MATE 3031

Dr. Pedro V·squez

UPRM

P. V·squez (UPRM) Conferencia 1 / 18

MATE 3031

Derivadas y razones de cambio

En esta secciÛn se discutir· como hallar la pendiente de una rectatangente y la velocidad de un objeto usando lÌmites. Considere una curvaC con ecuaciÛn y = f (x) , el objetivo es hallar la ecuaciÛn de la rectatangente a C en el punto P (a, f (a)) , para ello considere al puntoQ (x , f (x)) , donde x 6= a y calcule la pendiente a la recta secante

!PQ.

La pendiente dela recta secante:

mPQ =f (x )$f (a)x$a

P. V·squez (UPRM) Conferencia 2 / 18

MATE 3031

Derivadas y razones de cambio

En esta secciÛn se discutir· como hallar la pendiente de una rectatangente y la velocidad de un objeto usando lÌmites.

Considere una curvaC con ecuaciÛn y = f (x) , el objetivo es hallar la ecuaciÛn de la rectatangente a C en el punto P (a, f (a)) , para ello considere al puntoQ (x , f (x)) , donde x 6= a y calcule la pendiente a la recta secante

!PQ.

La pendiente dela recta secante:

mPQ =f (x )$f (a)x$a

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Derivadas y razones de cambio

En esta secciÛn se discutir· como hallar la pendiente de una rectatangente y la velocidad de un objeto usando lÌmites. Considere una curvaC con ecuaciÛn y = f (x) ,

el objetivo es hallar la ecuaciÛn de la rectatangente a C en el punto P (a, f (a)) , para ello considere al puntoQ (x , f (x)) , donde x 6= a y calcule la pendiente a la recta secante

!PQ.

La pendiente dela recta secante:

mPQ =f (x )$f (a)x$a

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Derivadas y razones de cambio

En esta secciÛn se discutir· como hallar la pendiente de una rectatangente y la velocidad de un objeto usando lÌmites. Considere una curvaC con ecuaciÛn y = f (x) , el objetivo es hallar la ecuaciÛn de la rectatangente a C en el punto P (a, f (a)) ,

para ello considere al puntoQ (x , f (x)) , donde x 6= a y calcule la pendiente a la recta secante

!PQ.

La pendiente dela recta secante:

mPQ =f (x )$f (a)x$a

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Derivadas y razones de cambio

En esta secciÛn se discutir· como hallar la pendiente de una rectatangente y la velocidad de un objeto usando lÌmites. Considere una curvaC con ecuaciÛn y = f (x) , el objetivo es hallar la ecuaciÛn de la rectatangente a C en el punto P (a, f (a)) , para ello considere al puntoQ (x , f (x)) , donde x 6= a y calcule la pendiente a la recta secante

!PQ.

La pendiente dela recta secante:

mPQ =f (x )$f (a)x$a

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Derivadas y razones de cambio

En esta secciÛn se discutir· como hallar la pendiente de una rectatangente y la velocidad de un objeto usando lÌmites. Considere una curvaC con ecuaciÛn y = f (x) , el objetivo es hallar la ecuaciÛn de la rectatangente a C en el punto P (a, f (a)) , para ello considere al puntoQ (x , f (x)) , donde x 6= a y calcule la pendiente a la recta secante

!PQ.

x

y

a x

P(a ,f(a))

Q(x,f(x))

x-a

f(x)-f(a)

La pendiente dela recta secante:

mPQ =f (x )$f (a)x$a

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Derivadas y razones de cambio

En esta secciÛn se discutir· como hallar la pendiente de una rectatangente y la velocidad de un objeto usando lÌmites. Considere una curvaC con ecuaciÛn y = f (x) , el objetivo es hallar la ecuaciÛn de la rectatangente a C en el punto P (a, f (a)) , para ello considere al puntoQ (x , f (x)) , donde x 6= a y calcule la pendiente a la recta secante

!PQ.

x

y

a x

P(a ,f(a))

Q(x,f(x))

x-a

f(x)-f(a)

La pendiente dela recta secante:

mPQ =f (x )$f (a)x$a

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DeÖniciÛn La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P (a, f (a))es la recta que pasa por P con pendiente:

m = limx!a

f (x )$f (a)x$a

si el lÌmite existe.

