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FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
GUÍA DIDÁCTICA
1. ELEMENTOS ESTRUCTURALES:
1.1. CARÁTULA
1.2. INTRODUCCIÓN
1.2.1. CARACTERIZACION DE LA ASIGNATURA
1.2.2. IMPORTANCIA DE LA ASIGNATURA
1.2.3. RELACIÓN CON OTRAS ASIGNATURAS
1.3. PROGRAMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA
1.4. PROGRAMACIÓN DE UNIDADES
1.5. BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA
1.6. ÍNDICE DE CONTENIDOS
1.7. EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL PRIMER HEMISEMESTRE
1.8. EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL SEGUNDO HEMISEMESTRE
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
1.1 CARATULA
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
MODALIDAD A DISTANCIA
CARRERAS: CONTABILIDAD Y AUDITORIA ADMINISTRACIÒN DE EMPRESAS
ADMINISTRACIÒN PÙBLICA
EJE DE FORMACIÓN: FORMATIVO
ASIGNATURA: MATEMÁTICA II
NÚMERO DE CRÉDITOS: 6 SEMESTRE: MARZO 2013 - SEP. 2013 PROFESOR: Ing. Flavio Florencio Parra T. Ing. Francisco Bahamonde T. Ing. Franklin Cumbal S.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
1.2 INTRODUCCION
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CARACTERIZACIÓN DE LA ASIGNATURA
La Matemática II es una ciencia instrumental del saber humano y por lo tanto de orientación en la formación profesional. Se preocupa de impartir conocimientos sólidos de carácter práctico orientados a la toma de decisiones gerenciales como: revisar balances, estados de cuenta, avance de proyectos, análisis estadísticos, financieros, etc.
IMPORTANCIA PARA LA FORMACIÓN DEL PROFESIONAL.
Contribuye a la formación y estructura lógica del pensamiento humano y al desarrollo de valores en los estudiantes. Proporciona las herramientas fundamentales para la solución de problemas relacionados con las diferentes carreras.
RELACIÓN CON OTRAS ASIGNATURAS
La Matemática II es prerrequisito para el desarrollo de las diferentes asignaturas del área, que se impartirán en los siguientes semestres, tales como: Matemática Financiera y Estadística I y II; constituye además, soporte para otras áreas académicas como: Economía, Contabilidad e Informática.
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PROGRAMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA. Nombre de la Asignatura: MATEMÁTICA II Competencia de la Asignatura: Al finalizar el semestre, el/la estudiante resuelve problemas aplicados a las especializaciones de las tres carreras, mediante la implementación de modelos matemáticos, con iniciativa, orden y rigor.
COMPETENCIAS UNIDADES
Resuelve problemas que involucran la solución de sistemas de ecuaciones multivariables, mediante métodos matriciales, con orden y precisión.
PRIMERA UNIDAD: Algebra de Matrices.
Resuelve problemas de maximización y minimización de funciones con el uso del conocimiento de la programación lineal por el método gráfico, con orden, precisión y claridad.
SEGUNDA UNIDAD: Programación Lineal (Método Gráfico).
Resuelve problemas de rectas tangentes a una curva, razones de cambio (marginales) e índices conociendo los límites y derivación de funciones utilizadas en la Administración y Economía con iniciativa, orden y precisión.
TERCERA UNIDAD: Cálculo Diferencial (Primera Parte)
Resuelve problemas de razones de cambio e índices, trazado de curvas, maximizar y minimizar funciones algebraicas y trascendentes utilizadas en la Administración y Economía, organizadamente y con exactitud.
CUARTA UNIDAD: Cálculo Diferencial (Segunda parte)
Resuelve problemas de área entre curvas, excedentes de productores y consumidores utilizadas en la Administración y Economía con iniciativa y precisión.
QUINTA UNIDAD: Integración
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P R O G R A M A C I Ó N D E U N I D A D
Número de la unidad: UNO Nombre de la Unidad: ALGEBRA DE MATRICES Número de horas: TRECE
COMPETENCIAS CONTENIDOS ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
RECURSOS DE APRENDIZAJE
EVALUACIÓN
Resuelve problemas que involucran la solución de sistemas de ecuaciones multivariables, mediante métodos matriciales, con orden y precisión.
MATRICES 1.Definición y orden
2.Igualdad de matrices
3.Transpuesta de una matriz
4.Tipos de matrices
5.Operaciones con matrices y propiedades
6.Solución de sistemas de ecuaciones con
métodos matriciales
7.Problemas de aplicación
1. Estudio de la guía de apoyo y planteamiento de inquietudes mediante foros virtuales
2. Exposición dialogada del tema en las tutorías virtuales.
3. Foro heurístico a través del chat, en tiempo sincrónico.
4. Trabajo cooperativo para la solución de problemas, a través de la utilización de wikis.
5. Investigación bibliográfica para la presentación de tareas.
- Plataforma virtual - Guía y texto de apoyo. Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición, Haussler -Ejercicios y problemas seleccionados publicados en el aula virtual. -Guías de tarea docente para los talleres, foros, chats y trabajos cooperativos. -Guías de investigación netgráfica.
Diagnóstica. Al inicio de la unidad para analizar el nivel de prerrequisitos. Formativa. Durante el desarrollo de cada tema para efectuar realimentación. Sumativa. Para asignar calificaciones de: tarea extraescolar, trabajo en grupos, talleres y prueba escrita.
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P R O G R A M A C I Ó N D E U N I D A D
Número de la unidad: DOS Nombre de la Unidad: PROGRAMACIÓN LINEAL POR EL MÉTODO GRÁFICO Número de horas: DIECISEIS
COMPETENCIAS CONTENIDOS ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
RECURSOS DE APRENDIZAJE
EVALUACIÓN
Resuelve problemas de maximización y minimización de funciones con el uso del conocimiento de la programación lineal por el método gráfico, con orden, precisión y claridad.
1. DESIGUALDADES LINEALES CON DOS VARIABLES 1.1 Representación gráfica de
desigualdades lineales con dos
variables.
1.2 Solución gráfica de sistemas de
desigualdades lineales con dos
variables. Determinación de la región
solución.
2. PROGRAMACIÓN LINEAL. 2.1 Fundamentos de la programación
lineal por el método gráfico.
2.2 Problemas de aplicación:
Optimización de funciones objetivo.
2.3 Problemas de aplicación sobre
optimización de transporte.
1. Estudio de la guía de apoyo y planteamiento de inquietudes mediante foros virtuales
2. Exposición dialogada del tema en las tutorías virtuales.
3. Foro heurístico a través del chat, en tiempo sincrónico.
4. Trabajo cooperativo para la solución de problemas, a través de la utilización de wikis.
5. Investigación bibliográfica para la presentación de tareas.
- Plataforma virtual - Guía y texto de apoyo. Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición, Haussler -Ejercicios y problemas seleccionados publicados en el aula virtual. -Guías de tarea docente para los talleres, foros, chats y trabajos cooperativos. -Guías de investigación netgráfica.
Diagnóstica. Al inicio de la unidad para analizar el nivel de prerrequisitos. Formativa. Durante el desarrollo de cada tema para efectuar realimentación. Sumativa. Para asignar calificaciones de: tarea extraescolar, trabajo en grupos, talleres y prueba escrita.
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P R O G R A M A C I Ó N D E U N I D A D
Número de la unidad: TRES Nombre de la Unidad: CÁLCULO DIFERENCIAL (PRIMERA PARTE) Número de horas: CATORCE
COMPETENCIAS CONTENIDOS ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
RECURSOS DE APRENDIZAJE
EVALUACIÓN
Resuelve problemas de rectas tangentes a una curva, razones de cambio (marginales) e índices conociendo los límites y derivación de funciones algebraicas utilizadas en la Administración y Economía con iniciativa, orden y precisión.
CALCULO DIFERENCIAL (Primera
parte)
1. Definición de límite.
1.1. Límites de la forma 0/0, K/0, límites
laterales.
1.2 Continuidad aplicada a las
desigualdades.
2. Definición de derivada
2.1 Reglas de derivación.
2.2 La derivada como razón de cambio.
2.3 Regla del producto y del cociente.
2.4 Regla de la cadena y la potencia.
1. Estudio de la guía de apoyo y planteamiento de inquietudes mediante foros virtuales
2. Exposición dialogada del tema en las tutorías virtuales.
3. Foro heurístico a través del chat, en tiempo sincrónico.
4. Trabajo cooperativo para la solución de problemas, a través de la utilización de wikis.
5. Investigación bibliográfica para la presentación de tareas.
- Plataforma virtual - Guía y texto de apoyo. Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición, Haussler -Ejercicios y problemas seleccionados publicados en el aula virtual. -Guías de tarea docente para los talleres, foros, chats y trabajos cooperativos. -Guías de investigación netgráfica.
Diagnóstica. Al inicio de la unidad para analizar el nivel de prerrequisitos. Formativa. Durante el desarrollo de cada tema para efectuar realimentación. Sumativa. Para asignar calificaciones de: tarea extraescolar, trabajo en grupos, talleres y prueba escrita. PRIMER HEMISEMESTRE Foro 1: 2 puntos Trabajo1: 4 puntos Examen 1: 14 puntos
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P R O G R A M A C I Ó N D E U N I D A D
Número de la unidad: CUATRO Nombre de la Unidad: CÁLCULO DIFERENCIAL (SEGUNDA PARTE) Número de horas: VEINTE Y TRES
COMPETENCIAS CONTENIDOS ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
RECURSOS DE APRENDIZAJE
EVALUACIÓN
Resuelve problemas de razones de cambio e índices, trazado de curvas, maximizar y minimizar funciones algebraicas y trascendentes utilizadas en la Administración y Economía, organizadamente y con exactitud.
Cálculo Diferencial (Segunda parte) 1. Derivadas de funciones
logarítmicas.
2. Derivadas de funciones
exponenciales.
3. Diferenciación implícita.
4. Diferenciación logarítmica.
5. Derivadas de orden superior.
6. Trazado de curvas y optimización
6.1 Extremos relativos, máximos y
mínimos.
6.2 Concavidad y puntos de inflexión.
6.3 Prueba de la segunda derivada
7. Aplicaciones de maximización y
minimización
1. Estudio de la guía de apoyo y planteamiento de inquietudes mediante foros virtuales
2. Exposición dialogada del tema en las tutorías virtuales.
3. Foro heurístico a través del chat, en tiempo sincrónico.
4. Trabajo cooperativo para la solución de problemas, a través de la utilización de wikis.
5. Investigación bibliográfica para la presentación de tareas
- Plataforma virtual - Guía y texto de apoyo. Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición, Haussler -Ejercicios y problemas seleccionados publicados en el aula virtual. -Guías de tarea docente para los talleres, foros, chats y trabajos cooperativos. -Guías de investigación netgráfica.
Diagnóstica. Al inicio de la unidad para analizar el nivel de prerrequisitos. Formativa. Durante el desarrollo de cada tema para efectuar realimentación. Sumativa. Para asignar calificaciones de: tarea extraescolar, trabajo en grupos, talleres y prueba escrita.
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P R O G R A M A C I Ó N D E U N I D A D Número de la unidad: CINCO Nombre de la Unidad: INTEGRACIÓN Número de horas: CATORCE
COMPETENCIAS CONTENIDOS ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
RECURSOS DE APRENDIZAJE
EVALUACIÓN
Resuelve problemas de área entre curvas, excedentes de productores y consumidores utilizadas en la Administración y Economía con iniciativa y precisión.
1. Integración 1.1 Diferenciales 1.2 Integral indefinida 1.3 Reglas de integración 1.4 Integración por método de sustitución 1.5 Integración con división previa 1.6 Integración con condiciones iniciales 2. Integral definida 2.1 Cálculo de Áreas 2.2 Excedente de productores y consumidores 3. Integración por partes 4. Integración por fracciones parciales
1. Estudio de la guía de apoyo y planteamiento de inquietudes mediante foros virtuales
2. Exposición dialogada del tema en las tutorías virtuales.
3. Foro heurístico a través del chat, en tiempo sincrónico.
4. Trabajo cooperativo para la solución de problemas, a través de la utilización de wikis.
5. Investigación bibliográfica para la presentación de tareas
- Plataforma virtual - Guía y texto de apoyo. Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición, Haussler -Ejercicios y problemas seleccionados publicados en el aula virtual. -Guías de tarea docente para los talleres, foros, chats y trabajos cooperativos. -Guías de investigación netgráfica.
Diagnóstica. Al inicio de la unidad para analizar el nivel de prerrequisitos. Formativa. Durante el desarrollo de cada tema para efectuar realimentación. Sumativa. Para asignar calificaciones de: tarea extraescolar, trabajo en grupos, talleres y prueba escrita. SEGUNDO HEMISEMESTRE Foro: 2 puntos Trabajo2: 4 puntos Examen 2: 14 puntos
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BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA
TEXTO GUÍA: Ernest Hausler Jr. Y Richard PAUL “Matemáticas para Administración, Economía”, décima segunda edición. Prentice Hall, México 2008
TEXTO COMPLEMENTARIO 1: Margaret L. LIAL y Thomas W: HUNGERFORD “Matemáticas para Administración y Economía en las Ciencias Sociales, Naturales y de Administración”, séptima edición, México 2000
TEXTO COMPLEMENTARIO 2: Jagdish C. Arya Y Robin W. Lardner “Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía”, cuarta edición, México 2000
NETGRAFÍA
PRODUCTO DE MATRICES: http://www.ematematicas.net/matrices.php?a=&tipo=4 MATRICES, CALCULO DIFERENCIAL: http://www.zweigmedia.com/RealWorld/index.html VIDEO DE MATRICES: http://www.youtube.com/watch?v=eRBuGozq6Us
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ÍNDICE
INFORMACIÓN GENERAL ............................................................................................................................ 13
INFORMACIÓN GENERAL A LA GUÍA DIDÁCTICA ............................................................................... 15
PRIMERA PARTE ............................................................................................................................................. 18
UNIDAD I ............................................................................................................................................................ 18
1. DEFINICIÓN Y ORDEN DE MATRICES ...................................................................................................... 18
2. IGUALDAD DE MATRICES........................................................................................................................... 19
3. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ ............................................................................................................... 19
4. TIPOS DE MATRICES .................................................................................................................................... 20
5. OPERACIONES MATRICIALES Y PROPIEDADES .................................................................................... 21
6. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON MÉTODOS MATRICIALES. ................................. 25
7. EJERCICIOS DE APLICACIÓN EN ADMINISTRACIÓN .......................................................................... 29
CONSULTAS EN EL TEXTO ............................................................................................................................. 32
EJERCICIOS DE APLICACIÓN ......................................................................................................................... 32
AUTO EVALUACIÓN ......................................................................................................................................... 33
CONSOLIDACIÓN .............................................................................................................................................. 33
UNIDAD II ........................................................................................................................................................... 35
1. DESIGUALDADES LINEALES CON DOS VARIABLES ........................................................................... 35
2. PROGRAMACIÓN LINEAL (MÉTODO GRAFICO) .................................................................................... 38
CONSULTAS EN EL TEXTO ............................................................................................................................. 45
EJERCICIOS DE APLICACIÓN ......................................................................................................................... 45
AUTO EVALUACIÓN ......................................................................................................................................... 46
CONSOLIDACIÓN .............................................................................................................................................. 46
UNIDAD III ......................................................................................................................................................... 48
1.1 LÍMITES, DEFINICIÓN ................................................................................................................................ 48
1.2 LÍMITES DE LA FORMA ; LÍMITES LATERALES. ..................................................................... 50
1.3 CONTINUIDAD APLICADA A LAS DESIGUALDADES .......................................................................... 53
2. LA DERIVADA ................................................................................................................................................ 55
2.1 REGLAS DE DERIVACIÓN. ....................................................................................................................... 58
2.2 LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO ................................................................................ 59
2.3 REGLA DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE. ........................................................................................ 63
2.4 REGLA DE LA CADENA Y LA POTENCIA. ............................................................................................. 64
CONSULTAS EN EL TEXTO ............................................................................................................................. 67
EJERCICIOS DE APLICACIÓN ......................................................................................................................... 68
AUTO EVALUACIÓN ......................................................................................................................................... 69
CONSOLIDACIÓN .............................................................................................................................................. 69
EVALUACIÓN A DISTANCIA (Primer trabajo a entregar) ......................................................................... 71
SEGUNDA PARTE ............................................................................................................................................. 72
UNIDAD IV ......................................................................................................................................................... 72
1. DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS. ..................................................................................... 72
2. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES. .................................................................................... 74
3. DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA. ................................................................................................................... 75
4. DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA. ............................................................................................................ 76
5. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. .......................................................................................................... 77
6. TRAZADO DE CURVAS ................................................................................................................................ 77
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6.1 EXTREMOS RELATIVOS, MÁXIMOS Y MÍNIMOS ................................................................................. 79
6.2 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN. ............................................................................................ 80
6.3 PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA. ................................................................................................. 83
7. APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS. ................................................................................................ 83
CONSULTAS EN EL TEXTO ............................................................................................................................. 87
EJERCICIOS DE APLICACIÓN ......................................................................................................................... 87
AUTO EVALUACIÓN ......................................................................................................................................... 87
CONSOLIDACIÓN .............................................................................................................................................. 88
UNIDAD V ........................................................................................................................................................... 90
1. INTEGRACIÓN. ............................................................................................................................................... 90
1.1 DIFERENCIALES .......................................................................................................................................... 90
1.2 INTEGRAL INDEFINIDA. ............................................................................................................................ 94
1.3 REGLAS DE INTEGRACIÓN ...................................................................................................................... 94
1.4 INTEGRACIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN ........................................................................... 95
1.5 INTEGRACIÓN CON DIVISIÓN PREVIA ................................................................................................. 96
1.6 INTEGRACIÓN CON CONDICIONES INICIALES ................................................................................... 97
2. LA INTEGRAL DEFINIDA. .......................................................................................................................... 98
2.1 CÁLCULO DE ÁREAS ................................................................................................................................. 99
2.2 EXCEDENTE DE CONSUMIDORES Y DE PRODUCTORES .............................................................. 103
3. INTEGRACIÓN POR PARTES. ................................................................................................................. 104
4. INTEGRACIÓN POR MEDIO DE FRACCIONES PARCIALES ................................................................ 106
CONSULTAS EN EL TEXTO ........................................................................................................................... 109
EJERCICIOS DE APLICACIÓN ....................................................................................................................... 109
AUTO EVALUACIÓN ....................................................................................................................................... 110
EVALUACIÓN A DISTANCIA (Segundo trabajo a entregar) .................................................................... 111
RESPUESTAS DE EJERCICIOS DE APLICACIÓN Y CONSOLIDACIÓN ........................................... 112
PRIMERA PARTE ........................................................................................................................................... 112
UNIDAD I ........................................................................................................................................................... 112
UNIDAD II ......................................................................................................................................................... 113
UNIDAD III ........................................................................................................................................................ 116
SEGUNDA PARTE ........................................................................................................................................... 120
UNIDAD IV ........................................................................................................................................................ 120
UNIDAD V ................................................................................................................................................... 125
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INFORMACIÓN GENERAL
INTRODUCCIÓN: En una empresa, los diferentes puestos requieren de conocimientos sólidos en matemáticas y en los niveles de mayor responsabilidad o jerarquía, se precisan de amplios conocimientos. En el nivel de alta dirección es mayor el compromiso de un conocimiento de carácter práctico y sobre todo orientado a la toma de decisiones gerenciales. ¿Por qué son importantes las matemáticas? En el caso que nos ocupa, su formación en las especialidades de Administración de Empresas, Administración Pública o Contabilidad y Auditoría, hará que se desempeñe en empresas e instituciones en los niveles de dirección para la toma de decisiones, deberá revisar documentos y emitir una opinión profesional decisiva y definitoria sobre estudios, proyectos o informes, que necesariamente contendrán cálculos matemáticos. ¿En qué aplica las matemáticas? Durante el trabajo profesional debe enfrentarse con el mundo de los números, por ejemplo para revisar balances, estados de cuenta, avance de proyectos; para el muestreo estadístico piedra angular en cualquier proceso de gestión, etc. En fin en la realización de su trabajo, siempre estará conectado a las matemáticas y deberá necesariamente tener conocimientos con bases sólidas. Aplicará el razonamiento en los cálculos, la agilidad mental para el desarrollo lógico y la interpretación profesional de resultados. Todo esto debe demostrarle la inmensa responsabilidad e importancia que para tu futuro desempeño profesional tendrá la ciencia matemática. En conclusión, esperamos haberle demostrado que, durante su vida profesional no le será posible “huir de las matemáticas”, por lo tanto, es mejor que se adaptes a ella y procure “llevarte bien con esta ciencia”. Esto pretende hacer este curso de Matemática Básica 2, que “pierda el recelo a la matemática”, y se dé cuenta que no es difícil entenderla y aprender.
