mat021 guia coordinacion continuidad 1

5/16/2018 Mat021 Guia Coordinacion Continuidad 1 - slidepdf.com

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Coordinación de Matemática I (MAT021)

1er Semestre 2009

Hoja de Trabajo “Continuidad"

Indique si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se indican.

1. f (x) =

x2 + x si x ≤ 1

2x si x > 1;para x0 = 1

2. g(x) =

2x − 4 si x < 1

1 si x ≥ 1;para x0 = 1

3. g(x) =

x2 − 16

x − 4si x = 4

8 si x = 4;para x0 = 4

Analice la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican. Señale si es discontinuareparable y cuál es su reparación.

4. f (x) =x2

− 4x − 2 para x0 = 2

5. g(x) =x2 − 3x

x − 3para x0 = 3

6. f (x) =x2 − 25

x2 − 7x + 10para x0 = 5

7. f (x) =x2 + x − 6

x2 − 6x + 9para x0 = 2

8. La función y está definida de la siguiente manera:

y = 0 si x < 0;

y = x si 0 ≤ x < 1;y = −x2 + 4x − 2 si 1 ≤ x < 3;y = 4 − x si x ≥ 3.

¿Es esta función continua?

9. Sea f (x) =

x + 1 si x ≤ 1

3 − ax2 si x > 1;¿Para que valores de a la función f (x) es continua?

10. Sea f (x) =

− sen(x) si x ≤ −π

2;

A sen(x + B) si −π

2≤ x ≤ −π

2;

cos(x) si x ≥ π

2.

Determine los números A y B de modo que la

función f (x) sea continua. Grafíquela.

11. Determine los puntos en donde las funciones y =1

x − 2e y =

1

(x + 2)2son discontinuas. Grafique

ambas funciones. Determine las diferencia en el comportamiento de las funciones cerca de los puntosde discontinuidad.

12. La funciónx2 − 1

x3 − 1no está definida para x = 1. ¿Cuál debe ser el valor de f (1) de modo que la función

se extienda continuamente a x = 1?

1



13. ¿Qué clase de discontinuidad tienen las funciones y =sen(x)

xe y =

cos(x)

xcuando x = 0? Indique las

características de los gráficos de estas funciones en una vecindad de el punto x = 0.

14. Estudie la continuidad de la función y =|x|x

, en los siguientes casos: para x = 0, para x = 0. Esboce

el gráfico de esta función.

15. Sea

f (x) =

x x ∈ R−Q

1 − x x ∈ Q

Demuestre que f es continua en x =1

2y discontinua en todos los demas puntos.

16. Sea

f (x) =

x sen

1

x

x = 0

0 x = 0

Probar que f es continua en 0.

17. Sea h(x) = sen

1

x

, x = 0. Demuestre que no importa como se intente definir h en 0, siempre sera

discontinua en 0.

18. Sea

f (x) =

2x + 1

3x − 1si x < b

1

(x − 1)2si x ≥ b

Determine el (los) valor(es) de b en R, tal que f sea continua en b.

19. Determine condiciones sobre a y b en R para que

f (x) =

a(x3 − x)

3(x − 1)si x < 1

2ax + b si 1 ≤ x ≤ 4

x2 − 16

x − 4si 4 < x

sea continua en R

20. Sea f (x) =x3/2 +

√x − x − 1

√x − 1¿Que tipo de discontinuidad hay en x = 1?

21. Sea

f (x) =1 − sen2

x

2

π − x

¿Se puede definir f (π) de modo que f sea continua en todo R.

2



22. Considerar la función

f (x) =

8 − x3

x2 − 2xx < 2

2x x > 2

Clasificar las discontinuidades de f .

23. Determinar A y B tal que

f (x) =

A cos(3πx) − Bx x ≤ 1

3

x − 1

33x − 1

1

3< x ≤ 6

3Ax2 + 6Bx − 5 x > 6

sea continua en todo R

24. Para cada función que sigue, el dominio es R salvo un número fínito de puntos. Examinar en cada unode los puntos en que la función no esta definida y determinar si es posible definir la función en esospuntos, de modo que sea continua en él.

(a) f (x) =x

x − 2(b) g(x) =

x2 − 1

x3 − 1

(c) h(x) =sen2x

x − x2d) f (x) =

3√

1 + x − 1

x

25. Sea f : I → R continua, I es un intervalo en R. Probar que f (I ) es un intervalo.

26. Suponer que f y g son continuas en x0 y que f (x0) < g (x0) entonces existe un intervalo I , con centroen x0 tal que ∀x ∈ I ; f (x) ≤ g(x).

