matematicas 2

ESCUELA DE BACHILLERES LIC. ANTONIO MARA DE RIVERA CLAVE 30EBH0407W

PAQUETE DIDCTICO

MATEMTICAS II SEGUNDO SEMESTRE

DANIEL ESCOBAR GMEZ OMAR JIMNEZ GONZLEZ

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NDICE

CONTENIDO PGINA Planeacin Didctica. 3 Bloque 1. Sesin 1 Utilizas ngulos, tringulos y relaciones mtricas. 7 Sesin 2 Comprendes la congruencia de los tringulos. 17 Sesin 3 Resuelves problemas de semejanza de tringulos. 22 Sesin 4 Teorema de Pitgoras. 27 Bloque 2. Sesin 5 Reconoces las propiedades de los polgonos. 31 Sesin 6 Empleas la circunferencia. 36 Sesin 7 Describes las relaciones trigonomtrica para resolver tringulos rectngulos. 43 Sesin 8 Aplicas las funciones trigonomtricas. 49 Bloque 3. Sesin 9 Aplicas las leyes de los senos y cosenos. 55

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PLANEACIN DIDCTICA

BLOQUE CONTENIDO COMPETENCIAS GENRICAS

COMPETENCIAS DISCIPLINARES

ESTRATEGIA DE APRENDIZAJE

PRODUCTOS EVALUACIN

1 - Utilizas tringulos: ngulos y relaciones mtricas. - Comprendes la congruencia de los tringulos. - Resuelves problemas de semejanza de tringulos y teorema de Pitgoras.

- Piensa crtica y reflexivamente. - Aprende de forma autnoma.

- Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales. - Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques. - Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y comunicacin. - Cuantifica, representa y contrasta

- Exposicin. - Ejercicios.

- Problemarios. - 60% examen. - 40% evidencias.

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experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.

2 - Reconoces las propiedades de los polgonos. - Reconoces las propiedades de la circunferencia. - Describes las relaciones trigonomtricas para resolver tringulos rectngulos. - Aplicas funciones trigonomtricas.


- Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales. - Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques. - Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. - Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos,



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analticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y comunicacin. - Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean. - Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.

3 - Aplicas las leyes de los senos y cosenos.


- Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales. - Formula y resuelve problemas



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matemticos, aplicando diferentes enfoques. - Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. - Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y comunicacin. - Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

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SESIN 1 - Utilizas ngulos, tringulos y relaciones mtricas.

INTRODUCCIN

Antes de comenzar un estudio de la geometra (de los vocablos griegos: geos tierra y metron medicin) deberemos analizar los conceptos primitivos, llamados as por sentar las bases para el desarrollo de dicha disciplina y porque, aunque son fciles de describir y comprender, no es fcil dar una definicin formal de ellos.

A partir de los conceptos primitivos podremos formar y definir los ngulos. En esta sesin se abordarn 3 nociones relativas a los ngulos: las formas en que se miden, las parejas de ngulos que se pueden formar y las caractersticas de los ngulos que se forman al cortar un par de rectas paralelas con una secante. Una vez comprendidas estas nociones, seremos capaces de comprender la relacin que guardan los ngulos en un tringulo.

8

CONCEPTOS PRIMITIVOS

- Punto: lo entendemos como un objeto que carece de dimensiones y solo tiene posicin. Es el elemento ms bsico de la geometra. Lo indicamos colocando una letra mayscula sobre un punto:

- Lnea: es un conjunto infinito de puntos. Es una forma que solo tiene longitud y carece de alto y ancho. Existen varios tipos de lneas:

a) Lnea recta: es un conjunto de puntos que describe una trayectoria de un punto, movindose en una sola direccin. Para designar a la lnea recta, utilizaremos 2 puntos que pertenezcan a ella, nombrados por letras maysculas y agregaremos una flecha doble sobre ellas: Es importante notar que la recta no termina en el punto A o en el punto B, sino que contina de manera infinita hacia ambos lados.

b) Lnea curva: sucesin de puntos que no se encuentran alineados en una misma direccin y tiene como caracterstica la forma redondeada, aunque, por lo menos, a lo largo de cierta distancia.

c) Lneas mixtas: se caracterizan por combinar segmentos de lneas rectas y curvas.

- Segmento de Recta: se define como una parte de la recta, determinada por dos puntos dentro de la misma. Para denotar un segmento de recta, se nombran sus puntos extremos mediante letras maysculas y se coloca sobre ellas una lnea horizontal.

AB A B

A B

A B AB

A

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- Rayo: si tomamos un punto cualquiera de una recta, este determina 2 rayos (o segmentos de recta) que se extienden en direcciones contrarias hacia puntos especficos. Para denotar un rayo, utilizamos dos letras maysculas. La primera indica el punto inicial y la segunda un punto que pertenece al rayo, colocando sobre ambas una flecha de una sola punta.

DEFINICIN DE NGULO

Un ngulo es la abertura que se forma entre 2 rayos que tienen un punto en comn llamado vrtice. A los rayos se les denomina lados del ngulo.

Podemos denotar un ngulo mediante 3 letras maysculas; la primera y la ltima indicarn los lados del ngulo, la segunda denotar su vrtice.

ngulos Congruentes: dos ngulos son congruentes si tienen la misma abertura, es decir, si sus vrtices y lados coinciden al colocarlos unos sobre otro.

Como podemos observar, la longitud de los lados no es importante para determinar si dos ngulos son congruentes; lo que interesa es que la abertura entre los lados sea la misma.

A C

B

ABC

o

CBA

M

R

P

S

Q

T

MPR STQ

AC

A B C Recta:

BC BA AB o Rayos: ,

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MAGNITUD Y MEDICIN

La magnitud de un ngulo depende de la abertura que haya entre sus lados. Una forma de medir esta abertura es utilizar una herramienta conocida como transportador, que utiliza una unidad de medida llamada grado.

