Notas Docentes Matemtica Aplicada a la Economa. Material de Consulta y Casos Prcticos David Glejberman Nota Docente No. 20 10.FUNCIONES DE UNA VARIABLE GRFICAS DE FUNCIONES ELEMENTALES OPERACIONES CON FUNCIONESFUNCIN INVERSA Y FUNCIN COMPUESTAEn esta parte del curso centramos nuestra atencin en las funciones que tienen por dominio y codominio conjuntos numricos, es decir, funciones que dependen de una sola variable (a la que simbolizamos con la letra x). En consecuencia, la representacin grficams apropiada es la que utiliza un par de ejes cartesianos ortogonales: al eje horizontal sele llama eje de las abcisas y al vertical eje de las ordenadas. f(x)Ordenada AbcisaxInclusovamosarestringirelestudioalasfuncionesdondelacorrespondencia puedeexpresarsemedianteunafrmulaqueinvolucraunaecuacinoalosumounnmero reducido de ecuaciones (la funcin puede expresarse en un rengln o en un par de renglones). Ejemplos: f(x) = 3.x2 x + 1 f(x) =< + > +0 10 1x si xx si xEldominiodelafuncinesel conjunto de los nmeros reales o una parte de los nmerosreales,porqueenalgunos casos la frmula que define la funcin slo es vlida para una parte de los nmeros reales. El problema de encontrar para qu nmeros reales esvlidalafrmulaseconocecomo determinacindeldominiode existenciadela funcin.Ejemplo:Seaf:f(x)= 122+xx.Lafrmulaquedefinelacorrespondenciaes,en este caso, una fraccin algebraica, la cual tiene sentido si el denominador no se anula. Yen este caso el denominador se anula six = 1. Por tanto, el dominio de la funcin es: D(f) = {x: x XR y x = 1}. Definicin: Una funcin se dice elemental si en la frmula la variable x intervieneuna sola vez.Ejemplos de funciones elementales: x, x2, x3, ex, e x, x, entre otras. Vamosaconsideraracontinuacinelproblema de hallar el grfico de lasfuncionesdeunavariable. Comenzamosconlasfuncioneselementalesyluegointroduciremos las herramientas para el estudio de funciones cualesquiera. Restringimoselconjuntodelasfuncioneselementalesalassiguientes (dejamosfuera, por ejemplo, a las funciones trigonomtricas).f(x) = xf(x) = x2f(x) = x3f(x) = x f(x) = x f(x) =x1f(x) = exf(x) = e- xf(x) = Lx1Observaciones1. Elgrficodef(x)=xesunarecta quepasaporelorigen.Setratadeuncaso particular de las funciones del tipo f(x) = a + b.x(donde a y b son dos nmeros realesquenodependendex)cuyo grficotambinesunarecta cuyocomportamientodependedelosparmetrosayb.Por la forma del grfico, estasfunciones se llaman lineales.2. El grfico def(x) = x2es una parbola con los brazos hacia arriba. Se trata de un caso particular de de las funciones cuadrticas de la forma f(x) = a.x2+ b.x + c (dondea,bycsonparmetrosquenodependendex)cuyocomportamiento depende de ciertas relaciones entre los parmetros como veremos ms adelante.3. El dominio def(x) = x es el conjunto de los reales mayores o iguales que 0. 4. Lafrmuladelafuncinf(x) = x (valorabsolutodex)tambinpuedeexpresarse en dos renglones:f(x) = < >00x si xx si x5. Eldominiodelafuncinf(x)= x1es el conjuntodelosnmerosrealescon exclusin del cero. 6. Las funcionesexyexse dibujan por encima del eje de las abcisas, es decir, lasfunciones nunca toman valores negativos ni se anulan. 7. Lafuncinf(x)=Lx=logexrestringesudominioalosreales positivos (ellogaritmo de cero o de un nmero negativo no estn definidos).Las funcioneslineales cumplen un importante papelenlosmodelosdeanlisiseconmicos simplificados. Se trata de funciones con grficos muy sencillos, los cuales secomentan a continuacin. f(x) = a + b.xElparmetroasellama ordenadaenelorigenporqueindicalaordenadadel punto donde la recta corta al eje Oy. El parmetro b se llama coeficiente angular de la recta y determina si la recta es creciente, constante o decreciente, segn que su valor seapositivo, cero o negativo. aa a b > 0b = 0b < 0 Las funciones cuadrticas tambin tienen una frmula y un grfico sencillos.f(x) = a.x2 + b.x + c Larepresentacingrficaessiempreunaparbola,cuyosbrazos miran hacia arriba sia > 0y hacia abajo en caso contrario. El eje de simetra de la parbola corta al eje Ox en elpuntox=-b/2a.LaparbolacortaalejeOxsieldiscriminante de la ecuacina.x2 + b.x + c = 0 es no negativo (el discriminante es A = b2 4.a.c). a > 0, A > 0a > 0, A = 0a > 0, A < 0a < 0, A > 0 a < 0, A = 0 a < 0, A < 0 Sepodran denominar cuasi-linealesalasfuncionescuyogrficocontiene segmentosderectay/o semirrectas. Ya hemosvistounejemplo:lafuncinvalor absoluto, cuyo grfico se compone de dos semirrectas. Veamos ahora dos ejemplos ms. Escalera PoligonalLaprimerasesueleutilizarenEconomapararepresentar enelejehorizontalel tiempo y en el eje vertical el nivel delossalarios(enestecasoelgrficosedenominadientes de sierra). Los salarios se mantienen constantes por un cierto tiempo (3 meses,6 meses, 12 meses) y luego pegan un salto igual al aumento recibido por los trabajadores. Laslneasverticalesqueunenlosescalonesnoson,estrictamentehablando,partedel grficodelafuncin,perosedibujanparamostrarlamagnitud delaumentoencada perodo.LasegundasueleutilizarseenEstadsticapararepresentardistribuciones acumuladas. En Economa, la poligonalpuedeutilizarsepararepresentarelingresoacumulado por las personas o los hogares. Si por ejemplo un trabajador gana $20 la hora normaly$40lahoraextra,entonceselingreso acumulado poreltrabajadorsegnel tiempo trabajado (t) es una poligonal que tiene la siguiente frmula: Y(t) = > +s s8 . 40 1608 0 . 20t si tt si tRecordemos algunas definiciones ya introducidas en el curso. -La funcinfes inyectiva si para todo x1 = x2 del dominio resultaf(x1) = f(x2)-La funcinf es sobreyectiva si para todo elemento del codominio hay al menos una preimagen en el dominio. -La funcinfes biunvoca o biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.-La funcinfes par si para todo x del dominio esf(-x) = f(x)-La funcinfes impar si para todo x del dominio esf(-x) = -f(x)Observaciones1. Si una funcin es inyectiva, entonces su grfico es cortado una sola vez por cada paralela al eje Ox.2. Si la funcin es sobreyectiva y el codominio es el conjunto de los reales, entoncesel grfico de la funcin se dibuja a lo largo de todo el eje Ox.3. Si la funcin es par, su grfico es simtrico respecto del eje Oy.4. Si la funcin es impar, su grfico es simtrico respecto del centro de coordenadas. Acontinuacinenunciamosalgunosresultadostilesparagraficarfunciones relacionadas con las funciones elementales. Relacin entre la grfica de y = f(x) y las grficas de funciones relacionadas y = f(x) + cLa grfica se desplaza hacia arriba a distanciac. y = f(x) - c La grfica se desplaza hacia abajo a distanciac. y = f(x - c) La grfica se desplaza hacia la derecha a distanciac. y = f(x + c)La grfica se desplaza hacia la izquierda a distanciac. y =- f(x) La grfica es simtrica respecto del eje Ox.y = f(-x) La grfica es simtrica respecto del eje Oy.y = c.f(x)conc>1La grfica se estira verticalmente, alejndose del eje Ox. y = c.f(x)conc 0}. Operaciones con funcionesDadasdosfuncionesfyg,esposibleobtenernuevasfuncionesapartirdelasoperacionesalgebraicas.Porejemplo,lafuncinsumadefygseobtienehaciendo corresponder a la abcisaxel resultado de la suma de las imgenes segnf yg.f+gx[f+g](x) = f(x) + g(x)Eldominiodelafuncinsumadependedelosrespectivosdominiosdelasfuncionessumandos.Elsiguienteesquemamuestralasrestricciones queesnecesario imponer al dominio en cada operacin para que el resultado siga siendo una funcin. OPERACIN FUNCIN DOMINIOSuma y = f(x) + g(x) D(f) D(g)Resta y = f(x) g(x) D(f) D(g)Producto y = f(x).g(x) D(f) D(g)Cociente y = f(x) / g(x) D(f) D(g) {x: g(x) = 0} Potencia y = [f(x)]kD(f)Inversa de la funciny = 1 / f(x) D(f) D(g) {x: f(x) = 0} Exponencial y = ef(x)D(f)Logaritmo y = Lf(x) D(f) {x: f(x) > 0} Raz cuadrada y = ) (x fD(f) {x: f(x)0} Raz cbica y =3) (x fD(f)Potencial exponencial y = [f(x)]g(x)D(f) D(g) {x: f(x) > 0} Repartido Prctico 10: FuncionesEjercicio 1 Indicar si las siguientes funciones son o no inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.ElcodominioentodosloscasosesR(conjuntodelosnmerosreales),yeldominioD(f) se explicita en cada caso. a) f(x) = x D(f) = Rb) f(x) = x2D(f) = Rc) f(x) = exD(f) = Rd) f(x) = 1/x D(f) = R+e) f(x) =x D(f) = {x: x > 0} f) f(x) = (x 1)2D(f) = {x: x > 1} Ejercicio 2 Estudiar si las siguientes funciones son o no pares o impares. a) f(x) = xb) f(x) = x2c) f(x) = x2 + o.x + 1 (discutir segnoreal) d) f(x) = 1/xe) f(x) =xf) f(x) =42+ xg) f(x) = 2xeEjercicio 3 Sea la recta de ecuacin: (r) y = 2.x + 2. a) Mostrar que la recta pasa por el punto(1,4). b) Hallar la ecuacin de la recta paralela a (r) que pasa por el punto (1,3) y representarla en un mismo grfico junto con (r). c) Hallar la ecuacin de la recta perpendicular a (r) que pasa por (1,4). d) Hallar las ecuaciones del haz de rectas que pasan por (1,4). Ejercicio 4 a) Hallar la ecuacin de la parbola que corta al eje Ox en los puntos (1,0) y (2,0)y tiene su vrtice en el punto(3/2, -1/2). b) Hallar la ecuacindelaparbolaquecortaalejeOxenlospuntos(-1,0)y(1, 0) y corta al eje Oy en el punto (0, 2). c) Hallar la ecuacin de la parbola con foco en (1,1) y vrtice en (1,0). d) Dibujar aproximadamente los grficos de las tres parbolas. Ejercicio 5 a) Hallar la ecuacin de la circunferencia con centro en (0,0) y radio 2. b) Hallar la ecuacin de la circunferencia con centro en (1,1) y radio 1. c) Dibujar aproximadamente los grficos de las dos circunferencias. Repartido Prctico 10: FuncionesEjercicio 6 Hallar la representacin grfica aproximada de las funciones: (a) y = f(x) + c (conc>0) (b) y = f(x + c) (conc>0) en los siguientes casos. 1. f(x) = x2. f(x) = x23. f(x) = 1/x4. f(x) =x5. f(x) = ex6. f(x) = Lx7. f(x) = |x|8. f(x) = |x| - xEjercicio 7 Hallar la funcin inversa en cada uno de los siguientes casos. Si la inversa existeslo para una parte del dominio, calcular la funcin inversa restringiendo el dominio de f aR+. ExplicitarD(f--1) en cada caso. a) f(x) = 3.x 3b) f(x) = exc) f(x) =xd) f(x) = x2 1 e) f(x) = x/(x 1)Ejercicio 8 Hallarg[f(x)]yexplicitareldominiodelafuncincompuestaencadaunodelos siguientes casos. 1. g(x) = x2 + 2.x + 1 f(x) = x 12. g(x) = x2f(x) = 1/x3. g(x) = Lxf(x) = ex4. g(x) = xf(x) = x211.LMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONESElconceptodelmitedeunafuncin(f)enunpunto(x=a)refiereal comportamiento del grfico en las vecindades, en un entorno reducido centrado en dicho punto. Qu comportamiento podra tener el grfico defen un entorno de x = a?(A)(B)(C)f(x)f(x) b+2 f(x)bb-1 bb a aa(D)(E) (F)f(x) f(x) f(x)b aa a(G)(H) (I) f(x) f(x) f(x)a aa(J) f(x)a En qudifierenlosgrficosprecedentesenrelacinaloqueocurreenlasvecindades de de x=a?En algunos de ellos el puntox=ano es parte delD(f). A B CD E F G H IJMarcarlosconuna cruz. En algunos de ellos elD(f)excluye un entorno o un entorno reducido centrado en a. A B CD E F G H IJMarcarlosconuna cruz. EnalgunosdeelloselD(f)excluyelosvaloresdexenunsemientornoreducido(a izquierda o a derecha) centrado enx=a. A B CD E F G H IJMarcarlosconuna cruz. En algunos de ellos los valores def(x)en un entorno reducido de centro a difieren entre s tan poco como se desee, a condicin de reducir los suficiente el radio del entorno. A B CD E F G H IJMarcarlosconuna cruz. En algunos de ellos el grfico de la funcin se puede dibujar sin levantar el lpiz al pasar porx=a. A B CD E F G H IJMarcarlosconuna cruz. En algunos de ellos los valores def(x) en un entorno reducido de centro a difieren tanto como se quiera, aunque se reduzca el radio del entorno. A B CD E F G H IJMarcarlosconuna cruz. Definicin: Lmite finito de una funcin en un puntolmf(x) = b x a Ellmitedelafuncinfenelpuntox=aesb,sidadounentornopequeo centrado enb y de radioc (b,c), existe un entorno reducido de centroa(a,o), tal que para todos losxpertenecientes a este ltimo entorno, se cumple quef(x)pertenece al entorno centrado enb.Que el lmite de la funcinfen el puntox=aesbimplica quef(x)est tan cercano a b como se quiera, cuandoxse aproxima aasin tocar aa.Ejemplo 1: lm(2.x + 1) = 5porque existeotal que six X a,of(x) X b,c.x 2 Se puede probar la existencia delo? La respuesta es afirmativa. - c < (2.x + 1) 5 < c- c < 2.x 4 < c- c/2 < x 2 < c/2Entonces o = c/2, pues cuando x - 2< c/2 se cumple que (2.x + 1) 5< c.Ejemplo 2: Seaf(x) = 112xx. Qu pasa con la funcin enx=1? El punto x=1 no pertenece al dominio de la funcin. Sin embargo, se puede calcular el lmite de la funcin cuandoxseacercaa1.Obsrvesequesix=1, esf(x) =. 11) 1 ).( 1 (112+ =+ =xxx xxxEs decir, que salvo en x=1, la funcin se comporta como la rectay = x + 1. Por tanto:12 ) (=xx f lm,porqueenunentornoreducidodecentroa=1,losvaloresdextienen imgenes muy cercanas a b=2. Observaciones1. Segn la definicin de lmite en el punto x=a, lo que hay que saber es qu ocurre conlosvaloresdef(x)cuandolavariablexrecorrelospuntosdeun entornoreducido de centro a. Es decir, no importa lo que ocurre en el punto x=a, sino loque ocurre en los puntos vecinos a a.2. Podra ocurrir que f(a) = b, que f(a) = b tambin que x=a no sea parte del D(f). 3.Si:qu debera ocurrir con f(x) cuando vamos achicando el radio del entorno reducido de centro a y radio o? En tal caso, el entorno a xb x f lm= ) (b,c tambin sevaachicando.Enotraspalabras,cuandonosacercamosaaporizquierda y porderecha, los valores de f(x) se van acercando a b tanto como se quiera. 4. Por qu en el caso (B) no es?Porque no importa qu tan cerca de aestnlosvaloresdexunoporizquierdayotroporderechalosf(x)siempre estarn a una distancia mayor o igual que 3 del valor b.a xb x f lm= ) (5. Qu significa en la definicin que c es dado? Significa que c es un nmero fijo,arbitrariamente pequeo, pero fijo. Definicin: Lmite infinito de una funcin en un punto lmf(x) = + x a El lmite de la funcinfen el punto x=a es + , cuando f(x) > K (K arbitrario ytan grande como se quiera) cuando la variable x se acerca a a sin tocar a a.f(x) a Ejemplo: lmx1 = + x 0 De manera anloga se define el lmite - de una funcin en un punto. En este casoloqueocurreconlafuncinesqueenlascercanasdelpunto atomavaloresgrandes(envalorabsoluto)perocon signo negativo: f(x) < -H (con H positivo y arbitrariamente grande) cuando los valores de x se acercan a a.Definicin: Lmite lateralpor izquierda de una funcin en un punto lmf(x) = b x a-Ellmitedelafuncinfenelpuntox=a-es b, sidadounentornopequeo centradoen byderadioc(b,c),existe o tal que si0 < a x < o, entonces se cumple que: f(x)-bK,entoncessecumpleque:f(x) - b< c.Definicin: Lmite finito de una funcin cuando x - lmf(x) = b x - Ellmitedelafuncinf cuando x- es b,sidadounentornopequeo centradoen byderadioc(b,c), existe H tal que si x K (x < -H), entonces se cumple que:f(x) > L.Definicin: Lmite menosinfinito de una funcin cuando x lmf(x) = -x El lmite de la funcinfcuando x + (x - ) es -, si dado L (positivo yarbitrariamente grande), existe K (H) tal que six > K (x < -H), entonces se cumple que:f(x) < -L.lmf(x) = + lm f(x) = +x + x -LL K -H lmf(x) = - lm f(x) = -x + x - -H K-L-LPropiedades de los lmites de funciones Sean dos funciones, f y g, tales que: lm f(x) = b1ylm g(x) = b2donde o puede x o x oserunnmerofinito(a)oinfinito(+-).Entoncessecumplenlassiguientespropiedades.Lm [f(x) + g(x)] = b1 + b2Lm [f(x) - g(x)] = b1 - b2Lm [f(x) * g(x)] = b1 * b2Lm [f(x) g(x)] = b1 b2(si b2 = 0) Estas propiedades resuelven el problema de calcular el lmite de una suma, resta,etc., cuando ambos lmites son finitos. Pero, qu ocurre cuando el lmite de un sumando, porejemplo,esinfinito?Siunode los sumandostienelmitefinitoyelotrolmite infinito,entoncesellmitedelasumaesinfinito.Silosdossumandostienenlmite infinito y delmismosigno,entonceslasumatambintiendeainfinito,yconelmismo signo.Perosilossumandostienenlmiteinfinitoydediferentesigno,ellmitedelasumanopuedeobtenersecomounresultadogeneral,yhay queestudiarcasoporcaso. Resulta de mucha utilidad, para este propsito, la siguiente definicin. InfinitosDefinicin:Sedicequeunafuncinfesuninfinitocuando x+sise cumple que: lmf(x) = +.x +Entre los infinitos los hay ms lentos y los que ms rpidamente se disparan a valores altos.Infinito rpidoInfinito lentoDefinicin: Se dice que un infinito f es de mayor orden que otro g, si+ =xx gx fLm) () (Definicin: Se dice que un infinito f es de menor orden que otro g, si+ =xx gx fLm 0) () (Definicin: Se dice que dos infinitosfyg son equivalentes, si+ =xx gx fLm 1) () (Sepuededemostrarquelasumadeinfinitosdedistintoordenesequivalente altrmino de mayor orden. Si el lmite del cociente no es el nmero uno, sino otro nmero distinto de cero, entonces los dos infinitos son de igual orden. Un resultado importante: Ord (infinito log) < Ord (infinito potencial) < Ord (infinito exponencial)Entre dos infinitos potenciales por ejemplo, x2 y x5 el de mayor orden es el que tieneexponentemsalto.Aplicandoestasreglassepuedenresolvermuchosproblemas de lmites.Ejemplos1.x2+ex~exconx+.Esteresultadoexpresaqueelprimerinfinitoes equivalente al segundo. Por qu? Porque la suma de infinitos de distinto orden en este caso, unopotencialmsunoexponencialesequivalentealdemayororden.2.( )001 , 0100=xLxLm . En este caso tenemos el cociente de dos infinitos, unox +logartmico y otro potencial. Como el del numerador es de menor orden que el del denominador, el cociente tiende a 0. Aunque el lmite de la expresin tiende a 0, conviene observar que esta tendencia es muy lenta. Por ejemplo, parax=100, el cociente toma el valor2.1066 que es unnmero muy grande.3. = =+xxlmLx xLx xlm. 2 . 2 . x +4. Lm x.e-x = lm x/ ex = 0 x +Lmite de sucesionesLas sucesiones son un caso particular de funciones. Lo que tienen de particular es que su dominio no es el conjunto de los nmeros reales sino el conjunto de los nmeros naturales.Porejemplo,lasucesinf(n)=n2asocia a cada nmero natural su cuadrado. Lanotacinmshabitualesdelaformaan=n2obienbn=1/n.Enelprimercasola sucesin(lafuncin)hacecorresponder acadanaturalnsucuadrado,yenelsegundocasoacadanaturallasucesinlehacecorresponder suinverso.Enestoscasosnotiene sentidoestudiarellmiteenunpuntodeldominio, porque enunentornoreducidodel punto no hay funcin. El nico lmite que puede definirse es el caso en que n +. Laspropiedadesrelativasalordenyequivalenciadefuncionesengeneral,sonaplicables alcaso del lmite de sucesiones.Ejemplo: 2. 22 . 38 . 5 . 22222= = ++ nnlmn nn nLm , donde no es necesario anotar quen +, porque est sobreentendido. Algunas sucesionesdeusofrecuentesonlasprogresionesaritmticasylasprogresiones geomtricas.Progresiones aritmticas: son sucesiones donde cada elemento se obtiene del precedente adicionndole una constante llamada razn. La sucesin es de la forma: a1, a1 + k, a1 + 2.k, a1 + 3.k, Lacorrespondenciaconlosnaturalespuedehacerseapartirdeluno(comoenelcaso precedente) o tambin a partir del cero. En este caso la correspondencia es as: 0 a01 a1 = a0 + k 2 a2 = a1 + k = a0 + 2.k --- Obsrvesequeladiferencia entre dos elementosconsecutivosessiemprelaraznk. Tambinse cumple quean = an-1 + k n > 1, donde an se denomina trmino generalde lasucesin.Ejemplosdeprogresionesaritmticasson:elconjuntodelosnaturales(razn = 1),elconjuntodelosnmerosnaturalespares(razn=2)yelconjuntodelos naturales impares (razn = 2).Progresiones geomtricas: son sucesiones donde cada elemento se obtiene del precedente multiplicndoloporunaconstante,tambinllamadarazndelaprogresin.Lasprogresiones geomtricas tienen la forma: a1, a1.q, a1.q2, a1.q3, Aquelcocientededostrminosconsecutivos es siempre laraznqyeltrminogeneral es: an = an-1.q n > 1. El ejemplo ms conocido de progresin geomtrica es el conjunto de las potencias de 2: 20, 21, 22, 23, La fama de esta progresin resulta de la ancdotaquecuentaqueelShadePersiaquisopremiaralinventordelajedrez con elregalo que stequisieraelegir.El inventorpidiungranodetrigo(20)porelprimer escaque del tablero de ajedrez, dos granos (21) por el segundo escaque, cuatro granos (22)por el tercero y as hasta completar el escaque 64 por el que pidi 263 granos de trigo. ElSha mand al jefe de los graneros reales que pagara inmediatamente el premio, pero ste le hizo saber que seran necesarias muchas cosechas anuales para cumplir con el pedido, porque la suma de20 + 21 + 22 + 23 + + 263 granos de trigo que es igual a (264 1) es un volumen superior al del Monte Everest.LasprogresionesfueronutilizadasporeleconomistainglsThomasMalthus(1766-1834) en su famosaleyporlacuallapoblacincrecesegnunaprogresingeomtrica(deraznmayorqueuno) mientrasquelosalimentoscrecensegnuna progresinaritmtica.SegnMalthus,lanicaforma de evitar las hambrunas seramediante el control de la natalidad.Otra sucesin conocida, principalmente por su relacin con el arte y la naturaleza,es la sucesin de Fibonacci. Tambin en este caso el trmino general de la sucesin estrelacionadoconlostrminosprecedentes. La sucesindeFibonacci(1175-1250)se define as: a1 = 1 a2 = 2 an = an-1 + an-2 n > 2 Aplicando la frmula del trmino general se obtiene: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, , sucesin que tiene las siguientes propiedades. 1. Lm an= +2. an es creciente.3.Sisedefinebn= 1 + nnaa,entonceslmbn ~0,618=|,lmiteconnombrepropioenmatemtica porque los nmeros |, 1, 1, 1+| estn en proporcin. Se cumple que: | / 1 = 1 / (1+|)o tambin|.(1+|) = 1 La relacin entre | y 1 o bien la relacin entre 1 y 1+| se conoce como relacin urea. La fama del nmero | deriva del hecho que, para el ojo humano, las figuras rectangularesquetienenporanchoylargonmerosproporcionalesa|y1oa1 y 1+|,sonlosms agradablesofcilesdecaptar.Poresolaspostalessuelentenermedidas10x 16 y lasfotoscomunes 9 x 15 aproximadamente.4. Si se genera una figura abierta en forma de espiral cuyos lados son los elementos de la sucesindeFibonacciyseinscribeenellaunacurva,seobtienelaespirallogartimica,considerada de las ms bellas curvas matemticas.5. El nmero | vuelve a aparecer al calcular la diagonal de un rectngulo de ancho mitaddel largo. El cocientede la diferencia entre (digonal ancho) y largo, resulta igual a |.D2 = A2 + (2.A)2D = 5 .A D2.A| =618034 , 021 5. 2. 5. 2~==AA AAA DA InfinitsimosDefinicin: Se dice que una funcinfes un infinitsimo cuandox +si se cumple que: lmf(x) = 0.x +Tambin entre los infinitsimos los hay ms lentos y ms rpidos, pero la lentitudorapidezrefierealavelocidadconqueseacercana0.Porejemplo,1/x2tiendeacero ms rpido que 1/x.Tambinsepuedenestablecerreglassobreel orden delos infinitsimos. Cuando x +:Ord (infinitsimo potencial) < Ord (infinitsimo exponencial)Por ejemplo: ord(x-1/2) < ord(1/x) < ord(1/x2) < ord(1/x3) < ord(e-x).Tambinsepuedendefinirinfinitsimoscuandox 0.Sonejemplos deinfinitsimos en este caso: x , x, x2, x3, 1 ex, L(1+x), pues todos ellos tienden a cero cuando x 0. En el caso de los potenciales, el orden crece con el exponente.La equivalencia se define en los mismos trminos que la equivalencia de infinitos.Pero en el caso de la suma de infinitsimos de distinto orden, la suma es equivalente al de menor orden (obsrvese la diferencia con la propiedad en infinitos), y esto es as, porque elms lentoenlentecelasuma.Sepuededemostrarquelosinfinitsimos(1ex)yL(1+x) son equivalentes del infinitsimo x, cuando x 0. Los lmites tipo Comoconsecuenciadelaltimapropiedadenunciadamsarriba,ydeotras propiedades, se tienen los siguientes resultados tipo. ( )0 1 )0 11)0 1) 1 ()0 1 )11 )1 = = =+ = ++ =|.|