Nota: La pendiente de la recta secante !PQ, se puede calcular

considerando h = x $ a, lo que implica x = a+ h y la pendiente de larecta secante es:

mPQ =f (a+h)$f (a)

h

Es importante que observe que cuando x se aproxima a a, h se aproxima a0, y una expresiÛn equivalente para la pendiente de la recta tangente setiene en la siguiente ecuaciÛn:

m = limh!0

f (a+h)$f (a)h (1)

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DeÖniciÛn La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P (a, f (a))es la recta que pasa por P con pendiente:

m = limx!a

f (x )$f (a)x$a

si el lÌmite existe.

Nota: La pendiente de la recta secante !PQ, se puede calcular

considerando h = x $ a, lo que implica x = a+ h y la pendiente de larecta secante es:

mPQ =f (a+h)$f (a)

h

Es importante que observe que cuando x se aproxima a a, h se aproxima a0, y una expresiÛn equivalente para la pendiente de la recta tangente setiene en la siguiente ecuaciÛn:

m = limh!0

f (a+h)$f (a)h (1)

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DeÖniciÛn La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P (a, f (a))es la recta que pasa por P con pendiente:

m = limx!a

f (x )$f (a)x$a

si el lÌmite existe.

Nota: La pendiente de la recta secante !PQ, se puede calcular

considerando h = x $ a, lo que implica x = a+ h y la pendiente de larecta secante es:

mPQ =f (a+h)$f (a)

h

Es importante que observe que cuando x se aproxima a a, h se aproxima a0,

y una expresiÛn equivalente para la pendiente de la recta tangente setiene en la siguiente ecuaciÛn:

m = limh!0

f (a+h)$f (a)h (1)

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DeÖniciÛn La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P (a, f (a))es la recta que pasa por P con pendiente:

m = limx!a

f (x )$f (a)x$a

si el lÌmite existe.

Nota: La pendiente de la recta secante !PQ, se puede calcular

considerando h = x $ a, lo que implica x = a+ h y la pendiente de larecta secante es:

mPQ =f (a+h)$f (a)

h

Es importante que observe que cuando x se aproxima a a, h se aproxima a0, y una expresiÛn equivalente para la pendiente de la recta tangente setiene en la siguiente ecuaciÛn:

m = limh!0

f (a+h)$f (a)h (1)

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DeÖniciÛn La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P (a, f (a))es la recta que pasa por P con pendiente:

m = limx!a

f (x )$f (a)x$a

si el lÌmite existe.

Nota: La pendiente de la recta secante !PQ, se puede calcular

considerando h = x $ a, lo que implica x = a+ h y la pendiente de larecta secante es:

mPQ =f (a+h)$f (a)

h

Es importante que observe que cuando x se aproxima a a, h se aproxima a0, y una expresiÛn equivalente para la pendiente de la recta tangente setiene en la siguiente ecuaciÛn:

m = limh!0

f (a+h)$f (a)h (1)

P. V·squez (UPRM) Conferencia 3 / 18

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.Ejemplo1. 3 (p·g. 150) Halle la pendiente de la recta tangente a la par·bolay = 4x $ x2 en el punto (1, 3) :

a. usando la deÖniciÛn

b. usando la ecuaciÛn (1).

c. Determine la ecuaciÛn de la recta tangente

P. V·squez (UPRM) Conferencia 4 / 18

MATE 3031

.Ejemplo1. 3 (p·g. 150) Halle la pendiente de la recta tangente a la par·bolay = 4x $ x2 en el punto (1, 3) :a. usando la deÖniciÛn

b. usando la ecuaciÛn (1).

c. Determine la ecuaciÛn de la recta tangente

P. V·squez (UPRM) Conferencia 4 / 18

MATE 3031

.Ejemplo1. 3 (p·g. 150) Halle la pendiente de la recta tangente a la par·bolay = 4x $ x2 en el punto (1, 3) :a. usando la deÖniciÛn

b. usando la ecuaciÛn (1).

c. Determine la ecuaciÛn de la recta tangente

P. V·squez (UPRM) Conferencia 4 / 18

MATE 3031

2. Halle la ecuaciÛn a la recta tangente a la curva y = x2 + 4x $ 6 en elpunto (1,$1)

3. Halle la ecuaciÛn a la recta tangente a la curva y =2x + 1x + 2

en el punto

(1, 1)

