matematica i

7/17/2019 Matematica I

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas

Ing. Vidal Alvare Nat!alie

INECUACIONES

1.-) PROPIEDADES DE ORDEN DE LOS NÚMEROS REALESLas propiedades de orden se referen al concepto por el que se establece

una ordenación entre los números reales. Según esta ordenación se puede decidir

si un número real es mayor o menor que otro. Los conceptos de mayor que, y

menor que se defnen a partir del concepto de número positivo.

En el conjunto de los números reales, R, existe un subconjunto importante,

R, constituido por los números reales positivos. Este conjunto cumple las

siguientes propiedades!i" La suma de dos reales positivos es otro real positivo.

ii" El producto de dos reales positivos es otro real positivo

iii" Ley de la tricotom#a! para cualquier número real a, es verdadera una, y

solamente una de las siguientes proporciones! o a es cero, o a es

positivo, o –a es positivo$

1.1) DESIGUALDAD ESTRICTA

∗ a es mayor que b, si a%b es positivo a!

∈ R ba

∗ a es menor que b, si b%a es positivo, o bien a%b es negativo a"!

∈ R ab

&e esta defnición se deduce que

a# si y sólo s# a es positivo.

a"# s# y sólo s# a es negativo.

'dem(s se puede enunciar la propiedad )iii" de la siguiente *orma!

$Pa%a &a'a (a% 'e nme%os %eales a * !+ es ,e%'a'e%a una *solamente una+ 'e las suentes (%o(os&ones o+ a"!+ o+ a!+ o a/!0.

1.) DESIGUALDAD NO ESTRICTA

∗ a es mayor o igual que b, si a%b es negativo o a+b

1 or esta ra-ón es un error escribir , pues es un número real entonces o espositivo o es negativo o es cero. 'l escribir , se est( afrmando que un númeroreal es positivo y negativo al mismo tiempo.

1





bababa =∨>⇒≥

∗ a es menor o igual que b, si a%b es negativo o a+b

bababa =∨<⇒≤

1.2) INTER3ALOS

Es bien conocida la interpretación geomtrica de los números reales como

puntos de una recta. Se establece una relación biun#voca entre el conjunto de los

números reales y la recta, as# cada número real corresponde a uno y solo un

punto de la recta, y rec#procamente, cada punto de la recta corresponde a un y

sólo un número real. or esta ra-ón la recta se denomina *recuentemente recta o

eje real y es costumbre utili-ar las palabras número real y punto como sinónimos.

La relación de orden entre los números reales tiene una interpretación

geomtrica simple. Si a " !, el punto a est( a la i-quierda del punto !. Los

números positivos est(n a la derec/a del cero y los negativos a la i-quierda, como

se muestra en la fgura.

0 0 0 0 0 0

%1 %$ 2 $ a 1 !

Si a " !, un punto 4 satis*ace las desigualdades a " 4 " ! si y sólo s# 4

est( entre a y !, en otras palabras a " 4 " ! es el conjunto de to'os losnúmeros reales que est(n entre a y !. Este conjunto recibe el nombre de

nte%,alo a!e%to y se denota 5a+!). 3r(fcamente se representa en la recta real

de la siguiente *orma

o o ) "

a b a b

&ecir a " 4 " ! equivale a 4∈ 5a + !).

Si a " !, un punto 4 satis*ace las desigualdades a " 4 " ! s# y sólo s# 4

est( entre a y !, es igual a 4a5 o es igual a 4!5, en otras palabras a " 4 " ! es el

conjunto de to'os los números reales que est(n entre a y b, incluyendo a 4a5 y a

4!5. Este conjunto recibe el nombre de nte%,alo &e%%a'o y se denota 6a+!7.

3r(fcamente se representa en la recta real de la siguiente *orma

6 7

2





a b a b

&ecir a " 4 " ! equivale a 4∈6a+ !7.

Se defne a los nte%,alos sema!e%tos como aquellos que satis*acen una

de las siguientes desigualdades

a " 4" !⇔ 4∈ 6a+ !) o oa b

a " 4" !⇔ 4∈ 5a+ !7 o o

a bSe defne a los nte%,alos n8ntos como aquellos que satis*acen una de

las siguientes desigualdades

,axax o a

[ ,

a

a,xax ∞ o a

( , ] x a x a≤ ⇔ ∈ −∞

aLos s#mbolos ∞ )infnito" y % ∞ )menos infnito" 4no5 son números reales,

simplemente se usan para indicar to'os los números reales mayores que a, o

bien to'os los números reales menores que a. 8bserve que por la defnición de

desigualdades! 4a⇒ 4-a# 9 4 " a⇒ a-4#

1.9) P%o(e'a'es 'e la Desual'a'es

ara todo número real a, b, c, se verifcan las siguientes propiedades!