\|++x cuandoxx senLm ex cuandoxeLm dx cuandoxx LLm cx cuando e x Lm bx cuando exLm axxxEjemplo: 02. 2 ) 1 ( . 2 ) 1 ( . 222222 32 2 ==+=+ +xxxlmxx Llmx xx L xLmLosargumentospararesolveresteejemplosonlaequivalenciadelasumade infinitos (por ejemplo, x3 x2~ - x2) y una propiedad que permite extender los resultadosdeloslmitestipocuandox 0sustituyendoalinfinitsimoxporotro infinitsimo.En este ejemplo, dado que L(1 + x) ~ x, la aplicacin de la propiedad permite afirmar queL(1 + x2) ~ x2.El ltimo de los lmites tipo no ser utilizado en el curso porque hemos optado pordejardeladolasfuncionestrigonomtricas.Sinembargo, por suvalordidctico,lo habremos de aplicar en el siguiente ejemplo1.Considrese un polgono regular inscrito en una circunferencia de radio r = 1. rNos interesa calcular el rea del polgono inscrito y observar lo que ocurre cuando aumentaelnmerodelados.Esintuitivoqueelreaaumentaamedida que aumenta elnmero de lados del polgono. Qu ocurre con el rea del polgono si hacemos tender a +elnmerodelados?Ellmitedelreade lospolgonos,cuandoelnmerodelados tiendea+,deberacoincidirconelreadelcrculo,t.r2, tenestecaso.Vamosa demostrarlo.1 Este ejemplo puede ser omitido en una primera lectura.Supongamosqueelpolgonotienen lados, yquelamedidadelladoesL.El polgono no es otra cosa que la unin de n tringulos de la forma: 1 1 h LEl rea del tringulo se puede expresar en funcin de su altura (h) y de la base. A suvez,podemoscalcularlaalturadeltringuloenfuncin deL.Lamitaddeltringulotiene un ngulo recto y, por tanto, se puede aplicar el teorema de Pitgoras.h 1L/2Por Pitgoras: h2 + (L/2)2 = 12. Entonces: h2 + L2/4 = 1. Entonces: h =4 / 12L .Resulta que el rea del medio tringulo es: (L/2* 4 / 12L )/2, el rea del tringulo es L/2* 4 / 12L y el rea del polgono esn* L/2* 4 / 12L .Existealgunarelacinentreny L?Porejemplo,sabemosquesi el polgonoinscritoesunhexgono(n=6)elladomide1.Perosinesunnaturalcualquiera,larelacinentrenyLesunpocomscomplicada.Sihay n lados en el polgono,entonceshayntringuloscuyonguloalcentromide360/n o lo que es lo mismo enradianes, 2.t/n. Por tanto, el medio tringulo tiene ngulo al centroo = t/n.oh 1L/2Pordefinicin:seno= |.|