P. V·squez (UPRM) Conferencia 5 / 18

MATE 3031

2. Halle la ecuaciÛn a la recta tangente a la curva y = x2 + 4x $ 6 en elpunto (1,$1)

3. Halle la ecuaciÛn a la recta tangente a la curva y =2x + 1x + 2

en el punto

(1, 1)

P. V·squez (UPRM) Conferencia 5 / 18

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2. Halle la ecuaciÛn a la recta tangente a la curva y = x2 + 4x $ 6 en elpunto (1,$1)

3. Halle la ecuaciÛn a la recta tangente a la curva y =2x + 1x + 2

en el punto

(1, 1)

P. V·squez (UPRM) Conferencia 5 / 18

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Velocidad: En general suponga que un objeto se mueve a lo largo de unalÌnea recta de acuerdo a la ecuaciÛn del movimiento s = f (t),

donde s esel desplazamiento (distancia dirigida) del objeto desde el origen en eltiempo t. La funciÛn f que describe el movimiento es llamada la funciÛnposiciÛn del objeto.En el intervalo de tiempo de t : [a, a+ h] , el cambio de posiciÛn es:f (a+ h)$ f (a) , la velocidad promedio sobre el intervalo de tiempo es:

velocidad promedio =desplazamiento

tiempo=f (a+ h)$ f (a)

h

La velocidadpromedio esla pendiente dela recta secante:

!PQ

P. V·squez (UPRM) Conferencia 6 / 18

MATE 3031

Velocidad: En general suponga que un objeto se mueve a lo largo de unalÌnea recta de acuerdo a la ecuaciÛn del movimiento s = f (t),donde s esel desplazamiento (distancia dirigida) del objeto desde el origen en eltiempo t.

La funciÛn f que describe el movimiento es llamada la funciÛnposiciÛn del objeto.En el intervalo de tiempo de t : [a, a+ h] , el cambio de posiciÛn es:f (a+ h)$ f (a) , la velocidad promedio sobre el intervalo de tiempo es:

velocidad promedio =desplazamiento

tiempo=f (a+ h)$ f (a)

h

La velocidadpromedio esla pendiente dela recta secante:

!PQ

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Velocidad: En general suponga que un objeto se mueve a lo largo de unalÌnea recta de acuerdo a la ecuaciÛn del movimiento s = f (t),donde s esel desplazamiento (distancia dirigida) del objeto desde el origen en eltiempo t. La funciÛn f que describe el movimiento es llamada la funciÛnposiciÛn del objeto.

En el intervalo de tiempo de t : [a, a+ h] , el cambio de posiciÛn es:f (a+ h)$ f (a) , la velocidad promedio sobre el intervalo de tiempo es:

velocidad promedio =desplazamiento

tiempo=f (a+ h)$ f (a)

h

La velocidadpromedio esla pendiente dela recta secante:

!PQ

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Velocidad: En general suponga que un objeto se mueve a lo largo de unalÌnea recta de acuerdo a la ecuaciÛn del movimiento s = f (t),donde s esel desplazamiento (distancia dirigida) del objeto desde el origen en eltiempo t. La funciÛn f que describe el movimiento es llamada la funciÛnposiciÛn del objeto.En el intervalo de tiempo de t : [a, a+ h] , el cambio de posiciÛn es:f (a+ h)$ f (a) , la velocidad promedio sobre el intervalo de tiempo es:

velocidad promedio =desplazamiento

tiempo=f (a+ h)$ f (a)

h

La velocidadpromedio esla pendiente dela recta secante:

!PQ

P. V·squez (UPRM) Conferencia 6 / 18

MATE 3031

Velocidad: En general suponga que un objeto se mueve a lo largo de unalÌnea recta de acuerdo a la ecuaciÛn del movimiento s = f (t),donde s esel desplazamiento (distancia dirigida) del objeto desde el origen en eltiempo t. La funciÛn f que describe el movimiento es llamada la funciÛnposiciÛn del objeto.En el intervalo de tiempo de t : [a, a+ h] , el cambio de posiciÛn es:f (a+ h)$ f (a) , la velocidad promedio sobre el intervalo de tiempo es:

velocidad promedio =desplazamiento

tiempo=f (a+ h)$ f (a)

h

La velocidadpromedio esla pendiente dela recta secante:

!PQ

P. V·squez (UPRM) Conferencia 6 / 18

MATE 3031

Velocidad: En general suponga que un objeto se mueve a lo largo de unalÌnea recta de acuerdo a la ecuaciÛn del movimiento s = f (t),donde s esel desplazamiento (distancia dirigida) del objeto desde el origen en eltiempo t. La funciÛn f que describe el movimiento es llamada la funciÛnposiciÛn del objeto.En el intervalo de tiempo de t : [a, a+ h] , el cambio de posiciÛn es:f (a+ h)$ f (a) , la velocidad promedio sobre el intervalo de tiempo es:

velocidad promedio =desplazamiento

tiempo=f (a+ h)$ f (a)

h

x

y

a a+h

h

f(a+h)-f(a)

P(a ,f(a))

Q(a+h,f(a+h))

La velocidadpromedio esla pendiente dela recta secante:

!PQ

P. V·squez (UPRM) Conferencia 6 / 18

MATE 3031

Velocidad: En general suponga que un objeto se mueve a lo largo de unalÌnea recta de acuerdo a la ecuaciÛn del movimiento s = f (t),donde s esel desplazamiento (distancia dirigida) del objeto desde el origen en eltiempo t. La funciÛn f que describe el movimiento es llamada la funciÛnposiciÛn del objeto.En el intervalo de tiempo de t : [a, a+ h] , el cambio de posiciÛn es:f (a+ h)$ f (a) , la velocidad promedio sobre el intervalo de tiempo es:

velocidad promedio =desplazamiento

tiempo=f (a+ h)$ f (a)

h

x

y

a a+h

h

f(a+h)-f(a)

P(a ,f(a))

Q(a+h,f(a+h))

La velocidadpromedio esla pendiente dela recta secante:

!PQ

P. V·squez (UPRM) Conferencia 6 / 18

MATE 3031

Si la velocidad promedio se calcula en periodos de tiempo m·s pequeÒos,[a, a+ h] , es decir, h se aproxima a 0,

entonces se tiene la velocidad(velocidad instant·nea) v (a) en el tiempo t = a y se calcula como ellÌmite de la velocidad promedio:

v (a) = limh!0

f (a+ h)$ f (a)h

si el lÌmite existe.EjemploProb. 14.

P. V·squez (UPRM) Conferencia 7 / 18

MATE 3031

Si la velocidad promedio se calcula en periodos de tiempo m·s pequeÒos,[a, a+ h] , es decir, h se aproxima a 0,entonces se tiene la velocidad(velocidad instant·nea) v (a) en el tiempo t = a y se calcula como ellÌmite de la velocidad promedio:

v (a) = limh!0

f (a+ h)$ f (a)h

si el lÌmite existe.EjemploProb. 14.

P. V·squez (UPRM) Conferencia 7 / 18

MATE 3031

Si la velocidad promedio se calcula en periodos de tiempo m·s pequeÒos,[a, a+ h] , es decir, h se aproxima a 0,entonces se tiene la velocidad(velocidad instant·nea) v (a) en el tiempo t = a y se calcula como ellÌmite de la velocidad promedio:

v (a) = limh!0

f (a+ h)$ f (a)h

si el lÌmite existe.

EjemploProb. 14.

P. V·squez (UPRM) Conferencia 7 / 18

MATE 3031

Si la velocidad promedio se calcula en periodos de tiempo m·s pequeÒos,[a, a+ h] , es decir, h se aproxima a 0,entonces se tiene la velocidad(velocidad instant·nea) v (a) en el tiempo t = a y se calcula como ellÌmite de la velocidad promedio:

v (a) = limh!0

f (a+ h)$ f (a)h

si el lÌmite existe.EjemploProb. 14.

P. V·squez (UPRM) Conferencia 7 / 18

MATE 3031

Prob. 16

P. V·squez (UPRM) Conferencia 8 / 18

MATE 3031

DeÖniciÛn La derivada de una funciÛn f en un n˙mero a, denotada porf 0 (a) , es:

f 0 (a) = limh!0

f (a+ h)$ f (a)h

si el lÌmite existe.

