiendo que la arista básica y la arista lateral son iguales y miden

6 cm.

■■74 Calcula el volumen de un octaedro de arista 6 cm.

■75 Calcula el área de un cubo si sabemos que tiene un volu-

men de 100 dm3.

■■76 Calcula el volumen del octaedro

de la figura si sabemos que la arista del

cubo mide 10 cm.

■■77 Calcula el volumen de los siguientes troncos de pirámide:

a) b)

■■78 Calcula el volumen del siguiente poliedro:

■■79 Las dimensiones de una tuer-

ca son las que se indican en la siguien-

te figura:

Calcula el volumen.

■■80 Se quiere construir un

silo para forraje con forma de

ortoedro, con una pirámide

invertida tal como se puede ver

en la siguiente figura.

a) Calcula los metros cua-

drados de plancha metáli-

ca que harán falta.

b) Halla el volumen de

forraje que podrá almace-

nar.

■■81 Las dimensiones de un envase de leche son 21,7 cm

de altura, 6,4 cm de anchura y 7,2 cm de longitud.

a) ¿Cuál es la capacidad aproximada en litros?

b) ¿Cuáles serían las dimensiones de un envase cúbico

que tuviera la misma capacidad?

c) ¿Cuál crees que es el

envase más económico (es

decir, que requiere menos

material) para el fabricante:

el cúbico o el prismático?

■82 Dibuja los planos de simetría de un cuadrado y úsalos para

deducir los ejes de simetría de un ortoedro.

■83 Dibuja los planos de simetría de un triángulo isósceles y

utilízalos para deducir los ejes de simetría de un prisma que ten-

ga esta base.

■84 Dibuja los planos de simetría de un hexágono regular y

utilízalos para deducir los ejes de simetría de un prisma de base

hexagonal.

■■85 Dibuja un ortoedro de base cuadrada y oblicuo y haz un

esquema de los planos de simetría.

■■86 Dibuja una pirámide de base pentagonal y haz un esque-

ma de los planos de simetría.

■■87 Un cubo tiene 4 cm de arista, y otro cubo tiene una arista

de 8 cm.

a) Calcula el volumen de cada uno.

b) ¿Qué relación de proporcionalidad hay entre los dos

volúmenes?

c) ¿Y entre las áreas?

■■88 Un tetraedro regular tiene una arista a de 3 cm.

a) Calcula el volumen (V =2

12· a3 ).

b) ¿Cuál será el volumen de un tetraedro de arista 6 cm?

c) ¿Qué relación habrá entre ambos?

■■89 La arista lateral de una pirámide de base cuadrada es de

13 cm y la arista básica mide 10. Calcula su volumen.

■■90 Se secciona una pirámide cuadrangular regular de 20 cm

de arista básica y de 30 cm de altura por un plano paralelo a 10 cm

de la base. Calcula el volumen del tronco de la pirámide resultante.

Mates3ESO_U10.indd 219 24/1/11 17:07:25

4 cm

5 cm

2 m

5 m

220

Geo

met

ría

en e

l es

pac

io Cuerpos de revolución: el cilindro y el cono

■■91 El perímetro de la base de un cono mide 80 cm. Si la al-

tura del cono es de 20 cm, calcula el volumen y el área.

■92 La generatriz de un cono mide 25 cm. Calcula el área y el

volumen del cono si el diámetro de la base de este mide 14 cm.

■■93 Calcula el volumen y el área de un cono de 12 cm de

altura si el radio de la base mide 9 cm.

■94 Calcula el área y el volumen de los siguientes cuerpos de

revolución:

a) Un cilindro de 5 cm de radio y 8 cm de altura.

b) Un cono de 8 cm de radio y 10 cm de generatriz.

c) Una esfera de 5 cm de diámetro.

■■95 Tenemos un tronco de cono de diámetros 8 y 5 cm, y de

altura 4 cm. Calcula:

a) El volumen. b) El área lateral. c) El área total.

■■96 Una lámpara de mesa tiene una pantalla en forma de

tronco de cono que tiene las siguientes dimensiones: radios: 35

y 25 cm, y 20 cm de altura. Calcula la cantidad de material que

se necesita para construirla.

■■97 Tenemos un tronco de cono con un volumen de 50 cm3

y una altura de 12 cm. Calcula:

a) La generatriz.

b) El área lateral.

c) El área total.

■■98 Aplica el principio de Cavalieri para calcular el volumen

de un cuerpo recto que tiene una altura de 10 cm y una base de

la siguiente forma:

■■99 Explica si es posible calcular el volumen de una columna

como la de la figura aplicando el principio de Cavalieri.

■100 Se quiere construir un embudo cónico de 400 cm3. El

diámetro tiene que medir 20 cm. ¿Cuánto mide la generatriz?

