marco teórico - ryr2008.files.wordpress.com · muestran las siguientes para utilizarlas en la...

Universidad de San Carlos de Guatemala

Teoría de Conjuntos

Estudiante: Ronald Oliverio Chubay Gallina

-16 de mayo 2012-

Marco Teórico

Para el presente texto se deducen algunas expresiones y luego se demuestran, para otras

se demuestran, para ello se presentan términos importantes.

Serie: consiste en una sucesión de sumas parciales hasta un n-ésimo término, algunas

tienen una solución que puede ser deducida utilizando propiedades, algunos ejemplos son:

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛 = 𝑖

𝑛

𝑖=1

=𝑛(𝑛 + 1)

2

Deducción: Si la serie se suma dos veces de la siguiente forma:

𝑆𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 − 1 + 𝑛

𝑆𝑛 = 𝑛 + 𝑛 − 1 + ⋯ + 3 + 2 + 1

2𝑆𝑛 = 𝑛 + 1 + 𝑛 + 1 + 𝑛 + 1 … . . 𝑛 + 1 𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 (𝑛 + 1)

Despejando se llega a la definición mostrada, así mismo muchas otras pueden ser deducida, se

muestran las siguientes para utilizarlas en la deducción de los ejercicios.

𝑖2

𝑛

𝑖=1

=𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)

6

𝑖3

𝑛

𝑖=1

= 𝑛(𝑛 + 1)

2

2

Universidad de San Carlos de Guatemala Teoría de Conjuntos

Ronald Oliverio Chubay Gallina. [email protected]

𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 … . 𝑎𝑟𝑛 = 𝑎𝑟𝑖

𝑛

𝑖=0

=𝑎𝑟𝑛+1 − 𝑎

𝑟 − 1

Conocida como serie geométrica donde:

𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 …… + 𝑎𝑟𝑛−1 + 𝑎𝑟𝑛

𝑟𝑆𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 …… + 𝑎𝑟𝑛 + 𝑎𝑟𝑛+1

Luego: 𝑟𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 = 𝑎𝑟𝑛+1 − 𝑎

Al despejar se obtiene la ecuación la suma hasta el n-ésimo término.

Inducción matemática: Es un razonamiento que permite demostrar proposiciones que se

cumplen para un conjunto de números naturales o enteros, la inducción fue propuesta por

Peano al dar a conocer los axiomas que definen los números naturales, conocido como

axioma de inducción, se procede de la siguiente forma:

(i) Caso base, se verifica que la proposición se cumple para un número

determinado.

(ii) Hipótesis de inducción, se asume que se cumple para el número k.

(iii) Demostración, se demuestra que la propiedad se cumple para el sucesor de k

(k+1), entonces se cumple para todos los valores siguientes del caso base.

Reducción al absurdo: Técnica de demostración donde dada una proposición se asume

una proposición contraria y se intenta demostrar esta proposición contraria, si conduce a

algo contradictorio implica que la proposición contraria no es cierta, por lo tanto la

proposición original si lo es, demostrando su veracidad o falsedad.

Conjunto: Se denomina conjunto a la agrupación, colección de objetos siempre que

cumplan con propiedades “p(x)” para estar dentro, así para los elementos que hagan

verdadera la propiedad p(x) se dice que estos elementos pertenecen al conjunto. Ejemplo:

𝐷 = 𝑥

𝑥= 2𝑘, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 > 0

Así los elementos que hacen que la propiedad o propiedades p(x) para el conjunto D son:



𝐷 = 2, 4, 6, 8, 10 … .

Conocido como números pares.

Se dice que: 𝐴 ⊂ 𝐵 cuando todos los elementos de A se encuentran en B.

𝐴 ⊂ 𝐵 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵

𝐴 ∪ 𝐵 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵

𝐴 ∩ 𝐵 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵

𝐴 − 𝐵 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵

𝐴𝑐 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐴𝑐 → 𝑥 ∉ 𝐴

Demostraciones

a. 𝟑 + 𝟏𝟏 + 𝟏𝟗 + ⋯ + 𝟖𝒏 − 𝟓 = 𝟒𝒏𝟐 − 𝒏

Primero se trata de deducir la proposición.

3 + 11 + 19 + ⋯ + 8𝑛 − 5 = 8𝑖 − 5 =

𝑛

𝑖=1

8 𝑖

𝑛

𝑖=1

− 5

𝑛

𝑖=1

=

8𝑛(𝑛 + 1)

2− 5𝑛 = 4𝑛2 + 4𝑛 − 5𝑛 = 4𝑛2 − 𝑛

Segundo se demuestra que es cierta para los naturales. Por inducción se tiene:

(i) Caso base, verificar para n=1 la suma vale 3.

