matemÁtica - innovacion.uni.edu.pe fileproblemas resueltos 32 problemas propuestos 39 interés...

40
HERNÁN B. GARRAFA ARAGÓN MATEMÁTICA F I N A N C I E R A

Upload: vodang

Post on 29-Sep-2018

266 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Hernán B. Garrafa araGón

M A T E M Á T I C A F I N A N C I E R A

Rector AurelioPadillaRíos

PrimerVicerrector JoséS.MartínezTalledo

SegundoVicerrector LuisCabelloOrtega

yPresidentedelaComisióndelProgramaEditorial

EduardodeHabich-TextosUNI

Primeraedición,juniode2008

MateMática Financiera

ImpresoenelPerú/PrintedinPeru

© HernánB.GarrafaAragón Derechos reservados

EditorialUniversitariadelaUniversidadNacionaldeIngeniería

Av.TupacAmaru210,Rímac-Lima

PabellónCentral/Sótano

Telf.:481-1070anexo240

E-mail:[email protected]

JefeEDUNI:Prof. Álvaro Montaño Freire

DiseñoyDiagramación:EDUNI

Impresopor...................................

ISBN:..............................................

HechoelDepósitoLegalenlaBibliotecaNacionaldelPerúNº.........................................

Prohibidalareproduccíóndeestelibroporcualquiermedio,totaloparcialmente,sinpermisoexpresodelautor.

A mi esposa, JessicaA mi hija, Yemitsu

A mis padres: Braulio y MargaritaA mi hermana, Inés

A mis hermanos: José, Franck, TinoA mi sobrina, Vanesa.

ConTEnIdo

Prólogoyagradecimientos 13Introducción 15

Interés sIMPle

1.1.Introducción 17 1.2.Elinteréssimple 20 1.3.Períododetiempo 23 1.4.Interésexactoeinterésordinario 23 1.5.Normacomercial 24 1.6.Valorpresente 24 1.7.Monto 24 1.8.Variacionesdetasas 26 1.9.Ecuacionesdevalor 28 Problemasresueltos 32 Problemaspropuestos 39

Interés CoMPuesto

2.1.Introducción 43 2.2.Interéssimpleeinteréscompuesto 43 2.3.Monto 45 2.4.Valoractual 47 2.5.Montoconvariacionesdetasas 49 2.6.Ecuacionesdevalor 51 Problemasresueltos 55 Problemaspropuestos 68

DesCuento

3.1.Introducción 73 3.2.Descuentoracional 74 3.3.Descuentobancario 76 3.4.Descuentocomercial 80

1

2

3

8 Hernán B. Garrafa araGón

Problemasresueltos 83 Problemaspropuestos 90

tasas

4.1.Introducción 93 4.2.Tasanominalytasaproporcional 94 4.3.Tasaefectiva 96 4.4.Tasasequivalentes 98 4.5.Tasaactivaypasiva 103 4.6.Tasadeinteréscompensatorio 106 4.7.Tasadeinterésmoratorio 107 4.8.Tasadeinteréslegal 109 4.9.Tasadeinflación 110 4.10.Tasareal 113 4.11.Tasadedevaluación 114 4.12.Tasasconcapitalizacióncontinua 118 Problemasresueltos 120 Problemaspropuestos 131

anualIDaDes

5.1.Introducción 137 5.2.Montodeunaanualidadvencida 138 5.3.Valorpresentedeunaanualidadvencida 140 5.4.Montodeunaanualidadanticipada 143 5.5.Valorpresentedeunaanualidadanticipada 144 5.6.Anualidadesdiferidas 146 Problemasresueltos 154 Casos 167 Problemaspropuestos 172

anualIDaDes PerPetuas

6.1.Introducción 177 6.2.Valorpresentedeunaanualidadperpetua vencida 177

4

5

6

�MateMática financiera

6.3.Valorpresentedeunaanualidadperpetua anticipada 179 Problemasresueltos 181 Problemaspropuestos 194

GraDIentes

7.1.Introducción 197 7.2.Valorpresentedeanualidadesquevaríanen progresiónaritmética 197 7.3.Valorpresentedelosgradientesuniformes 198 7.4.Equivalenciasentreanualidadesuniformesy anualidadesquevaríanenprogresiónaritmética 199 7.5.Valorpresenteconanualidadesenprogresión

geométrica 203 Problemasresueltos 206

Problemaspropuestos 218

aMortIzaCIón

8.1.Introducción 221 8.2.Fondodeamortización 221 8.3.CuadrodelFondodeAmortización 221 8.4.Amortización 224 8.5.CuadrodeAmortización 224 8.6.Valoractualneto 228 8.7.Tasainternaderetorno 231 8.8.Depreciación 233 Problemasresueltos 237 Casos 265 Casopropuesto 276 Problemaspropuestos 277

oblIGaCIones

9.1Introducción 281 9.2.Terminología 282 9.3.Bonos 283

7

8

9

10 Hernán B. Garrafa araGón

9.4Opcióndecompra 284 9.5.Valuacióndeunagraduación 285 9.6.Larelaciónentretasadeinteréseinflación 291 9.7.BonosBrady 392 BonosPar 292 BonosalDescuento 293 BonosFlirbs(FrontLoadInterestReduction Bonds) 293 BonosdeConversióndeDeuda(DCBs)y NuevoDinero(NMBs) 293 BonosdeInteresesRetrasados 294 BonosdeInteresesCapitalizados 294 Problemasresueltos 295 Problemaspropuestos 300 Glosario 303 Citasbibliográficas 313 Referenciasbibliográficas 313 Anexo 315

11MateMática financiera

ÍnDICe De tablas

tabla Descripción Página

1A Tasaactivapromedioensolesydólares.Fuente:BCRP. 105

1B Tasapasivapromedioensolesydólares.Fuente:BCRP. 105

2A ÍndicedepreciosalconsumidordeLima.(índicebasediciembre2000=100).Fuente:INEI. 111

2B InflaciónmensualdeLima(variación%mensual).Elaboración:propia. 111

3A TCydevaluaciónorevaluación(nuevosol/dólar).Fuente:BCRP,SBS,ReutersyDatatec. 116

ÍnDICe De GrÁFICos

Figura Descripción Página

1.1 Evolucióndelatasadeinterésensolesydólares.Fuente:DatosdelBCR.Gráfico:Elaboraciónpropia. 20

1.2 RelaciónentrePysuvalorfuturo. 21

1.3 Relaciónvalorpresenteymonto. 25

1.4 Interéssimpleconvariacionesdetasa. 27

2.1 Relaciónentreinteréssimpleycompuesto. 44

2.2 Capitalizaciónanualversuscapitalizacióntrimestral. 45

2.3 Relaciónentrevaloractualymonto. 48

8.1 EvolucióndelVANenfuncióndelcostodecapital. 230

Prólogo y agradecimientos

Estelibrorecogelasexperienciasquealolargodelosañosmehadadoelhaberdictandoestamateria,aunadasalasoperacionesconbancosque,comocualquierciudadano,

herealizado.Adicionalmente,herecibidosugerenciaseideasdepartededocentesdeestamaterialoquemehapermitidomejorarlacalidaddeestetrabajo.

Expreso mi agradecimiento y aprecio al MBA Germán Ríos,funcionariodeMiBanco,quepermitióincluirproblemasdeope-raciones financierasque segeneran, comúnmente, en labancaprivadapara,deestamanera,hacermásefectivoyútilestelibroparaestudiantesdelamateria.

