matematica1

1 Elaborado por: Aux. de Doc: Vedia Vasquez Jose Carlos Cel: 76272729 / e-mail: [email protected]

Ejercicios resueltos de logaritmos y ecuaciones

exponenciales Paso a paso:

1. Resolver la ecuacin logartmica:

Solucin: Note que LAS BASES DE LOS LOGARITMOS NO SON

LAS MISMAS, por lo que primero se deben igualar las

bases, aplicando la propiedad en la

expresin

Ordenando

Pero la expresin es la frmula DEL CAMBIO DE BASE

( )

Aplicando la propiedad de en el

lado izquierdo

Pero

Aplicando la propiedad

Aplicando la propiedad en el lado derecho

para luego pasar a multiplicar al lado izquierdo.

Aplicando la definicin:

2. Resolver:

Solucin: Como puede observar, es imposible igualar las

bases (3 y 7) por lo tanto simplemente, aplicamos logaritmo

a los dos lados de la ecuacin PARA PODER BAJAR LOS

EXPONENTES:

Recuerde que CUANDO EL LOGARITMO NO TIENE BASE, SE

SOBREENTIENDE QUE ESTA EN BASE 10 ( )

Ahora aplicamos la propiedad para

bajar los exponentes de los argumentos.

Distribuyendo el log7

Llegando los logaritmos con x al lado derecho para luego

hacer factor comn y finalmente despejar se tiene:

3. Resolver:


Solucin: Para comenzar Ud. debe tener clara la diferencia

entre y , como puede observar, en el

primer caso el 2 esta EN EL LOGARITMO, por lo que esa

expresin se debe entender de la siguiente manera

o lo que es igual a

(exactamente igual a entender ), mientras que en

el segundo caso, el 2 esta SOLO AFECTANDO AL

ARGUMENTO DEL LOGARITMO, por lo tanto podemos

escribir el ejercicio de la siguiente forma:

Ahora para simplificar el ejercicio hacemos UN CAMBIO DE

VARIABLE:

Reemplazando:

Con lo que se tiene una ecuacin cuadrtica que se puede

Factorizar:

Igualando cada factor a cero:

Volviendo al cambio de variable

Para

Aplicando la definicin de logaritmo se tiene:

Para

Aplicando la definicin de logaritmo se tiene:

4. Resolver:

Solucin: Note que el LOGARITMO NEPERIANO (Ln) NO es

un logaritmo nuevo ni mucho menos, cuando Ud. vea el Ln

en los ejercicios, Ud, solo debe entenderlo como un

logaritmo normal (que sigue todas las reglas conocidas),

PERO CON BASE e (que ya no se escribe) es decir:

(se sobre entiende que la base del logaritmo

neperiano es e)

Para resolver el ejercicio aplicaremos la propiedad:

, pero para esta propiedad NO DEBE EXISTIR UN

NUMERO DIFERENTE DE 1 MULTIPLICANDOLE AL

LOGARITMO, por lo que primero debemos subir el 3 como

exponente del argumento x

Aplicando la propiedad

Ahora llevamos el 8 al lado derecho y lo expresamos en una

base que este elevada al cubo para hacer la igualacin, como

ser

Finalmente aplicando la propiedad de si los exponentes son

iguales, entonces LAS BASES TAMBIEN TIENEN QUE SER

IGUALES

Por lo tanto IGUALANDO BASES se tiene que

5. Demostrar que:

Demostracin: Note que el ejercicio NOS PIDE LA

DEMOSTRACION, y no as, LA RESOLUCION, es decir que

cuando se debe DEMOSTRAR, se debe elegir UN SOLO LADO

DE LA ECUACION, (sea cual sea, pero por comodidad se

toma el lado ms grande, Ud, debe tomar en cuenta que si

ha elegido un lado, NO PUEDE HACER NADA en el otro lado

que no eligio, tampoco se pueden pasar al otro lado las

expresiones, SOLO SE TRABAJA EN UN LADO)


Trabajaremos en el lado izquierdo, primero aplicaremos la

formula en el exponente.