PAREJAS DE NGULOS

Antes de explicar las relaciones que existen entre parejas de ngulos, es necesario analizar un par de definiciones bsicas.

- ngulos adyacentes: son aquellos que tienen un vrtice en comn y comparten uno de sus lados.

- Bisectriz: Es el rayo que divide a un ngulo en dos ngulos congruentes (de la misma medida).

- ngulos rectos: son aquellos que miden 90.

- ngulos Llanos: son aquellos que miden 180. A partir de estos conceptos, podremos definir y clasificar las parejas de ngulos, tanto por la suma de sus medidas, como por la posicin de sus lados.

A

D B

C

P

Q R

P Q R

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PAREJAS DE NGULOS POR LA SUMA DE SUS MEDIDAS

- ngulos Complementarios: son ngulos adyacentes cuyas medias suman un ngulo recto (90).

- ngulos Suplementarios: son ngulos adyacentes cuyas aberturas suman un ngulo llano (180). Estn sustentados en la misma lnea recta.

PAREJAS DE NGULOS POR LA POSICIN DE SUS LADOS

- ngulos Adyacentes. - ngulos Opuestos por el Vrtice: son aquellos que cumplen dos

condiciones: a) tienen un vrtice en comn, y b) los lados de uno son prolongaciones de los lados del otro. Esta pareja de ngulos es congruente.

- ngulos formados por paralelas cortadas por una secante: antes de hablar de este tipo de ngulos, es importante tener claros algunos conceptos:

a) Rectas secantes: dos rectas son secantes si tienen un punto de interseccin en comn. Existen 2 tipos de rectas secantes:

A

C D

B

50

40 50 + 40 = 90

CDB + BDA

R P S

Q

101 79 101 + 79 = 180

PSQ + QSR

A

C D

B

O

AOC BOD

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Oblicuas: dos rectas son oblicuas si se cortan una a la otra y forman 2 pares de ngulos iguales.

Perpendiculares: dos rectas son perpendiculares si, al cortarse en un punto, forman 4 ngulos iguales (rectos).

b) Rectas paralelas: son aquellas que, por ms que se prolongan, nunca se cortan. Evidentemente, siempre mantienen la misma distancia entre s. Se representan con el smbolo //.

Cuando un par de rectas paralelas es cortado por una secante, se forman un conjunto de parejas de ngulos cuyas propiedades nos ser muy til estudiar.

En la figura anterior podemos encontrar:

8 ngulos suplementarios. 4 pares de ngulos opuestos por el vrtice, congruentes entre s. 4 pares de ngulos correspondientes entre paralelas. 2 pares de ngulos alternos internos, congruentes entre s. 2 pares de ngulos alternos externos, congruentes entre s.

A B

D C

E F

G H

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PROPIEDADES RELATIVAS DE LOS TRINGULOS

Las rectas paralelas cortadas por una secante nos pueden servir, en especial, para demostrar las propiedades de figuras geomtricas. A continuacin, se demostrar que los ngulos interiores de un tringulo suman 180.

Para comenzar la demostracin haremos una construccin: tomamos el tringulo ABC y hacemos pasar una recta auxiliar GH, que es paralela al lado CB y pasa por el vrtice A.

Afirmaciones Razones

GH // CB Por construccin e hiptesis.

GAC + CAB + HAB = 180 Por estar sustentados en la misma lnea recta (suplementarios).

BCA GAC Por ser ngulos alternos internos. ABC HAB Por ser ngulos alternos internos.

BCA + CAB + ABC = 180 Por principio de sustitucin. Es as como concluimos que la suma de los ngulos interiores de un tringulo es igual a 180.

A

G H

B C

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ACTIVIDADES

1. Seala en los parntesis cules de los siguientes ngulos son congruentes. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2. Completa los siguientes ngulos.

3. Completa el siguiente tringulo.

A B

C

D E

F

28 62

A

G H

B C

70 38

48 62 70

A = 48

B =

C=

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REAFIRMA TU CONOCIMIENTO

1. A la abertura entre dos rayos se le conoce como: a) Espacio b) ngulo c) Curva d) Distancia

2. Los ngulos que poseen la misma abertura son conocidos como: a) Congruentes b) Exactos c) Comprensivos d) Coincidentes

3. Al rayo que divide a un ngulo en dos ngulos congruentes se le llama: a) Bisectriz b) Bifurcacin c) Mitad d) Vicisitud

4. Los ngulos complementarios deben sumar: a) 45 b) 90 c) 180 d) 360

5. Los ngulos adyacentes que suman 180 son conocidos como: a) Suplementarios b) Superlativos c) Superiores d) Medios

6. A las lneas que se cortan en un punto en comn se les conoce como: a) Afiladas b) Unidas c) Tendidas d) Secantes

7. Cuntos pares de ngulos forman las lneas oblicuas? a) 3 b) 4 c) 1 d) 2

8. A las lneas rectas que se cortan en un punto, formando 4 ngulos rectos, se les conoce como: a) Encontradas b) Perpendiculares c) Directas d) Esdrjulas

9. Al par de rectas que, por ms que se extienden, jams se tocan, se le conoce como: a) Paralelas b) Curvas c) Pendientes d) Extensas

10. Cunto suman los ngulos interiores de un tringulo? a) 90 b) 360 c) 180 d) 45

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SESIN 2 Comprendes la congruencia de los tringulos.

INTRODUCCIN

En la sesin anterior se construyo, a partir de los elementos bsicos de la geometra, el concepto de ngulo y se explic cmo se relacionan los ngulos dentro de un tringulo.