TambiénmireconocimientoalaSeccióndePostgradodelaFIECSenlosprofesores:Mag.EnriqueSatoKurodayMag.UlisesHu-malaTassoporelapoyoaestapublicación,convocandoalospro-fesoresDr.LuisNavarroHuamaníyMag.JuanLamÁlvarezquie-nescolaboraronenlarevisióndeestematerial.AlseñorFreddyBartolaporlasútilesideasparamejorarestaprimeraedición.

EstelibrorecogeelesfuerzodelosestudiantesdelcursodeMa-temáticaFinancieraconloscualesseresolvióvariosejemplosyproblemasplanteadosenelpresentevolumen.

Introducción

Este libro está dirigido al estudiante universitario en elcursodeMatemáticaFinancieraenlasespecialidadesdecienciaseconómicas,ingeniería,administraciónyconta-

bilidadenlascualessedictaestecurso.

MatemáticaFinancieraestáconsideradaenelcampodelama-temáticaaplicadaqueestudiaelvalordeldineroenel tiempo,teniendoencuentavariosfactores,como:latasa,elcapitalyeltiempoparaobtenerunmontoointerésquepermitentomarde-cisionesdeinversión.

Conesaóptica,permitiráalalumnoelaborarmodelosmatemáti-cosencaminadosainterpretaryresolverlosproblemasfinancie-rosque,confrecuencia,sepresentanenlagestióndelasempre-sas,organismosdeinversionesyentidadesdelsistemabancarioyfinanciero.

Adicionalmente,ayudaaresolverproblemasqueselepresentaacualquierciudadanoensuvidadiaria,como,porejemplo,adqui-rirunautomóvil,unacasa,cualquierbienoproductoobtenidoaplazo;solicituddecréditos,contratodepólizas,acciones,obliga-ciones(bonos)uotrotipodeinversiónrentable.Elconocimientodelasmatemáticasfinancieras,portanto,lepermitiráalalumna-doprestaroinvertirsudineroenunaformamásracional.

Lacaracterísticaprincipaldeestelibroesutilizarpocasfórmu-las,inusualenlostextosdeMatemáticaFinanciera,para,deestamanera,darlesimplicidadalasolucióndelosproblemasycasos.Sibienesciertoqueeldesarrollodelosmismosestárealizadoen

16 Hernán B. Garrafa araGón

Excel,sehaceutilizandolasoperacionescomunes,potenciación,radicaciónylogaritmo.

A lo largo del libro se plantea y resuelve problemas prácticosparaasíilustrarmejorlasfórmulasdesarrolladasenlateoría.

También, en este tomo, se ha recogido problemas al nivel demaestríaeneconomía,administraciónycontabilidadloscualeshan sido resueltos tratando siempre de que la solución de losmismosseasimple.

Sepresentacasosrealesdeproblemasdeamortizacióndenuestrabancanacionalydeprestamistasinformales.Puedesuceder,porejemplo,quelafórmulaaplicadaparadeterminarelmontodelpagoperiódicoeslamismadesarrolladaenlateoríaexistiendopequeñas diferencias con respecto a cómo lo obtiene el bancoconrespectoaestateoría.Esporelloquesemuestraeldesarrollodeestetipodeproblemasycuálesladiferenciaconrespectoalateoríamostradaenellibro.

Los temas financieros ocupan una posición muy relevante ennuestrasociedad.Sepuedeobservarinformaciónfinancieraenlosdiarios,revistas,televisión,etc.yesqueparatomarunadecisión,de índole financiera, se debe estar informado y asesorado poruna persona con conocimientos en finanzas. Es esta crecientenecesidad de conocimientos de temas financieros lo que haceposible la edición de libros de matemáticas financieras comouninicionecesarioparaingresarenelimportantemundodelasfinanzas.

MatemáticaFinancieraeselcursoinicialbásicoparalassiguientesmaterias:AnálisisFinancierooAdministracióndeInversionesyIngeniería Financiera; su aplicación se orienta a personas quetienen como función tomardecisionesde financiamiento; paraello deben tener y procesar información para, de esta manera,estarencondicionestomarunadecisiónadecuada.

Finalmente,deboprecisar, con respectoal libro,que resultaríaabsurdoreclamaroriginalidadporqueexistemuchomateriales-critoacercadeestostemas,porloquemeremitoalenunciadodeAdamSchaff(“HistoriayVerdad”):“Laúnicaoriginalidadquepuedepretenderelautorresideenlamaneraenquedispongaenunconjuntoloselementosyaconocidosyenelusoenquehagadeeseconjuntoensusrazonamientos”.

Capítulo

InTErés sIMPlE

1.1. Introducción

Antesdedesarrollarestetema,explicaréelconceptodeinterés,debidoasuimportanciaenloscapítulosposteriores.Elinteréseselprecioapagarporelusodedineroquenoesnuestro,esdecir,lospréstamosquegeneralmentenosbrindan:unamigo,laempresadondelaboramos,unainstituciónbancaria,etc.Por este préstamo, solicitamos un tiempo determinado para su devolución.Determinarestepreciosignificasaber¿cuáleslacuantíadelpréstamo?y¿porcuántotiemposelevaausar?Alvalordeeseprecio,cuandoseexpresaporunidaddecapitalyunidaddetiempo,selellamatasadeinterés(magnitudindependientedelaunidadmonetariautilizadaparaelpréstamo),elcualde-pendedelaunidaddetiempo.Estenivelestarádeterminadoporlaofertaylademandadedineroenlaeconomía(ofertaodemandamonetaria)yéstas,asuvez,dependendelapolíticamonetariayfiscal;cuandoexisteescasezdedine-roenlaeconomíasuniveldeprecioaumentaráycuandoexisteabundanciadedinero,suniveldepreciodisminuirá.Adicionalmente,paraesteniveltambiéninfluyenlasexpectativasdelosagenteseconómicossobreelcomportamientofuturodelaactividadeconómica.Todosestosfactoresdeterminanesteniveldeprecio.

AcontinuaciónseexplicaráelconceptoDinero,OfertaMonetaria,InversiónyCrédito,antesdeiniciareltemadeinteréssimple.

Dinero. Se conoce comúnmentepor aquello quepuede ser utilizado comomediodeintercambio,detalformaqueporunacantidaddeesteelementosepuedeobtenerciertosbienesoservicios(Ayres,Jr.Frank).

Desde este puntodevista, son llamadosdinero: lasmonedasdemetal, lasmonedasdepapel(billetes),loschequesylastarjetasdecrédito(engeneral,llamadodineroplásticoodinerodeplástico–esunatarjetadeplásticoconunabandamagnética–)Visa,MasterCard,etc., todasellaspuedenserutilizadascomomediodeintercambioparaobtenerproductososervicios.

1

18 Hernán B. Garrafa araGón

oferta monetaria.Existenvariasposiblesdefiniciones,lamásrestringidaeslaqueexpresaqueestánconstituidosexclusivamenteporlosbilletesymo-nedasencirculaciónmáslosdepósitosalavistaoencuentacorrientequesehallanenelsistemabancario.También,esllamadaofertamonetariabásicaocirculante.

Elbienestardeloshabitantesdeunpaísestárelacionadoporlaofertamone-taria(Ayres,Jr.Frank).