\|= = |.|

\| = =nsen LLnsenL Lhipotenusaopuesto cateto t t. 22 2 12 /.Esta es la relacinentreLyn.Ahorapodemosexpresarelreadelpolgonoexclusivamente en funcin de n. rea del polgono = |.|

\||.|

\|= |.|

\| =((

|.|

\|n nsen nnsennsen nnsennsennt t t tt tcos * * 1 * *4. 21 *2. 2*22Qu ocurre con el rea del polgono cuandon +? Ocurre que t/n tiende a 0, tambinsen(t/n) tiende a 0, cos(t/n) tiende a 1, y por lmites tipo se cumple que:01=|.|

\|nnnsenLmtttPor tanto:01 *=|.|

\|nnsennLmtttEn consecuencia:0*=|.|

\|nnsen n LmtttY finalmente: Lm tt t= |.|

\||.|

\|n nsen n cos * * , que era lo que queramos probar. ContinuidadRecordamos que entrelosejemplosinicialesdeestaseccinnosinteresidentificar aquellos casos en que el grfico de la funcin se puede dibujar sin levantar el lpiz al pasar porx=a. Ahora vamos a centrar nuestro inters en este concepto. Definicin: Se dice quefes una funcin continua en el punto x=a si se cumple que lmf(x) = f(a). x a Qu tiene que ocurrir para que una funcin sea continua en el punto x=a? Tienen que ocurrir tres cosas: primero, que exista el lmite de la funcin en el punto, segundo, el puntodebeperteneceraldominiodef,esdecir,f(a)esunnmero,yentercerlugar, deben coincidir el lmite en el punto con el valor funcional. Por tanto, una funcin no es continua en el punto x=a si el punto no pertenece al dominiodelafuncin,sinoexisteellmitedelafuncinenelpunto,porejemplo, porque los lmites laterales son diferentes o porque no existe uno de los lmites laterales. Cuando una funcin no es continua en un punto, se dice que es discontinua.Indicarenculesdelosejemplosdeliniciodeestaseccin,lafuncinfes discontinua.A B CD E F G H IJMarcarlosconuna cruz. Definicin: Se dice quefes una funcin continua en el punto x=a- si se cumple que lmf(x) = f(a). En tal caso se dice que la funcin f es continua lateralmente porizq. x a-Definicin: Se dice quefes una funcin continua en el punto x=a+ si se cumple que lmf(x) = f(a). En tal caso se dice que la funcin f es continua lateralmente por der. x a+Revisandolasdefinicionessededucequesiunafuncinescontinuatambines continualateralmenteporizquierdayporderecha.Tambinpuedeasegurarseel recproco:siunafuncineslateralmentecontinuaenunpuntoporizquierdaypor derecha,entoncesescontinuaenelpunto.Tambinsepuedehablardediscontinuidadlateral.Indicarenculesdelosejemplosdeliniciodeestaseccin,lafuncinfes continua por izquierda. A B CD E F G H IJMarcarlosconuna cruz. Indicarenculesdelosejemplosdeliniciodeestaseccin,lafuncinfes continua por derecha. A B CD E F G H IJMarcarlosconuna cruz. Cuandoenunpuntoloslmiteslateralesdela funcin son iguales y finitos, pero no coinciden con el valor funcional o ste no est definido, se dice que la discontinuidad en el punto es evitable.Indicar en cules de los ejemplos del inicio de esta seccin, la funcin f presenta una discontinuidad evitable. A B CD E F G H IJMarcarlosconuna cruz. Cuando en un punto los lmites laterales de la funcin son finitos y diferentes,se dice que la funcin presenta en el punto una discontinuidad con salto finito.Indicar en cules de los ejemplos del inicio de esta seccin, la funcin f presenta una discontinuidad con salto finito. A B C D E F G H I J Marcarlosconuna cruz.Cuandoenunpuntounodelos lmites laterales de la funcin es infinito, se dice que la funcin presenta una discontinuidad con salto infinito.Indicar en cules de los ejemplos del inicio de esta seccin, la funcin f presenta una discontinuidad con salto infinito. A B C D E F G H I J Marcarlosconuna cruz.Definicin:Sediceque f es una funcincontinuaenelintervalo(a,b)sies continua en cada punto del intervalo abierto (a, b). Definicin: Se dice quefes una funcin continua en el intervalo cerrado [a, b]si es continua en cada punto del intervalo abierto (a, b), es continua en x=a por derecha yes continua en x=b por izquierda.Entonces,unafuncinescontinuaenunintervalocerradosielgrfico de lafuncin en dicho intervalo se dibuja sin levantar el lpiz.(I) (II) (III)f f f a babab (I) f es continua en (a, b) y en [a, b].(II) f es discontinua en (a, b) y en [a, b].(III) f es continua en (a, b) pero es discontinua en [a, b].Quocurreconlapropiedaddecontinuidad en unintervaloabiertoocerrado cuando se opera con funciones? La propiedad de continuidad se extiende sin dificultad a lasuma,restaymultiplicacindefunciones.Enelcasodeladivisin,radicacinylogaritmacinsepresentanalgunasdificultades.Enelsiguientecuadrose presentan losresultadosmsimportantes.Dondeaparecelaexpresin intervalocerradopuede sustituirse por intervalo abierto y la propiedad enunciada sigue siendo vlida. Seanfygdos funciones continuas en el intervalo [a, b]. Entonces: a) La suma(f + g) es una funcin continua en el intervalo [a, b].b) La resta(f - g) es una funcin continua en el intervalo [a, b].c) La multiplicacin (f* g) es una funcin continua en el intervalo [a, b].d) El cociente (f / g) es una funcin continua en el intervalo [a, b] si g(x)=0 en [a, b].e) Las funcionesefyegson funciones continuas en el intervalo [a, b].f) La funcin fes una funcin continua en el intervalo [a, b] si f(x) > 0 en [a, b].g) La funcinL(f) es una funcin continua en el intervalo [a, b] si f(x) > 0 en [a, b].Definicin: Mximo (o mximo absoluto) de una funcin en un intervalo [a, b] esel mayor valor que toma la funcin al recorrerxtodos los valores del intervalo. Se llama punto de mximo al valor de xdondefpresenta un mximo absoluto.Definicin: Mnimo (o mnimo absoluto) de una funcin en un intervalo [a, b] es el menor valor que toma la funcin al recorrerxtodos los valores del intervalo. Se llamapunto de mnimo al valor de xdondefpresenta un mnimo absoluto.Dadaunafuncinenunintervalocerrado,siempreexistenelmnimoyel mximo?Larespuestaesnegativa. Sin embargo,silafuncinescontinuaendicho intervalo,larespuestaesafirmativa,yeste importanteresultadoeselqueseenunciaa continuacin.TeoremadeWeierstrass:Todafuncincontinuaenunintervalocerradotiene mnimoymximoabsolutos(elteoremanoesciertosielintervaloes abierto, como loprueba el ejemplo III).Queelgrficodeunafuncincontinuaen un intervalocerradosepuededibujar sin levantar el lpiz es otra forma de enunciar el siguiente teorema.TeoremadeDarboux:Siunafuncinescontinuaenunintervalocerrado, entonces la funcin toma, por lo menos una vez, todos los valores comprendidos entre el mnimo y el mximo absolutos.Esteteoremaproporcionaunmtodoparaaproximar racesrealesenelcasode funcionescontinuas.Porejemplo,la funcinpolinmicaP(x)=x43.x+1tomalos valoresP(1) = -1yP(2) = +11. Como los polinomios son funciones continuas para todo xreal,Pestambinunafuncincontinuaenelintervalo[1,2].Msadelantedemostraremos que P es una funcin que crece en el intervalo [1, 2]. En consecuencia, en x=1 la funcin presenta el mnimoabsoluto(-1)yenx=2presentaelmximoabsoluto(+11),yporelTeoremadeDarboux lafuncinpasaportodoslosvaloresintermedios entre -1 y +11. En particular, la funcin toma, en algn punto del intervalo, el valor 0. Por tanto, en el intervalo [1, 2] el polinomio tiene una raz. El Teorema no asegura que hayauna sola raz en el intervalo, afirma que hay por lo menos una.Repartido Prctico 11.1: Lmites de funciones Ejercicio 1 Calcular los siguientes lmites de funciones.1. Lm(3.x2 + 2.x +1) x -1 2. Lm5xx 2 3.Lm11+xxx 2 4. Lm (x + 3).ex+2x -1 5. Lmx2 x + Lxx 1 6. az(x)7. LmRaz(x)8. LmRaz(x)x 0+Lm Rx 4 x 0 9. Lm1/xx 0+10. Lm1/xx 0-11. Lm1/xx 0 2112. Lm x+ xx 2+21213. Lm x xx 2 2 + 4.x + 4)/(x + 2) 14. Lm(x x -2Repa tido P r rctico 11.1: Lmites de funciones t.) Ejercicio 1 (con15. Lm2.x2 + 2.x + 3 x 2.x + 1 6. Lm2x +1x2 + 3.xx + 5 x +17. LmxLxx +2xLx18. Lmx +132+ xx19. Lmx +132+ xx20. Lmx -21. Lm L(x2 + 1) )x -22. Lm L(1 + 1/x2x -23. Lmx 4/xx +24. Lmx 4/xx -13 + x25. Lm+ xx + +1/x 26. Lm(x )xx +27. LmL(1+x)xx 0Repartido Prctico 11.1: Lmites de funciones jercicio 2 i existeellmitedelafuncin a ycuandox a , y en caso afirmativo, indicar su alor.1 CASOCASO cb f(a) = a aASO 4 CASO 5 CASO a a aASO 7 CASO 8 CASO 9a)=ba aa ASO 0 11 CASO 12b b a a EEncadaunodelosgrficos que siguen indicar s+ -cuandox a, cuando cuandoxvCASO 2 3bb da C 6cb b bCf( bC 1 CASOaRepartido Prctico 11.1: Lmites de funciones Ejercicio 3 Calcular el lmite, cuandon +, de las siguientes sucesiones. 1. f(n) = 1 + n12.f(n) =1122+nn3. f(n) = n2 n4. f(n) = n2 n.Ln5. f(n) = n.e-n6. f(n) = n n7. f(n) = n n 38. f(n) =L(n2 5n +1) L(n2 + 4n + 1) 9. f(n) =nn|.|