1) P%o(e'a' T%anst,a: Si a : b y b : c entonces a :c

) Si a : b entonces a c: b c

2) Si a : b y c;2 entonces ac : bc

9) Si a : b y c:2 entonces ac ; bc

Caso (a%t&ula%: Si a : b y c +%$ entonces <a;%b.

;) Si a≠ 2 entonces a1;2.

3





<) a;2 s# y sólo s#2

a

$>

=) Si a;b y c;2 entonces c

b

c

a>

>) Si a;b y c:2 entonces c

b

c

a<

?) Si ab;2 entonces a y b son ambos positivos o ambos negativos

1#) Si a : c y b : d entonces a b : c d

11) Si a ; 2 ∧ b ; 2 ∧ a ; b entonces a1 ; b1.

Si a : 2 ∧ b:2 ∧ a ; b entonces a1 : b1

O!se%,e @ue s se t%ata 'e 'os nme%os neat,os+ al ele,a% al&ua'%a'o el sent'o 'e la 'esual'a' se n,e%te.

S es un nme%o (ost,o &om(a%a'o &on uno neat,o no se (ue'e

sa&a% nnuna &on&lusn. or lo que la propiedad no puede ser aplicada en

ese caso1.

1) Si b

$

a

$2entoncesba2b2a <<>∧>∧>

Si2b

$

a

$ entoncesba2b2a <<>∧<∧< .

S se estB &om(a%an'o un nme%o (ost,o &on ot%o neat,o no se

(ue'e sa&a% nnuna &on&lusn. or lo que esta propiedad no aplica.

Todas estas propiedades son las que permiten trabajar con las desigualdades y

son la base para concluir que proposiciones como las siguientes son verdaderas:

I) A ambos miembros de una desigualdad se puede sumar un

número real y ésta no se altera.

2 Esto significa que en una desigualdad sólo se debe elevar ambos miembros al cuadrado cuando se conoce el signo de cada

miembro, y se hace según la propiedad 11 !or esta propiedad es que al tener la desigualdad y elevar ambos miembros al

cuadrado conduce a soluciones falsas o incompletas, porque según sea el valor de x el primer miembro puede ser positivo onegativo, por lo que no se puede predecir el comportamiento de la desigualdad

"





==" Se puede multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un

número real positivo y ésta no se altera. Si el número es negativo

la desigualdad se invierte.

===" Se puede sumar miembro a miembro dos desigualdades que tienen el

mismo sentido

=>"Se pueden elevar ambos miembros de una desigualdad al cuadrado,

siempre y cuando ambos miembros sea positivo o negativos. Si

son positivos el sentido de la desigualdad se mantiene, si son

negativos el sentido de la desigualdad se invierte, etcétera.

) INECUACIONES

Se defne a una inecuación como una desigualdad que es verdadera paradeterminados valores de la incógnita.

Se defne al dominio de la inecuación *)x" ; g)x" como el conjunto de todos

aquellos valores de x para los cuales las expresiones *)x" y g)x" est(n ambas

defnidas. En otras palabras, el dominio de la inecuación *)x" ; g)x" es la

intersección del dominio de *)x" con el dominio de g)x".

La solución de la inecuación *)x" ; g)x" viene dada por todos los valores de

x, en el dominio de la inecuación, para los cuales la proposición 4el valor *)x" es

mayor que el valor g)x"5 es verdadera.

&os inecuaciones en la misma variable, son equivalentes si sus soluciones

coinciden, o bien, tienen la misma solución.

Pa%a %esol,e% ne&ua&ones se aplican trans*ormaciones que permiten

obtener otra inecuación equivalente a la dada, cuya solución es evidente o puede

obtenerse mediante alguno de los procedimientos de resolución de inecuaciones.

Las tras*ormaciones que pueden ser aplicadas tienen su base en las propiedades

de las desigualdades anteriormente mencionadas, cualquier trans*ormación que

implique la violación de una de las propiedades de las desigualdades no debe ser

aplicada

?n mtodo general de resolución de ne&ua&ones %a&onales

ale!%a&as es el que se describe a continuación y se conoce con el nombre

mtodo de los ,alo%es 'e (%ue!a!