Siexistepocodineroenunaeconomía,aparecelarecesión(existenciadebie-nesyserviciosdondeparadójicamenteloshabitantesengeneralnotienenlacapacidaddecompra).Elcasoopuesto,escuandoexisteexcedentededineroenlaeconomía,entoncesaparecelainflación(escasezdeciertosbienesyser-vicios,locualconllevaalincrementoconstantedelosprecios).Enestecaso,unproductopuedetenerunprecioenlamañanayotromayorporlatarde.Tantolarecesióncomolainflaciónsonnocivasparalaeconomíadeunpaís.Porello,elBCRP1eslainstituciónquedebeproporcionaranuestropaísunaofertamonetariadeacuerdoalasnecesidades;enesecontexto,éstadebeserindependientedelmanejopolíticodelgobierno.

Inversión.Eslaoperacióndecolocarcapitalesenentidadesfinancieras(di-neroquesetransformaencapitalcuandoconélproducimosriqueza)conlafinalidaddeobtenerganancias,traducidasenbeneficioseconómicosporde-positareninstitucionesquepaganuninterés,trabajandosucapital.Alrealizarestaacción,seestáinvirtiendosucapital.Porlogeneral,inviertenlaspersonasnaturales, empresas, instituciones y el gobierno.Al hacer estas inversionesbuscan:

1. no tener pérdida de capital. Esimportantesaberdeunainstituciónseriaenlaquepuedacolocarsucapital,nodejándosellevarporlapropagandaacercadealtastasasdeinterés,comofueCLAE(bancoinformal)enelcualmuchaspersonasnaturalesyjurídicasperdieroncompletamentesucapital.

2. Protección a las inversiones. Lasempresasalvenirainvertirlohacenenunmarcojurídicoynosepuedecambiarésteporqueunadelaspartesasíloquiere.Alrespetarestascondiciones,estamosmostrandoseguridadenlainversión.Adicionalmente,mostramosseriedad,detalmaneraqueotras empresas extranjeras podrían traer futuras inversiones. Para queestosuceda,sedebetenerunPoderJudicialautónomoynodependientedelgobiernodeturno.

� BancoCentraldelaReservadelPerú.

1�MateMática financiera

3. beneficios a corto plazo. Todaempresatrataderecuperarsuinversiónenelmenortiempoposible;ejemplodeellosetieneaempresasqueencortotiemporecuperaronsuinversióncomo:TelefónicayLuzdelSur.

4. Incrementar el valor de la inversión. Esto tambiénpuedesucederdeformacasual;porejemplo,eltenerunacasadestinadaparaviviendaenunazonaurbanayenunmomentodeterminadoconstruyenfrenteaellaunaUniversidadounHospital, automáticamentepasaa servalorizadaesacasacomounprediocomercial,loqueimplicaunaumentodelvalormonetariodelapropiedad.

5. Ventajas fiscales. Son medidas que adopta un ente para propiciar eldesarrollo de una zona determinada (frontera), y el sector productivo(exportaciones).Generalmente,elgobiernopropiciaestetipodeaccionescon la finalidad de atraer inversiones a zonas pobres como son las defronterayquepuedenconsistirennocobrarimpuestosalasempresasqueinviertanenesosámbitos.

Crédito.Cuandosecompraunacasasepuedehacerdedosformas:condine-ropropio,esdecir,pagaralcontadooalnocontarconeldinerosuficienteparacancelarelvalordelacasasepuedehacerentregadeunpagoinicialprevioacuerdodecancelarperiódicamenteladiferenciaporuntiempodeterminado.Loquesehaceesadquirirunpréstamo.Estaoperaciónesconocidacomoob-tencióndeuncréditoydeestamanerasecancelaelvalordelacasa.Cuandoalvalordeestepréstamoseleaplicaunfactorllamadotasadeinterés(preciodelpréstamoenelmercadofinancieroexpresadoenporcentaje)seestáobtenien-doelinterésocosto del créditoquesepagaporelvalordelpréstamo.

EstatasadeinterésesfijadaporelBancoCentraldecadapaísalosotrosban-cosyéstos,asuvez,lafijanalaspersonasporlospréstamosodepósitos.ElBCRPeselentequeregulalatasadeinterésparapréstamosodepósitos.Unadeestetipoeslatasadeinterésactivapromedioennuevossoles(TAMN)ylatasadeinterésactivapromedioendólaresoTAMEX.Laevolucióndeestatasadeinterésennuestropaís,expresadoenporcentajeentrelosaños1997y2006.

20 Hernán B. Garrafa araGón

Figura 1.1.Evolucióndelatasadeinterésennuevossolesydólares.

Sepuedeapreciarqueestatasaestáreduciéndosetantoennuevossolescomoendólares.

1.2. el interés simple

Tambiénllamadorégimendecapitalizaciónsimpleenelquelosinteresespro-ducidosaltérminodelperiododecapitalizaciónofechaquesedaporfina-lizadalaoperaciónseretiranestosintereses(nosereinvierte),quedando,deestaforma,elcapitalinicialconstantehastalafechaenquesehayaconvenidosureembolso.Sedenominacapital inicialoprincipalalacantidaddedineroquerecibimoscomopréstamoodepositamosaliniciodeunaoperación,sien-doelprecioquesepagaporelusodeestedinerointeréselcualdependedelossiguientesfactores:

• Elriesgo queconllevalaoperación,implicarálamayoromenortasadeinterés.Laseguridad,solvencia,respaldoogarantíaquepuedepresentarelsolicitantedelpréstamoparalacancelacióndelmismopermitiráobte-nerelpréstamoencondicionesmásconvenientes.Ejemplo,elfinparaelquesevaausarestedinero;noeslomismoutilizarunpréstamoparalacompradeunacasaqueparalacompradeunauto;noeslomismopres-taraempresasquesonconsideradasimportantesqueaotrasquenosonconsideradascomotales.

21MateMática financiera

• A mayor periodo de tiempo, habrá un mayor pago por concepto deinterés.

• Del mercado, puede en determinado momento existir una gran ofertamonetaria,entonceslatasadeinteréstiendeabajar,comopuedesucederel caso contrario. Ejemplo, cuando la situación económica, social ypolíticadeunpaíspresentacaos,elriesgopaís2(indicadordeconfianzaen la economíadeunpaís) tiende a subir automáticamente, por tanto,la tasade interés sube, loque implica elmayorpagopor conceptodeinterés.

Entonces,elinterés(I)dependedecómoevolucionanestosfactores.Parade-terminarelinteréssimple,lodefiniremoscomoelproductodelcapitalinicial(P),tasadeinterés(r)yelperiododetiempo(n).

I=Prn(1)

Donde:

I Interéspagadoporelpréstamoocrédito.

P Capitalinicialoprincipal.

r Tasadeinteréssimpleporunidaddetiempo.

n Periodo de tiempo, expresado en las mismas unidades que la tasa deinterés.

EsteinterésserelacionaconP deacuerdoalasiguientegráfica:

Figura 1.2. RelaciónentrePysuvalorfuturo.

ejemplo 1.UnapersonaconcedióunpréstamoaunamigoporS/.35000comprometiéndose éste a devolverlo dentro de un año. Por el mencionadopréstamo le cobróuna tasade interés simpledel 12%anual. ¿Cuál será elinterésquedeberápagaresteamigoporelpréstamo?

solución: En este caso, se tiene como datos P, n y r, de la fórmula (1) setiene:

� ElPerútieneunbajoriesgopaísenrelaciónaotrospaísesdeAméricaLatina.