COMPETENCIAS DE LA MATERIA.
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Al finalizar el curso está en capacidad de resolver problemas sobre situaciones relacionadas con la Administración, la Economía, las Finanzas a nivel productivo y creativo, aplicando métodos y modelos matemáticos sencillos. Trabajar en grupos, tomar decisiones, buscar las mejores alternativas de solución de problemas, con solvencia, honestidad y rigurosidad científica. MACRO CONTENIDOS DE LA MATERIA Desigualdades con dos variables (programación lineal) Límites y derivación. Integración. MÉTODOS DE APRENDIZAJE SUGERIDOS: Lectura comprensiva Inductivo-deductivo Analítico- sintético Resolución de ejercicios de aplicación. ESTRUCTURA DE LA GUÍA. Esta guía le proporcionará una información secuencial de los pasos a seguir en tu estudio, la misma está conformada de dos partes; así: PRIMERA PARTE UNIDAD I: Capítulo 6: Algebra matricial UNIDAD II: Capítulo 7: Programación lineal UNIDAD III: Capítulo 10 y 11: Límites y derivación SEGUNDO PARTE UNIDAD IV: Capítulo 12 y 13: Derivación (continuación), trazado de curvas y optimización UNIDAD V: Capítulo 15: Integración Cada una de las unidades contienen; su respectiva planificación didáctica como son: competencias, contenidos, duración, ejemplificación, evaluación, auto evaluación y orientaciones especiales. BIBLIOGRAFÍA
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TEXTO GUÍA: Ernest Hausler Jr. Y Richard PAUL “Matemáticas para Administración, Economía”, décima segunda edición. Prentice Hall, México 2008 TEXTO COMPLEMENTARIO: Margaret L. LIAL y Thomas W: HUNGERFORD “Matemáticas para Administración y Economía en las Ciencias Sociales, Naturales y de Administración”, séptima edición, México 2000 TEXTO COMPLEMENTARIO: Jagdish C. Arya Y Robin W. Lardner “Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía”, cuarta edición, México 2000
INFORMACIÓN GENERAL A LA GUÍA DIDÁCTICA
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INTRODUCCIÓN Pensando en ti como elemento productivo de la sociedad; se ha elaborado esta guía, le permitirá tener las facilidades para el estudio en la Modalidad de Estudios a Distancia. El éxito que obtengamos dependerá principalmente de tu dedicación, responsabilidad y honestidad con que asuma este reto. Las matemáticas ha permitido el desarrollo de todas las ciencias, por lo que el conocimiento de ésta, creará en ti, la confianza para ser utilizada como una herramienta de trabajo, le ayudará en el futuro a cumplir con los objetivos trazados, le permitirá tomar decisiones con facilidad en tu futura vida profesional. El método de enseñanza diseñado en esta guía, garantiza el éxito en su estudio. Está dirigido especialmente aquellas personas que poseen una auto confianza en la disciplina de estudio y en la organización de actividades. IMPORTANCIA DE LA GUÍA La presente guía didáctica recoge todo un sistema de métodos y procedimientos elaborados con criterios técnicos y metodológicos, se compone de ejercicios prácticos, como resultado de una revisión y aplicación del texto base, textos complementarios y experiencias de los tutores, que le permitirán aplicarlos en las tareas a presentarse como parte de su evaluación. TIEMPO ESTIMADO DE ESTUDIO. Para el proceso de aprendizaje de está guía se ha considerado un tiempo de 10 horas semanales, para el conocimiento de la parte teórica y el desarrollo de ejercicios que le permitirá afirmar el conocimiento. ORIENTACIONES ESPECÍFICAS Debe orientar su estudio en el texto guía, de ser necesario en el texto
complementario. Estudie con detenimiento el marco teórico de cada capítulo, ejercicios resueltos y estará en condiciones de resolver la evaluación de cada tema en estudio.
El texto base ha sido escogido por su presentación, claridad y gran variedad
de ejercicios de aplicación práctica, resueltos y propuestos en la Administración y Economía.
Cada capítulo inicia con una introducción del tema, en él se indica la utilidad
práctica y la competencia a conseguir. Continúa con la base teórica; aquí es necesario; que estudie conceptos y fórmulas importantes. El texto presenta
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buena cantidad de ejercicios resueltos, le sugiero que los vuelva a resolver, no únicamente revisarlos, de esta manera se familiariza con términos y procesos de solución.
En los ejercicios propuestos empiece resolviendo ejercicios impares, la
respuesta está al final del texto, esta práctica le permite afirmar su conocimiento teórico. Le recomiendo ir solucionando los principios en práctica. Todo este proceso le permitirá realizar los ejercicios de evaluación sin dificultad.
Al final de cada capítulo; tenemos un sub capítulo de repaso, en él se resume
conceptos y fórmulas importantes, además de los ejercicios de auto evaluación en color celeste con su respuesta, que le permite una retroalimentación en su conocimiento.
Los ejercicios de aplicación son ejercicios que debe realizar para afirmar su
conocimiento teórico, no debe enviar para su evaluación. Los ejercicios de evaluación son los ejercicios que debe presentar en los
horarios establecidos por la Modalidad de estudios a Distancia. Los trabajos deben presentarse con letra manuscrita, a esferográfica o tinta,
pero nunca a lápiz; de preferencia en papel cuadriculado y a una sola cara de la hoja. No utilice máquina de escribir o computadora.
La solución de ejercicios o problemas numéricos que son parte de su trabajo,
contendrá todo el proceso de cálculo así: enunciado, planteamiento, fórmulas y simbología, sustitución numérica de símbolos, tablas y gráficos, resultados con interpretación (si se solicita) que responda a las inquietudes formuladas en el enunciado del ejercicio.
TRABAJOS. Debe presentar un trabajo por cada Hemisemestre valorado con
4 puntos y participar en foro 2 puntos en fecha determinada en cronograma de actividades.
EXÁMENES: Debe rendir 1 examen presencial por Hemisemestre valorado
con 14 puntos en día y hora previstos en cronograma de actividades.
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PRIMERA PARTE
UNIDAD I
ALGEBRA MATRICIAL
Competencia: Conocer el álgebra matricial, para la solución de problemas
administrativos y económicos con precisión y exactitud.
Contenido:
1. Definición y orden
2. Igualdad de matrices
3. Transpuesta de una matriz
4. Tipos de matrices
5. Operaciones con matrices y propiedades
6. Solución de sistemas de ecuaciones con métodos matriciales
7. Problemas de aplicación
VINCULACIÓN CON CONOCIMIENTOS ANTERIORES
Capítulo 0: Factorización
Capítulo 2: Ecuaciones e inecuaciones
Capítulo 3: Graficas en coordenadas rectangulares
1. DEFINICIÓN Y ORDEN DE MATRICES
Una matriz es un arreglo rectangular que consiste en m renglones o filas y
n columnas; denotada con una letra mayúscula y es una matriz de tamaño
u orden de mxn.
[
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Para ubicar cualquier elemento de una matriz, se designa a i para la fila o
renglón y con j para la columna (
Ejemplo: (a) Determine el orden de la matriz y (b) el valor de de los
elementos .
3 0 1 -2
A= -2 5 7 5
2 6 -8 4
1 2 0 -3
(a)
(
2. IGUALDAD DE MATRICES
Las matrices A y B son iguales, si y solo si tienen el mismo orden y cada
elemento de la matriz es igual a su correspondiente .
Ejemplo: Determine los valores de x,y,z para que las matrices sean
iguales.
1 2 4 -1 1 x 4 -1
0 3 x+y -5 0 3 2 -5
A = -3 1 4 0 B = -3 1 4 0
0 1 x-z 3 0 1 8 3
Observe que en la igualdad de matrices no solo intervienen valores
numéricos, sino también expresiones algebraicas.
3. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
La transpuesta de la matriz A de mxn, es la matriz denotada por de
tamaño nxm. En otras palabras es la matriz que tiene como filas las
columnas de la matriz A.
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1 0 3 -2 1 2 9
A = 2 -3 4 5 AT = 0 -3 -6
9 -6 4 3 3 4 4
-2 5 3
4. TIPOS DE MATRICES
Matriz Cero. Es la matriz de mxn en que todas sus entradas son cero. 0 0 0 0
0 0 0 0
O = 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 5x4
Matriz Cuadrada. Es la matriz de mxn, donde el número de filas es igual
al número de columnas.
1 3 -1 0
A = 5 -2 4 3
2 0 -6 7
3 -5 2 1 4x4
Matriz diagonal. Es una matriz cuadrada, en que todas las entradas fuera
de la diagonal principal son cero, en este tipo de matriz tenemos también
a la matriz identidad(I) en la cual todas las entradas de la diagonal
principal son 1.
2 0 0 0 1 0 0
A = 0 -5 0 0 I = 0 1 0
0 0 4 0 0 0 1 3x3
0 0 0 7 4x4
MATRIZ DIAGONAL
MATRIZ IDENTIDAD
Matriz triangular superior, es una matriz cuadrada si todas las entradas
debajo de la diagonal superior son cero y es una Matriz triangular
inferior, si todas las entradas sobre la diagonal superior son cero.
1 2 0 4 3 0 0
B = 0 4 1 -2 A = 3 4 0
0 0 3 3 -1 0 7 3x3
0 0 0 -1 4x4
SUPERIOR
INFERIOR
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21
Vector renglón. Es una matriz que tiene exactamente un renglón o fila.
C = 1 0 -3 4 1x4
Vector columna. Es una matriz que tiene solo una columna.
-1
A = 5
4
0 4x1
5. OPERACIONES MATRICIALES Y PROPIEDADES
5.1 Suma y resta de matrices. Sean A y B matrices de mxn, existe las
operaciones de suma y resta, si las dos matrices tienen el mismo orden o
tamaño.
Ejemplo: Realice las siguientes operaciones matriciales:
2 -3 0 0 9 -1
A = 4 1 8 B = 5 2 4
2 4 5 -3 2 1
-3 4 0 4x3 0 5 2 4x3
2+0 .-3+9 0-1 2 6 -1
A + B = 4+5 1+2 8+4 . = 9 3 12
2. - 3 4+2 5+1 -1 6 6
- 3+0 4+5 0+2 -3 9 2
0 -2 9+3 -1+0 -2 12 -1
A - B = 5 - 4. 2 - 1. 4 - 8. .= 1 1 -4
.-3 - 2 2 - 4. 1.-5. -5 -2 -4
0+3 5. - 4. 2- 0 3 1 2
Sean A, B y O matrices del mismo orden de nxm, entonces las siguientes
propiedades se cumplen para la suma y resta de matrices.
( (
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22
5.2 Multiplicación por un escalar. Es la matriz que se obtiene al multiplicar
cada entrada de A de mxn por un número real k, obteniéndose una matriz
kA de mxn.
Ejemplo: Realice las operaciones matriciales.
A = 1 3 B = 3 -1 C = 2 -3
4 -2 0 4 4 -1
a) "- 2. A "=-2 1 3 "= -2 -6
4 -2 -8 4
b)
3C-2B+A "= 3 2 -3 "-2 3 -1 "+ 1 3
4 -1 0 4 4 -2
3C-2B+A "= 6 -9 "- 6 -2 "+ 1 3
12 -3 0 4 4 -2
3C-2B+A "= 1 -4
16 -9
Sean A, B y O matrices del mismo orden de mxn y k, l números reales, las
siguientes propiedades se cumplen para la multiplicación de las matrices
por un escalar.
(
(
( (
(
(
5.3 Producto matricial. Sean A una matriz de mxn y B una matriz de nxp.El
producto AxB es la matriz C de orden mxp. En otras palabras existe
producto matricial si el número de columnas de la primera matriz es
igual al número de filas de la segunda matriz.
Cada entrada de C se obtiene de la suma de los productos de las entradas
de la fila de la primera matriz con las entradas de la columna de la
segunda matriz.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
23
Ejemplo: Realice las operaciones matriciales.
A = 1 0 -2 B = 2 0 1 C = 1 3 -1
-1 2 1 2x3 -1 5 4 0 2 -4 2x3
0 1 -3 3x3
a) ; como el número de columnas de A(3)es igual al
número de filas de B(3); si existe producto matricial.
D = 2 -2 7
-4 11 4
d22=(-1)(0)+(2)(5)+(1)(1)=11
d23=(-1)(1)+(2)(4)+(1)(-3)=4
d11=(1)(2)+(0)(-1)+(-2)(0)=2
d12=(1)(0)+(0)(5)+(-2)(1)= -2
d13=(1)(1)+(0)(4)+(-2)(-3)= 7
d21=(-1)(2)+(2)(-1)+(1)(0)= - 4
b) ; no existe porque el número de columnas de B(3) no
es igual al número de filas de A(2). Conclusión
c)
H = 1 0 -2 • 2 0 1 "-2 1 3 -1
-1 2 1 -1 5 4 0 2 -4
0 1 -3
H = 2 -2 7 "- 2 6 -2 "= 0 -8 9
-4 11 4 0 4 -4 -4 7 8
La multiplicación de matrices satisface las propiedades siguientes,
siempre y cuando las sumas y los productos estén definidos.
( (
(
(
Ejemplo: Costos de suministros. Un contratista puede adquirir las
cantidades requeridas de madera, ladrillos, concreto, vidrio y pintura de
cualquiera tres proveedores. Los precios que cada proveedor fija a cada
unidad de estos cinco materiales están dados en la matriz A.
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24
Madera Ladrillo Concreto Vidrio Pintura
8 5 7 2 4 Proveedor I A = 9 4 5 2 5 Proveedor II
9 5 6 1 5 Proveedor III
En esta matriz, cada renglón se refiere a un proveedor y las columnas a
los materiales, en el orden listado arriba. El contratista tiene la política
de adquirir todos los materiales requeridos en cualquier obra particular
al mismo proveedor para minimizar los costos de transportación. Hay tres
obras en construcción actualmente: la obra I requiere 20 unidades de
madera, 4 de ladrillos, 5 de concreto, 3 de vidrio y 3 de pintura; la obra II
requiere 15, 0, 8, 8 y 2 unidades, respectivamente; y la obra III requiere
30, 10, 20, 10 y 12 unidades, respectivamente. Disponga esta información
en una matriz B5x3 y forme la matriz producto AB. Interprete los
elementos de este producto y úselos con el propósito de decidir cuál
proveedor debería usar en cada obra.
