matemática financiera. teoría de amortización

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 Amortización 1 Matemática Financiera Teoría de Amortización Lic. Armando Ramírez Guzmán

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Teoría de amortización, amortización constante alemán, interés constante o americano, Cuota simple o doble en fechas.

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  • Amortizacin 1

    Matemtica Financiera

    Teora de Amortizacin

    Lic. Armando Ramrez Guzmn

  • Amortizacin 2Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Simple 2

    Matemtica Financiera

    AmortizacinObjetivos de aprendizaje Definir el concepto de Amortizacin Clasificar los sistemas y modalidades de

    amortizacin de prestamos Identificar los elementos econmicos de un

    cuadro de servicio de deuda Elaborar de un cuadro de servicio de deuda

  • Amortizacin 3

    Amortizacin Es el proceso financiero mediante el cual una deuda u obligacin se extingue

    progresivamente por medio de pagos peridicos incluidos en el llamado Servicio de Deuda, el que incluye adems los intereses generados en cada periodo.

    RK = AK + IK De cada pago, cuota o servicio de deuda, una parte se aplica a cubrir el inters generado

    por la deuda y el resto a disminuir el prstamo por pagar, deuda residual o saldo insoluto. Cuando amortizamos una deuda o una obligacin estamos devolviendo el importe que se

    ha recibido en prstamo.

    Clasificacin Por la frecuencia de pago del servicio de deuda las modalidades son:

    Vencido: cuando el pago se realiza al vencimiento de cada periodo. Anticipado: cuando el pago se realiza al inicio de cada periodo. Diferido: cuando el pago se realiza luego de cierto plazo, en las modalidades

    con Perodo Diferido o Perodo de Gracia son aquellos, como los anteriores, que consideran periodos de gracia (m), en los cuales no se amortiza el prstamo pero se puede pagar o no intereses durante el periodo diferido.

    Elementos de un Sistema Amortizacin El importe del prstamo o VA. El numero de pagos peridicos. El importe de los pagos peridicos. La tasa de inters que puede ser fija o variable. El cuadro de Servicio de Deuda.

  • Amortizacin 4

    AmortizacinCuadro de Servicio de Deuda

    En la elaboracin del cuadro de servicio de deuda solo se debe considerar el prstamo y la tasa de inters del prstamo pactada. El formato de cuadro de servicio de deuda es como sigue:

    n: nmero de periodos de la operacin financiera. Cuota de Pago: es el Servicio de Deuda del periodo k (k = 0 hasta n). Cuota de Inters: es el importe por Intereses a pagar en el periodo K. Cuota de Amortizacin: es el importe de Amortizacin a pagar en el periodo K. Deuda Extinguida: es la parte del prstamo ya cancelado en el periodo K, es la

    diferencia entre el prstamo y la deuda residual. Saldo Deudor o Deuda Residual: es el saldo por pagar del prstamo en el

    periodo K.

    n 0 1 2 3 n-1 nDESDIntAmortPago

    Cuadro de Servicio de Deuda

  • Amortizacin 5

    Sistemas UniformesRenta Uniforme, Pago Constante o Francs

    En esta modalidad las cuotas de pago, rentas o servicios de deuda son iguales o uniformes o constantes R. Cuota de Pago: se calculan como si fuesen trminos de una renta

    uniforme. Puede ser vencido o anticipado (el primer pago supone amortizacin).

    Vencido: Anticipado:

    Cuota de Inters

    Cuota de Amortizacin

    Saldo Deudor

    Deuda Extinguida

    1= KK SDiI

    KKK IRA =

    KKK ASDSD = 1

    KKK ADEDE += 1

    +

    +=

    1)1()1(

    n

    n

    iiiVAR

    +

    +

    +=

    1)1()1(

    )1( nn

    iii

    iVAR

  • Amortizacin 6

    VA 30,000 US $n 6i 15% TEAi 1.17% TEM

    R 5,207.00 US $

    0 1 2 3 4 5 6

    R R R R R R

    VA= 30,00015% TEA

    Fecha n Pago Int Amort SD DE0123456

    Frances o de Pagos Uniformes Vencido

  • Amortizacin 7

    n Pago Int Amort SD DE0123456789

    Frances o de Pagos Uniformes Diferido S/I

    VA 30,000 US $n 9 Mesesm 3 MesesnPagos 6 Mesesi 15% TEAi 1.1715% TEMVA3R US $

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    R R R R R R

    VA= 30,00015% TEA

  • Amortizacin 8

    VA 30,000 US $n 6i 15% TEAi 1.17% TEM

    R US $

    0 1 2 3 4 5 6

    R R R R R R

    VA= 30,00015% TEA

    n Pago Int Amort SD DE0123456

    Frances o de Pagos Uniformes Anticipado

  • Amortizacin 9

    Amortizacin Constante o Alemn Consiste en cancelar el importe del prstamo o principal en

    cuotas de amortizacin iguales A. Cuota de Amortizacin: Resulta de dividir el importe del prstamo

    entre el nmero de cuotas de amortizacin.