22 Hernán B. Garrafa araGón

P=35000soles

r=12%anualcomoI=Prn

n=1añoentoncesI=35000x12%x1=4200soles

ElinterésapagarserádeS/.4200.

ejemplo 2. Desarrolleelejemploanterior,considerandounatasadeinterésdel12%semestral.

solución:Comoryn tienenqueserexpresadosenunidadeshomogéneas,entonces:

P=35000soles

r=12%semestral De(1)setieneque:

n=2semestres I=35000x12%x2=8400soles

EnestecasoelinterésapagarserádeS/.8400.

ejemplo 3.Unaparejadeesposossolicitaunpréstamoaunapersonaporunmontode$23000paracomprarunauto.Estapersonacobraunatasadein-teréssimpleparapréstamosdel24%anual,silospagosmensualesarealizarseránde$520,¿quépartedelprimerpagosedestinaalpagodeinterésyasaldarelpréstamo?

solución:Setienequecalcularelinterésquesepagaporelprimermes,lain-formacióndelatasadeinterésesanual,comosenecesitamensual,porlotantosedivideentre12(númerodemesesquetieneelaño).Lapartequeamortizaladeudaesladiferenciaentreloquesepagamensualmenteyelinterés.

P=23000dólares

r=2%mensual

n=1mes I=23000x2%x1=460dólares

Paraelpagodeinterésdestinó$460yparasaldarladeuda$60($520-$460).

ejemplo 4. UnseñorsolicitóunpréstamodeS/.800paraliquidarloentresmesesypagóporelloS/.120porconceptodeinterés.¿Cuáleslatasadein-teréstrimestralyanual?

solución: Enestecaso,elperiodoes1trimestre,resumiendolosdatos:

23MateMática financiera

P=800solescomo r=I/Pn P=800solescomor=I/Pn

n=1trim. r=120/800 n=3/12años r=120/(800x3/12)

I=120soles r=0.15trim.I=120soles r=0.60anual

Latasadeinterésesde15%trimestralo60%anual.

1.3. Período de tiempo

Básicamente,setienedosformasdecuantificarelnúmerodedíascompren-didosentredosfechas.Tiempoexactoqueincluyetodoslosdías,exceptoelprimero.Laotraseráeltiempoaproximado,elcualconsisteenconsiderar,porejemplo,quetodoslosmesestienen30días.

ejemplo 1.Calculareltiempoexactoyaproximadoentreel4deabrilyel28deagosto.

solución: Serealizaráestaoperaciónmesamesydeestaformasedetermi-naráelnúmerodedíasquetienecadames.

Mes t. exacto t. aproximado

AbrilMayoJunioJulioAgosto

26días(30-4)31„30„31„28„

Vemosqueelnúmerodemesesdel4deabrilal4deagosto,resultando4x30días,luegoleadicionamos24días(28ago-4ago)

total 146 días 144 días

1.4. Interés exacto e interés ordinario

Comúnmentenosenfrentaremosantelasituacióndequenecesitamosexpresarlosplazosqueestánendíasaañosoviceversa,cuandoestosucedeyutiliza-mosundivisorde360selellamaráinterés ordinario anual.Ysiutilizamosundivisorde365ó366selellamaráinterés exacto anual.Desimilarformasepuedeobtenerelinterésordinariooexactosemestral.

ejemplo 1.Calcularelinterésexactoeinterésordinariodeunpréstamode$500a90días,silatasaesde18%anual.

solución: SetieneP=500yr=18%anualdelafórmulasepuedeobtener:

24 Hernán B. Garrafa araGón

Interésordinario=500x0.18x90/360=$22,50

Interésexacto=500x0.18x90/365=$22,19

Elhechodeusar365ó366dependerásielañoesbisiestoono.

1.5. norma comercial

Deloanteriorsepuedeconcluirqueexistendosformasdecalculareltiempo(exactoyaproximado)ydostiposdeinterés(exactoyordinario),estogeneracuatroformasparacalcularelinteréssimple.

1. Tiempoexactointerésordinario.

2. Tiempoexactointerésexacto.

3. Tiempoaproximadointerésordinario.

4. Tiempoaproximadointerésexacto.

Delascuatroformas,eldeusomásfrecuenteeslaforma1,tiempoexactointerésordinario,queestambiénconocidocomonormabancaria.

1.6. Valor presente

Enel casode interés simple, tambiénes llamadocapital inicialy es aque-llacantidaddedineroqueestáinvolucradaenunpréstamoodepósitoenelmomentoinicialdelaoperación,llamadomomentocero,yseobtienedeladefinicióndeinteréssimple:

P=I/(rn) (2)

DondelasvariablesP,I,rynsonlasmismasdefinidasanteriormente.

1.7. Monto

Cuandoalvalorpresente leadicionamosel interés,aestaexpresiónsede-nominamonto(M)otambiénvalorobtenidoalfinaldelaoperaciónyseráexpresadopor:

M=P+I

M=P(1+rn) (3)

DondelasvariablesM,P,I,rynsonlasmismasdefinidasanteriormente.Enlasiguientefigurasemuestralarelaciónentrevalorpresenteymonto.

25MateMática financiera

Figura 1.3. Relaciónvalorpresenteymonto.

Comoseobserva,elvalorpresentePpuedeser llevadodesdeelperiodo0hastaelperiodon;deigualmanera,elmontoMpuedeserregresadodesdeelperiodonhastaelperiodo0 medianteesasrelaciones.

ejemplo 1. SetieneuncapitaldeS/.1500,queseencuentradepositadopor5trimestresaunatasade60%anual.Determinarelmontogeneradoalfinaldelplazomencionado.

solución: Comonestáexpresadoentrimestres,rtienequeestarexpresadoenlamismaunidad.Estosignificaquelatasaanualtienequeestarexpresadaentasatrimestral.Oenestecasocomolatasaestáexpresadaanualmentesepuedeexpresarnenaños(5/4)yluegoaplicarlafórmula(3),obteniéndose:

P=1500soles r=60%anual

n=5/4años LuegoM=P(1+rn)=1500(1+60%x5/4)=2625

ElmontoserádeS/.2625.

ejemplo 2. Resolverelproblemaanteriorconsiderandounatasade60%se-mestral.

solución:Comonyrtienenqueserexpresadosenunidadeshomogéneas,enestecasolatasaestáexpresadaenformasemestral,luegonqueestádadoentrimestres,tienequeserexpresadoensemestres.

P=1500soles

n=5/2semestres. Luego

r=60%semestral M=P(1+rn)=

1500(1+60%x5/2)=3750

ElmontoseríadeS/.3750.

26 Hernán B. Garrafa araGón

ejemplo 3.Unaempresaprevé lanecesidaddeS/.50000parafinalesdelterceraño,¿Cuáleselcapitalinicialadepositareldíadehoyparaobteneresemontosisesabequelatasaapagarporeldepósitoesde10%anual?

solución: Enestecaso,laincógnitaeselcapitalinicialovalorpresentedelafórmula(3),despejandoPsetiene:

M=50000soles

n=3años.Luego

r=10%anualP=M/(1+rn)=

50000/(1+10%x3)=38461,54

ElcapitalinicialadepositareldíadehoyseríaS/.38461.54.

ejemplo 4.Una inmobiliaria tienecomometaganarun interés simplede$100000enunperiododedosañosymedio.¿Cuáldebeserelcapitalinicialadepositar,sabiendoquepuedeobtenerunatasade1%trimestral?

solución:Enestecaso,setienecomodatoelinterésquedeseaobtenerlain-mobiliaria,expresandonentrimestresdetalmaneraqueseahomogéneoconr,yaplicandolafórmula(2)setiene:

I=100000dólares

n=2.5x4trimestres. Luego

r=1%trimestral P=I/(rn)=

100000/(1%x10)=1000000

Elcapitalinicialadepositarseríade$1000000.