Obra I Obra II Obra III
20 15 30 Madera
4 0 10 Ladrillos
B = 5 8 20 Concreto
3 8 10 Vidrio
3 2 12 Pintura
OBRA I OBRA II OBRA III
233 200 498 PROVEEDOR I
A.B = 242 201 490 PROVEEDOR II
248 201 510 PROVEEDOR III
Los resultados obtenidos indican el costo de los materiales de cada
proveedor para cada una de las obras, que nos conducen a determinar
que lo conveniente es comprar los materiales con el proveedor I.
5.4 Ecuaciones matriciales. Un sistema de ecuaciones lineales puede ser
representado mediante multiplicación de matrices.
Considere el sistema de ecuaciones lineales.
El sistema de ecuaciones puede representarse en forma matricial.
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25
2 -3 -1 x -3
3 -5 2 • y "= 5
-2 4 7 z 0
Donde A es la matriz de coeficientes, X la matriz de incógnitas y B la
matriz de las constantes o términos independientes.
; donde
2 -3 -1 x -3
A = 3 -5 2 X = y B = 5
-2 4 7 z 0
En los siguientes temas se estudia métodos para la solución del sistema
de ecuaciones.
6. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON MÉTODOS
MATRICIALES.
6.1 Método de la matriz reducida. El método consiste en realizar operaciones
elementales sobre los renglones o filas, para que las entradas de la
diagonal principal sea 1 y el resto de entradas arriba y debajo de la
diagonal principal sean ceros. Para lo cuál debemos observar la
siguiente nomenclatura y reglas.
Nomenclatura:
Intercambiar renglones
Multiplicar el renglón por una constante distinta
de cero
Sumar k veces el renglón al renglón (pero el
renglón permanece igual).
Matriz reducida. Una matriz es reducida si se cumplen las siguientes
reglas.
. Para cada renglón diferente de cero, la entrada principal es 1, y todas las entradas
en la columna donde aparece la entrada principal son cero.
. La entrada principal en cada renglón está a la derecha de la entrada principal de
cualquier renglón que esté arriba de él.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
26
Ejemplo1: Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de la matriz
reducida.
Formar la matriz aumentada, que consiste en la matriz de coeficientes y la
de términos independientes.
2 0 -4 8
1 -2 -2 14
1 1 -2 -1
3 1 1 0
Realizar las operaciones sobre los renglones, aplicando la nomenclatura y
reglas.
R1↔R2 1 -2 -2 14 1 -2 -2 14
2 0 -4 8 "-2R1+R2 0 4 0 -20
1 1 -2 -1 "-R1+R3 0 3 0 -15
3 1 1 0 "-3R1+R4 0 7 7 -42
1 -2 -2 14 "2R2+R1 1 0 -2 4
"1/4R1 0 1 0 -5 0 1 0 -5
0 3 0 -15 "-3R2+R3 0 0 0 0
0 7 7 -42 "-7R2+R4 0 0 7 -7
"2R4+R1 1 0 0 2
0 1 0 -5
0 0 0 0
"1/7R4 0 0 1 -1
Solución:
Comprobación: Remplace los valores encontrados en cualquiera de las
ecuaciones.
En ecuación (4): ( ( (
Ejemplo2: Resuelva el sistema de ecuaciones.
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27
3x +2z=5
1 2 1 4 1 2 1 4
3 0 2 5 "-3R1+R3 0 -6 -1 -7
1 2 1 4 "-2R2+R1 1 0 "2/3 "5/3
"-1/6R2 0 1 "1/6 "7/6 0 1 "1/6 "7/6
Solución: Como no podemos seguir reduciendo la matriz, la solución es
la siguiente:
La solución de x, y depende del valor que tome z, es lo que se denomina
una solución paramétrica. Si siendo r cualquier número real
tenemos.
Si
Comprobación en ecuación 2:
(
)
6.1 Método de la matriz inversa. El método es aplicable únicamente cuando
el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, es decir la
matriz de coeficientes es una matriz cuadrada.
Recuerde una ecuación matricial se expresa como: , la solución
de la ecuación matricial consiste en encontrar la matriz de incógnitas X,
que viene dado por: ; dónde:
(
Para invertir la matriz A, formamos la matriz A/I, que consiste en la
matriz A(coeficientes) y la matriz I(identidad); por medio de operaciones
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
28
sobre los renglones transformamos la matriz A en I y simultáneamente la
matriz I se convierte en .
Ejemplo: Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de la matriz
inversa.
1 4 3 1 0 0
4 2 -2 0 1 0
3 -1 1 0 0 1
1 4 3 1 0 0
"-4R1+R2 0 -14 -14 -4 1 0
"-3R1+R3 0 -13 -8 -3 0 1
A I
1 4 3 1 0 0
"-1/14R2 0 1 1 "2/7 "-1/14 0
0 -13 -8 -3 0 1
"-4R2+R1 1 0 -1 "-1/7 "2/7 0
0 1 1 "2/7 "-1/14 0
"13R2+R3 0 0 5 "5/7 "-13/14 1
A I
1 0 -1 "-1/7 "2/7 0
0 1 1 "2/7 "-1/14 0
"1/5R3 0 0 1 "1/7 "-13/70 "1/5
R3+R1 1 0 0 0. "1/10 "1/5
"-R3+R2 0 1 0 "1/7 "4/35 "-1/5
0 0 1 "1/7 "-13/70 "1/5
A I
I A-1
x 0 1/10 1/5 10 2
y "= 1/7 4/35 "-1/5 • "-2 "= "-1
z 1/7 "-13/70 1/5 11 4
Solución:
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
29
Comprobación en ecuación (2):
( ( (
7. EJERCICIOS DE APLICACIÓN EN ADMINISTRACIÓN
Ejemplo 1: Asignación de recursos. Una pequeña compañía constructora
ofrece tres tipos de casas. El primer tipo de casa requiere 3 unidades de
concreto, 2 unidades de madera para cancelería y 5 unidades de madera
para estructuras. Los tipos segundos y terceros requieren de 2, 3, 5 y 4, 2,
6 unidades respectivamente, de concreto, madera para cancelería y
madera para estructuras. Si cada mes la compañía dispone de 150
unidades de concreto, 100 unidades de madera para cancelería y 250
unidades de madera para estructuras, calcule el número de diferentes
tipos de casas que la compañía podrá construir al mes si usa todos los
materiales que dispone.
a) Lea y entienda el ejercicio, resuma la información en forma matricial
de ser posible.
TIPO I (x) TIPO II(y) TIPO III(z) Disponibilidad
Concreto 3 2 4 150
Madera canceleria 2 3 2 100
Madera estructuras 5 5 6 250
b) Asigne las incógnitas de acuerdo a la pregunta que le plantean, y
forme el sistema de ecuaciones.
c) Utilice cualquier método para resolver el sistema de ecuaciones.
3 2 4 150 1/3R1 1 2/3 "4/3 50
2 3 2 100 2 3 2 100
5 5 6 250 5 5 6 250
1 2/3 "4/3 50 1 2/3 "4/3 50
"-2R1+R2 0 "5/3 "-2/3 0 3/5R2 0 1 - 2/5 0
"-5R1+R3 0 "5/3 "-2/3 0 0 "5/3 "-2/3 0
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30
·-2/3R2+R1 1 0 "8/5 50
0 1 - 2/5 0
.-5/3R2+R3 0 0 0 0
Tenemos una solución paramétrica:
Solo podemos utilizar para valores de z que nos den valores enteros y
positivos.
TIPOIII (z) 5 10 15 20 25 30
TIPO I (x) 42 34 26 18 10 2
TIPO II (y) 2 4 6 8 10 12
Cualquiera de las combinaciones indicadas satisface las condiciones
dadas.
Ejemplo:
( ( (
( ( (
( ( (
Ejemplo 2. La figura muestra el flujo del tránsito en el centro de una
ciudad durante las horas pico de un día hábil. Las flechas indican la
dirección del flujo en cada calle de un sentido; el promedio de vehículos
que pasan por cada crucero por hora aparece al lado de cada calle. Las
avenidas 5 y 6 pueden aceptar hasta 2000 vehículos por hora sin
congestionarse, en tanto que la capacidad máxima de cada calle es de
1000 vehículos por hora. El flujo se controla por semáforos instalados en
cada crucero.
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31
300
1200
500
800
1300
700400
1400
4 Calle 5 Calle
5 Avenida
6 Avenida
1x
4x2x
3x
(a) Escribir una expresión general con las tasas de flujo, , y
sugerir dos posibles patrones de flujo que garanticen que no habrá
congestionamientos.
(b) Supóngase que la parte de la calle 4 comprendida entre las avenidas 5
y 6 se repavimentará y que el flujo del tráfico entre los dos cruceros se
reducirá a 300 vehículos por hora. Determinar dos posibles flujos de
tráfico que garanticen un flujo continuo de tráfico.
(a) Sistema de ecuaciones.
{
1 0 0 1 1500
1 1 0 0 1300
0 1 1 0 1800
0 0 1 1 2000
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
32
1 0 0 1 1500
.-R1+R2 0 1 0 -1 -200
0 1 1 0 1800
0 0 1 1 2000
1 0 0 1 1500
0 1 0 -1 .-200
.-R2+R3 0 0 1 1 2000
0 0 1 1 2000
1 0 0 1 1500
0 1 0 -1 .-200
0 0 1 1 2000
.-R3+R4 0 0 0 0 0
Tenemos una solución paramétrica en función de .
(b) Si por repavimentación, se tendría los siguientes flujos de
tráfico.
Conclusión: El planificador de tránsito, puede realizar el estudio y
correcciones de tráfico de acuerdo a las necesidades, siempre que se
mantenga el condicionante de que los flujos no deben ser negativos (200),
ni mayores a la mayor capacidad de 1000 vehículos por hora.
CONSULTAS EN EL TEXTO
Estudie el texto guía; página 226 a 270
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
33
1. Clasifique los enunciados como verdadero o falso. Si es falso de una razón. 1.1. En una matriz diagonal el número de filas no es igual al número de columnas. ( )
1.2. Sea y . La matriz A+B es una matriz de 3filas y 3 columnas. ( ) 1.3. Para que exista el producto matricial el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. ( ) 1.4. El método de reducción de matrices se fundamenta en hacer ceros el las entradas de la diagonal principal y el resto de entradas igual a 1. ( ) 1.5. En el método de la matriz inversa, la matriz de coeficientes es una matriz cuadrada. ( )
AUTO EVALUACIÓN
¿Cómo se encuentra?, es el momento que reflexione sobre el avance de su estudio; se trata de ir despacio, comprendiendo, Ponle “ganas”, interés, no estudie con desgano; “recuerda nadie le obliga a estudiar”, lo hace por su propia decisión de mejorar, por ser una persona íntegra y eso incluye la profesión que intentas alcanzar. Sí contesto correctamente los ejercicios de aplicación y entiende los métodos de solución, vamos por la ruta correcta; caso contrario; puede ser necesario que vuelva a revisar los contenidos, no se desanime; recuerde tiene una ayuda importante; la Universidad Central y sus tutores. Acuda al tutor con dudas puntuales del tema en estudio, recibirá la ayuda necesaria, para que continúe con el proceso de aprendizaje.
CONSOLIDACIÓN
Al finalizar cada capítulo o tema tratado; el texto guía le
proporciona un resumen de conceptos y fórmulas importantes
Como un refuerzo en su conocimiento, realice el ejercicio
siguiente:
Administración: Un fabricante compra partes para sus dos plantas,
una en Canoga Park, California y la otra en Wooster, Ohio. Los
proveedores tienen las partes en cantidades limitadas.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
34
Cada proveedor tiene 75 unidades disponibles.la planta en Canoga
Park necesita 40 unidades y la planta Wooster requiere 75
unidades. El primer proveedor cobra$70 por unidad entregada a
Canoga Park y $90 por unidad entregada a Wooster. Los costos
correspondientes del segundo proveedor son $80 y $120. El
fabricante quiere ordenar un total de 75 unidades del primer
proveedor, menos caro, y las 40 unidades restante, del segundo
proveedor. Si la compañía gasta $10750 para comprar el número
de unidades requerido para las dos plantas, encuentre el número
de unidades que deben ser compradas de cada proveedor para
cada planta de acuerdo a lo siguiente:
(a) Asigne variables a las cuatro incógnitas.
(b)Escriba un sistema de 5 ecuaciones con las 4 variables.
(c)Resuelva el sistema de ecuaciones.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
35
UNIDAD II
PROGRAMACIÓN LINEAL
Competencias: Utilizar la programación lineal para la optimización de recursos;
solucionando problemas de maximización y minimización en temas
administrativos y económicos, con precisión y rigurosidad científica.
Contenido:
1. Desigualdades lineales con dos variables
2. Programación lineal, método gráfico
VINCULACIÓN CON CONOCIMIENTOS ANTERIORES
Capítulo 0: Factorización
Capítulo 2: Ecuaciones e inecuaciones
Capítulo 3: Graficas en coordenadas rectangulares
1. DESIGUALDADES LINEALES CON DOS VARIABLES
Una desigualdad lineal con dos variables x , y puede escribirse en la
forma:
) , , ( o 0cbyax
Donde a, b y c son constantes; a y b no son ambas igual a cero.
En forma geométrica la solución gráfica de una desigualdad lineal en x y
y consiste en todos los puntos (x , y) en el plano, cuyas coordenadas
satisfacen la desigualdad.
La solución no es única, existe un número infinito de soluciones que
consiste en un semiplano o una región que satisface la desigualdad dada.
Estudie los ejemplos del texto, no tendrá dificultad en la comprensión del
tema.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
36
Ejemplo: Resolver la desigualdad 93y-2x
1. Despeje la variable y (recuerde las propiedades de las desigualdades
lineales, pág55). Encuentre las intersecciones con los ejes (eje x: 0y ;
eje y: 0x )
0 , 29 3- , 0 3x3
2y
2. Grafique la recta. Como y es menor que 3x 32 ; la solución será
todos los puntos que están bajo la recta, que es la región solución.
La solución de un sistema de desigualdades: consiste en todos los puntos
cuyas coordenadas satisfacen simultáneamente todas las desigualdades
dadas; geométricamente es la región común para todas las desigualdades.
Ejemplo.
Resolver el sistema de desigualdades.
50y2x
30 y x
482yx
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
37
Despeje la variable y, encuentre las intersecciones.
0) , (25 50) , (0 2x -50 y
0) , (30 30) , (0 x -30y
0) , (48 24) , (0 2
x-24y
Grafique e identifique las rectas, realice un análisis de las desigualdades
y encuentre la solución si existe.
Ejemplo. Administración. Una compañía elabora dos productos, A y B.
Cada uno de estos productos requiere cierta cantidad de tiempo, en dos
máquinas en su elaboración. Cada unidad del producto A requiere 1 hora
en la máquina I y 2 horas en la máquina II; cada unidad del producto B
demanda 3 horas en la máquina I y 2 horas en la máquina II. La
compañía dispone de 100 horas en la semana en cada máquina. Si x
unidades del producto A y y unidades del producto B se producen a la
semana, dé las desigualdades que satisfacen x y y. Represéntalas en forma
gráfica.
Organice la información de forma matricial.
Producto A Producto B Disponibilidad
(x) (y)
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
38
Máquina I 1 3 ≤ 100
Máquina II 2 2 ≤ 100
Establezca el sistema de desigualdades lineales
{
La condición ; son condiciones de no negatividad pues productos,
materiales, mano de obra nunca pueden ser negativos.
Utilice el método para resolver un sistema de desigualdades.
(
) (
( (
2. PROGRAMACIÓN LINEAL (MÉTODO GRAFICO)
Muchos problemas de Administración y Economía están relacionados con
la optimización (maximización o minimización) de una función sujeta a un
sistema de igualdades o desigualdades. La función por optimizar es la
función objetivo. Las funciones de utilidad y de costo son ejemplos de
funciones objetivo. El sistema de igualdades y desigualdades a las que
está sujeta la función objetivo reflejan las restricciones (por ejemplo, las
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
39
limitaciones sobre recursos como materiales y mano de obra) impuestas a
la solución (o soluciones) del problema.
Para resolver un problema de programación lineal estudie los ejercicios
que se presentan, en los primeros se analiza ejercicios ya planteados y a
continuación aprenda a plantearlos.
Ejemplo 1: OBJETIVO" FUNCIÓN" y x Z: Minimizar
Sujeto a:
DNEGATIVIDA NO DE SCONDICIONE 0y x,
NESRESTRICCIO
8x
9911y9x
123y4x
0y- x
Las condiciones de no negatividad; son condiciones que nos indican que
las variables x, y siempre serán positivas; pues, los materiales, mano de
obra e insumos en general no pueden ser negativos.
1. Utilice su conocimiento en la solución de sistemas de desigualdades
lineales.
8x
0 11, 9 , 0 x 11
9-9y
0 , 3 ,4 0 x 3
4-4y
2 , 2 0 , 0 x y
2. Grafique las rectas y haga un análisis de la región solución; llamada
región factible.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
40
Una región factible puede ser acotada, cuando puede estar contenida
dentro de un círculo es decir se encuentra totalmente delimitada; caso
contrario es no acotada. Cuando una región factible contiene al menos un
punto, se dice que es no vacía; caso contrario es vacía.