En esta sesin se explicar cmo esta relacin nos puede ayudar a comparar a tringulos para determinar si son, o no, congruentes.

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DEFINICIN DE CONGRUENCIA

Dos figuras son congruentes si, al colocar una sobre otra, todos sus puntos coinciden, es decir, si ambas tienen la misma forma y tamao, aunque diferente orientacin.

CRITERIOS DE CONGRUIENCIA DE TRINGULOS

Los criterios de congruencia de tringulos son los parmetros que permiten establecer si un par de tringulos son congruentes entre s. Dichos criterios son:

1. L, L, L (Lado, Lado, Lado): Si los tres lados de un tringulo son respectivamente congruentes a los tres lados de otro tringulo, ambos tringulos son congruentes entre s.

2. L, A, L (Lado, ngulo, Lado): Si dos lados de un tringulo y un ngulo comprendido entre ellos son respectivamente congruentes a dos lados de otro tringulo y un ngulo comprendido entre ellos, ambos tringulos son congruentes entre s.

3. A, L, A (ngulo, Lado, ngulo): Si uno de los lados de un tringulo y los ngulos adyacentes a l son respectivamente congruentes a uno de los lados de otro tringulo y a los ngulos adyacentes a l, ambos tringulos son iguales.

A B

C D E

F

Entonces: ABC DEF

A B

C

D

F

E

Si: AB = DE

AC = DF

BAC EDF

Entonces: ABC DEF

A B

C

D

F

E

Si: CB = EF

ACB FDE

ABC DEF

Entonces: ABC DEF

Si: AB = DE

BC = EF

CA = FD

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ACTIVIDADES

Compara las siguientes parejas de tringulos y determina si son congruentes.

1.

2.

3.

37

80 cm

37

60 cm

60 cm

47 cm

47 cm

36 cm

36 cm

A

B C

D

E

F

P

Q

R

41 cm 50 cm 84 84

50 cm

41 cm

S

T

U

80 cm

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1. Si colocamos una figura sobre otra y todos sus puntos coinciden, decimos que las figuras son: a) Similares b) Parecidas c) Congruentes d) Idnticas

2. Las figuras congruentes tienen la misma forma y figura pero diferente: a) Orientacin b) Medida c) Forma d) Figura

3. Con qu smbolo representamos la congruencia? a) b) c) d)

4. Cuando cada uno de los lados de un tringulo tiene la misma medida respectivamente que cada uno de los lados de otro tringulo, se dice que los tringulos son congruentes segn el criterio: a) L, L, L b) L, O, L c) A, L, L d) T, L, L

5. Cul es el criterio en el que dos lados de un tringulo y un ngulo comprendido entre ellos son congruentes con dos lados de otro tringulo y el ngulo comprendido entre ellos? a) L, A, L b) A, L, L c) L, O, L d) L, B, L

6. Criterio que nos indica que si un lado de un tringulo y los ngulos adyacentes a l son congruentes con un lado de otro tringulo y los ngulos adyacentes a l, ambos tringulos son congruentes: a) L, O, L b) A, L, O c) O, L, O d) A, L, A

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SESIN 3 Resuelve problemas de semejanza de tringulos.

INTRODUCCIN

En la sesin anterior, analizamos el concepto de la congruencia en los tringulos y cmo, a partir de ciertos criterios, podemos identificar parejas de tringulos cuyas medidas son las mismas aunque su orientacin sea diferente.

A partir de este conocimiento seremos capaces de comprender un concepto similar: la semejanza de los tringulos. Aunque, antes de poder abordar ese tema, deberemos analizar un par de teoremas que sentarn las bases para esto, entre ellos el Teorema de Tales, atribuido al filsofo y matemtico griego Tales de Mileto en el siglo VI a.c.

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TEOREMA DE TALES

Para poder hablar del teorema de tales, debemos comprender 2 teoremas previos.

1. Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes entre s. Por ejemplo, en el paralelogramo ABCD encontramos:

2. Si 3 o ms paralelas determinan segmentos congruentes en una transversal a estas, determinarn tambin segmentos congruentes en cualquier otra recta que las corte.

A partir de esto podemos comprender el Teorema de Tales:

Si las rectas AA // BB // CC y estn cortadas por las secantes AC y AC, entonces:

A

B D

C

AB // CD BC // AD

AB CD BC AD

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

AA // BB // CC // DD // EE

AB BC CD DE

AB BC CD DE

AB BC

AB BC

= A

B

C

A

B

C

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CRITERIOS DE SEMEJANZA EN TRINGULOS

Una implicacin importante que podemos obtener del Teorema de Tales es el siguiente Corolario: Si en un tringulo se traza una recta paralela a uno de sus lados de manera que corte a los otros dos, los tringulos resultantes tendrn lados proporcionales.

1. L, L, L (Lado, Lado, Lado): Si los tres lados de dos tringulos son proporcionales, estos son semejantes.

2. A, A (ngulo, ngulo): Si dos tringulos tienen dos parejas de ngulos congruentes entre ellos, significa que son semejantes.

3. L, A, L (Lado, ngulo, Lado): Si dos tringulos tienen un par de lados proporcionales y el ngulo comprendido entre esos lados es congruente en ambos casos, los tringulos son semejantes.