Ahora aplicamos la propiedad: (con la que solo

nos quedar el argumento del logaritmo neperiano)

En el numerador se tiene UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS

Simplificando el ejercicio queda demostrado.

6. Resolver la siguiente ecuacin:

Solucin:

Note que todo el ejercicio se puede llevar a BASE 3 de la

siguiente manera

Ahora aplicando la propiedad para la

expresin , luego llevando al lado derecho la

expresin y aplicando la propiedad

Aplicando la propiedad de teora de exponentes en el lado

derecho

Ahora aplicando la propiedad que dice SI LAS BASES SON

IGUALES, LOS EXPONENTES TAMBIEN TIENEN QUE SER

IGUALES

Igualando los exponentes se tiene (ya no escribimos las

bases)

Resolviendo la ecuacin:

7. Resolver la siguiente ecuacin logartmica:

Solucin: Como puede observar, el sistema es sumamente

sencillo, pero entr varias veces al examen de ingreso de

medicina, bastar con SUMAR LAS DOS ECUACIONES

MIEMBRO A MIEMBRO.

Sumando las ecuaciones (1) y (2)

Note que AUN no se puede aplicar la definicin de

logaritmos, YA QUE PARA ESTO EL LOGARITMO DEBE ESTAR

SOLO, por lo que primero pasamos a dividir el 2 al lado

derecho.

Aplicando la definicin de logaritmo

Reemplazando en (1) para hallar y

Pero

Aplicando la definicin:


8. Resolver la siguiente ecuacin logartmica.

Solucin: Para empezar podemos bajar los exponentes de

cada argumento (del primer y segundo logaritmo que son

respectivamente ) con la propiedad

Ahora tratamos de igualar las bases aplicando la propiedad

en , por otra parte en la parte

de se reconoce la formula de cambio de base y se la

escribe como

Ahora aplicamos la formula de la cadena que es:

(tanto en el primer como en el segundo

trmino)

Ahora subimos el numero 2 para luego aplicar la formula

de suma de logaritmos

Finalmente con la definicin de logaritmos tenemos que:

9. Hallar el valor de x

Solucin: Lo que est dentro del parntesis no es nada ms

que la frmula del cambio de base.

Como se puede apreciar se tiene la misma expresin elevada

a la misma expresin (en los dos lados de la ecuacin) por lo

tanto por comparacin se tiene que tanto las bases como

los exponentes tienen que ser iguales para que se cumpla

la igualdad, de donde:

Finalmente por la definicin de logaritmo:

10. Resolver:

Solucin: Lo primero que debemos hacer es igualar las

bases, para esto utilizamos la propiedad ,

por otra parte podemos dividir el ejercicio entre 4

Haciendo operaciones:

Aplicando la propiedad de suma de dos logaritmos y

pasando la fraccin al otro lado de la ecuacin.

Finalmente con la definicin de logaritmo


11. Sabiendo que:

Calcular:

Solucin: Trabajando en la condicin utilizando la propiedad

Haciendo un poco de algebra se tiene

Aplicando logaritmos a la ltima ecuacin se tiene:

Aplicando la propiedad de y tambin

Llevando a dividir el logaritmo se tiene que la expresin del

lado derecho es lo que queremos calcular

De donde se tiene que la respuesta es 2

12. Resolver para x

411 2

212ln2

x ex

x

Solucin:

Efectuando un cambio de variable: 12xu

Reemplazando:

4 4 422lnln2 u uu eu e uuu

uu

2uu 2u 4u 4

2

u

u

u

Por comparacin en la ltima expresin se tiene que u=2

Volviendo al cambio de variable

1 x 1 x 21 22x

13. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

.)2....(..........8

)1......(..........2loglog

xy

xy

yx

yx

Solucin: Trabajando en (1) con la propiedad de cambio de

base se tiene que:

2log

1log 2loglog

y

yx

xyx xy

Haciendo un cambio de variable xu ylog

Reemplazando en la ltima expresin:

1u 01)-(u

012u 21

2

2 uu

u

Volviendo al C.V.