#





1. Se compara con cero, es decir se pasan todos los trminos para un solo

miembro de la inecuación, por ejemplo, al primero, usando la propiedad 1 de

las desigualdades )n" se de#e multi$licar " dividir la inecuaci%n $"r

e&$resi"nes alge#raicas 'ue de$endan de la varia#le( $ues el sign"

de la e&$resi%n $uede alterar la desigualdad( ver $r"$iedad )".

. Se trans*orma el primer miembro en una *racción algebraica a travs del

m.c.m.

2. Se *actori-a, si es posible, en *actores primos, el polinomio numerador y el

polinomio denominador, si lo /ubiere.

9. Se /allan los valores de la variable, para los cuales el numerador es cero, es

decir se /allan los ceros de la expresión o las raíces del numerad"r . Si /aydenominador se /allan los valores de la variable, para los cuales el

denominador es cero, stos no puede ser parte de la solución, pues generan

una división entre cero y expresión no existe en el conjunto de los números

reales@.

;. Se representan en la recta to'os los valores de la variable /allados en el

paso anterior, estos van a dividir a la recta en varios intervalos.

<. Se toma un valor de prueba en cada intervalo y se determina el signo de la

expresión *actori-ada para cada una de ellos.

=. La solución de la inecuación son los valores de la variable en los intervalos

que satis*acen la condición impuesta por la inecuación )recuerde si x;2, x es

positivo, si x:2, x es negativo", siem$re y cuand" n" anulen el

den"minad"r .

or ejemplo!

1) Resol,e% 42">.

) Aomparando con cero

x@ %B:2.

)x%1")x11xC":2. Dactori-ando

3 En los números reales no est( defnida la división entre cero.

$





) allando las ra#ces o buscando los ceros, para ello se resuelve.

)x%1")x11xC"+2

)x%1"+2 ⇒ x+1

x11xC+2 no tiene ra#ces reales porque b1%Cac+C%C)$")C"+C%$F:2.

) Estu'an'o el sno 'e )x%1")x11xC":2

Se representa en la recta real la ra#- obtenida en ) y se estudia el signo

en cada intervalo!

%%%%%%%%%%%%%%%%0

1

El signo de cada intervalo se determina con un valor de prueba, as#!

x+G ⇒ )G%1")G1

1)G"C"+)@")@H";2x+%@⇒ )%@%1"))%@"11)%@"C+)%G"I:2

La solución es! x:1 o bien. 1,x ∞−∈

O#serve 'ue el $"lin"mi" & *+*&+) es $"sitiv" $ara cual'uier & real.

En general ) si el $"lin"mi" a& *+#&+c n" tiene raíces reales( es

decir #*

,)ac-( se cum$le 'ue/a& *+#&+c0 Rx ∈∀ ( si a0

a& *+#&+c- Rx ∈∀ ( si a-

1" Resol,e% @

$

x

$<

) Aomparando con cero

031

x1

Aomparando con cero

0x3

x3

?nifcando denominadores

" or caracter#sticas de la *unción cuadr(trica y +ax1bxc, sta es la ecuaciónde una par(bola vertical.

%





0x3

3x

Extrayendo *actor Aomún <$

0

x

3x>

Jultiplicando ambos miembros por <@

) allando las ra#ces del numerador y del denominador

x%@+2 ⇒ x+@. allando los ceros del numerador

x+2. allando los ceros del denominador

) Estu'an'o el sno 'e0

x3x >

Representando en la recta real

0%%%%%%%0

2 @

El signo de cada intervalo se determina con un valor de prueba, as#!

x+G ⇒ 2

@

1

G

@G>=

−

x+$ ⇒ 2C

$

@$<−=

−

x+%B ⇒ 2

B

$$

B

$$

B

@B>=

−

−=

−

−−

La solución de la inecuación @

$

x

$<

es x:2 ∨ x;@ o bien

,@2,x ∞∪∞−∈

O#serve 'ue la s"luci%n n" se incluye al cer" $"r'ue anula el

den"minad"r( n" se incluye al 1( $"r'ue la desigualdad es estricta.

.2) INECUACIONES IRRACIONALES

&





Son inecuaciones en las que variable *orma parte de la cantidad subradical,

es decir es una inecuación de la *orma

etc.xf xgxh,xgxf ,xgxf ≥

En este tipo de inecuaciones se pueden aplicar todas las trans*ormaciones

que se aplican a las ecuaciones irracionales, sin embargo no es posible sustituir

las soluciones para verifcar la veracidad de la desigualdad porque, generalmente,

la solución de las inecuaciones son conjuntos con infnitos números, por lo tanto

se debe garanti-ar que 4to'as5 las trans*ormaciones condu-can a una

desigualdad equivalente a al original.