■■101 Se secciona un cono de 15 cm de generatriz por un

plano situado a 4 cm de la base. Calcula el área y el volumen del

tronco de cono resultante.

La esfera y el globo terráqueo

■102 Una esfera tiene un volumen de 100 dm3. Calcula el área.

■103 Los depósitos de gas se construyen normalmente de for-

ma esférica y no cúbica. Razona por qué.

■■104 El área de un cubo es de 150 cm2. Calcula el área de

una esfera con el mismo volumen que este cubo.

■■105 Se sumerge una esfera de 1 dm de diámetro en un re-

cipiente cúbico de 1 L de capacidad lleno de agua hasta arriba.

¿Qué volumen de líquido se derramará?

■106 Tenemos una esfera inscri-

ta en un cubo de 5 cm de arista.

Calcula el porcentaje de volumen

del cubo que no está ocupado por

el volumen de la esfera.

■107 Calcula la capacidad del depósito de gas de la figura:

Mates3ESO_U10.indd 220 24/1/11 17:07:27

2 dm

3 dm

1 dm

30º

4 cm

6 cm

14 cm

2 cm

25 cm

15 cm

221

Geo

met

ría

en e

l es

pac

io

Actividades

■108 El radio de la Tierra es, aproximadamente, de 6 400 km.

¿Cuál es la distancia máxima que separa dos puntos de la Tierra?

■■109 Calcula el área y el volumen de la siguiente figura:

■■■110 Se ha sumergido una esfera de 5 cm de radio en un

recipiente cilíndrico lleno de agua. Después de sumergirla, el

agua ha quedado justo al borde del recipiente, pero no se ha

derramado. Calcula qué altura alcanzaba el agua antes de su-

mergir la esfera.

■■111 Calcula el volumen del cuerpo representado en la figura:

■■112 Hay que repintar un depósito esférico de gas que tiene

un perímetro de 30 m. Si los pintores cobran 30 €/m2, ¿cuánto

costará hacerlo?

■113 Calcula el área aproximada de la superficie de la Tierra.

■■114 La distancia entre dos puntos situados en un mismo

meridiano es de 2 500 km. ¿Cuál es su diferencia de latitudes?

■115 Las longitudes de dos puntos A y B son, respectivamente,

5º E y 45º O. ¿Qué ángulo forman los dos puntos respecto del

centro de la Tierra si están situados sobre el ecuador?

■■ 116 El paralelo correspondiente a una latitud de 30º N

divide el semieje de rotación en dos partes iguales. ¿Cuál es el

perímetro de este paralelo?

■117 Busca las coordenadas geográficas de Tokio y Madrid y

calcula la diferencia horaria.

■■118 La diferencia horaria entre dos puntos de la Tierra es de

3 horas y 20 minutos. ¿Cuál es su diferencia de longitud?

■■119 La diferencia entre la latitud de dos puntos situados en

un mismo meridiano es de 5º. ¿Cuál es la distancia entre esos dos

puntos?

■■120 Una pelota reglamentaria de fútbol ha de tener una cir-

cunferencia no superior a 70 cm y no inferior a 68 cm.

Calcula:

a) El radio máximo y mínimo que puede tener una pelo-

ta de fútbol.

b) El volumen máximo y mínimo que puede tener una

pelota de fútbol.

c) La diferencia de volumen entre una y la otra en por-

centaje.

■■121 Una pelota de tenis tiene un radio de 32,5 mm, y una

de tenis de mesa, 20 mm. Calcula:

a) La razón de semejanza entre radios.

b) La razón de semejanza entre áreas.

c) La razón de semejanza entre volúmenes.

d) Comprueba si la razón de semejanza entre las áreas es

k2 y la razón entre los volúmenes, k3.

eje de rotación

Mates3ESO_U10.indd 221 24/1/11 17:07:29

2r

r

r

270º

12 cm

altura= 10 cm

3 dm

3 dm

222

Autoevaluación

RetoG

eom

etrí

a en

el

esp

acio

¿Clasifico correctamente los cuerpos geométricos?

1. Clasifica los poliedros siguientes en prismas, pirámides o nin-

guno de los dos.

a) b) c) d)

¿Aplico correctamente el teorema de Euler?

2. Un poliedro tiene 15 aristas y 10 vértices. ¿Cuántas caras tiene?

¿Sé aplicar el teorema de Pitágoras en el espacio?

3. Calcula la diagonal de un cubo cuyo volumen es 125 cm3.

¿Sé calcular áreas y volúmenes de cuerpos geomé-

tricos?

