MateITlática andina Joachim Schroeder

n

CD·

MINISTRO DE EDUCACiÓN Dr. Marcial Rubio Correa

VICEMINISTRO DE GESTiÓN PEDAGÓGICA Prof. Idel Vexler Talledo

VICEMINISTRO DE GESTiÓN INSTITUCIONAL - Dr. Henry A Harman Guerra

o . DIRECTORA NACIONAL DE FORMACIÓN Y CAPACITACiÓN DOCENTE '" Hna. Rosario Valdeavellano Roca Rey

JEFA DE LA UNIDAD DE FORMACiÓN DOCENTE Lic. Nery Luz Escobar Ba1z

ASESOR PRINCIPAL PROFORMA-GTZ Dr. Wolfgang Küper

MATEMÁTICA ANDINA

Autor Joachim Schroeder

CoIabarodores

Rubén Sónchez Quispe,lSP CoyIlurqui¡ Roberth Villegas Vargas, ISPTambabamba¡ Victo­rino Tuiro Hurtado,lSP Chuquibambilla¡ Manuel Meneses Torres,ISP Cangallo; Rubén Adolfo León Huillacapure,lSP Ayacucho¡ EdgarValencia Aguilar,lSP Huanta; Martha Damián Romeri, ISP Junín¡ Natividad Camarena Cóndor, ISP Jauja¡ Ricardo Quispe Aguilar, ISP Abancay; Roúl Espinozo Jaro, ISP Huancovelica; Félix Bemabel Cárdenas, ISP Huaytaro; Julián ítalo Bocangel Cuadros, ISP Coro Coro¡ Wilde M. SalazorVillanue­va, ISP Llata; Luis Chamorro Huet, ISP Huánco¡ Kenny Aguilar Chávez ISP La Unión¡ Mariella Salcedo Núñez, ISP Tormo; Ricardo Quispe Aguilar, ISP «La Salle>. Abancoy¡ Juan Juvenal Aedo Pozo, ISP Chalhuanco¡ Gilda Casaverde Villegas,lSP Chuquibambi­lIa¡ Aníbal Bellido Mironda, ISP Andahuaylas; Hédor Adán Aroni Berrocal, Mariella Salcedo Nuñez, Natividad Camarena Cóndor, Martha Damián Romero y estudiantes del IV Semestre de Educacián Primaria dellSP Chupaco.

Tiraje: 2 000 ejemplares

Ministerio de Educación GTZ-Cooperoción Alemana 01 Desarrollo

ISBN 9972-846-1 7-2 Depósito legal 1501 052001-1855

- ---Contenido Presentación

Introducción Diversificación y cantextuación en el área de la matemática El seminaria-taller sobre matemática andina Elaboración de unidades didácticas cama trabaja de distancia

Algunos conceptos claves del pensamiento matemótico andino (Módulos 1-5)

Yupay - Número A. Texto básica

Sistemas de numeración B. Sugerencias didácticas

Descripcián y comparación de sistemas numéricos Introducción a términos lingüísticas básicas Elaboración de una sistematización sobre el idioma vernáculo

Khipu - Signos A. Texto básico

Numerología andina B. Sugerencias didácticas

Introducción a los signos numéricos andinos Adaptación didáctica de la cruz cuadrada andina Elaboración de algorítmos para representar los números andinos

Phaxsima - Dinero A. Texto básico

El concepto andino del "dinero» B. Sugerencias didácticas

Pocha - Espacio A. Texto básico

Quel/cay (Qil/qay) B. Sugerencias didácticas

5

7

11

11

21

3B

47

Pacha - Tiempo A. Textos básicos

(1) El tiempo en los culturas andinas (2) La visián andina del mundo (3) La divisián del tiempo en el campo

B. Sugerencias didácticas

Unidades didácticas sobre ternos de lo culturo ondino ¿Qué son las unidades didácticas? Interculturalidad como contenido transversal Objetivos Metodología Presentacián de la unidad didáctica • .w¡¡¡, «Los Ionices de Son Pedro de Cojos» «.lfQ¡L¡¡j¡¡¡. O <waskhak!N» Aporres del" etnomgtemótjco o lo educación

Temas andinos en los moteriales «Matemática interculturol»

Bibliogrofío

59

6B

102

105

presentac ó n

Tengo ante mis ojos un trabajo intercul­tural en el que confluyen esfuerzos de «to­das las sangres». Joachim recoge lo que otros sembraron y suelta nuevas semillas al voleo o colocándolas cuidadosamente en el surco de la didáctica. Maestras y maestros, formadores, antropólogos, lin­güistas (quechuas y aymaras, de Bolivia o de Perú) siembran para quienes les toque cosechar y seguir produciendo. Estamos salvados, la vida no muere. La cultura se recrea.

Tengo también en mi memoria el escán­dalo de cuando se quiso (algunos siguen queriendo) aplastar la vida y extirpar la cultura, sólo porque no tiene la misma forma, color y sabor que la propia, y pese a que los tenga variados, exuberantes, sa­brosos. Ciertos modos de vida se preten­den superiores. La monocultura busca Imponerse.

Menos mal que el pensamiento humano no logra ser atrapado por la dominación cultural yen estos textos, publicados gra­cias al interés y persistencia de la GTZ, podemos ver que se abre paso un proceso de liberación del número junto con la cultura, de la ciencia junto con la sabidu­ría y del rigor matemático jUntO con el juego. '!extos que no se pretenden pare­jos, que no se afanan por uniformar ni estandarizar la escritura de las lenguas an­dinas, que avanzan también en espiral, como la forma elemental del movimien­to antes de ser cuantificado. Textos que nos ofrecen juntas la filosofía y la vida cotidiana, la cosmovisión y la mirada tier-

na de las maestras y maestros de aula.

Lo más interesante de este esfuerzo reco­nocido desde la primera línea es que, más allá de un cuerpo bien estructurado o de una lógica (y la matemática no puede pres­cindir de ambos) nos acerca a una raciona­lidad Racionalidad que tiene de razones y emociones, tanto como de tecnología y organización; todo ello dentro de un or­den que busca el equilibrio y la belleza entreverados en la dinámica de lo real, para superar el caos, No será por esta trama que los signos textiles han sido la mejor expre­sión de la matemática andina?

Tejer una historia y sobre todo una con­vivencia de relación, un tejido en el que no somos números, somos personas yen­torno, somos seres vivos, vivientes"'iY vi­vaces! ,No quisiéramos sentir así a estudiantes, docentes, formadoras y for­madores? Mujeres y varones que vivamos de un modo integral e integrador la reali­dad y la simbología, la calidad con la can­tidad, lo objetivo sin olvidar lo subjetivo, enraizando nuestra vitalidad en la tierra fecunda de la cultura andina .. .inclusive en relación a la temida matemática.

Para terminar, agradezco a quienes han tra­bajado este documento de alto valor pe­dagógico. Y les agradezco porque nos recuerdan que en el mundo andino todo lo que vive es animado, es decir, además de alma (ánima) tiene «ánimo», en el sen­tido más arguediano del término. Por eso han comenzado a dar «ánimo» a las mate­máticas que a tantas y tantos estudiantes

s

Matemótica ondina

han desanimado en la escuela, como aho­ra nos desaniman las estadísticas de pési­mo rendimiento, recientemente publicadas. Creo que una raz6n de esto último está relacionada a lo desalmado de

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un sistema paporretero y al desconoci­miento sistemático de la verdadera alma de nuestra manera de ser, hacer, pensar y convivir, pilares de la educación.

Rosario Valdeavellano Directora de la DINFOCAD Mayo 2001

Diversificación y contextuoción en el óreo de lo motemótico

La diversificación curricular y la ubicación de los contenidos en sus contexros son unas de las innovaciones más interesantes de la actual Reforma Educativa Peruana. Esta innovación está orientada a asegurar la pertinencia de una educación que res­ponda a la diversidad étnica, cultural, lin­güística, social y económica del país. El tradicional malestar por tener que desa­rrollar el mismo currículo en todo el ám­biro nacional y la queja permanente sobre la inadecuación del currículo oficial a las diversas realidades del país, son atendidos ahora por medio de la participación y de los mismos formadores en la elaboración del propio currículo diversificado de los sílabos contextualizados de cada asignatu­ra, dentro de los Instituros Superiores Pe­dagógicos (ISP).

.. Entendemos por diversificación curricu­lar el conjunto de modificaciones que pueden ser introducidas en el currículo oficial vigente para adecuarlo a nuestra realidad geográfica, económico-producti­va, sociopolítica y cultural, que es rica y heterogénea. Cuanto más adecuado esté un currículo a las realidades diversas con­cretas, mayor será su pertinencia. De allí la necesidad de asegurar la flexibilidad .. , Currículo Básico de Formación Docente, Especialidad de Educación Primaria, 2000, p. 195341). Cabe señalar que tam­bién el área de la matemática está consi­derada dentro de este enfoque de la

ntroducc ó n

diversificación curricular y de la ubicación contextual de los contenidos.

Este proceso se inicia a partir de los ejes curriculares, los contenidos transversales y los programas curriculares básicos (01-NEIP, Estructura Curricular Básica de Educación Primaria de Menores, 2000, p.I?). Sobre todo los contenidos transver­sales, definidos como campos de proble­mática que deben hallarse presentes, necesariamente, a lo largo de la formación, permiten la adecuación curricular a las necesidades regionales (ibid). «Los conte­nidos transversales surgen de los proble­mas de gran dimensión que afectan actualmente a la sociedad peruana y de­mandan por ello una atención prioritaria ya que forman parte del conocimiento cotidiano y por tanto de las experiencias previas de niños y niñas .. (ibid).

Con los materiales de la serie .. Maremáti­ca Intercultural. queremos aportar al de­sarrollo del contenido transversal de la intercu/turalidad en el área de la matemá­tica. La interculturalidad como dimensión pedagógica está considerada como un pro­ceso dinámico que permite construir re­laciones más equilibradas, basadas en el respeto y el diálogo entre acrores y actoras de diversos universos sociales y culturales coexistentes en el Perú. La diversificación y la contextualización de los contenidos de la matemática tienen que romar en cuenta, para desarrollar el enfoque de la interculturalidad, por lo menos las tres regiones naturales y culturales del Perú: la Sierra, la Cosca y la Selva. El proceso de la

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Inlroducción

Motemát i co ondino --------------------------

contextualización tiene que desarrollarse en un Irabajo muy preciso y detallado, y tratat de evitar la representación y la per­petuación de estereotipos sobre estos con­textos culturales diferentes.

El presente libro tiene como objetivo con­tribuir a la elaboración de materiales para la enseñanza de la matemática en un con­texto específico, como es el de la zona andina con sus aimarahablantes y quechua­hablantes. Cumplir con esa tarea nos lle­va al fondo de la ernomatemática de este contexto cultural, aquella que se halla den­tro de la visión andina del mundo, y que se puede encontrar como una matemáti­ca cotidiana en las comunidades. Otro rero para la contextualización es el desa­rrollo de los contenidos matemáticos en una relación estrecha con los programas curriculares de la primaria. También hay que orientar la conceptuación de los ma­teriales con los otros objetivos generales de la reforma educativa peruana, con el enfoque del constructivismo y con la in­tegración de áreas. Así logramos que el desarrollo del área de la matemática pue­da ser coherente y adecuado, dentro de las grandes líneas de la reforma.

El seminario-taller sobre matemótica ondina

El curso "Pensamiento matemático andi­no» se llevó a cabo del 23 al 27 de agosto de 1999 en la ciudad de Huancayo. Parti­ciparon 26 profesores de matemática de los [SP del Centro, de los departamentos de Apurímac, Puno, Ayacucho, Huanca­velica, Huánuco, Junín, Pasco, integran­tes del Plan de Modernización.

La fundamentación teórica del curso ha sido la siguiente: "Tanto en el Currículo de Formación Docente (1996), como en el Currículo de Formación Docente EB[ (1993) se pone mucho énfasis en la ense-

a

ñanza de la matemática a partir del con­texto social, cultural y lingüístico especí­fico regional. Estos contexros culrurales deben asumirse como un reto para la en­señanza de las matemáticas: tanto en la selección de los contenidos como en la aplicación de una metodología adecuada. Es entonces importante proponer a los ¡SP del Centro, meramente localizados en la sierra andina, una metodología para la rea­lización de la enseñanza de la matemática tomando en cuenta el contexto andino».

Los objetivos principales del taller fueron:

• Trabajar algunos conceptoS claves so­bre el pensamiento andino y la mate­mática andina: sistemas numéricos, tiempo, espacio, geometría y dinero.

• Proponer una metodología para la en­señanza de los números y de las opera­ciones básicas, de acuerdo con el Currículo de Formación Docente para la matemática y tomando en cuenta el contexto andino.

• Acercarse al término de la "intercultu­ralidad» y diseñar lineamientos para el trabajo de este contenido transversal en la matemática.

• Presentación de materiales y experien­cias en matemática interculrural de di­versos ¡SP del país.

• Producción de unidades didácticas en un proceso colectivo.

Para la programación del seminario se ela­boraron módulos didácticos sobre conte­nidos como: ¿qué significa interculturali­dad según el Currículo de Formación Docente?, la teoría andina de los números (concepros claves, comparación de siste­mas numéricos, ejemplos para la aplica­ción didáctica), el concepto andino del tiempo (apuntes teóricos y consecuencias didácticas), el concepto andino del espa-

cio y su representación en dibujos e imá­genes, acercamiento a la geometría indí­gena, presentación de diferentes materia­les educativos, la artesanía local y su utilización en la matemática, e! concepto andino de! dinero, elaboración de mapas conceptuales, planificación de la elabora­ción de una unidad didáctica sobre un tema de la matemática andina (trabajo a distancia) .

La metodología empleada para cada tema fue la siguiente: después de un resumen breve de! contenido, de la pregunta o de! problema central de la unidad, se desarro­llaron tres pasos: (1) Presentación de ejer­cicios, ejemplos o dinámicas para entrar al tema de la unidad. Trabajo en gtupOS y exposición de los trabajos grupales. (2) Exposición participativa del tema, concep­to o enfoque teórico para la ampliación del problema y tener un punto de partida para las reflexiones respectivas (entrega de separatas o de materiales). (3) Ejercicios de aplicación (trabajo en grupos): Conse­c.uencias, sugerencias o ideas para la prác­tica escolar. Presentación de los trabajos grupales, discusiones y comentarios en e! plenario.

De acuerdo con la evaluación de! semina­rio- taller (con ficha) la mayoría de las per­sonas que participaron consideraron bueno o muy bueno este evento. Se cali­ficó como importante e! trabajo sobre la re!ación de la interculturalidad con e! área de la matemática. Se consideró como va­l~osa la metodología implementada, con­sistente en presentar materiales y ejemplos, reflexionar sobre las experiencias, ampliar e! tema con aspectos teóricos y trabajar so­bre su aplicación en los ¡sr. Se calificó como muy buena la entrega de materiales didácticos para su implementación yapli­cación en los ¡sr. Se consideró como no­vedoso e! tema de la matemática andina.

Elaboración de unidades didócticas como trabajo de distancio

En e! seminario-taller se centró e! interés en la elaboración de algunos conceptos claves sobre e! pensamiento y la matemá­tica andinos. Surgió la idea de aprovechar e! seminario para la elaboración de uni­dades didácticas sobre estos mismos te­mas, en un proceso colectivo con los participantes. La elaboración de unidades didácticas sobre un tema o concepto cla­ve del pensamiento (matemático) andi­no tiene como finalidad:

• contribuir a la contextualización de los contenidos matemáticos, tomando en cuenta la región natural y cultural de la sierra andina para desarrollar e! en­foque de la interculturalidad;

• contribuir, a partir de! enfoque de la etnomatemática, a la elaboración de materiales didácticos para e! contexto específico de las personas quechuaha­blantes, entrando al fondo de la etno­matemática de este contexto cultural ya la visión andina de! mundo, a los concepros claves de! pensamiento an­dino respecto a la matemática, yal uso cotidiano de la matemática en las co­munidades;

• contribuir a la integración de la mate­mática con las demás áreas.

A los participantes en e! curso se les pre­sentó una propuesta didáctica sobre un tema matemático de! contexro andino, y la analizaron para desarrollar sus propias categorías e ideas sobre cómo se puede elaborar una unidad didáctica, integran­do áreas. Después seleccionaron un tema sobre e! cual querían trabajar en sus ¡sr. Se formaron grupos de trabajo integran­do diferentes materiales, e! plan de traba-

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Introducción

Matemótica andina

jo y la programación curricular. Las in­vestigaciones y la elaboración de las uni­dades didácticas se realizaron durante el año académico 1999. La redacción final de los informes para su publicación ha es­tado a cargo de mi persona. De los mu­chos trabajos interesantes hemos debido seleccionar algunos, pues lamentablemen­te no nos era posible publicar rodos. Para mí ha sido un gran honor y enorme pla­cer la realización del trabajo de recopila­ción, sistematización y edición de estas valiosas experiencias de investigación.

Así, en la primera parte del libro (módu­los 1-5) presentamos los materiales ela­borados y entregados en el curso

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mencionado. La segunda parte (módulo 6) recopila algunos de los trabajos realiza­dos en los Institutos Superiores Pedagó­gicos. Concluimos con una lista de temas matemáticos del contexro andino ya pu­blicados en otros libros de la misma serie. Espero que este libro facilite el acercamien­to sistemático a la Matemdtica andina, que los materiales metodológicos y teóri­cos incluidos permitan la creación de nue­vos proyectos de investigación, y que las experiencias de los maestros y las maes­tras nos motiven para la realización de otros estudios.

Joachim Schroeder Lima, agosto de 2000.

Algunos conceptos claves del pensamiento matemótico andino (Módulos 1-5)

Yupny -Número

Después de la lectura de un texto básico se presentan algunos sugerencias didácti­cas y se aborda el reto que representa la enseñanza de las matemáticas en la educa­ción bilingüe.

A. Texto bósico*

Sistemas de numeración

Fuente: Montoluiso Chosiquiza, Luis. 1988. Comunidod, escuelo y currículo. Sontiogo de Chile: UNESCO/OREALC , p. 45· 52.

Las primeras ideas desarrolladas en el cam­po matemático han sido la cantidad, la proporción, la agrupación, el aumento, la disminución, la repetición, la distribu­ción. A partir de ellas se han tomado las medidas de tiempo, espacio y masa.

Según las circunstancias que le ha tocado vivir a cada culrura, se han ido creando términos para designar estos elementos de las matemáticas. Como ejemplo de la ma­nera específica de organizar las cantidades, se analizará el sistema de numeración o la forma de numerar de algunas culturas. Ello mostrará que algunos pueblos sólo han requerido contar hasta veinte o me­nos, mientras que otros han llegado hasta millones.

Después, se presentarán algunos instru­mentos utilizados por los indígenas para el cálculo, la manera de calcular de los

analfabetos y el reto que representa la en­señanza de las matemáticas en la educa­ción bilingüe.

Toda cultura ha desarrollado un sistema para cuantificar y medir los elementos im­portantes para ella.

En lo que respecta a los números, los pue­blos indígenas han elaborado sus sistemas de numeración desde tiempos muy anti­guos. Para ello, han creado palabras para cada número, o se han ayudado con las manos, con los pies y con el concepto de «veces»,

Hay culturas que han tenido un sistema numérico de base 10 (decimal), como la quichua; otras que han tenido un sistema de base 20 (vigesimal), como la maya; y otras han combinado varios sistemas, to­mando como referencia el cuerpo huma­no.

Es muy importante empezar a reflexionar como los números se expresan en la len­gua, para descubrir el sistema que los sus­tenta y así desarrollar un programa de enseñanza de las matemáticas más adecua­do.

En este roxto básico y los siguientes se utilizan

variantes diferentes del quechua peruano.

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Yupoy· Número

Molemó l l(O ondino

1 2

3 4

5 6 7 8 9 10

Para ampliar la visión sobre las diferentes maneras de numeración, se harán a conti­

nuación varios ejemplos extraídos de di­ferentes culturas.

Empezaremos con los números de 1 a 10 en la lengua candoshi, pueblo indígena de la AmazonÍa petuana, en la lengua qui­chua del Ecuador y en castellano.

CANDOSHI QUICHUA (Ecuador) CASTELLANO

1 minamta shuc uno

2 tsibono ishcai dos

3 tochpa quimsa tres

4 iponponaro chuscu cuatro

5 zamiatpata pichca cinco

6 minam matayaro sucta seis

7 tsibon matayaro canchis siete

8 tochip matayaro pusac ocho

9 iponponaro matayaro iscun nueve

10 chunka o koviz iptaro chunca diez

Si analizamos los números de 1 a 10 de cada lengua, podemos notar lo siguiente: el quichua y el castellano tienen una pala­bra diferente para cada número, mientras que el candoshi llega hasta 5, después vuel­ve a repetir los números 1-2-3-4 añadien­do la palabra matayaro.

También se observa que el candoshi utili­za para el número 10 un préstamo de la lengua quichua, u otra expresión que sig­nifica «con IOdos los dedos de las manos».

La numeración maya es un sistema vigesi­mal, cuya base se refiere al mismo hom­bre. El número 20 resulta del conteo de los 20 dedos que tiene el hombre; pode­mos decir, entonces, que es la base cientí­fica de la numeración maya, porque en la mayoría de los idiomas mayas, hombre se dice winaq y el número veinte se dice winaq también.

Como podemos notar, la lengua aymara, presente en Perú, Bolivia y Chile, presen­ta algunos términos que son similares a los del quechua (tres, cinco, seis y diez).

AYMARA (Bolivia) QUECHUA (Bolivia) CHACHI (Ecuador) WAO (Ecuador)

maya uj main aruke paya iskay pallu mea kimsa kinsa perno meagoaruke pusi tawa taapallu meagomea phisqa phishqa manda emenpuke suxta suqta manchismain emenpuke goaruke paqallqu qanchis manchispallu emenpuke gomea kimsaqallqu pusaq manchis perno emenpuke meagoaruke IIátanka jisq'un manchis taapallu emenpuke meagomea tunka chunka paitya tipenpuke

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Otra particularidad de esta lengua es que el 7 Y el 8 están formados sobre la base de los números 2 y 3 (pa- y kimsa), seguidos

por la palabra qallqu. Por eso, algunos autores han opinado que tal vcr antigua­

mente en esta lengua 5 se decía qallqu y después, con la influencia del quechua, se inttoducido el phisqa. En realidad, esta hi­pótesis no está demostrada, sin embargo se puede suponer que qal/qu significaba algo que expresaba las cinco unidades. Ten­dríamos así:

7 = paqallqu : 2 + algo para expresar 5 8 = kimsaqallqu: 3 + algo para expresar 5

1 oruke 2 me 3 meo go oruke -4 meo go mea 5 emenpuke 6 emenpuke go aruke 7 emenpuke go mea 8 emenpuke mea go oruke 9 emenpuke mea go mea 10 tipenpuke 15 tipenwo

El número 9, en cambio, está formado de la partícula lla seguida de tunka (dicr). Es probable que llatunka quiera decir «casi dicr» y que lla sea una transformación de mya (que significa casi).

Estos detalles parecen mostrar que el idio­ma fue decimalizado sobre la base de al­guna forma antigua de organizar los números, que no fue precisamente la de­

cimal (posiblemente una de base 5).

Trataremos de explicar ahora la numera­ción de la cultura wao de la Amazonía ecua­toriana.

2+1 2+2 5 (mono izquierda) 5+1 5+2 5+2+1 5+2+2 10 (mano derecha) 10+5 (dos manos y pie izquierdo)

20 emenwoke 20 (dos manos y dos pies)

Como se puede observar, el sistema de numeración está basado en las manos y los pies, comenzando por los izquierdos en su orden. Existe también la idea del par subyacente en el sistema.

1 2 3 .. 5 6 7 8 9

main poI/u perno taapal/u manda manchis mal/u monchis poI/u manchis perno manchis taapal/u

2+2

5+1 5+2 5+3 5+4

En la lengua de la cultura chachi de la cos­ta ecuatoriana se ha organizado el sistema de la siguiente manera:

10 paitya 5x2 (pai= 2 y tyapa = pedazo, extremidad) 20 mancho'jura 1 x-4x5 (man = 1, cha' = persona, lura = bulto.

La persona estó constituida por cuatro extremidades de 5 dedos cada una).

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Yupoy Número

MalemÓl i co andinD

Estos pocos ejemplos nos dan una idea de las diversas formas como los indígenas han organizado la numeración y de las difi­cultades que se pueden presentar para ma­nejar números con muchas cifras y cantidades muy altas. También nos dan idea de la asociación entre conceptos nu­méricos y lengua. En Costa Rica, por ejemplo, en las lenguas bribri y cabecar, el número se asocia a la forma, ramaño y masa del objeto. Así, 5 casas, 5 palmeras y 5 naranjas se dice de manera diferente, a pesar de ser siempre el número 5.

Trararemos ahora de analizar más deteni­damente el sisrema numérico qllichlla o qllechlla que, como ya lo hemos dicho, es esrrictamente decimal.