    Cuota de Inters

    Cuota de Pago

    Saldo Deudor

    Deuda Extinguida

    nAmortizacideCuotasNrostamoA Pr=

    1= KK DEiI

    KKK IAR +=

    KKK ASDSD = 1

    KKK ADEDE += 1

  • Amortizacin 10

    n Pago Int Amort SD DE0123456

    Alemn o de Amortizacin Constante

    VA 30,000 US $n 6 Mesesi 15.00% TEAi 1.1715% TEM

    A = US $

    0 1 2 3 4 5 6

    A A A A A A

    VA= 30,00015% TEA

  • Amortizacin 11

    Inters Constante o Americano En esta modalidad la cuotas de Inters son iguales.

    Cuota de Inters Cuota de Amortizacin: se amortiza el total del prstamo

    en el ltimo periodo . Cuota de Pago

    Saldo Deudor

    Deuda Extinguida

    stamoiIK Pr=

    KKK ASDSD = 1

    KKK ADEDE += 1

    KKK IAR +=

  • Amortizacin 12

    0 1 2 3 4 5 6

    I I I I I IVA

    VA= 30,00015% TEA

    VA 30,000 US $n 6 Mesesi 15% TEAi 1.1715% TEM

    I= US $

    n Pago Int Amort SD DE0123456

    Americano o de Interes Constante

  • Amortizacin 13

    Sistemas VariablesRenta Variable

    Renta Variable en Progresin Geomtrica g En este modalidad las cuotas de pago, rentas o servicios de deuda son

    variables con igual aumento o disminucin en progresin geomtrica g. Cuota de Pago: se calculan como una renta variable en PG.

    Cuota de Inters

    Cuota de Amortizacin

    Saldo Deudor

    Deuda Extinguida KKK ADEDE += 1

    1= KK SDiI

    KKK IRA =

    KKK ASDSD = 1

    ++

    +++=

    nn

    n

    gigiiVAR )1()1(

    )1()1()1(

  • Amortizacin 14

    VA 30,000 US $nPagos 6 Mesesi 15% TEAi 1.1715% TEMg 5%

    R US $

    n Pago Int Amort SD DE0123456

    Pagos Crecientes Geometricamente g

    0 1 2 3 4 5 6

    VA=30,00015% TEA

    R2)05.01( +R 3)05.01( +R

    4)05.01( +R16)05.01( +R

    1)05.01( +R

  • Amortizacin 15

    Renta Variable en Progresin Aritmtica G En este modalidad las cuotas de pago, rentas o servicios de deuda son

    variables con igual aumento o disminucin en progresin aritmtica G. Cuota de Pago: se calculan como una renta variable en PA.

    Cuota de Inters

    Cuota de Amortizacin

    Saldo Deudor

    Deuda Extinguida KKK ADEDE += 1

    1= KK SDiI

    KKK IRA =

    KKK ASDSD = 1

    +

    +

    ++

    +

    +=

    nn

    n

    n

    n

    in

    iii

    iG

    iiiRVA )1()1(

    1)1()1(

    1)1(

  • Amortizacin 16

    0 1 2 3 4 5 6R

    R+500R+2*500

    R+3*500R+4*500

    R+(6-1)*500

    VA=30,00015% TEAPrestamo 30,000 US $

    nPagos 6 Mesesi 15% TEAi 1.1715% TEMG 350 US $

    R US $

    n Pago Int Amort SD DE0123456

    Pagos Crecientes Aritmeticamente G

  • Amortizacin 17

    Suma Dgitos En este sistema las cuotas de pago, rentas o servicios de deuda son

    variables, primero se calcula la cuota de amortizacin en funcin a un factor de amortizacin multiplicado por el digito del periodo deamortizacin Factor de Amortizacin

    Cuota de Amortizacin

    Cuota de Pago

    Cuota de Inters

    Saldo Deudor

    Deuda Extinguida KKK ADEDE += 1

    1= KK SDiI

    KKK ASDSD = 1

    nAmortizacideperiodosdigitosVAFactor

    =

    nkDondenFactorA kK

    ,...,3,2,1==

    KKK IAR +=

  • Amortizacin 18

    VA 30,000 US $n 6 Mesesi 15.00% TEAi 1.1715% TEM

    Factor US $

    Dig n Pago Int Amort SD DE0

    1 12 23 34 45 56 6

    21

    Suma Digitos

  • Amortizacin 19

    Con periodos variables

    En este modalidad los periodos de pago o de servicios de deuda variables. Cuota de Pago: se calcula con periodicidad diaria segn sea

    Renta Uniforme, Renta Variable en PG o Renta Variable

    Cuota de Inters, se calcula por los das transcurridos entre fechas.