La solución de maximización o minimización de la función objetivo se
encuentra en los vértices de la región factible. Encontremos los vértices de
la región factible.
0 , 8 E 0 , 3 A
Para los vértices B, C y D; igualamos las rectas que se intersecan
(encuentre x, para hallar y reemplace el valor de x en cualquiera de las
ecuaciones)
11
27 , 8
11
278
11
9-9y :D
20
99 ,
20
99
20
99y
20
99 x;x x
11
9-9 :C
7
12 ,
7
12
7
12y
7
12 x; xx
3
4-4 :B
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
41
Determinado los vértices procedemos a remplazar en la función objetivo
las coordenadas correspondientes.
Vértice
Z = x + y
Z
A 0 , 3 03 3
B 712 , 712 12/7 7/12 7/24
C 2099 , 2099 99/20 20/99 10/99
D 1127 , 8 11278 11/115
E 0 , 8 08 8
2.3. Solución: 0y 3 xcuando ; 3Z
Ejemplo 2: Maximizar: y10x4Z
Sujeto a:
0y x,
2yx2
4y4x
0 , 1 2- , 0 ; 2-2xy
0 , 4 1- , 0 ; 1- 4
xy
No tiene solución, no existe región factible.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
42
Ejemplo 3: Producción. Un fabricante de cereales elabora dos tipos
diferentes de cereal, A y B. Cada libra de A requiere 0.6 libras de trigo y
0.2 libras de jarabe enriquecido con vitaminas, y cada libra de B requiere
0.4 libras de trigo, 0.2 libras de azúcar, y 0,2 libras de jarabe enriquecido
con vitaminas. Los proveedores pueden entregar máximo 2800 libras de
trigo, 800 libras de azúcar, y 1000 libras de jarabe enriquecido con
vitaminas. Si las ganancias son de $1.20 por cada libra de A y de $1.10
por cada libra de B, encuentre el número de libras de cada cereal que
debería producirse para obtener ganancias máximas. Encuentre las
ganancias máximas.
1. Lea el ejercicio con detenimiento y resuma la información como sigue:
Marca A
(x)
Marca B
(y)
Requerimientos
mínimos
Trigo 0.6 libras 0.4 libras 2800
Jarabe enriquecido 0.2 libras 0.2 libras 1000
Azúcar 0.2 libras 800
Ganancias $ 1.20 $1.10
Como está preguntando cuantas libras de cada marca de cereal se deben
producir; entonces debemos producir x unidades de marca A y y unidades
de la marca B.
2. Planteamos el problema de programación lineal.
Maximizar: 1.10y x20.1Z “Función objetivo “
Sujeta a.
" d.negativida no de sCondicione " 0 y x,
8000.2y
10000.2y0.2x
28000.4y0.6x
3. Despeje y, encuentre intersecciones.
4000y
0) (5000, ; 5000) , (0 ; x -5000y
0) , 3
14000( ; 7000) , (0 ; x
2
3-7000y
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43
4. Grafique y haga un análisis de la región solución.
4.1 Encuentre los vértices de la región factible.
0) ,3
14000( D 4000) , (0A
Para los vértices B y C, igualamos las rectas que se intersecan.
)(4000,1000 1000y 4000xx
2
3-7000x-5000 :C
)(1000,4000 4000y 1000 xx -50004000 :B
4.2 Determinado los vértices procedemos a remplazar en la función objetivo
las coordenadas correspondientes.
Vértice
Z = 1.2x + 1.1y
Z
A(0,4000) 1.2(0)+1.1(4000) 4400
B(1000,4000) 1.2(1000)+1.1(4000) 5600
C(4000,1000) 1.2(4000)+1.1(1000) 5900
D(14000/3,0) 1.2(14000/3)+1.1(0) 5600
4.3 Nuestra solución es el valor máximo de Z = $5900, cuando se produce
A= 4000 libras y B= 1000 libras.
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44
Ejemplo 4: Política. Una candidata desea utilizar una combinación de
anuncios de radio y televisión en su campaña. Las investigaciones han
demostrado que cada anuncio de 1 minuto de televisión llega a 0.09
millones de personas y cada anuncio de 1 minuto en la radio llega a 0.006
millones de personas. La candidata considera que el anuncio debe llegar
por lo menos a 2.16 millones de personas, y debe comprar un total de por
lo menos 80 minutos de anuncios. ¿Cuántos minutos de cada medio se
deberían utilizar para minimizar los costos si la televisión tiene un costo
de $500 por minuto y la radio tiene un costo de $100 por minuto?
1. Identificada la pregunta, esto es, minutos de televisión (x), minutos de
radio (y); resuma la información como sigue:
Televisión Radio Requerimientos
(x) (y)
Minutos 1 1 ≥80
Personas 0,09 0,006 ≥2,16
Costo minuto $ 500 $ 100
2. Plantee el problema de programación lineal.
0 y x,
2.160.006y0.09x
80yx
a Sujeto
100y500x Z:Minimizar
3. Despeje y, encuentre las intersecciones y grafique.
0 , 24 360 , 0 15x -360y
0 , 80 80 , 0 x -80y
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45
4.- Encuentre los vértices y la solución.
0 , 80 C ; 360 , 0 A
60 , 20 B 60y ; 20-80y
20 x-28014x- ;x -8015x-360 :B Vértice
Vértice Z = 500x + 100y Z
A ( 0 , 360 ) 500 ( 0 ) + 100 ( 360 ) 36000
B ( 20 , 60 ) 500 ( 20 ) + 100 ( 60 ) 16000
C ( 80 , 0 ) 500 ( 8 0 ) + 100 ( 0 ) 40000
Solución: 60)y ( Radio 20 ) x ( Televisión ; 16000 $ Z
CONSULTAS EN EL TEXTO
Estudie el texto guía; página 280 a 294
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Clasifica los enunciados como verdadero o falso. Si es falso da una razón.
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46
1.1. Si y ≤ x ; significa que la solución está en y sobre la recta. ( ) 1.2. La solución de un sistema de desigualdades es única. ( ) 1.3. En un problema de programación lineal, la función por maximizar o minimizar se llama función objetivo. ( ) 1.4. Una región factible es acotada cuando se encuentra totalmente delimitada. ( ) 1.5. Si una región factible es no acotada, y si la función objetivo tiene un valor máximo ocurre
en un vértice. ( )
AUTO EVALUACIÓN
¿Cómo se encuentra?, es el momento que reflexione sobre el avance de su estudio; se trata de ir despacio, comprendiendo, Ponle “ganas”, interés, no estudie con desgano; “recuerda nadie le obliga a estudiar”, lo hace por su propia decisión de mejorar, por ser una persona íntegra y eso incluye la profesión que intentas alcanzar. Sí contesto correctamente los ejercicios de aplicación y entiende los métodos de solución, vamos por la ruta correcta; caso contrario; puede ser necesario que vuelva a revisar los contenidos, no se desanime; recuerde tiene una ayuda importante; la Universidad Central y sus tutores. Acuda al tutor con dudas puntuales del tema en estudio, recibirá la ayuda necesaria, para que continúe con el proceso de aprendizaje.
CONSOLIDACIÓN
Al finalizar cada capítulo o tema tratado; el texto guía le proporciona un
resumen de conceptos y fórmulas importantes
Como un refuerzo en su conocimiento, realice el ejercicio siguiente:
Fabricación y costos de envío. La compañía Sony produce televisores a color de
19 pulgadas en dos lugares: el I y el II.
La producción mensual en I es a lo más de 6.000 televisores y en el lugar II
es a lo más de 5.000 televisores. Sony es el principal proveedor de
televisores de la Corporación Pulsar, su cliente principal, y el cual tiene
prioridad para cubrir sus requisitos.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
47
Cierto mes, Pulsar realizó pedidos de 3.000 y 4.000 televisores que se deben
enviar a dos de sus fábricas, localizadas en la ciudad A y B, respectivamente.
Los costos de envío (en dólares) por televisores desde las dos plantas de
Sony hasta las dos fábricas de Pulsar son:
Encuentre un plan de envíos que cubra los requisitos de ambas compañías,
manteniendo mínimos los costos.
Desde Ciudad A Ciudad B
Sony(Lugar I) $ 3 $ 2
Sony(Lugar II) $ 4 $ 5
Costos de envío por cinescopio
A la fabrica Pulsar
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48
UNIDAD III
DERIVACIÓN PRIMERA PARTE Competencias: Resuelve problemas de aplicación de rectas tangentes a curvas
y de razones de cambio (marginales) en la economía y administración mediante
el uso de los fundamentos de límites y derivación de funciones algebraicas, con
iniciativa, orden y precisión.
Contenido:
1. Definición de límite.
1.1. Límites de la forma 0/0, K/0, límites laterales.
1.2 Continuidad aplicada a las desigualdades.
2. Definición de derivada
2.1 Reglas de derivación.
2.2 La derivada como razón de cambio.
2.3 Regla del producto y del cociente.
2.4 Regla de la cadena y la potencia.
VINCULACIÓN CON CONOCIMIENTOS ANTERIORES
Para su estudio necesita recordar:
Capítulo 0: Factorización
Capítulo 2: Ecuaciones e inecuaciones
Capítulo3: Funciones
1.1 LÍMITES, DEFINICIÓN
El límite cuando x se acerca (o tiende) a a, es el número L, siempre que
f(x) esté arbitrariamente cercana a L para toda x lo suficientemente cerca,
pero diferente de a.
L f(x)limax
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49
En otras palabras; no estamos interesados en lo que le pasa a f(x) cuando
x es igual a a, sino lo que le sucede a f(x) cuando x está muy cerca de a.
Una función puede no estar definida, pero si puede existir el límite.
L
)(xfy
x
y
Derecha
Izquierda
ax
Podemos acercarnos a a; tanto por izquierda como por derecha, entonces
para que exista límite; el límite por izquierda y por derecha deben ser
iguales, e igual a L.
Lf(x)límf(x)lím
si ; existe ; Lf(x)lim
-axax
ax
Para que entienda la definición de límite resuelva el ejercicio, en base al
gráfico.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
50
y
x
)x ( fy
1xf lím b) 2xf lím )a1 - x1 - x
6 x f lím d) existe No xf lím c)
2 x 1 - x
xf lím f) 0 x f lím )e
x 3- x
xf lím )g
- x
Estudie las propiedades y ejercicios resueltos del texto base. Para el
cálculo de límites veamos los ejemplos siguientes:
09
0
18)3(3)3(2
33
813x-2x
3-x lím 4.
3030lím 3.
5
11
38
7)8(2
3-y
7y2lím 2.
-86100-3(-2)5(-2)100-3x5xlím 1.
223x
10x
22
8 y
22
2 - x
1.2 LÍMITES DE LA FORMA ⁄⁄ ; LÍMITES LATERALES.
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51
Cuando al remplazar el límite; se obtiene como resultado 0/0, (FORMA
0/0); significa que debemos realizar manipulación algebraica o factorar.
Ejemplo1:6-x-x
23xx lím
2
2
2- x
0
0 :Forma
0
0
622
2232
6-x-x
23xx lím
2
2
2
2
2- x
5
1
3-2-
12-
3-x
1x lím
2x 3-x
1x 2x lím
2- x 2- x
Ejemplo 2: 36x
6x lím
36 x
" 0
0FORMA "
0
0
3636
636
36x
6x lím
36 x
12
1
636
1
6x
1 lím
6x36x
36-x lím
6x36x
6x6x lím
36 x36 x36 x
Si al remplazar el límite se obtiene como resultado, una constante dividida
para cero, (FORMA K/0); para encontrar el límite; necesariamente
debemos hacer el análisis de límites por izquierda y por derecha.
Ejemplo 1:
0
8
22
42
2x
4x lím
22
2- x
0
K :Forma
2-
-1,999….99-2,000...001
DerechaIzquierda
0001.....000,0
8
20001....000,2
8
2x
4x lím
0001....000,0
8
2999....999,1
8
2x
4x lím
2
2x
2
2x
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
52
Como el límite por izquierda y por derecha, no son iguales, concluimos
que:
existe No2x
4x lím
2
2x
Ejemplo 2.
0
9
33
13 3
3-x
1-3x lím
223 x
0
K :Forma
2 3 4
99....999,2 001....000,3
0010,000....0
8
010,000....0
8
3-013,000....0
8
3x
1-3x lím
2223 x
0010,000....0
8
010,000....0-
8
3-992,999....9
8
3x
1-3x lím
2223 x
3x
1-3x lím
23 x
Porque límite por derecha e izquierda son iguales.
A los límites por izquierda y por derecha se les denomina límites
laterales.
Para el cálculo de límites al infinito; consideremos lo ejemplos
siguientes:
1. El límite de un polinomio cuando x tiende a ∞ o a - ∞; es el mismo del
término que involucra la mayor potencia de x.
Ejemplo 1: 32
x8x3x5x2lím
- 8)(88xlím 33
x
Ejemplo 2: -150150- lím x
2. El límite de funciones racionales cuando x tiende a ∞ o a - ∞, tomamos
el mayor de los exponentes, tanto del numerador como del
denominador.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
53
Ejemplo 1: 42
23
x 4x9x2x
263x5x8xlím
02
-x
2lím
4x
8xlím
x4
3
x
Ejemplo 2: 31-2x
57x lím
3
2
x
3303
2
73
2x
7 lím3
2x
7x lím
x3
2
x
1.3 CONTINUIDAD APLICADA A LAS DESIGUALDADES
En el capítulo 1.2; estudió desigualdades lineales, teniendo como
resultado un intervalo. Ahora resolveremos desigualdades no lineales; el
método consiste en encontrar los ceros de la función, es decir los puntos
de intersección con el eje x y los puntos en los cuales la función no está
definida. Para explicar el método de solución , consideremos el ejemplo
siguiente:
Ejemplo 1: 09-x
x2
1. Factoramos si es posible la expresión.
3)-3)(x(x
xf(x)
2. Igualamos a 0; independientemente numerador y denominador. Los
valores obtenidos, los ubicamos en la recta de los reales y
determinamos los intervalos,
3 x ; -3 x; 0x
3 0 3
3- , - 0 , 3- 3 , 0 , 3
3. De cada uno de los intervalos tomamos un valor no extremo y
evaluamos en la función, en la que no interesa el valor, sino el signo.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
54
3- , - 0f(x) )()(
)(
))((
(-)f(-4)
0 , 3- 0f(x) )()(
)(
))((
(-)f(-2)
3 , 0 0f(x) (-)(-)
)(
))((
)(f(2)
, 3 0f(x) )()(
)(
))((
)(f(4)
4. Escogemos los intervalos que satisfacen la desigualdad 0 .
Solución: 3 , 0 3- , -
Ejemplo 2: Participación en talleres. Imperial Education Service (IES)
está ofreciendo un curso de procesamiento de datos a personal clave en la
compañía Zeta. El precio por persona es de $50 y la compañía Zeta
garantiza que al menos asistirán 50 personas. Suponga que el IES ofrece
reducir el costo para todos en $0.50 por cada persona que asista después
de las primeras 50. ¿Cuál es el límite del tamaño del grupo que el IES
aceptará, de modo que el ingreso total nunca sea menor que lo recibido
por 50 personas?
1. Planteamiento. Sea x , el número de personas adicionales que asistan
al curso. El ingreso total está dado por el número de personas que
asistan al curso por el costo por persona.
" totalIngreso " $50 50 R
2500 personapor Precio x personas de Número
25000.50x-50x25x-2500 ; 2500 0.50x-50 x50 2
0x25x50.0 2
2. Utilice el método para la solución de desigualdades no lineales.
críticos" Puntos" 50 , 0 x; 250.50x-x x f
0 50
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
55
0 ) x ( f ) 51 ( f , 50
0 ) x ( f ) 1 ( f 50 , 0
Solución: 50 , 0
3. Comprobación: Pueden asistir hasta 100 personas con un precio de
$25.
2. LA DERIVADA
Uno de los problemas principales que se ocupa el cálculo es el encontrar
la pendiente de la recta tangente en un punto sobre una curva.
Consideremos los puntos P y Q de la curva y = f(x) ; la línea PQ es la
línea secante (une dos puntos de la curva); si Q se acerca hasta el límite a
P, 0 h ; entonces la línea secante tiende a ser tangente (toca en un solo
punto a la curva).
Q´
Q(x+h,f(x+h))
P(x,f(x))f(x)
f(x+h)
x x+h
x
y
h
Encontremos la pendiente de la línea secante PQ.
h
f(x)-h)f(xm
x-h)(x
f(x)-h)f(xm
secsec
Si Q se acerca hasta el límite a P; la pendiente de la secante tiende a ser
la pendiente de la línea tangente, cuando h 0 . La pendiente de la línea
tangente a la curva en el punto P, se llama la derivada por la definición.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
56
sec0h
tan mlímm
; h
f(x)-h)f(xlímy´
dx
dyf´(x)
0h
“derivada por la
definición”
Ejemplo1: Encontrar la ecuación de la línea tangente a la curva;
5-4x-xy2 ; en el punto (3 , -8).
1. Calculamos la derivada de la función.
h
5)-4x-x(5-h)4(x-h)(xlímf´(x)y´
22
0h
h
54xx-5-4h-4x-h2xhxlímf´(x)y´
222
0h
4x240x2
h
4-h2xh lím
h
4h-h2xhlímf´(x)y´
0h
2
0h
2. Al remplazar el punto 8- , 3 en la derivada, encontramos la
pendiente.