)3.........( x y x 1log 1y yx

(3) en (2)

4y 82y 8 yyyy yy


22yy Por comparacin se tiene que: xy 2

La solucin es: 2yx

14. Hallar el valor de:

si

Solucin: Reemplazando el valor de a

15. Hallar el valor de x en:

Solucin: Recordando la propiedad se

elimina el logaritmo del lado izquierdo por lo que

solo queda resolver una ecuacin algebraica.

:

16. Hallar el valor de x

Solucin: Recordando propiedades de exponentes

y desglosando el nmero 9 como 3

al cuadrado.

Ordenando se tiene una ecuacin cuadrtica en la

variable

Igualando cada factor a cero:

i)

ii)

De las dos opciones anteriores, solo se toma en cuenta la

segunda, ya que en la primera sabemos ningn numero

positivo (en este caso el 3) elevado a cualquier cosa, puede

dar de resultado un numero negativo (en este caso el -18)

Como las bases son iguales, los exponentes tambin tienen

que serlo:


17. Resolver:

Solucin: Primero despejamos una variable de la ecuacin

(2) y la reemplazamos en la ecuacin (1), despus de esto,

aplicamos propiedades de logaritmos para llegar a una

ecuacin algebraica y eso ser todo.

(3) en la ecuacin (1)

Factorizando por el mtodo del aspa (no pierda de vista que

se tiene una ecuacin cuadrtica en la variable log x)

Igualando los dos factores a cero se tienen dos opciones:

i)

Para hallar y se reemplaza en (3)

ii)

..Resp

Para hallar y se reemplaza en (3)

18. Resolver el sistema de ecuaciones:

Solucin: Trabajando en la ecuacin (1)

recordando que para luego igualar

exponentes ya que las bases son iguales.

Reemplazando (3) en (2) y tomando en cuenta que 1=log 10

Se tiene una ecuacin cuadrtica en la variable ,

factorizando se tiene:

Igualando cada factor a cero se tiene dos opciones:

i)

Para hallar b se reemplaza en la ecuacin (3)

ii)

Para hallar b se reemplaza en la ecuacin (3)

19. Hallar el valor de x en:

Solucin: Para resolver el problema recordemos la

siguiente propiedad: , haciendo este

artificio no se altera la igualdad ya que el cuadrado

se elimina con la raz, por lo tanto hacemos eso para

el numero 2 varias veces.

Ahora volvemos a hacer el artificio con el cuadrado

del exponente.

Volvemos a hacer el artificio una vez ms

Finalmente para que se cumpla la igualdad tenemos por

COMPARACION que:

20. Resolver:

)2......(..........25

)1.....(..........52

loglog

5log2log

yx

yx

Solucin: Trabajando en (1) Aplicando logaritmo en base 10

yx

yx

5log*5log2log*2log

5log2log5log2log

yx log5log*5loglog2log*2log

)1(..........log*5log5loglog*2log2log 22 yx

Trabajando en (2) (aplicando logaritmos en base 10)

2log*log5log*log 2log5log loglog yxyx

)2.(..........log*5log

2loglog yx

(2) en (1)

log*5log5loglog*5log

2log*2log2log 22 yy

log*5log5loglog*2log5log*2log 2322 yy

5log*2log5log log*5loglog*2log 2322 yy

5log2log*5log5log2log*log 2222y

1-

-1

5y

log5logy 5loglog y

En (2)

5log*5log

2log*1log

5log*5log

2loglog 1

x

x

1-

-1

2 x

log2logx 2log1log x

Las respuestas son:

5

1y

2

1x

matematica1

Documents