1.8. Variaciones de tasas

Enunhorizontedetiempo[0,n]conperiodos[ni,ni+1]puedesucedervariacio-nesdetasa.Esdecir,seinicialaoperacióneneltiempo“0”aunatasadetermi-nadadeinteréssimpleparaunperiododeterminado;paraelsiguienteperiodoestatasapuedecambiar.Laacciónpuedesucederhastallegaraltiempo“n”.UnejemplodeestetipodetasaeslaLibor3,queeslatasadereferenciaquesenegocianloseurodólares.Sepuedecalcularelinteréstotalcuandoseproduceestetipodesituacionescomosemuestraenlasiguientefigura:

� SigladelaLondonInterBankOfferRate.

27MateMática financiera

Figura 1.4. Interéssimpleconvariacionesdetasas.

SeaI1elinterésgeneradoporlatasar1yelperiododetiempon1;aplicandolafórmula(1)setienequeI1=Pr1n1,deigualmaneraI2=Pr2n2yasí,su-cesivamente,secalculaIq=Prqnq,elinteréstotalseráigualalasumadelosinteresesparciales

I1+I2+I3+∙∙∙+Iq.

I=Pr1n1+Pr2n2+∙∙∙+Prqnq

I=P∑=

q

i 1

i i nr (4)

Parahallarelmontosepuedeaplicarlafórmula(3),entonces

M=P(1+∑=

q

i 1

i i nr ) (5)

ejemplo 1.UnaseñorarealizaunpréstamodeS/.2000aunfamiliar,conlafinalidaddequeselosdevuelvadentrodeunaño,ofreciéndoleunatasade1%mensualdurantelosprimeroscuatromeses,ylosmesesrestantesaunatasade1,5%mensual.¿Cuálseríalacantidadqueobtendríaalfinalizarelaño?

solución: Se aplica directamente la fórmula (5) a la información delejemplo1.

Capitalinicial=2000soles n1=4meses

r1=1%mensual n2=8meses

r2=1.5%mensualluego M=2000(1+1%x4+1.5%x8)

LacantidadqueobtendríaalfinalizarelañoseríadeS/.2320.

ejemplo 2.Enelejemploanterior,sielfamiliardesearapagarenvezder1yr2unatasaúnicar, ¿Cuáltendríaqueserestatasaparaqueestaseñoranoseperjudique?

28 Hernán B. Garrafa araGón

solución:Paraqueestaseñoranoseperjudique,alfinaldelañotendríaquere-cibirigualmonto,utilizandoestatasar queenelcasoanteriorcuandoseutilizór1yr2,planteándoselasiguienteecuación:

2320=2000(1+r x 12) → r=1,33%

Latasaúnicasería1,33%mensual.

1.9. ecuaciones de valor

Muchasvecesnosencontramosconeldilemadecomparardiferentescapita-les.Porejemplo,S/.100dehoyesigual,mayoromenoraS/.100dentrodeunaño,sifueraladevolucióndeunpréstamoodonación¿Quéprefiere?recibirhoyodentrodeunaño.Haceresteanálisissignificadeterminarelvalordeldineroeneltiempo,ylarespuestaaestainterrogantedependerádediferentesfactores;porejemplo,latasadeinterésinvolucradaenestaoperación.Deahílaimportanciadeestetemaelcualpermitecompararcapitalesendiferentesmomentosdeltiempo,losotrosfactoresatenerencuentasonlossiguientes:

• La inflación,puestoquedentrodeunañoelpoderadquisitivode esedineroserámenor.Porejemplo,siconS/.100aliniciodeañosecompra10unidades,luegodetranscurrido1añopuedeserquesecompresólo8unidades.

• El costo de oportunidad, los usos alternativos del dinero implicanexistenciadealternativas rentables, estedinerohoypuedegenerarunautilidad.

• Elriesgoquesignifica la incertidumbrede loquepuedesucedereneltranscursodeunperiododetiempo.

Porlotanto,silaopciónfuerarecibirlosdentrodeunperiododetiempo,sepodríaaceptarsolamentesiseentregaraunacantidadadicionalquecompen-saralosfactoresanteriormentemencionados,debidoaqueeldinerotienelacapacidaddeproducirmásdinero,generandoriqueza.

Tomandoencuentaelfactortasadeinterés,analizaremoselsaldarunadeu-daqueestácompuestapordosdeudas;laprimera,porS/.200eldíadehoyylasegundaporS/.112,quesetendráquepagardentrodeunañoaunatasadel12%anual.Parapoderobtenerelvalordeestadeuda,senecesitasabercuáleselvalorpresentedelosS/.112.EllosignificatrasladarlosS/.112aldíadehoy,ysepuedeobtenerdespejandoPenlafórmula(3),luegoP=112/(1+12%x1),entoncesP=S/.100.Parasaldarestadeudahoy,setendríaquepagarS/.300(S/.200+S/.100).

2�MateMática financiera

Sepodríaanalizarelejemploanteriorinteresadoensabercuálseríaelvalordedeudasisepagaracuandovencelasegundadeuda(dentrodeunaño).Paraello,necesitamossabercuálseráelvalordelaprimeradeudaS/.200,dentrodeunaño,ohallarelmonto(llamadotambiénvalorfuturo)deestadeuda.Aplicandodirectamentelafórmula(3)setieneM=200(1+12%),luegoM=S/.224.Entonces,elvalordeladeudadentrodeunañoseríalacantidaddeS/.224+S/.112=S/.336.

Finalmente,sepuedeafirmarque:

S/.200eldíadehoyyS/.112dentrodeunaño,esequivalentea:

S/.300eldíadehoyy

S/.336dentrodeunaño

Entonces,parapodercompararcapitalesqueestánendiferentestiemposesnecesariollevaratodosellosaunamismafecha.Aéstaseledenominafecha focalofecha de comparación.Alllevarestoscapitalesaesafecha,seformaunaecuaciónyéstaesllamadaecuacióndevalor.

ejemplo 1.ElhospitalMaríaAuxiliadoradeseaadquirirmaterialquirúrgico–parapoderbrindarunmejorservicio–ycuentaparaellocondospropuestasquedebenseranalizadasporeldepartamentodelogística,acargodelaseñoraJessicaAricoche:

PropuestaA:

Cuotainicial$20000,00y2cuotasmensualesde$15000cadauna.

PropuestaB:

Cuotainicial$12554,11y2cuotasmensualesde$19000cadauna.

Sielcostodeldineroesel5%deinteréssimplemensual,¿cuáleslamejoroferta?

solución: Enestecaso,loquesetienequecompararescuáldelosproveedo-restieneelmenorvalorpresente,siendoelmenorelmásconvenienteparaelhospital;delainformaciónsetiene:

ProveedorA ProveedorB

Cuotainicial=$20000 Cuotainicial=$12554,11

Cuotamensual=$15000 Cuotamensual=$19000

Númerodecuotas=2 Tasa=5%mensual

30 Hernán B. Garrafa araGón

Comosetienequeobtenerelvalorpresente(VP)delosproveedores,consi-deramoselmomento“0”comolafechafocal;ellosignificallevarlascuotasmensualesaesteperiodo.Desarrollandoeldiagramadeflujo,setiene:

Diagrama de flujo para la propuesta a

Unavezquelascuotasmensualeshansidotrasladadasalafechafocal“0”seprocederáacalcularelvalorpresentedelapropuestaA,queeslasumadetodasestascantidades.