4(1)2 − 1 = 3

(ii) Hipótesis, se asume que es cierta para n=k

3 + 11 + 19 + ⋯ + 8𝑘 − 5 = 4𝑘2 − 𝑘 = 8𝑖 − 5

𝑘

𝑖=1

(iii) Demostración, n=k+1

3 + 11 + 19 + ⋯ + 8𝑘 − 5 + 8 𝑘 + 1 − 5 = 8𝑖 − 5

𝑘+1

𝑖=1

= 8𝑖 − 5

𝑘

𝑖=1

+ 8 𝑘 + 1 − 5

= 4𝑘2 − 𝑘 + 8 𝑘 + 1 − 5 = 4𝑘2 − 𝑘 + 8𝑘 + 8 − 5 = 4𝑘2 + 7𝑘 + 3

= 4 𝑘2 + 2𝑘 + 1 + 7𝑘 + 3 − 8𝑘 − 4 = 𝟒(𝒌 + 𝟏)𝟐 − (𝒌 + 𝟏)



Con lo cual queda demostrado que el siguiente también es cierto, por lo que la proposición se cumple para

todos los naturales.

b. 𝟐𝒊𝒏𝒊=𝟏 = 𝟐𝒏+𝟏 − 𝟐 = 𝟐 + 𝟐𝟐 + ⋯𝟐𝒏

Se utiliza la definición de geométrica, observando que el límite inferior es 1 y no 0.

𝑎𝑟𝑖

𝑛

𝑖=0

=𝑎𝑟𝑛+1 − 𝑎

𝑟 − 1= 2𝑖

𝑛

𝑖=0

=2𝑛+1 − 1

2 − 1= 2𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝑆0

Puesto que la suma desde 0 es igual a la suma desde un número i (inicial) + todos los anteriores.

2𝑖

𝑛

𝑖=1

= 2𝑖

𝑛

𝑖=0

− 𝑆0 = 2𝑛+1 − 1 − 20+1 − 1 = 2𝑛+1 − 1 − 1 = 2𝑛+1 − 2

Demostración:

(i) Para n=1 la suma vale 2.

21+1 − 2 = 2

(ii) 2𝑘+1 − 2 = 2𝑖𝑘𝑖=1

(iii) Demostración:

2𝑖

𝑘+1

𝑖=1

= 2 + 22 + ⋯ 2𝑘 + 2𝑘+1 = 2𝑖

𝑘

𝑖=1

+ 2𝑘+1

2𝑘+1 − 2 + 2𝑘+1 = 2𝑘+1 + 2𝑘+1 − 2 = 2 ∗ 2𝑘+1 − 2 = 𝟐𝒌+𝟐 − 𝟐

c. 𝟏 ∗ 𝟏! + 𝟐 ∗ 𝟐! + 𝟑 ∗ 𝟑! …𝒏 ∗ 𝒏! = 𝒏 + 𝟏 ! − 𝟏

Se observa la suma de los primeros términos.

𝑆1 = 1 ∗ 1! = 1, 𝑆2 = 1 + 2 ∗ 2! = 1 + 4 = 5 , 𝑆3 = 5 + 3 ∗ 3! = 5 + 3 ∗ 6 = 5 + 18 = 23

Se puede notar que la suma hasta n=1 es 2!-1, luego la suma hasta n=2 es 6!-1, es decir, en general las suma

hasta el n-ésimo término es el factorial del siguiente menos 1.

Demostración:

(i) 1 + 1 ! − 1 = 2! − 1 = 2 − 1 = 1

(ii) 1 ∗ 1! + 2 ∗ 2! + 3 ∗ 3! …𝑘 ∗ 𝑘! = 𝑘 + 1 ! − 1 = 𝑖 ∗ 𝑖! 𝑘𝑖=1

(iii) Demostración:

1 ∗ 1! + 2 ∗ 2! + 3 ∗ 3! …𝑘 ∗ 𝑘! + 𝑘 + 1 𝑘 + 1 ! = 𝑖 ∗ 𝑖!

𝑘+1

𝑖=1



𝑖 ∗ 𝑖!

𝑘+1

𝑖=1

= 𝑖 ∗ 𝑖!