En esra lengua hay nombres diferentes para cada uno de los números de 1 a 10.

CASTElLANO

11 once (1 y 10)

12 doce (2 y 10) 13 trece (3 y 10)

14 catorce (4 y 10) 15 quince (5 y 10)

16 dieciséis (10 Y 6) 17 diecisiete (10 Y 7) 18 dieciocho (lO Y 8) 19 diecinueve (10 Y 9)

Como podemos notar, en el idioma cas­tellano, hasta el número quince nombra­mos primero a las unidades y después las decenas, A partir del númeto dieciséis, an­teponemos las decenas y después nombra­mos las unidades.

Por el contrario, en quichua las unidades siempre siguen a las decenas para los nú­meros del diez al dicienueve. Por eso, un

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A partir del 1 O, hay un nombre para cada una de las porencias de esta base:

JOI 10 chunca 102 100 patsac 10-' 1.000 huarancn 10" = 1.000.000 junu

Este sisrema decimal quichua facilira enor­memente la enseñanza de la escritura de los números a los niños y adulros, así como las operaciones matemáticas. En tanto que el español, al igual que el inglés, el fran­cés, el portugués, el alemán, ete., no re­presentan el sistema dec i mal de una manera tan clara.

El castellano, para los números a partir de 10, no tiene regla de composición fija, sino que presenta algunas irregularidades como se observa en la rabIa siguiente:

QUICHUA (Ecuador)

chunca shuc (10 y 1)

chunca ishcoi (10 Y 2) chunco quimso (10 y 3)

chunco chuscu (10 Y 4) chunco pichco (10 y 5)

chunco sudo (10 Y 6)

chunca conchis (10 y 7)

chunco pusoc (10 Y 8) chunco iscun (10 Y 9)

niño o una niña quichua tiene mayor di­ficultad con los números en castellano, que un niño o una niña casrellanohablan­te. De hecho, al comienzo, los niños y las niñas que hablan castellano se confunden y dicen . diez y uno .. , . diez y dos .. , etc. En la cultura quichua no hay posibilidad de confusión porque existe una sola regla para la composición de los números. Esra re­gia es la siguiente:

A panir de diez, cuando un número está antes de diez se

multiplica por dicha potencia y cuando está después, se suma.

Ejemplo: Quichua (del Ecuador)

29 = ishcai chunca iscun 2 x 10 + 9

El niño y la niña quichua distinguen de

inmediato que en 29 hay dos 10 (dece­nas) y nueve unidades, mientras que el niño y niña no indígena no lo hace.

La misma regla se observa también en el aymara.

Ejemplo: Aymara (de Bolivia)

17 = tunka paqallquni 10 + 7

243 = pa patak pusi tunk kimsani 2x 100+4x 10+3

A partir de estos ejemplos nos podemos dar cuenta de la conveniencia de enseñar las matemáticas a niñas y niños a partir de su idioma materno. De otra manera, se obstaculiza el desarrollo del pensamiento

matemático del niño o la niña, puesto que los sistemas numéricos de su lengua ma­

terna y aquel del castellano pueden estar basados sobre dos lógicas distintas.

B. Sugerencias didócticos

En las siguientes propuestas didácticas se pone énfasis en ofrecer a lasllos estudian­tes la posibilidad de reflexionar un poco sobre lo que es un sistema numérico y con qué términos científicos (lingüísticos) se

le puede describir. El texto básico se pue­de utilizar como fuente de información y/o para elaborar una separata que esté a su disposición y agregamos algunas hojas de trabajo como material complementa­

rio. Es importante partir de los idiomas

(los vernáculos o el castellano) que habla nuestro alumnado, y siempre relacionarlos con nuestras reflexiones en el aula.

Descripción y comparación de sistemas numéricos

Se presenta a lasllos estudiantes una hoja de ejercicio que muestra algunos núme­ros de I a lOen diferentes idiomas (ver hojas de ejercicios I y 2):

l. Escriben los números en su propia len­

gua materna y en castellano (hoja 1).

2. Observan los sistemas de numeración y articulan sus observaciones al com­parar estos sistemas diferentes (hoja 2).

3. Tratan de formular reglas en cuanto a

la estructura lingüística de cada uno de los sistemas, en un trabajo grupal.

Ejemplos: • En castellano hay diez palabras di­

ferentes para los diez primeros nú­meros.

• El sistema wao tiene como base el cinco.

4. Después formulan observaciones a la comparación de los sistemas entre sÍ.

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Yupoy - Número

¡,; a

~

" Caltbili Soo ~ I~ a

a

minomfa arvke teó maño I~ ~

a

2 l$ibono meo eayaye

3 tachpa meogoaruke foasoñe

4 Ipanpanaro meogomeo ea;ese

.... 5 lamlatpota emenpuke te'e;ete

6 minam mafayaro emenpuke goorvke yeque te "te e;otupe

7 tsibon motoyoro emenpuke gomeo e¡otupe quena maca ayo

8 machip motoyara emenpuke meagooruke ¡opoayo

9 iponponoro ma/oyara emenpuke meagomeo ¡apeayo quenamaco ayo

10 chunka tipenpuke si"a;ena

Yupay - Número

N o 8

17

Motemótico ondina ------ ------------------------------------------------------------

Tablo W' 1

Ejemplos: • En el aymara y quechua las palabras

para el 3, 5, 6 Y lOsan parecidas. • El candoshi uriliza un préstamo lin­

güístico del quechua para el 10.

5. Se recogen los términos urilizados por los alumnos y las alumnas para la des­cripción de los sistemas numéricos, se aclara su uso correcto y se explica el significado.

Ejemplos: • Sistema numérico - números -

numeración - neonumeración. • Familia lingüística - estructura lin­

güística - préstamo lingüístico. • Número - cifra - signo - símbolo.

Introducción a términos lingüísticos básicos

A partir de los propios términos uriliza­dos por los alumnos y las alumnas pode­mos explicar y discutir algunas definiciones para la descripción de un sis­tema numérico (ver tabla N° 1) Y les pe­dimos ejemplos para cada uno de los términos y sus definiciones. Se puede tra­bajar en cooperación con el área de co­municación, para aclarar los términos lingüísticos y comparar sus significados.

Se estudia el significado de las palabras o de los términos para designar los núme­ros y se trata de llegar a un análisis más profundo del sistema numérico propio y hablado por los alumnos y las alumnas. Damos un ejemplo del idioma chachi para adaptar este modelo al quechua o ayma­ra, los idiomas andinos.

DrrmkigC Definición

Cifra

Polinomio numérico

Lexema numérico

Sintagma numérico

Operador de coligación

Símbolo con el que se expresa un número.

Conjunto de cifras que representan un número.

Palabra del lenguaje natural con la que se expresa una cifra.

Conjunto de lexemas numéricos y operadores de coligación con los que se expresa un número cualquiera.

Palabra que expresa agregación o sustracción de un lexema numérico respedo al otro.

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Los nombres del sistema numérico cha­

chi (ver tabla N° 2) expresan su origen basado en el padre y en la madre, y en las partes del cuerpo humano. Los números del 3 al 5 se forman mediante un sistema de multiplicación: el 3 (pema) se forma de multiplicar 3 (pe) por 1 (main). El 4 (taapallu) se forma de multiplicar 2 (taa)

veces el 2 (pallu). El 5 (manda) se forma de repetir 1 (ma) vez el 5 (nda), manda significa mano.

Tabla N° 2

Los números del 6 al 9 se forman me­

diante de un sistema que suma al núme­ro 5 (mano, que ya existe) los números del 1 a14. Si recurrimos a la composición del léxico numeral encontramos que al morfema man (5) se le adhiere el térmi­no: chis, que significa agregar y los corres­

pondientes nombres de los números del 1 a14.

El número 10 (payta) se forma de multi­plicar 2 por 5. La formación de números

Yupay Número

Nombre 80 chochi Eslrudurtl da formación

main ma = una sola madre in = junto a

2 pallu (apa)pallu = dos padres 2

3 pema pe = hacer tres veces 1x3 ma (in) = una mamá

4 taapallu taa = hacer dos veces 2x2 (apa)pal/u = dos padres

5 manda ma(in) = una mamá 5xl nda = hacer cinco veces

6 manchismal/u man = cinco 5 + 1 chis = agregar mal/u = uno

7 manchispal/u man = cinco 5+2 chis = agregar poI/u = dos

8 manchispema man = cinco 5+3 chis = agregar pema = tres

9 manchistaapal/u man = cinco 5+4 chis = agregar taapal/u = uno

10 paitya pa(l/u) = dos 2x5 tyapaa = pedazo de' extremidad

19

Molemólico oodioo

del 11 al 19 se determina sumando al número 10 los números dell al 9.

Elaboración de una sistematización sobre el idioma vernáculo

Después del detallado análisis de diferen­tes sistemas numéricos, en cuanto a sus

aspectos lingüísticos, etimológicos y es­tructurales, se puede llegar hasta la elabo­ración de una sistematización completa.

La tabla N°3 ofrece un esquema o una guía metodológica para e! desarrollo de la sistematización: se inicia con la documen­tación de la numeración oral y de las for-

Tabla N° 3

mas de! registro de cantidades. Por ejem­plo: cómo se cuenta con las manos, qué se utiliza para representar cantidades (uchu, piedras, lana). Luego viene e! aná­lisis lingüístico de los números (estructu­ra lingüística, análisis de los préstamos lingüísticos y de los neologismos). Si existen formas gráficas, simbólicas o es­critas para expresar cantidades o núme­ros, se elabora una descripción (ver módulo 2: Khipu-Signos). Se completa la sistematización con la descripción de las reglas de composición y descomposi­ción, y de las operaciones básicas. Al fi­nal se resume la sistematización con algunas observaciones sobre la lógica ma­temática.

Esquemo poro lo sistematizodon de un sistema numérico

Descripción del sistema de numeración oral.

2 Registro de cantidades.

3 Análisis etimológico de los números.

4 Préstamos lingüísticos de otras lenguas.

5 Neologismos.

6 Estructura de formación.

7 Representaciones mnemotécnicas, signas, cifras.

8 Reglas de composición.

9 Posibilidades de descomposición.

10 Cálculo mental.

1 1 Agrupación de objetos.

12 Operaciones básicas.

13 Lógica matemática.

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KhipJL: Signos

La cosmovisión de las culturas andinas tie­ne su fundamento en una matemática ri­tual o simbólica. La matemática está conceptuada como otro medio de repre­sentación y recreación del orden cósmico. No hay sociedad sin creaciones mitológi­cas, prácticas rituales y representaciones iconográficas. Mientras que el mito pre­senta el orden de la sociedad, el rito lo ac­tualiza y el icono lo iluma. Enunciar el mito, celebrar el rito y fijarlos gráficamente son formas de perpetuar el orden. Así, hacer operaciones de cálculo y construcciones geométricas no tiene un sentido solamen­te funcional y técnico, sino que también intenta expresar una panicular visión del mundo.

En este módulo presentamos una intro­ducción a la numerología andina y al sig­nificado de algunos símbolos numéricos y explicamos las forma~ de representar can­tidades gráficamente, lo que nos permite entrar al mundo de los números rituales andinos.

A. Texto bósico

Numerología andina

Fuente: Mironda-Luizago, Jorge. 1996. Filosofía andino. Fundamentos, alteridad y perspectiva. La Paz, HISBOL, pp.27-44.

Sillares de la filosofía cosmológica andina

Nas preguntamos si la cultura andina co­noció y utilizó un ordenamiento cósmi­co, si creó una filosofía cosmológica; si los tuvo ¿qué signos utilizó para documen­tar estos conocimientos?

Los signos numéricos rituales fueron los instcumentos con los cuales se registró este conocimiento y están ampliamente docu­mentados por hallazgos arqueológicos de roda índole, por el arte textil andino ar­caico y contemporáneo; además, otras fuentes utilizaron y utilizan dichos signos.

El significado filosófico de esros signos es un estudio que tiene que documentarse con otras fuentes, que esta vez son: el idio­ma, sus traducciones etimológicas, los mitos, la tradición oral y las crónicas de la época colonial.

Un miro recopilado en la región del lago Titicaca y documentado fragmentaria­mente en diferentes trabajos de investiga­ción nos servirá de argumento para demostrar los enunciados que emanan de la filosofía numerológica, y lo presentare­mos como fundamento de la temática del presente trabajo.

Lamentablemente los mitos andinos han sido cercenados, arbitrariamente fragmen­tados y sufrido la inquisición de la reli­gión intolerante que los conquistó. En­tonces, lo deplorable de la recuperación

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K h i P u Siqnos

Motemótico ondino

de estos mitos es que se han rescatado m uchos, peto han sido depurados de todo lo que no les servía a los intereses hege­mónicos y a la «misión» imperialista, en­

venenados de poder, de los conquistado­res. Esto significa que la mitología andina que conocemos es parcial y fragmentada por intereses creados de destrucción cul­tural.

La tradición oral ha mantenido muchos mitos, peto sin los elementos fundamen­

tales de su esencia, cercenados no sólo por la intolerancia religiosa, como ya lo diji­mos, sino también por el transcurso del tiempo.

Antropólogos, como Lévi-Strauss, han recuperado y estudiado los mitos, pero sin

llegar a la conformación de un corpus mítico, donde se pueda integrar los frag-

I

mentos para tener una mejor y total vi­sión del contexto mítico andino y/o ama­zónico.

El trabajo que venimos realizando por más de cinco años tiende a la reconstrucción de mitos a partir de los fragmentos exis­tentes. El grueso de nuestro trabajo se orientó a la reconstrucción de un mito fundamental del génesis andino, que pu­dimos recuperar fragmentariamente des­de la región de la Patagonia hasta la Amazonía, donde encontramos diferentes acepciones pero el mismo mensaje.

El centro geográfico de este mito es el área del lago Titicaca en sí y su periferia, la zona circunlacustre. El mito del génesis andino que pudimos restaurar de forma coherente

reza de la siguiente manera:

GENESISANDlNO

En la oscuridad de los tiempos, Ch' amak Pacha, Era de tinieblas.

Allí donde todo cohabitaba un solo espacio ilimitado, Sol y Luna en la inmensi­dad de la soledad que los acompañaba, buscaron en el fuego del amor, que nació ante la sola presencia de ambos, saciar aquel anhelo que los acosaba.

Ese amor pasional tenía que ser fugaz, pues el ordenador del espacio sideral (Pa­chakhamak) no permitirá generación alguna en un estado donde la efectividad del Sol y la melancolía de la Luna iban a perturbar a un mismo tiempo a aquellos seres que poblarán un mundo futuro.

Ese mundo futuro: la tierra (Pachamama) se interpone al amor del Sol y la Luna, generando así el día y la noche en un mundo que sentirá calor y frío, alegría y tristeza, vida y muerte, a lo largo de su existencia cíclica en el devenir de los tiempos.

El Sol resignado a su destino busca solucionar la ausencia de su amada Luna con fortuitos amores que se le presentan en el azar de la vida.

La Luna, en ausencia perturbada, no concibe aquella separación y desconsolada­mente llora por muchas noches y días, ocasionando así el primer y único diluvio andino.

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Las lágrimas cuajadas de cristalina tristeza son albergadas en la Tierra y generan 01 lago sagrado de los Andes: el lago Tieicaca.

Pasaron muchas décadas o quizás siglos que vivían para sí en soledad sentida: Sol y Luna.

Fue así como el Sol quiso dar fin a la oquedad que regla el universo y decidió encontrarse con ese primer amor que todavía quemaba sus entrañas: la Luna, y volver a sentir nuevamente el calor que los había unido en el amanecer de los tiempos, aun cuando ese encuentrO sea solamente por algunos instantes.

La Luna, dolida aún, no podía concebir esear nuevamente frente a frente con aquel ser que amaba todavla.

Ella evitaba ese encuentro recogiéndose lo más eemprano posible a sus aposentos de ausencia y desconsuelo.

El Sol buscaba a toda costa poder encontrarla, amaneciendo cada día más tempra­no, con la esperanza de volver a reflejarse en aquellos ojos azabaches, donde la melancolía fue el origen de esa necesidad de vida.

Por aquellos azares del destino, después de tanto tiempo de desesperada búsqueda y encuentros fallidos, la Luna se atrasó unos instantes en el horiwnte de esperanza que dibujaban las montañas de la cordillera.

El Sol acababa de salir regalando luz a la Tierra, en un calor de entrega desintere­sada.

Ese instante.

Aquel instante siempee soñado, aquel instante que ayer fuera imposible, hoy se convierte en realidad.

Allí estaban nuevamente frente a frente, en el universo.

La Luna reflejaba su faz en las crisealinas aguas del lago, otras lágrimas de descon­suelo por olla vertidas.

El Sol, embellecido por aquella imagen amada, logró por un inseante detener su coticliano viaje por el firmamento.

Son sus imágenes reflejadas en la lago sagrado de los Andes (lecho preconcebido) que, en abraw infinito, logran en ese anhelado momento de unión fecundarse en inconmensurable dicha.

Cuentan nuestros antepasados que cada vez que las imágenes del Sol y la Luna copulan en las aguas sagradas dd lago, se genera la fuerza vital (Wira) que dio origen y hoy regenera y consolida nuestras vidas en el devenir dclico del génesis andino.

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Khipu· Si gno s

Matemótica andina

Volviendo al contexto filosófico. pode­mos decir que el ordenamiento de las es­pecies en el pensamiento andino se entiende como un ordenamiento basado en la reflexión.

Mediante ella todas las especies y objetos (individuales) obtienen un lugar en el es­pacio-tiempo del mundo andino (Pocha).

Esta reflexión del orden cósmico utiliza signos matemáticos de ordenamiento. que se diferencian fundamentalmente de la numeración arábiga utilizada hoy en día. porque en sí son ya una construcción matemática. Además. el ordenamiento numérico andino considera una compleja interrelación de contenidos:

• Principio cósmico. • Contenido filosófico (concepto). • Signo cosmológico.

El sentido de la numeración cosmológica con progresión numérica del uno al cin­co. podemos considerarlo como la doc­trina del génesis andino. Este génesis no es una simple creación. sino una emana­ción progresiva e infinita de generación de vida a partir de una primera unidad.

Los números sacros del uno al cinco son pasos fundamentales de dicha emanación y cada número manifiesta un plano de realización concreta.

Todos estos planos juntos. por interrela­ción. forman el concepto de «realidad an­dina» en sí concluida. pero no finalizada en el proceso evolutivo de la humanidad. La realidad andina está configurada por las cinco cualidades numérico-filosóficas. que son los fundamentos de la vida como tal.

Ahora bien. ¿en qué relación se encuen­tran los planos o esferas de la realidad? Estos planos o esferas se encuentran en una relación análoga. Entonces. todo lo que

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existe en un plano será analógicamente re­plicado en el plano subsiguiente. bajo dos conceptos fundamentales. y son la ley de relatividad y la ley de analogía que se defi­nen de la siguiente manera:

• LEY DE RELATIVIDAD ANDINA: Toda réplica entre planos y/o esferas se rige bajo el principio de relatividad. por el cual nunca serán iguales sino única­mente similares en su contenido con­ceptual. bajo un sistema simbólico sincrónico. en el que la energía poten­cial es representada por el Sol. y que. a su vez, tiene sus correspondencias: -la estelomorfa (la constelación de

Orión). - la zoomorfa (el cóndor). -la fitomorfa (el maíz). - la geomorfa (los ochochila de las

montañas). y - la humanomorfa (hombre).

La energía dinámica es representa por la Luna. y sus correspondencias son:

- la estelomorfa (la constelación Cruz del Sur).

-la zoomorfa (el puma). -la fitomorfa (el cactus). - la geomorfa (apachita de las mon-

tañas). y - la humanomorfa (mujer).

• LEY DE ANALOGfA: En consecuen­cia. esta ley. bajo ese principio de rela­tividad. considera al microcosmo reflejo del macrocosmo. o en su ver­sión esorérica lo de abajo es como lo de arriba. y viceversa.

Entonces. analogía en el pensamiento an­dino es el factor generador del sistema y no se entiende como atributo o estructu­ra de formación lógica ni substancial en busca de una causa final.

Por las razones anteriormente discutidas. los números rituales andinos comprenden estados relativos a lo social, administrati-

vo, económico, etc. No son simples co­dificaciones numéricas, sino una necesi­dad cultural para reflejar estados dinámicos de procesos que transmiten el devenir del cosmos, expresado por el mis­terio de la vida. Bajo esa visión filosófica es que ahora podemos dedicarnos a expli­car los contenidos filosóficos de los nú­meros rituales andinos que devienen del mito genético andino.

PRIMERA CUALIDAD

La cualidad primera tiene el significado de «ser primogénito, causa única y el prin­cipio del cosmos por excelencia". Su sig­no es la abstracción de la espiral. La espiral es la forma básica de todo movimiento cósmico, comprendiendo su sentido as­cendente y descendente, respectivamente, que cumple la categoría de complemen­tariedad de opuestos. Yes la espiral el sig­no para simbolizar el inicio primigenio:

La primera cualidad no es cuantificable, lo uno todavía no es número. El uno ab­soluto es incontable, indeterminable e irre­conocible. Lo uno necesariamente sólo puede ser reconocido si existe «lo otro". Pero mientras la primera unidad no se di­vida, será la negación del todo y por ende de la vida.

El concepto de la primera unidad en sí es la representación del cosmos en su totali­dad y abarca la infinitud que se despliega en todas las direcciones:

• Como unidad en sí, su despliegue o di­latación es, en sí misma, hacia adentro.

• Como unidad en la dualidad, su des­pliegue es la reflexión recíproca e in­vertida de sÍ.

• Como unidad en la multiplicidad (en la trinidad, en la tetracidad, etc.), su despliegue configura la concepción del espacio-tiempo en la cultura andina.

De esa manera, la primera cualidad es la pre-manifestación del génesis. A partir de esta cualidad, las subsiguientes están defi­nidas por su posición en torno a la ema­nación generada por ella. Las cualidades numéricas se encuentran intrínsecamente unidas, pero mantienen su independencia y su posición con valoración propia.

La primera cualidad como tal no es ni número ni cantidad, obedece a la caracte­rística de blanco (jan-qu), que no es co­lor. jan-qu, traducido etimológicamente del aymara, significa sin energía, por ende sin color.

Finalmente, se desprenden de esta cuali­dad dos axiomas fundamentales de la fi­losofía andina:

• La unidad en sí únicamente se concibe en la multiplicidad (por lo menos en la dualidad).

• La unidad es imeparable e inconcebible fuera de la dualidad. La importancia de la primera unidad en sí reside en ser el motor energético en el proceso de emanación que se autogenera a partir del despliegue de las cualidades numé­ricas siguientes.

SEGUNDA CUALIDAD

La cualidad segunda es el impulso crea­dor manifestado, que se originó en la causa primera del ser primogénito y en el cos­mos como tal (comparar, en el mito del génesis andino, con la metáfora del Sol y Luna).

La filosofía europea no considera esta ca­tegoría filosófica; lo más cercano a este

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K h i P u Sianos

Matemático ondina ------------------------------------

enunciado lo encontramos en Platón, con su concepto de «dualidad indeterminada", o en algunas teorías metafísicas europeas que consideran al principio generador como algo que tiene que volverse en sí para ser productor.

En la actualidad el pensamiento netamen­te racional y las religiones monoteístas no aceptan la concepción de dualidad, por­que niega la omnipotencia de la unidad y considera a la totalidad inherente a la dua­lidad.

Esto significa que el todo sólo se expresa dentro de esta categoría como el par de opuestos complementarios, no anta­gonistas (complementariedad de opuestos, no antagonistas).

Profundizando en el pensamiento andi­no, diremos que esta cualidad representa el movimiento generador de la partición primigenia de la unidad en sí; y se ha sim­bolizado dentro de los números sacros an­dinos como la suma de la unidad en sí y su imagen reflejada:

La segunda unidad todavía no es la plura­lidad, ella pertenece a la esfera de la rotali­dad unitaria, pero introduce en el todo el movimiento. Mientras que la primera cualidad expresa la totalidad en reposo e inercia, y la segunda es la manifestación y

el impulso. De ese impulso del estado inerte es que se genera la primera parti­ción.

En una primera etapa se trata de una divi­sión interna (por esa razón se habla de partición aparente), porque todavía no se separa de la unidad total. El impulso pri­migenio genera la primera polarización in­terna de la primera unidad y ocasiona el

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despliegue de la imagen reflejada de la to­talidad.

El miro utiliza la metáfora del Sol como imagen y de la Luna como imagen refle­jada. ¿Qué, quién y cómo ocurre la re­flexión? La totalidad busca autorecono­cerse y lo hace por medio de la reflexión, originando su imagen reflejada como la diferencia complementaria de sí.

El pensamiento andino utiliza una re­flexión diferente y sui generis. Utiliza la reflexión en un espejo cóncavo, donde la imagen reflejada es el opuesto inverso de la imagen en sí. La reflexión no solamen­te produce la imagen reflejada, sino que también, después de liberar a la imagen reflejada, deja espacio a la segunda fuerza

cósmica: la imagen y la imagen reflejada.