    Cuota de Amortizacin

    Saldo Deudor

    Deuda Extinguida KKK ADEDE += 1

    +=

    1)1(1

    1idePeriodo

    nn

    KK

    kk

    iSDI

    KKK IRA =

    KKK ASDSD = 1

  • Amortizacin 20

    03-May 27-Jun 02-Ago 29-Sep0 55 91 149 Das

    R R R R55

    91149

    VA= 25,000VA 30,000 US $i 15% TEAi 0.03883% TED

    R US $

    Fecha n Pago Int Amort SD DE03-May 0 7,716.13 0.00 7,716.13 22,283.87 7,716.1327-Jun 55 7,716.13 480.93 7,235.20 15,048.66 14,951.3402-Ago 36 7,716.13 211.80 7,504.33 7,544.33 22,455.6729-Sep 58 7,716.13 171.80 7,544.33 0.00 30,000.00

    149 30,864.54 864.54 30,000.00

    Pagos Uniformes con Periodos Variables

  • Amortizacin 21

    Renta Uniforme Vencidacon tasa de inters y periodos variables

    Cuota de Pago: se calcula la Renta Uniforme R1 con la i1 y n1, luego se calcula el saldo deudor al momento del cambio de tasa de inters, con este saldo deudor y i2 y n2 se calcula la nueva R2.

    Cuota de Inters

    Cuota de Amortizacin

    Saldo Deudor

    Deuda ExtinguidaKKK ADEDE += 1

    KKK IRA =

    KKK ASDSD = 1

    1= KK SDiI

  • Amortizacin 22

    Fecha n Pago Int Amort SD DE03/05/12 0

    123

    Fecha n Pago Int Amort SD DE01234

    Pagos Uniformes Vencido Tasa y Periodo Variable

    Pagos Uniformes Vencido Tasa y Periodo Variable

    a. b.VA 30,000 US $ VA3 US $n1 6 Meses n2 4 Bimestresi1 15% TEA i2 1% TEMi1 1.1715% TEM i2 2.0100% TEBR1 US $ R2 US $

  • Amortizacin 23

    Cuota Simple y Doble en Fechas Cuota de Pago

    Cuota de Inters: se calcula por los das transcurridos entre fechas.

    Cuota de Amortizacin

    Saldo Deudor

    Deuda ExtinguidaKKK ADEDE += 1

    KKK IRA =

    KKK ASDSD = 1

    +=

    1)1(1

    1idePeriodo

    nn

    KK

    kk

    iSDI

    Fecha 3/5/12 3/6/12 3/7/12 3/8/12 3/9/12 3/10/12 3/11/12 3/12/12 3/1/13 3/2/13 3/3/13 3/4/13 3/5/13

    n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

    R 2R R R R R 2R R R R R R

    A Valor Actual 31 61 92 123 153 184 214 245 276 304 335 365

    VA=30,000

  • Amortizacin 24

    Fecha n Pago Int Amort SD DE03/05/12 30,000.00 0.0003/06/12 31 2,304.91 363.23 1,941.67 28,058.33 1,941.6703/07/12 30 4,609.81 328.70 4,281.11 23,777.22 6,222.7803/08/12 31 2,304.91 287.89 2,017.02 21,760.20 8,239.8003/09/12 31 2,304.91 263.47 2,041.44 19,718.76 10,281.2403/10/12 30 2,304.91 231.00 2,073.90 17,644.86 12,355.1403/11/12 31 2,304.91 213.64 2,091.27 15,553.59 14,446.4103/12/12 30 4,609.81 182.21 4,427.60 11,125.99 18,874.0103/01/13 31 2,304.91 134.71 2,170.19 8,955.80 21,044.2003/02/13 31 2,304.91 108.43 2,196.47 6,759.32 23,240.6803/03/13 28 2,304.91 73.88 2,231.03 4,528.30 25,471.7003/04/13 31 2,304.91 54.83 2,250.08 2,278.22 27,721.7803/05/13 30 2,304.91 26.69 2,278.22 0.00 30,000.00

    30,000.00

    Cuotas Dobles

    VA 30,000 US $i 15.00% TEAi 0.03883% TEDnPagos 12 meses

    R 2,304.91 US $2R 4,609.81 US $

  • Amortizacin 25

    Tasa de Costo de Crdito TCC Es la tasa de inters efectiva que hace equivalente el flujo de ingresos y

    el flujo de egresos derivados de la operacin de crdito, es decir en el flujo de caja de la deuda aparte del prstamo y de los interesescalculados a la tasa del prstamo hay que considerar las comisiones y retenciones originadas por la operacin de crdito.