𝑘

𝑖=1

+ 𝑘 + 1 𝑘 + 1 ! = 𝑘 + 1 ! − 1 + 𝑘 + 1 𝑘 + 1 !

= 𝑘 + 1 ! 1 + 𝑘 + 1 − 1 = 𝑘 + 1 ! 𝑘 + 2 − 1

De la definición de factorial:

𝑛! = 𝑛 − 1 ! 𝑛

(𝑛 + 2)! = 𝑛 + 1 ! (𝑛 + 2)

Entonces:

𝑘 + 1 ! 𝑘 + 2 − 1 = 𝒌 + 𝟐 ! − 𝟏

Con lo que queda demostrado que la proposición es cierta para los siguientes números.

d. (𝟐𝒊 − 𝟏)𝟑𝒏𝒊=𝟏 = 𝒏𝟐 𝟐𝒏𝟐 − 𝟏 = 𝟏 𝟑 + 𝟑 𝟑 + ⋯ . 𝟐𝒏 − 𝟏 𝟑

Deducimos al operar y expandir.

(2𝑖 − 1)3

𝑛

𝑖=1

= (8𝑖3 − 12𝑖2 + 6𝑖 − 1)

𝑛

𝑖=1

= 8 ∗ 𝑛2 + 𝑛

4− 12 ∗

𝑛2 + 𝑛 2𝑛 + 1

6+ 6 ∗

𝑛2 + 𝑛

2− 𝑛

= 2 𝑛2 + 𝑛 − 2 𝑛2 + 𝑛 2𝑛 + 1 + 3 𝑛2 + 𝑛 − 𝑛 = 2𝑛4 − 𝑛2 = 𝑛2(2𝑛2 − 1)

Demostración:

(i) La suma es 1 para n=1

12 2 1 2 − 1 = 1

(ii) (2𝑖 − 1)3𝑘𝑖=1 = 𝑘2(2𝑘2 − 1)

(iii) Demostración

(2𝑖 − 1)3

𝑘+1

𝑖=1

= (2𝑖 − 1)3

𝑘

𝑖=1

+ 2 𝑘 + 1 − 1 3)

= 𝑘2 2𝑘2 − 1 + 2𝑘 + 1 3 = 2𝑘4 − 𝑘2 + 8𝑘3 + 12𝑘2 + 6𝑘 + 1

= 2𝑘4 + 8𝑘3 + 11𝑘2 + 6𝑘 + 1 = 2𝑘4 + 4𝑘3 + 2𝑘2 + 4𝑘3 + 9𝑘2 + 6𝑘 + 1

= 2𝑘2 𝑘2 + 2𝑘 + 1 + 4𝑘 + 1 𝑘2 + 2𝑘 + 1 = 𝑘 + 1 2 2𝑘2 + 4𝑘 + 1

= 𝑘 + 1 2 2𝑘2 + 4𝑘 + 2 − 1 = 𝒌 + 𝟏 𝟐 𝟐 𝒌 + 𝟏 𝟐 − 𝟏

Lo cual demuestra que es cierta la proposición.

e. 𝟏

𝟐!+

𝟐

𝟑!+

𝟑

𝟒!… . . +

𝒏

𝒏+𝟏 != 𝟏 −

𝟏

𝒏+𝟏 !

Al observar las sumas parciales se tiene.

𝑆1 =1

2, 𝑆2 =

1

2+

2

6=

5

6, 𝑆3 =

1

2+

2

6+

3

24=

23

24… . 𝑆𝑛 =

𝑛 + 1 ! − 1

𝑛 + 1 !



Demostración:

(i) 𝑆1 = 1+1 !−1

1+1 != 𝑆𝑛 = 1 −

1

1+1 != 1 −

1

2=

1

2

(ii) 𝑆𝑘 = 1 −1

𝑘+1 !

(iii) 𝑆𝑘+1 = 𝑆𝑘 +𝑘+1

𝑘+2 !

𝑆𝑘+1 = 1 −1

𝑘 + 1 !+

𝑘 + 1

𝑘 + 2 != 1 − −

1

𝑘 + 1 !+

𝑘 + 1

𝑘 + 1 ! 𝑘 + 2

𝑆𝑘+1 = 1 +−𝑘 − 2 + 𝑘 + 1

𝑘 + 1 ! 𝑘 + 2 = 1 +

−1

𝑘 + 1 ! 𝑘 + 2 = 𝟏 −

𝟏

𝒌 + 𝟐 !

h. La siguiente es una serie conocida como telescópica y se trabaja con fracciones parciales.

