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Matemática: Probabilidad condicionada.

1. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras,

¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de

que no sea blanca?

Solución

R: extraer bola roja B: extraer bola blanca

RB, extraer bola roja o blanca

P (R U B) = P (R) + P (B) = 4/15 + 5/15 = 9/15 = 3/5

B´: NO extraer bola blanca, P (B´) = 1 – P (B) = 1 - 5/15 = 10/15 = 2/5

2. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos.

Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno sea

hombre o mujer. Encontrar la probabilidad que un estudiante sea rubio.

Solución

H: un alumno hombre P (H) = 15/45 = 1/3

M: un alumno mujer P (M) = 30/45 = 2/3

P (H U M) = 1/3 + 2/3 = 1

3. En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben

hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.

Escogemos uno de los viajeros al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?

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Solución

a) Suceso A: Saben hablar inglés. Suceso B: Sabe hablar francés

a) P (A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)= 48/120 + 36/120 – 12/120 = 72/120 = 3/5

b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (12/120)/(48/120) = 12/48 = ¼ (probabilidad

condicionada)

c) P(B) = 24/120 =1/5 (porque son los que SÓLO hablan francés) 36 – 12 = 24

4. De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b) Describe los sucesos:

A: "Mayor que 6" B: "No obtener 6" C: "Menor que 6" escribiendo todos

sus elementos.

c) Hallar la probabilidad de los sucesos: AUB, A∩B y B'∩A'.

Solución

a) Espacio Muestral: E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

b) A:"Mayor que 6" A = {7, 8, 9}.

B: "No obtener 6" B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}.

C: "Menor que 6" C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

c) P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A∩B) = 3/10 + 9/10 – 3/10 = 9/10. Observemos

que A∩B = {7, 8, 9} (elementos comunes), entonces P (A∩B) = 3/10

B'= {6} y A' = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, entonces B' ∩ A' = {6}, por tanto

P (B'∩A') = 1/10

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5. Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y

ver la televisión. Los resultados son:

- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.

- A 92 personas les gusta leer.

- A 47 personas les gusta ver la tele.

Si elegimos al azar una de esas personas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?

Solución

A: les gusta ver la tele B: les gusta leer

P (A∩B) = 32/120, P (B) = 92/120, P(A) = 47/120

a) P(A´) = 1 – P(A) = 1 – 47/120 = 73/120

b) P(B) = 92/120

c) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (32/120)/(47/120) = 32/47

6. Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la

probabilidad de que las dos elijan el mismo número?

Solución

Hay 25 formas posibles de elección para los participantes: (1,1); (1,2); (1,3); (1,4);

(1,5); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (4,1); (4,2); (4,3);

(4,4); (4,5); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5).

De la cuales las favorables son 5: (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5).

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Entonces la probabilidad de que las dos personas elijan el mismo número es 5/25 =

1/5.

7. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. ¿Cuál es la

probabilidad de que salga el 7?

Solución

El espacio muestral tiene 62 resultados, 36 resultados, de los cuales suman 7 los

siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1), por tanto la probabilidad de que salga

7 en la suma es 6/36 = 1/6.

8. Se lanzan tres dados, encontrar la probabilidad de que:

a) Salga 6 en todos.

b) Las caras obtenidas sumen 7.

Solución

a) Sea A el evento de obtener la cara del 6 en uno de los dados, entonces:

P (A∩A∩A) = P (A).P(A).P(A) = (1/6)(1/6)(1/6) = 1/216.

b) El espacio muestral tiene 63, 216 resultados, de los cuales suman 7 los

siguientes:

(1,1,5); (1,2,4); (1,3,3); (1,4,2); (1,5,1); (2,1,4); (2,2,3); (2,3,2); (2,4,1); (3,1,3);

(3,2,2); (3,3,1); (4,1,2); (4,2,1); (5,1,1)

Por tanto la probabilidad de que salga 7 en la suma es 15/216 = 5/72.

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9. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un

número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

Solución

El espacio muestral son las 28 fichas del dominó; sea A el suceso de obtener fichas con

puntos mayor a 9 y B el suceso de obtener fichas con puntos múltiplos de 4.

A = {(4:6), (5:5), (5:6), (6:6)}

B = {(0:4), (1:3), (2:2), (2:6), (3:5), (4:4), (6:6)}

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 4/28 + 7/28 - 1/28 = 10/28 = 5/14

10. En un sobre hay 20 papeletas, 8 llevan dibujado un coche y las restantes son

blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de

un coche si: a) se saca una papeleta, b) se sacan dos papeletas, c) se sacan tres

papeletas.

Solución

Sea Ai el suceso de sacar "i" papeletas en las que al menos una tiene el dibujo de un

coche y Bj el suceso de sacar "j" papeletas blancas.

P(A1) = 1 - P(B1) = 1 - (12/20) = 8/20 = 2/5.

P(A2) = 1 - P(B2) = 1 - (12/20)(11/19) = 1 - 33/95 = 62/95.

P(A3) = 1 - P(B3) = 1 - (12/20)(11/19)(10/18) = 1 - 11/57 = 46/57.

11. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de

suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen

simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno

de los dos estudiantes suspenda el examen

Solución

P(AUB) = 1/2 + 1/5 - 1/10 = 6/10 = 3/5.

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12. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad

de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una

persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

Solución

Este ejemplo se soluciona por TABLAS DE CONTINGENCIA (Se trata de tablas en cuyas

celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades

conociendo otras de la tabla)

Sea A el suceso que la persona sea hombre y B el suceso de que tenga los ojos

castaños.

P (AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 10/30 + 15/30 - 5/30 = 2/3.

13. Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de

automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas.

a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?

b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea

una mujer?

Solución

a) P ( Hs) = 20/120 = 1/6.

b) P (Mc) = 45/80 = 9/16.

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14. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con

problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de

chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos

y uno con problemas de chapa. Calcular:

a) El porcentaje de los que acuden por la tarde.

b) El porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

c) La probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la

mañana.

Solución

a) P (tarde) = 6/20 = 0,3 = 30%

b) P (p mecánicos) = 11/20 = 0,55 = 55%

c) P (elect/mañ) = 3/5 = 0,6 = 60%

15. Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad

de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie

francés?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

Solución

a) Sea A, el suceso de elegir un chico y B el suceso de elegir estudiante de francés.

P (AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 10/20 + 10/20 - 5/20 = 15/20 = 3/4

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b) En la gráfica se observa que la intersección entre el conjunto "alumnas" y el

conjunto "no francés" tiene 5 elementos, entonces

P (chica y no francés) = 5/20 = 1/4.

16. En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos

castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:

a) Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también

ojos castaños?

b) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos

castaños?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

Solución

a) P (ojos castaños/pelo castaño) = 15/40 = 3/8

b) P (pelo no castaño/ojos castaño) = 10/25 = 2/5

c) P (pelo no castaño y ojos no castaño) = 50/100 = 1/2.

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17. En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15

son varones y usan gafas; si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?

b) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de

que sea hombre?

Solución

a) P (mujer y sin gafas) = 45/100 = 9/20

b) P (hombres/sin gafas) = 25/70.