Por esa razón la primera unidad busca su aurosacrificio. Ese aUlosacrificio tiene gran significado, pues ocasiona un retorno a la oscuridad, a la muerte y provoca la duali­dad de contrarios (luz y no-luz; positivo y no-positivo; negativo y no-negativo; el ser y el no-ser, el estar y el no-estar, ctc).

Al rcrornar la primcra unidad a lo incon­mensurable, al vacío (ch'lISa)' a un estado sin contenido, sin determinación, ésta se convierte en un punto de paso que rige lo estar y lo no-estar y es el nexo neutro en­tre los opuesros complementarios (tinku). Ese punto, donde retorna la primera cua­lidad, es un estado sin cuerpo, sin som­bra, sin atracción y sin límites.

Un aspecro importante del aurosacrificio de la primera unidad es también el des­pliegue de los elementos primogéniros:

• el elemento fuego ('lIma), • el elemento agua ('lucha), • el elemento aire (wari), • el elemento tierra (ti'li).

Estos elementos energéticos son energías o potencialidades de transformación y por ello tienen un gran significado en la ema­nación a partir de la primera unidad. Es­tos elementos primogénitos se encuentran en posición opuesta a la primera unidad, porque carecen de neutralidad. Allí don­de se encuentran juegan un papel decisi­vo, porque se confrontan, se conglomeran y aporran a la complementariedad de los opuestos.

Observemos el papel que juega el elemento aire en la reflexión de la primera unidad. El impulso primigenio de la primera uni­dad provoca el despliegue de la imagen y su imagen reflejada, ¿bajo qué circunstan­cias se realiza esa reflexión?, ¿dónde, cuán­do y en qué se reflejará la primera unidad?

En el universo, en la inmensidad donde espacio y tiempo no existen, se encuentra el escenario donde se genera la primera reflexión en el espejo-aire. Sólo el elemen­to aire puede cumplir con los requeri­mientos de esta primera reflexión que es a-espacial ya-temporal, a-causal. Para el pensamiento racional la presencia del ele­mento aire antes de la reflexión es una contradicción, ya que los elementos se ge­neran por la participación de la totalidad, es decir, por intermedio de la reflexión. Pero aquí estamos frente a un problema a-lógico para el entendimiento racional propiamente dicho. Yes la concepción de simultaneitÚui no secuencial, ni lineal, con el que opera el pensamiento andino a-cau­sal.

La simultaneitÚui es una noción que el pen­samiento andino considera como un pro­ceso de auténtica simultaneidad, en el que origen, causa y efecto se generan al uníso­no. Además, el despliegue de los elemen­tos obedece a una secuencia pre-concebida: el elemento aire aparece simultáneamente con los elementos fuego yagua, generan­do el escenario propicio para la reflexión. Estos elementos (fuego, agua y aire) con-

forman la primera trinidad andina, ori­gen de la concepción filosófica de la se­gunda cualidad.

Finalmente, la aparición del elemento tie­rra servirá para la reflexión de los elemen­tos fuego yagua (segunda trinidad generatriz) definiendo un espacio. es de­cir. que generará la localización de la se­gunda reflexión de las imágenes del Sol y la Luna. como reza en el mito del génesis andino.

Los elementos aire y tierra son energías de trans-substanciación intermediarias y los elementos fuego yagua son energías de trans-substanciación determinantes o con­secuenciales que se encuentran en un esta­do de oposición complementaria, for­mando dos pares de oposición: aire/tierra y foego/agua.

Estos dos pares de oposición forman la tetra-complementarietÚui del pensamien­to andino. Se entiende por tetra-comple­menrariedad al sistema lógico de rawnamiento no antagonista del pensa­miento andino. que se basa y fundamen­ta en el manejo de dos pares mínimos (uno intermediario y el otro determinante) para la conformación de un instrumento con cuatro elementos diferentes que. sin aislar a ningún elemento de análisis. logra con­senso. Especialmente la lógica andina uti­liza este tipo de inferencia. donde no se elimina al tercero (tercero excluido) y se logra hacer aseveraciones de verdad a par­tir de premisas dudosas o aparentemente no-ciertas para la lógica formal.

Entonces, el origen de la imagen reflejada produce la diferenciación de la totalidad en sus opuestos complementarios; este estado de diferenciación lo podemos con­siderar como la tendencia a la separación, al aislamiento, a la disolución, pero a la vez. se encuentra en re-sonancia con una relación de tendencia a la re-unión. al re­encuentro.

27

K h i P U Slgno\

Motemólico ondina

Las dos tendencias juntas (de separación y de unión) originan la tensión y la crisis que precede a toda creación. El mito uti­liza como metáfora el desconsuelo amo­roso y el momento de re-encuentro y unión.

En esta cualidad encontramos una expre­sión fundamental de la ley de analogía. El proceso de reflexión de la totalidad se repite en todo lo creado, hasta la expre­sión más ínfima de vida, es decir que todo se rige por esta categoría filosófica andi­na, ya que esta reflexión es dinámica y el ser reside en la totalidad.

TERCERA CUALIDAD

La tercera cualidad representa la creación individualizada de la primera dualidad ge­neratriz complementaria. Representa la vida (terrenal), la fuerza, el sonido y la manifestación material de todo lo crea­do; es por eso que cada forma y conteni­do concretos son parte de la creación y representan la unidad en la trinidad.

Esta cualidad es la expresión de la vida en sí: la humana, la animal, la vegetal y la mineral como géneto. Por analogía esa creación tam bién es generatriz: vida ma­terial es vida generadora de vida, que asu­me, a partir de la analogía por reflexión, las características generatrices de la primera dualidad.

Su signo se constituye a partir del signo del dualismo generatriz como base y fun­damento, más el producto de éste como espiral simple que se adhiere, generando, así. todas las especies en lo femenino y masculino, respectivamente:

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Aquí nos encontramos con la tercera re­flexión. donde lo masculino y/o femeni­no se refleja en su opuesto complementa­rio para que después de su individuación por género. aseguren la vida. Esta reflexión es un paso a lo concreto y experimenta una disminución energética que asegura la libertad de acción de los individuos para su propio desarrollo.

En otras palabras, la doble espiral en la tercera cualidad no solamente representa la dinámica primigenia, sino también su capacidad de creación para asegurar el de­sarrollo de la vida y la emanación cósmi­ca.

La creación andina no es un acto de vo­luntad de un dios creador y aislado de la vida, es un proceso de emanación. Por esa razón el pensamiento andino contiene un concepto de convivencia implícita con la creación, que se expresa con la categoría filosófica de convivencia de símiles o des­iguales.

La verdadera trinidad andina (como ente de transición de la dualidad a la cuaterni­dad, es decir a momentOS de equilibrio real) está profundamente arraigada en el pensamiento andino, y a continuación pre­sentamos algunos ejemplos:

TRINIDAD DIVINA: Willa (Sol), Quati (Luna) y Pachamama (Tierra).

TRINIDAD HUMANA: racha Ajayu (gran espíritu),jiskaAjayu (alma, espíritu encarnado o espíritu menor) y Jaanchi (cuerpo).

TRINIDAD FONÉTICA: vocales: I - A - U; consonantes: simples - aspiradas -glotilizadas.

TRINIDAD DE ESFERAS SACRO­CONCIENCIALES: Las esferas sacro­concienciales inician y fluyen de lo así llamado oscuro (no lumínico), estado de

frecuencias bajas, pasando por el estado vivencial momentáneo hasta e! estado lu­mínico o de alta frecuencia:

ALAX PACHA: esfera espacio-temporal lumínica.

AKHA PACHA: esfera espacio-temporal vivencial.

MANKHA PACHA: esfera espacio-tem­poral no lumínica.

Estas esferas son eminentemente concien­ciales y no consideran limitación de di­mensión estática, ni localización geográfica (la localización geográfica que comúnmen­te confunden con estos estados de con­ciencia tienen otra definición y a saber son: urqusuyu, taypi y umasuyu).

No tenemos que localizar estas esferas ni arriba ni abajo; ellas son en realidad esfe­ras de la capacidad de captación de la con­ciencia y su experiencia en torno a la naturaleza de la vida cósmica.

TRINIDAD DIVISORIA SACRO­GEOGRÁFICA (división de SIQ/):

Siqi principal (Qullana), Siqi secundario (Payana) y Siqi terciario (Kallau).

CUARTA CUALIDAD

La cualidad cuarta es el desenvolvimiento de la creación en la vida terrenal que co­rresponde al reino de la complementarie­dad luz y no-luz (juntamente a la complementariedad espíritu-materia) y se expresa simbólicamente por e! cruce de los espirales dobles o la sobreposición de dos signos opuestos de la tercera cualidad, que ya reúnen en sí ese par de complementa­riedades:

En esta cualidad se enfrentan los entes (creados) al mismo ptoblema que se en­frentó la primera dualidad: encontrar su opuesto complementario por medio de la reflexión, expresada en la pro-creación de su especie, pero esta reflexión, en el sen­tido andino, va más allá de sólo asegurar la existencia de la especie, se enfrenta a la situación de vida (y muerte) ya entablar dentro de la vida terrenal ordenamientos y estructuras sociales, conjuntamente con estados de complementariedad de con­ciencia e inconsciencia (intuición). Es de­cir, la cuarta categoría considera la concepción social y cultural esquemática de ordenamiento que rige hasta lo más in­significante de la vida exterior e interior de una especie o del ser humano, en busca de una armonía de relación con el todo.

Conocemos un gran número de manifes­taciones de esta cualidad: el Puyisuyu con sus cuatro provincias, las cuatro épocas cíclicas de evolución de! pensamiento an­dino: Ch'amal Pacha, época de inexperien­cia y búsqueda; Thuru Pacha, época de consolidación sedentaria; Khana Pacha, época de apogeo cultural y Kaxa Pacha, época de expansión y decadencia. Todas estas épocas se repiten en un proceso de ciclicidad y transformación de un nuevo orden, que el pensamiento andino lo de­nomina Pachakutik. Este ordenamiento cuaternario de la sociedad y de la huma­nidad tiene un sinnúmero de expresiones.

QUINTA CUALIDAD

En la cuarta cualidad nos hemos referido al proceso de la procreación de especies, pero e! pensamiento andino va más allá de esta necesidad pragmática y considera

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K h i o u Signos

Mol,mólico ondino

este proceso con mucho más profundi­dad, seriedad y cuidado. A esta pareicula­ridad acerquémonos primerameme de forma analítica:

La oposición comraria del par masculino/ femenino se fundamema en otra oposi­ción comradicroria del par mínimo de comenido esrar/no-estar (ser/no-ser) don­de aparecen los elememos primogéniros, es decir, donde ya se expresa la vida; esta mezcla de elememos está correlacionada con la dualidad positivo/negativo.

La oposición estar/no-estar no es un sim­ple paso de una oposición a orra (Taqi tIIpU ch'anta1Ul), porque la dimensión de la crea­

ción material no tiene la capacidad de ge­nerar por sí misma un paso neurral de oposiciones. Emonces, se ciene que recu­rrir al proceso de generación de la primera cualidad para realmeme realizar este acCO trascendemal de repetir la cteación como tal. Este estado de trascendencia creativa es la característica de esta cualidad.

Este signo se obtiene por medio de un coree transversal del símbolo de la doble espiral atravesando por el pumo de unión de la doble espiral o, de una manera más geométrica, del coree transversal de dos pi­rámides unidas por sus ápices. Estas re­presemaciones consideran la fuerza simétrica reflejada y concemrada en la unión de ambas (Tinku):

Ese pumo de unión, esa juma es el paso entre oposiciones conrradictorias. Enton­ces, tendremos que pregumarnos si esta quima cualidad reúne las características y las condiciones para transporearnos al es­tado de desindividuación de la primera cualidad.

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Previameme debemos hacer hincapié en que el pensamiemo andino utiliza la dua­lidad negativo-positivo sólo conside­rándola como la convergencia de fuerzas, y no tiene nada que ver con estructuras lógicas ni morales. La dualidad positivo/ negativo en este semido está ímimamen­te unida a las concepciones de vida mate­rial temporal y de mueree material. Todo lo que vive en oposiciones vive jumo con los diferemes matices de estas dualidades contradictorias:

Vida terrenal Claridad Arriba Derecha

muerte material - no-claridad - abajo - izquierda.

Situación que es considerada y reflejada en esta cualidad como comen ido y forma del encuemro con la fuerza vital primige­nia (Wira). Encomrarse con el paso emre oposiciones es una tarea que nos remoma a la pattición primigenia, donde la primera cualidad pasa al estado de no-ser, a la os­curidad; es decit, sacrifica su existencia y

cede la prioridad a las dualidades que re­girán la vida. Ese es el estado que se trata de alcanzar cuando uno se encuemra en el nexo o convergencia esencial y primige­nia. En el pensamiemo andino ese estado se conoce con la denominación Usnu, como localización geográfica vivencial de ese pumo.

La experiencia de ese estado vivencial es la máxima realización de la convivencia en totalidad divina, es el misterio de trans­mutación y tecomposición momemánea (tllkuyana) por medio del «éxrasis» (mus­

phata). En ese proceso cada ser vivieme tiene que experimemar el efecto de la transmuración y recomposición momen­tánea de la experiencia de la primera cua­lidad. El instrumemo para alcanzar ese estado es, como ya lo dijimos, «el éxta­sis», que dinamiza la vida y facilita el paso emre oposiciones comradictorias. Sin ese ejercicio la vida es estática y no se logra la

correlación enrre lo positivo y lo negati­vo.

El éxtasis pasa por diferenres estados o eta­pas: la crisis personal o individual, situa­ciones de duda, pérdida de seguridad y, lo que es principal, la pérdida del ego. Para ello se utiliza el baile, la música, las absti­nencias, el éxtaxis sensual y las iniciacio­nes, entre otras técnicas más, como vehículos para ampliar estados de concien­cia que, junro a las ofrendas y los ritos, constituyen la hermenéutica de este pro­ceso. Para llegar a ese estado, que es la esen­cia de esta cualidad, se tiene que pasar y/o llegar a una relación de conciencia y pro­pósito en la vida. La naturaleza en su to­talidad tiene mecanismos inrrínsecos para llegar al estado del Usnu.

B. Sugerencias didócticas

El pensamienro andino roma el espiral como icono cenrral para la descripción de! orden cósmico. Los números simbólicos que podemos enconrrar en la artesanía o en la arquitectura andina reflejan yexpre­san muy bien esa visión espaciaL Como lo muestra e! texto básico, es muy inrere­sanre la forma como en la cosmovisión andina la lógica filosófica tiene su equiva­lenre en una lógica matemática. Por eso, la visión de! mundo puede reconstruirse utilizando algunos algoritmos de la geo­metría moderna.

Introducción a los signos numéricos andinos

l. Dibuje por separado símbolos para los números 1, 2, 3, 4 y 5 en tarjetas de cartón. Empiece con e! 1, explique su significado simbólico y siga hasta e! 5.

- - _.-.- .--

El molde para elaborar los símbolos y una explicación resumida del signifi­cado se encuenrra en: ¿Cudntas pers­pectivas hay? N° 2 de la misma serie, en las pp. 54-55.

A conrinuación presenramos una tabla con las correlaciones simbólicas más im­portanres de la mitología andina:

G] ~ ~ ~ 6 cóndor puna serpiente wonaro encuentro kunfur kotori wanaku simbiosis fuego agua tiena are éter QIR10 qusha ffki wari wiro este oeste sur norte centro

Anff· QunJi- QuIla- Chincha- Taypi Su)v SU)'IJ Su)v SU)'IJ

2. Si tiene un tejido o un vaso ornamen­tal con los símbolos numéricos a su alcance, úse!o porque es más ilustrati­vo empezar la explicación con un ob­jeto concreto.

3. Elabore hojas de ejercicios para el aprestamienro de la represenración grá­fica o escrita de los números andinos; la hoja de ejercicio N°3 muestra ejem­plos que reproducimos del material di­dáctico «Abecedario matemático» (La Paz. CEE. 1991, p.47 y 48).

Adaptación didáctica de la cruz cuadrada andina

Muchos son los investigadores que se han ocupado extensamenre de la historia y la descripción de los templos, su arquitec­tura, su cerámica y sus tejidos. En todos se observa su compleja y admirable geo­metría. Basta citar e! cenrro ceremonial de Chavín de Huánrar, los templetes de Tiwanaku, los templos Kalasasaya y e! templo de Sechín de las Estrellas, consi

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Khipu· Signos

Malemal". udl o .

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o ::> -<: c-Q. Q. Q.~

~ 11 11 11 11 11

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L

derado hasta hace poco como la cuna de la cultura andina. En todos estos monu­mentos encontramos la Cruz Cuadrada.

Intentaremos sintetizar algunos aspectos de este símbolo:

• La "Unidad" es el principio existente, ilimitado, como un punto o línea. De­pende de la magnitud del pensamien­to del ser humano en su relación con la naturaleza y el cosmos. Es decir, esta "Unidad" se confunde con el todo, no tiene principio ni fin. Se encuentra en todas partes: arriba, abajo, al centro, a la izquierda, a la derecha.

• La" Unidad" encuentra su propio lími­te en el ctuce consigo misma.

• Cuando el Todo y la Unidad entrecru­zan sus caminos, engendran la eterni­dad y nace la wira o qhata, la fuerza de la diagonal.

• Entonces el Universo deja de tener mag­nitud y sólo tiene proporción. El fin y el principio se encuentran en el cruce de las qhatas o las diagonales menores que ordenan el camino rico y comple­JO.

• La unidad es el todo y el todo está en todas partes, está abajo en sus raíces (Uku pacha), y está arriba (Hanaq pa­chal.

• En este contexto, la cruz cuadrada es una figura geométrica utilizada como símbolo "ordenador" de los concep­tos matemáticos religiosos en el mun­do andino. Su forma se origina de un desarrollo geométrico que toma como punto de partida a un cuadrado uni­tario que, al crecer por diagonales su­cesivas, permite determinar con bastante exactitud el valor de "P¡" y conformar un sistema.

Un ejemplo para la construcción geométrica de los símbolos numéri­cos se encuentra en: ¿Cudntas perspec­tivas hay?, N° 2 de la misma serie, en las pp. 52 y 53.

Elaboración de algoritmos para representar los números andinos

Como ya lo hemos señalado, podemos acercarnos a la simbología numérica an­dina con el uso de instrumentos de la geo­metría moderna.

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K h i p u Signos

Molemóli co ondino

Hola de elerc:lcios 4

1 . Cuenta de 1 al 5 utilizando las cifras andinas:

9

III % ~

~

2. Dibuja, pinta y enumera todas las cruces que encuentres dentro del símbolo de la cruz cruzada:

34

3. Repite en el segundo gráfico el cuadro superior utilizando números y colores para expresar lo formo ascendente y descendente.

5

4 4 4

3 3 3

2 2 2 1 2 3 4 X 4 3 2 1

v

35

Molemólico ondino

Hoja de ejercicios S

Se presento o los alumnos y o los alumnos el grófico siguiente, indicando estos toreos:

1 . Tomen papel cuadriculado, un compós y uno reglo para lo reconstrucción de los números simbólicos ondinas del 1 01 4.

2. Presenten sus resultados o sus compañeros y compañeros del aula explicando los diferentes etapas de lo construcción con términos de lo geometría.

3. Comparen los algoritmos inventados de los diferentes grupos de trabajo ¡Cuón­tos algoritmos diferentes para llegar 01 mismo resultado!

'. ' . .'

....... ..' ..

-----'r., . . ' ' .

'.

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Klllpu Signos

Hoja de eiel"cicios 6

Algoritmos para representor los números 1 o 4 de la cultura andina (elaborados en un curso por docentes de matemática de ISP).

Ejemplo N° 1 1. Trozar el eje de las coordenadas. 2. Tomor distancias iguales en el 11 cuadrante, tanto horizontales como verticales. 3. Trazar lineas entrecortadas a las lineas o distancias tomadas. 4. Denotar los puntos de intersección O; A; B; C. 5. Trozar la mitad de CO y denotar D. 6. Trozar una vertical a partir de D, la mitad de CB y denotar E. 7. Trozar la mitad de DC, partiendo de E y denotar F. 8. Trosladar la figura del cuadrante 11 al cuadronte 111, dejando dos espacios del punto O de las coordena-

das. 9. Trosladar la figura del cuadrante 111 al cuadrante IV. de manero controria. 10.Trosladar el grólico del cuadrante IV al cuadronte 1, teniendo como punto base 0 ;4. 1 1.Unir la linea vertical 0;2.

Rubén Sánchez Quispe (ISP Coyllurqui), Roberth Villegas Vargas (ISP Tambobamba), Victorino Tuiro Hurtado (ISP Chuquibambilla).

Ejemplo N° 2 1. Trozar el plano cortesiano. 2. Ubicar los puntas: (O; 5), (-4 ; 5), (-4; 1), (-1; 1), (-1; 2,5), (-3; 2,5). 3. Unir los puntos ubicados sucesivamente mediante segmentos. 4. Ubicar los puntos inversos a los anteriores y unirlos sucesivamente. 5. Ubicar los puntos: (O; -1), (-4; -1), (-4; -5), (-1; -5), (-1; -3,5); (-3; -3,5). 6. Ubicar los puntos sucesivamente mediante segmentos. 7. Ubicar los puntos inversos a los anteriores y unirlos sucesivamente. 8. Ubicar los puntos (0;-5), luego unirlos mediante segmentos.

Manuel Meneses Torres (ISP Cangallo), Rubén Adolfo León Huillacapure (ISP Ayacucho), Edgar Valencia Aguilar (ISP Huanta).

Ejemplo N° 3 1. Trozamos 2 rectas perpendiculares. 2. En el 11 cuadronte trozamos 2 lineas perpendiculares auxiliares de 2 unidades, paro arriba, para abajo,

a lo derecho yola izquierda. 3. Trazamos la perpendicular al eje principal del punto medio.

Avanzamos 2 unidades o la izquierdo. Avanzamos 4 unidades hacia arribo. Avanzamos 4 unidades a la derecha. Avanzamos 4 unidades hacia abaja.

4. Del punto medio del cuadrante 1, avanzamos 1 unidad o la izquierdo. 5. Trosladamas la figura del 11 cuadrante 6 unidades hacia abajo, al 111 cuadronte. 6. Reproducimos sistemáticamente lo figuro del 111 cuadronte en el IV cuadrante y lo rotamos 180" en

sentido antihorario. 7. Trosladamos lo figura del IV cuadrante 01 I cuadrante, hacia arribo 6 unidades. 8. Trozamos 2 unidades hacia abajo, partiendo del origen de las coordenadas principales.

Martha Damián Romeri (ISP Junin). Natividad Cama reno Cóndor (ISP Jauja). Ricardo Quispe Aguilar (ISP Abancay) .

37

Molemólico ondina

Phoxsima -Dinero

Antes de que los pueblos emplearan el di­nero para hacer una serie de transacciones comerciales, y de esta manera satisfacer al­gunas de sus necesidades, se empleó el in­

tercambio o el trueque de sus producros por otros del mismo valor. Por ejemplo,

un campesino que cultiva trigo, pero no cría pollos, tiene que llevar una cantidad de su producto a otra persona, que dispo­niendo de pollos, necesita trigo; entonces el intercambio comercial se realiza. Antes del descubrimiento de América por los

españoles, los indígenas de este continen­te desconocían el uso y el valor del dine­ro; sus transacciones comerciales las realizaban con los productos que se cam­biaban por otros de similar valor. Hoy en día los pueblos indígenas están integrados al mercado mundial y, así, al uso del dine­

ro. Pero, como lo demuestra el texto bá­

sico, siguen existiendo en el pensamiento indígena conceptos propios sobre el dine­

ro y rituales particulares sobre su uso y ma­

neJo.

A. Texto bósico

El concepto andino del «dinero»

Fuente: Horris, Olivio. 1987. Economía étnica. La Paz, pp. 64·96.

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La economía étnica

Actualmente las formas de circulación eco­nómica en el norte de Potosí están estruc­

turadas por los ayllus. En esta «economía étnica» las tasas de intercambio y los tipos

de circulación, tanto de los productos como de la fuerza de trabajo, son diferen­tes entre miembros de un solo ayllu y con

miembros de otros ayllus o con residen­tes urbanos. Esto tiene consecuencias para la circulación interna del ayllu, tanto de la

mano de obra, como de los mismos pro­ductores de los diversos pisos ecológicos. En muchos casos la circulación dentro del ayllu ni siquiera puede llamarse «intercam­bio». En otros, el intercambio se realiza mediante tasas calculadas, no basadas en un precio de mercado, sino que se deri­van del volumen del objeto intercambia­

do o de su calidad. Sin embargo, no por eso la economía étnica se debe considerar

una economía «natura[", protegida del di­nero. De hecho, los intercambios entre miembros del ayllu se realizan con frecuen­cia a través del dinero, mientras que mu­

chos intercambios con forasteros, ya se trate de productos o de mano de obra, eluden específicamente el uso del dinero.