En el caso de una inecuación de la *orma

xgxf <

, es necesario pararesolverla que se cumplan todas y cada una de las siguientes condiciones!

i" *)x"; 2, para que xf est defnida como un número real.

ii" g)x";2, ya que no es posible que un número negativo sea mayor que

uno positivoG.

iii" 0xgxf xgxf <

, pues sta es la condición que impone la

inecuación originalF.

Según esto, se puede enunciar el siguiente mtodo para resolver las

ne&ua&ones %%a&onales:

1. allar los valores de x para los cuales la ra#- est( defnida como número real, es

decir, el dominio de la ra#-. Si la inecuación tiene m(s de una ra#-, se /alla el

dominio de cada una de ellas y se encuentra la intersección de todos los

dominios, siendo este resultado el dominio de la inecuación. La solución de la

inecuación es un subconjunto de su dominio o el mismo dominio . N" $uede

"#tenerse en la s"luci%n val"res 'ue n" est2n en el d"mini" de la

inecuaci%n

. Se pasan todos los trminos para el primer miembro de la inecuación.

# or defnición de ra#- cuadrada$ >er desigualdad estricta.

'





2. Se /allan las ra#ces del primer miembro de inecuación, es decir, los valores de

la variable que anulan dic/a expresiónI.

9. Las ra#ces obtenidas en el paso anterior se representan en la recta real, donde

ya est( seKalando el dominio de la inecuación.

;. ?sando valores de prueba se determina el signo de cada uno de los intervalos

que quedaron defnidos en la recta según el paso anterior.

<. La solución de la inecuación son los valores de la variable, en el dominio de la

misma, que la satis*acen.

al como se muestra en los siguientes ejemplos.

$" Resolver Gx@$2x1 −<+

Se determina el dominio de $2x1 + . )="

ara que la ra#- est defnida en el conjunto de los números reales es necesario

que Gx2$2x1 −≥⇒≥+ , es decir sólo se va usar la porción de la recta real

que cumple x;%G, porque sino $2x1 + no est( defnida como un número real,

pues se obtendr#a una ra#- de #ndice par con cantidad subradical negativa.

Se /allan las ra#ces de la inecuación )=="

Gx@$2x1 −=+ )M"

1x$2+Hx1%@2x1G

Hx1%@1x$G+2

( ) ( )( )( )H1

$GHC@1@1x

1 −−±=

$B11@1x ±=

@$B

GCx$ ==

H

G

$B

$2x1 ==

% ara ello se resuelve le ecuación irracional que se obtenga.1(





>erifcando las soluciones! )para ello se sustituye en la igualdad )M""

ara( ) C$F$2@1@x ==+⇒=

@)@"%G+H%G+C. Si es solución.

ara @

$2

H

$22$2

H

G1

H

Gx ==+⇒=

@

$2

H

@2

H

CG$GG

H

G@ −=−=

−=−

. No es solución.

Se representa en la recta real el resultado obtenido en )=" y en )==" y se

estudia con valores de prueba el signo en cada intervalo de la

inecuación

2Gx@$2x1Gx@$2x1 <+−+⇔−<+

Los valores de prueba!

( ) ( ) 2G$2G2@$2212x >+=+−+⇒=

( ) ( ) 2CH$BI$BGC@$2C1Cx <−=−=+−+⇒=

0%%%%%%%%%% %G @

La solución de la inecuación es @x > o bien ,@x ∞∈

1" Resolver x$1xx1 >−−

Se determina el dominio de $1xx1 −− )="

x1%x$1;2

)x%C")x@";2

0%%%%%%%%%%%%%%%0

)o se estudia esta

porción de la recta

porque estosnúmeros no forman

parte del dominiode la inecuación

11





%@ C

∞∪−∞−∈ ,C@,x

Entonces el dominio de la inecuación es ∞∪−∞− ,C@, sólo con esos intervalos

de la recta tiene sentido trabajar.

Se /allan las ra#ces de la inecuación. )=="

x$1xx1 =−− )M"

x1%x%$1+x1

%x%$1+2 $1x −=⇒

>erifcando la solución, para ello se sustituye en la igualdad )M"

( ) ( ) $1$1$CC$1$1$11

−≠==−−−−

no es solución, no tiene ra#ces reales.