Nota: Si x = a+ h) h = x $ a y se tiene: f 0 (a) = limx!a

f (x)$ f (a)x $ a

Recta tangente:La ecuaciÛn de la recta tangente a y = f (x) en (a, f (a)) es la recta quepasa por (a, f (a)) cuya pendiente es igual a f 0 (a), la derivada de f en a yes dada por:

y $ f (a) = f 0 (a) (x $ a)

P. V·squez (UPRM) Conferencia 9 / 18

MATE 3031

DeÖniciÛn La derivada de una funciÛn f en un n˙mero a, denotada porf 0 (a) , es:

f 0 (a) = limh!0

f (a+ h)$ f (a)h

si el lÌmite existe.

Nota: Si x = a+ h) h = x $ a y se tiene: f 0 (a) = limx!a

f (x)$ f (a)x $ a

Recta tangente:La ecuaciÛn de la recta tangente a y = f (x) en (a, f (a)) es la recta quepasa por (a, f (a)) cuya pendiente es igual a f 0 (a), la derivada de f en a yes dada por:

y $ f (a) = f 0 (a) (x $ a)

P. V·squez (UPRM) Conferencia 9 / 18

MATE 3031

DeÖniciÛn La derivada de una funciÛn f en un n˙mero a, denotada porf 0 (a) , es:

f 0 (a) = limh!0

f (a+ h)$ f (a)h

si el lÌmite existe.

Nota: Si x = a+ h) h = x $ a y se tiene: f 0 (a) = limx!a

f (x)$ f (a)x $ a

Recta tangente:La ecuaciÛn de la recta tangente a y = f (x) en (a, f (a)) es la recta quepasa por (a, f (a)) cuya pendiente es igual a f 0 (a), la derivada de f en a yes dada por:

y $ f (a) = f 0 (a) (x $ a)

P. V·squez (UPRM) Conferencia 9 / 18

MATE 3031

DeÖniciÛn La derivada de una funciÛn f en un n˙mero a, denotada porf 0 (a) , es:

f 0 (a) = limh!0

f (a+ h)$ f (a)h

si el lÌmite existe.

Nota: Si x = a+ h) h = x $ a y se tiene: f 0 (a) = limx!a

f (x)$ f (a)x $ a

Recta tangente:La ecuaciÛn de la recta tangente a y = f (x) en (a, f (a)) es la recta quepasa por (a, f (a)) cuya pendiente es igual a f 0 (a), la derivada de f en a yes dada por:

y $ f (a) = f 0 (a) (x $ a)

P. V·squez (UPRM) Conferencia 9 / 18

MATE 3031

Prob. 17

Prob. 20 Si la recta tangente a y = f (x) en (4, 3) pasa por el punto(0, 2) , halle f (4) y f 0 (4)

P. V·squez (UPRM) Conferencia 10 / 18

MATE 3031

Prob. 17

Prob. 20 Si la recta tangente a y = f (x) en (4, 3) pasa por el punto(0, 2) , halle f (4) y f 0 (4)

P. V·squez (UPRM) Conferencia 10 / 18

MATE 3031

Prob. 17

Prob. 20 Si la recta tangente a y = f (x) en (4, 3) pasa por el punto(0, 2) , halle f (4) y f 0 (4)

P. V·squez (UPRM) Conferencia 10 / 18

MATE 3031

Prob. 22 Haga el bosquejo de la gr·Öca de una funciÛn g para la cual:g (0) = g (4) = g (2) = 0, g 0 (1) = g 0 (3) = 0, g 0 (0) = g 0 (4) =1, g 0 (2) = $1, lim

x!∞g (x) = ∞, , lim

x!$∞g (x) = $∞.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

P. V·squez (UPRM) Conferencia 11 / 18

MATE 3031

26 a. Si G (x) = 4x2 $ x3, halle G 0(a) y ˙selo para hallar las rectastangentes a la curva y = 4x2 $ x3 en los puntos (2, 8) y (3, 9) .

29. Halle f 0 (a) si f (t) =2t + 1t + 3

P. V·squez (UPRM) Conferencia 12 / 18

MATE 3031

26 a. Si G (x) = 4x2 $ x3, halle G 0(a) y ˙selo para hallar las rectastangentes a la curva y = 4x2 $ x3 en los puntos (2, 8) y (3, 9) .

29. Halle f 0 (a) si f (t) =2t + 1t + 3

P. V·squez (UPRM) Conferencia 12 / 18

MATE 3031

26 a. Si G (x) = 4x2 $ x3, halle G 0(a) y ˙selo para hallar las rectastangentes a la curva y = 4x2 $ x3 en los puntos (2, 8) y (3, 9) .