\|+1110. f(n) =1 221+|.|

\|+nnRepartido Prctico 11.2: Continuidad de Funciones Ejercicio 1 Con relacin a los 12 casos del Ejercicio 2 del Repartido 12 de Lmites, estudiar lacontinuidad y la continuidad lateral de la funcin del grfico enx = a. Ejercicio 2 Estudiar la continuidad de la funcin del grfico en los intervalos (a, b)y[a, b]en cada uno de los siguientes casos. CASO ACASO BCASO CCASO D xx xx x x x xa bab a ba b CASO E CASO F CASO G CASO H x x x xx a a babb ab CASO I CASO J CASO K CASO L x x x xxx x ab a baba b Repartido Prctico 11.2: Continuidad de Funciones Ejercicio 3 Estudiarlacontinuidady lacontinuidadlateralentodoeldominiodelas funciones elementales: . , , , ,2Lx e x x xxEjercicio 4 Estudiar para todo x real la continuidad de las siguientes funciones. a) f(x) = x2 4 b)f(x) =242+xxc) f(x) =

\| = =+2 42242x six sixxd) f(x) = 42 xe) f(x) =31xxf) f(x) = L(x2 4) Ejercicio 5 Estudiar la continuidad de las funciones que siguen en el intervalo[1, 2].a) f(x) = x2 9 b)f(x) =242+xxc) f(x) =29 x d) f(x) = L(4 x2)12. DERIVACIN YDIFERENCIACIN.INTERPRETACINGEOMTRICADELADERIVADA.REPRESENTACINGRFICADEFUNCIONES.MONOTONA, EXTREMOS Y CONCAVIDADES.En estaseccinseintroducendosconceptosclavesparaelestudiodelas funciones: derivada de una funcin en un punto y funcin derivada.Optamosporintroducirelprimerconceptoapelandoalainterpretacingeomtrica, para luego presentar la definicin analtica.Queslatangenteaunacurva en un punto?Silacurvaesunacircunferencia, entonces latangentealacircunferenciaenunpuntoeslanicarectaquepasaporese punto y toca a la circunferencia slo en ese punto. r2r1SP r2 no es tangente a la circunferencia en P, porque la corta en dos puntos (P y S). r2esunacuerdadelacircunferencia. r1eslatangenteenP.QusucedesielpuntoSse mueve en la direccin de P, y ste permanece fijo? A medida que S se acerca a P, la rectar2 se acerca a la posicin de r1, de tal forma que cuando S coincide con P, entonces r2 se superpone con r1.Consideremos ahoraelgrficodeunafuncin(lacircunferencianoeselgrficode ninguna funcin). r2r1f(x) r3PxPor el punto P pasan muchas rectas que cortan el grfico de la funcin en un solo punto.EstamosinteresadosenencontrarunarectaquecortealgrficoenPperoque, adems, se parezca al grfico en las vecindades de P tanto como sea posible. Tal rectaes,enlafigura,r1.Paraencontrarlafrmulaanalticader1vamosaconsideraruna cuerda de la curva que pase por P (tal como hicimos en el caso de la circunferencia).f(x) r2f(a + h)S f(a)Paa + h xLas coordenadas de los puntos sonP = (a, f(a))yS = (a + h, f(a + h)) donde h esunavariablequenodependedea(elpuntoPestfijoyportanto aestambinun nmero fijo). La diferencia entre las abcisas de los dos puntos esh = (a + h) ay esta diferencia en las abcisas origina una diferencia de ordenadasf(a + h) f(a). En el grficode la figura se ha tomadoh > 0, perohpuede ser negativa si se elige el puntoSa la izquierda del punto P. Hagamos tender el punto S hacia el punto P, con lo que la rectar2tender hacia la posicin de la tangente a la curva en el punto P. Se observa que para que S tienda a P alcanza con queh 0. Cul es la ecuacindelarectar2?Eslaecuacindelarectaquepasapordos puntos:Ecuacin de r2: ) ( ) ( *) () ( ) (a f a xa h aa f h a fy + + +=Cuando h 0,r2tiende a la posicin de la tangente a la curva por P: Ecuacin de la tangente a la curva en P:) ( ) *() ( ) ([ a f a xha f h a fLm y + + += ] h 0 Entonces,laexpresinha f h a fLm) ( ) ( +cuandoh0eselcoeficienteangular de la recta tangente a la curvafen el punto P. Definicin: Se llama derivada en el punto x=a de la funcin f, y se anota f (a), alresultado de la expresinha f h a fLm) ( ) ( +.h 0 Observaciones1. Nosiempreexisteladerivada de lafuncinenunpunto.Ellodependedela existencia del lmite que define f (a).2. Siexistef(a),entoncesf(a)eselcoeficienteangulardelarecta tangente a lacurvafenelpuntodeabcisax=a. Entalcaso,laecuacindelatangentese puede escribir as: y = f (a)*(x a) + f(a). 3.La expresinha f h a f ) ( ) ( + es un cociente (denominado cociente incremental)cuyo denominador es un infinitsimo cuandoh 0. Entonces, para que el lmitededichaexpresin sea un nmerofinito,elnumeradortambintienequeserun infinitsimo del mismo orden que h o de orden superior. Entonces, Lm [f(a + h) f(a)] = 0 cuando h 0 que es lo mismo que afirmar queLm f(x) = f(a) cuando x a, que es la definicin de funcin continua en el punto x=a. En otras palabras, paraqueexistayseafinitaladerivadadelafuncinenun punto, es condicinnecesaria que la funcin sea continua en dicho punto. 4. Cuandoha f h a fLm) ( ) ( + = , la interpretacin geomtrica es que en el punto h 0 de abcisa x=a no hay tangente a la curva y el grfico tiende a comportarse como larecta x = a. 5. Cuando el lmite de la expresin no existe, entonces la curva no tiene una tangenteen elpuntox=a.Sinembargo,bienpodranexistirloslmiteslateralescuando h0+y cuando h0-. En este caso la curva tiene tangentes laterales diferentes aizquierda y derecha del punto x=a. r1 r1r1aaaa ha f h a fLm) ( ) ( +=h 0 + - f (a-)sih 0-f (a) no existef (a-) = f (a+)f (a) no existeTangentex = ax = atg en a-)r1tg laterales: r1 y r2Cuando existen y son finitos los ha f h a fLm) ( ) ( + cuando h 0+ y h 0-, se dice queftiene en x=a derivadas laterales. Una condicin necesaria para la existenciade f (a) es que existan f (a-)y f (a+) y que sean iguales. Cuando f (a-)y f (a+) existen,son finitos y distintos, se dice que la curvafpresenta en x=a un punto anguloso.Ejemplo: Considrese la funcinf:f(x) = x2. Se quiere calcular, si existe, f (2). 0 0 0 0. 4 ) 4 (. 4 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 () 2 ( '2 2 2 = + =+= += +=h h h hh lmhh hlmhhlmhf h flm fEntonces f (2) = 4. Cul es la interpretacin geomtrica de este resultado? La tangentea la curvay = x2en el punto x=2 tiene coeficiente angular igual a 4. y = x2 tg4 2 Latangentetienecoeficienteangular4ypasaporelpunto(2,4).Portanto,la ecuacin de la tangente a la curva en el punto x=2 es: y = 4.x 4Definicin:Sellama derivadadelafuncinf(notacin:fobien xfcc)auna funcin que a cada punto del dominio defle hace corresponder el valor de la derivadaen dicho punto. f : x f (x)Ejemplo: Considrese la funcinf:f(x) = x2. Se quiere calcular f (x).0 0 0 0. . 2 ) . 2 (. . 2 ) ( ) ( ) () ( '2 2 2 = + =+= += +=h h h hx x h lmhh x hlmhx h xlmhx f h x flm x fCon el mismo argumento se puede demostrar que si f(x) = x3, entonces f (x) = 3.x2y ms en general, que si f(x) = xm, entonces f (x) = m.xm-1.Ya sabemos derivar un monomio. Cmo se hace para obtener la derivada de una funcinpolinmica?Necesitamossabercmoseobtieneladerivadadeuna suma defuncionesyladerivada delproductodeunafuncinporunaconstante.Parahallarla derivada de funciones cualesquiera, se pueden aplicar los siguientes mtodos: I)Utilizandoladefinicindefuncinderivada,mediantelmites.Asseobtienenlas derivadas de las funciones elementales que aparecen en la tabla ms abajo.II) Utilizando una tabla de derivadas III)Utilizandolasreglasdederivacinparaoperacionesconfunciones yparafunciones compuestas.Reglaspara la derivacin Derivada de una suma de funciones:| | ) ( ' ) ( ' ' ) ( ) ( x g x f x g x f + = +Derivada de una resta de funciones: | | ) ( ' ) ( ' ' ) ( ) ( x g x f x g x f = Derivada de una constante por una funcin:[K.f(x)] = K.f (x)Derivada de un producto de funciones: | | ) ( ' ). ( ) ( ). ( ' ' ) ( ). ( x g x f x g x f x g x f + =Derivada de un cociente de funciones:) () ( ' ). ( ) ( ). ( ') () (2'x gx g x f x g x fx gx f =((