AB AC BC AB AC BC

A

B

C

B

C BC // BC

ABC ~ ABC

= =

N

M P N

M P

MN NP MP MN NP MP

= =

MNP ~ MNP

A

B C A

B C

Si:

Entonces:

ABC ABC BAC BAC

ABC ~ ABC

Si:

Entonces:

T

Q S

T

Q S

QT TS QT TS

=

QTS ~ QTS

Si:

Entonces:

QTS QTS

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ACTIVIDADES

1. Determina la medida del segmento faltante.

2. Compara los siguientes tringulos, determina si son semejantes e indica el criterio que utilizaste

3. Obtn el valor del segmento AC

12 cm

P

Q R

18 cm 26 cm 74 74 13 cm 9 cm

P

A

A

B

C

A

B

C

10 cm

15 cm

12 cm

Q R

B

C 23 cm

B

C

89 cm

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1. Figura geomtrica que poseen 2 pares de lados que son paralelos y congruentes entre s: a) Rectas b) Paralelogramos c) Cuadrilteros d) Rectngulos

2. Si 3 o ms paralelas determinan segmentos congruentes en una transversal a estas, cmo sern los segmentos de cualquier otra recta que las corte? a) Distintas b) Similares c) Paralelas d) Congruentes

3. Teorema que enuncia que si 3 rectas son paralelas y las corta una secante, los segmentos que se formen en dicha secante sern proporcionales a los segmentos que forme cualquier otra secante que corte tambin dichas rectas: a) de Pitgoras b) de Bohr c) de Tales d) de Cuales

4. Si en un tringulo se traza una recta paralela a cualquiera de sus lados de manera que corte a los otros dos, cmo sern los tringulos resultantes? a) Proporcionales b) Iguales c) Paralelos d) Equidistantes

5. Criterio de semejanza que nos indica que si los 3 lados de 2 tringulos son proporcionales, estos son semejantes: a) L, A, L b) A, A c) L, L, L d) L, L

6. Qu criterio de semejanza nos indica que si 2 tringulos tienen 2 parejas de ngulos congruentes entre ellos, estos son semejantes? a) A, A b) A, L, L c) L, A, L d) L, L

7. Criterio de semejanza que nos indica que si 2 tringulos tienen un par de lados proporcionales y el ngulo comprendido entre esos lados es congruente en ambos casos, los tringulos son semejantes: a) L, L b) L, A, L c) A, A d) L, O, L

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SESIN 4 Teorema de Pitgoras.

INTRODUCCIN

Lo visto en las sesiones anteriores nos ayudar a fundamentar el Teorema de Pitgoras, unos de los fundamentos ms conocidos e importantes de la geometra. Es llamado as en honor al filsofo y matemtico griego Pitgoras de Samos, aunque no se conoce con precisin si este teorema es obra del propio Pitgoras o de su escuela de pensamiento, conocida como Escuela Pitagrica o, simplemente, los Pitagricos.

Este es uno de los teoremas ms importantes dentro del mundo de las matemticas, a tal grado que, en la edad media, se peda a los aspirantes a alcanzar el grado de Magster Matheseos (maestro de las matemticas) que presentaran una demostracin del teorema, que fuera diferente a las que otros hubieran presentado antes.

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TRINGULO RECTNGULO

Un tringulo rectngulo es aquel que posee un ngulo interno de 90, es decir, recto.

Los lados cortos de este tringulo (AC y BC) reciben el nombre de catetos, mientras que el lado largo (AB) recibe el nombre de hipotenusa. A este ltimo lo podemos reconocer fcilmente, ya que es el lado que se opone al ngulo recto, es decir, que est frente a l.

Solo los tringulos rectngulos admiten que dos de sus lados puedan ser considerados como su altura. Tomando como base la figura anterior, tendramos que:

TEOREMA DE PITGORAS

El teorema de Pitgoras nos dice que, en los tringulos rectngulos, la suma del cuadrado de los catetos es igual a la hipotenusa.

Tomando como base el tringulo anterior, esta idea la expresamos algebraicamente de la siguiente manera:

a2 + b2 = c2

A partir de este teorema, podemos obtener las siguientes 3 conclusiones:

c = 2 + 2 a = 2 2 b = 2 2 Lo anterior significa que, para poder determinar la medida de alguno de los lados de un tringulo rectngulo bastar con conocer la medida de los 2 lados restantes.

ABC es un tringulo rectngulo, ya que ABC = 90

A

B C A

B

C

AC es la altura del tringulo si tomamos como base el segmento BC

BC es la altura del tringulo si tomamos como base el segmento AC

A

B

C

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ACTIVIDADES

Resuelve los siguientes tringulos rectngulos.

1. 2.


1. Un ngulo cuya medida es igual a 90 recibe el nombre de: a) Cuadrado b) Llano c) Recto d) Curvo

2. Tipo de tringulo que posee un ngulo interno de 90: a) Rectngulo b) Cuadrado c) Recto d) Paralelo

3. Cmo se llama el lado ms largo de un tringulo rectngulo? a) Largo b) Hipotenusa c) Hiprbola d) Cateto

4. Cmo se llaman los dos lados restantes? a) Cortos b) Hipotenusas c) Hiprbolas d) Catetos

5. Cul de las siguientes es la representacin algebraica del teorema de Pitgoras? a) b2 + c2 = a2 b) a2 + b2 = c2 c) a2 + c2 = b2 d) a2 * b2 = c2

A

B

C 64 cm.

42 cm.

P Q

R

53 cm.

21 cm.

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SESIN 5 Reconoces las propiedades de los polgonos.

INTRODUCCIN

Hasta este punto, hemos trabajado nicamente con tringulos y nos hemos acercado a las nociones de los cuadrados y los rectngulos, pero qu pasa con las figuras que poseen ms lados? En esta sesin analizaremos estas figuras, conocidas como polgonos.

Analizaremos algunos tipos de polgonos, as como sus principales caractersticas, a la vez que aprenderemos a calcular su permetro y rea.

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POLGONO

Un polgono es una figura plana, cerrada, formada por segmentos de recta que estn unidos por sus extremos en puntos que se denominan vrtices.