La principal vía por la cual entra el dinero a la economía laymi es la venta de la papa imilla, que es particularmente apreciada por los consumidores urbanos. Los laymi distinguen entre las parcelas plantadas de papa «para comida» (maq'atakt) y las plan­tadas por dinero (qullqitakt'). Sin embar­go, la papa para venta es también apreciada y consumida por las familias del ayllu, de

Phoxsimo . Dinero ------------------------~~~

modo que cuando la cosecha "para comi­da» es escasa suelen rerirar una pane de la papa para vema y dedicarla a su consumo familiar. Por ejemplo, cuando la sequía de 1983 produjo una cosecha desasrrosa {la segunda consecuriva), las señoras del pue­blo renían que agasajar a sus proveedores campesinos con inviraciones a comer para obrener la papa imillA que deseaban. Ellas se quejaban sin jusrificación de que los in­dios especulaban, negándose deliberada­meme a vender las papas para hacer subir el precio.

Cuando el dinero emra en la economía lAymi circula imernameme en forma de pago de deudas y pequeños regalos y, so­bre rodo, para que los de la puna puedan adquirir maíz y orros producros de clima

templado de sus pariemes que viven en los valles. Hoy en día, los dos morivos para gasrar grandes sumas de dinero son la compra de ganado en pie (roros, mu­las, burros y, en menor medida, llamas) y los gasros de fiesras.

Dinero y trueque

,Exisre emonces una diferencia imponan­re emre rransacciones monerarias y rrue­que? ,0 emre las personas con las que uno hace rrueque y orras a las que uno compra producros? La respuesra es negariva, el lrue­que puede formar pane de un exrenso cir­cuiro que en dererminado pumo incluye el uso del dinero, yen el cual la ganancia ha sido cuidadosameme calculada, al me­nos por una de las panes. Puede rambién consisrir en el intercambio de valores de uso (emre producrores) que no está cal­culado sobre la base del precio del merca­do. Sólo mirando el comexro se puede determinar cuál es el tipo de operación que se esrá realizando, y ello incluye tamo la relación social de los que imercambian como (y esro es más imponame aún) el lugar donde se realiza la transacción. Por

ejemplo, en los valles remoros, lejos de las carreteras, los lAymi sólo imercambian maíz por dinero con otros miembros del ayllu, y aún así, sólo emre pariemes cerca­nos. Cualquier orra persona que desee adquirir su maíz tiene que ofrecer a cam­bio un anículo de consumo directo. Este puede haber sido comprado con dinero (por ejemplo coca, aguardiemes, abarcas), o puede ser algo producido por el com­prador, como ch'uñu, telas o alfarería. Si los residentes urbanos salen al campo en busca de papas o maíz, tienen que practi­car el trueque; si los miembros del ayllu van al mercado urbano, prefieren comprar o vender con dinero. La lógica es clara: en la economía rural, cuando los mercados están lejos, se evita el dinero porque sus usos son limitados. El poco dinero que se

necesita sólo se acepra como un favor de los pariemes próximos, para quienes su uso es más conveniente que transponar pesa­das cargas para imercambiar. Tampoco hay producros que se vendan exclusivameme por dinero. Por otra pane, rodos los pro­ducros que se obtienen por dinero pue­den adquirirse también sin él.

Dinero y género

Si bien la distancia de los mercados es fim­damemal para determinar el uso del dine­ro, emran también orros crirerios. Por ejemplo, como ya se ha señalado, las mu­jeres usan menos el dinero que los hom­bres (y por tanto se las considera menos civilizadas). ¿Por qué se asocia más a los hombres con el dinero, especialmeme si renemos en cuema que en los mercados urbanos la mayor parte de los comercian­tes son mujeres? Parece que las mujeres, como responsables del presupuesro fami­liar, se oponen a la conversión en dinero si no tienen a la vista una compra deter­minada, que al hacerla completaría el cir­cuiro. Esta práctica sirve como resguardo comra la inflación, pero también es una

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Motemótico ondino

estrategia para evitar que la excesiva flui­dez de dinero facilite que los hombres lo conviertan en bebida y puedan embriagar­se. Aun cuando las mujeres no se quejan explícitamente por el consumo de alco­hol, muchas de ellas utilizan semejantes estrategias para limitarlo.

Dinero y trabajo

Si en la esfera de la circulación de objetos el dinero es ideológicamente neurro, usa­do para reproducir la prosperidad del ay­lIu ¿qué pasa con otra de sus funciones básicas, o sea la de facilitar el manejo de la mano de obra? Es interesante notar cuán poco los laymi se comprometen a traba­jar para ganar dinero. Dentro del ayllu, rara vez se contrata mano de obra por jor­nal, pero cuando se hace en algunos casos (por ejemplo, cuando un propietario que vive principalmente en Uncía recluta mano de obra para cultivar sus chacras) no se advierte «gran resistencia» por parte de los demás. Hasta sucede que los hom­bres considerados los más ricos por su ga­nado y las extensiones de tierra que manejan, trabajan como jornaleros para disponer de algún dinero extra en efecti­vo.

Por más que queden próximos los cen­tros mineros, la incidencia de trabajo por jornalo por salario es baja. Esta situación es diferente de la de otros ayllus de la re­gión, por ejemplo los jukumani, para quienes trabajar en las minas forma parte casi imprescindible de su ciclo vital. Cuan­do los laymi abandonan el ayllu para tra­bajar, van a Llica, en la frontera con Chile, o al Chapare. Lo que les motiva normal­mente es adquirir ganado o afrontar los gastos de una fiesta.

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Dinero y fertilidad

El dinero no forma más que una pequeña parte de la subsistencia actual de los ayllus norpotosinos. Pero, en vez de ser algo opuesto a la agricultura y la ganadería, está incluido con éstas en una sola conceptua­ción de la fertilidad. Se dice que el dinero «crece como las papas» en las entrañas de las minas; y si las ganancias realizadas por el tiempo y el esfuerzo gastados en viajar y transportar son conceptuadas como procreación, podemos plantear que la cir­culación es parte del proceso productivo y no un concepto aparte. Una visión pa­recida sobre la relación entre circulación y fertilidad está presente en la idea suge­rente de que las deudas son como el abo­no.

Los fuentes de lo prosperidad

El tiempo dedicado especialmente al su­payes el mes de agosto, que según se dice es el «mes de los diablos» . En esta época, finales de invierno, se cuenta que todos los minerales bajo tierra salen a la superfi­cie y se revela el tesoro escondido, y que para apoderarse de él hay que ofrecer a los diablos un sacrificio humano.

Los diablos son principalmente masculi­nos; el dueño de las vetas evidentemente lo es, sentado en el socavón con el pene erecto. Pero también tiene sus consortes femeninas, que aparecen bajo diversas fi­guras. En la diablada es la china supay. tan exageradamente sexual como lo es el mis­mo tío. Pero, en la ch'alla laymi la 'tía', la consorte del tío, se identifica más común­mente con otras figuras divinas. A veces, se dice que la tía es la Virgen de la Asun­ción y phaxsima (<<como la Luna»). Phax­sima es el vocablo usado en contextos rituales para designar al dinero, plateado como la Luna. De esta forma parecen aso­ciar a los diablos de la mina, al metal que

se convierte en dinero, y a la patrona cris­tiana de la mina, relacionando así una fi­gura explícitamente cristiana de la «esfera de Dios» (tyusa partt) con otras que perte­necen a la «esfera de los diablos» (saxra par­ti).

Así, los diablos no están asociados exclu­sivamente con la minería; la clasificación religiosa andina no ve en la minería y la agricultura dos categorías separadas. como haría un observador occidental, para quien la agricultura sería una esfera «tradicional. orientada hacia la subsistencia, y la mine­ría sería parte del mundo industrial. orien­tada hacia el lucro. Al contrario, en la religión andina la minería, la agricultura y la ganadería entran en una sola categoría, como lo demuestra la «unión» entre la pa­

chamama agrícola y el tío minero.

No es sorprendente que en esta región se establezca una fuerte asociación entre mi­nería y dinero, ya que fue la plata de Po­tosí la que hizo que este metal adquiera prioridad sobre el oro en el sistema mo­netario europeo. Actualmente, tanto en francés como en castellano se usa un solo término (argent y plata respectivamente) para designar tanto al metal precioso como al dinero en general. Lo mismo se encuen­tra en los usos aymara y quechua, en los que qulÚji designa tanto plata como dine­ro. La manera como el metal se convierte en dinero debe haber tenido poco miste­rio en los Andes, desde que se estableció la Casa de la Moneda junto al Cerro Rico, en los primeros tiempos de la minería en POtosí. La acuñación de monedas se reali­zó en Pocosí, con diversas interrupciones. hasta mediados del siglo XX. Actualmen­te también los laymi tienen bastante clato cómo se hace el dinero: «Está en el blan­co. El metal se va a Estados Unidos y los billetes se hacen en una fábrica»

¿A qué, entonces, se dirigen los campesi­nos cuando ch'allan por phaxsima? Preten-

Phaxsima - Dinero ------------------------den asegurar la fertilidad de las minas, que no sólo producen dinero en el sentido de mineral, sino que son también el lugar donde se encuentran los mercados, los consumidores urbanos y, en fin, la rique­za monetaria, y también para asegurar el ingreso de suficiente dinero para comprar lo que necesitan para su propia reproduc­ción. Pero el significado de phaxsima es también más preciso y más oscuro que esto.

Dinero y religión

Es a través de la religión que cada socie­dad establece el orden cósmico, y articula sus significados, tanto con referencia a la naturaleza como a la ley. Ya señalamos que en las tradiciones europeas el dinero es vis­to como elemento ajeno e incompatible a la comunidad religiosa; parece más nor­malla importancia que cobra el dinero en la religiosidad andina. El dinero nace de la fertilidad natural, como lo hacen todos los elementos de la prosperidad y abun­dancia; a la vez es creación del Estado, como lo evidencia la misma apariencia de las monedas y los billetes. El dinero en­tonces es, por una parte, manifestación de la naturaleza y, por otra, de la ley. Deriva­do así de dos fuentes que son en cierto modo opuestas, el dinero tiene un carác­ter dual y ambivalente.

Las monedas

Las monedas pueden ser ojos, entonces estos últimos desempeñan un papel sim­bólico de mucha importancia en las cul­turas andinas. Entre otras cosas se vinculan estrechamente en el pensamiento laymi con los espejos. Se dice que el espejo es «sum layrani» (tiene buenos ojos); y, a veces, a los espejos los llaman directamente «ojos». Por ejemplo, un simple espejo re­dondo es sil/pa layra (un ojo delgado),

41

Molemólico ondino

mienrras que un espejo, dividido en dife­renres secciones es photo layro (ojo grue­so). Hay una creencia además que asocia directamenre los espejos a las monedas, y es que no se debe llevar ni espejo ni mo­neda alguna cuando se sale de pesca por­que ambos ahuyentan los peces. Los espejos en las culturas andinas represen­tan la dualidad y ésta, a su vez, medianre el concepto quechua de yonontin, parece­ría ser el estado de plenitud e integridad que corresponde a la sociedad bien orde­nada. ¿Será por eso que los mocho dicen que los espejos son «enemigos de las al­mas de los muertos», y que al colocar es­pejos a la enrrada del panreón se puede impedir que una persona muera prema­turamente?

Tres clases de dinero

Los laymi distinguen tres clases de «dine­ro .. : el actual, el del «lnka Hernando» y el de los chu/po. Parece que de esta manera están aludiendo a una periodización muy inreresanre de la historia que la divide en tres épocas diferentes, según el orden po­lítico. Si es así, cuando identifican el di­nero de la colonia tardía con el inka ¿no será que ven al estado colonial encabeza­do por el rey español como semejante al estado anrerior donde reinaba el inka? No podemos enrrar aquí a una consideración detallada de tal pregunra. Más bien, es preciso señalar la importancia que tienen las monedas «inka .. en la religiosidad lay­mi. Ellos se indignan anre el solo pensa­mienro de venderlas, aún por grandes sumas de dineto, y las tratan con gran res­peto. Se sabe cuáles familias poseen una, y todos son sumamente reticentes para mostrarlas, particularmente a los foraste­ros.

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La reproducción del orden cósmico en el dinero

El vocablo chullpo designa en la cultura altiplánica a las grandes tumbas de adobe o de piedra que dominan el paisaje en muchas ronas, construidas para los seño­res de las grandes confederaciones regio­nales; a la vez que refieren a la misma población pre inka. La genre chu/po está mítica mente asociada con la Luna y se de­rritieron con el calor del Sol, que apareció anunciando la edad inka. El Sol, padre di­vino del linaje inka, fue identificado con el Dios cristiano desde las prédicas tem­pranas de los frailes en el XVI; los chu/po pertenecen más bien al mundo de los snxro. Como habría que esperar, el «dine­ro chu/po» no es tanto moneda acuñada, sino más bien es qullqi en el senrido de metal crudo. Calificado de «tesoro» o «ta­pado .. , está escondido bajo la tierra; en el mes de agosto (el mes del tío) sale a la superficie según se cuenta, y quienes ha­cen un gran sacrificio cruento pueden te­ner acceso a él. (Recordemos que los sacrificios se hacen solamente para los snxrn).

Así, el «dinero ehullpo» parece ser otra fuente primaria, pero en este caso no de las monedas sino de los minerales que es­tán en las vetas subterráneas. En el mes de agosto se puede acceder directamente a él, peto duranre todo el año los mineros pue­den extraer el mineral al hacer ofrendas al tío. Al distinguir el dinero actual de aquel de tiempos antiguos, se plantea no tanto una comparación histórica entre el presente yel pasado, sino una manera de concep­tuar el origen ontológico del dinero. Y como en tantOS otros conrextos, el pensa­miento laymi ubica a las fuerzas engen­dradoras del dinero no en un solo tiempo pasado, sino en dos. Las ofrendas de me­tal crudo son propias a la snxrn, mientras que las monedas pertenecen al dominio de Dios. De manera parecida se identifica

Phoxsimo· Dinero

un dinero muy antiguo colocado en la tie­rra y otro menos antiguo que engendra el dinero actuaL Ambos, según parece, son necesarios para asegurar el /i.mcionamien­ro económico.

sado para el bien de los vivos, y para la reproducción del orden cósmico.

Plata de los chullpa y plata del «inka Her­nando»: la primera asegura la fecundidad del metal bajo la tierra, mientras que la segunda, grabada con la cabeza del prínci­pe, constituye la fuente misteriosa y sa­grada del dinero mismo. Así, las culturas andinas se aprovechan de los tiempos an­tiguos, hacen trabajar a los resros del pa-

B. Sugerencias didócticos

Hemos desarrollado la lectura del texto básico utilizando mapas conceptuales. Pri­mero vamos a explicar lo que es un mapa conceptual para después presentar la se­cuencia didáctica, desarrollada durante un curso de capacitación de docentes de ma­temática.

¿Qué es un mapa conceptual?

Es un proceso metodológico y estructurado para analizar ptofundamente un concepto complejo(un término, una categoría, una noción). Un concepto es un conjunto de aspectos, elementos, ideas, opiniones, perspectivas y tradiciones. La elaboración de un mapa sobre un concepto complejo es una técnica para pensar sistemáticamente y diferenciar la complejidad inherente.

Con el mapa conceptual se logra:

• Separar los diferentes aspectos de un concepto en sus subaspectos. • Sistematizar estos subaspectos por categorías. • Describir las relaciones existentes entre estos subaspectos (por ejemplo rela­

ciones opuestas, contradictorias, dialécticas, etc.). • Visualizar en forma dinámica los diferentes caminos (por eso el nombre

«mapa>,), a través de los cuales podemos entrar a un concepto complejo. • Hacer transparente la complejidad para que ella sea comprensible.

Los pasos de elaboración del mapa conceptual son los siguientes:

• Se necesita un papelógrafo grande o una pizarra, lápiz o tiza. • Un miembro del grupo de trabajo se encarga de tomar notas. • En el centro del papelógrafo o de la pizarra se anota el concepto correspon­

diente. • Los participantes proponen aspectos que se anotan. Con cada aspecto se abre

gráficamente un camino nuevo. Cada aspecto es seguido de diferentes subas­pectos hasta agotar las ideas. Entonces, se abre otro camino con otro subas­pecto, y así sucesivamente.

• Al final, el coordinador repite de manera resumida lo anotado y trata de sintetizar los aspectos diferenciados.

43

Molemólico ondino

l . Empezamos las reflexiones sobre el di­nero con la elaboración de un mapa conceptual. La ptegunta planteada a quienes participaron fue muy simple ¿Qué es el dinero? En vez de escribir el término .. dinero» pegamos una moneda al centro del papelógrafo. Eso fue muy estimulante y motivador para la .. lluvia de ideas». Como muestra el mapa elaborado (ver mapa conceptual N°I), los participan­tes tuvieron muchos conocimientos previos y así recogimos una amplia gama de aspectos y términos del con­cepro.

2. Una vez que se concluyó la elaboración del primer mapa conceptual se entre­gó una separata del texto básico a cada participante. Tareas: • Lectura del texro. • Recoger conceptos, términos, defi­

niciones y descripciones para armar otro mapa conceptual, ahora sobre el concepto andino del dinero.

Después de media hora de lectura y de romar notas, empezamos en un pro­ceso colectivo, la elaboración del segun­do mapa (ver mapa conceptual N°2). Necesitamos más de dos horas para analizar y sistematizar el concepto phax­sima. Nos dimos cuenta que sabemos muy poco sobre este concepto.

44

3. Después de un recreo comparamos los dos mapas. Identificamos las diferen­cias, pero también las corresponden­cias. Los participantes complemen­taton la discusión con observaciones de su entorno cotidiano y aportaron con ejemplos para concretizar lo elabora­do. Así, llegamos a una visión bastan­te diferenciada de las variadas perspec­tivas del dinero.

4. Surgió la pregunta ¿cuál es el concep­to de dinero que tienen los niños y las niñas escolares y no escolares? Preparamos una salida al pueblo para entrevistar a niños y niñas de diferente edad, que trabajan o juegan en varios lugares (mercado, plaza central, cemen­terio, escuela etc.). Les entrevistamos y tomamos nOlas. En la sistematiza­ción de los resultados notamos un con­cepro ya bastante rico y diferenciado que tienen los niños y las niñas entre seis y doce años sobre el dinero, una categoría que en sus términos y su for­ma se parece mucho al mapa concep­tual N° l. Pero también encontramos algunos conceptos propios de los ni­ños y las niñas, los cuales en un primer momento nos hacen sonreír, pero tam­bién encontramos en estos enunciados un saber popular y cOlidiano profun­do y respetable.

Phoxsimo - Oinelo

Mapa conceptval N° 1

servicios

ba' básicos b' tra 10 lenes

~ I / módulo -- medio -- objetos

trueque I

no-monetarias monetarias

'" / préstamo\

pago"'-­ahorra /

transacciones

/ valor

cantidad

unidades

~ ~' I ' equlva enCla

I balso

I

I intercambio coco, sol, semillas, comes

l / billetes

[

bronce cobre

- mquel plato oro

tipos - - monedo

I I ,

P ástlCo

, t / expreslón alnbu o _ numérico

precio

características

cinto material especial alto relieve dibujos sello

devaluación

./ " mercado de valores color volar determinado fecha pérdida inflación / I \

acciones bonos capital número de serie firmo

Mapa conceptuol N" 2

forasteros consumo venia I / lntercambio

con dinero molz

1 volumon

popo t cantidad

I I inlercamblo da productos

milo Imineno) 1 ayn; Irecíproco)

pagos deudos -

malz

/ a/lyu

/ /loym;

economía étnica

género

/ "-riqueza valor económico

dinámico

I solo de lo lierro Iminos) deudos / abono crece rurol-urbano

\ I dinero - [ escoso fertilidad / paca utilnodon

/' tipos

religión

[

entre oyllus " trueque- comunidades alejados

subsistencia

""---... dinero parte del orden cósmico

tres clases d I I regal~s j ganado fiestas mujeres

I hombres

/ ua chul/pa hist~rico '¿ctual t d / ~ t I

gastan menos' necesidades básicos

administración responsables del presupuesto

I

gastan más

mano de obro

/ "-pago par jornal pago par productos

45

es a o no uro eza I

lo Luna I

oculto

Motemótico ondina

¿QUÉ PIENSAN NIÑOS Y NIÑAS SOBRE EL DINERO?

En la ciudad de Chupaca, en el mes de agosto de 1999, hemos entrevistado a algunos niños y niñas que se dedicaban a jugar en la Plaza de Armas, lustrar zapatos o vender productos en el mercado. Algunos conceptos notables que recogimos fueron:

• «Hay dinero que vale y otro que no vale» (niño, 8 años) . En su explicación el niño diferencia entre billetes falsos y billetes de valor.

• «Hay dinero pobre y dinero rico» (niña, 7 años). Ella nos explica que los turistas pagan con «dinero rico» (o sea con dólares), y que «la gente paga con dinero pobre» (o sea con soles).

• «Hay dinero sucio y dinero bueno» (niño, 10 años). Este niño dice que el _dinero sucio» es dinero que ha sido robado a otras personas y el «dinero bueno» es el «dinero que te dan cuando trabajas».

• «En la escuela se juega con dinero. En la vida el dinero juega contigo» (niño, 8 años). En la conversación sobre esa frase nos damos cuenta que este niño vive en condiciones sociales y económicas bastante pobres y tiene que traba­jar muy duro. Su crítica implícita a la escuela nos hace pensar.

46

facha -Espocio

Toda cultura tiene su propia visión del mundo, compuesta de conceptos básicos sobre el espacio y el tiempo, religiosidad, valores éticos y escécicos. La concepción simbólica del espacio está regida por cier­tos principios básicos como: biparcición

(hanan- urin), cuatriparcición (los cuacro suyus), paridad (complememariedad). El

siguieme texto básico nos presema una

información simética a partir de la cual se pueden reconstruir patrones de la cosmo­visión y mitología andina. El texto es base para el análisis de las quillqay o pimuras sarhuas, las cuales podemos leer como re­

presemaciones gráficas del espacio andi­no.

A. Texto bósico

Que/lcay (Qi/lqay)

Fuente: Nolte Maldonada, Rosa María Josefa. 1991. Arte y vida de Sarhua. Comunidades Campesinas Andinas. Lima, pp. 68-73

Las investigaciones sobre el mundo andi­no cradicionalmeme han puesto énfasis en el aspecto empírico (descripción de la praxis y de la culrura material) más que en el ideológico. Si afirmamos que exisce una estrecha correspondencia emre la su­perescrucrura (ideología) y la infraestruc­cura (medios y modo de producción) y

que el progreso se da a parcir de las rela­ciones dialéccicas emre las mismas, emon-

ces no podemos olvidar ninguno de los dos aspectos mencionados: el análisis de la realidad social debe discinguir los nive­les de infraescructura y superescructura y encomrar la dinámica de sus relaciones.

Esca investigación no precende profundi­zar en todos los aspectos de la realidad socio-económica de la comunidad de Sar­

hua, sino mascrar esta realidad a parcir de la pimura que producen los hijos de esca comunidad en Lima. En este capítulo nuestra intención es mostrar cómo las qe­lleas o tablas de Sarhua nos permiten ac­ceder a una camidad de información

emográfica, a parcir de la cual se pueden reconstruir patrones de su cosmovisión, mitología e ideología en general.

Observar el conjumo de qellcas que com­ponen nuestro universo nos ha permitido

tener una visión comexrual de las diferen­tes actividades y hechos que allí se mues­tran. De hecho, la observación de un conjumo de e1ememos, en comraposición a la visión de un e1ememo aislado, nos permite esta asociación, haciendo de esca

manera más fácil la imerpretación de sus comen idos. La comemplación de un cua­dro aislado podría darnos sólo un primer nivel de información que cualquier indi­viduo puede reconocer.

En un segundo nivel, consideraremos la observación del conjumo de cuadros y el conocimiemo de información emográfi­

ca sobre la saciedad que los produce. Con estos e1ememos escaremos en condiciones

47

Pocho - Espocio

Mo t emót i co ondina

de procesar parte de la información que el cuadro ofrece, idemificar sexos, esta tuS,

funciones, jerarquías, de acuerdo con la indumemaria y parafernalia de cada indi­viduo. Esto se traduce en hombre o mu­jer, soltero o casado, padre, hermano o hijo, si son autoridades, o no lo son, etc. También podremos obtener información sobre tecnologías agrícolas y artesanales, calendarios agropecuarios y festivos, etc.

El tercer nivel requiere de mayor profun­dización en el análisis para poder llegar a la imerpretación de los diversos aspectos ideológicos que no se evidencian a prime­ra vista. Nos referimos al manejo de los espacios a través de la ubicación y distri­bución de los personajes y demás elemen­tos.

Asumimos que un individuo se ubica his­tóricamente en coordenadas de tiempo y espacio. La concepción que el habitame andino tiene sobre estos elememos es la base para comprender su ideología, por ello hemos puesto particular imerés en estos aspectos.

