MOVIMIENTO ARMÓNICO

SIMPLE (MAS)

Lic. Gladys Ofelia Cruz Villar

POSICIÓN DE

EQUILIBRIO (RESORTE

NORMAL)

POSICIÓN DE

EQUILIBRIO (RESORTE

COMPRIMIDO)

POSICIÓN DE

EQUILIBRIO (RESORTE

ELONGADO)

+(A)

- (A)

OSCILACIÓN

• Movimiento repetido de un lado a otro en torno a una

posición central, o posición de equilibrio.

• ELEMENTOS

– O: Posición de Equilibrio

– F: Fuerza Restauradora

– k: constante del resorte

– m: masa del bloque

– A: Amplitud A

TÉRMINOS PARA ANALIZAR

MOVIMIENTOS PERIÓDICOS

• AMPLITUD (A): Magnitud máxima del desplazamiento.

Se mide en metros

• CICLO: Vibración completa

• PERÍODO (T): Tiempo que tarda un ciclo. Se mide en

segundos

• FRECUENCIA (f): Número de ciclos en un segundo, se

mide en Hertz (Hz)= 1 ciclo por segundo=1/s

• FRECUENCIA ANGULAR (ω) : Es 2π veces la

frecuencia , se mide en radianes por segundo= rad/s

Tf

1

fT

1

Tf

22

EJEMPLO 01

A= 6 cm

T= 5 s

f=1/5 Hz=0.2 Hz

ω=2πf=1.26 rad/s

Ejemplo 2

Solución

• Calculando la constante del

resorte:

• Hallando la velocidad angular

• Calculando la frecuencia:

• Calculando el período

La fuerza de restitución

de un resorte idealizado

es directamente

proporcional al

desplazamiento. Ésta es

la ley de Hooke, Fx=-kx.

La oscilación con una

fuerza de restitución que

obedece la ley de

Hooke se denomina

movimiento armónico

simple (M.A.S)

SIMILITUD DEL MAS Y EL

MOVIMIENTO CIRCULAR• La bola en el punto Q gira

en movimiento circularuniforme antihorario. Susombra en el punto P semueve con M.A.S.exactamente igual que uncuerpo oscila en unresorte ideal. Esto es, elM.A.S. es la proyeccióndel movimiento circularuniforme sobre undiámetro.

SIMILITUD DEL MAS Y EL

MOVIMIENTO CIRCULAR

VQ=ωA

Vx= -ωA.senθ ax= -ω2A.cosθ

MOVIMIENTO ARMÓNICO

SIMPLE (MAS)• Fuerza de restitución del

resorte ideal:

• Fx=-kx

– k, se mide en N/m o kg/s2

• Si la fuerza de restitución es

directamente proporcional al

desplazamiento respecto al

equilibrio, la oscilación se

denomina MOVIMIENTO

ARMÓNICO SIMPLE (MAS),

cuya aceleración “a” está dada

por la ecuación.

xm

k

dt

xda

2

Esta aceleración NO ES

CONSTANTE.

Un cuerpo que está en MAS se

denomina oscilador armónico.

MOVIMIENTO ARMÓNICO

SIMPLE (MAS)

m

k

m

kf

2

1

2

DESPLAZAMIENTO EN EL MAS

• Desplazamiento x:• t: tiempo

• Φ: ángulo de fase, nos dice en

qué punto el ciclo del

movimiento estaba en t=0

• Si la posición en t=0, es xo

• xo=Acos Φ

VARIACIONES DEL MAS

VARIACIONES DEL MAS

VARIACIONES DEL MAS

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN

EL MAS

• Derivando una vez el desplazamiento x,

obtenemos, la velocidad:

• Derivando dos veces el desplazamiento x,

obtenemos, la aceleración:

Gráficas(a) Gráfica de x contra t para MAS.

En esta gráfica Ф=π/3.

(b) Gráfica de vx contra t para el mismo

movimiento. Esta curva esta

desplazada ¼ de ciclo respecto a la

de x-t.

(c) Gráfica de ax contra t para el mismo

movimiento.

La gráfica x-t está desplazada ¼ de

ciclo respecto a la de vx –t y ½ ciclo

respecto a la de ax –t .

Obtención del ángulo de fase Φ y

la amplitud A

• En t= 0

• Luego:

• Por lo tanto el ángulo

de fase será:

EJEMPLO 03

• Del ejemplo 2, con k= 200 N/m, ω=20

rad/s y m=0.50 kg, si tenemos ahora un

desplazamiento inicial x0=+0.015 m, y una

velocidad inicial de v0=+0.40 m/s.

Determinemos la amplitud y ángulo de

fase, escriba las ecuaciones para el

desplazamiento, velocidad y aceleración

en función del tiempo.

SOLUCIÓN

• Determinando la amplitud

• Determinando el ángulo de

fase:

• Las ecuaciones quedarían así:

Energía en el MAS

• La energía mecánica en el

MAS queda expresada como:

• La velocidad vx en un

desplazamiento x queda:

• En x=0 tenemos la velocidad

máxima

EJEMPLO 04

• Del ejemplo 2, con k= 200 N/m, ω=20

rad/s y m=0.50 kg, y la masa oscilante se

suelta del reposo en x=0.020 m. a)Calcule

las velocidades máxima y mínima que

alcanza el cuerpo. b) La aceleración

máxima c) La velocidad y aceleración a la

mitad del camino hacia el centro de su

posición inicial d) Determine las energías

potencial, cinética y total en esa posición.

SOLUCIÓN

• Velocidad máxima y mínima • Aceleración máxima

SOLUCIÓN

• Velocidad a la mitad del

camino

• Aceleración a la mitad del

camino

SOLUCIÓN• Energía Total

• Energía Potencial:

SOLUCIÓN• Energía Cinética