Derivada de un logaritmo neperiano: | |) () ( ') ('x fx fx Lf =Derivada de una exponencial de base e: | | ) ( ' .) (') (x f e ex f x f=Derivada de una raz cuadrada: | |) ( . 2) ( ') ('x fx fx f =Derivada de una funcin de funcin: | | { } | | ) ( ' . ) ( ' ' ) ( x g x g f x g f =Derivada de la derivada = Derivada segunda = f (x) = [f (x)] Tabla de derivadas elementalesf(x) f (x)K 0x 1x22.xx33.x2xmm.xm-11/x -1/x2xx . 21exexaxax.LaLx 1/xL|x| 1/xAplicandolastresprimerasreglasylafrmulaparaladerivadadexmsepuede calcular la derivada de cualquier funcin polinmica. Las dos primeras reglas establecen que la derivada de una suma es la suma de las derivadas, y que la derivada de una resta es larestadelasderivadas.Elproductoyladivisindefuncionesnotienenestasencilla propiedad.Aunque resulte obvio, para que exista la derivada de una suma (de una resta o de un producto) deben existir las derivadas de los sumandos (del minuendo y el sustraendo o delosfactores,respectivamente).Enelcasodeladerivadadeuncocienteodeuna funcincompuesta,esnecesarioimponercondicionesadicionalesaladerivabilidadde numerador y denominador o de las funciones que intervienen en la composicin. Ejemplo: Hallar la derivada de la funcin polinmica P(x) = 3.x4 + 2.x3 .x2+ 8 P (x) = 3.(4.x3) + 2.(3.x2) .(2.x) + 0 = 12.x3 + 6.x2 x Quesladerivadasegundadeunafuncin?Esladerivadadelafuncin derivada. Notacin: f (x) = [f (x)]. Ejemplo: P(x) = 3.x4 + 2.x3 .x2+ 8 P (x) = 12.x3 + 6.x2 x P (x) = 12.(3.x2) + 6.(2.x) 1 = 36.x2 + 12.x 1 Aplicacin de las derivadas para el estudio grfico de funciones En el estudio analtico y representacin grfica de funciones interesa conocer: - el dominio de existencia de la funcin - la continuidad de la funcin - las races de la funcin, es decir, el conjunto solucin de la ecuacinf(x) = 0 - los lmites laterales en los puntos donde hay discontinuidad - el comportamiento (asinttico o no) de la funcin cuandox - los intervalos de monotona de la funcin (intervalos donde f crece o decrece) - la existencia de extremos relativos (mximos y mnimos relativos) - la existencia de extremos absolutos - la forma de la curva en cada intervalo: concavidad y convexidad - la existencia de puntos de inflexin- la existencia de puntos donde no existe la tangente a la curva. En Economa las variables ms usuales son no negativas1 (por ejemplo, precios y cantidades). Entonces, buena parte de los problemas a estudiar tienen la restriccinx > 0, esdecir,eldominiodelafuncinincluyeslovaloresnonegativosyelgrficose concentraenunsemiplano,ymuchasveces,enelprimercuadrantedelpardeejes cartesianosortogonales.Adems,lospreciosylascantidadesnopuedencrecer indefinidamente,porloqueenEconomaellmf(x)cuandox+presentapoco inters. Los problemas en los que nos vamos a concentrar principalmente son: identificar 1 Excepciones a esta regla son las variables que miden la utilidad monetaria en las empresas o las que miden variaciones peridicas.intervalosdemonotonayestudiarlaeventualexistenciadeextremos,relativosy absolutos.Pararesolverestosproblemas,elconceptodefuncinderivadaresultamuy til.MonotonaSi para todo x1yx2,x1 f(x2), entoncesf es decreciente en sentido amplio en [a, b] -f(x1) > f(x2), entoncesf es estrictamente decreciente en [a, b] Una funcin es montona (creciente o decreciente) en un intervalo cuando cumple conalgunadelascuatrodefinicionesanteriores. En el primer caso, por ejemplo, se dice quefes montona creciente en sentido amplio.Extremos absolutos Mximo(omximoabsoluto)deunafuncinenunintervalo[a,b]eselmayor valor que toma la funcin al recorrerxtodos los valores del intervalo. Se llama punto de mximo al valor de xdondefpresenta un mximo absoluto.Mnimo(omnimoabsoluto) deunafuncinenunintervalo[a,b]eselmenor valor que toma la funcin al recorrerxtodos los valores del intervalo. Se llama punto de mnimo al valor de xdondefpresenta un mnimo absoluto.Extremos relativos La funcinfpresenta unmximo relativo (en sentido amplio) enx = asi existe unentornodeaderadio o,talqueparatodoxpertenecientealainterseccindelentorno con el D(f) esf(x) s f(a). La funcinfpresenta unmximo relativo (en sentido estricto) enx = asi existe unentornodeaderadio o,talqueparatodoxpertenecientealainterseccindel entorno con el D(f), x = a, esf(x) < f(a). La funcinfpresenta unmnimo relativo (en sentido amplio) enx = asi existe unentornodeaderadio o,talqueparatodoxpertenecientealainterseccindelentorno con el D(f) esf(x) > f(a). La funcinfpresenta unmnimo relativo (en sentido estricto) enx = asi existe unentornodeaderadio o,talqueparatodoxpertenecientealainterseccindelentorno con el D(f), x = a, esf(x) > f(a). Aplicacin de las derivadas Vamosasuponerporunmomentoqueenelintervalodondeinteresaestudiarla funcin, [a, b] [a, +), existe la derivada en todo el dominio de la funcin. Entonces, se tienen los siguientes resultados: - f es montona creciente en un intervalo, si f es positiva en dicho intervalo - f es montona decreciente en un intervalo, si f es negativa en dicho intervalo - f presenta unmnimorelativoenx=o,sisecumpleque:f(o)=0,elsignodefes negativo a la izquierda de o y positivo a la derecha de o.-fpresentaunmximorelativoen x=o,sisecumpleque:f(o)=0,elsignodefes positivo a la izquierda de o y negativo a la derecha de o.En los dos ltimos casos, la tangente a la curva es horizontal (pues su coeficienteangular es nulo). - f presenta concavidad positiva o convexidad en un intervalo, si f es positiva en dicho intervalo- f presenta concavidad negativa en un intervalo si f es negativa en dicho intervalo Queunafuncinpresentaconcavidadpositivaenunpuntosignificaquela tangente a la curva en dicho punto se dibuja por debajo del grfico de la funcin. Que una funcin presenta concavidad negativa en un punto significa que la tangente a la curva en dicho punto se dibuja por encima del grfico de la funcin. Ejemplo: f(x)o b a c | d -2 -1 1 1.31.8 2 3 xLafuncindelgrfico presentatresmximosrelativos,enlospuntosx=a,x=cyx=d,yunmnimorelativoenx=b.Lafuncinesmontonacrecienteenlosintervalos: (-, a), (b, 1.3), (1.3, c) y (2, d). La funcin es montona decreciente en los intervalos: (a, b), (c, 1.8), (1.8, 2) y (d, +). De acuerdo con las definiciones dadas, la funcin presenta un mximoabsolutoenx=dynoexistepuntodemnimoabsoluto.Lafuncintiene concavidadnegativaenlos intervalos (-, o),(1.3,1.8)y(|,3)ypresentaconcavidadpositivaoconvexidadenlosintervalos(o,1.3),(1.8,|)y(3,+).Portanto,adicho grfico le corresponden los siguientes esquemas de signo de f y f . + + 0- - - - - -0 + + +- + 0 - - - - - 0 + +0 - - - - Sgn f ab 1.3 c1.8 2d0 - -00 Sgn f - - - - - -+ + + + + +- - - - - + + + +- - - -+ + + + + o1.3 1.8 | 3 Porqupuedenoexistir laderivadadelafuncin enunpunto?Porvarios motivos, entre los cuales podemos mencionar: a) Porqueelpuntonopertenecealdominiodeexistenciade lafuncin.Como f(a) interviene en la frmula de f (a), si no existe f(a) entonces tampoco existef (a). b) Porque a la izquierda o a la derecha del punto no est definida la funcin. Es el caso, por ejemplo, de f(x) =x , que no est definida a la izquierda de 0 y por tanto no existe f (0). c) Porquelasderivadaslateralesenelpuntoexisten,sonfinitas,peroson diferentes. Es el caso de la funcin f(x) = ,x, en el punto x = 0. Ejemplo: Hallar el grfico de la funcinf(x) = L(1 + x2).Dominio de existenciaEl logaritmo est definido si el argumento es mayor que cero. Y (1 + x2) es mayorque cero para todo x real. Entonces: D(f) = R. CerosL(1 + x2) = 01 + x2 = e01 + x2 = 1x2 = 0x = 0. Signo de f L(1 + x2) > 0 1 + x2> 1x2> 0, lo cual se cumple x e R 0Sgn f + + + + + + + + + + + + + + +0Lmite de la funcin cuandox Lm L(1 + x2) = + x Monotona y extremos f (x) = 2 2221. 2) . 2 .(11)' 1 .(11xxxxxx +=+= ++Sgn f 0 - - - - - - - - - - - -+ + + + + + f(0) = L1 = 0 0fDecrece CreceMnNo hay mximos relativos ni absolutos. En x = 0 hay un mnimo relativo que es,adems, punto de mnimo absoluto. El valor mnimo de la funcin es f(0) = 0. Concavidadf (x) = 2 222 22) 1 () 1 .( 2) 1 () . 2 .( . 2 ) 1 .( 2xxxx x x+ =+ +- - - - - 0 + + + + +0 - - - - - -Sgn f f(1) = f(-1) = L(1 + 1) = L2 -1+1 Concavidad de f : Negat. Positiva Negat.Ahora estamos en condiciones de bosquejar el grfico de f. L(1 + x2)-1+1xInterpretacin econmica de la derivada Considrese una funcin de costos, C(q), que representa el costo total de producir qunidades de un nico producto. El costo medio de la produccin es qq C ) (. Cul es el incremento del costoalpasaraproducirunaunidadadicionalapartirdeq?Este concepto se denomina incremento de costo y es igual aC(q + 1) C(q). Si las unidades deproductosondivisiblesporejemplo,porque el producto semideenquilos,yes posible producir 2,3quilos,entoncessepuedepensarenunincrementoinfinitesimal delaproduccin.SidichoincrementosesimbolizaAq,entoncessedefineel costomarginal en q como la derivada de la funcin del costo total en el punto q: Costo marginal en q: C(q) = qq C q q ClmA A + ) ( ) (Aq 0 Si Aq ~ 1, entonces: C(q) ~ C(q + 1) C(q)y el costo marginal se puede utilizarcomoaproximacindelincrementodecosto. El costo marginal puede interpretarse,entonces, como una aproximacin de lo que cuesta producir una unidad ms, por encima del nivel de produccin q. Ejemplo: Sea la funcin del costo totalC(q) = 1000 5.q + 0,02.q2 q > 125. a) Cmo se comporta la funcin de costos?0 + + + + +C(q)C(q) = -5 + 0,04.qSgn-5 + 0,04.q = 0125 q 687,5 El costo es creciente q > 125. 125q b) Siseestnproduciendo200unidades,culeselincrementodelcostode producir una unidad ms? Cul es el costo marginal enq = 200?C(201) C(200) = [1000 5.(201) + 0,02.(201)2] - [1000 5.(200) + 0,02.(200)2]= 3,03 = costo de producir una unidad adicional por encima de 200. C(q)=-5+0,04.q C(200)=3,costoaproximadodeproducirunaunidad adicional por encima de 200. c) Definir la funcin de costo medio. CM(q) = qqqq qqq C 10005 . 02 , 0. 02 , 0 . 5 1000 ) (2+ =+ =d) Cmo se comporta la funcin de costo medio?CM(125) = 687,5/125 = 5,5 CM(q) = 0,02 1000/q2 = 22. 50000 . 50qq 05,5Sgn CM(q)- - - - - + + +3,94125 223,6 CM(q) en el intervalo: DecreceCrece125223,6 CM(223,6) = 3,94 e) Costo medio mnimo Si las unidades de producto se pueden fraccionar, entonces el mnimo costo medio se obtiene para un nivel de produccinq = 223,6. Si las unidades de producto nose pueden fraccionar, entonces est claroporelgrficoqueelmnimocostomedio se obtiene en un nmero entero prximo a 223, 6. CM(223) = 3,94430 CM(224) = 3,94429 El costo medio mnimo se obtiene para un nivel de produccin de 224 unidades. ConsidreseahoralafuncinB(q)quemideelbeneficiototaldeproducirq unidades de producto. Entonces el beneficio medio por unidad de producto esB(q)/q yladerivadaB(q)esel beneficiomarginal que mideaproximadamenteelbeneficiode producir una unidad adicional por encima de q unidades.Concepto de DiferencialEn Economa resulta relevante conocer de qu manera se ve afectada una variablepor un cambio producido en otra variable relacionada. Si aumenta $1 el precio del kilo depan, cmo se ver afectada la demanda de pan?Si la relacin entre dos variables puede explicitarse mediante la frmula y = f(x)dondefesunafuncinderivable,yutilizamoslanotacin Axpararepresentarelcambio en el valor de la variable independiente, yAypara notar la modificacin en la yal pasar dexax+Ax, entonces:Ay = f(x+Ax) f(x)A veces la forma funcional delafescomplicadaoresultalaboriosoevaluardicha funcin en el punto x+Ax. En tales casos se obtiene una buena aproximacin de Aymediante la introduccin de un nuevo concepto. Definicin: dy = f (x).Ax = Diferencial deyen el punto x.Considrese el caso particular en quey = f(x) = x. Resultaf (x) = 1. Entonces:dy=1.Ax,perocomoesy=x,tambinesdy=dxyresultadx= Ax. Como es msusual la notacin dx para la variacin de la variable independiente, escribiremos: dy = f (x).dxy esta igualdad justifica una de las notaciones usuales de la funcin derivada:). ( ' x fdxdy=Observaciones1) dyesunafuncindedosvariables, dy=g(x,dx),dondexeslavariable independientedelafunciny=f(x),y dxesotravariablequeindicael cambio producido o deseado en la variablex.2) Para hallar el diferencial de una funcin alcanza con saber derivar. 3) dx D A y x f x x f D B = A = A + = ) ( ) (ff(x+dx)B f(x) C A D xx+dxEl cocienteCD/AD es el coeficiente angular de la tangente a la curvafenel punto x, y por tanto, es igual af (x). Por tanto, CD/dx = f (x), entoncesCD = f (x).dx y finalmente:CD = dy.4) Qu ocurre condyy Aycuandodxtiende a cero? Si la funcinfes derivable en el punto x,entoncesdyy Aytiendentambinacero,son infinitsimos. En otras palabras, dy es una aproximacin deAycuandodxtiendeacero.Esteeselusoqueharemos de dyenlossiguientesdos ejemplos.Ejemplo1: Seay = f(a) = a3Interpretacingeomtrica: f es el volumendeuncubodeladoa.Sequiere saberaproximadamentecuntoseincrementaelvolumen del cubo cuandoel lado pasa de 5 dm a 5,01 dm. Larespuestaexactaes Ay= 5,013 53 = 0,751501. Una aproximacin de Aypuede obtenerse fcilmente con dy = 3a2.da = 3.52.0,01 = 75.0,01 = 0,75. Obsrvese que en este caso la aproximacin es muy buena (error de 1,5 por mil) y el resultado se obtiene mediante operaciones sencillas.Ejemplo2: La proporcin de lamparitas que fallan antes de un cierto tiempo t (en horas) puede estimarse mediante la funcin P: 21001001 ) ( |.|