El concepto del tiempo es exactameme el inverso al de occideme: teniendo como referencia al individuo, el pasado está ade­lame y lo podemos ver porque lo conoce­mos; el futuro, en cambio, es todavía desconocido, no lo podemos ver, espacial­meme se ubica a espaldas del individuo. El tiempo discurre en el semido inverso a las agujas del reloj, formando ciclos cuyo fin y principio están siempre marcados por un pachakuti, así, cada día y cada univer­so comienen en sí una mitad que es su propia negación que genera otro día.

El universo andino está concebido como

como son la agricultura, la ganadería, etc. Espacialmente es visible y podría­mos decit que corresponde al mundo de los sentidos. Está vinculado al Sol y a la luz del día. Para muchos investiga­dores, el Kaypacha no es más que el punto de contacto entre el Ukupacha y el Hananpacha.

• Ukupacha: es el mundo interior, invi­sible. Está vinculado con la obscuridad de la noche y, por extensión, con la Luna. Es el mundo de los muertos o lo que se conoce como "la otra nación».

• Hananpacha: es el mundo exterior, por donde pasan el Sol y la Luna. En el día se relaciona con el Kaypacha y en la noche con el Ukupacha (ver esquema N°l: diagrama de la tripartición). En algunos diagramas no se diferencia con el Ukupacha, sino que se alternan como espacios para los mismos seres. En el Hananpacha se manifiestan los que viven en el Ukupacha.

Los ciclos de los astros y las estaciones es­tán estrechamente ligados a los mitos an­dinos que son los que delinean y establecen la concepción de la organización del mun­do. El calendario andino era y es luni-so­lar, los doce meses podían variar, el año ideal se da cuando la Luna nueva coincide con el solsticio de junio (ver hoja N°2). En los Andes centrales, que se sitúan en­tre el ecuador y el Trópico de Capricor­nio, se alternan cuatro estaciones:

- Septiembre-noviembre: cálido seco.

- Diciembre-febrero: cálido húmedo (lluvias).

una media natanja dividida en tres nive- - Marzo-mayo: frío húmedo. les:

• Kaypacha: que corresponde a la natu­raleza física que rodea al mundo; en él se desarrollan las actividades cotidianas

48

-Junio-agosto: frío seco.

Estas cuatro estaciones definen el ciclo agrícola (tomando el cultivo del maíz

como referencia). También el ciclo vital del ser humano se concibe en cuatro eta­pas: nacimiento, adolescencia, adultez y muerte. La misma concepción cuatripar­tita se aplica a los mundos Kaypacha y Ukupacha. De esta forma, el Kaypacha resulta dividido en cuatro partes por los ejes que definen los cuatro puntos cardi­nales: Chinchaysuyo (entre el oeste y el norte) , Antisuyo (entre el norte y el este), Contisuyo (entre el este y el sur) y Colla­suyo (entre el sur y el oeste). El eje este­oeste determina el espacio de arriba (hanan) y el de abajo (hurin). El norte ejerce el dominio sobre el sur y el oeste sobre el este; a los dominantes se les adjudica el carácter de joven por oposición a viejo y de masculino por oposición a femenino (ver hoja N° 1, esquema de la cuatriparti­ción).

En el Ukupacha se repite este patrón pero con imágenes invertidas, es decir, los muertos «recogen» sus pasos y siguen exactamente el sentido inverso al que si­guieron en vida en el Kaypacha; el Sol sale por el este y la Luna por el oeste (ver hoja N° 1: esquema de la cuatripartición).

Este mismo patrón espacial del Kaypa­cha se repite al interior de la organización social de las comunidades y en la organi­zación espacial del pueblo. De igual for­ma, se representa el carácter masculino y dominante para la derecha, asociándola también con lo urbano y lo domestica­do. Prueba de ello es la distribución de la comunidad en la iglesia (santos y hom­bres a la derecha, santas y mujetes a la iz­quierda), por ejemplo. La palabra tinku o tinkuy se refiere específicamente al «en­cuentro» de los elementos opuestos, ani­males, ríos, ayllus, etc. que determinan «como una viva línea de fuerza, como la corriente eléctrica que empieza a fluir cuando se unen dos polos». Este concep­ro explica por sí mismo la importancia

que dentro de la ideología andina tiene la dualidad entendida como facror que di­namiza la vida.

En el Ukupacha, el lugar de los muerros o ~(la orra nación», existe también una orga­nización social con jerarquías y funciones específicas. Allí es donde viven los ante­pasados o gentiles y espíritus o deidades que conforman el panteón de las socieda­des andinas. Estas divinidades tienen in­fluencia positiva o negativa, pueden oror­gar o negar los bienes, de acuerdo a las ofrendas que los especialistas del Kaypa­cha hayan hecho para ellas. Se repite el es­quema de reciprocidad y los hombres re­ciben de los dioses de acuerdo con lo que dieron a su comunidad (es una forma de institucionalizar la generosidad) yofreci­do a los dioses.

El dios cristiano es el ser sobrenatural más poderoso, ningún ser puede favorecer o castigar a las personas sin su permiso, tam­poco ellas pueden ofrecer nada a las dei­dades sin antes conseguir su permiso.

Las deidades del panteón andino tienen influencia en el desarrollo de diferentes aspecros de la naturaleza: agricultura y ga­nadería; fenómenos de la naturaleza (llu­vias, sequías, etc.) . Sus jerarquías determi­nan el área geográfica en la que pueden ejercer su influencia. En orden de impor­tancia podemos mencionar a los apus o wamanis, protectores principalmente de la ganadería; la Pachamama, madre tierra, diosa de la fertilidad para la agricultura; los aukis o espíritus protecrores; los mall­kis o antepasados directos, y los ancestros y gentiles que viven en pueblos organiza­dos de manera similar a la del Kaypacha. El Amaro es un ser movible que vive en las entrañas de los cerros y en los puquia­les subterráneos, desde donde sale y arrasa con los pueblos, produciéndose un Pa­chakuti. que no es más que el fin yel ini­cio de un nuevo ciclo.

49

Pocho ¡ ¡p ' CIO __ .c...:...cc....c...:.c...::... __ _

MOlemólico ondino

I i Hoja ~1 : E~uemo de triparticlón y cuolripartidon I • • - .-'. -, ,--' • _o; __

La tripartición el modelo del orden en el mundo andino

La cuatripartición

~ Hanaq pacha

_ Ukupacha

~ Koy pocho

el modelo del orden en el mundo andino

Kay pocha 11 111

Anfisuyo Contisuyo

+ sur norte femenino

rnasctilno dominado domioon1e + izquielda

derecho

I IV Chinchaysuyo Col/asuyo

oes1 •

.... Uku pocha

11 111

norte + IIJI'

mascu6no 1

femenino dominante domRxIo

derechJ

I iIquiortIa

O r I IV

W:¡o JlM" I -~

ces!e

50

--- - -~ - ------ -- - -----Hoja N'"2: Calendario ondino

solsticio de junjo

mayo

noresie

,oR«>pato verono (d>crIipI¡

solsticio de sur marzo ""ero diciembre oesle feb ... ,o

Los apus se manifiestan a las personas en las partes más altas de los nevados, por ello las ofrendas que los especialistas les hacen se realizan en las faldas de los cerros o en cuevas (que son las entradas al Uku pacha) y la mayor parte de las veces se en­tierran. La ofrenda debe contener elemen­

tos específicos de acuerdo con lo que se quiere obtener, sin embargo son elemen­tos casi constantes: la chicha, la coca, el mullu, el spondylus (una concha marina) y flores sagradas. Eventualmente se inclu­ye fruta, algún animal menor (o los fetos de los camélidos peruanos), tabaco, aguar­diente, etc.

Los animales del Kay pacha (que mantie­nen vínculos con el Uku pacha) son el cón-

dor, la taruca (venado), la vicuña, la vizca­cha, el zorro y la perdiz, principalmente. Eventualmente, los apus toman la forma de alguno de ellos, algunas constelaciones toman sus nombres, hecho que confirma su importancia dentto de este universo mítico.

Los curandetos o sacerdotes son los espe­cialistas que mantienen los contactos en­tre la Kay pacha y el Uku pacha. Ellos saben qué, cuándo y dónde hay que ofrendar, se dedican al aprendizaje constante de ritua­les o al perfeccionamiento de técnicas vin­culadas a uno de los aspectos de la actividad religiosa. El término sami se re­fiere al campo energético, concebido como fuerza vertical, que vincula los tres mun-

Sl

Pocho - Espacio

Motemóti" ondina

dos que conforman el universo andino y permite el contacto entre los especialistas y los seres sobrenaturales.

Los especialistas se encuentran en toda el área andina, en cada región reciben nom­bres diferentes, pero hay elementos que nos permiten identificar sus jerarquías y la especificidad de su conocimiento. En las crónicas encontramos abundante ma­terial respecto a este tema, sobre todo en aquellas que se refieren a la extirpación de idolatrías.

B. Sugerenci(]s didócti((]s

Para el desarrollo de la siguiente secuencia didáctica se necesita un material comple­mentario, que ya ha sido distribuido a las bibliotecas de todos los Institutos Supe­riores Pedagógicos:

Cuentos pintados del Pero -Pirumanta Llinpisqa Willakuykuna

Sarhua (quechua-español)

(DINFOCAD-GTZ-Seminario de His­toria Rural Andina, Universidad Nacio­nal Mayor de San Marcos).

52

l. En la pizarra se dibuja el modelo de la tripartición del mundo andino (ver hoja N°l), complementándolo con al­gunas explicaciones básicas de los tres conceptos claves. Se traducen las pala­bras quechuas y se discute su significa­do.

1. Se en trega el material Cuentos pinta­dos. Empezamos con el dibujo de la página 29. • Primero se pide a los participantes

que observen el dibujo e identifi­quen los animales y plantas (ver hoja N°3, arriba).

• En la pizarra se dibuja el gráfico del modelo espacial, y lo encontramos en la ilustración (ver hoja N°3, cen­tro).

• Se analiza profundamente el dibu­jo y la percepción espacial (ver ex­plicaciones resumidas en la hoja N°3, abajo).

3. Se forman grupos de trabajo. A partir del modelo, para el análisis de las pin­turas en los «Cuentos pintados», cada grupo elabora interpretaciones sobre otros dibujos. Se entrega una separata del texto básico como material com­plementario. En los cuentos corres­pondientes también se encuentra información adicional para una lectu­ra interpretativa del cuadro. Para el aná­lisis recomendamos los siguientes dibujos y sus cuentos correspondien­tes (ver hojas N° 4 - No 7): • El mapa de Sarhua p.5. • El cuento «Los dos soles» yel di­

bujo p.14. • El cuento ,<Amaru» y el dibujo p.2l. • El cuento «Castigo a la serpiente y

al zorzal» y el dibujo p. 27.

4. Concluimos el trabajo con una re­flexión didáctica: • Discutimos las posibilidades para la

aplicación de acuerdo al cartel de al­cances del Currículo de Formación

Docente. Identificamos las áreas y subáreas, las que podemos integrar en esa secuencia didáctica, sobre todo: comunicación integral (que­chua y aymara), matemática, eco­sistema.

• También se puede trabajar con los "Cuentos pintados» en la práctica preptofesional utilizandolos de for­ma integrada en módulos o unida­des de aprendizaje.

• Los «Cuentos pintados» son un ma­terial adecuado, que se puede tra­bajar también en grupos hispano­hablantes (se utiliza la versión espafiola para realizar el contenido transversal de la interculruralidad) así como en grupos con alumnos y alumnas bilingües (versión bilin­güe).

53

Pacha . Espacio

Molemólico ondino

-

HojoN"3: I Creoción del nombre p.29.

,-HANAQPACHA

Sol: día Luna: noche

"""" KAYPACHA sa/lqa espoclo

m.dllJlllllf

qichwa uywo (oguol sa/lqa ldomesticado) lsalvaje)

aeoción de Dios creación del diablo

Creación del hombre

"Dios creó al mundo en una semana para que habitara la tierra decidió crear al hombre y a las animales domésticos a su servicio, De envidia, supay (diablo) imitaba, creó al chipe (mono) y animales silvestres»,

Dios creó: l. Runa (hombre). 2. Llama. 3. Cabra. 4. Paloma. 5, Orilo (Iorito). 6, Cuchi (cerdo). 7. Wallpa (gallina). a. Misi (gato), 9. Pavo. lO.Conejo. 11.Allqu (perro). 12.Quwi (cuy). 13.Vaca. U.Asno. 15.Pato.

Diablo creó: 1. Chipe (mono). 2. Vicuña. 3. Luwichu (venado). 4. Kukuli (paloma visible). 5. Akaki/u. 6. Añás (zorrino). 7. Yulu (perdiz). a. Puma. 9. Cóndor. 10. Wiskacha (vizcacha). 11.Atuq (zorro). 12.Ukucha (ratón). 13.Venado. , 4.Puron (asno salvaje). 15.wachwa (especie de

pato silvestre). lespíritus protectores) lespíritus malignas)

En esta tabla vemos claramente diferenciados el Hanaq pacha y el Kay pacha con su correspondiente espacio mediador.

En el Hanaq pacha aparecen el Sol, la Luna y los luceros del amanecer y del atardecer, ubicados a la derecha y a la izquierda como referencias para establecer el orden en el Kay pacha.

El Kay pacha está también dividido entre sa//qa y qichwa (lo salvaje y lo domesticado) y tiene al agua como su correspondiente espacio mediador, que lo vincula con el Hanaq pacha. El supay (diablo) prehispánico era un ser o genio malévolo, pero susceptible a conceder favores de protección y de seguridad a los indigenas, habitaba en los centros de la tierra. Este concepto está aún vigente en Sarhua.

La distribución de los animales (incluyendo al hombre) responde a esta concepción del dia asociado con lo doméstico y con el Sol, y la noche asociada con lo salvaje y con la Luna. Es interesante observar que muchos de los animales considerados domesticados son los animales que trajeron los españoles, mientras que entre los animales salvajes sólo vemos animales originarios de los Andes y que generalmente están asociados a ritos y ceremonias de ofrendas para los dioses, con excepción del cuy (conejillo de indias) y de la llama, entre los domesticados (ambos originarios del Perú) y utilizados para curas, ritos funerarios y de propiciación.

Profesores participantes del curso "Pensamiento matemático andino», agosto de 1999.

54

Hoja N"4: El mapa de Sam\lO p.S.

HANAQ PACHA

cementerio camino hacia lo divino

cosecha, vegetaci6n, agricultura

, 't'I~ '" " .. ~~:'~' ' 1 ~"·fl. :·':, "

. ,'t o ..... -

~r . " ; ,..':¡' . : .: , l.. ""111., . "-·..,U' '-' .t .... d~. · .J

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. ~J.

~ Luna (noche) '* Estrella (infinito o espacio sideral)

m coso e d c

e

o o r s

• Como s610 se ve la Luna en el cuadro de la portada, se trata del lado izquierdo (.). • Presenta una vista hecha del espacio (Hanaq pocha). • Distinguimos claramente el triportido. • La forma de su plaza es un cuadrilátero, en el cual cada esquina o vértice se orienta

con caminos que dividen o la comunidad en cuatro portes, que se relacionan con los suyos del imperio inca.

• Observamos la vista desde lo alto de una comunidad andina, porque las calles y barrios del pueblo en conjunto tienen la forma invertida de un auquénido (llama, guanaco, vicuña) .

Profesores porticipontesdel curso "Pensamiento motemático andino», agosto de 1999.

55

Pocho · Espac io

Molemólito ondino

Hoja N"5: El cuento _Dos soles. yel dibvjo p.14.

Sol Sol

Dios Occidental Dios - Apus

KAY CHA

plata

oro ..

UKU PACHA

muerte muerte

La ilustración simboliza la existencia de dos religiones en la cosmovisión andina. Una existencia con un Dios, al cual los antiguos adoraban y gracias a él y a sus creencias vivían en armonía y poseían riquezas. Como símbolo de ello, las personas rendían culto a la Pachamama en gratitud y pidiéndole mejores condiciones de vida. Con la repentina y agresiva conquista que trae pobreza, muerte y desgracia de personas y animales, viene también la imposición de un nuevo Dios.

Profesores participantes del curso .Pensamiento matemático andino., agosto de 1999.

56

Hoja N"6: El cuento .Anl0ru. yel dibujo p.21 .

:;:- " 1;\

" ollfil '" :r '" e ., 3 ~ .. "-o

frío seco

julio

Amaru

Ser mitológico que tiene una fuerzo mágico natural. Personifica un jaguar con uno melena de serpiente de acuerdo o la figura se ve como un cerdo colorado.

~ Hanaqpacha

l

onero

cálido húmedo (época de lluvias)

Profesores participontes del curso «Pensamiento matemático ondino»_ ogosto de 1999.

57

octubre 8 s: ~ e

u

Motemótico ondino

HojaN?: El cuento.Serpiente y l.orzol. y el dibujo p. 27.

Primer nivel Representación gráfica del mito Adánico (aparentemente)

fruto bueno

fuerte

bueno

indica lo positivo (+)

m

• d

a d a

a , b a I

y

f I a

fruto malo

mujer

débil

amaN y

zorzal

indica lo negativo (-)

Kay pe cha

Uku pocha lo invisible

Segundo nivel - Simbiosis cultural entre occidente

y el mundo andino. - Se presenta en el mismo nivel:

• Montaña/Dios (católico). • Varón/mujer (rasgos

occidentales). • Presencia de serpiente y zorzal

(izquierda). • Vegetación, árboles frondosos.

Tercer nivel Se representa la génesis de la separación entre el bien y el mal como fusión de las ideologíos andina y occidental, porque: 1. Se muestra la separación

diagonal andina (bien-mal, Dios­Apu, masculino/femenino).

2. La serpiente y el zorzal fueron dignos del Hanaq pacha y a consecuencia del «pecado» fueron castigados al Kay pacha (al igual que Adán), expuestos a todo peligro.

3. Hanan-Kay = Cielo-Tierra. 4. Supremacía anhelada:

Andino = ~ Occidental = Dios

Prof. Raúl Espinazo Jaro (ISP Huancavelica), Pral. Félix Bernabel Córdenas (ISP Huaytaro), Pral. Julión ítalo Bocangel Cuadros (ISP Coro Coro).

58

Pocha -Iiemp",-

El tema «tiempo» es un excelente punto

de partida para enseñar la interculturali­dad, porque hay una inmensa diversidad de conceptos y teorías, experiencias y Pto­blemas sobre este fenómeno tan cotidia­no. La categoría «tiempo» es una defini­ción cultural. El tiempo, su medición, estructuración y utilización son conven­ciones sociales. El tiempo se vive en la vida cotidiana de diferentes maneras, y la gen­te lo utiliza creativamente en diversas si­tuaciones. El tiempo medido tiene en los distintos contextos sociales e históricos diferentes significados. Por ello, del tiem­po sólo podemos hablar en plural.

A. Textos bósicos

(1)

El tiempo en las culturas andinas

Fuente: Comisión Episcopal de Educación (Bolivia). 1991. Abecedario matemático, La Paz, pp. 251-253.

Introducción

Tanto en la cultura aymara como en la quechua, el concepto de pacha implica las nociones de tiempo, espacio y totalidad.

Tiempo y espacio conforman una unidad indisoluble. Es significativo mencionar la referencia del tiempo mítico.

En la concepción andina del tiempo y del espacio, la humanidad ha vivido cuatro grandes eras de mil años cada una. El paso de una era a la otra siempre ha estado se­ñalado por un cataclismo cósmico.

Cada una de las edades citadas había esta­do iluminada por un Sol que moría cada mil años, entonces aparecía otro nuevo y se reiniciaba el recuento de los años. En estas ocasiones tenían lugar grandes cam­bios.

Tanto cronistas indígenas como españo­les coinciden en señalar que el tiempo an­dino ha sido precedido por «cuatro» edades.

Esa visión cíclica de la unidad espacio-tem­poral, en la que se suceden eras cósmicas contrapuestas mediadas por cataclismos, es la concepción que subyace en los mitos cosmogónicos prehispánicos.

Por otra parte, nosotros, a su vez, orienta­mos otro tipo de enfoque. El concepto del «tiempo» se da y tiene vigencia signi­ficativa en la estructuración de nuestros pueblos andinos, y sus implicanciones son fundamentales como referentes en la edu­cación, tanto formal como no formal.

Medición del tiempo

En la actualidad se reconocen las catego­rías de año-mes-semana-estaciones de año. Para las comunidades aymaras y quechuas del altiplano andino, el año tiene doce me-

59

Pacha - Tiem po

Molemólico ondino

Willjta / K'ita. Qhanjta. Intijalsu.

ses (mara, en aymara y wata, en quechua). Cada mes phaxsi (aymara) y killA (que­chua) tiene cuatro semanas o treinta días y cada semana tiene siete días.

El año es distribuido en dos estaciones o épocas:

l. Épocas «secas" (awti / juphu pacha) en aymara y (chirawi / ch 'akt) en quechua. Estos meses serían los de mayo, junio, julio, agosto, septiembre y octubre. En esta temporada cae la helada y even­tualmente la nevada.

2. Época de «lluvias" ('jallu 'pacha, en ay­mara y para y, en quechua). Los meses que tienen estas caracterÍsricas son: noviembre, diciembre, enero, febrero, marzo y abril.

Muchas comunidades aymarahablantes diferencian los momentos del día, que se indican en el cuadro de abajo:

Rayar el alba. Amanecer.

Orientaciones en el tiempo

Diversas comunidades del Altiplano se orientan en el tiempo:

l. Mediante la observación del movimien­to del Sol desde que sale hasta que se pierde. Durante el día se determina aproxima­damente la hora según el avance de la sombra (eh 'iju, en aymara). Esta va dis­minuyendo al transcurrir las primeras horas de la mañana, desaparece hacia las doce del mediodía y va aumentan­do conforme avanza la tarde. Algunas veces se marca la sombra en lugares fi­jos para indicar la hora de ir a la escue­la, la hora de descansar en el trabajo, etc. En otros casos se consideran las som­bras que proyectan los cerros cercanos a la comunidad.

2. También se toma como referencia el canto del gallo o el rebuzno del burro.

Qhiíra manq'a wrasa. Salida del Sol. Hora del desayuno.

Uywa anaksu / Yapu sarxata.

Yapu qallta. Qhiíra / alwa akulli. Chika uru / chiküru. fayp 'u akulli. fayp'u sama / uywa anakthapi.

Inti falAnta. Sujsthapi / Ch 'amakthapi. fayp'u chika.

Chica aruma. Qhara chika.

Qhanjta.

Hora de sacar el ganado del corral. Hora de ir al trabajo en la chacra. Hora de comenzar el trabajo en la chacra. Descanso de la media jornada de trabajo de la mañana. Medio día.

Descanso de la media jornada de trabajo de la tarde. Descanso a fin de la jornada de trabajo del día u hora de arrear el ganado al corral. Puesta del Sol. Anochecer. «Mitad" de la mañana, comprendida desde el anochecer hasta la media noche. Media noche. «Mitad" de la mañana, comprendida desde las primeras horas del día hasta al amanecer. Amanecer.

60

Pacha - Tiempo ----------------------------------------

Según versión de los campesinos, el ga­lio, por ejemplo, cama rres veces y aproximadameme cada hora, a parrir de la una de la mañana. En el período de cosecha el gallo cama más rarde que en época de siembra. Asimismo, se observa el movimiemo de la Luna y de algunas esrrellas. Las esrrellas que generalmeme sirven de in­dicadores son: o Qawra naya (ojo de llama): Son

esrrellas Alfa y Bera de la consrela­ció n Cemaurus de la Vía Lácrea.

o Kurusa (Cruz del Sur). o fayp 'u ururi (lucero del anochecer). o Qhara ururi (lucero de la mañana).

.~. Considerando OIros indicadores dife­remes a los mencionados: • El camo de OIras aves, de acuerdo

con cada región. o Relojes solares en la región de Tiwa­

naku y alrededores.

Días de la semana según el idioma aymara

1. maytita = lunes 2. paytita = martes

3. iritita = miércoles 4. junkita = jueves 5. chipanita = viernes

6. takirita = sábado 7. sama ya = domingo

(2)

La visión andina del mundo

Fuente: Hoequenghem, Ano María. 1987. El mundo andino. Guito, pp.124-126.

Visión antropomorfo del mundo

El sisrema de clasificación se basa en una concepción dualisra y cuarriparrira del mundo. Es una visión amropomorfa de rodo lo que se observa y concibe. Todo consra de dos panes semejames y com­plememarias, según la imagen de las dos panes del cuerpo humano: la derecha y la izquierda, que se idemifican con lo mas­culino y lo femenino; ésras se dividen a su vez en dos mirades diferemes y opuesras: la de la cabeza arriba, el levame, que se asocia al nacimiemo; y la de los pies aba­jo, el ponieme, que se asocia a la muene. Todo se compone de cuarro e1ememos, a semejanza del cuerpo humano con su piel, grasa, sangre y hueso, y riene rres fuerzas o almas.