Polgono Convexo Polgono Concavo Polgono Regular

PROPIEDADES DE LOS POLGONOS

- ngulo Central: se encuentra formado por dos radios de un polgono regular, su vrtice se encuentra en el centro del polgono. La medida del ngulo central es igual a dividir 360 entre el nmero de lados del polgono regular.

- Diagonal: es el segmento que une dos vrtices no contiguos de un polgono regular o convexo. Podemos trazas tantas diagonales desde un vrtice como en nmero de lados del polgono menos 3 (es decir, d = n - 3). Dentro de un polgono, podemos trazar un total de D = n (n 3) / 2 diagonales.

60

360 / n

360 / 6 = 60

d = n 3

d = 6 3

d = 3

D = n (n 3) / 2

D = 6 (6 3) / 2

D = 6 (3) / 2

D = 18 / 2

D = 9

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- ngulo Interior: es la abertura que se forma entre dos lados de un polgono. El vrtice de este ngulo coincide con el vrtice del polgono. En un polgono regular, la medida de un ngulo interior se determina multiplicando 180 por el numero de lados menos 2 y dividiendo el producto entre el nmero de lados del polgono; es decir, A = 180 (n 2 ) / n.

- ngulo Exterior: es la abertura que se forma entre el lado de un polgono y la prolongacin de su lado consecutivo. En un polgono regular, los ngulos central y exterior tienen la misma medida. La suma del ngulo exterior y el ngulo interior es igual a 180 al ser ngulos suplementarios.

PERMETRO Y REA DE LOS POLGONOS

- Permetro de un polgono regular: es la suma de las medidas de los lados que lo forman; es decir, es igual a multiplicar la medida de uno de sus lados por el nmero de estos.

- rea de un polgono regular: es igual al producto del permetro del polgono por la apotema, dividido entre dos. La apotema es un segmento que va del centro del polgono al punto medio de uno de sus lados.

A = 180 (n 2) / n

A = 180 (6 2) / 6

A = 180 (4) / 6

A = 720 / 6

A = 120

120

60

60

6cm.

5cm.

P = l * n

P = 6 * 6

P = 36 cm.

A = P * a / 2

A = 36 * 5 / 2

A = 180 / 2

A = 90 cm.2

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ACTIVIDADES

1. Determina cuntas diagonales puede trazarse por cada vrtice y en total para la siguiente figura. Dibjalas.

2. Determina la medida de los ngulos central, interno y externo en la siguiente figura.

3. Calcula el permetro y el rea de la siguiente figura

20cm.

15 cm.

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1. Figura plana, cerrada, formada por segmentos de recta que estn unidos por sus extremos en puntos que se denominan vrtices: a) Circunferencia b) ngulo c) Polgono d) Cateto

2. ngulo que se encuentra formado por dos radios de un polgono regular, cuyo vrtice se encuentra en el centro del mismo: a) Interior b) Central c) Exterior d) Recto

3. Es el segmento que une dos vrtices no contiguos de un polgono regular o convexo: a) Diagonal b) Recta c) Curva d) Radio

4. A la abertura que se forma entre dos lados de un polgono se le llama: a) A. Interior b) A. Exterior c) A. Central d) A. Llano

5. Es la suma de las medidas de los lados que forman a un polgono: a) rea b) Permetro c) Volumen d) Apotema

6. Cmo se llama el segmento que va del centro de un polgono regular al punto medio de uno de sus lados? a) Permetro b) rea c) Volumen d) Apotema

33

SESIN 6 Empleas la circunferencia.

INTRODUCCIN

Una vez que hemos comprendido las caractersticas de figuras geomtricas tales como los polgonos, debemos avanzar un nivel ms y hablar de la circunferencia.

En esta sesin analizaremos los ngulos que podemos encontrar en la circunferencia, as como algunas rectas que se relacionan con esta. Del mismo modo, conoceremos la manera de calcular su permetro y rea.

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DEFINICIN DE CIRCUNFERENCIA

Antes de poder definir el concepto de circunferencia, es necesario que comprendamos qu es un lugar geomtrico. Un lugar geomtrico es el conjunto de puntos que satisfacen determinadas condiciones geomtricas. Cualquier figura puede ser definida como un lugar geomtrico, siempre y cuando todos los puntos que la constituyan satisfagan ciertas propiedades y, adems, pertenezcan a la figura.

Una circunferencia es el lugar geomtrico donde todos los puntos equidistan de un punto fijo del plano, llamado centro. El trmino equidistan significa que un punto o conjunto de puntos mantienen la misma distancia que otro u otros que se toman como puntos de comparacin.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y SUS RELACIONES

- Radio: es un segmento de recta que tiene como extremos el centro de la circunferencia y uno de los puntos de la misma.

- Cuerda: es un segmento de recta que tiene como extremos dos puntos de la circunferencia, siempre y cuando, no pase por el centro de la misma.

- Dimetro: es la mayor cuerda que se puede trazar en una circunferencia. Pasa por el centro de esta y mide el doble de un radio.

- Arco: es una parte de la circunferencia determinada por 2 puntos.

A

B

35

Una cuerda divide a la circunferencia en 2 arcos distintos. Segn su tamao, uno ser un Arco Mayor y el otro un Arco Menor. Cuando es el dimetro el que determina 2 arcos, estos sern congruentes y se conocen como semicircunferencias.

- Recta Tangente: es una cuerda que toca la circunferencia en un solo punto.

- Recta Secante: es la recta que corta a la circunferencia por dos puntos.

NGULOS QUE SE FORMAN EN UNA CIRCUNFERENCIA

A partir de los elementos que hemos visto hasta el momento, podemos construir los siguientes ngulos en la circunferencia:

- ngulo Central: tiene como lados dos radios de la circunferencia y su vrtice es el centro de la misma. Una caracterstica importante de este tipo de ngulos es que miden lo mismo que el arco que lo subtiende.