29. Halle f 0 (a) si f (t) =2t + 1t + 3

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MATE 3031

34. El lÌmite limh!0

4p16+ h$ 2

hrepresenta la derivada de una funciÛn f en

alg˙n n˙mero a, halle f y a.

36. El lÌmite limx! π

4

tan x $ 1x $ π

4representa la derivada de una funciÛn f en

alg˙n n˙mero a, halle f y a.

P. V·squez (UPRM) Conferencia 13 / 18

MATE 3031

34. El lÌmite limh!0

4p16+ h$ 2

hrepresenta la derivada de una funciÛn f en

alg˙n n˙mero a, halle f y a.

36. El lÌmite limx! π

4

tan x $ 1x $ π

4representa la derivada de una funciÛn f en

alg˙n n˙mero a, halle f y a.

P. V·squez (UPRM) Conferencia 13 / 18

MATE 3031

34. El lÌmite limh!0

4p16+ h$ 2

hrepresenta la derivada de una funciÛn f en

alg˙n n˙mero a, halle f y a.

36. El lÌmite limx! π

4

tan x $ 1x $ π

4representa la derivada de una funciÛn f en

alg˙n n˙mero a, halle f y a.

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MATE 3031

Razones de cambioSuponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x . AsÌ, yes una funciÛn de x y se escribe: y = f (x). Si x cambia de x1 a x2,entonces el cambio en x (tambiÈn llamado el incremento de x) es:

∆x = x2 $ x1

y el cambio correspondiente en y es:

∆y = f (x2)$ f (x1)

El cociente de las diferencias:

∆y∆x

=f (x2)$ f (x1)

x2 $ x1

es llamado la razÛn de cambio promedio de y conrespecto a x, sobreel intervalo [x2, x1] y se puede interpretar como la pendiente de una rectasecante que pasa por los puntos (x1, f (x1)).y (x2, f (x2)) .

P. V·squez (UPRM) Conferencia 14 / 18

MATE 3031

Razones de cambioSuponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x . AsÌ, yes una funciÛn de x y se escribe: y = f (x). Si x cambia de x1 a x2,entonces el cambio en x (tambiÈn llamado el incremento de x) es:

∆x = x2 $ x1

y el cambio correspondiente en y es:

∆y = f (x2)$ f (x1)

El cociente de las diferencias:

∆y∆x

=f (x2)$ f (x1)

x2 $ x1

es llamado la razÛn de cambio promedio de y conrespecto a x, sobreel intervalo [x2, x1] y se puede interpretar como la pendiente de una rectasecante que pasa por los puntos (x1, f (x1)).y (x2, f (x2)) .

P. V·squez (UPRM) Conferencia 14 / 18

MATE 3031

Razones de cambioSuponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x . AsÌ, yes una funciÛn de x y se escribe: y = f (x). Si x cambia de x1 a x2,entonces el cambio en x (tambiÈn llamado el incremento de x) es:

∆x = x2 $ x1

y el cambio correspondiente en y es:

∆y = f (x2)$ f (x1)

El cociente de las diferencias:

∆y∆x

=f (x2)$ f (x1)

x2 $ x1

es llamado la razÛn de cambio promedio de y conrespecto a x, sobreel intervalo [x2, x1] y se puede interpretar como la pendiente de una rectasecante que pasa por los puntos (x1, f (x1)).y (x2, f (x2)) .

P. V·squez (UPRM) Conferencia 14 / 18

MATE 3031

Razones de cambioSuponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x . AsÌ, yes una funciÛn de x y se escribe: y = f (x). Si x cambia de x1 a x2,entonces el cambio en x (tambiÈn llamado el incremento de x) es:

∆x = x2 $ x1

y el cambio correspondiente en y es:

∆y = f (x2)$ f (x1)

El cociente de las diferencias:

∆y∆x

=f (x2)$ f (x1)

x2 $ x1

es llamado la razÛn de cambio promedio de y conrespecto a x, sobreel intervalo [x2, x1] y se puede interpretar como la pendiente de una rectasecante que pasa por los puntos (x1, f (x1)).y (x2, f (x2)) .