4. Calcula el área total y el volumen de:

a) Un ortoedro de dimensiones 6, 7 y 8 dm.

b) Un cilindro de diámetro 8 dm y de altura 10 dm.

c) Un cono cuya altura es 10 dm y que tiene una base cuyo

radio mide 5 dm.

d) Una esfera de 20 cm de diámetro.

5. Calcula el área y el volumen de los cuerpos de la figura:

a) b)

¿Reconozco la razón de semejanza?

6. Un cubo tiene 3 cm de arista y otro, 9. Halla la razón de

semejanza.

¿Reconozco los elementos de simetría?

7. ¿Cuántos planos de simetría tiene una pirámide de base pen-

tagonal?

¿Sé hacer cálculos con coordenadas geográficas?

8. Las coordenadas de París son 48º 51’ N, 2º 20’ E; las de Bar-

celona, 41º 23’ N; 2º 11’ E , y las de Moscú, 55° 44’ 47,24” N;

37° 37’ 54,82” E. Encuentra la diferencia horaria:

a) Entre Barcelona y París.

b) Entre París y Moscú.

■■■124 Supón que una empresa de juguetes de playa te

encarga que diseñes una pelota que tenga el aspecto de las

reglamentarias de fútbol, pero con unas dimensiones tales que

su superficie en dm2 sea igual que su volumen en dm3. Ten en

cuenta que su superficie está formada por pentágonos y hexá-

gonos. Por lo tanto se puede considerar que el volumen de la

pelota es la suma de los volúmenes de varias pirámides penta-

gonales y hexagonales cuyas cúspides coinciden en el centro

de la pelota.

a) ¿Cuál será el diámetro de esta pelota?

b) Una vez calculado el diámetro, se ve que el resultado

obtenido es diferente de la medida reglamentaria. Bus-

ca información sobre ella. Invéntate una nueva unidad

de longitud (que tendrá el símbolo fu) tal que las pelotas

de reglamento cumplan que el área en fu2 sea igual que

el volumen en fu3.

■■■122 Hay una esfera de 10 cm de radio inscrita en un cilin-

dro. ¿Qué proporción del volumen del cilindro queda fuera de la

esfera? Halla también la respuesta para el caso general de una esfe-

ra de radio r. ¿Cómo depende del radio de la esfera la proporción

de volúmenes?

■■■123 Unos amigos se disponen a comer palomitas en

unos cucuruchos de cartulina. Los han hecho recortando unos

sectores circulares de 270º con 12 cm de radio y convirtiéndo-

los en conos. ¿Cuál es el radio de la base de estos conos?

radio de lasemiesfera

= 4 cm

altura del tronco de la pirámide= 4 dm

Mates3ESO_U10.indd 222 24/1/11 17:07:30

A

B

223

Competencias que suman

Geo

met

ría

en e

l es

pac

io

Transporte de mercancías

La empresa de logística Transfor S. L. dispone de dos tipos

diferentes de camiones para transportar mercancías por

todo el país. Los camiones estándar llevan un contenedor

para mercancías de forma ortoédrica que mide 6 m de lar-

go, 2,3 m de ancho y 1,8 m de alto. Los camiones tipo cis-

terna constan de un depósito cilíndrico que mide 5,25 m

de largo y 2 m de ancho (1 m de radio).

Los alumnos pueden utilizar la calculadora científica en todas

las pruebas.

1. Hay que transportar cajas cúbicas de 1 dm3. ¿Cuántas cajas se pueden meter en el contenedor del camión estándar?

a) 24.

b) 25.

c) 24 840.

d) Ninguna de las anteriores.

2. Contesta a las siguientes cuestiones:

a) ¿Qué capacidad tiene el depósito del camión cisterna?

b) Si 1 L de leche ocupa 1 dm3 y pesa aproximadamente 1 kg, ¿cuántas toneladas de leche puede transportar el camión cisterna?

3. Hay que transportar un cristal de 6,5 m de largo y 1,7 m de alto. Explica razonadamente si es posible llevarlo en el contenedor del

camión estándar.

4. Hay que transportar una viga de acero de 6,5 m. María cree que es posible llevarla en el contenedor poniéndola transversalmente

desde un vértice al vértice opuesto. En cambio, Roberto cree que no cabe. ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?

5. Cierta empresa quiere transportar un cono de acero de 1 m de altura y una base de 0,5 m de radio. Sabiendo que la densidad del

acero es de 7 850 kg/m3:

a) Calcula la masa de uno de estos conos.

b) Si el PMA (peso máximo admitido) del tráiler es de 8 500 kg, ¿cuántos conos puede transportar?

6. Haz una aproximación a la puntuación que crees que obtendrás en esta prueba. Tienes que intentar que sea lo más ajustada y sincera

posible, aunque pienses que no te haya salido demasiado bien.

Mates3ESO_U10.indd 223 24/1/11 17:07:31