VPpropuestaA=20000+15000/(1+5%)+15000/(1+5%x2)=$47922,08

Diagrama de flujo para la propuesta b

DeigualmaneraseprocederáparalapropuestaBVPpropuestaB=12554,11+19000/(1+5%)+19000/(1+5%x2)=$47922,08

Conestaóptica(fechafocalenelorigen),lasdoscantidadessoniguales,porello la señora JessicaAricoche puede afirmar que es indiferente aceptar laofertadelproveedorAoB.

ejemplo 2.Unpadredefamiliacolocasucapitalmediantepréstamosainteréssimple.Elprimeroysegundopréstamosde$7500y$2800,respectivamente;realizaelsegundopréstamo7mesesdespuésdelprimero.Latasaqueofrecen

31MateMática financiera

pagarleesdel2%pormes,¿cuáleselmontogeneradoporestospréstamossiambaspartesdecidenmantenerestaoperaciónporunañomásdespuésdelúltimopréstamo?

solución:Enestecaso,sepidecalcularelmontogeneradoporestosdosprés-tamos;paraelprimerpréstamoelnúmerodeperiodoses19meses(7+12),paraelsegundopréstamoseráde12mesesylatasadel2%mensual.Consi-derandolafechafocalalfinaldelaño,setiene:

1erdepósito=7500dólares 2dodepósito=2800dólares

Periodos=19meses Periodos=12Meses

M = 7500 (1 + 2% x 19) + 2800 (1 + 2% x 12) → M = 13 822 dólares

Elmontogeneradoporestosdospréstamosseríade$13822.Elsiguientediagramadetiempovisualizaeldesarrollodeesteejemplo.

32 Hernán B. Garrafa araGón

ProbleMas resueltos

1. SedepositaS/.3500por19meses,aunatasade12%anual.¿Cuálseráelmontogeneradoporestaoperación?

solución:

P=3500soles

n=19meses

r=12%/12 EntoncesM=3500(1+1%x19)=4165

ElmontogeneradoseríadeS/.4165.

2. Uninversionistacolocósucapitalde$30000comopréstamoaunaen-tidadcomercialpor5añosyainteréssimple.Sesabequeduranteestelapsodetiempolatasadeinteréstuvolassiguientesvariaciones:

• 0,5%quincenaldurantelosprimeros7meses.

• 2,5%semestralporlos5mesesconsecutivos.

• 1,2%mensualporlossiguientes4trimestres.

• 6%anualporlossiguientes5semestres.

• 0,016%diarioporlossiguientes4meses.

• 1,5%bimestralporlos2últimosmeses.

a) Elinversionistadeseaconocerelinterésgeneradoporsucapital.

b) ¿Cuáleslatasaacumulada(tasatotaleneltiempoqueduralaoperación)ylatasaúnicaanualdeestaoperación?

solución: (Ver Anexo página I). Como en esta operación se producenvariacionesde tasas,se tienequeaplicar la fórmula(4),peroparaellola tasa y los periodos de tiempo tienen que ser homogéneos, es decir,expresadoenlasmismasunidades.

P=30000dólares

n1=7x2quincenas r1=0,5%

n2=5/6semestres r2=2,5%

n3=4x3meses r3=1,2%

n4=5/2años r4=6%

33MateMática financiera

n5=4x30días r5=0,016%

n6=1bimestre r6=1,5%

30000(0.5%x14+2,5%x5/6+1,2%x12+6%x5/2+0,016%x120+1,5%x1)

I=$12571

a) Elinversionistarecibiráporsucapitaluninterésde$12571alfinaldeloscincoaños.

Latasaacumuladaenestos5años,esigual:

0,5%x14+2,5%x5/6+1,2%x12+6%x5/2+0,016%x120+1,5%x1=0,4190

LatasaúnicaconvierteP=$30000enunperiodode5añosenunmontoM=$42571($30000+$12571),de la fórmula (3)setiene:

42 571 = 30 000 (1 + r x 5) → r = 8,3806%

b) Latasaacumuladaenlos5añoses41,9%ylatasaúnicaes8,381%anual.

3. Unapersonainvierte$50000aunatasadel12%deinteréssimpleanual;alcabode3añosinviertelautilidadaunatasadel3%deinteréssimplemensual.Siluegodetranscurridountiempo“n”lautilidaddelasegundainversiónesel75%delautilidaddelaprimera(enlostresaños),ycomonovaharetirarlainversióninicial,entonces,¿acuántoasciendeelmontototal?

solución: En este caso, se tiene que analizar el interés que genera lautilidadparaalfinalpoderobtenerelmonto.

P=50000dólaresr=0,12anual

Deacuerdoalafórmula(1),elinteréssimpleI3añosparalosprimeros3añosaestatasaserá:

I3años=50000x12%x3=18000

ConformeelenunciadodelproblemaennmesesmáselinteréssimpleI2generadoporunatasadel3%mensualesigualal75%deI3años(utilidaddelaprimera),entonceselinteréssimplegeneradoporestautilidadserá:

I2=75%x18000=18000x3%xn

Elcualdacomorespuestaqueeltiempotranscurridoesn=25meses.

34 Hernán B. Garrafa araGón

Adicionalmente,setienequeelcapitalinicialgenera,durante25meses,aunatasadel1%mensual(12%/12),uninteréssimpleI3:

I3=50000x1%x25=12500

Entonces,elinteréssimpleIgeneradoenestaoperaciónserá:

I=I3años+I2+I3=18000+13500+12500=44000

SetienequeM=P+I=50000+44000.

Elmontototalasciendea$94000.

4. LaempresamineraBuenaventuratieneensuplandestinar$9000000aunainversióndelaqueesperauningresode$5200000en6mesesyde$6300000dentrodeunaño.Considerandoelorigencomopuntofocalyqueestaoperaciónesrealizadaainteréssimple,determinar:

a) Latasadeinterésquehaceindiferentelainversión.

b) Lanuevatasadeinteréssialcabodeloctavomesadiciona$500000alainversión.

solución: Enunaoperaciónenlaqueestáninvolucradosegresoseingresosloquebuscatodoinversionistaesobtenerutilidades.Elloimplicaquelosegresosseanmenoresalosingresos;enelmomentoqueéstosseaniguales,sedicequeesindiferentelainversión,enelsentidoquenoexistenpérdidasogananciasenlainversión.Desarrollandoeldiagramadeflujo,setiene:

Considerandocomopuntofocalelorigen,sumaremoslosingresosylosigualaremosalosegresos(lainversiónrealizada)enestepunto,luego:

9000000=5200000/(1+rx6)+6300000/(1+rx12)

Considerandoa“r”latasadeinteréssimplemensual.

a) Aplicandolainterpolación,setienequeresiguala3,06212742%mensual.

b) es similar al caso anterior; se adiciona una nueva inversión a lainversióninicial;entoncesse tienequehallarelvalor totaldeesta

35MateMática financiera

inversión,locualsignificasumarestasdosinversionesenelpuntofocal,elorigen.Eldiagramadeflujoparaestecasoserádelasiguienteforma:

9000000+500000/(1+r1x8)=5200000/(1+r1x6)

+6300000/(1+r1x12)

Lanuevatasadeinteréssimpler1es2,4260252%mensual.