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Razones de cambioSuponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x . AsÌ, yes una funciÛn de x y se escribe: y = f (x). Si x cambia de x1 a x2,entonces el cambio en x (tambiÈn llamado el incremento de x) es:

∆x = x2 $ x1

y el cambio correspondiente en y es:

∆y = f (x2)$ f (x1)

El cociente de las diferencias:

∆y∆x

=f (x2)$ f (x1)

x2 $ x1

es llamado la razÛn de cambio promedio de y conrespecto a x, sobreel intervalo [x2, x1]

y se puede interpretar como la pendiente de una rectasecante que pasa por los puntos (x1, f (x1)).y (x2, f (x2)) .

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Razones de cambioSuponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x . AsÌ, yes una funciÛn de x y se escribe: y = f (x). Si x cambia de x1 a x2,entonces el cambio en x (tambiÈn llamado el incremento de x) es:

∆x = x2 $ x1

y el cambio correspondiente en y es:

∆y = f (x2)$ f (x1)

El cociente de las diferencias:

∆y∆x

=f (x2)$ f (x1)

x2 $ x1

es llamado la razÛn de cambio promedio de y conrespecto a x, sobreel intervalo [x2, x1] y se puede interpretar como la pendiente de una rectasecante que pasa por los puntos (x1, f (x1)).y (x2, f (x2)) .

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Similar a la velocidad, si se considera la razÛn de cambio promedio sobreintervalos cada vez m·s pequeÒos, haciendo que x2 se aproxime a x1 loque implica que ∆x se aproxima a cero.

El lÌmte de la razÛn de cambiopromedio es llamado la razÛn de cambio (instant·nea) de y conrespecto a x en x = x1, que se puede interpretar como la pediente de larecta tangente a la curva y = f (x) en el punto (x1, f (x1)) y se denotapor:

razÛn de cambio instant·nea = lim∆x!0

∆y∆x

= lim∆x!0

f (x2)$ f (x1)x2 $ x1

La expresiÛn anterior no es otra cosa que la derivada de f en x1.

Ahora se puede dar una interpretaciÛn diferente a y = f 0(a) que representala pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en x = a, como:

La derivada f 0(a) es la razÛn de cambio instant·nea de y = f (x) conrespecto a x cuando x = a.

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MATE 3031

Similar a la velocidad, si se considera la razÛn de cambio promedio sobreintervalos cada vez m·s pequeÒos, haciendo que x2 se aproxime a x1 loque implica que ∆x se aproxima a cero. El lÌmte de la razÛn de cambiopromedio es llamado la razÛn de cambio (instant·nea) de y conrespecto a x en x = x1, que se puede interpretar como la pediente de larecta tangente a la curva y = f (x) en el punto (x1, f (x1)) y se denotapor:

razÛn de cambio instant·nea = lim∆x!0

∆y∆x

= lim∆x!0

f (x2)$ f (x1)x2 $ x1

La expresiÛn anterior no es otra cosa que la derivada de f en x1.

Ahora se puede dar una interpretaciÛn diferente a y = f 0(a) que representala pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en x = a, como:

La derivada f 0(a) es la razÛn de cambio instant·nea de y = f (x) conrespecto a x cuando x = a.

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Similar a la velocidad, si se considera la razÛn de cambio promedio sobreintervalos cada vez m·s pequeÒos, haciendo que x2 se aproxime a x1 loque implica que ∆x se aproxima a cero. El lÌmte de la razÛn de cambiopromedio es llamado la razÛn de cambio (instant·nea) de y conrespecto a x en x = x1, que se puede interpretar como la pediente de larecta tangente a la curva y = f (x) en el punto (x1, f (x1)) y se denotapor:

razÛn de cambio instant·nea = lim∆x!0

∆y∆x

= lim∆x!0

f (x2)$ f (x1)x2 $ x1

La expresiÛn anterior no es otra cosa que la derivada de f en x1.

Ahora se puede dar una interpretaciÛn diferente a y = f 0(a) que representala pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en x = a, como:

La derivada f 0(a) es la razÛn de cambio instant·nea de y = f (x) conrespecto a x cuando x = a.