\|+ =tt P .a) Hallar la proporcin de lamparitas que fallan antes de las 100 horas. b) Hallar aproximadamentelaproporcindelamparitasquefallanantesde las 99 horas. a) El clculo es elemental: 1 (1/2)2 = 0,75. b) El clculo exacto se hace engorroso porque se necesita hacer el cociente100/199. Trabajemos con la aproximacin.P(99) P(100) = AP ~ dP = P(100).dt, dondedt=-1. 7475 , 0 0025 , 0 ) 100 ( ) 99 (0025 , 0 ) 1 .( 0025 , 0 ) 100 ( ) 99 (0025 , 0 ) 100 ( ') 100 (000 . 20) ( '3= = = = = +=P PP PPtt PCalclese el valor de P(99) con 5 decimales utilizando la frmula de P(t) y verifquese que el error de la aproximacin es inferior al 2 por diez mil. 5) La expresindy = f (x).dxindica quedyes un infinitsimo cuandodxtiende a cero. Sif (x) = 0, entoncesdyes un infinitsimo del mismo orden quedx, yf (x) acta como una constante de proporcionalidad. Obsrvesequedyno es la variacin de la funcinfcuandoxpasa ax+dx, sino la variacin que tendra si la funcin se comportara como lo hace la tangente ala curva en el punto x.Repartido Prctico 12.1: Derivadas de FuncionesEjercicio 1 En cada una de las funciones siguientes calcular la funcin derivada y el dominio de existencia de la f (x).a) 4 . 5 .21. 3 .41) (2 3 4 5+ + + = x x x x x x fb) f(x) = 5xc) f(x) = x2 - Lxd) f(x) = x.Lxe)x xe x e x f . ) ( =f)) (2) (te t f =g) x x f . 4 ) ( =h) 1 ) (2 = x x fi)15) (+=qq fj)2 . 31 . 2) (+=xxx fk)21) (2+=ppp fl)f(x) = e2.x+3) 1 ( ) (2x L x f + =m)1 ) ( = x L x f n)2jercicio 2 r las derivadas segundas de las siguientes funciones. a)EHalla4 . 5 .21 1. 3 .4) (2 3 4 5+ + + = x x x x x x ff(x) = 5xLxe .b)c) f(x) = x2-d) f(x) = x.Lxe)xx e x f ) ( =xf)) (2) (te t f =g) x x f . 4 ) ( =h) 1 ) (2 = x x f15) (+=qq f i)j)2 . 31 . 2) (+=xxx fRe artido Prctico 12.2: Aplicacin de las derivadas para el estudio deEjercicio 1 r en cadacasolosintervalosdemonotonadelafunciny,siexisten,los pun sCASO I CASO II ab cd AS CASO IVab a b c d ASO V CASO VIASO VII CASO VIIIab ab cd e f g pfuncionesIndicato de extremos relativos y absolutos. a b C O IIICbabcaCR tid n s das para el estudio de funciones epar o Prctico 12.2: Aplicaci de la derivajercicio 2 iar y graficar las siguientes funciones. )EEstudaxxx2) = f2(b)1) (2=xxx fc) f(x) = x Lx|jercicio 3 ne una cuerda de 36 metros para delimitar un rectngulo. Si el rectngulo hade tenejercicio 4 ntrar dos nmeros reales tales que su suma sea 20 y su producto sea mximo.jercicio 5 a fbrica el costo total de producirqunidades de producto es: sto mediod) f(x) = L|x2 1ESe tier un permetro de 36 metros, cul debe ser el largo y el ancho para que el rea delrectngulo sea mxima?EEncoEEn unCT(q) = 0,05.q2 + 5.q + 500 Cul debe ser el nivel de produccin para que el cosea mnimo?jercicio 6 presa Cable TV tiene actualmente 2000suscriptoresquepaganunacuota jercicio 7 rtculo en una revista de Sociologaafirmaquesiahoraseiniciaseun rogramELa emmensual de $350. Una encuesta revel que tendran 50 suscriptores ms por cada $ 5 de disminucinenlacuota.Culeslacuota deingresomximoycuntossuscriptoressetendra entonces?EUn ap a especfico de serviciosdesalud,en taos nmilesdepersonas adultasrecibiran beneficios directos, donde: 12 0 . 32 . 6323s s + = t t ttnPara qu valor de t es mximo el nmero de beneficiarios?jercicio 8 ncin de demanda de un mercado monoplico esp = 400 2.q, y la funcin iza la utilidad.gobiernoimponeunimpuestode$22porunidadal e) , los consumidores yel gobierno, si el precio se fija de forma de maximizar la utilidad?ELa fudel costo medio esCM(q) = 0,2.q +4 +(400/q). a) Determinar el nivel de produccin que maximb) Determinar el precio al que ocurre la utilidad mxima.c) Determinar la utilidad mxima.d) Si como medidaregulatoria, elmonopolista, cul es el nuevo precio que maximiza la utilidad?Cules son las consecuencias del impuesto para el monopolista13. ELASTICIDAD e la demanda como funcin del precio:q = f(p). La derivada de laVolvamos sobrfuncin, ) ( ' p fdp = , nospermitesaber,encantidadesabsolutas,cmovariaraproxima emanda ante una variacin unitaria en el precio, por cuantof (pdqdamente la des el coeficiente angular de la tangente a la curvafen el puntop=p0. El diferencialdq = 0)f(p).dpnospermitesaber,encantidadesabsolutas,cmovariaraproximadamente lademandaanteunavariacindpenelprecio.Perolasvariacionesen cantidadproporcionanavecesinformacinpocointeresante:unaumentode$1enelkilodepan puede incidir en forma importante en la demanda de pan, mientras que el mismo aumentoenelpreciodeunacasaesinsignificante(nomueve la demanda). Entonces, seradeseable disponer de un instrumento que permita conocer qu tan sensible es la demanda ante variaciones porcentuales de precio. Definicin: Elasticidad puntual de y resp .xydxdyecto de x: = cnceslae asticidadtambinpuededefinirse as: Si se utilizalanotaciny=f(x)ento lxx fx f ) ( '= c) (Definicin: Se dice quefes elsticaen el puntoxsi: ,c ,> 1.Se dice quefes de elasticidad unitariaen el puntoxsi: ,c , = 1. .Qu s en el punto p=p0?ignifica que en ese punto la variacin porcentual de la cantidad demandada es menor, en Se dice quefes inelsticaen el puntoxsi: ,c , < 1ignificaqueunafuncindedemanda es inelsticaSvalor absoluto, que la variacin porcentual en el precio a partir de p=p0.pdpqdqpdpqdq dqpqdpinelstica es p f q = 1 1 ) (La elasticidad tiene una interesante interpretacin geomtrica. f(x)O B xy=f(x)Ao |o x tg = ) (|oc|tgtgxx fx fuencia con Enxtgf= ==) () ( ': sec)'Laelasticidaddependeentoncesdela relacin entre los ngulos queeterminan con el eje Ox:latangenteenelpuntoxalacurvay=f(x)(rectaAB) y lax f (dcuerdaqueuneelpuntoAconelorigendecoordenadas.Porejemplo, laelasticidades unitariaenunpuntodelacurvadonde,tg o,=,tg |,.Enelgrficoprecedente(dondela curvafes creciente), la igualdad se cumple en un puntoxdonde la tangente a la curva pasaporelorigen de coordenadas.Silacurvafesdecreciente,setieneelasticidadunitaria en un punto dondeo + | = 180. Repartido Prctico 13: Elasticidad Sea la funcin f: f(x) = o.x . Probar que la elasticidad puntual defes igual a | in f es una potencia de x, entonces la elasticidad es igual al exponente).Sea f: f(x) = C = 0. Calcular la elasticidad puntual def x. Interpretar elenido en el caso que fsea una funcin de demanda. Sea f: f(x) = Ejercicio 1 |x. (Si la funcEjercicio 2 resultado obtEjercicio 3 x . Calcular la elasticidad puntual def x > 0. jercicSea la funcin de demanda:q = f(p) = 1000/pelasticidad puntual de la demanda. ) D caso?la demanda si el precio p aumenta un 10Eje o 5 Sea la funcin de demanda:q = f(p) = 500/(p+2) elasticidad puntual de la demanda. ) Ex es unitaria?la demanda si el precio p aumenta un 10Eje o 6 Sea la funcin de demanda:E io 4 2a) Hallar lab epende la elasticidad del nivel del precio en estec) Cul sera el cambio relativo aproximado en%?rcicia) Hallar lab iste algn nivel de precio para el cual la elasticidadc) Cul sera el cambio relativo aproximado en%?rcicip q = 400 . 2 .valores del precio la demanda es elstica?) Q iva en la dema a si elprecioes1.600y se deseaEjeSi la funcin de demanda esq = K/pn, demostrar que la elasticidad de la demandade n.Un fabricante de bicicletas puede vender actualmente 500 por mes a un precio de na. Si el precio se baja a $ 750, podranvenderse50bicicletasadicionales or meSiq(p)esunafuncindedemandaconrelacinalpreciodeun producto,ngresodelproductoralvenderq unidades al precio pes:Y(p)=p.q(p).Si a) Para qub u pasa con la variacin relat ndincrementarlo un 20%?rcicio 7 depende sloEjercicio 8 $ 800 cada up s. Estimar la elasticidad de la demandapara el precio actual.Ejercicio 9 entonces el idenominamos cqalaelasticidaddelademanda con relacinalprecio,y cyalaelasticidad del ingreso con respecto al precio, probar que se cumple que: cy = 1 + cq.14. PRIMITIVAS. INTEGRALES INDEFINIDASes elementales, esposibledefiniruevas funciones mediantelasoperacionesalgebraicas,la inversa olacomposicinde funcinerivada, si existe es nica. ora si es posible encontrarnuevasfuncionesmediantelaperacin contrariaaladerivacin,llamadaprimitivacin.Porejemplo,lafuncin rivadYahemosvistocmo,apartir de las funcionnfunciones. Tambin mediante la derivacin es posible obtener nuevas funciones. Unapropiedadimportantedeladerivacinesque,dadaunafuncin, ladNospreguntamos ahode a de f: f(x) = x2es f (x) = 2.x. Existe alguna funcin tal que su derivada es x2?Unarespuestaposiblees:F(x)= 33x.Efectivamente,laderivadade esta funcin esF(x)=x2.SedicequeF(x)= 33xuna primitiva def(x) = x essiempre existe una primitiva?b) La primitiva de una funcin, es nica?siempre se puede calcular?cin?n es continua en su dominio,ntonces siempre existe primitiva de la funcin. De las funciones no continuas no puede afirmarundapregunta:siunafuncinadmiteunaprimitiva,entonces tiene in initas primitivas. En otras palabras, no se puede hablar de la primitiva, porque2. Se plantean entoncescuatro preguntas relevantes. a) Dada una funcin,c) Supuesto que existe una primitiva de una funcin, d) Existen mtodos generales de primitivaRespuestadelaprimerapregunta: si una funciese nada en general.Respuesta delasegfstanoesnica.Enelejemploprecedente,33x,(33x+2) y (33x-8)sontres primitivas distintas de la funcinx2.Si unafuncinadmiteinfinitasprimitivas,existealgunarelacinentretodasellas? Lrespuesta es afirmativa y viene dada por el siguiente teorema.aTeorema:Sidosfuncionessonprimitivasde una misma funcin, entonces soniguales o difieren en una constante. + = )`==) ( ) () ( ) ( ') ( )Enotraspalabras,lasinfinitasprimitivasdeunafuncinseobtienena partir deuna de ellas, sumndole una constante cualquiera. F Si ( 'C x G x Fx f x G yx f xDefinicin:Sellama integral indefinida de la funcin f (notacin: alconjunto de primitivas de la funcin f.)dx x f ) ( ))dx x f ) (= {F(x) + C: F(x) = f(x) y C e R}Elsmbolo )seutiliza p f se denominategrando,yelsmbolodxseutilizaparaindicarcul es la variable de primitivacinsto esaraindicarunaintegral,lafuncinin(e especialmente importante cuando se trabaja con varias variables). Ejemplo: Hallar dxxe xx)||

|+ 1. 2. \dxxe xx)|.|

\| 1+ . 2= {x2 ex + L,x, + C, C e R}Respue de la tercera pr calcularprimitivasenrma explcita. Por ejemplo:admite una primitiva (porque es una funcin continua)s alvs)nciones derivables (y por tanto, continuas).) ( ). ( ' ) ( ). ( )sta egunta:nosiemprees posiblefo2xepero no es posible expresarla mediante un nmero finito de funciones elementales.Respuestadelacuartapregunta: existenmtodosgeneralesdeprimitivacin. dems de la primitivacin inmediata (que consiste en mirar una tabla de derivada Are , y de observar que para primitivar una suma alcanza con obtener primitivas de los sumandos,losmtodosmsconocidosson: integracinporpartes,integracinpor sustitucinydescomposicinenfraccionessimples.Enaplicacindeestosmtodosse obtienen unos cuntos resultados interesantes que se presentan en las conocidas tablas de integrales.Supongamosquelasfuncionesqueaparecen en elintegrando,enlossiguientesasos, son fu cMtodo de integracin por partes)x g x f ( ' ). () = dx x g x f x g x f dxElmtodoestilcuandohallarunaprimitivadef(x).g(x queallar una primitiva def(x).g(x).n este caso hemos tomado f(x) = xyg(x) = e .)esmssencillo hEjemplo: ) )+ = = ) ( . . 1 . . C e e x dx e e x dx e xx x x x xExIntegracin por sustitucin| |) )= du u f dx x u x u f ) ( ) ( ' . ) (Ejemplo:( )( )CxCudu ux x ux x udx x x ++= + = =

((=+ == +) )717 . 3 ) ( '1 ) () . 3 .( 173 7623263En el primer paso se hace el cambio de variableu = u(x), y en el ltimo paso se deshace el cambio de variable.Descomposicin en fracciones simplesSea f una fraccin algebraica que slo tiene races reales en el denominador (elplicable cuando las racesdeldenominadorson omplejas). Entonces, la fraccin algebraica se puede descomponer en la suma algebraicaresultado,convariantes,estambin acde fracciones de la forma( )mxAo dondemes un nmero natural mayor o igual que 1y oesunadelasracesdeldenominador.Comounaprimitivadeunasumasepuedeobtener sumando primitivas umandos, hallar la integral indefinida de una fraccin fracciones de la forma( )de los salgebraica(conracesrealeseneldenominador)seresuelvehallandoprimitivasde mxAo . Slo dos casos son interesantes: - Sim = 1: )+ C x L AAo . =dxx o- Sim > 1: )( )mxAo = )+ = Cx mAdx x Amm1) (1.1) .(ooe desco osicin en fraccionessimplespermitecalcularlos coeficientes A, como en el ejemplo que sigue.El mtodo d mpEjemplo: Hallar)dxxx12.C x L x L dxx xdxxBxA x |dxx+ + + =||.|