2m ; 24-2(3)f´(3)y´(3)
3. Con la pendiente (m = 2) y el punto (3, -8); encontramos la ecuación
de la recta. Aplicamos la forma punto-pendiente.
14-2x y
3)-2(x8y )x-m(xy-y 11
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
57
5x4xy 2
14x2y
y
x
8- , 3
Ejemplo 2: Encuentre la pendiente de la curva 1x3
2x fy
, en el
punto 3 , 2- .
1. Recuerde la derivada, representa la pendiente de la línea tangente en un
punto de la curva.
h
x fhx f lím x f´y
0 h
h
13x 1-3h3x
1-3h3x 21-3x 2
límh
1x3
2
1hx 3
2
lím x f´y0 h 0 h
h
13x 1-3h3x
26h-6x-2-6x
lím h
13x 1-3h3x
1-3h3x 21-3x 2
lím x f´y0 h 0 h
13x 1-3h3x h
6h- lím
h
13x 1-3h3x
6h-
lím x f´y0 h 0 h
13x 1-3h3x h
6h- lím
h
13x 1-3h3x
6h-
lím x f´y0 h 0 h
1-3x 1-(0) 33x
6-
13x 1-3h3x
6- lím x f´y
0 h
1-3x
6 x f´y
2
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
58
2. Remplace la coordenada x en la derivada y determine la pendiente.
49
6m ;
1-(-2) 3
6-my´(-2)
2
2.1 REGLAS DE DERIVACIÓN.
El proceso de derivación por medio de la definición; resulta un proceso
largo y tedioso; por fortuna existen reglas; que permiten efectuar la
diferenciación en forma mecánica y eficiente. Estas reglas las resumimos
en 3.
1. c)x(fy 0dx
dyf´(x)y´
2. ncx)x(fy 1-nc.n.x
dx
dyf´(x)y´
3. (x) f cy f´(x) c´y
Ejemplos: Determine la derivada de las funciones aplicando las reglas de
derivación:
1. 0f´(x)y´ 80- f(x)y
2. 78 72xf´(x)y´ 9xf(x)y
3. 235x-x2
3
x
x8-5xf(x)y
3 24 3
6
Exprese los radicales como exponentes: n/mn m xx (pag. 10 de texto
guía)
235x-x2
385235x-
2x
3
x
x8-5xf(x)y 2/3-4/16
2/33/4
1/26 xx
5xx2x30)x´(fy 3/54/55
4. 3-4x2x-7x 9y -53 Regla 3 )x´(fcy
410x21x 9y -62
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
59
5.
5 2
4 3
x
1-2x xy
Transforme radicales en exponentes:
x
1-2x xy
2/5
3/4
x- x2y ; 1-2x xy 7/2027/20 7/20
x20
7- x
10
27 ´y 13/20-7/20
6.
(
(
7. Encontrar todos los puntos sobre la curva
en
donde la recta tangente es horizontal.
Recuerde, la pendiente de una recta horizontal es 0, entonces al
derivar se encuentra la pendiente en aquellos puntos donde la recta
es horizontal.
( (
(
)
(
)
2.2 LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO
La interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la línea
tangente a una curva. Una aplicación importante de la derivada es
determinar cómo una variable cambia en relación con otra. Un hombre de
negocios debe conocer cómo cambia su utilidad con respecto a la
variación de la producción; así como un médico le interesa conocer cómo
reacciona un paciente por el cambio en la dosis de un medicamento.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
60
Una manera conveniente de interpretar la derivada como una razón de
cambio es el movimiento de un objeto en el tiempo.
Suponga que un objeto se mueve de acuerdo a la ecuación: 2t 2t fs ;
que representa una ecuación de movimiento, donde s representa a una
función de posición.
)t(fs
t
2t2)t(fs
32
128
4t
96s
La variación de posición )s( respecto a la variación de tiempo )t( , se
llama velocidad promedio o velocidad media.
12 sss Variación de posición.
12 ttt Variación de tiempo.
t
f(t)-t)f(t
t
svprom
Al límite de la velocidad promedio cuando 0t ; se define como la
velocidad instantánea.
t
f(t)-t)f(tlím
dt
dsv
0t
Para las condiciones expuestas, calculamos la velocidad promedio y la
velocidad instantánea.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
61
s. 448t
m/s 244
96
4
32-128
4
)4(2)8(2
4
f(4)-4)f(4
t
sv
22
prom
m/s 164(4) v(4) ;t 4dt
dsv
Si c = f(q); representa el costo total de producir y comerciar q unidades
de un producto. La razón de cambio de c con respecto a q se llama costo
marginal. Y se define como el costo aproximado de producir una unidad
adicional.
dq
dcmarginal Costo
Ejemplo 1: Administración. El costo generado por la venta de q mesas
está dado por: 500qq20)q(C 2
a) Encuentre el costo marginal cuando unidades 1000q
b) Determine el costo real por la venta de la mesa 1001
c) Compare las respuestas de los incisos (a) y (b). ¿Cómo se relacionan?
a) 250
q20
dq
dC ;
500
q220
dq
dC
16250
100020)1000q(
dq
dC
b) 1000-1001
C(1000)-(1001) C
q
C
15.99810001001
500
1000)1000(20
500
1001 -(1001) 20
q
C
22
c) El valor del costo marginal se aproxima al valor real del costo de
producir la unidad 1001.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
62
Ejemplo 2: Suponga que la función de demanda para un producto está
dada por 25000
q50000p
, y la función de costo está dada por q25.02100c
, donde 30000q0 . Encuentre la utilidad marginal para q=15000,
21875, 25000.
Recuerde: Utilidad = Ingreso total(r)-Costo total(c)
25000
qq2
25000
qq50000q
25000
q-50000r ; q.pr
22
210025000
qq75.1q25.02100
25000
qq2U
22
12500
q75.1
dq
dU ;
25000
q275.1
dq
dU
$0.25 12500
2500075.1)25000(
dq
dU
00.0$12500
2187575.1)21875(
dq
dU
55.0$12500
1500075.1)15000(
dq
dU
Del análisis de resultados puede determinar que si se venden más de
21875 unidades la ganancia marginal es negativa. Esto indica que
incrementar la producción más allá de ese nivel, reducirá la ganancia.
Ejemplo 3. Ciencias Sociales. Los estándares de vida están definidos por
la producción total de bienes y servicios dividida entre la población total.
En Estados Unidos, durante la década de 1980, el estándar de vida se
aproximaba mucho por: 6.114.03.0023.0)( 23 xxxxf , donde 0x
corresponde a 1981. Use la derivada para encontrar la razón de cambio
del estándar de vida en los siguientes años.
años? esosen vidadeestándar del acerca (e)-(a) incisos los a respuestas susdicen le ¿Qué (f)
1990 (e) 1989 (d) 1988 (c) 1983 (b) 1980 (a)
4.0x6.0x069.0)x´(fdx
dy 2
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
63
-0.0160.4-0.6(8)-0.069(8)f´(8) (c)
0.7790.4-0.6(3)-0.069(3)f´(3) (b)
-0.40.4-0.6(0)-0.069(0)f´(0) (a)
2
2
2
-1.30.4-0.6(10)-0.069(10)f´(10) (e)
-0.5890.4-0.6(9)-0.069(9)f´(9) (d)
2
2
)f( Los resultados negativos nos hacen ver que el estándar de vida en esa
década no fue bueno.
2.3 REGLA DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE.
Si f y g son funciones diferenciables, entonces su producto f.g y su
cociente f/g ; son también diferenciables.
PRODUCTO" DEL REGLA" f(x).g´(x)f´(x).g(x)dx
dyy´ f(x).g(x) y
COCIENTE" DEL REGLA" (g(x))
f(x).g´(x)-f´(x).g(x)
dx
dyy´
g(x)
f(x)y
2
Ejemplos: Diferenciar las funciones.
1. 5x)-x)(3x(y 2
Transforme radicales a potencia: 5x)-3)(x(xy 21/2
5x - x x g 3x x f 22/1 ; Aplique regla del producto
5)-3)(2x(x5x)-(xx2
1y´ 1/221/2- ; Realice operaciones
15-x2
15-6xx
2
5y´ 1/23/2
2. 14x
2x-xy
2
2
14x x g ; 2x-x x f 22
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
64
22
22
1)x4(
)(8x)2x-(x-1)4x)(4x-(1y´
; Realice operaciones
22
2
1)(4x
14x- 4x-y´
3. 5
8)5x-3(2xy
23
Puede confundir con regla del cociente, considere: 85x-2x 5
3y 23
10x)-(6x5
3y´ ; x f´ c y´ ; x f cy 2
4. Ingresos en taquilla. Los ingresos totales en taquilla a nivel mundial de
cierta película se aproximan con la función 4x
x120)x(T
2
2
, donde T(x) se
mide en millones de dólares y x son los años posteriores al lanzamiento de
la película, ¿Cuán rápido cambian los ingresos totales uno, tres y cinco
años después del lanzamiento de la película?
Le piden determinar la razón de cambio del ingreso (T) respecto a los
años posteriores al lanzamiento de la película (x)
2222
22
4x
x960
4x
x2x1204xx240)x´(T
dx
dT
millones 38.4
41
)1(960)1´(T
22
millones 71.5
45
)5(960)5´(T
millones 04.1743
)3(960)3´(T
22
22
Los resultados le permiten analizar el decrecimiento del ingreso en el
tiempo.
2.4 REGLA DE LA CADENA Y LA POTENCIA.
Para explicar estas reglas; utilicemos un ejemplo.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
65
Encontrar la derivada de la función: 523 13)2x-9(3x y
1. Con las reglas conocidas, no podemos diferenciar directamente;
utilizamos una sustitución.
523 9u y 132x-3x u
2. Nuestro objetivo es encontrar la derivada dx
dy; y está en función de u,
realizamos esa derivada; además u está en función de x, también
realizamos esa derivada. Este proceso; se denomina la regla de la
cadena.
CADENA LA DE REGLA dx
du.
du
dy
dx
dy
4x)-.(9x45udx
dy 24
3. Volvemos a la sustitución original.
4x)-(9x13)2x-45(3xdx
dy 2423
Para la regla de la potencia, usamos la regla de la cadena directamente.
Primero derivamos la potencia, luego la función interna.
4x)-(9x13)2x-45(3xdx
dy 2423
Ejemplo 1: Encuentre la derivada de: 45x -1 . x2y
Aplique la regla del producto. )x´(g).x(f)x(g).x´(fy
25x-1 5x-1 2y´
x205x-1 5x-1 2y´ ; 5- 5x-1 4 2x.5x-1 2 ´y
3
334
Ejemplo 2: Encuentre la derivada de: 42 3x8
3x4y
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
66
Aplique la regla del cociente: 2)x(g
)x´(g).x(f)x(g).x´(f´y
3x8
3x4x163x83-8x4
3-8x
x163x843x438x 4
y´82
232
242
3242
3-8x
3x48x564y´ ;
3-8x
48x64x-3-8x 4y´
52
2
52
22
Una de las aplicaciones importantes de la Economía, es el producto de
ingreso marginal; que es el ingreso aproximado que se recibe por
emplear un trabajador adicional en la producción y venta de un producto.
dm
dq .
dq
dr
dm
dr ; regla de la cadena.
Ejemplo 3: Si: 20
mm200q
2 , 70q1,0p , 40m . Donde q es el número
total de unidades producidas por día por m empleados de un fabricante, y p
es el precio de venta por unidad. Encuentre el producto de ingreso marginal
para el valor dado de m.
1. Se pide determinar el producto de ingreso marginal: dm
dq.
dq
dr
dm
dr ; no
tiene la función de ingreso; recuerde: q.pr
70q-0,1qr ; q )70q1,0(r 2
70q20,0dq
dr ; Encuentre q: 320
20
)40()40(200q
2
670)320(20,0)40(dq
dr
2. Calcule: dm
dq
620
)40(2200)40(
dm
dq ;
20
m2200
dm
dq
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
67
3. Calcule el producto de ingreso marginal.
36dm
dr ; )6)(6(
dm
dq.
dq
dr
dm
dr
El resultado obtenido significa; que el fabricante recibe un ingreso
adicional de 36 unidades monetarias, por el empleo del trabajador
número 41.
Ejemplo 4: 2
2
1)-(3x
1)-2)(8x-(4xy ; utilice las reglas de diferenciación.
1. Tiene combinado la regla del cociente y del producto. Denominador al
cuadrado, derive numerador por el denominador menos el numerador por
la derivada del denominador. Tome en cuenta que el numerador es un
producto cuando derive aplique la regla.
22
222
)1)-((3x
1)(3)1)(2)(3x2)(8x(4x1)(3x2)8(4x1)8x(8xy´
4
2322
)1x3(
2x16x4x3261x316x32x8x64)1x3(´y
3
23223
)1x3(
12x96x24x19216x48x8x24x96x288´y
3
23
)1x3(
4x56x96x96´y
3
23
1)-(3x
1)14x24x-4(24xy´
CONSULTAS EN EL TEXTO
Estudia el texto base; páginas 448 a 525
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68
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Clasifica los enunciados como verdadero o falso. Si es falso dé una razón.
1.1 Si el )x(flím)x(flímaxax
; afirmamos que, )x(flímax
, existe. ( )
1.2 Si al calcular un límite, el resultado es 0/0, entonces su respuesta es 0. ( )
1.3
80límx
( )
1.4 Si al calcular el límite se obtiene K/0, para determinar el límite es necesario determinar los límites laterales. ( ) 1.5 La solución de una desigualdad no lineal, se fundamenta en determinar los valores para los cuales la función no existe. ( )
1.6 )x´(f 1 es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de )x(fy , en el punto
))f(x , x( 11
( )
1.7 Si c)x(fy , la derivada 1dx
dy)x´(f´y . ( )
1.8 dx
dy, significa dy dividido para dx. ( )
1.9 Si )q(fc ; entonces dq
dc, es el costo marginal y significa el costo aproximado de
producir una unidad adicional.
1.10 Si )u(fy y )x(fu , entonces,
, es llamada la regla del producto. ( )
1.11 Si f y g son diferenciables, )x(g).x(fy , la derivada )x´(g).x´(fy ( )
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
69
AUTO EVALUACIÓN
Sigue avanzando en tu conocimiento. ¿Cómo te encuentras en el estudio del nuevo tema? ¿Contestaste correctamente los ejercicios de aplicación y procesos de solución? Sí la respuesta es afirmativa; felicitaciones; sigue adelante. Si no lo es; no te desanimes; vuelve revisar los contenidos, aclara conceptos y métodos de solución en la guía de estudios y texto base. Acude a tutoría con dudas puntuales; que te detienen en tu estudio.
CONSOLIDACIÓN
Al finalizar cada capítulo o tema tratado; el texto guía te proporciona un
resumen de conceptos y fórmulas importantes
Como un refuerzo en tu conocimiento, resuelva el ejercicio:
1. El día del juicio final. La población de cierta raza de conejos introducida en
una isla está dada por:
(
Donde t se mide en meses.
a. Calcule el número de conejos presentes en la isla en un principio.
b. Muestre que la población de conejos crece sin límite.
c. Trace la gráfica de la función P.
2. Administración. El ingreso por la venta de q carteras está dado por
q2q 201)q(R 3 , para 80q4 . El costo de fabricar q carteras está dado
por 40q5q1.0c 2 .
(a) Encuentre la función de ganancia. (b) ¿Cuál es la ganancia al vender q=10,
20, 30, 50 carteras? (c) Encuentre la función de ganancia marginal. (d) ¿Cuál
es la ganancia marginal para q=10, 20, 30, 50 carteras? (e) ¿Cuál es la
relación entre sus respuestas en los incisos (b) y (d)?
3. Publicidad y ventas. La venta diaria S(en miles de dólares) que se atribuye
a una campaña publicitaria está dada por:
2)3t(
18
3t
31S
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
70
donde t es el número de semanas que dura la campaña. (a)¿Cuál es la tasa de
cambio de las ventas para t = 8, t = 10? (b) ¿La campaña debe continuar
después de la décima semana? Explique.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
71
EVALUACIÓN A DISTANCIA (Primer trabajo a entregar)
UNIDAD I
a) En ejercicios 6.1 de páginas 231-232, ejercicios11, 26, 28 b) En ejercicios 6.2 de páginas 237-238, ejercicios12, 23, 41 c) En ejercicios 6.3 de páginas 248-249, ejercicios23, 57, 65 d) En ejercicios 6.4 de páginas 257-259, ejercicios15, 25, 28, 30 e) En ejercicios 6.5 de páginas 231-232, ejercicios 24
UNIDAD II
a) En ejercicios 7.1, página 284, ejercicios 17, 22, 29 b) En ejercicios 7.2, páginas 291-293, ejercicios 6, 10, 15, 19
UNIDAD III
a) En ejercicios 10.1, página 457-458, ejercicios 5, 32, 43 b) En ejercicios 10.2, páginas 465-466, ejercicios 34, 50, 58 c) En ejercicios 10.4, páginas 475, ejercicios 10, 21, 30 d) En ejercicios 11.1, páginas 488-489, ejercicios 17, 20, 26 e) En ejercicios 11.3, páginas 504-505, ejercicios 18, 22, 25, 35 f) En ejercicios 11.4, páginas 513-515, ejercicios 13, 30, 51, 71 g) En ejercicios 11.5, páginas 521-522, ejercicios 24, 49, 62, 68
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
72
SEGUNDA PARTE
UNIDAD IV
DERIVACIÓN DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES.