F

G

Arco Menor

Arco Mayor

M P

A

B C

m ACB = 116

AB = 116

116

116

36

- ngulo Inscrito: es un ngulo cuyos lados son cuerdas de la circunferencia y cuyo vrtice es un punto sobre la misma. Un ngulo inscrito mide la mitad del arco que lo subtiende.

- ngulo Semiinscrito: se forma con una recta tangente y una cuerda de la circunferencia. El vrtice del ngulo es el punto donde se tocan la tangente y la circunferencia. Miden la mitad del arco que los subtiende.

PERMETRO Y REA DE LA CIRCUNFERENCIA

- Permetro: se encuentra determinado por el producto del dimetro por el valor de Pi.

S

R

T

m TRS = 33

TS = 66 33

66

D E

F

G

63

m EDG = 63

DG = 126

10 cm.

P = D *

P = 10 * 3.1416

P = 31.416 cm.

37

- rea: se encuentra determinada por el producto de Pi por el cuadrado del radio.

ACTIVIDADES

1. Seala el nombre de cada elemento en la circunferencia.

2. Determina la medida del siguiente ngulo inscrito:

3. Determina el permetro y el rea del siguiente crculo:

4 cm. A = r2 *

A = (4)2 * 3.1416

A = 16 * 3.1416

A = 50.2656 cm2.

178 A

B

V

15 cm.

38


1. Al conjunto de puntos que satisfacen determinadas condiciones geomtricas lo conocemos como: a) Lugar geomtrico b) Figura c) Grupo uniforme d) Sector

2. Lugar geomtrico donde todos los puntos equidistan de un punto fijo del plano, llamado centro: a) Tringulo b) Polgono c) Crculo d) ngulo

3. Segmento de recta que tiene como extremos el centro de la circunferencia y uno de los puntos de la misma: a) Cuerda b) Lnea c) Estreo d) Radio

4. A cuntos radios equivale un dimetro? a) 3 b) 2 c) 4 d) 1/2

5. Segmento de recta que tiene como extremos dos puntos de la circunferencia: a) Cuerda b) Soga c) Radio d) Apotema

6. Es una parte de la circunferencia determinada por 2 puntos: a) Curva b) Arco c) Flecha d) Blanco

7. Cuerda que toca la circunferencia en un solo punto: a) Tango b) Secante c) Sacante d) Tangente

8. Cuerda que corta a la circunferencia en dos punto: a) Tango b) Secante c) Sacante d) Tangente

39

SESIN 7 Describes las relaciones trigonomtrica para resolver tringulos rectngulos.

INTRODUCCIN

Aunque ya antes hemos hablado de ngulos y su medicin, en esta sesin analizaremos, de inicio, los dos principales sistemas de medicin de ngulos, para poder sentar las bases para el anlisis de las razones trigonomtricas y su relacin dentro de los tringulos rectngulos.

Probablemente ya hayas escuchado hablar de las funciones seno, coseno y tangente. Las analizaremos, al igual que a sus razones recprocas: cotangente, secante y cosecante. Al final de la sesin, el alumno ser capaz de entender cmo se relacionan unas con otras.

40

SISTEMAS DE MEDICIN ANGULAR

- Sistema Sexagesimal: en este, se considera la circunferencia dividida en 360 partes iguales, denominadas grados. Cada grados est dividido a su vez en 60 partes iguales llamados minutos, y cada minuto est dividido tambin en 60 partes iguales, llamadas segundos.

Los smbolos que utilizamos para representar estas medidas son los siguientes: As, 1 = 60 y 1 = 60.Para expresar una medida angular en este sistema, se utiliza la notacin grados, minutos, segundos, o bien, nmeros decimales.

- Sistema Circular: en este sistema se usa como unidad el llamado radin. Un radin es el ngulo cuyos lados comprenden un arco de longitud igual al radio de la circunferencia.

En la figura a, el ACB es un radin debido a que sus lados AC y CD determinan un arco AB que mide lo mismo que el radio, es decir, AB = r.

El radio de una circunferencia cabe, aproximadamente, 6.2832 veces en el contorno de la misma. Esto significa que una circunferencia mide 6.2832 radianes (figura b), o para ser ms precisos, 2 radianes.

A partir de esto, podemos expresar la medida de cualquier ngulo

utilizando mltiplos o divisores de .

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

La trigonometra analiza las relaciones entre los ngulos y los lados en los tringulos en general, aunque en esta sesin nos enfocaremos en el caso de los tringulos rectngulos. Para comenzar, es necesario conocer el nombre de los lados que conforman los tringulos rectngulos, los cuales dependen del ngulo que se tome como referencia.

Grado Minuto Segundo

30 45 25 = 30 45.416 = 30.75693

r r

a) b) A

B

C

41

El lado de mayor longitud es la hipotenusa, y lo reconocemos porque se opone al ngulo recto. En la figura, est sealada con la letra c. Los lados cortos se llaman catetos. En la figura, a y b son los catetos. El ngulo est determinado por BAC y el ngulo por CBA. Respecto al ngulo :

- El cateto opuesto es a. - El cateto adyacente es b. Respecto al ngulo : - El cateto opuesto es b. - El cateto adyacente es a.

A las proporciones que se establecen entre los lados de un tringulo rectngulo se les conoce como razones trigonomtricas:

- Seno (sen): la razn entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

- Coseno (cos): la razn entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

- Tangente (tan): la razn entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Por otro lado, existen 3 razones ms, llamadas razones trigonomtricas recprocas al ser inversas a las primeras. Estas son:

- Cotangente (cot): la razn entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.