27. Sea g : R −→ R tal que g(x + y) = g(x)g(y), ∀x, y ∈ R. Probar que si g es continua en x = 0, entoncesg es continua en todo punto. Además si g(a) = 0, para algún a ∈ R, entonces g(x) = 0, ∀x ∈ R.

28. Una función f : R −→ R se dice aditiva si ∀x, y ∈ R, se cumple que f (x + y) = f (x) + f (y).

a ) Probar que una función aditiva que es continua en x = 0, es continua en todo R

b) Probar que una función aditiva monotona es continua en todo R

29. Sean f y g continuas en un punto a ∈ R. Sean h(x) = sup{f (x), g(x)} y k(x) = ınf {f (x), g(x)}.Demostrar que h y k son continuas en a.

(Sugerencia: sup{b, c} = 12(b + c + |b − c|) e ınf {b, c} = 1

2(b + c − |b − c|)).

30. Probar que no existe una función continua f : R

→R tal que f −1(y) tenga exactamente dos elementos,

∀y ∈ R.

31. Probar que toda función racional (cuociente de dos funciones polinomiales) es continua en todo sudominio.

32. Sean f y g funciones continuas en R. Probar que:

f (x) = g(x) ∀x ∈ Q ⇐⇒ f (x) = g(x) ∀x ∈ R

3



33. Encontrar una función que sea continua en un número finito de puntos dados y en todos los demás seadiscontinua.

34. Analice la continuidad de las siguientes funciones y grafiquelas

a ) f (x) = [x] +

x − [x]

b) f (x) = sen(x)| sen(x)|c ) f (x) = (−1)[1/x]

d ) f (x) = lımn→∞

1

1 + xncon x ∈ R

35. Estudie la continuidad de la siguiente función

f (x) =

8x , x ≤ 0x3 , 0 < x ≤ 1−2x + 4 , 1 < x ≤ 3x2 − 11 , 3 < x

36. Sea

f (x) =

mx + 2(1 − x) , x ≥ 2

ax2 − b , x < 2

¿Que condiciones tienen que satisfacer los parámetros m,a,b para que la función sea continua?

37. Calcule a y b para que la función

f (x) =

x2

√1 + x2 − 1

, x < 0

ax + b , 0 ≤ x ≤ 2

x − √x + 2√4x + 1 − 3

, 2 < x

sea continua.

38. Sea f : R → R definida por

f (x) =

x , x ∈ Q

−x , x ∈ R−QPruebe que f es continua solo en x = 0.

39. Sean f, g : [0, 1] → R funciones continuas. Si f (1) = g(0) pruebe que la función h : [0, 1] → R definidapor

h(x) =

f (2x) , 0 ≤ x ≤

12

g(2x − 1) , 12

≤ x ≤ 1

es continua.

40. Sea f : R → R una función que satisface |f (x)| ≤ |x| para cada x ∈ R. Demuestre que f es continuaen 0.

4



41. Sea g una función continua en 0 con g(0) = 0 y |f (x)| ≤ |g(x)|, ∀x ∈ R. Pruebe que f es continua en0.

42. Dé un ejemplo de una función f discontinua en todo su dominio, pero que |f | sea continua.

43. Demuestre que si f : [a, b] → R es una función continua, entonces existe una función g : R → R

continua tal que g(x) = f (x) ,

∀x

∈[a, b]. Dé un ejemplo que muestre que la afirmación es falsa si

reemplazamos [a, b] por (a, b).

44. Sea p : R → R un polinomio de grado par, cuyo coeficiente líder es positivo. Pruebe que el polinomiotiene un mínimo x0 ∈ R. Si p(x0) < 0, muestre que p tiene por lo menos 2 raices reales.

45. Si f y g son funciones continuas con f (3) = 5 y lımx→3

(2f (x) − g(x)) = 4. Calcule g(3).

46. Pruebe que existe x ∈ [0, π] tal quesen(x) = x − 1

47. Iniciando a las 4 am, un excursionista escala lentamente hacia la cima de una montaña llegando almediodía. Al día siguiente, él regresa a lo largo de la misma ruta, iniciando a las 5 am, y llegando alpie de la montaña a las 11 am. Demuestre que en algún punto a lo largo de la ruta su reloj mostraba

lña misma hora en ambos días.

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