TRAZADO DE CURVAS Y APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Competencia: Resuelve problemas de aplicación como razones de cambio
(marginales) e índices mediante la derivación de funciones trascendentes,
trazado de curvas y maximización, minimización de funciones como costo,
ingreso, utilidad y otras; en la administración y economía con iniciativa y
exactitud.
Contenido:
1. Derivadas de funciones logarítmicas.
2. Derivadas de funciones exponenciales.
3. Diferenciación implícita.
4. Diferenciación logarítmica.
5. Derivadas de orden superior.
6. Trazado de curvas y optimización
6.1 Extremos relativos, máximos y mínimos.
6.2 Concavidad y puntos de inflexión.
6.3 Prueba de la segunda derivada
7. Aplicaciones de maximización y minimización
VINCULACIÓN CON CONOCIMIENTOS ANTERIORES
Capítulo 0: Factorización
Capítulo 5: Funciones logarítmica y exponencial
Capítulo 10: Derivación
1. DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
73
Si: y (
(
(
Ejemplo1: 5)6x-(3xln y 2
56x-3x
1)-6(xy´ 6)-(6x.
56x-3x
1y´
22
a) Para realizar derivadas que tengan logaritmos es necesario que recuerde
sus propiedades.
y
xlogylog-xlog 2. xy logylogxlog .1 bbbbbb
01log. 4 x log m xlog. 3 bbm
b
x b 6. x blog 5.xlogx
bb
y xigualdadpor y log x log 7. bb
y xigualdadpor bb 8. yx
bln
ln xxlog 9. b
Ejemplo 2: Encontrar la derivada. 45
233
1)-(8x
)3x-(4.5)(2xln y
1. Exprese en términos de exponentes. 4/1
5
233
1)-(8x
)3x-.(45)(2xln y
2. Aplique propiedades.
1)-(8xln 5-)3x-(4ln 25)(2xln 34
1y 3
3. Diferencie o derive.
1-8x
40
3x-4
18x-
52x
6
4
1y´
1-8x
5(8)
3x-4
)2(-9x
5x2
3(2)
4
1y´
3
2
3
2
1-8x
20
3x-4
9x
52x
3
2
1y´
3
2
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
74
Ejemplo 3: Encuentre la derivada. 3x-1 ln
3x2y
x31ln
x31
3x23x31lnx312
y´ ; 3x-1ln
x31
3 . 3x23x-1ln . 2
´y22
x31lnx31
3x23x31lnx312´y
2
2. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES.
Si: y (
( (
EJEMPLOS
1. Encontrar la derivada. 35x-2x
2
e y
5)-(4x edx
dy 35x-2x2
2. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva ; en el
punto ( ⁄
(
(
( ⁄ ( ) ( (
))
( (
)
DERIVADA DE FUNCIONES DE BASE b
Para derivar funciones de base b, debe transformar la base b a base e,
para luego derivar.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
75
Si y (
(
Como:
(
3. Derive: 85x3
4 y
Transformamos la función exponencial de base 4 a base e:
(
4. 10
52q
e . q100c
, representa el costo total de producir q unidades de un
producto. Encuentre la función de costo marginal.
10
2 .e . 100qe 100
dq
dcc
10
52q
10
52q
q5e 20 dq
dcc´ ; 20q100e
dq
dcc´
10
52q
10
52q
3. DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA.
La diferenciación implícita es una técnica para diferenciar funciones que
no están dadas de la forma usual y = f(x).
y = x2 + 3x -100 “EXPLÍCITA”
y2 + 3xy – 5x = 8 “ IMPLÍCITA”
Para la diferenciación implícita, tome en cuenta las recomendaciones del
texto guía de página 544. En la función implícita, y implícitamente esta en
función de x.
Ejemplo. Encontrar la ecuación de la línea tangente a la curva
10x52xy 3xy 3 , en el punto ( 1 , 1 )
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
76
Recuerde, la derivada evaluada en un punto le proporciona la pendiente
de la línea tangente a la curva en ese punto.
1. Igualamos a cero la expresión: 010x- 52xy 3xy 3
2. Diferenciamos:
0100dx
dy2x2y)
dx
dy3x(3y3y 23
3. Agrupamos los términos en dx
dy:
2y3y102x)(9xydx
dy 32
2x9xy
2y3y10
dx
dy2
3
4. Evaluamos la derivada en el punto para determinar la pendiente y
aplicamos la ecuación de rectas punto-pendiente.
11
5m ;
11
5
)1(2)1)(1(9
)1(2)1(310)1,1(
dx
dy2
3
11
6x
11
5y ; 1)-(x
11
51-y ; )xx(myy 11
4. DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA.
Una técnica que simplifica la diferenciación de y = f(x); cuando f(x),
contiene productos, cocientes o potencias; es la técnica de diferenciación
logarítmica. Para explicación del método utilicemos un ejemplo.
Encontrar la derivada utilizando diferenciación logarítmica:
3 22
452
5)(x 3x
1)-(3x3)(x y
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
77
1. El método, inicia aplicando logaritmo natural a los dos lados de la
igualdad; y utilizamos las propiedades de logaritmos.
3 22
452
5)(x 3x
1)-(3x3)(x lnyln
2/32452 5)(x3xln - 1)-(3x3)(xln y ln
5)(xln
3
2(3x)ln 2- 1)-(3xln 43)ln(x 5 y ln 2
( ( (
(
2. Aplicamos reglas de derivación.
5)3(x
2(1)
3x
2(3)
13x
4(3)
3x
5(2x)
dx
dy.
y
12
y 5)3(x
2
x
2
13x
12
3x
10x
dx
dy.
2
3 22
452
25)(x 3x
1)-(3x3)(x
5)3(x
1
x
1
13x
6
3x
5x2
dx
dy
5. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.
La derivada de una función f(x) es f´(x) y es una función de x; si
realizamos la derivada, obtenemos la segunda derivada y así
sucesivamente. Ejemplo.
Sí, 10013x 12x-14x3x y 235 ; encontrar y´´´.
1324x-42x15xy´ 24
24-84x60xy´´ 3
84180x y´´´ 2
6. TRAZADO DE CURVAS
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
78
El estudio del comportamiento gráfico de las ecuaciones es importante en
las matemáticas; utilizado en varias áreas de aplicación práctica. Para la
comprensión del tema, se recomienda la revisión de la base teórica
expuesta en el texto guía.
Ejemplo1: Graficar: 2x10x2
11x2y 23
a) Intersecciones con los ejes. En el capítulo 3; gráficas en coordenadas
rectangulares, estudiamos estos conceptos, si tienes dudas revisa este
tratamiento.
a) Intersección con eje x: y = 0
2x10x2
11x20 23
Por los métodos conocidos no es posible encontrar la intersección con el
eje x.
b) Intersección con eje y: x = 0
) 2 , 0 ( ; 2y ; 2)0(10)0(2
11)0(2y 23
b) Simetría respecto a los ejes y al origen.
a) Simetría respecto al eje x: Sustituimos en la ecuación original y por –y;
si la ecuación resultante no cambia existe simetría al eje x (Sx).
Sx No 2x10x2
11x2y 23
b1) Simetría respecto al eje y. Sustituimos x por –x.
Sy No ; 2x10x2
11x2y ; 2)x(10)x(
2
11)x(2y 2323
b2) Simetría al origen. Sustituimos simultáneamente x por –x y y por –y.
So No 2x10x2
11x2y 23
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
79
c) Máximos y mínimos relativos. En este paso es fundamental que sus
conocimientos de derivación sean sólidos.
6.1 EXTREMOS RELATIVOS, MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Si, 0f´(x) para toda x en ( a , b), entonces f es creciente en (a , b) y
0f´(x) , para toda x en (a , b), entonces f es decreciente en (a , b).
) 2 3x ( ) 5-2x (´y
10x11x6y´ 2
Igualamos a cero cada uno de los factores:
3
2- ,
2
5 x; 023x ; 05x2 “puntos críticos”
A estos valores los ubicamos en la recta de los reales y formamos
intervalos. Evaluamos los intervalos en la primera derivada.
32 25
Intervalos: ),25( ; )25,32(- ; )32,-(-
)( ) (- )(y´(-1) )32,-(- creciente
- -) 0 y´( )25,32(- decreciente
y´(3) ),25( creciente
Del análisis de los intervalos y naturaleza creciente y decreciente de la
curva, concluimos que:
relativo Mínimo 25x
relativo Máximo 32-x
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
80
6.2 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN.
d) Concavidad. Si f´´(x) > 0 para toda x en (a , b), entonces f es cóncava
hacia arriba en (a , b). Si f¨´(x) < 0, para toda x en (a , b), entonces f es
cóncava hacia abajo en (a , b).
11x12´´y
Encontramos puntos críticos, igualando a 0 la segunda derivada:
1211 x; 011x12 “Punto crítico “
1211
Intervalos: ) ,1211 ( ; ) 1211 ,(
)(11)0(12y´´(0) ) 1211 ,( Cóncava hacia abajo.
)(11-12(2)y´´(2) ) ,1211 ( Cóncava hacia arriba.
En este paso; determinamos los puntos de inflexión, que es el punto
donde cambia la concavidad: 1211x “Punto de inflexión”
e) Graficación. Con la información obtenida graficamos.
a) Ubique las intersecciones: ( 0 , 2 )
b) Utilizando una tabla de valores para ubicar máximos, mínimos
relativos y puntos de inflexión.
x - 2/3 2,50 11/12
y 5,63 -26,13 -10,25
c) Haga un análisis de intervalos, en lo que se refiere a naturaleza
creciente o decreciente de la curva y a la concavidad.
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81
x
y
2x10x2
11x2y 23
63.5,32
13.26,25
25.10,1211
Ejemplo 2: Crecimiento de organizaciones para la salud. Con base en los
datos de la Group Health Association of America, el número de personas que
reciben atención en una Organización para la conservación de la Salud
desde el inicio de 1984 hasta 1994 es aproximado mediante la función:
11 t 0 ; 6524.15t8147.6t853.0t0514.0f(t) 23 donde f(t)
proporciona el número de personas, en millones, y t se mide en años, con
0t correspondiente al inicio de 1984.
a) Encuentre los máximos y mínimos relativos.
b) Encuentre los puntos de inflexión.
c) ¿En qué momento del intervalo dado aumentaba con más rapidez la
cantidad de personas atendidas en una organización de este tipo?
a) Máximos y mínimos relativos
0f´(t) ; 6.81471.706t-0.1542tf´(t) 2
08147.6t706.1t1542.0 2
1542.02
6.8147 0.1542 4706.11.706- -t
2
0.3084
.1.29-1.706t
No existen máximos ni mínimos relativos.
b) Concavidad.
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82
0f´´(t) ; 1.706-0.3084tf´´(t)
5.530.30841.706 t ; 0706.1t3084.0
53.5
abajo" hacia Cóncava" 706.1706.103084.0)0´´(f
arriba" hacia Cóncava" 14.0706.163084.0)6´´(f
inflexión" de Punto" 5.53t
c) 11 , 5.53
d) Grafico
x 5,53 -1 0 1 6 7
y 35,9446 7,9333 15,6524 21,6655 36,935 39,1885
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
83
6.3 PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA.
Para encontrar máximos y mínimos relativos, no es necesario realizar
todo el proceso estudiado anteriormente, basta con evaluar los puntos
críticos obtenidos de la derivación igualada a cero. Si el resultado
obtenido es positivo, se tiene un mínimo; caso contrario es un máximo.
Ejemplo: Para ( . Determine los máximos y
mínimos relativos.
( (
“Puntos críticos”
( ( “Mínimo relativo”
(
) (
) “M ximo relativo”
7. APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
En muchas aplicaciones de la vida real hay que hallar el valor máximo o
mínimo absoluto de una función dada; por ejemplo, un gerente está
interesado en el nivel de producción que rinda la máxima ganancia para
una compañía; un agricultor, la cantidad correcta de fertilizante para
minimizar el costo de la cosecha.
Para resolver estas preguntas; se debe expresar la cantidad que se desea
maximizar o minimizar como función de alguna variable contenida en el
problema. Luego realizamos las pruebas de la primera y segunda
derivada para determinar si es un máximo o un mínimo absoluto.
Estudia los ejercicios resueltos del texto base y las recomendaciones de
página 600 para la solución de problemas de aplicación; además de los
ejercicios de la guía de estudios.
Es necesario que recuerde y domine algunos conceptos importantes como:
Costo total: c = Cv + CF
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84
Ingreso total: r = p.q
Utilidad: P = r – c
Costo promedio: q/cc
Utilicemos ejemplos para explicar el método de cálculo.
1. Utilidad. Los costos totales fijos de la empresa XYZ son de $1.200, los
costos combinados de material y mano de obra son de $2 por unidad y la
ecuación de demanda es: q
100p
¿Qué nivel de producción maximizará la utilidad? ¿Cuál es el precio
cuando la utilidad es máxima?
a) Ponga atención; se le pide maximizar la utilidad. Debe plantear una
ecuación de utilidad.
P = r – c
b) Realiza la derivada de la función de utilidad e igualamos a cero.
625q 0q
q2-50 2
q
50
dq
dP
c) Para el valor encontrado de q (punto crítico), encontramos la segunda
derivada para verificar si se trata de un máximo o un mínimo.
0016,0)625(25)625q(dq
Pd q25
dq
Pd 2/3
2
2
2/3
2
2
absoluto" Máximo" 0dq
Pd2
2
d) Contestemos el resto del problema.
12002q c 100.qr .qq
100r 1/2
2-q.50dq
dP 1200-2q-100.qP 1/2-1/2
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85
Ejemplo 2. Administración. Un club local está organizando un vuelo a
Hawai. El costo del vuelo es de $425 por persona para 75 pasajeros, con
un descuento de $5 por pasajero en exceso de 75.
a) Encuentre el número de pasajeros que maximizará el ingreso obtenido
del vuelo.
b) Encuentre el ingreso máximo.
a) La pregunta es maximizar el ingreso obtenido por el vuelo.
Ingreso (R) = (número de personas)(costo por persona)
x = número de personas.
b) Encontramos la primera derivada e igualamos a cero.
c) Comprobamos con la segunda derivada.
d) Respondemos la segunda pregunta.
3. Utilidad. Un fabricante vende sacos de alta calidad a una cadena de
tiendas. La ecuación de la demanda para esos sacos es q50400p ,
donde p es el precio de venta (en dólares por saco) y q la demanda (en
miles de sacos). Si la función de costo marginal del fabricante está dada
por 5q
800
dq
dc
, demuestre que existe una utilidad máxima y determine el
número de sacos que deben venderse para obtener esta utilidad máxima.
Recuerda: La utilidad máxima ocurre cuando el ingreso marginal es igual
costo marginal dq
dc
dq
dr
4$25
100p
31.87550x5x- R 5x)-x)(425(75R 2
5 x 05010x- 50x10dq
dR
absoluto" Máximo" 0 5dx
Rd2
2
$33.6005)*5-5)(425(75R
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
86
a) Encuentra el ingreso y el ingreso marginal.
q100400dq
dr ; 50q-400qr ; 50q).q-(400r ; pqr 2
b) Iguala ingreso marginal con el costo marginal.
8005)q)(q-100(4 ; 5q
800q100400
3q , -4q ; 03)-4)(q(q ; 012qq2
Deben venderse 3000 sacos para obtener la utilidad máxima.
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87
CONSULTAS EN EL TEXTO
Estudia el texto guía; página 528 a 611
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Clasifica los enunciados como verdadero o falso. Si es falso da una razón.
1.1 ( ( )
1.2. Si x
3
dx
dyy´ ; xlogy
3 ( )
1.3 La expresión; ; x5ylnxyy 2 está en forma implícita y define a y como una
función diferenciable de x. ( )
1.4. Sí; 53x5x3 2y´ , 2y ( )
1.5. ylogxlogn)y
xlog( n ( )
1.6. Si al evaluar la primera derivada en un intervalo ( a , b), el resultado es un número real positivo; significa que ese intervalo la curva es decreciente. ( ) 1.7. Si f´(x) cambia de negativa a positiva cuando x crece al pasar por xo (punto crítico), entonces f tiene un mínimo relativo cuando x = xo. ( ) 1.8. Si al evaluar la segunda derivada en un intervalo ( a , b), el resultado es un número real negativo; significa que en ese intervalo la curva es cóncava hacia abajo. ( ) 1.8 Para maximizar o minimizar una función cualquiera, es suficiente con encontrar los puntos críticos obtenidos al igualar a cero la primera derivada. ( ) 1.9 La utilidad máxima, se produce cuando el costo marginal es igual al ingreso marginal. ( )
AUTO EVALUACIÓN
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88
Le felicito, se encuentra en la segunda parte de su estudio, ya recibió las calificaciones de su primera evaluación; sí su calificación es buena, persevere lo está haciendo correctamente. Sí sus calificaciones no son buenas, consulte con su tutor, sobre sus errores, para que rectifique. Continúe, no desmaye, siga. Conoce el proceso de estudio, tenga presente siempre, que tiene la ayuda de tutoría.