Todo vive y muere, consra de dos perío­dos semejames y complememarios, divi­didos a su vez en dos mirades, una de crecimiemo, del nacimiemo a la mayoría, y orra de envejecimiemo, de la mayoría a la muene. En la muene, que es la vida en el orro mundo, rambién se crece y se de­crece. Así, como toda persona tiene un ombligo, roda emidad riene un cemro donde se reúne y reproduce. La reproduc­ción implica siempre la unión de un e1e­memo masculino y uno femenino.

El espacio

El espacio lo delimira el Sol al rocar los confines del esre y del oesre, del norre y del sur, en los solsticios y equinoccios, y al tocar los confines de lo alto y de lo bajo en su pasaje por el cénit y el amicénit o nadir. El espacio comiene tres terrirorios esenciales: el mundo de arriba, este mun­do, y el mundo de abajo. Todos los terri­rorios se componen de dos partes: la del none a la derecha, la masculina, y la del sur a la izquierda, la femenina; y de dos mirades: la del esre arriba y la del oesre

61

Mo te mó t i co ond in a

abajo; y de un centro que une las cuatro parcialidades y las reproduce. Esta orga­nización cuatripartita se proyecta en to­dos los territorios, desde el del pueblo, con sus cuatro parcialidades y su fuente en el centro de la plaza, hasta la totalidad de este mundo, que tiene también cuatro parcialidades y un centro que es homólo­go al del centro de la plaza. La totalidad del espacio contiene doce intervalos.

Los antepasados y los vivos, con sus tie­rras, plantas, animales y bienes se clasifI­can en el espacio según la parcialidad que ocupan. A la parte derecha corresponde lo que es masculino y a la parte izquierda lo que es femenino. A la mitad de arriba, de más fuerzas, corresponde lo más fuerte y a la mitad de abajo, de menos fuerzas,

corresponde lo menos fuerte.

El tiempo

El tiempo lo dicta el Sol cada día, según su posición en el este o en el oeste y, cada año, según su posición en el norte o en el sur. Hay tres momentos especiales, el del comienzo, el de la culminación y el del fin. La organización cuatripartita se pro­yecta también en el tiempo, que consta de dos partes que alternan, la masculina y la femenina, la de la vida y la de la muer­te, la del día y la de la noche, la sin irriga­ción y la de la irrigación, la de la derecha y la de la izquierda; y de dos mitades: la del principio, de las fuerzas crecientes, y la del fin , de las fuerzas decrecientes.

Cada período tiene cuatto temporadas que se conjugan y reproducen en un centro. Se necesitan cuatro veces tres horas para que pase un día o una noche, cuatro veces tres semanas de diez días para que pase un mes solar, cuatro veces tres meses solares y cuatro temporadas (cada una dividida en tres partes) para que pase un año. Ni­ñez, adolescencia, mayoría y vejez, para que

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pase una vida. La totalidad del tiempo con­tiene doce intervalos.

La secuencia del año la marcan la pléyade con su desaparición al comienw de mayo, su reaparición a fines de mayo y su culmi­nación a mediados de noviembre.

El poder

El conjunto de las relaciones de comple­mentariedad y de oposición, que juntan las partes y dividen las mitades, nos ofre­ce un cuadro equilibrado, pero asimétri­co. Lo masculino domina a lo femenino, y los mayores dominan a los menores. Esta desigualdad genera un orden jerárquico (1. los hombres mayores, 2. los hombres me­

nores, 3. las mujeres mayores y 4. las mu­jeres menores). Este orden jerárquico se proyecta en el territorio (l. el noroeste, 2. el noreste, 3. el sudeste y 4. el sudoeste) y en el tiempo (el tiempo de los hombres: 1. del equinoccio de marzo al solsticio de junio y 2. de este solsticio al equinoccio de septiembre) yel tiempo de las muje­res: (3. del equinoccio de septiembre al solsticio de diciembre, y 4. de este solsti­cio al equinoccio de marzo). Esro origina una doble autoridad: la masculina, la más fuerte; y la femenina, la más débil; y un doble mando: el de la mitad de arriba, el más fuerte, y el de la mitad de abajo, de más sabiduría. La autoridad masculina se encarga de las tareas de organización y la autoridad femenina de las tareas de pro­ducción. Estas dos autoridades juntas ase­guran la reproducción, en el espacio y en el tiempo, del orden natural y social.

La autoridad representa el poder que ema­na de la reunión de la sabiduría, la fuerza y la fertilidad; allí se unen las tres funcio­nes: la sacerdotal, la guerrera y la agrícola. La autoridad masculina de la mitad de abajo asume la función sacerdotal, la de la mitad de arriba la función guerrera, y la

autoridad femenina asume la función agrí­cola. Las autoridades en el mundo de los antepasados míticos son el Señor de la obscuridad (Pachacdmac), que es sacerdo­te; el Sol del día (lnti Panchao), que es guerrero; y la Luna (Quilla), que es agri­culrora. Las autoridades en «este mundo»

son los incas, un inca sacerdote, un inca

guerrero y una coya.

Las tres funciones, la sacerdotal, la guerre­ra y la agrícola, que asumen las autorida­des de las cuatro parcialidades por orden

jerárquico, se conjugan en el centro que es la fuente del poder. El poder que genera y mantiene el universo (el Pacha) es Viraco­cha, a la vez centro y confín del mundo, su principio y su fin; se manifiesta a la humanidad en forma del Arco Iris y la Vía

Láctea, y se representa en forma de círcu­lo. El Arco Iris y la Vía Láctea son conce­bidos como arcos dobles, uno masculino

y otro femenino; esto conduce a suponer que el Viracocha, como centro y confín contiene y reproduce las dos partes (mas­culina y femenina), las tres funciones y las

cuatro parcialidades, de manera que es la unidad base del cinco, y reúne los doce intervalos del espacio y del tiempo.

Calendario ceremonial

La homología en la organización espacial, temporal y jerárquica permite relacionar en un gran calendario ceremonial el espa­cio, el tiempo y la jerarquía; y hace posi­

ble que una misma ceremonia dé sentido y eficacia a las etapas de los ciclos natura­les e institucionales.

En el equinoccio de marzo, cuando el Sol entra en el territorio masculino y empieza

la temporada sin irrigación, en la direc­ción de las tierras que bajan al mar, en el

oeste, se celebra el Inca Raimi, la fiesta de la autoridad masculina; en ella se hacen los ritos de la muerte. En el solsticio de junio, cuando se cosecha, en la dirección

de los cerros del noreste, se celebra el Inti Raimi, la fiesta de la autoridad de la mi­tad de abajo o de los menores; en ella se festejan los nacimientos. En el equinoc­cio de septiembre, cuando el Sol entra en el territorio femenino y empieza la tem­porada de irrigación, el agua fertiliza la tie­rra, partiendo de la plaza en todas las

direcciones, se celebra el Coya Raimi, la fiesta, de la autoridad femenina; en ella se

festejan los casamientos. En el solsticio de diciembre, cuando las plantas cultivadas están creciendo, en dirección de los certos del sudeste, se celebra el Cdpac Raimi, la

fiesta de la autoridad de la mitad de arriba

o de los mayores; en ella se festeja la ini­ciación de los adolescentes. Cada cuatro años se cierra un ciclo; cuando llega a su fin se celebra la Copaccocha (la fiesta del

poder del universo y del centro de Viraco­cha).

Este gran calendario ceremonial andino no se pudo mantener después de la conquis­ta, y hoy sólo quedan fragmentos, sobre todo aquellas partes relacionadas con ri­tos agrarios, mezclados con el calendario de las fiestas católicas.

(3)

La división del tiempo en el campo

Fuente: Dietschy-Scheiterle, Annelte. 1990. Los ciencios noturo/es en lo educación bilingüe: el coso de Puno. Limo-Puno, pp. 55-66.

Introducción

El día quechua se divide en secuencias de tiempo basadas en dos relojes. Éstos toman como referencia las dos variables del día que­chua rural: el Sol y los animales de la granja.

El reloj solar provee divisiones de tiempo basadas, primeramente, en la cantidad de

63

Pacha - liem p

Motemótico ondino

luz visible, así como en la posición del Sol con relación al horiwnre. Mucha genre del medio rural puede decir también la «hora española» deduciéndola de la posición de su sombra, usando sus cuerpos como un señalizador solar. Las divisiones del riem­po solar tienden a ser aproximadas a la sa­lida o enrrada del Sol. En esras dos horas del día, los segmenros del tiempo son re­lativamenre corros yexacros. Duranre las horas de oscuridad se usan las estrellas para indicar el tiempo.

Las palabras empleadas para expresar el riempo reflejan los principales aconteci­mientos del día. Cuando se dedican al pasroreo, por ejemplo, los acontecimien­ros principales del día pueden dar lugar a divisiones como ukya qarquy (sacar las

ovejas de su corral a pasrar) o ukya qati­ykuy (meter las ovejas al corral).

Los aymaras y quechuas utilizan, por así decirlo, momentos de tiempos inserros en una continuidad de acción. Esro es muy diferenre de la idea de tiempo occidental. Este concepro de riempo tiene continui­dad y consisrencia, y constiruyen los ras­gos más salranres de un riempo abstracro, que pueden ser apreciados cuanritariva­mente.

Vivencias del tiempo

En el proceso de la invesrigación que an­tecedió a la preparación de la unidad de enseñanza, invitamos a niñas y niños a re­presenrar gráficamente algún aspecro de sus vivencias con el tiempo. Con ello no solamente les incentivamos a cooperar, ya que les gusta el dibujo libre, sino que tam­bién se pusieron de manifiesro sorpren­dentes diferencias que difícilmente hubieran salido a relucir por medio de un simple inrerrogarorio. Luego, para la uni­dad de enseñanza nos decidimos por el mérodo de la escenificación, que conside-

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ramos la forma más adecuada de temati­zar el problema. De esra manera, sin nece­sidad de recurrir a la enseñanza, los diferenres sistemas del tiempo pudieron ser transmitidos a los alumnos y a las alum­nas en una forma en que pudieran experi­mentarlos en carne propia y, por ende, comprenderlos; y con seguridad entendie­ron más de esra manera, que si se hubie­ran limitado a copiar en sus cuadernos concepros de la división lineal del riempo (horas, días, erc.).

¿En qué idioma expresan niñas y niños del segundo grado sus experiencias con el tiempo? Desde luego en su lengua marer­na. Para obrener diferenciaciones lingüís­ticas más precisas, les invitamos a dibujar su rurina diaria y a comenrarla. Los resul­

tados de esta experiencia fueron utilizados también en la preparación de una unidad de enseñanza.

¿A qué hora empieza la escuela?

De esras observaciones y reflexiones saca­mos la conclusión que el rema de la uni­dad de enseñanza debía ser formulado a través de la pregunra: «¿A qué hora em­pieza la escuela?» En el manual de ense­ñanza conseguimos la siguiente explica­ción al respecro.

Niñas y niños, a la edad de siere a ocho años, generalmente no tienen un senrido para el ritmo y la duración del riempo. El repertorio de palabras con senrido tem­poral va siendo elaborado por un proceso de asociación. Cuando el niño y la niña juegan, hay luz solar, es de día; cuando tie­nen que acostarse, hay oscuridad o ya es de noche.

En los casos de niñas y niños de la prime­ra infancia, el tiempo es marcado por ac­ciones y acontecimientos aislados y distinros, muchos de los cuales despiertan

fuertes emociones. Para empezar con esta temática del tiempo en el segundo grado, usaremos estas emociones para reflexio­nar sobre el ritmo del día de un niño y una niña del campo.

Para ir a la escuela por primera vez los ni­ños y las niñas confrontan el tiempo con la hora oficial, y muchas veces llegan tar­de a la escuela por distintas rarones. En la segunda lección de este tema rocaremos este problema, a través de una escenifica­ción, para que niñas y niños puedan ex­presar las rarones de su tardanza.

La función de las distintas ramas del saber

Ahora bien, ¿qué importancia tienen las diferentes concepciones del saber en esta unidad de enseñanza? Para nosotros no se trataba de introducir el sistema lineal del tiempo utilizado en el occidente y su di­visión. Sin embargo, es muy probable que este concepro salga a colación en clase, por ejemplo, cuando lasllos estudiantes pre­gunten: «¿a qué hora comienza la escue­la?» o «¿cuánto dura una hora de clase?»

Las concepciones ernoespecíficas como pacha, los magníficos sistemas de medi­ción astronómica del tiempo de los incas o las líneas del desierto de Nazca tampo­co son tomados como objeto de enseñan­za. El concepto pacha es parte integrante de la concepción andina del mundo y por eso difícilmente puede ser comprendido en su multiplicidad de acepciones fuera del contexro de aquella. Pacha es cosmos, pero también el tiempo y el espacio com­prendidos por el cosmos, y se expresan con la misma palabra. El significado es­pecial del término depende del contexto en que se usa, se desprende de la situación concreta en que se menciona. Por eso, de­penderá del contexto del diálogo que se suscite en clase para que tal término sea

acogido en la enseñanza o no lo sea, y en qué medida.

Sin embargo, en cualquier caso, el profe­sor o la profesora debe ser consciente de que se trata de concepciones de tiempo radicalmente distintas con las que los ni­ños y las niñas se ven confrontados en su experiencia en los distintos grados de la escuela. Será decisiva, para su tratamiento en clase, la relación que los niños y las ni­ñas establezcan entre las nuevas nociones del tiempo y sus previas experiencias que traen de su entorno cultural.

Los conceptos generales para la definición de p'unchaw (día) y tuta (noche) roman como referente la salida y la puesta del Sol, ambas divididas por el chawpi p'unchaw y el chawpi tuta (medio día y media no­che). Durante el día se conoce el manejo y transcurso del tiempo mediante la ob­servación de las sombras y con activida­des de trabajo organizado en función del tiempo, desde que empieza el día (véase el siguiente cuadro).

B. Sugerencias didócticos

A lo largo de los diferentes cuadernos de la serie «Matemática Interculturah, varios módulos se dedican al tema «tiempo», es­pecialmente a la concepción andina (ver anexo: «Temas andinos en los materiales»). Hemos discutido tanto los problemas di­dácticos de la enseñanza del tiempo en si­tuaciones interculturales, como hemos planteado algunas reflexiones merodoló­gicas. También ofrecemos materiales di­ferentes (construcción de un reloj andino, tarjetas para trabajar los términos en la edu­cación bilingüe, materiales para las dife­rentes maneras de la representación gráfica del tiempo, etc.) y reportamos algunas ex­periencias concretas en la enseñanza del tiempo en la primaria o en la formación docente.

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Pocho · Tiempo

Molomóli" ondino

División del día y de la noche

P'UNCHAW (DíA)

TUTA (NOCHE)

k'tmka waqay juku waqay paqarimuy inti llusimuy uywa kaehariy CHAWPI P'UNCHAW uywa wisq'ay eh/si mikhuy puñuy CHAWPI TUTA

el canto del gallo el lucero del alba aclarar la salida del Sol hora de la salida a pastar MEDIODíA hora de cerrar los animales cena

hora de dormir MEDIA NOCHE

Fuente: Adán Pari: La enseñanza de la matemática a educandos quechuas y aymaras en el marco de la Reforma educativa. La Paz, 1997 (Mimeo).

Queremos subrayar que para la integra­ción del contenido transversal de la inter­culturalidad, el tema «tiempo" es sumamente importante y adecuado. Las diferentes maneras de conceptuar esa ca­tegoría social y cultural y las muchas formas de la orientación en el espacio tem­poral podemos aprovechar para la realiza­ción de una enseñanza intercultural verdadera. La comparación permanente de los distintos conceptos sobre el tiempo es la vía de entrada a la diversidad del mun-

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do del tiempo. Tenemos que reflexionar profundamente el por qué de las diferen­tes «direcciones" (perspectivas) de la per­cepción del tiempo. La ilustración de Guaman Poma de un reloj nos ofrece un ejemplo bastante interesante para discutir si este reloj, o el reloj que estamos acos­tumbrados a utilizar cada día, representa de manera «más correcta}) el tiempo. De

igual manera podemos comparar los ca­lendarios (hoja de ejercicios 7).

Hola de ejercicios 7

o

67

, , - -

Pocho

, ,

Tiem po

Molemólico ondino -----------------

llnidodes didácticos sobre temas de la CIJltura andilllL

¿Qué son unidades didócticos?

En la Estrucrura Curricular Básica de Edu­cación Primaria de Menores (OINEIP, 2000) las unidades didácticas son defini­das como .Ios elementos fundamentales que deben ser considerados en la planifi­cación a corro plazo, que deben conside­rar las actividades permanentes de aula y las actividades del centro educativo» (p.92). Estas actividades se desarrollan for­mando secuencias orgánicas; cada secuen­cia de actividades que se enlazan de este modo recibe el nombre genérico de uni­dad didáctica.

Existen varios tipos de unidades didácti­cas que en la práctica educativa se emplean según el caso (proyecros de aprendizaje, unidades de aprendizaje, unidades de tra­bajo específico, módulos de aprendizaje específico; ver DINEIP 2000, pp. 92-94).

También los instrumentos para la progra­mación de unidades son múltiples, y de­penden del estilo que adopte cada centro educativo. Cuales fueren los modelos que se adopten, deben permitir una rápida vi­sión de lo que se espera lograr y piensa hacer. En especial, deberán permitir un control de las competencias que serán tra­bajadas, tanto para llevar un control del desarrollo curricular como para efecros de evaluación del aprendizaje (ldem, ver p.92).

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La elaboración de las unidades didácticas se hace a partir del currículo diversifica­do, en concordancia con los lineamien­tos específicos para la diversificación de los programas curriculares básicos de una región, y tendrán valor para todas las es­cuelas del ámbiro regional. Un trabajo importante para la diversificación curri­cular es la ubicación de los contenidos en su contexto. Tal como aparecen en la Es­trucrura Curricular Básica, las capacida­des no hacen mención a contenidos específicos. Por el propio carácter nacio­nal del currículo, las referencias que se ha­cen allí son generales. Así, por ejemplo, en el currículo se dice que los educandos deberán conocer y utilizar los instrumen­tos de medición propios de la región, pero no puede aparecer así en el proyecto cu­rricular del cenrro educativo, donde el contenido deberá ser contextualizado y precisado (ver p.89).

Estamos convencidos de que la conrex­tualización de los contenidos menciona­dos debe realizarse a pareir de esrudios pre­vios e investigaciones regionales del conrexto específico. A continuación pre­senramos una metodología y algunos ejemplos para dar contexto a los conte­nidos matemáticos, teniendo en cuenta el contenido transversal de la intercultu­ralidad.

Unidodes didó(li(os sobre ternos de lo (ulturo ondino

Interculturalidad como contenido transversal

En el Currículo Básico de Formación Do­cente para la Especialidad de Educación Primaria (D1NFOCAD, 2000) se pone mucho énfasis en lo que es la lntercultu­ralitÚtd como uno de los contenidos trans­versales, entendida como el reconocimien­to de "las diferencias geográficas, socioeconómicas, lingüísticas y culturales de nuestra población» (ldem, p. 195320). El área de la matemática también está con­ceptuada dentro de este enfoque. Así, por ejemplo, a lo largo del quinto ciclo se ha programado "Educación Matemática a partir del contexto socio lingüístico y cul­tural» (ldem, p.195334).

En el Plan de Aprendizaje para la Forma­ción Docente en la Educación Bilingüe Intercultural (Ministerio de Educación, 1 993) para el área de la Matemática están nombrados los siguientes objetivos: "Comprender, valorar y continuar la sis­tematización de la lógica y conocimien­tos matemáticos básicos de su pueblo y los procedimientos de aprendizaje de con­ceptos y técnicas matemáticos de su cul­tura; manejar la terminología en su lengua materna, necesaria para la conducción del proceso educativo; diseñar, elaborar y apli­car materiales educativos en función de los objetivos de la matemática, urilizan­do los recursos de su medio; integrar en el currículo los contenidos matemáticos, urilizando los recursos de su medio; inte­grar en el currículo los contenidos mate­máticos de su cultura con los de la ciencia matemática, generando estrategias adecua­das para ello; participar en la solución de los problemas de su pueblo, urilizando sus habilidades y conocimientos matemá­ticos» (pp. 26-27).

Así, tenemos un marco de referencia de la conceptuación de la matemática, tanto dentro de la Educación Bilingüe Intercul-

tural como en la Formación Docente en general, que nos permite y nos exige desa­rrollar los contenidos matemáticos de manera contextual e intercultural.

Objetivos

Con la elaboración de unidades didácticas sobre un tema o concepto clave del pen­samiento (matemático) andino podemos:

• Contribuir a la diversificación curricu­lar y a dar contexto a los contenidos matemáticos, tomando en cuenta la re­gión natural y cultural andina dentro del enfoque de la interculturalidad.

• Contribuir a partir del enfoque de la emomatemática a la elaboración de materiales didácticos para el contexto específico andino, entrando al fondo de la emomatemática de este contexto cultural; como, por ejemplo, la visión andina del mundo, los conceptos cla­ves del pensamiento andino respecto a la matemática (tiempo, espacio, dine­ro, etc.), el uso cotidiano de la mate­mática en las comunidades.

• Contribuir a la integración de la mate­mática con las otras áreas.

Metodología

Los pasos de elaboración de toda unidad didáctica son tres:

10 Paso: Análisis crítico de una unidad didáctica

elaborada

Recomendamos empezar el trabajo con el análisis de unidades didácticas ya elabora­das. Por ejemplo, en el libro ¿Cómo pode­mos acercarnos a las diftrencias etnomate-

69

Molemólieo ondino

máticas? (N°3 de la misma serie) está re­producida una unidad didáctica sobre el «trueque», que nos da un excelente mo­delo (ver pp. 85-90). En seminarios de formación docente hemos presentado a los participantes esa propuesta didáctica so­bre el tema del trueque, elaborada en Bo­livia y adaptada al contexro peruano. Los participantes analizan este conjunto temá­tico para desarrollar categorías> ideas, estí­mulos sobre cómo se puede elaborar una unidad didáctica integrando áreas. A par­tir de la propuesta elaboran las pautas de su propia unidad didáctica y el esquema de la presentación.

De igual manera, y muy cerca al modelo original, son elaboradas las unidades di­dácticas, las cuales presentamos a conti­nuación a manera de ejemplos. En el seminario-taller sobre Matemática Inter­cultural, que se llevó a cabo en la ciudad de Huancayo, del 23 al 27 de agosro de 1999> se centró el interés en la elabora­ción de algunos conceptos claves del pen­samiento andino y de la matemática andina. Así, el seminario nos permitió aprovechar la presencia de los docentes para la elaboración de unidades didácticas so­bre estos mismos temas en un proceso co­lectivo.

2° Paso: Formar grupos de trabajo para la programación de

la investigación

En un segundo paso, los miembros del grupo de trabajo para la elaboración de unidades didácticas deben seleccionar un tema sobre el cual quieran trabajar en sus ISr. Se forman grupos de trabajo al nivel de ISr. Se elabora el diseño de la investi­gación, las estrategias para la recopilación de materiales y el plan de trabajo. Se ela­bora también una programación curricu­lar (¿cuáles son los temas del semestre?, ¿cómo se puede trabajar el tema con los alumnos?, etc.).

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Recomendamos consultar, en esa etapa del trabajo, los materiales ¿Cómo pockmos acer­camos a las diftrencias etnomatemáticas? (N°3 de la misma serie) y la «Guía de In­vestigación» (DINFOCAD, 2000). Estos materiales ofrecen una amplia gama de bases teóricas e instrumentos metodoló­gicos para la preparación, el desarrollo y la evaluación de la investigación. Un catá­logo de temas y tareas para el trabajo de investigación está incluido en el libro ¿Cómo podemos acercamos a las diftrentes etnomatemáticas? (pp.91-100).

3° Paso: Realización de la investigación y elaboración

de la unidad didáctica

La investigación y la elaboración de la unidad didáctica se realiza durante el se­mestre corriente. Queremos señalar que la unidad didáctica se elabora basándose en un estudio etnomatemático. Como ya lo hemos mencionado, el dar contexto a los contenidos del área de matemática y la incorporación del contenido transver­sal de la interculturalidad debe realizarse a partir de estudios previos e investigacio­nes del contexto regional.

Los pOSOS poro lo elaboración de unidades didácticos

• Selección de un tema del pensamien­to andino.

• Recopilación de las informaciones y materiales correspondientes.

• Realización de estudios o investiga­ciones de campo.

• Elaboración de la unidad didáctica (con la aplicación matemática, con sus tareas, ejercicios, fichas, etc.).

• Documentación de los materiales en un informe (máximo diez páginas).

Uoidode s didóclico s sobre lemos de lo ,"lluro oodioo

Presentación de la unidad didóctica

Una vez concluidos los trabajos de inves­tigación se puede elaborar la unidad di­dáctica. Con los materiales recopilados se prepara la unidad desde una perspectiva didáctica y metodológica. Queremos su­brayar que la unidad didáctica no es el in­forme de la investigación realizada, sino la transformación de los resultados y pro­ductos de la investigación en un material educativo puesto en manos de docentes y estudiantes.

Proponemos como esquema para la ela­boración de la unidad didáctica romar en cuenta las siguientes partes:

- Una introducción, que dé una visión resumida del tema de la unidad.