5. Unafábricatienedosdeudasconunprestamista.Laprimeraesporunmontode$1350convencimientodentrode28díasylasiguientedeudaesde$5400quevenceráalos42días.Lafábricadeseacancelareltotalde sus deudas mediante dos pagos de igual monto dentro de 35 y 70días,respectivamente.¿Cuálseráelmontodelospagosaefectuarporlafábricasielprestamistaaceptóestaformadepagoyestandodeacuerdoambos en aplicar una tasa de interés simple mensual del 8% para lasoperacionesrealizadasdentrodelos42primerosdíasyde7%mensualparalasoperacionesposteriores?Considerarcomofechafocaleldía70.

solución:Alconsiderarcomofecha focaleldía70, significa trasladarfuturasdeudasypagosaesafecha,teniendoencuentalavariacióndetasaqueserealizaeldía42.Eldiagramadeflujoseráelsiguiente:

ElmontodelospagosparacubrirladeudaseráelvalordeXeneldía70,adicionandoelvalordeXeneldía35,perollevadoaldía70,elcuales:

X+X(1+8%x7/30+7%x28/30)=2,084xX

36 Hernán B. Garrafa araGón

Elvalordeladeudaserálasumadelasdosdeudasllevadasaldía70,elcuales:

1350(1+8%x14/30+7%x28/30)+5400(1+7%x28/30)=7241,31

Elmontodelospagosdebeserigualalvalordeladeuda,elloimplicaque

2,084 x X = 7241,31 → X = 3474,72

Elmontodelospagosarealizarseráde$3474,72eldía35yelmismomontoeldía70.

6. Enelproblemaanterior,¿cuálseráelmontodepagosalaplicarunatasadeinteréssimplemensualdel8%paralasoperacionesrealizadasdentrodelos50primerosdías,yde7%mensualparalasoperacionesposteriores?Considerarcomofechafocaleldía70.

solución:Enestecaso,cambialafechaparalavariacióndetasadeldía42aldía50,entoncesahoracalcularemosnuevamenteelmontodelospagoseldía70.

X+X(1+8%x15/30+7%x20/30)=2,087xX

Elnuevovalordeladeudaserá:

1350(1+8%x22/30+7%x20/30)+5400(1+8%x8/30+7%x20/30)=7259,40

Comoenelcasoanterior,elvalordeestasdosecuacionestienenqueserigualesimplicandoparaelloelmontoapagarque,enestecaso,seráX=$3478,95eldía35y70,respectivamente.

7. Unprestamistaanalizaunatransaccióncomercialllevadaconanterioridadenlaqueinvirtióuncapitalalatasadeinteréssimpledel6,5%mensual,lacualseconvirtióen$3600.Sihubieseinvertidoala tasadeinteréssimpledel5%mensualyunañomenosqueenelcasoanterior,elinterésseríade$450.Obtener:

a) Loinvertidoporelprestamista.

b) Eltiempodeestaoperaciónenaños.

solución:Paraelprimercaso,setienecomodatoelmontoylatasa;enelsegundocaso,setienecomodatoelinterésgeneradoenestaoperaciónylatasa,entonces:

37MateMática financiera

1ercaso 2docaso

Monto=3600dólares Interés=450dólares

r=6.5%x12 r=5%x12

n=taños n=t-1años

Paraelprimercaso,aplicandolafórmula(3),setiene:3600=P(1+6.5%x12xt);paraelsegundocaso,aplicandolafórmula(1),setiene:450=Px5%x12x(t-1),deestasdosecuacionessetieneque:

a) Loinvertidoporelprestamistafue$1693,82.

b) Eltiempodeestaoperaciónfue1,44años.

8. Una persona tiene hoy una deuda de S/. 23 000, comprometiéndose acancelartaldeudadentrode360días,aunatasadeinteréssimplede1%mensual.Contandoconefectivo,dentrodelplazoprevistorealizaciertospagosdeS/.13500eldía90,S/.4500eldía180yS/.500eldía270.¿Cuálseráelpagofinaleldía360?

a) Realizandolaoperaciónelmismodíadelpago.

b) Realizandolaoperaciónteniendocomofechafocaleldía360.

solución:Ladeudaesúnica,confechasfocalesdistintas;paraelcasoa)setienequellevarladeudahaciacadafechadelospagos,restandoluegoelvalordepagorealizadoenesafecha,entonces:

Paraeldía90,elvalordeladeudaserá:

23000(1+1%x90/30)-13500=10190

Paraeldía180,elvalordeladeudaserá:

10190(1+1%x90/30)-4500=5995,7

Paraeldía270,elvalordeladeudaserá:

5995,7(1+1%x90/30)-500=5675,57

Paraeldía360,elvalordeladeudaserá:

5675,57(1+1%x90/30)=5845,84

a) En este caso, el pago final será de S/. 5845,84. En el caso b) setienequellevarestospagos,yladeudaalafechafocal(día360),ladiferenciaeslaquesetendríaquepagar.

Elvalordeladeudaenlafechafocales:

38 Hernán B. Garrafa araGón

23000(1+1%x360/30)=25760

Elvalordelospagoses:

13500(1+1%x270/30)+4500(1+1%x180/30)

+500(1+1%x90/30)=20000

b) EnestecasoelpagofinalseráS/.5760.

9. Sihoyinvertimos$10000enunCertificadodeDepósito,aunatasadeinterésdel3%mensualduranteseismeses.

(www.gacetafinanciera.com).

a) ¿Cuántoseráelmontofinaldelosseismeses?

b) ¿Cuántoseráelmontoalfinaldecadames?

solución:Delainformaciónsetiene:

P=10000dólares

r=3%mensual M=P(1+rn)

n=6meses M=10000(1+3%x6)=11800

a)Alcabodelosseismeses,setendría$11800.

Paraelcasob),seobtieneelsiguientecuadroresumen:

Periodo Capitalinicial Interés Capitalfinal

1 10,000 300 10,300

2 10,300 300 10,600

3 10,600 300 10,900

4 10,900 300 11,200

5 11,200 300 11,500

6 11,500 300 11,800

Como se observa, el monto al final del sexto mes es el mismo valorobtenidoparaelcasoa),comoeralógicodeesperar.

3�MateMática financiera

ProbleMas ProPuestos

1. Uninversionistacolocósucapital,deS/.150000,comopréstamoaunparticularpor6añosyainteréssimple.Sesabequeduranteestelapsodetiempo,latasadeinteréstuvolassiguientesvariaciones:

• 0,5%quincenaldurantelosprimeros6meses.

• 1,5%semestralporlos6mesesconsecutivos.

• 2%mensualporlossiguientes4trimestres.

• 1,5%anualporlossiguientes5semestres.

• 0,012%diarioporlossiguientes2meses.

• 1,25%bimestralporeltiemporestante.

a) Elinversionistadeseaconocerelinterésgeneradoporsucapital

b) ¿Cuáleselinteréspromediomensual?

2. IsaacMattostieneuncapitalque,porconveniencia,lodivideen2partes.Unaparteoprimercapitalcolocadoaunaciertatasadeinteréssimpledurante2/5deaño.Elresto,queesmayoren$50000alprimercapital,escolocadoalamismatasadeinterésdurante3/5deaño.Ladiferenciaentrelosinteresesgeneradosasciendea$2250ylasumadeestosintere-seses$6250.Calcularelmontodeestoscapitalesylatasadeinterés.

3. Unaempresainmobiliariaofreceunainversiónqueduplicarásudineroen10años.¿Quétasadeinteréssimpleleestaránofreciendo?

4. Enformasimilaralproblemaanterior,supongaquelehanofrecidounainversiónquetriplicarásudineroen10años.¿Quétasadeinteréssimpleleofrecerán?