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Similar a la velocidad, si se considera la razÛn de cambio promedio sobreintervalos cada vez m·s pequeÒos, haciendo que x2 se aproxime a x1 loque implica que ∆x se aproxima a cero. El lÌmte de la razÛn de cambiopromedio es llamado la razÛn de cambio (instant·nea) de y conrespecto a x en x = x1, que se puede interpretar como la pediente de larecta tangente a la curva y = f (x) en el punto (x1, f (x1)) y se denotapor:

razÛn de cambio instant·nea = lim∆x!0

∆y∆x

= lim∆x!0

f (x2)$ f (x1)x2 $ x1

La expresiÛn anterior no es otra cosa que la derivada de f en x1.

Ahora se puede dar una interpretaciÛn diferente a y = f 0(a) que representala pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en x = a, como:

La derivada f 0(a) es la razÛn de cambio instant·nea de y = f (x) conrespecto a x cuando x = a.

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Similar a la velocidad, si se considera la razÛn de cambio promedio sobreintervalos cada vez m·s pequeÒos, haciendo que x2 se aproxime a x1 loque implica que ∆x se aproxima a cero. El lÌmte de la razÛn de cambiopromedio es llamado la razÛn de cambio (instant·nea) de y conrespecto a x en x = x1, que se puede interpretar como la pediente de larecta tangente a la curva y = f (x) en el punto (x1, f (x1)) y se denotapor:

razÛn de cambio instant·nea = lim∆x!0

∆y∆x

= lim∆x!0

f (x2)$ f (x1)x2 $ x1

La expresiÛn anterior no es otra cosa que la derivada de f en x1.

Ahora se puede dar una interpretaciÛn diferente a y = f 0(a) que representala pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en x = a, como:

La derivada f 0(a) es la razÛn de cambio instant·nea de y = f (x) conrespecto a x cuando x = a.

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Similar a la velocidad, si se considera la razÛn de cambio promedio sobreintervalos cada vez m·s pequeÒos, haciendo que x2 se aproxime a x1 loque implica que ∆x se aproxima a cero. El lÌmte de la razÛn de cambiopromedio es llamado la razÛn de cambio (instant·nea) de y conrespecto a x en x = x1, que se puede interpretar como la pediente de larecta tangente a la curva y = f (x) en el punto (x1, f (x1)) y se denotapor:

razÛn de cambio instant·nea = lim∆x!0

∆y∆x

= lim∆x!0

f (x2)$ f (x1)x2 $ x1

La expresiÛn anterior no es otra cosa que la derivada de f en x1.

Ahora se puede dar una interpretaciÛn diferente a y = f 0(a) que representala pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en x = a, como:

La derivada f 0(a) es la razÛn de cambio instant·nea de y = f (x) conrespecto a x cuando x = a.

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44. El n˙mero N de locales de una cadena popular de cafÈ se presentanen la siguiente tabla:AÒo 2004 2005 2006 2007 2008N 8569 10241 12440 15011 16680

a.

b.

c.

d.

P. V·squez (UPRM) Conferencia 16 / 18

MATE 3031

44. El n˙mero N de locales de una cadena popular de cafÈ se presentanen la siguiente tabla:AÒo 2004 2005 2006 2007 2008N 8569 10241 12440 15011 16680

a.

b.

c.

d.

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44. El n˙mero N de locales de una cadena popular de cafÈ se presentanen la siguiente tabla:AÒo 2004 2005 2006 2007 2008N 8569 10241 12440 15011 16680

a.

b.

c.

d.

P. V·squez (UPRM) Conferencia 16 / 18

MATE 3031

44. El n˙mero N de locales de una cadena popular de cafÈ se presentanen la siguiente tabla:AÒo 2004 2005 2006 2007 2008N 8569 10241 12440 15011 16680

a.

b.

c.

d.

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48. El n˙mero de bacterias despuÈs de t horas en un laboratorioexperimental es n = f (t):a. øCu·l es el signiÖcado de f 0 (5)? øCu·les son sus unidades?

b. ...

P. V·squez (UPRM) Conferencia 17 / 18

MATE 3031

48. El n˙mero de bacterias despuÈs de t horas en un laboratorioexperimental es n = f (t):a. øCu·l es el signiÖcado de f 0 (5)? øCu·les son sus unidades?

b. ...

P. V·squez (UPRM) Conferencia 17 / 18

MATE 3031

48. El n˙mero de bacterias despuÈs de t horas en un laboratorioexperimental es n = f (t):a. øCu·l es el signiÖcado de f 0 (5)? øCu·les son sus unidades?

b. ...

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