- Por lo menos una expresión gráfica del tema, que permita a los alumnos tener

una impresión visual del comen ido.

- Una breve descripción del comenido basada en las investigaciones realizadas, de manera que les sirva como texto básico o resumen.

- Las competencias {conjumo de capa­cidades y conocimiemos),las cuales de­finen el aprendizaje en la unidad didáctica.

- Descripción de algunas actividades como sugerencias para el desarrollo del trabajo con la unidad didáctica.

- Un conjunto de preguntas, tareas y ejercicios concretos.

- Hojas de trabajo.

Esquema poro uno unidad didáctico (propuesto)

• Introducción. • Expresión gráfica del tema (una

foto, un dibujo, etc.). • Texto básico sobre el tema (descrip­

ción resumida) . • Objetivos de los comenidos de la

unidad (competencias, fundamen­tación curricular, cartel de a1canoes).

• Actividades (sugerencias) . • Unidad de trabajo (preguntas, ta­

reas, ejercicios) . • Hojas de trabajo con tareas para el

cálculo.

A cominuación presemamos tres unida­des didácticas sobre temas de la cultura andina, elaboradas por docentes de mate­mática de diferentes Institutos Superiores Pedagógicos de la sierra andina. En estos materiales se tocan temas como el wipi (instrumento andino de medición tradi­cional) , el wasi wasi o la casa andina y los tapices, como ejemplo para una actividad tamo económica como artesanal. Las tres unidades didácticas han sido elaboradas basándose en amplias investigaciones, y lo documentan muchos materiales recopila­dos en las regiones. La presemación de las unidades se oriema a la propuesta descri­ta. Concluimos esa sección del libro con un ensayo sobre «Aportes de la etnomate­mática a la educación)), escrito por estu­

diantes y docentes del ¡SP «Teodoro Peñaloza» de Chupaca, el cual parece un resumen muy importante de la temática.

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Molemóli" ondino

Introducción

por

Wilde M. Salazar Vi!!anueva (ISP Llata) Luis C'hamorro Huet (ISP Huánco)

Kenny Aguilar Chávez (ISP La Unión)

En nuestra cultura ancestral se han desarrollado actividades que permitieron a nuestros antepasados, para satisfacer necesidades diversas, crear y emplear instrumentos que les permitieron desarrollar formas de cálculos y mediciones, iniciándose de esta manera en el mundo de las matemáticas. Estas actividades aún se vienen empleando en diversas zonas andinas, de las que no escapan las poblaciones andinas de la región Huánuco.

Si hacemos un balance de la forma precisa en que los pobladores andinos usan estos instrumentos, sin previo conocimiento del sistema de numeración, nos sorprende por la precisión con la que los usan; por lo que es pertinente interpretar y entender nuestras raÍCes culturales.

Es necesario entonces tener en cuenta el desarrollo del pensamiento matemático del habitante andino y, a partir de ello, formular propuestas con el fin de integrar a la estructura curricular actividades que permitan al niño y a la niña andinos identificarse y valorar su cultura propia e integrarse al mundo, dotado de este rico y singular bagaje.

Objetivos de los contenidos de la unidad

Al concluir la unidad alumnos y alumnas serán capaces de:

• Utilizar el instrumento de medida de peso y expresar sus mediciones en unidades de su comunidad, mediante las unidades apropiadas para cada situación.

72

Unidades didócticas sabre temas de la cultura andina

• Conocer, por medio de experiencias direcras, las principales medidas de peso y determinar sus equivalencias respectivas.

• Formular y resolver problemas relacionados con las medidas de masa y peso, a partir de situaciones de su vida cotidiana.

• Elaborar estrategias personales para resolver problemas de numeración. • Aplicar operativamente la adición, sustracción, multiplicación y división de núme­

ros naturales, y establecer relaciones entre estas operaciones. • Valorar la importancia que tiene el uso de unidades del sistema internacional para la

comunicación, apreciando la honradez como el valor vinculado al proceso de me­dir en las actividades diarias.

Contenido transversal

• Pluriculturalidad peruana. • Aporres culturales del mundo andino. • Rescate y valoración de la cultura andina.

COMPETENCIAS

Lógico matemática

• Unidades más usuales de masa. • Equivalencia de pesas y medidas. • El sistema internacional de unidades. • Resolución de problemas calculando la masa de los cuerpos.

Personal social

• Las manifestaciones de la cultura andina en la matemática. • Rescate de la identidad cultural andina.

Génesis del « Wipb)

Este valioso instrumento sigue utilizándose casi en la totalidad de las ronas andinas de nuestro Perú profundo para realizar cálculos y mediciones y poder interpretar su desa­rrollo productivo.

Con respecto a su origen existe escasa bibliografía, pero valiosísima y abundante tradi­ción oral, testimonios de los ancianos y adultos de nuestra rona.

El profesor John Earls, docente de la Universidad Católica de Lima y de la Universidad de Micbigan, realizó trabajos en la Universidad San Cristóbal de Huamanga en Ayacu­cho. En sus estudios deja entrever las bondades y versatilidad del Wipi Y destaca:

• su sencillez, • fácil manejo, • mútiples usos cotidianos, • su gran consistencia, • su identidad con el alma andina,

73

Matemático ondino --------------------------------------------------• expresión de la fuerte y vigorosa producción general. • exactitud matemática.

El historiador y cronista Huamán Poma de Ayala afirma que el wipi. así como la shicra, fueron instrumentos de pesas y medidas que los pobladores andinos utilizaron con frecuencia en la culrura prehispánica. probablemente antes de la expansión de la cultura inca.

Se cree que etimológicamente este término viene del wimpi, que significa algo así como:

"Movimiento o balanceo del péndula al realizar el control de pesos».

Es más. el auror le da un valor ético-moral y social al wipi cuando afirma que es útil y sirve para controlar el trabajo y para realizar pruebas de eficacia.

Estructura

Está elaborado de maderas compactas de la zona. entre las que destacan el quinual. quisi. colle. etc. Tiene forma cónica. un extremo es más engrosado que el otro. En el extremo menor tiene inserciones a manera de ranuras donde se controlan las medidas. Su tamaño promedio es de 18 a 20 cm .• según la consistencia de la madera con la que fue tallada.

Objetivos

• Entender las formas de cálculo y medición del habitante andino. • Conocer los instrumentos y medidas de peso de las zonas andinas. • Presentar alternativas para el desarrollo socialmente pertinente. dentro de la educa­

ción intercultural. • Realizar acciones que permitan al niño y a la niña andinos integrarse al mundo

moderno. partiendo del contexto de su realidad.

Actividades

• Como unidad de observación visitan los talleres de tejidos existentes en su entor­no.

• Descubren e interpretan las medidas de peso y sus valores. • Elaboran instrumentos de peso. con el uso de recursos de su entorno y los emplean

haciendo comparaciones y aproximaciones.

74

Unidode~ didócticos sobre terno s de lo cul1uro ondino --------------------------------Unidades de trabajo

l. Observar y comentar el gráfico que representa esta unidad. Se pueden utilizar las

sIguIentes preguntas: • ¿Qué es lo que representa el gráfico? • ¿Qué instrumento está usando el hombre? • ¿Qué características tiene?

• ¿Qué está pasando? • ¿Cuántos ovillos hay?

2. Colocar el gráfico.

3. Aprovechar el gráfico para motivar o evaluar cada uno de los contenidos de la unidad.

4. Planillcar la participación de alumnos y alumnas en la elaboración de estos instru­mentos y realizar cálculos de peso.

5. Comentar las observaciones y planificar actividades.

Las equivalencias del peso del wipi son:

kuruy

maltón

pisi mollón

2 libras

1 libro

1/2 libro

Do un ejemplo de algunos instrumentos de medido que conoces.

75

MnlellóllCO cpdlu ------------------------------------------------------------------¿Qué medido convencional utilizan?

R.:

Los equivalencias valorativas de los instrumentos de medido son:

¿Qué productos miden?

R.:

El producto en tejido de lo lona equivale o:

1:....:...l...L··· 1 ••• ,

.JJRIVOiiii' ~: pi$i mo/tón

lrilUtro

¿Cuóntos metros de bayeta obtendrón Juana, Oigo, Zoila y Carmen?

Total de lana Metros de Usuarias kunJy moIIón p1s1moffOn ~

Juono 3 2

Oigo 4

Zoilo 5

Carmen 3 3

76

Unidades dldóct i cas sobre temas de la cultura andina -------------------------------------------Precio que se debe pagar por 1 metro de tejido:

~ ••• & ••• . ......... ..... ", ... , .. :3. . .. ... jetga

2.00

¿Cuánto tendrán que pagar Donato, Encarnacián, Flaviano y Demetrio?