5. DoshermanostienenahorradociertocapitalquedifiereenS/.100000.Unprestamista lespagaporesecapitalel2%y6%anuales respecti-vamente,laoperaciónespormedioaño.Sesabe,además,quesiestoshermanos juntaran sus capitales, les pagarían 8% por un año y seríasuperiorenS/.15000altotaldelosintereses.¿Cuáleselcapitalquetienenahorradoestoshermanos?

6. UnafamiliahalogradoreuniruncapitaldeS/.75000.Paradiversificarelriesgo,unterciodeestecapitalescolocadodurante15mesesal24%anual,mientrasquelosdosterciosrestantessoncolocadosdurante4mesesaunatasadeinterés,detalmodoquealfinaldelplazoelinterésgeneradoentotalasciendeaS/.17500.¿Cuáleslatasadeinterésmensualalaquesecolocóelsegundocapital?

40 Hernán B. Garrafa araGón

7. Giancarlo Álvarez tiene dos opciones; la primera, depositar su dinero al1,2%trimestralporunperiodode2años.UnasegundaopciónenelcasodequeincrementeelprimerdepósitoenS/.12000durante1año,lepagarían2,6%semestralconloquesegeneraríaunmontoigualaldobledelcapitaloriginal.¿Cuáleseldinerodepositadoyelmontodelaprimeraopción?

8. Enelproblemaanterior,quépasasisegeneraríaunmontoequivalentealdobledelcapitaloriginal.

9. DavidEspinozahalogradoreuniruncapitaldeS/.33000.Unapersonaleofrecepagar12%deinteréssimple.Porlosriesgosqueestaoperaciónrepresenta,sólodecidedepositar1/3desucapital,porunlapsodetiempode8meses,yel restodelcapital logracolocarloal9%anuala interéssimple,porunlapsodetiempo,detalformaquesegeneraríaporestasdosoperacionesunagananciatotaldeS/.2860.¿Cuántotiempotendríaqueestarcolocadoelsegundocapital?

10. ManuelMachucaesunprestamistayleexpresaaPedroBarrientosquesicolocasucapitalal3,5%mensualporunlapsodetiempo,legeneraunmontodeS/.2000.Finalmente, logracolocareste capital al18,5%mensualporelmismotiempo,generándoseunmontodeS/.6000.Pedroquieresaber.¿Cuáleseltiempoyelcapitalacolocar?

11. ElseñorManuelCortéstieneuncapitalde$12000quelogracolocarloaunatasadeinteréssimpleanualdel4,2%.Pasadountiempo,leofre-cenunatasadeinteréssimpleanualdel5%,considerandolamejoraenlatasa,decideretirarsucapitalyelinterésgeneradoycolocarlopor6mesesmásqueenlaanterioroperación.Alfinal,Manuellograobte-nerporlasegundaoperación,entreelnuevocapitalyelinterésgene-rado,$16000.¿Cuálfueellapsodetiempoenqueestuvocolocadoelcapitalenlaprimeraoperación?

12. Conrelaciónalproblemaanterior,¿cuánto tiempo tendríaquepasarsiparalasegundaoperaciónsóloretira3/4desucapital?

13. LaseñoritaVanesaÁlvareztieneuncapitaldeS/.9500.Estecapitalestuvoprestadoyhalogradogenerarunacantidad,detalformaqueaumentadaenun8%seríaS/.1450.LaseñoritaVanesasabequesucapitalestuvoprestadoporunañoyloquequieresaberes.¿Aquétasamensualestuvoprestado?

14. Conrelaciónalproblemaanterior,¿quépasasienvezdeestaraumentadaenun8%estuvodisminuidaen4%?

15. Setieneunciertocapitalqueseplaneaprestaren2partes.Si3/7deestecapitalseprestaal7%anualyladiferenciaal9%anual,porestaoperación

41MateMática financiera

segeneraun interés.Comoamayormonto seobtieneunamejor tasa,decideaumentardichocapitalenS/.27000ylepagarían10%anual.Si,finalmente,elinterésaumentaenS/.4500.¿Cuáleselcapitalinicialsilaoperaciónseríaporunaño?

16. Conrelaciónalproblemaanterior,¿quépasasilaspartesson3/5y2/5?

17. MaríaMujica tiene los capitalesdeS/. 126000yS/. 94000,queporrazones de riesgo están colocados a distintas tasas de interés. Comofueroncolocadosaplazofijodeunaño,alfinaldelmismosetienequelasumadelosinteresesgeneradosporestosdoscapitalesesunacantidaddeS/.12460.Adicionalmente,setienequeelinterésgeneradoporunodeloscapitalessuperaalotroenS/.1280.¿Cuálessonlastasasdeinterésconlaqueestuvieroncolocadosdichoscapitales?

18. Seprestaundeterminadomontodedineropor1añoal10%mensual.Sipasadoslos6mesessetieneuntieneentotalS/.25000.¿Cuálserálacantidaddedineroquesetendríaalfinalizarelaño?

19. Seprestaunacantidaddedinero,ainteréssimple,desdeel05/03al28/09.Durante los primeros 3 meses, le pagaron 5% mensual y el resto deltiempoa12%anual.¿Cuáleslacantidaddedineroinicialmenteprestadasi,pornecesidadel28/07,retiróS/.15000?

20. UnalavadoracuestaS/.1299,segúnelpreciodelista,tratandodemostraralternativasdeventaesofrecidaendosmodalidades:

a) Alcontado:conundescuentodel20%sobreelprecioenlista;

b) Financiada: 50% de anticipo y el 50% restante a los 6 meses, sininterés.

Enrealidad,¿quétasadeinterésestácobrandolacompañía?

21. Se tieneuncapitalde$9000,quees colocadoel1/3/2004por elquepagan6%anualmente,yel23/8/2005,porunapuro,retiran$3600.¿Cuáleselsaldoal24/12/2007?

22. Unainmobiliariatienelaposibilidaddecomprarunterreno,eldueñodelterrenolepropone2opcionesdeventa:

a) Unacuotainicialde$7000y$33000alfinaldelsegundoaño.

b) $33000decontado.

Sieldineroquenoseutiliceparaelpagopuedecolocarseaunatasadeinteréssimpledel9%anual.¿Porcuálde lasopciones la inmobiliaria,finalmente,decidiría?

42 Hernán B. Garrafa araGón

23. Conrelaciónalproblemaanterior,¿cuáldeberíaserelpagodecontado,detalmaneraquelasdosopcionesseanindiferentes?

24. JoséAragónplanificasueconomía;esporelloquerealizóundepósitodeS/.23000el1/3/2003aunatasadeinteréssimpledel3%semestral;el6/2/2004retiróunacantidaddedinero.El8/8/2005latasadeinterésvaría,detalformaqueel12/11/2007lograobtenerporestaoperaciónunsaldofavorableporunmontodeS/.28420,00.¿Encuántovariólatasadeinterésparalograrestesaldo?

25. Unprestamistacoloca sudinerocon la condiciónque se lodevuelvandentrode4y14mesesS/.7500yS/.15000,respectivamente.Recibelacontraofertadepartedelprestatariodecancelarladeudaconunsolopagoa los7meses,si lecobraunatasadeinteréssimplemensualdel1.5%porloqueelprestamistaacepta.¿Cuáleselpagoquetendráquerealizaréste?