\|++= |.|

\++=) ) )1 .211 .211211211 1 12De dndesurgequeA=B=1/2?Deresolverlaidentidaddefracciones algebraicas:=== = += + += + +=++ 1 1 12x x x2121011 1) ( ). (1 1) 1 .( ) 1 .(2 22 2BAB AB AxxxB A x B Axxxx B x Ax B ALastablasdeintegralesindefinidasproporcionanmuchosmsejemplosde aplicacindelosmtodosprecedentes.Incluso la tabladederivadaspuedeserutilizadaara calcular integralesleyndolaalrevs,estoes,buscandoenlacolumnadela derecha la funcin que se quiere primitivar.pEjemplo: Hallar)xdx.Mirando la columna de la derecha de la tabla de derivadas se encuentra la funcinx . 21,queesladerivadadex .Digamosquenosestsobrandoelfactor2 en eldenominador. Entonces,2. xes una primitiva dex1.{ })+ = xx. 2 CdxRepartido Prctico 14: Integrales Indefinidasjercicio 1 Calcular las siguientes integrales.E) ) ) ) )) ) ) ) )) ) ) ) ) ++ + + dttt o dx x n dx e e mpdpl dx e x kydyj dx x x i dx x hxdxg dx x fdq q q e dy y y d dx x c xdx b dx ax x x)1( ) ) ) ( )2) . )4) ) 2 ( 3 ) ) 2 ( ) ) )) 3 2 ( ) ) 2 3 4 ( ) ) 2 3 ( ) 2 ) 3 )23 2 3232 4 22Ejercicio 2 Calcular las siguientes integrales.)))))dxxedx x x ddx e x cdx Lx x bdx e xxx42)) 1 .( ). . 2 ). )26 5 4. 2 22a . )15. INTEGRALES DEFINIDAS. INTEGRALES IMPROPIASVamosaintroducirelconceptodeintegraldefinidaenunintervalo(notacin: ncin continua en elintervalo. f(xBConsideremos la figura del plano ABQPdelimitada por las rectasy = 0, x = a,=by la fu in Dicha a denomina e.Silafuncinffuerauna cta, entonces el trapezoide n trapec rre os interesa calcular el rea eltrapezoide.Seobtienendosaproximacionesde este nmero si partimos el intervalo,b] efPB f(xPBb x)dx x f ) ( )apartirdesuinterpretacingeomtrica. Sea f una fubaintervalo[a,b].Parafacilitarlainterpretacin,supongamosquef(x) > 0endicho Q )fPA ab xx nc f. figur se trapezoidre sera u io bi ctngulo. Nd[a n subintervalos, calculamos en cada unodeelloselmnimoyelmximodela funcin f 2, y luego calculamos la suma de las reas de los rectngulos inferiores por un lado, y de los rectngulos superiores, por otro lado. f(x)Q A ab x)Q fA a 2 La existencia del mnimo y el mximo en cada subintervalo queda asegurada por el teorema de Weierstrass.Esclaroqueunaaproximacinespordefecto(sumaderectngulosinferiores)ytra por exceso (suma de rect o superiores). Si denominamosa = x0, x1, x2, .., xn-n= b a l s pun s en a div a,b],entonces xixi-1presentalabase del i-simo rectngulo.SidenominamosmiyMialmnimoyximenominadas sumas inferiores y sumas superiores respectivamente.Cmosepuedenobtener buenas aproximaciones?Parecebastanteevidenteque obtienen mejores aproximaciones cuando aumenta el nmero de subintervalos. Quocurresielnmerodesubintervalos(n)tiendea infinito?Sepuede lm s= lm S= rea del trapezoideal definidao ngul s1,x o to que se h ididoalintervalo[rem o de la funcinfen el i-simo intervalo, entonces las aproximaciones por defectoy por exceso del rea del trapezoide se pueden formular as: ( ) ( )_ _== = =nii i i nnii i i nx x M S x x m s1111. .dsedemostraren ciertas condiciones que: n nDicho lmite se denomina integrde la funcin en el intervalo [a, b] y se simboliza dond)badx x f ) ( , e:- fes el integrando- aes el lmite inferior de integracin- b e te superior s el lmide integracin- dxindica cul es la variable de integracinl lmite desn o deSnresulta bastantengorroso. ralesdefinidas.Dichasherramientaslasproporcionanlosconceptosyteoremasquesiguen arencias hay entreadx x f y dx x f ) ( ) ( ? El primer smbolo representa el eprimitivasdelafuncinf,esdecir,esunconjuntodefunciones.El segundo smbolo corresponde a un nmero, que tiene una interpretacin geomtricapezoide si a < b y f2.bes vlido, por ahora, si a < b yf > 0. Pero como veremos ms adelante, tambin esvlidoparaa,byfcualesquiera.Comoelvalorde la integralnodependedela variable de integracin, se dice que sta es muda. El clculo de )dx x f ) ( mediante el paso abaNecesitamos unaherramientamssencillaparaelclculodeinteg econtinuacin.Observaciones1. Qu difeb) )conjunto den trminos del rea de un tra es no negativa.Qudiferenciashayentre) )a adt t f y dx x f ) ( ) ( ?Nohayningunadiferencia, ambas expresiones representan el mismo nmero, que es el rea del trapezoide. Estob3.Sihacemosvariarellmitesuperiordeintegracin,enelintervalodondeel continua, podemosdel porciona el rea del trapezoide en el intervalo [a, x]. f(xA Bbintegrando es una funcin definir una nueva funcin,denominada funcin integral:F: x F(x) = )xadt t f ) (con dominio en [a, b]Desde el punto de vista geomtrico, quines son F(x), F(a) y F(b)? F(b) es el rea trapezoide, F(a) = 0 y F(x) pro) Q fPa xTeorema FundamentalH) fcontinua en [a, b]F(x) = ) F(x = f(x)x e a, b]firma el teorema? Que si el integrando es una funcin continua en n integralF es una primitiva del integrando, pues F(x) = f(x).onces, e orema Fundamental proporciona un mtodo para calcular reas en forma exacta. Si podemos encontrar F, el rea del trapezoide viene dada por F(b).Fesunaprimitivamuyespecial:laque hace queF(a)=0.Nospreguntamossi sfirmategla de Barrow (teorema))xadt t f ) (T ) [Qu es lo que a[a, b], entonces la funciEnt l Teparacalcular)bdx x f ) ( se puede utilizar unaprimitivacualquieradef.Larespuesta eaa iva.R G es una primitiva cualquiera de fT) dx x f ) ( = G(b) G(a) = G(xH) fcontinua en [a, b]ba))ab.Esteteoremaresuelveelproblemadelclculodelreadeltrapezoideenformata. Para e truna primitiva cualquiera de f, evaluarla en x = ax = b, y restar ambos valores: G(xexac llo, alcanza con encon ary )axEjemplo: b = G(b) G(a). )= = =2324122xdx x21221jempl :1 2 E o)~ 1d ==11135 , 211e e e x ex xEjemplo: 02022 6 4 . 3 ) 3 . 2 ( x x dx xEs posible que el rea de un trapezoide sea negativa? No, no es posible. Porquerea de unafiguraesmayoroig porqu ) 3 . 2 ( dx xtiene resultado negativo? Porque el integrando no es una funcin positiva, ytrapezoide.Enelintervalo[0,3/2]lafuncinf(x)=2.x3esnegativa y el rea del| |) = = = 2por definicin, el ualquecero.Entonces,)20enconsecuencia,lainterpretacingeomtricadelaintegralnoes el rea de untrapezoide en [0, 3/2] es 49233=x(porque el trapezoide es un tringulo). En el intervalo [3/2,2]lafuncinf(x)=2.x3espositivayelreadeltrapezoide(tambinun tringulo) en dicho interv2alo es41= . El rea del trapezoide en [0, 2] es 10/4. Qu2positivo o negativo al rea del trapez n que la funcin f se dibuje por encima o 9/42.x 32121xinterpretacinpuededarsealresultado 0) 3 . 2 ( dx x = -2?Siseadmiteponersignooide, segpor debajo del eje Ox, entonces el rea del trapezoide del ejemplo sera - = - 2. )1 + 3/22xObservaciones. dx x f ) ( es un nmero que representa el rea de un trapezoide sia < byf(x) > 0. yunainterpretacingeomtricainteresante.Sia0enel subintervaloyconsignonegativo cuando f(x)s0.Porestemotivo,dx x f ) ( puedejemplo:)b1a2. se puede definir paraa, b y f cualesquiera, pero si a > b, entonces no ha)badx x f ) ()baFinalmente, sia < by la funcin cambia de signo (una o ms veces) en el intervalo [a, b]adx x fbatomar valores negativos o incluso anularse aunque f(x) no sea la funcin nula. )b)E 0 ) 1 (21 932 3(( (x32 2) 1 (1 1=(

(

=(

= )x dx x. dx 0 0adx x f ) ( bdx x f ) (i f es co en [o, |] a, b, c e [o, |]Sif > 0ya < c < b, entonces esta propiedad tiene una fcil interpretacin geomtrica:un trapezoide, s dos ltimas comoresultadodepartirelintervalo [a, b] en los subintervalos [a, c] y [c, b]. Sin embargo, la abaf K f K . .La propiedad 3 se conoce como Teorema de Chasles y las 4 y 5 se conocen comopropiedades de linealidad. -11 Propiedades de la integral definida)=b1ab a2. =) )3. S ntinua y) ) )+ = bccabaf f fcadaunadelasintegralesrepresentaelrea de lapropiedad es ms general: se cumple no importa el signo defy no importa la posicin relativa dea, byc. 4. ( )) ) )+ = +bababag f g fb5.) )=Paracalcularintegralesdefinidasenunintervaloseutilizan los mtodos deintegracin indefinida. Porque de acuerdo con la Regla de Barrow alcanza con hallar una rimitiva del integrandopararesolverelproblema.A continuacin se presentan algunos)pejemplos de aplicacin de los mtodos de integracin indefinida: primitivacin inmediata (tabla deintegralesotabladederivadas),integracinporsustitucin,integracinpor partes, descomposicin en fracciones simples.Ejemplos34 2 211 32| | x3 3 1 3. 2 . 2 = |.

\ ==)a1 dx x92025185b)13. 25132. 5 . 553122313=|.|

\| === =) )xxdx x dxxc)3454 5455 14 0. . 244. 2542102L L L Luuduu xu xdu dx xu xdxxx= = = =

((((((= == === +=+) )que paracalcularunaintegraldefinidautilizandointegracinpor sustitucin, no es necesario deshacer el cambio de variable. d)Obsrvese12 ( = u x215 , 021123.21.21)2.(21211 02.. . 21 .211211232102~ = = =

(((((((= == = == = ) ) )udu uduuu xu xdudx xdu dx xdx x xe)21( ) =(((

= = =) ) ) )2 202020. 2 . 24 . 2 4. 22. 22 . 2 22 022. . 2 . . 22'.022. . dxe ex e dx e x e dxexex dx e xx xxx xx041.454 = e013 231213 2 ) 3 ).f)( 2 (101010 + =|.|