  • Amortizacin 26

    BibliografaAliaga Valdez, Carlos. Matemticas Financieras: Un enfoque practico. Prentice Hall Pearson Educacin. 1 Edicin, Colombia. 2002: Captulo 14.

    Vento Ortiz, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Universidad del Pacifico. 6ta Edicin. Lima. 2004: Captulo IV y V.

  • Amortizacin 27

    Mapa Conceptual Amortizacin

    Amortizacin

    Alemn Amortizacin

    Constante

    Francs Renta

    Uniforme

    Americano Inters

    Constante

    Renta Variable

    Vencido DiferidoAnticipado

    C/I

    S/I

    Con periodos variables

    +

    +=

    1)1()1(

    n

    n

    iiiVAR

    stamoiIK Pr=nAmortizacideCuotasNrostamoA Pr=

    KKK ADEDE += 1KKK ASDSD = 1

    KKK IRA =

    1= KK SDiI

    n

    KKK IAR +=

    PG PA

  • Amortizacin 28Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Simple 28

    Matemtica Financiera

    Fondo AcumuladoObjetivos de aprendizaje Definir el concepto de fondo acumulado Clasificar los sistemas y modalidades de fondo

    acumulado Identificar los elementos econmicos de un

    cuadro de fondo acumulado Elaborar de un cuadro de fondo acumulado

  • Amortizacin 29

    Fondo de Acumulado Es el proceso financiero mediante el cual realizando una serie de depsitos o abonos

    peridicos durante un plazo "n, los cuales generan intereses a una tasa "i" por perodo, se desea acumular un monto o un fondo o un valor futuro.

    Un fondo de amortizacin es una reserva de dinero que se realiza con el fin de realizar grandes pagos que se deben realizar al cabo de un tiempo.

    Clasificacin Por el tipo de deposito:

    Renta Uniforme. Renta Variable: en progresin geomtrica o aritmtica. Renta Irregular.

    Por la frecuencia del deposito: Vencido: cuando el deposito se realiza al vencimiento de cada periodo. Anticipado: cuando el deposito se realiza al inicio de cada periodo. Diferido: cuando el deposito se realiza luego de cierto plazo. Irregular.

    Elementos de un Fondo de Acumulado El valor futuro. Fecha del depsito. El numero de depsitos peridicos. El importe de los depsitos peridicos. La tasa de inters por periodo, que puede ser fija o variable. El cuadro de Fondo de cumulado.

  • Amortizacin 30

    Fondo AcumuladoCuadro de Fondo Acumulado

    El formato de cuadro de Fondo Acumulado es como sigue:

    Fecha: del depsito. n: nmero de periodos de la operacin financiera. Cuota de Pago: es el Depsito del periodo k (k = 0 hasta n). Cuota de Inters: es el importe por Intereses ganados en el periodo K. Adicin al Fondo AF: es la suma del importe del Pago e Intereses del

    periodo K. Fondo Acumulado FA: es el monto de dinero que se va acumulando al

    periodo K, resulta de sumar el FAK-1 mas la AFK.

    Adicin al FondoFondo Acumulado

    0123:

    n

    Fondo de AmortizacinPago IntersFecha n

  • Amortizacin 31

    VF 50,000 US $nPagos 6 Trimi 8.00% TEAi 1.9427% TET

    R 7,937.70 US $0 1 2 3 4 5 6

    R R R R R R

    VF=50,000

    Fecha n Cuota de Inters

    Cuota de Pago

    Adicin al Fondo

    Fondo Acumulado

    0123456

    Fondo de Amortizacin Pago Uniforme Vencido

  • Amortizacin 32

    0 1 2 3 4 5 6

    R R R R R R

    VF=50,000VF 50,000 US $nPagos 6 Trimi 8% TEAi 1.9427% TETR US $

    Fecha n Cuota de Inters

    Cuota de Pago

    Adicin al Fondo

    Fondo Acumulado

    0123456

    Fondo de Amortizacin Pago Uniforme Anticipado

  • Amortizacin 33

    BibliografaAliaga Valdez, Carlos. Matemticas Financieras: Un enfoque practico. Prentice Hall Pearson Educacin. 1 Edicin, Colombia. 2002: Captulo 13.