CONSOLIDACIÓN
Al finalizar cada capítulo o tema tratado; el texto guía le proporciona un
resumen de conceptos y fórmulas importantes
Como un refuerzo en tu conocimiento, realiza el ejercicio siguiente:
1. Administración. La función de demanda para q unidades de un producto es
qln10100p , 20000q1 ; donde m6q y m es el número de empleados
que producen el producto.
(a) Encuentre la función de ingreso. (b) Encuentre la función de ingreso
marginal. (c) Evalúe e interprete el producto de ingreso marginal cuando q =
20 empleados.
1. Administración. Una cadena nacional ha encontrado que la publicidad
genera ventas, pero que demasiada publicidad de un producto tiende a alejar
a los consumidores, de manera que las ventas se reducen. Con base a
experiencias pasadas.
La cadena espera que el número N(x) de cámaras vendidas durante una
semana se relaciona con la cantidad gastada en publicidad por medio de la
función: ; donde x, es la cantidad
gastada en publicidad en decenas de miles de dólares.
a) Realiza el gráfico que describa la situación.
b) Como un futuro Administrador, emite un criterio técnico, en lo que se
refiere a la inversión de publicidad.
5x0 20x20x5x20.0)x(N 234
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
89
2. Administración. En la planeación de un pequeño restaurante, se estima que
se tendrá una ganancia de $5 por asiento si el número de éstos es entre 60 y
80 inclusive. Por otra parte, la ganancia en cada asiento disminuirá en 5ctvs.
por cada asiento en exceso de 80.
a) Encuentre el número de asientos que producirá la ganancia máxima.
b) ¿Cuál es la ganancia máxima?
3. Ingreso máximo. Un restaurante especializado en carnes determina que al
precio de $5 por platillo de carne tendrán en promedio 200 clientes por
noche, mientras que si lo vende a $7 el número de clientes bajará a 100.
Determine la relación de demanda suponiendo que es lineal. Encuentre el
precio que maximiza el ingreso
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
90
UNIDAD V
INTEGRACIÓN
Competencias: Resuelve problemas de área entre curvas, excedente de
productores y consumidores en la Economía y Administración, utilizando la
integración con iniciativa y precisión.
Contenido:
1. Integración
1.1 Diferenciales
1.2 Integral indefinida
1.3 Reglas de integración
1.4 Integración por método de sustitución
1.5 Integración con división previa
1.6 Integración con condiciones iniciales
2. Integral definida
2.1 Cálculo de Áreas
2.2 Excedente de productores y consumidores
3. Integración por partes
4. Integración por fracciones parciales
VINCULACIÓN CON CONOCIMIENTOS ANTERIORES
Capítulo 0: Factorización
Capítulo 3: Graficas en coordenadas rectangulares
Capítulo 10: Diferenciación
1. INTEGRACIÓN.
1.1 DIFERENCIALES
Definición.- Sea ( una función diferenciable en x y sea un cambio
en x, donde puede ser cualquier número real. Entonces, la diferencial de
y, que se denota por dy o d(f(x)) está dado por:
(
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
91
Ejemplo 1: Encuentre el diferencial dy para (
cuando
(
(
( ( ( (
Si y aplicamos diferenciales tenemos:
(
De acuerdo a esta conclusión tenemos que: ( que es la
expresión del diferencial que utilizaremos de aquí en adelante.
Ejemplo 2: Si ( √ . Encuentre el diferencial dy.
(
√
Por medio de diferenciales podemos estimar el valor de una función,
para lo cual hagamos el siguiente análisis.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
92
.
.
x
y
dy
y=f(x)
y
x x+dx
f(x+dx)
f(x)
f(x+
dx
)-f(
x)
P
Q
Si por el punto ( ( , pasa una línea tangente y damos un
incremento a x, ; tendremos el punto ( ( , entonces la
variación en y está dado por: ( ( .
Pero si , entonces y son prácticamente iguales, por lo que:
( (
( ( ( (
( ( ( “Fórmula para estimar el valor de una función”
Ejemplo3: Un centro de salud del gobierno examinó las historias clínicas
de un grupo de individuos que fueron hospitalizados por una enfermedad
particular. Se encontró que la proporción total P que fue dada de alta al
final de t días está dada por:
( (
)
a) Use diferenciales para estimar el cambio de a
(
(
)
( (
( )
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
93
(
( (
b) Determine el cambio verdadero de P (
( (
[ (
)
] [ (
)
]
Ejemplo 4: Use diferenciales para estimar el valor de √
Asumimos como ( √
( ( ( ( (
(
( (
( √
(
(
Ejemplo 5: La ecuación de demanda para un producto es
√ . Por medio
de diferenciales estime el precio cuando se demandan 24 unidades.
( ( (
( (
(
√ (
(
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
94
(
1.2 INTEGRAL INDEFINIDA.
En los temas anteriores ha estudiado la derivación, ahora vamos a tratar
el proceso inverso que se denomina integración; esto es, dada una
derivada se debe encontrar la función original.
Cuando conocemos la derivada de una función, el proceso de encontrar la
función original recibe el nombre de antidiferenciación. Por ejemplo, si
la derivada de una función es 2x3 , sabemos que la función podría ser
3x)x(f porque 23
x3dx
)x(d . Pero, la función también podría ser
10x)x(f 3 porque 23
x3dx
)10x(d
. Es evidente que cualquier función de
la forma Cx)x(f 3 , donde C es una constante arbitraria, tendrá 2x3)x´(f como su derivada.
La función resultante del proceso de integración se conoce como integral
indefinida. Podemos expresar la integral indefinida de una función f(x);
como dx)x(f . Por consiguiente, escribimos dxx3 2 para indicar la
antiderivada general de la función f(x)=3x2. La expresión se lee se lee
como: “la integral de 3x2 respecto a x”. En este caso 3x
2 se llama
integrando. El signo de integral, , indica el proceso de integración y la
dx indica que se toma la integral respecto a x; entonces:
Cxdxx3 32
1.3 REGLAS DE INTEGRACIÓN
Como en el caso de derivación, en la integración es necesario que conozca
y domine sus reglas.
Cxlnx
dx .4
Cedxe .3
C1n
xkkx .2
Ckxkdx .1
xx
1nn
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
95
Ejemplos.
1. Cx5dx5
2. Cx6
7C
15
x7dxx7 6
155
3. dx )100x9x
3
5
x 89x (
5 2
4 33
dx)100x9x3x5
8x9( 5/24/33 ; aplique las reglas.
Cx1002
x9
5/3
x3
4/7
x.
5
8
4
x9
25/34/74
Cx100x2
9x5x
35
32x
4
9 25/34/74
1.4 INTEGRACIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Cuando no es posible aplicar directamente las reglas de integración,
como en todo proceso matemático, se realiza una sustitución. Ejemplos:
1. dx)5x3.(x2 62
Como no puedes aplicar directamente las reglas de integración;
recurra a la sustitución.
6
duxdx
C)5x3(21
1 xdx6du
C7
u.
6
2)
6
du(u2 5x3u
72
762
Proceso: Determine 5x3u 2 , calcule el diferencial xdx6du .
Sustituya: es preferible que las constantes salgan de la integral
xdx.u2 6 , le queda por sustituir xdx , que lo encuentra en el diferencial,
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
96
despeja 6
duxdx , tiene )
6
du(u2 6 Con las reglas conocidas ya puede
integrar.
2. dx 5x2x2
1x33
2
2
dudx ) 1-3x (
dx)1x3(2du
C 5x2x2 ln dx)2x6(du
C u ln2
1
u
(du/2) 5x2x2u
2
2
32
3
3.
dx
2x6x
x4x
23
2
Transforma el radical en exponente dx )2x6x(
x4x2/123
2
dx)2x6x)(x4x( 2/1232
3
dudx)x4x(
dx)x4x(3du
C) 2x6x(3
2 dx)x12x3(du
C2/1
u.
3
1)
3
du(u 2x6xu
2
2
1/2232
2/11/2-23
1.5 INTEGRACIÓN CON DIVISIÓN PREVIA
Cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del
denominador, utilice la división previa, que facilita el proceso de
integración. Ejemplo.
dx x2x
1x7x4x2x2
234
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
97
1x7x4x2x 234 x2x2
4x2 34 x2x
x8x4 2
1x
x2x
1x)4x(
D
RC
2
2
dx)
x2x
1x4x(
2
2
dx x2x
1xx4
3
x2
3
2
dudx)1x(
dx)1x(2du
C x2x ln2
1 dx)2x2(du
Cu ln2
1
u
(du/2) x2xu
2
2
C2x xln2
1x4
3
x 23
1.6 INTEGRACIÓN CON CONDICIONES INICIALES
El objetivo es encontrar el valor de la constante C, luego que se ha
encontrado la integral. Ésta se puede determinar para valores en
particular, que son las condiciones iniciales. Ejemplos:
1. Encuentre y para las condiciones dadas: 3y(0) 2y´(1) ; 5x2´´y
C5xxy´ ; dx)5x2(y 2
4-5xxy¨ ; -4C ; C)1(5)1(2 22
Cx4x2
5
3
xy ; dx)4x5x(y 2
32
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
98
3x4x2
5
3
xy ; 3C ; C)0(4)0(
2
5
3
)0(3 2
32
3
2. Si 5q034.0q000102.0dq
dc 2 es una función de costo marginal y el
costo fijo de $10000. Encuentre el costo total para q = 100.
Kq5q017.0q000034.0c ; dq)5q034.0q000102.0(dc 232
10000q5q017.0q000034.0c 23
1036410000)100(5)100(017.0)100(000034.0)100(c 23
2. LA INTEGRAL DEFINIDA.
Teorema fundamental del cálculo integral. Si f es continua en el
intervalo b , a y F es cualquier antiderivada de f en el intervalo,
entonces:
b
a)a(F)b(Fdx)x(f
Ejemplos:
1. 1
0
332 dx)1x(x2
3
dudxx
) 1-x(6
1 dx 3xdu
u6
1
4
u
3
2)
3
du(u2 1-xu
2
432
44
33
6
11)-(0
6
11)-(1
6
1 4343
2. Demografía. Para cierta población, suponga que s es una función tal
que s(x) es el número de personas que alcanzan la edad x en cualquier
año. Esta función se llama función de la tabla de vida. Bajo
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
99
condiciones apropiadas, la integral nx
xdt)t(s da el número esperado
de gente en la población que tiene entre exactamente x y x + n años,
inclusive. Si x10010000)x(s , determine el número de personas
que tienen exactamente entre 36 y 64 años, inclusive. Dé su respuesta
al entero más cercano, ya que una respuesta fraccionaria no tiene
sentido.
64
36dx x10010000
dudx
)x100(3
20000 dxdu
3/2
u-10000(-du)u10000 x100u
2/3
3/21/2
2/32/3 )36100(
3
20000)64100(
3
20000
197333333,34133331440000
2.1 CÁLCULO DE ÁREAS
Una de las aplicaciones del teorema fundamental del cálculo integral, es
encontrar el área bajo una curva. Para determinar áreas es conveniente
hacer un esbozo de la región implicada.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
100
Para encontrar el área en el intervalo b , a bajo la curva, se debe
realizar la sumatoria de todas las áreas de los rectángulos o sea b
a
)x(f.x
; si la sumatoria llevamos al límite entonces tenemos: b
adx)x(f .
En general para el área bajo una curva tendríamos: b
ainfsup dx)yy( . En
palabras, cuando trabajamos con elementos verticales x , tenemos la
diferencia entre la curva superior y la curva inferior. Ejemplos.
1. Encontrar el área limitada por las curvas: 2x9y y 0y
Utilice la fórmula: b
ainfsup dx)yy(A
Encuentre los límites a y b, o sea la intersección de las 2 curvas; que
los obtiene igualando las ecuaciones.
3 x; 0x9 2
dx )0()x9(A3
3
2
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101
2333
u 363
)3()3(9()
3
)3()3(9(
3
xx9A
2. Encuentre el área limitada por las curvas 1xy 2 y 3xy
-1 x, 2 x; 01)2)(x-(x ; 02-x- x; 3x1x 22
2
1
22
1-
2 2)dxx-(x dx )1x()3x( A
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102
))1(2
3
)1(
2
)1(())2(2
3
(2)
2
(2) (x2
3
x
2
xA
323232
2u2
92
3
1
2
14
3
82A
Cuando y no esta definida como en el caso de la ecuación 5yx 2 ; para
facilitar el cálculo de áreas es conveniente utilizar elementos horizontales
y , entonces:
2y
1ydy )xizqxder(A
Ejemplo: Encontrar el área limitada por las curvas x2y2 y 4xy .
Expresa las ecuaciones de 4-y x; y-2 x; )y(fx 2
2y , -3y ; 02)-3)(y(y ; 06-yy ; y24y 22
dy y-y-6dy 4yy2 A2
3-
22
3
2
3
)3(
2
)3()3(6
3
)2(
2
)2()2(6
3
y
2
y-6yA
323232
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
103
2u 6
1259
2
918
3
8212A
2.2 EXCEDENTE DE CONSUMIDORES Y DE PRODUCTORES
El cálculo de áreas tiene su aplicación en la economía. Sea )g(fp una
curva de demanda y )q(gp una curva de oferta. El punto oo p , q en las
que las curvas se intersecan se llama punto de equilibrio. Donde op es el
precio por unidad al que los consumidores comprarán la misma cantidad
oq de un producto que los productores desean vender a ese precio.
El área EC es el excedente de consumidores y representa la ganancia
total de los consumidores que están dispuestos a pagar más que el precio
de equilibrio.
dqp)q(fECoq
0
o
El área EP es el excedente de productores y representa el beneficio de
los productores ya que están dispuestos a suministrar el producto a
precios menores que po.
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104
dq)q(gpEPoq
0
o
Ejemplo: La ecuación de demanda para un producto es:
80010q20p y la ecuación de oferta es: 030p2q
a. Verifique, por sustitución, que el equilibrio del mercado ocurre cuando
20p y 10q
2010q
800)q(fp
“demanda”
2
30q)q(gp
“oferta”
10q30q10q20-8002 ; 2
30q20
10q
800
-90q , 10q ; 010q90q ; 0900q80q2
20p ; 2
3010p
b. Determine el excedente de los consumidores y productores bajo el
equilibrio de mercado.
dq4010q
800 dq2020
10q
800 EC
10
0
10
0
52.154)10ln(800)10(40)20ln(800q40qln800EC 100
10
0
210
0
q302
q
2
1q20dq
2
30q20EP
254
10)10(5
4
qq5EP
210
0
2
3. INTEGRACIÓN POR PARTES.
Muchas integrales no pueden encontrarse por los métodos analizados, sin
embargo, hay maneras de cambiar ciertas integrales a formas más fáciles
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
105
de integrar, como es el caso de la integración por partes. La fórmula de
integración partes es:
vduuvudv
Cuando use la fórmula de integración por partes, algunas veces la
“mejor selección” de u y dv puede no ser obvia. En algunos casos una
selección puede ser tan buena como la otra; en otros, sólo una selección
puede ser adecuada. La habilidad para ser una buena selección si existe
se adquiere con la práctica y, desde luego, con el procedimiento de
ensayo y error. Ejemplos.
Como una ayuda para la integración considera las formulas siguientes:
Ceb
1dxe abx ln
b
1
abx
dx
Cedxe a xlnax
dx
Cedxe C x lnx
dx
abxabx
axax
xx
1. dy.ylny3
4
ydyyv
y
dydu
dyydv ylnu
43
3
C)4
1y(lny
4
1Cy
16
1yln.y
4
1
y
dy.
4
yyln.
4
y 44444
2. dxxe4 x2
x2
2x
e2
1 v 4dx du
.dxedv x4u
Ce.2
1.
2
4e.x2dx4.e
2
1e
2
1.x4 x2x2x2x2
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
106
C)1x2(eCee.x2 x2x2x2
4. INTEGRACIÓN POR MEDIO DE FRACCIONES PARCIALES
Para utilizar el método de fracciones parciales, el grado del numerador
debe ser menor que el grado del denominador. Caso contrario se debe
proceder a una división previa. Para el conocer el método utilicemos un
ejemplo:
dx
x3x2x
6x14x423
2
Expresa el denominador como factores.
)1x)(3x(x
6x14x4
)3x2x(x
6x14x4 2
2
2
El denominador consiste sólo en factores lineales distintos, que podemos
expresarlo como fracciones parciales.
1x
C
3x
B
x
A
)1x)(3x(x
6x14x4 2
El objetivo es encontrar los valores de las constantes A, B y C.
Resolvemos la igualdad.
)1x)(3x(x
)3x(Cx)1x(Bx)1x)(3x(A
)1x)(3x(x
6x14x4 2
Agrupamos los términos de acuerdo al grado de x.
Cx3CxBxBxA3Ax2Ax6x14x4 2222
)A3()C3BA2(x)CBA(x6x14x4 22
Establece un sistema de ecuaciones, para que la identidad sea verdadera.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
107
6A3
143C-B2A-
4CBA
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene A, B y C.
Otro método para encontrar A, B y C; es igualar a cero los
denominadores de las fracciones parciales.
Para 0x
)A3()C3BA2)(0()CBA()0(6)0(14)0(4 22
2A ; A36
Para 3x
A3)C3BA2)(3()CBA()3(6)3(14)3(4 22
A3C9B3A6C9B9A912
-1B ; B1212
Para 1x
A3)C3BA2)(1()CBA()1(6)1(14)1(4 22
3C ; 4C12 ; A3C3BA2CBA12
dx ) 1x
3
3x
1
x
2 (
C 1 xln3 3- xln x 2ln
Consideraciones del denominador y la asignación de constantes.