Producto Usuarios • • !I!.! •• Lo: • • • • • • • • !.!..1. • •• ....... ••••••

:: H'fr,-X : :.: ::: ~I'IIJ'::: ::: :LI!f'P:::: Conoto .. m • ! " I • , • l. 1, I I I 1 • i 1 I .. t

~~~qcjql! : :::: :~"':::

f~iprlp ~~ .. __ ~!1!~~~

Demelrio 5 m

3m , , ••• I • I •

••• .i . "m' ~ ..... ' ...

5m

2m : :0 •••• ,

::: !2:1)1!!;

7· 111

¿Quién gast6 más, quién gast6 menos?

R.:

77

Gastototol

Motemótico ondina

Los tapices de Son Pedro de Cojos por

Mariella Salcedo Núñez (ISP Tarma)

San Pedro de Cajas es un disrrito de la provincia de Tarma. Una de las principales actividades que allí se realiza es la confección de tapices, los cuales han ganado fama mundial por ser verdaderas obras de arte.

Los tapices se elaboran en talleres artesanales utilizando instrumentos sencillos, mate­riales de la región y mediciones muy peculiares.

La confección de los tapices es una actividad económica principal para los sampedra­nos. La técnica la aprenden desde la infancia primera y los conocimientos son trasmi­tidos de generación en generación.

Grófico N° 1

1. Objetivos genero les

Las alumnas y los alumnos serán capaces de:

1.1 Comprender el valor económico, social y cultural de los tapices en el desarrollo local.

1.2 Descubrir las medidas que se emplean en la elaboración de los tapices.

1.3 Resolver problemas acerca de la comercialización de los tapices.

1.4 Asumir retos y responsabilidades frente al desarrollo de la comunidad, viendo los tapices como una fuente de progreso y desarrollo.

78

Unidodes didóclicos sob,e lemos de lo cullulO ondino

2. Objetivos de los contenidos de la unidad

Al concluir la unidad los alumnos y las alumnas serán capaces de:

2.1 Realizar ampliaciones y reducciones de figuras en el plano.

2.2 Reproducir en cuadriculados diseños propios de su entorno cultural. Crear sus propios diseños aplicando la proporcionalidad.

2.3 Resolver las situaciones problemáticas relacionadas con mediciones y uso del dinero, aplicando correctamente las técnicas operativas.

2.4 Realizar cálculos simples con medidas de longitud.

2.5 Hallar superficies equivalentes utilizando gráficos en cuadriculados.

2.6 Realizar cálculos simples con unidades de masa y tiempo.

2.7 Identificar y utilizar adecuadamente algunos términos propios de su localidad.

3. Actividades

Los alumnos y las alumnas deberán:

3.1 Visitar un taller de arte textil, un museo, una galería donde se encuentren tapi­ces, como actividades de observación yen compañía del profesor.

3.2 Observar e indagar acerca de la elaboración de los tapices de San Pedro, descu­briendo cantidades, mediciones, costos, tiempo de trabajo, etc.

3.3 Elaborar un diseño para reproducirlo en una tapiz con el empleo de escalas, como los artesanos.

3.4 Comprar y vender tapices pequeños a precio justo, creando un fondo pequeño para los gastos del aula, como en una microempresa.

Historio de los tapices

Los tapices de San Pedro de Cajas tienen su origen en la época preincaica después del período formativo, al constituirse el grupo étnico TARAMA en pequeños señoríos.

Estos primeros habitantes, como otros del continente, sufrieron las inclemencias del tiempo por falta de elementos con qué abrigarse, sobre todo en las noches frías. Esta necesidad de abrigo hizo que contemplaran ramas tejidas entre sí, telas de arañas en­cantadoramente tejidas por estos seres minúsculos.

Si las arañas sin ninguna clase de herramientas tejían, entonces se dijeron que ellos también podrían tejer algo parecido y se preguntaron ¿cómo trenzar? ¿cómo tejer? y ¿con qué herramientas hacer algo bueno?

Así, comenzaron a investigar. Al principio sólo era trenzar con tres, cinco, siete, y más hilos, después fueron perfeccionando sus artes y técnicas hasta construir un telar que trabaja con gran cantidad de hilos.

Al comienzo con lana de alpaca y llama tejían mantos y bayetas. Después confecciona­ron mejores mantas llamadas «cor de lIatas" u «ojo de perdiz,,; posteriormente tejieron gachacates y otros con dibujos originales; así llegaron a los años 50, y empiezan a producir los afamados tapices que hoy valoramos.

79

Motemóti,o ondino

Los tapices de San Pedro de Cajas son tejidos ornamentales. Son obras de arte porque se confeccionan casi manualmente, utilizando sólo el ingenio, que se aprende de gene­ración en generación. Realizan obras a escala, reproducen rostros, figuras, paisajes casi perfectos, para ello trazan cuadrados en la figura original con pitas y otros con lápiz y regla; se guían para realizar sus escalas por la cantidad de hilos en el telar. Sólo al tacro preparan sus lanas, los llamados zarpes (especie de cordoncillos de lana teñida o de color natural, los cuales combinan ingeniosamente en el cardado, obteniendo colores muy peculiares).

Para armar los hilos tienen un cuidado único, pasan los hilos pares por un lugar y los impares por otro. Fabrican la usha qata (mantos), qipi qata o mantada de cargar, baye­tas, cordellatas, gachacates (mantas multicolores), y los tapices de fama internacional.

Actualmente los tapices sampedranos son comercializados a nivel nacional y mundial; por tal motivo, San Pedro de Cajas es considerado hoy en día la capital artesanal del Perú y del mundo.

Unidad de trabajo

Sugerencias para ser desarrolladas durante el curso de la unidad:

1. Colocar el gráfico que representa la unidad.

2. Observar y comentar los gráficos que representa la unidad. Pueden usar para ello las siguientes preguntas:

- ¿Qué representa el gráfico N° 1, el gráfico N° 2 Y el gráfico N° 3?

- ¿Cuántas personas están en el gráfico N° 1 yen el gráfico Na 2 y qué actividad están realizando?

- ¿Cuántos telares hay en el gráfico N° 1?

- ¿Cuántos tapices hay en el gráfico N° 3?

- ¿Qué colores de zarpes observas en el gráfico de los tapices del gráfico N° 1?

- ¿Qué representan los diseños de los tapices del gráfico N° 3?

- ¿Cuántos tapices del gráfico N° 3 son semejantes? ¿Cuál es el que más te agrada?

3. Planificar la participación de los estudiantes en la visita a los talleres y en la comer­cialización de tapices.

4. Ordenar las ideas a partir de las observaciones realizadas y planificar las actividades.

80

Un i dades d i dótt i <O $ soble t_mol d. lo (Ullu l U ondina

Groheo N' 2

Glófico N' 3

81

Molemólico ondina

Aplicaciones matemóticas

1. Para realizar un tapiz, los artesanos de San Pedro de Cajas tienen como modelo una figura que reproducen, y para hacerlo cuadriculan la figura con pitas correctamente ubicadas.

Si don Pablo (un artesano) tiene una figura que mide 15 cm de largo y 10 cm de ancho y desea cuadricular una figura cerrada con cuadraditos de 2.5 cm de lado, ¿cuántos cuadraditos trazará sobre la figura?

Completa el cuadrado siguiendo el proceso anterior:

Medidas de lá figura '

Largo

21 cm ; :r.UriI : : : : ~ •••• f ••• .•

Medidos del cuadradito

3011

"cm Scm

2. Los sampedranos utilizan como medida de peso la libra (llibra = 450 g). Sabiendo que para confeccionar 20 tapices grandes se requieren 200 libras de lana.

Complete el siguiente cuadro:

N° de tapices

10

5

~

Peso en lb Peso en g Peso en kg

3. Da un ejemplo del sistema de medida de peso que utilizan en tu comunidad:

82

Unidades didócticas sobre temas de lo cultura ondina

4. A don Isidoro León un turista le da una foto de 15 cm de latgo por 10 cm de ancho, y le pide que le confeccione tapices de 10 Y 20 veces más que d tarnaiío de la foto ¿Qué dimensiones tendrá cada tapiz?

W.;;¡a~;i;; •••• _____ !!I!'. · .... a.. - ~ " I .. ·Iltit ~ ..... .. ~~E.~~ __ ~::::::

la"'(~ .. ~ .. . 15

AndlO(an)

10

5. Escoge una foto que te agrade más y amplíala tres veces su tamaiío (puedes realizar ru ampliación como los artesanos de San Pedro utilizando pitas para d cuadricula­do).

6. Observa gráfico N° 3 de la unidad. Los tapices que allí se encuentran tienen los siguientes valores:

La rosa, SI. 45.00 El florero, SI. 60.00 La casa, SI. 40.00 Los porongos, SI. 70.00

El niño, SI. 45.00 Las llamas, SI. 70.00 Los niños y d perro, SI. 80.00 La fiesta, S/.60.00

Los alumnos Juan, Antonio, Anita e Isabel compran estos tapices de la siguiente mane-ca:

La roso El florero La coso los

8 niño Las

porongos Ilomas

X X X

Antonio X X X X ••• a , ••••

a.no :::: X X

Isobel X

¿Quién adquirió más tapices?

¿Quién invirtió más capital en la compra de tapices?

¿Quién ganarla más dinero y cuánto, si por cada tapiz obtiene una ganancia de S/200?

¿Quién ganó menos?

83

los niños Lofiesto yel perro

X

X X

X

Molemólico ondino

« Wasi was~) o «wasichaku'{¡) por

Ricardo Quispe Aguilar (ISP .. La Salte. Abancay), Juan Juvenal Aedo Pozo (ISP Chalhuanca) ,

GiMa Casaverde Villegas (ISr Chuquibambilla) y Aníbal Bellido Miranda (iSr Andahuaylas)

. . -- . ~,. ~.!.. • • ... _......., . [] fJ -...--

' ''-";,p ~_ ...

... :. . ...: .:.

- ---=~ ....... ~ -: ~- "' .. ~ - - .. - - -~ -----

r---,- ,- .----.-, • J: __ _ --, .

--.. -"

- --- --'-w.

Una de las riquezas en el Perú es la existencia de muchas lenguas y culturas vigentes en su medio y capaces de contribuir al desarrollo del país como una totalidad. Entendién­dolo de esta manera, el área lógico matemática debe partir del contexto sociocultural: comprendiendo, valorando y utilizando los conceptos claves del pensamiento andino. En un pueblo de la Sierra encontramos la costumbre del wasi wasi o wasichakuy. para encarar solidariamente la construcción de la casa propia; se realiza en diferentes erapas por medio de la minka, ayni y mita. Estas costumbres nos llevan a practicar la solida­ridad; a través de una verdadera acción comunitaria se realizan los trabajos extraordina­rios en favor de personas que por lo regular son de modestos recursos y, sin embargo, aporran terrenos, mano de obra y algunos materiales dentro de la interacción de nues­tras comunidades andinas.

Mas, esta solidaridad no se limita a un simple esfuerzo de mera construcción civil o albañilería, sino que incluye valiosos aspectos como son la afirmación del espíritu de responsabilidad del poblador rural y sus ansias de cooperar, ejercitando de paso el sentido cívico para organizarse. Es la mejor aplicación del principio de ayudar a ayu­darse.

La presente unidad de aprendizaje se realiza con estudiantes del tercer ciclo de prima­na.

Origen del was; was;

Esta costumbre se realizaba en la época incaica en todo el imperio. La necesidad de contar con una vivienda propia impulsaba a los dueños (recién casados) a su conStruc­ción, pata ello necesitaban de ayuda, sobre todo al final, cuando había que hacer el

84

Un i dodes d i dó c ticos sobre temos de lo culturo ond i no

techado de la casa. El wasi wasi integraba el sistema de trabajo ayni (trabajo recíproco) con otras formas como la mita (explotación en las minas) y minka (trabajo comunita­rio).

En esta actividad el wasiyuq o dueño de casa, al término del techado, ofrece una comida o banquete y chicha (bebida de maíz) que posteriormente termina en una fiesta. Dan una vuelta a la casa bailando para protegerla de los peligros externos y se baila en el interior para arrojar a los malos espíritus. En un momento especial de la fiesta se hace un intermedio para hacer la tinka, una especie de bendición, tanto para el techo como para las paredes, a fin de que tengan solidez.

Con la llegada de los españoles esta costumbre consigue mantenerse, especialmente en la Sierra del Perú, pero con algunos aditamentos como: la posición de una cruz (made­ra u hojalata) adornada con cintas, gaseosas, frutas, panes, espejos, etc. Esta cruz es regalada por el compadre o padrino de la casa y simboliza la presencia de Dios en el hogar, para que Satanás no entre en la casa, y también representa la muerte de Jesucris­to. Los adornos de la cruz simbolizan la abundancia de los productos en la casa; luego ponen ollas para que no les falte la comida. Luego botan una gallina por encima del techo, si cae viva la casa durará, si muere se rajará.

UNA BUENA CASA CON ADOBES CUADRADOS Y CONTRAFUERTES

DEBE SER DE UN SOLO PISO

encuentro de muros a escuadna, evitar ochavos.

vanos alejodos a 1.20 m de la esquina

muros bajos

buenos amarres en los

usar refuerzos horizontales

usar refuerzos

máximo 8 ve:c=es~~b~~J~~:'~~W~~~!~~m~~usar adobe de su espesor =-- poco altura

vanos de puertas y ventanas chicas

buena ubicación de la casa

largo de muros máximo 10 veces su espesor

:--¡_":.~.-::. -"h,,''''n tnaba entre adobes y juntas verticales alternadas

usar cimienta y sobrecimienta

85

buena calidad del adobe

Matemática andina

l. Dimensiones del terreno

Un terreno de forma rectangular tiene las siguientes dimensiones:

Mide tu sal6n y halla:

Dimensión MeIro5

Largo

Ancho

¿Cuánros m2 mide ro salón?

¿Cuál es el perímetro de ro salón?

Área A = bx h

Área

Realiza las conversiones de las medidas de tu sal6n:

Reflexiona:

• •••• ••••• ND:::::

I ··~ . :mtc:rDi ::::~

Penmelro

Se tiene un rectángulo de 6 cm de largo por 4 cm de ancho. Si le aumentamos el largo en 2 cm y disminuimos en 2 cm el ancho:

al ¿Los perímetros son iguales? ¿Por qué? ______________ _

bl ¿Las áreas de los dos rectángulos son iguales? ¿ Por qué? ________ _

el Gráfica los dos rectángulos y comprueba.

86

Unidodes didócticos sobre ternos de lo culturo ondino

2. Cimentación

Recuerda:

Para la cimentación se cava una zanja de 40 cm de ancho por 1 m de profundidad .

• o 1, ó ,

J • Ji" l' O / ', \ ,

mírirno 100011.

40 011 espesordel muro

Problema N°l

Si 5 obreros cavan 20 m lineales de zanja al día, ¿en cuántos días terminarán de cavar la zanja que rodea un terreno de 12 m de largo por 8 m de ancho?

87

--- - _ .. - .... __ .. - - -------

Motemótico ondino

3. Construcción

Problemo N° 2

Calcular el volumen del adobe:

v = largo x ancho x a1rura

v= 40 cm x 20 cm x 20 cm

V= 16000 cm'

Expresa en m3

Recuerdo:

40<111

,'¿.~"t . • _ " • .. ....... " / " ~.

,J ... . ' . 11 . . .. ••• _.. • _, ; .... ,.. .. 1 ,' .. -.," f ". ..' .' . \; . "

/"" '. ". . . ... ', ", o .. !' '" ~ • • !. . ... .. .1 20an

20<111

Para la construcción de una casa los adobes van «trenzados» de la siguiente manera:

40<111 20<111 40<111

40<111 IDI 1I IDI I I 1I I I

-- lm=lOO<1l1 __

Problema N° 3

En una pared de 12 m de largo por 3 m de altura, calcular el número de adobes.

Problema N° 4

A partir del problema anterior: calcula el volumen de la pared .

. " .. - /.: ........ -:::-.-*.- - ~

88

Unidades didócticas sabre temas de la cultura andina

Problema N° 5

Calcula el número aproximado de adobes que se utilizará para construir una casa de 12 m de largo por 8 metros de ancho y 3,4 m de altura promedio.

Problema N° 6

Si cuatro obreros elaboran 300 adobes por día ¿en cuántos días tienen la cantidad de adobes para una casa (trabajar con los datos del problema anterior)? ¿cuánto es el costo, si el jornal de cada obrero es de SI. 12,00 por día?

, --"

Problema N° 7

-. - ., __ o

Para levantar las paredes de la casa se necesitaron 5 días, trabajando 5 obreros y un albañil ¿cuál es el costo de las paredes?

Obrero: SI. 12,00 por día

Albañil: SI. 20,00 por día

Obrero

Albañil

Número de personas Costo jomal por día

5

89

Subtotal

Ma,e 0'1(. Hd"a

4. Techado:

Recuerda: En un m2 entran 30 tejas

Problema N° 8

¿Cuántas tejas se necesitarán para un techo que tiene 12,80 m de largo, por 4,70 m de ancho?

Los materiales usados para el techado se muestran en el siguiente cuadro. Completa:

Cantídod Costo unitario Subtotol % (S/.)

Umbrales 16 10,00

Palos 25 5,00

Maguey 30 rollos 25,00

Tejas 3,600 0,25

Alambres 5 rollos 6,00

Clavos 3 kilos 8,00

Total

90

Unidades didácticos sobre tamos de la culturo ondina

Mano de abra para techar en un dio:

Obreros

Albañil

Problema N"9

Cantidod

.;, •• + .. ~ ••••• ,

.... t ...... I ••

Costo unitario (SI.)

.. tlneé;;;; ,

20,00

Total

¿Cuál es el costo total de la construcción de la casa?

· ··-· ·T .. · •••••• : ::; ;~ ... lls.R4::::: • ••••••••••• 6.~ _____ _

Costo

Total

Subforol %

%

Observa la siguiente figura, identifica las figuras geométricas que conoces y completa la siguiente tabla marcando con un aspa en cada caso, según corresponda.

\ \

91

Matemótica andlnD

Figuro Lodos opuestos y paralelos

Cuatro ángulos iguales

Dos lodos opvestos eiguoles

Problema N° 1 O

Dos po res deóngulos opvesfose iguales

Un por de ángulos opuestos eigvales

Cuatro lados iguales

Dospores de lados ~ e iguales

Si la sombra que proyecta una casa mide 4,80 m y un palo de 1,50 m proyecta una sombra de 2,25 m. Calcular la altura de la casa.

~ = 4.80m 150m 2,25m

x = 1.50m x 4.80m 2,25m

x = 3,20m

Problema N° 11

2.25 m

Calcular la altura de un árbol si la sombra que proyecta mide 24 m y en ese instante un palo de 1,50 m de altura proyecta una sombra de 1,80 m.

92

~1,50m ~7

1,80 m x

Un l dad c. dldC(li ( a ~ ~D b I U l a mo l de la cullula undlllG

Completa la otra mitad de la casa:

- - .. ,- - --

;: 1- -1-.

- e-l-

/ r- ,-

I

I-+- -

I--+- 1-

,- -

I I

Las coordenadas de los puntos A, B, C son:

y

11

10

9

8

7

6

3~+-+-~~-+-+~~L-~

!--+---;1 ----'-i-+-+-

-- - -

-~ f- -

-.- - - -

- -

I -,

...

lOn ll tl ll x

A ( , )

B ( , )

C ( , )

93

-~-

.

-

...

MOleln6 leo ondina

Ubica los siguientes puntos en el plano canesiano. Une los puntos y reconoce la fIgura formada:

P (3 , 5) Y

Q (8,5) 11

R (3, 1) 10

S (8 , 1) 'f

8

r .-1 - - - I '-

I I -_.

I - _. ,-

! . --

'-1 _. "-!

7

6

1-j

5 .-4

3 i 2 "

Calca o dibuja las siguientes fIguras en canulina. Rec6rtalas por las líneas contiguas, dobla por las líneas punteadas, después pega las pestafias y completa el siguiente cua­dro.

N" de aristas

94

Hola de elerclcios 8

Unidodes didácticos sobre ternos de lo culturo ondino

, \ , ,

\

\ , ,

, I , , I

I I

I

, ,

, ,

---------'" --------- /..--------'-

I I - - - - - - - - /' - - - - - - - - - - '-- - - - - - - -/

95

Molemólico ondino

CANCIONES

WANKil

W{¡waya, ya, ya, ya, yay (bis)

Ruruypa rurun señora comadre

Kayilay wasipichu waqapuwanki

Ñawiypa sisan señor compadre

Kayilay wasipichu

Llakipuwanki.

Ama waqaychu

Ama ilakiychu

Kaypis kachkani

W{¡qcha comadriyki.

WAQU

Ververalda sunquchapi

Munakusqay comadriilay comadre

Ververalda sunqucha wayra sayariptin

Makiilayman urmamunki way compadre.

96

Unidodes d l dolll t Ol sobre ternos de lo culturo ondino

Proceso y rituales del was; was;

l. Adobe ruray: elaboración de los adobes

2. Takyachi churay: durante la cimentación en las cuatro esquinas se colocan sendas vasijas con flores, monedas, bebida en botella, para que tenga duración la casa.

3. Fraskukuspa: bebida alcohólica (trago o cañazo) para conseguir peones; la persona que bebe obligaroriamente tiene que asistir.

4. Kaspi wantuy: consiste en el traslado de madera, vigas, armazones, cintas y otros.

f

97

Molemólico ondino

5. Pirqakuspa: levantamiento de la pared de la casa.

6. Kallmi ruray: fabricación de tejas.

7. Kallmi kañay: quema de teja con bosta de vaca, caballo y paja.

8. Aqa timpuchiy: las senoras se juntan para hacer hervir la chicha de maíz.

9. Aqa hayway: se sirve la chicha en pleno trabajo.

10. El convido: comidas que se ofrecen a los visitantes y trabajadores. o Trigo picante con carne. o El chairo.

o Segundo de quinua con queso. o Picante de habas con tarwi. o Relleno de cuy con papa sancochada.

11. Uchukuta mikuy: después de haber bebido y bailado, se sirve, aproximadamente a las 3 a.m., una comida reconstituyente.

12. El compadre: lleva la cruz y la coloca en el techo, una vez concluido el techado.

13. Uma hampiy: seguir bebiendo al día siguiente con el fin de curar el dolor de cabe­za, ocasionado por la ingesta de alcohol el día anterior.

14. Wasi quqaw: creencia para ahuyentar el hambre y la miseria, amarrando al techo de la casa papa, maíz, chuno, haba, etc.

15. Atuq kañay: quema de un zorro, hecho de paja y trapo, que es colgado al techo de la casa con la finalidad de desalojar y ahuyentat malos espíritus.

98

Unidodes didócticos sobre ternos de lo culturo ondino

Aportes de lo etnomotemótico o lo educación por

Héctor Addn Aroni Berrocal, Mariella Salcedo Nuñez, Natividad Camarena Cóndor, Martha Damidn Romero y

esrudiames del IV Semestre de Educación Primaria del ISP Chupaca

El quehacer matemático es una actividad imelecrual y social fundamemal, y como toda actividad humana se da en un con­texto culrural; por tanto, presupone una necesaria imeracción con otras personas y múltiples instrumemos, en un marco his­tórico determinado.

Una visión amplia de la construcción del conocimiemo matemático por los indivi­duos incluye procesos como comar, cla­sificar, ordenar, inferir, deducir, modelar,

etc. Estos procesos son realizados por gru­pos sociales y culturales específicos con sus códigos, símbolos, jergas, mitos que conforman su manera peculiar de razonar. Esta consideración es precisameme uno de los aspectos fundamemales que investiga la denominada emomatemdtica, discipli­na que recién desde la década del 80 viene configurándose y recibiendo la atención de quienes tienen en sus manos la educa­ción matemática; aunque, desde mucho ames, desde la amropología y otras cien­cias sociales ya se solían presemar los usos peculiares de la matemática en los grupos aborígenes.

La otra gran área de investigación de la et­noma temática es la de las actividades ma­temáticas en situaciones cotidianas demro de las culturas, y es que hay mucho que aprender sobre la práctica de esta ciencia en el comexto de la vida diaria. Su manejo nos sería de gran ayuda para mejorar el apren­dizaje escolar, al replantear la gran distancia que existe emre la práctica matemática en situaciones comunes de la vida y las que se plantean en las escuelas y colegios.

.. Etnomatemática» es un modelo de pen­samiemo que atiende al multiculturalis-

mo, reivindicando también la dignidad de los pueblos vernáculos.

El profesor Ubiratan D. Ambrioso, desta­cado matemático y educador brasileño, es quien acuñó el término .. Etnomatemáti­ca», rompiendo con el enfoque tradicional de ignorar el hecho incontrastable que, fren­te a específicos y distimos entornos (naru­rales, sociales y culrurales) los seres huma­nos desplegamos una diversidad de modos, estilos y técnicas de aprendizaje, prácticas y

conocimientos de matemática.

.. La matemática es la asignarura que me­nos reconoce el multiculturalismo que cada vez se hace más evideme en el mun­do", afirmó Ambrioso durame el Octavo Congreso Imernacional de Educación Matemática, realizado en julio de 1996. En el marco de este evento nos brindó la . . . . sIguIente entrevIsta que resumImos.

- Si concebimos la matemdtica como cien­cia de validez universal, con un cuerpo teó­rico, objeto y métotWs propios, ¿cómo enten­der la emomatemdtica?, ¿acaso hay que cues­tionar la concepción vigente sobre las mate­mdticas?

- No; la matemática que existe ya está consagrada, pero es muy necesario el exa­men, el análisis de cómo se formaron las matemáticas, de dónde vienen. La mate­mática, como toda manifestación culru­ral, desarrolla percepciones y explicacio­nes que se dan a los fenómenos que se pue­den notar, semir, a cosas que se quieren de alguna manera explicar. Al mismo tiem­po, el individuo saca de su entorno cultu­rallo que es necesario para su superviven­cia, a la vez que mentalmente busca expli­caciones a lo que vive. Estas actividades

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Malemólica andina - --son las que han dado origen a las reflexio­nes imelectuales, a las religiones, a las ex­plicaciones ciemíficas e inclusive a las ma­remáricas. Esre es el origen primero del pensamiemo maremárico.

En cada civilización hace tres, cuatro o diez mil años, esas ideas se han ido formando como respuesras a las imerrogantes sobre su emorno. Así, desde millares de años, se va esrructurando, organizando un cuerpo de conocimientos. De esre modo surgie­ron las matemáticas emre los azrecas, in­cas, griegos, romanos. Claro que cada uno de estos pueblos ha organizado esos co­nocimientos de manera distinta. Bueno, por circunstancias históricas y que no es el caso aquí analizar, hace unos mil qui­nientos años un grupo de culturas del cen­tro europeo, cerca del Medirerráneo, par­tieron hacia todo el planeta con sus hom­bres, ejércitos, navíos, etc.) y conquista­ron a los pueblos que encontraron, im­poniendo su poder político y cultura. Así, ese conocimiemo que venía de la Europa Cemral se impuso en todo el planera so­bre los distintos sistemas astronómicos, aritméticos y geométricos (andinos, hin­dúes, africanos, erc.). Y, a panir de enton­ces, el desarrollo que se dio a la matemá­rica creada en Europa adquirió carácter uni­versal. Entonces, hoy, cuando se habla de coches con funciones complejas basadas en los mismos principios físicos y con las mismas bases matemáticas, estamos asis­tiendo a la marerialización de esa univer­salidad.

Con la etnomatemática entramos en los orígenes del pensamiento matemático de rodas las culturas y, por tanto, encomra­mas direcciones distintas, las que ciena­mente, para convivir con la nueva tecno­logía y nuevas prácricas de comunicacio­nes, no son satisfactorias. Ahora se requiere

esta matemática de carácter universal. Pero, en la concepción íntima del individuo, en su singular manera de explicarse sus raíces culturales, sigue reniendo imponancia esa matemática primigenia, vernácula. Por

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tanto, sus experiencias de aprendizaje (como individuo de esta realidad post moderna) no se deben desvincular de sus singulares procesos cognitivos formados en una realidad étnica también singular. Esra problemática puede llevar a las ma­remáticas académicas a complementarse con las etnomaremáricas.

- La etnomatemdtica reivindica entonces el conocimiento que surge a partir de inte­ractuar con la realidad peculiar de cada me­dio social, de cada cultura.

-Todo lo que se sabe de la cognición nos dice que los primeros elementos del proceso del conocimiento del individuo son el resultado de la percepción del uni­verso que tiene cerca. Es una percepción que absorbe a su entorno natural. Así, un ciego va a desarrollar una percepción del universo que tiene cerca de una manera distinta a la de una persona que ve. Lue­go, si el proceso cognitivo es imponante en la formación del pensamiento del in­dividuo, del mismo modo también está en la base de la formación de los conoci­mientos matemáticos: el primer pensa­miemo matemárico tiene su primer im­pulso en las primeras manifestaciones de percepción del espacio y del tiempo, de medición de los objeros espaciales, de con­tar el tiempo en un entorno ambiental específico; son las elaboraciones primeras que el individuo hace. Llega un momen­to en que su entorno singular es insufi­ciente para el individuo y su cultura. Hoy todas las culturas necesiramos una presen­cia planetaria (un lugar en esta así llamada aUea global), y por eso necesitamos saber cómo es el razonamiento en otros entor­nos, cÓmo se ha construido el conoci­miento en otras latitudes.

- Sin embargo hay intereses de tipo eco­nómico o cultural que no lo ven así. Por ejemplo, los contenidos, la metodología, la bibliografta son impuestos ...

- Eso es muy claro, porque eso respon­de al proceso de dominación. No se trata

Unidodes didó,licos sobre lemos de lo "lluro ondino

de echar la culpa a los conquistadores por­que hicieron cosas distintas; lo cuestiona­ble es utilizar las circunstancias históricas, impidiendo reconocer los vínculos histó­ricos, no sólo los de la propia persona sino de toda su cultura, de todo sus antepasa­dos. En ese momento está recibiendo el conocimiento que impone la dominación cultural, por lo tanto dominación políti­ca y una forma de control social; porque al individuo que se le niega su historia, su cultura, se le está negando su dignidad. Por eso digo que con la ernomatemática, si bien no se puede hacer volar un avión (para esto necesito de la matemática aso­ciada a este tipo de desarrollo tecnológi­co), sí puedo ver y conocer otras culturas, y hallar sus raíces. La ernomatemática rei­vindica la dignidad cultural.

- En el terreno pedagógico, ¿qué aspecto fonda mental propone la emomatemdtica?

- Entender que cuando uno va a enseñar no debe hacerlo de una forma extraña al individuo. Al hacer eso no sólo no se fa­cilita el aprendizaje sino también se des­valoriza al individuo, se le merma su dig­nidad. Se le está diciendo olvida tu pasa­do, tus antepasados eran incapaces de pen­sar, tú pasas a ser racional desde el mo­mento en que aprendas mi forma de pen­sar, mis modelos de explicación. Ese es el mensaje que se dio en la conquista espa­ñola y que se prolonga hasta hoy en for­ma más sofisticada. Las formas de apren­der, las formas de explicar las cosas sólo pueden salir del entorno sociocultural y natural. En este proceso se van constru­yendo los mecanismos cognitivos del in­dividuo, y en la medida que éstos van es­tructurándose no hay nada de malo en en­señar cosas que están en otro entorno cul­tural, pero sin que sea necesario renunciar a la visión del nuestro.

N ucstra población en general debe ser in­corporada al tipo de saberes necesarios para funcionar en una economía planetaria, y nuestras estructuras curriculares deben in-

corporar esos conocimientos necesarios para el mundo de hoy. El ptoceso cogni­tivo de cada uno de nosotros se inicia des­de el instante que nacemos, quizá un poco antes, y un factor determinante en dicho proceso, en la evolución de nuestra capa­cidad cognitiva, lo constituyen los estimu­los de nuestro entorno natural y sociocul­tural. No puede ignorarse, ni despreciarse los conocimientos que vienen de ese en­torno, y la ernomatemática nos vincula con esa forma natural de hacer, con ese despertar de los procesos cognitivos. A medida que las capacidades cognitivas ac­tivan nuestro pensamiento matemático, se desarrolla y se extiende nuestra visión del entorno natural.

Conclusiones

1. Las matemáticas están presentes en nuestra vida diaria y en situaciones co­tidianas. Como podemos apreciar, en Arwatuto ya se tenía un conocimiento sobre términos matemáticos, los mis­mos que están plasmados en esa edifi­cación.

2. En las construcciones de piedra pode­mos ver que se usaron conceptos ma­temáticos (altura, largo, ancho, volu­men y área). Todavía se pueden ver ahí diseminados los grandes bloques de piedra perfectamente cortados y alinea­dos.

3. La ernomatemática nos enseña que nuestros ancestros para construir Arwa­turo realizaron diversas actividades como contar, medir, agrupar, ordenar.

Sugerencias

• Promover permanentemente trabajos de investigación referidos a la matemá­tica intercultural, para incentivar una acritud investigadora en los estudian­res de formación docente.

• Difundir trabajos de investigación de la matemática intercultural.

101

Matemót i co andina

Anexo Ternos andinos en los moterioles «Matemótica interculturol»

En los diferentes libros de la serie "Mare­márica intercultural. Mareriales para la Formación de Docentes de Primaria» es­tán incluidos orros módulos didácricos, que eraran sobre remas matemáricos del contexro andino. En las siguientes rabias ofrecemos de manera resumida un indi­ce.

El marerial nos puede servir para diferen­res objerivos:

• Como fuente bibliográfica para docen­res yesrudiantes.

• Para la elaboración de los silabos den­rro de la planificación del año acadé­mico.

• Para la preparación de clases y de uni­dades didácricas sobre un rema especi­fico.

• Para la elaboración de mareriales edu­canvos.

• Como modelos didácricos para su adapración al contexro especifico.

• Para la preparación de las prácricas edu­cativas.

• Para ofrecer a los esrudiantes texros de lectura complememarios.

Recomendamos consulrar estos mareria­les, sobre rodo:

• Para integrar el contenido eransversal de la interculturalidad con el área de matemática.

102

• Para integrar el área de matemática con las otras áreas.

• Para preparar y desarrollar las invesri­gaciones educativas en el área de mate­mática.

• Para integrar el área de matemática con las actividades de la práctica dentro del área de educación.

En general, los diferemes libros de la serie tienen la misma esrcuctura:

• Una introducción sobre el contenido especifico del libro.

• Un indice de los comenidos con una doble codificación (contenido mate­mático y contenido de reflexión).

• Los módulos (unidades didácticas), que por lo general tienen la misma esrcuc­tura imema, ofrecen: - resúmenes del contenido (tanto ma­

temárico como reflexivo), - ejemplos de experiencias concretas, - texro básico (materiales para la re-

flexión), - sugerencias didácticas, materiales

complementarios, - hojas de trabajo (con sus indicacio­

nes respectivas).

Los ClII1Iiemos interculrurales de la mis­ma serie (Marerial N°6) se diferencian de los otros libros. Recomendamos consul­tar la Guia didáctica (Material N°?) para informarse de los objetivos y de las posi­bilidades merodológicas de este material.

40 -43 El zorro y los ovejas

51 - 56 La yupana

59 - 65 Calculando con un mote burilado

80 - 90 Un poco de historia

2 Kuóntos penpedMIs hay? ,

28 - 36 ¿A qué hora empieza la escuela?

47 - 51 Aspectos de la geometría y estético andinos

52 - 55 La construcción geométrica de los números en los Andes

65 - 68 La wipha/a

69 - 70 Diseños ornamentales

71 - 75 Lo visión andina del mundo

103

- Juego tradicional andino. - Reflexiones sobre juego,

matemática y cultura.

- Introducción al maneja del ábaco peruano. Reflexión sobre etno­matemática.

- Artesanía tradicional andina. Integración de lo matemático con el área de comunicación integral.

- Historio de la motemótica en América, etnomatemáticas de diferentes culturas. Unea del tiempo.

- Medición del tiempo en el campo, reloj ondina. Reflexiones sobre la categoría social del tiempo.

- Introducción de algunos conceptos claves (simbolismo, perspectivo, belleza, arte). Ejemplos (so;to sujo, tapaka, tocapu, pallay).

- Introducción a la numerologia andina.

- Modelo poro la construcción de los signos numéricos de 1 a 10.

- Bandera andina (incaica). Introducción 01 sistema simbólico de lo cu~ura quechua.

- Hojas de trabajo poro el oprestomiento de motivos geométricos.

- Introducción de algunos conceptos claves (tiempo, espacio, poder).

- Modelo para la visualización.

A n .. a

Molemólico ondina

_ 3 . ¿Cómo podemos acercamos a los diferentes etnomammoticas?

22 - 26

34 - 35 36 37 - 38 39 - 40 65 - 69

85 - 90

18

23

38 - 39

Guías para el entrevistador de menores y adultos quechua hablantes

Conteo de ovejas Kipo sumador Una campesina pastea ovejas Uwiha yupay ¿Utilizas reloj?

Un conjunto temático sobre el trueque

Los números andinos

Manca manca

Sumando calleas

104

Guía para investigar la matemática cotidiana y los conocimientos matemáticos previos.

Trabajos de investigaciones en etnomatemática del contexto andino realizados por docentes y alumnos/as de ISP.

Modelo para elaborar un material didáctico sobre los resultados de una investigación en etnomatemática.

- Valorar la lengua materna. - Mejorar la atención y concentración

personal. - Animar a los participantes.

- Hacer operaciones de adición y sustracción.

- Aprender nociones de geometría. - Comparar cantidades. - Realizar cuadros estadísticos.

- Realizar operaciones. - Calcular mentalmente.

Bibliografía _ _ -BERROCAL, Camelón (narrador-pin­tor); Maceda , Pablo; Andazabal Ro­saura (recopiladores) 1997

Comisión Episcopal de Educación (Bolivia) 1991

DIETSCHY-SCHEITERLE, Annette 1990

HARRIS,Olivia 1987

HOEQUENGHEM, Ana María 1987

MlRANDA-LUIZAGA, Jorge 1996

MONTALUISA CHASIQUlZA, Luis 1988

NOLTE MALDONADO, Rosa Ma­ría Josefa 1991

PARI, Adán 1997

Cuentos pintados del Perú -Pirumanta Llinpisqa Willakuykuna. Sarhua -(quechua-español) (DINFOCAD­GTZ-Seminario de Historia Rural Andina, Universidad Nacional Mayor de San Marcos).

Abecedario matemdtico, La Paz.

Las ciencias naturales en la educación bilingüe: el caso de Puno. Lima-Puno.

Economía étnica. La Paz.

El mundo andino. Quito.

Filosofía andina. Fundamentos, alteridad y perspectiva. La Paz, HISBOL.

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Arte y vida de Sarhua. Comunidades Campesinas Andinas. Lima.

La enseñanza de la matemdtica a educandos quechuas y aymaras en el marco de la reforma educcativa, La Paz (Mimeo).

105

Ministerio de Educación 2000

Ministerio de Educación 2000 (27 de noviembre)

Ministerio de Educación 2000

Ministerio de Educación 2000

SCHROEDER,]oachim 2000

SCHROEDER,]oachim 2000

SCHRO ED ER, ]oachim 2000

ALBERS, Ingrid; BLANCO, Irene; SCHRO ED ER, ]oachim 2000

106

Estructura Curricular Básica de Educación Primaria de Menores. Dirección Nacional de Educación Inicial y Primaria.

Currículo Básico de Formación Docente para la especialidad de Educación Primaria. Resolución Ministerial N° 71O-2000-ED. El Peruano. Lima.

Guía de Investigación. DINFOCAD-UFOD. Lima.

Modelo Curricular para la Formación y Profesionalización Docente en Educación Bilingúe Intercultural. RVM, N° 0075-93-ED., Lima: Dirección Nacional de Tecnología Educativa. Dirección de Recursos Educativos.

El universo de los números Matemática Intercultural. Materiales para la Formación de Docentes de Primaria. ¡.Lima: MED - GTZ.

¿Cudntas perspectivas hay? Matemática Intercultural. Materiales para la Formación de Docentes de Primaria. 2. Lima: MED - GTZ.

¿Cómo podemos acercarnos a las diferentes etnomatemdticas? Matemática Intercultural. Materiales para la Formación de Docentes de Primaria. 3. Lima: MED - GTZ.

Poemas con números Matemática Intercultural. Materiales para la Formación de Docentes de Primaria .4. Lima: MED - GTZ.

SCH ROEDER,]oachim 2000

VARIOS AUTORES 2000

Archivador de juegos Matemática Intercultural. Materiales para la Formación de Docentes de Primaria.5. Lima: MED - GTZ.

Cuadernos Interculturales. Matemática Intercultural. Materiales para la Formación de Docentes de Primaria. 6. Lima: MED - GTZ.

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El diseño y la diagramaci6n de la serie MatmuJticA int=uúumJ fueron realizados en el taller de Gabriel. deAmat Huerta. Ir 424-5702/332-M23. El cuidado de l. edici6n estuvo. cargo de Wz Gatef. Hidalgo. Se termino de imprimir en julio de 200 1 en los talleres de Tate. Asociaci6n Gráfica Educativa. Pasaje Marta Auxiliadota 156-164. Breña ... 424-81 04/332-3229. Fax 424-1582. Lima. Perú.