Se representa en la recta real y se estudia el signo de

2x$1xx1 >−−− , usando valores de prueba.

Los valores de prueba

( ) ( ) ( ) 2G$BG$1GGGx

1

>+=−−−−−−⇒−=

( ) ( ) 2@F@2F$1FFFx 1

<−=−−−−⇒=

No

0 0%%%%%%%%%%

%@ C

La solución de la inecuación es %@x ≤ o bien @,x −∞−∈

2) SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA 3ARIALE

>arias inecuaciones con una variable *orman un sistema de inecuaciones

cuando se plantea el problema de /allar todos los valores de la variable que

satis*acen, smultBneamente, a las inecuaciones dadas.

12





La solución de un sistema de inecuaciones es el resultado de la

nte%se&&n de las soluciones de cada una de las inecuaciones que *orman el

sistema.

Las inecuaciones que *orman un sistema se unen a travs de una llave, por

ejemplo!

( ) ( )

( ) ( )( )

<

≥

xO

xSx/

xgx*

,

8tras veces las inecuaciones del sistema pueden aparecer escritas en *orma

breve, as#! g)x":*)x":/)x", esto quiere decir que el sistema de inecuaciones que

se debe resolver es

( ) ( )( ) ( )

<≤

x/x*

x* xg

.

ara que un sistema de inecuaciones pueda ser escrito en *orma breve debe

ocurrir que dos de las inecuaciones tengan un miembro idntico y al escribirla en

*orma lineal las desigualdades le#das de i-quierda a derec/a tengan el mismo

sentido. or ejemplo! *)x":/)x":g)x"9 s)x";j)x";*)x".

Escri#ir e&$resi"nes c"m" !3&4-53&40g3&4 n" tiene sentid"( de#id" a las

$r"$iedades de "rden 'ue cum$le el c"n6unt" de l"s n7mer"s reales.

Ejemplo

$" Resolver! Cx%1:x1$:CxF

Se resuelve Cx%1:x1$ )a"

x1$%Cx1;2

x1%Cx@;2

)x%@")x%$";2 0%%%%%%%%0 $ @

Solución a! ∞∪∞−∈ ,@$,x .

Se resuelve x1$:CxF )b"

x1$%Cx%F:2

x1%Cx%G;2

)x%G")x$":2 0%%%%%%%%%%%%%0 %$ G

13





Solución b! G,$x −∈

Solución del sistema + Solución a ∩ solución b.

%$ $ @ G

Solución del sistema! G,@$,$x ∪−∈

EERCICIOS PROPUESTOS

Resolver las siguientes =necuaciones

$" x@;1 )x$"

1" C)P$":1P@

@" @

1

)P%$"@P: % 1

G

C" 1

@x

@

$x@

1

$x1@

+−≥+−

−+

G"( ) Cx@

1

1

$x11x@C −<

−−+−

F"

21

@x

1

$

@

$x1@1x >

−−

−

+−−−

I"

FC

xI

1

$x

1

$x

1

@−−≥+−

+−

B" xC;$F

H" x1:B

$2" )x1"1:1G

$$" x1CxC;H

$1" @)x%$")x$";2

$@" x11x%@:2

$C" Cx@%Fx1:2

1"





$G" x@%Cx;2

$F" xCx1 : x@

$I" $1x@%Cx1:@x%$

$B" 1Ix@%Hx1%@x$;2

$H" Bx@Cx1%1x%$;2

12"x

x

$>

1$"1

$x

Fx<

+

+

11" @x1

$

Gx

C

+>

+

1@" ( ) 1

1x

1Ix$2x@1

1

≤+

−+

1C" x

1x

Cx

1x +≥

−

−

1G"Fx

Gx

$x@x1−<

+

+−

1F" $:1

Ix$2x@ <

++

1I" x

$x <

1B" $$x >−

1H" Hx@x1 +≤−

3(* 1x@x1x1 −−>−+

31* ' continuación se resuelve la siguiente inecuación

x$1x

@x@x1

−<+

++

1) Demuest%e @ue la solu&n no es &o%%e&ta.

) Da 'n'e estB el e%%o% * (o% @u es un e%%o%.

2) Resuel,a la ne&ua&n.

1#





2x$1x

@x@x1

<+−+

++⇒ x1@x@%x%1x11x:2⇒ 1x1Cx$:2

1$

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