- Secante (sec): la razn entre la hipotenusa y el cateto adyacente.

- Cosecante (csc): la razn entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

a

b

c

B

A C

sen = Cateto opuesto Hipotenusa

cos = Cateto adyacente Hipotenusa

tan = Cateto opuesto Cateto adyacente

cot = Cateto adyacente Cateto opuesto

sec = Hipotenusa Cateto adyacente

cos = Hipotenusa Cateto opuesto

42

ACTIVIDADES

1. Convierte las siguientes medidas: a. 40 39 55 a decimales.

b. 23.917 a grados, minutos, segundos.

2. Determina el valor de los datos faltantes en el siguiente tringulo rectngulo:

B

A C 35

15 cm.

43


1. En este sistema de medicin angular se considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales, denominadas grados: a) Gradual b) Sexagesimal c) Decimal d) Hexadecimal

2. En cuntos minutos se divide un grado? a) 45 b) 100 c) 60 d) 10

3. Unidad de medicin del sistema de medicin circular: a) Radin b) Gradin c) Grado d) Radio

4. Cuntas veces cabe el radio de una circunferencia en la misma? a) 3.1416 b) 2 c) 10 d) 6.2832

5. Rama de las matemticas que analiza las relaciones entre los ngulos y los lados en los tringulos en general: a) Geometra b) Trigonometra c) Estadstica d) lgebra

6. A las proporciones que se establecen entre los lados de un tringulo rectngulo se les conoce como: a) Razones b) Nociones c) Elementos d) Relaciones

7. Razn entre el cateto opuesto y la hipotenusa: a) Tangente b) Secante c) Seno d) Coseno

8. Con relacin a las primeras 3 razones trigonomtricas, las recprocas son: a) Iguales b) Opuestas c) Mayores d) Inversas

9. La razn entre la hipotenusa y el cateto adyacente: a) Tangente b) Coseno c) Secante d) Cosecante

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SESIN 8 Aplicas las funciones trigonomtricas.

INTRODUCCIN

Hasta este punto hemos analizado, por separado, a la circunferencia y las relaciones trigonomtricas, pero Existe alguna relacin entre ambas? Analizaremos eso en esta sesin.

Comenzaremos analizando un tipo particular de circunferencia llamada circunferencia unitaria, en la cual podemos encontrar tringulos rectngulos y, por consecuencia, relaciones trigonomtricas. Basndonos en el teorema de Pitgoras, encontraremos en esos tringulos rectngulos las llamadas Identidades Pitagricas.

45

CIRCUNFERENCIA UNITARIA

Definimos la circunferencia unitaria como el lugar geomtrico resultante de los puntos en el plano que se mantienen a una unidad de distancia respecto de un punto llamado centro.

Si trazamos los segmentos auxiliares AP y BP, paralelos a los ejes, constituiremos un sistema en el que es posible relacionar el valor de un ngulo y una razn, debido a que en la figura:

1

1 -1

-1

2

2 -2

-2

1 P (x, y)

1

P (x, y)

1

1

-1

-1

O

B

A

y

x

y

Q

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- El tringulo rectngulo OAP tiene como catetos los segmentos AP y OA, que son el cateto opuesto y adyacente del POA.

- POQ es el ngulo central de la circunferencia, por lo tanto, POQ = PQ. Observa que POA tiene como uno de sus lados la parte positiva

del eje x y est medido en sentido positivo a partir de l. - Por el Teorema de Pitgoras, en el OAP se obtiene:

2 + 2 = 1 Debemos notar que esta condicin la satisfacen todos los puntos que se encuentran en la circunferencia.

Las relaciones que se han establecido entre los catetos y la hipotenusa corresponden al concepto de las razones trigonomtricas para tringulos rectngulos. A partir de estas, podemos generar una idea ms abstracta: las funciones circulares, cuyo rasgo ms importante es que su dominio son los nmeros reales.

FUNCIONES CIRCULARES

Partiendo de la figura que acabamos de ver, definiremos las funciones circulares de la siguiente manera:

=

= 1

= =

= 1

=

=

=

Si consideramos que:

= =

Tendramos que:

=

Donde:

Cabe resaltar que las relaciones trigonomtricas permiten resolver tringulos rectngulos a partir de las relaciones entre sus lados y el ngulo agudo que se toma como referencia. Por esta razn, el valor posible para el ngulo se restringe de 0 a 90. Las funciones circulares no tienen esa restriccin. Por definicin, su dominio es el conjunto de nmeros reales, lo que implica la posibilidad de obtener valores como: sen 270, sen (), sen(-1/4), etc.

47

IDENTIDADES PITAGRICAS

Hemos demostrado que la circunferencia unitaria es el lugar geomtrico conformado por los puntos P(x, y) cuya distancia a un punto O siempre es igual a una unidad (1). Cuando el centro de la circunferencia coincide con el origen del plano cartesiano, y utilizando el teorema de Pitgoras, la expresin algebraica para hacer referencia a dicho lugar es:

2 + 2 = 1 Por otro lado, sabemos que = y = , por lo que es posible sustituir estos valores en la expresin anterior para obtener:

+ = Si dividimos esta expresin entre cada uno de sus elementos ( 2 y 2) obtenemos lo siguiente:

2 + 2 2 = 1 2

2 2 + 2 2 = 1 2

+ =

2 + 2 2 = 1 2

2 2 + 2 2 = 1 2

+ =

Debido al proceso como se obtuvieron estas igualdades y, a que estn fundamentadas en el Teorema de Pitgoras, nos referimos a ellas como Identidades Pitagricas:

+ = + = + =

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ACTIVIDADES

1. Cul es la medida del segmento OP en la siguiente Circunferencia Unitaria?

2. Completa las Identidades Pitagricas: _______________ + _______________ =

_______________ + = _______________

+ _______________ = _______________

O

1

1 -1

-1

2

2 -2

-2

P (x, y)

49


1. Lugar geomtrico resultante de los puntos en el plano que se mantienen a una unidad de distancia respecto de un punto llamado centro. a) Circunferencia Estndar b) Circunferencia Unitaria c) Circunferencia Radial d) Circunferencia Inicial

2. En una circunferencia unitaria, cualquier punto P en ella se encuentra a qu distancia del centro? a) 1 unidad b) 10 unidades c) 100 unidades d) 5 centmetros

3. Si agregamos elementos a una circunferencia unitaria para obtener un tringulo rectngulo, cmo expresaramos el teorema de Pitgoras relativo a este? a) 2 + 2 = 2 b) 2 + 2 = 1 c) 2 + 2 = 2 d) = 2

4. A las razones trigonomtricas que encontramos en una circunferencia unitaria se les conoce como: a) Razones Circulares b) Funciones Circulares c) Funciones Exponenciales d) Explicaciones Trigonomtricas

5. Dado un ngulo en una circunferencia unitaria a qu es igual ? a) x b) a c) y d) b

6. En el planteamiento anterior a qu es igual ? a) x b) a c) y d) b

7. Al conjunto de equivalencias que se obtienen sustituyendo las razones trigonomtricas en el teorema de Pitgoras se les conoce como: a) Similitudes Trigonomtricas b) Teorema de las Equidades c) Equivalencias Triangulares d) Identidades Pitagricas

50

SESIN 9 Aplicas las leyes de los senos y cosenos.

INTRODUCCIN

En la sesin 7 sealbamos que la trigonometra analiza la relacin que existe entre los lados y los ngulos de cualquier tringulo, aunque, para efectos prcticos, nos hemos enfocado nicamente en dichas relaciones en los tringulos rectngulos.

Aplicando las relaciones trigonomtricas en otros tipos de tringulos determinaremos la Ley de los Senos y la Ley de los Cosenos.

51

LEY DE LOS SENOS

Esta proposicin se refiere a una relacin de proporcionalidad que existe entre las longitudes de los lados de un tringulo y los senos de los ngulos opuestos, respectivamente. Una manera de expresar tal relacin podra ser:

En todo tringulo, el cociente de cada lado y el seno de su ngulo opuesto son constantes e iguales al dimetro de la circunferencia en la que el tringulo se encuentra suscrito.

Para explicar eso ltimo, trazaremos un tringulo ABC, circunscrito a una circunferencia:

Si en esta figura denotamos el circuncentro con la letra O y trazamos un segmento que vaya desde el punto C, pasando por O, hasta cortar la circunferencia, obtendremos un dimetro PC:

El tringulo PCB es recto ya que PC es un dimetro, y los ngulos A y P son iguales, ya que ambos son ngulos inscritos que abren el segmento BC. A partir de esto podemos definir que:

A

B C a

b c

A

B

C

P

52

= =

= 2 = 2

Si despejamos 2R obtenemos:

= Si aplicamos el mismo procedimiento para segmentos que pasen por los

puntos A y C obtendramos la misma igualdad con 2R y, por lo tanto, seran iguales entre s. Esta conclusin se conoce como Ley de los Senos y establece que:

= = = = = =

LEY DE LOS COSENOS

La Ley de los Cosenos es una generalizacin del teorema de Pitgoras en los tringulos no rectngulos. Relaciona un lado del tringulo con los otros dos y con el coseno del ngulo formado por esos dos lados. Partiendo de la figura:

Siendo , , ngulos del tringulo ABC, y a, b, c los lados respectivamente opuestos a estos ngulos, entonces:

= + () = + = + () = + = + () = +

A

B C a

b c

53

ACTIVIDADES

Resuelve los siguientes tringulos aplicando las leyes de los senos y cosenos, segn sea el caso:

1. 2.


1. Principio trigonomtrico que expone que en todo tringulo, el cociente de cada lado y el seno de su ngulo opuesto son constantes: a) Razones Trigonomtricas b) Teorema de Pitgoras c) Ley de los Senos d) Ley de los Cosenos

2. A qu figura debe estar suscrito el tringulo para poder aplicar el principio anterior? a) Rectngulo b) Circunferencia c) Paralelogramo d) ngulo

3. En la explicacin que vimos, a qu equivale el cociente de un lado y el seno de su ngulo opuesto? a) 2 dimetros b) 2 tangentes c) 2 apotemas d) 2 radios

4. Principio que relaciona un lado de un tringulo con los otros dos y con el coseno del ngulo formado por esos dos lados: a) Razones Trigonomtricas b) Teorema de Pitgoras c) Ley de los Senos d) Ley de los Cosenos

5. La ley de los Cosenos es una generalizacin de este principio: a) Teorema de Pitgoras b) Funciones Trigonomtricas c) Circunferencia Unitaria d) Sistema Sexagesimal

P

Q R 76 45

50 cm.

D

E

F

100 cm. 41 cm.

33 cm.

54

BIBLIOGRAFA

Basurto Hidalgo Eduardo y Castillo Pea Gilberto, (2011) Segunda Edicin. Matemticas 2 Competencias + Aprendizaje + Vida. Mxico, D.F. Pearson Educacin.

Basurto Hidalgo Eduardo y Castillo Pea Gilberto, (2009). Matemticas 2 (Competencia + Aprendizaje + Vida), Mxico D.F., Editorial Pearson.

Pginas de internet consultadas:

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_los_senos http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_los_cosenos http://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_trigonometricas www.vitutor.com/trigonometria.html http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Thales http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pitagoras

matematicas 2

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