1. Factores lineales distintos.
5x
C
1x
B
x
A
)5x)(1x(x
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
108
2. Factores lineales repetidos
323 )1x(
D
)1x(
C
1x
B
x
A
)1x(x
3. Factores cuadráticos e irreducibles
1x
CBx
5x
A
)1x)(5x( 22
4. Factores cuadráticos repetidos e irreducibles
22222 )1x(
EDx
)1x(
CBx
5x
A
)1x)(5x(
Ejemplo:
22
23
)3x)(1x(
2x9x8x
2222
23
)3x(
D
3x
C
1x
BAx
)3x)(1x(
2x9x8x
22
222
22
23
)3x)(1x(
)1x(D)1x)(3x(C)3x)(BAx(
)3x)(1x(
2x9x8x
)DC3B9()CB6A9(x)DC3BA6(x)CA(x2x9x8x 2323
(4) 2DC3B9
(3) 9CB6A9
(2) 8DC3BA6
(1) 1CA
)DC3B9()CB6A9(3)DC3BA6(3)CA(323*93*83 2323
DC3B9C3A18A27D9C27B9A54C27A2720
2D ; 10D20
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
109
D en (2): (4) 63C-B6A-
(5) 2717C-27A-
3618C-6B36A- (4)x(6)
-9C6B-9A (3)
De (1): (6) A1C
(6) en (5): -1A ; 1010A- ; 27)A1(17A27
En (6): 0C ; 0(-1)-1C
En (3): 0B ; 06B- ; 90B6)1(9
=
dx3x
2
1x
x-22
Utiliza el método de sustitución y comprueba la respuesta.
C3x21xln12
CONSULTAS EN EL TEXTO
Estudia el texto guía; página 685 a 721
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Clasifica los enunciados como verdadero o falso. Si es falso da una razón. 1.1 Cuando conocemos la derivada de una función, al proceso de encontrar la función original
se denomina antidiferenciación o integración. ( )
1.2 Cedxe x3x3 ( )
1.3 dqp)q(fECoq
0
o es el excedente de productores y representa el beneficio de los
productores están dispuestos a vender el producto a precios menores al precio de equilibrio.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
110
( ) 1.4 Para el cálculo de un área entre dos funciones y y no esta en función de x, se utiliza la
fórmula:
dyxxA2
1
y
y
IZQDER ( )
AUTO EVALUACIÓN ¿Cómo se siente?. Déjeme opinar, estoy seguro que muy bien, ha logrado vencer el curso de Matemática Básica 2 con éxito. Su auto evaluación constante, ha sido, una buena práctica. FELICITACIONES……
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
111
EVALUACIÓN A DISTANCIA (Segundo trabajo a entregar)
UNIDAD IV
a) En ejercicios 12.1 de páginas 533-534, problemas 21, 42, 50 b) En ejercicios 12.2 de páginas 537-538, problemas 26, 36, 43 c) En ejercicios 12.4 de páginas 548-549, problemas 24, 29 d) En ejercicios 12.5 de páginas 552-553, problemas 11, 21, 27 e) En ejercicios 12.7 de página 560, problema 18 f) En ejercicios 13.1 de páginas 576-578, problemas 27, 61, 71 g) En ejercicios 13.3 de páginas 586-587, problemas 27, 60 h) En ejercicios 13.4 de página 589, problema 12 i) En ejercicios 13.6 de páginas 607-611, problemas 3, 11, 19, 23
UNIDAD V
a) En ejercicios 14.1 de páginas 622-623, problemas 9, 38 b) En ejercicios 14.2 de páginas 628-629, problemas 20, 37, 46, 49 c) En ejercicios 14.3 de página 633, problema 7, 11, 16 d) En ejercicios 14.4 de páginas 639-640, problemas 15, 39, 59, 82 e) En ejercicios 14.7 de páginas 657-658, problemas 28, 33, 40 f) En ejercicios 14.9 de páginas 667-668, problemas 13, 23, 34 g) En ejercicios 14.10 de páginas 673-675, problemas 4, 12, 18, 25 h) En ejercicios 14.11 de páginas 677- 678, problemas 3, 7
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
112
RESPUESTAS DE EJERCICIOS DE APLICACIÓN Y
CONSOLIDACIÓN
PRIMERA PARTE
UNIDAD I
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.1 (F) Para que sea una matriz diagonal debe ser cuadrada, donde el
número de filas es igual al número de columnas.
1.2 (F) La suma o resta de matrices solo está definida para matrices del
mismo orden.
1.3 (V)
1.4 (F) La diagonal principal son 1 y el resto de entradas cero.
1.5 (V)
CONSOLIDACIÓN
(a) Esquema y asignación de variables.
Proveedor 1
(75)
Wooster
(75)
Canoga
(40)
Proveedor 2
(75)
1x 2x
3x 4x
70$ 90$
80$120$
(b) Sistema de ecuaciones.
{
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
113
(c) Solución por el método de reducción.
1 1 0 0 75
0 0 1 1 40
0 1 0 1 75
1 0 1 0 40
70 90 80 120 10750
1 1 0 0 75
0 0 1 1 40
0 1 0 1 75
.-R1+R4 0 -1 1 0 -35
.-70R1+R5 0 20 80 120 5500
1 1 0 0 75
0 0 1 1 40
0 1 0 1 75
.-R2+R4 0 -1 0 -1 -75
.-80R1+R5 0 0 0 40 2300
.-R3+R1 1 0 0 -1 0
0 0 1 1 40
0 1 0 1 75
R3+R4 0 0 0 0 0
.-20R3+R5 0 0 0 20 800
R5+R3 1 0 0 0 40
.-R5+R2 0 0 1 0 0
.-R5+R3 0 1 0 0 35
0 0 0 0 0
1/20 R5 0 0 0 1 40
Solución:
UNIDAD II
1.1 (F). La solución se encuentra en y bajo la recta.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
114
1.2 (F). La solución es un conjunto de valores, representados por una
región.
1.3 (V)
1.4 (V)
1.5 (F). No porque existe un infinito número de puntos que maximizan la
función objetivo.
CONSOLIDACIÓN
a) De la lectura y comprensión del ejercicio; se trata minimizar el costo de
trasporte de los televisores; de los lugares I y II a las ciudades A y B.
Resumamos la información como sigue:
Lugar I (6000)
Lugar II (5000)
Ciudad A(3000) Ciudad B (4000)
xy
3000-x4000-y
Sea x el número de televisores del lugar I hacia A y x3000 del lugar II
hacia A.
Sea y el número de televisores del lugar I hacia B y y4000 del lugar II
hacia B.
b) Planteamos la función objetivo. El costo de transporte está dado por el
costo unitario de transporte por el número de unidades enviadas.
320003y--xC ; )y4000(5)x3000(4y2x3C
c) Restricciones: La cantidad máxima de televisores que se pueden enviar
de los lugares I y II son 6000 y 5000 respectivamente
2000yx ; 5000)y4000()x3000(
6000yx
d) Condiciones de no negatividad: Las cantidades no pueden ser
negativas.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
115
4000y 0y-4000 ; 3000 x0x-3000 ; 0y,x
e) Planteamos el problema de programación lineal.
0y x,
4000y
3000 x
2000yx
6000yx
a. Sujeto
320003y--x C :Minimizar
f) Utilizamos el conocimiento de programación por el método grafico
para solucionar.
g) Encontramos región factible y vértices.
0) (2000, 2000) , (0 x2000y
0) , (6000 6000) , (0 x6000y
0) , 3000 F( 4000) , C(0 2000) , 0 B( 0) , (2000A :Vértices
4000) , D(2000 ; 2000 x; 4000x-6000 :D Vértice
) 3000 , 3000 ( E 30003000-6000y :E Vértice
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
116
h) Minimizar función objetivo.
Vértice C= -x -3y +32000
A ( 2000 , 0 ) 30000
B ( 0 , 2000 ) 26000
C ( 0 , 4000 ) 20000
D ( 2000 , 4000 ) 18000
E ( 3000 , 3000 ) 20000
F ( 3000 , 0 ) 29000
Solución: C = $18.000
LUGAR A B
I 2000 4000
II 1000 0
UNIDAD III
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
117
1.1 (V)
1.2 (F). Si se obtiene el resultado en la forma 0/0, significa que debes
realizar manipulación algebraica o factorar.
1.3 (F). Es igual a 80, porque el límite de una constante es la misma
constante.
1.4 (V)
1.5 (F) El método se fundamenta en encontrar todos los valores para los
cuales la función es cero o no existe.
1.6 (V)
1.7 (F). 0)´(´ dx
dyxfy
1.8 (F). dx
dy, significa la razón de cambio de y respecto al cambio de x.
1.9 (F)- Se denomina la regla de la cadena.
1.10 (F). Si )x(g).x(fy , la derivada )x´(g).x(f)x(g).x´(fy
CONSOLIDACIÓN
(a) (
(b)
(c)
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
118
t
t9
79)t(P
)t(P
(d) Conclusión: a partir del mes 9 los conejos se reproducen
indefinidamente, para frenar ese crecimiento, para que no solo existan
conejos hay que comerlos.
1. Administración.
a) Encuentra la función de ganancia.
b) ¿Cuál es la ganancia de vender 10, 20, 30 y 50 carteras?
c) Encuentre la función de ganancia marginal.
d) ¿Cuál es la ganancia marginal de vender 10, 20, 30 y 50 carteras?
)40q5q1,0()q2x201()q(C)q(R)q(P 23/1
40q3q1,0q201)q(P 23/1
04,35340)10(3)10(1,0)10(201)10(P 23/1
60,40540)20(3)20(1,0)20(201)20(P 23/1
55,40440)30(3)30(1,0)30(201)30(P 23/1
49,30040)50(3)50(1,0)50(201)50(P 23/1
3q2,0q67dq
dP ; 3q2,0q
3
201
dq
dP 3/23/2
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
119
e) ¿Cuál es la relación entre sus respuestas de los incisos b) y d)?
Para el valor de el análisis; q = 20 carteras; se produce la ganancia
máxima y para q = 30 comienza a disminuir. El costo marginal para esos
valores refleja esa situación, el valor negativo no significa que se tiene
pérdida, sino que la ganancia disminuye; pero igual se tiene ganancia.
2. Publicidad y ventas.
Le piden determinar la razón de cambio de la venta diaria respecto al
número de semanas; recuerde la derivada es una razón de cambio.
32
32
21
2
3t
36
3t
3
dt
ds ; 3t363t3
dt
ds
3t183t31S ; 3t
18
3t
31S
254,21000x002254,038
36
38
38t
dt
ds
32
1365,11000x001365,0310
36
310
310t
dt
ds
32
La campaña publicitaria no debe continuar a partir de la décima
semana pues las ventas van disminuir.
43,93)10(2,0)10(67)10(dq
dP 3/2
09,23)20(2,0)20(67)20(dq
dP 3/2
06,23)30(2,0)30(67)30(dq
dP 3/2
06,83)50(2,0)50(67)50(dq
dP 3/2
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
120
SEGUNDA PARTE
UNIDAD IV
EJERCICIOS DE APLICACIÓN.
1.1 (F). Si ylogxlog)y.xlog(
1.2 (F). Si xlogy 3 . Para derivar previamente transforma en logaritmos
naturales. 3ln
xlny , la derivada,
x.3ln
1
x
1.
3ln
1´y
1.3 (V)
1.4 (F). Si 5x32y . Transforma a base e, 2ln)5x3(ey . La derivada,
53x2ln)5x3(2ln)5x3( 2 2)ln3(e.2ln3)3(2lne.y
1.5 (V)
1.6 ( F ). Si al evaluar la primera derivada en un intervalo (a , b ), el
resultado es positivo; la curva es creciente en ese intervalo.
1.7 ( V )
1.8 ( V )
1.9 ( F ). Para maximizar o minimizar una función cualquiera, se iguala a
cero la primera derivada, obteniéndose puntos críticos que pueden
ser máximos o mínimos, lo que se comprueba al evaluar esos valores
en la segunda derivada. Si el resultado es positivo es un mínimo; y si es
negativo es un máximo.
1.10 ( V )
CONSOLIDACIÓN
1) Administración.
qln10100p “oferta” m6q “unidades producidas”
Se pide determinar el producto de ingreso marginal: dm
dq.
dq
dr
dq
dr
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
121
10q.lnq-100qr ; 10lnq).q-(100r ; q.pr
qln1090dq
dr ; )
q
1.q10qln10(100
dq
dr
13,42)120ln(1090)120q(dq
dr ; 120)20(6q
78,252)6)(13,42(dm
dr ; 6
dm
dq
Representa el ingreso adicional por emplear al trabajador 21 en la
producción.
1. Administración: 20x20x5x20,0)x(Ny 234
a) Realiza el gráfico que describa la situación.
1. Intersección con los ejes.
1.1 Intersección con el eje x. y = 0
020x20x5x20,0 234
No podemos encontrar las intersecciones algebraicamente, utilizamos
un método aproximado, que consiste en calcular los valores
funcionales, si cambia de signo, es un intervalo donde existe una
intersección con el eje x.
x N(x)
0 20
1 35,2
2 63,2
3 81,2
4 71,2
5 20
No existe cambio de signo entre 0 y 5; no hay intersección con el eje x en
el intervalo.
1.2 Intersección con el eje y. x = 0
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
122
(0,20) ; 20)0N( ; 20)0(20)0(5)0(20,0)0(N 234
2. Simetría respecto a los ejes y al origen.
2.1 Simetría respecto al eje x. Cambiamos y por –y.
Sx No ; 20x20x5x20,0y 234
2.2 Simetría respecto al eje y. Cambiamos x por –x.
20)x(20)x(5)x(20,0y 234
Sy No ; 20x20x5x20,0y 234
2.3 Simetría respecto al origen. Cambiamos x por –x; y; y por –y.
So No ; 20x20x5x20,0y 234
3. Máximos y mínimos relativos.
0N´(x) ; x40x15x80.0)x´(Ny 23
04015x-0,80x ; 0 x; 0)40x15x80,0(x 22
1,60
9715x ;
)80,0(2
)40)(80,0(42)15(15x
22,31,60
97-15 x; 53,15
60,1
9715x
21
0 522.3
)(40(1)15(1)-0,80(1)N´(1) ) 3.22 ,0 ( 23 creciente
)(40(4)15(4)-0,80(4)N´(4) ) 5 , 3.22 ( 23 decreciente
22.3x Máximo relativo.
5. Concavidad.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
123
0N´´(x) ; 40x30x40,2)x´´(N´´y 2
80,4
51630
)40,2(2
)40)(40,2(42)30(30 x; 040x30x40,2 2
53,14,80
516-30 x; 98,10
80,4
51630x
21
0 553.1
)(4030(1)-2,40(1)2N´´(1) ) 1.53 ,0 ( Conc. hacia arriba
)(4030(2)-2,40(2)2N´´(2) ) 5 , 53.1( Conc. hacia abajo
53.1 x Punto de inflexión
6. Con los datos obtenidos, graficamos.
b) La máxima inversión en publicidad esta determinada; ahora se debe
hacer un análisis de la distribución de la publicidad en la semana y en
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
124
los horarios convenientes. Recuerde una saturación de publicidad
reduce las ventas.
2. Administración
a) Ganancia = Número de asientos x costo por asiento
x = aumento de asientos
)x05,05)(x80(P
22 0,05x-x400P ; x05,0x5x4400P
10x ; 00,10x-1 ; 0dx
dP ; x10,01
dx
dP
Máximo 10,0dx
Pd2
2
Número de asientos = 80+10 = 90
b) ¿Cuál es la ganancia máxima?
405 $)10(05,0)10(400P 2
3. Ingreso máximo
a) Como la demanda es lineal, tienes que encontrar 2 puntos ( q , p );
encuentra la ecuación de la demanda. (100,7) )5,200(
50
1
100
2
200100
57m ;
ppm
12
12
100)-(q 50
17-p ; )qq(mpp 11
9q50
1p “Ecuación de oferta”
b) Encuentra la ecuación de ingreso y el proceso para maximización.
q9q50
1-r ; q).9q
50
1(-r ; q.pr 2
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
125
225q ; 0dq
dr ; 9q
50
2
dq
dr
25
1
dq
rd2
2
“Máximo”
50.4$9)225(50
1p
UNIDAD V
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.1. ( V)
1.2. (F) No es una integral directa, debes utilizar el método de sustitución
que da como resultado: Ce3
1 x3
1.3. (F) Representa el excedente de consumidores y es la ganancia total
de los consumidores que están dispuestos a pagar sobre el precio de
equilibrio.
1.4. (V)
CONSOLIDACIÓN
1(a) Tenemos que encontrar el área bajo la curva de razón de ahorros,
entre las rectas x = 5, x = 0 y el eje x.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II MODALIDAD A DISTANCIA
126
40)0()0(3)5()5(3)xx3(dx)x23(A 225
0
50
2
Los ahorros totales en 5 años son de $40, por lo que la máquina no se
pagará por sí misma en este periodo.
1(b) Se pide calcular el tiempo en que la máquina por si misma, entonces
el ahorro debe ser igual $70.
t
0
t0
2 70)x3x ( ; 70dx)x23(
-10 t, 7t ; 07t10t ; 070t3t 2
La máquina se pagará en 7 años.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 1 2 3 4 5 6 7 8
y
x
S(x) = 3 + 2x