\|+=|.|

\|+= ) ) )x L x L dxx xdxxBxAx xdx== -L1 + L2 (-L2 + L3) = 2.L2 L3 = L4 L3 = L(4/3) ~ 0,288. Clculo de reas comprendidas entre dos curvas Sequierecalcularelreacomprendidaentredosfuncionesenelintervalo [a, b],omFIGURAA FIGURABFIGURACElreadelafiguraAsepuedecalcularcomodiferenciadelasreasde losrasByC,lascualespuedencalcularse mediantebg y fEjemplo: Hallar el rea comprendida entre la parbola de ecuaciny = x2 2.x,yLas abcisas de los puntos de corte de ambas curvasse obtienen resolviendo la ecuacin: x2 2.x = x.Dichas abcisas son x = 0 y x = 3. Entonces, el rea c o en la figura A. f fg ga b ab ab ) )btrapezoidesdelasfigua arespectivamente. Entonces, el rea de la figura A es:) ) ) = bg f g f ). (la rectay = x.ababacomprendida entre ambas curvas es:( ) | |2 0 2 30 932 3 3(x x. 3 . 22=( + = )dx x x x23 A cin de las integrale plica s a problemas de Economadida de salario realSupongamos que en el ao 2003 los salarios promedio se incrementaron un 5% al n losrestantesmesesdelao, mi eron continuamente a una tasa instantnea del1,4567diente. Entonces, laevolucintemporaldeprecios(Pt)ysalarios(St) se puede modelar mediante las siguientes expresiones:A) Ganancia o priniciodecadasemestre,permaneciendo constantes eentras que los precios del consumo creci227% mensual. El salario promedio de diciembre de 2002 permita comprarexactamenteunacanastadeconsumo(valor100).Culfuelagananciaoprdidade salario real den 2003?Tanto precios como salarios varan a lo largo del tiempo. Tomamos el tiempo (t) como variable indepen||ee =) 12 , 6 36 , 112) 6 , 0 1062002 00t sit side diciembre enSt1106 1004 6812 l grfico de los salarios se denomina dient de s o ios crecensaltos.Elgrficodelospreciosal consumosemodelanmedianteunacurva xponencial.Lospuntosdecortedeambosgrficosseobtienencomosolucindelasonsisteencalcularlasintegrales12. ) ( ) ( , ) ( , ) ( dt S P y dt P S dt S P dt P St t t t t t t tlve sumando las reas positivasynegativas quedeterminan ambas curvas al restarSt Pt. El signo indicar si en el ao hubo ganancia o 0 6 = = +)dt e dt e .Elresultadoobtenidoseinterpretaas:enelao2003losasalariadosperdieron poder de compra por un equivalente del 1,1% del salario mensual (en promedio perdieron | | 12 , 0 . 100. 014567227 , 0e = t si e PttE es ierra porque l s salaraeecuaciones:106=100.e0,014567227.ty112,36=100.e0,014567227.t.Lasabcisasdeestos puntosdecortesont=4yt=8.Seobservaqueenelintervalo[0,4]lossalarios semantienenporencimadelcostodelacanastadeconsumo,porloqueeneseperodose verifica una ganancia del salario real. La situacin se invierte en el perodo [4, 6], pues lospreciossuperanalossalarios.En este intervaloseproduceunaprdidadesalario real. La situacin se reproduce en el semestre siguiente en los intervalos [6, 8] y [8, 12].La ganancia o prdida de salario real se mide por el rea comprendida entre las curvas de salariosyprecios.Perolointeresanteesquelagananciapuedeidentificarseconlaintegral definida en el intervalo en que los salarios superan a los precios y la prdida con la integral definida en el intervalo donde los precios superan a los salarios. Si interesacalcularlagananciaoprdidaencadaintervalo,entonceslasolucin4 6 8c :) ) ) ) 0 4 6 8Perosiloqueinteresacalculares la gananciaoprdidaenelao2003,entoncesel problemaesmssencilloyse resueprdida de salario real: ( ) ( ) 106 ) (12 6 12. 014567227 , 0 . 014567227 , 0 = ) )dt P St tt t1 , 1 ... . 100 36 , 112 . 1000un 0,09% por mes). B) Excedente de productores y consumidorespOferta p=f(q)qElgrficoprecedentemuestralascurvasdeofertaydemanda,explicitandoel p de n pro func e cant (asuministraroacomprar,spectivamente). La curva de oferta indica el precio al que el fabricante est dispuesto aBp1pA0Demandap=g(q)Oq1 q0precio u ducto en in d la idad qrevender qunidadesdeproducto.Lacurvadedemanda muestraelprecioalquelos consumidorescomprarnq unidades.ElpuntoAdeinterseccindeambascurvasse llama punto de equilibrio e indica el precio a cual los consumidores comprarn la mismacantidad de producto que los fabricantes desean vender a dicho precio. Hay consumidores queestarandispuestosapagarunpreciomsalto,p1 >p0,perodemandaranmenos unidades (q1). Estos consumidores se benefician de un precio de equilibrio menor que p1.Paraestosconsumidoreselbeneficioes(p1-p0).q1. Pero esterazonamientoesvlido para cualquier valor depen el intervalo[B, p0), para cualquier valor deq entre O yq0.Silosvaloresdeqfuerannumerables,entonceselbeneficio total de losconsumidores sera . ). (000 _=Excedente de los consumidores =qqq p pSiqes una variable continua, entonces: | |dq p q gq)000) (que no es otraOp, la curva d manda y la recta p= p0.Excedente de los productores =cosa que el rea delimitada por el eje e deMediante un razonamiento anlogo se obtiene: | |dq q f pq)000) (que representa e urva de oferta y a rectap = p0. l rea delimitada por el eje Op, la c lIntegrales impropias de primera especie le hallar el rea de una figura infinita del plano, milarNos planteamos ahora si ser posibsial trapezoide. Se trata de calcular el rea de la figura comprendida entre el eje Ox,larectax=1ylafuncinf:f(x) =21,osea,elreadeltrapezoideenelintervalo[1, +].x21x 1 Podra pensarse que el rea de una figura infinita debera ser tambin infinita. Sin mbargcalcularadx x f ) ( consisteendefinirlafuncinintegraladx x f t F ) ( ) ( yluegocalcular el lmite de F(t) cuandot +.Ejemplo 1: Calculare o, a veces, ocurrequeelreaesfinita.Elmtodoquevamosautilizarpara + t) )=)+121dxx) )+= + = = =121211 ) (1111 1xdxtt F LmttxdxxtF(t) = Ejemplo 2: Calcular)+21 xdxF(t) = )> = = = =tt pues t L t L L t Ltx Lxdx22 ) 1 ( 1 1 1211t L Lm t F Lm ) 1 ( ) (+ + + = =t t11 xEn este caso el rea del trapezoide tiende a infinito, y ello se debe a que el infinitsimo11 tiende muy lentamente a cero. xCuando elLm F(t), con t +, tiende a un nmero finito, se dice que la integralimpropia converge. Cuando dicho lmite es infinito, se dice que la integral diverge o que no converge.Integrales definidas de funciones no continuas CASO1 CASO2 CASO3 acbac bacbCuando en un puntox = cdel intervalo [a, b]se tiene una discontinuidad de la funcinf, evitable, con salto finito o infinito, entonces la integralse puede plantear como una suma, , y el resultado se obtiene haciendolm y lm.Si ambos)baf) )+bccaf f)taf)btf tc-tc+lmites existen y son finitos, entonces converge a la suma de ambos lmites. Si uno al menos de los lmitestiendeainfinito,entoncessedicequelaintegral noconverge.Si existen ambos lmites y la suma tiende a + o a -, se dice que la integral diverge.)bafEjemplo: Calcular)112xdx. Observar que la funcin presenta una discontinuidad en el punto x = 0. Entonces hay que estudiar las integrales)012xdx y )102xdx.Lm)txdx12= lm+ = = )11 (11tlmtxt0-t0-t0-Conelmismoargumentosepruebaquelaintegral)102xdxdivergea+.En consecuencia,)112xdx tambin diverge a +.EnEconometra,enModelosLineales, un supuestobastantefrecuenteesquelos residuosdelmodelosedistribuyennormales.Sinentrarenmayoresdetallessobreelsignificadodelconceptoestadsticodedistribucin,presentamosacontinuacin lafuncin de densidad normal estndar:f(x) = 22.21xetEsta funcintieneungrficoconformadecampana,y seconoceenlaliteratura estadstica como campana de Gauss. -11 Se define la funcin de distribucin normal estndar mediante la frmula: u(x)= ) ) =x x tdt e dt t f22.21) (t,queparacadavalordexproporcionaelrea deltrapezoide limitado por el eje Ox, la curvafy la recta paralela al eje Oy en la abcisa x. -1x1 El problema es que no es posible calcular una primitiva de la funcin f. Por ello,para calcular u(x) se utiliza una tabla que proporciona una aproximacin con 4 decimalesdelreaacumuladaenelintervalo(-,x).Latablaproporcionaunaaproximacinpara cada valor centesimal de x en el intervalo [-3,5; +3,5], pues a la izquierda de -3,5 y a la derecha de +3,5 la curva normal prcticamente se pega al eje Ox.Algunos valores usuales de la tabla: u(-1,96) = 0,025u(1,96) = 0,975 u(-1,645) = 0,05u(2,326) = 0,99 u(0) = 0,50u(2,576) = 0,995 u(1,28) = 0,90u(3,090) = 0,999 u(1,645) = 0,95u(3,291) = 0,9995 Repartido Prctico 15: Integrales Definidas e Integrales ImpropiasEjercicio 1 Calcular las siguientes integrales. En la Prctica 14 ya se calcularon primitivas.) ) ) ) )) ) ) ) )) ) ) ) ) ++ + + xx x xdttt o dx x n dx e e mpdpl dx e x kydyj dx x x i dx x hxdxg dx x fdq q q e dy y y d dx x c xdx b dx a021102402195103 21133 / 14 / 12113122 4312402130)1( ) ) ) ( )2) . )4) ) 2 ( 3 ) ) 2 ( ) ) )) 3 2 ( ) ) 2 3 4 ( ) ) 2 3 ( ) 2 ) 3 )2Ejercicio 2 Hallar el rea del trapezoide formado por: a) El eje Ox, las rectas x=1, x=3, y la funcinf(x) = 2.x.b) El eje Ox, las rectas x=0, x=2, y la funcinf(x) = x2.c) El eje Ox, las rectas x=-1, x=1, y la funcinf(x) = x.Ejercicio 3 Hallar el rea comprendida entre el eje Ox y las curvasf(x)=exyg(x)=e-x.Ejercicio 4 Dibujarlasfuncionesintegrando,calcularlasintegralesimpropiaseinterpretar geomtricamente.))) + ++4112)))xdxcxdxbxdxaEjercicio 5 Calcular las integrales impropias.)) ++++032022)12)xdx xbxxdxaRepartido Prctico 15: Integrales Definidas e Integrales ImpropiasEjercicio 6 Sea la funcin de costo marginal de la produccin C (q) = 0,2.q + 2. Actualmente se producen 80 unidades por da. a) Aproximadamente, cunto ms costar producir 90 unidades por da?b) Sielcostofijodiariodeproduccines50unidadesmonetarias,explicitarlafuncin de produccinC(q). Ejercicio 7 Enelprimersemestredelao2002lainflacinenunaciudadevolucionde acuerdo con la funcin:I(t) = e0,02.t, dondetse mide en meses. En el mismo semestre elsalarioS(t)permaneciconstantedurantelostresprimeros meses y en el mes 4 seprodujo un incremento del 11%, nico del semestre. a) Explicitarlafuncinquemuestralaevolucindelossalariosenelsemestre,partiendo de la condicinS(0) = 1. b) Hallar los puntos de interseccin deI(t)yS(t)en el intervalo[0, 6].c) Los asalariados, ganaron o perdieron salario real en el primer semestre de 2002?Ejercicio 8 Lassiguientesfuncionescorrespondenalademandaylaofertadeunproducto, ambas expresadas como funciones de q: Demanda: p = (1/6).(12 q)2Oferta: p = q2/6a) Dibujar ambas curvas en un mismo grfico.b) Encontrar el punto de equilibrio: (q0, p0).c) Calcular el excedente de los consumidores. d) Calcular el excedente de los productores. Ejercicio 9 Seaunapoblacindepreceptoresdeingresos,ordenadosenformacreciente,por su nivel de ingresos. Sea la variable p que mide la proporcin de preceptores, 0 s p s 1, yseaY(p)la proporcin de ingresos acumulados hasta el punto p:0 s Y(p) s 1. a) Demostrar que:Y(p) s p, p.b) Se define el ndice Sinttico de Gini como:G = 2. . | |dp p Y p)10) (c) DibujarY(p) = 9 982pp +y calcular G. 16. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Elahorro mensual de una familia (A) es una funcin de dos variables: el ingreso mensual (Y) y el gasto mensual (G). Adems, se conoce la forma funcional, la forma en que se relacionan estas variables: A = f(Y, G) = Y GLademandadeunbiendependedelpreciodelbienenelmercado,delnivelde ingresodelosconsumidores,delaspreferenciasdelosconsumidores,delospreciosde losbienessustitutivos(aceitedeolivayaceitedegirasol)ydelospreciosde los bienes complementarios (automvil y combustible), entre otras variables. Diferentesteoraseconmicashacendependerelniveldedesempleo(D)de variables como el salario real (S), el nivel de actividad (Y), el tamao de la poblacin (P), la edad en que la gente empieza a buscar empleo (E), el comportamiento de la migracin (M)yunatasadedesempleofriccional(DF),entreotrasvariables.Entonces,elnivelde desempleo puede expresarse as: D = f(S, Y, P, E, M, DF)Sinembargo,laformaenqueserelacionanestasvariablesparaexplicarelnivel de desempleo el modelo explicativo depende de la teora econmica que se elija. En Economa interesa conocer la forma en que se relacionan diferentes variables y elefectoolarepercusinquetieneuncambio(unincremento,unavariacin)enuna variablesobreotrau otras. Por ejemplo, podra esperarse que un aumento en el nivel de actividad generara una reduccin en el nivel de desempleo. Cunto debera aumentar el nivel de actividad para que el desempleo se redujera un 1%? EnEconomaesmuydifcilencontrarqueelcomportamientodeunavariablese expliqueexclusivamentepor una sola variable. Es decir, las relaciones del tipoy = f(x) sonmuypocofrecuentes.Acasoelgastodeloshogaresnopuedeexplicarse exclusivamenteporelingresofamiliar?Larespuestaesclaramentenegativa:elgastose explicaporelingresoactual,porlapropensinaahorrar,porelstockdecapital acumulado y por los ingresos esperados (las expectativas de ingresos futuros), entre otras variables.Enconsecuencia,sehaceimprescindibleelestudiodelasrelacionesdeltipoy = f(x1, x2, x3, .. , xk).Lamayorpartedelascomplicacionesparaelestudiodefuncionesdevarias variablessegeneranalpasardeunaados,esdecir,alpasardelasrelacionesdeltipo y = f(x) a las del tipoz = f(x, y). Entonces, los principales resultados se presentarn para elcasodedosvariables,yporexcepcin,seharreferenciaalcasomsgeneral.En particular, cuando se trabaja con funciones que dependen slo de dos variables, es posible imaginarunarepresentacingrficaentresdimensiones,mientrasquenohay representacin grfica posible cuando la relacin incluye ms de dos variables. En la representacin grfica de tres dimensiones, los planos xy, xz, zy, forman un triedro con 8 octantes, en uno de los cuales se cumple a la vez que x > 0, y > 0, z > 0. z = f(x, y)yxDefinicin: Una funcinfen las variablesx1, x2, x3, .. , xkcon dominio D(f) es una correspondencia que a cada punto (x1, x2, x3, .. , xk) e D(f) le asigna un nmeroreal que simbolizamosf(x1, x2, x3, .. , xk).En el caso de dos variables, usaremos la notacinz = f(x, y), donde z es el valorde la funcinfen el punto(x, y).Ejemplo1: El inters I generado por un capital C colocado por tperodos a la tasa de inters compuestoies una funcin de las tres variables: I = f(C, t, i) = C.(1+i)t C. El dominio de f, D(f), est dado por los valores lgicos de las tres variables:C > 0, t > 0,i > 0. Ejemplo2:EnunaInstitucindeAsistenciaMdica los mdicos de MedicinaGeneral son observados si el nmero medio de medicamentos por consulta supera el 20% del promedio de loskmdicosdelaespecialidad.Six1,x2,x3,..,xksonlas cantidades de medicamentos recetados en un mes por loskmdicos, yy1, y2, y3, . , ykson las cantidades de pacientes atendidos en el mes, cmo se puede plantear la regla que obliga a observar un mdico en funcin de las2.kvariables?Nmero medio de medicamentos por consulta del mdico i: iiyx.Promedio general: f(x1, x2, x3, .. , xk, y1, y2, y3, .. , yk) = __kikiyx11Regla: El mdicoidebe observarse siiiyx> 1,2 * __kikiyx11.Ejemplo3: Sea la funcinf(x, y, z) = L(1 + x) + 2.L(1 + y) +