𝟏

𝟐𝒊 − 𝟏 𝟐𝒊 + 𝟏 =

𝒏

𝟐𝒏 + 𝟏

𝒏

𝒊=𝟏

Al desarrollarla como fracciones parciales se obtiene:

1

2𝑖 − 1 2𝑖 + 1 =

𝑛

𝑖=1

1

2(2𝑛 − 1)−

1

2(2𝑛 + 1)

𝑛

𝑖=1=

1

2

1

(2𝑛 − 1)−

1

(2𝑛 + 1)

𝑛

𝑖=1

1

2

1

(2𝑛 − 1)−

1

(2𝑛 + 1)

𝑛

𝑖=1=

1

2

1

1−

1

3 +

1

3−

1

5 +

1

5−

1

7 … +

1

2𝑛 − 1−

1

2𝑛 + 1

De la expansión anterior se van eliminando por pares quedando solo el primer y último término.

1

2𝑖 − 1 2𝑖 + 1 =

𝑛

𝑖=1

1

2 1 −

1

2𝑛 + 1 =

𝑛

2𝑛 + 1

Demostración:

(i) Para n=1

1

2 1 −

1

3 =

1

3,

1

2(1) + 1=

1

3

(ii)

𝑆𝑘 = 1

2𝑖 − 1 2𝑖 + 1 =

𝑘

𝑖=1

𝑘

2𝑘 + 1

(iii)

𝑆𝑘+1 = 1

2𝑖 − 1 2𝑖 + 1 =

𝑘+1

𝑖=1𝑆𝑘 +

1

2(𝑘 + 1) − 1 2(𝑘 + 1) + 1

𝑆𝑘+1 =𝑘

2𝑘 + 1+

1

2𝑘 + 1 2𝑘 + 3 =

𝑘 2𝑘 + 3 + 1

2𝑘 + 1 2𝑘 + 3 =

2𝑘2 + 3𝑘 + 1

2𝑘 + 1 2𝑘 + 3

𝑆𝑘+1 = 𝑘 + 1 2𝑘 + 1

2𝑘 + 1 2𝑘 + 3 =

𝑘 + 1

2𝑘 + 3=

𝒌 + 𝟏

𝟐(𝒌 + 𝟏) + 𝟏

g. Demuestre que 𝒏𝟑 + 𝟓𝒏 + 𝟔 es divisible entre 3



Demostramos por inducción

(i) n=1

(1)3 + 5 1 + 6 = 12

Divisible entre 3.

(ii) Asumimos que el cociente es un polinomio y para valores de n obtenemos números naturales.

𝑘3 + 5𝑘 + 6

3= 𝑃 𝑘 → 𝑘3 + 5𝑘 + 6 = 3𝑃(𝑘)

(iii) El siguiente debería ser un polinomio también, tenemos que demostrar que lo es (recuerde que un

polinomio solo tiene exponentes naturales, por lo que a cualquier valor de n se obtienen números enteros.

(𝑘 + 1)3 + 5(𝑘 + 1) + 6

3= 𝐻 𝑘 → (𝑘 + 1)3 + 5(𝑘 + 1) + 6 = 3𝐻(𝑘)

3𝐻 𝑘 = 𝑘 + 1 3 + 5 𝑘 + 1 + 6 = 𝑘3 + 3𝑘2 + 3𝑘 + 1 + 5𝑘 + 5 + 6

3𝐻 𝑘 = 𝑘3 + 3𝑘2 + 8𝑘 + 12 = 𝑘3 + 5𝑘 + 6 + 3𝑘2 + 3𝑘 + 6

𝑯 𝒌 = 𝑷(𝒌) + 𝒌𝟐 + 𝒌 + 𝟐

Puesto que P(k) es un polinomio, H(k) también lo es, por lo tanto es divisible en 3.

h. Demostrar que 𝟒𝒏 − 𝟏 es divisible por 3.

(i) 41 − 1 = 3 , entonces se divide por 3.

(ii) Asumimos 4𝑘−1

3= 𝑃(𝑘)

(iii) Luego el siguiente debería ser también un entero.

4𝑘+1 − 1

3= 𝐻 𝑘 =

4 ∗ 4𝑘 − 1 − 3 + 3

3=

4 ∗ 4𝑘 − 4 + 3

3=

4 4𝑘 − 1 + 3

3= 𝟒𝑷 𝒌 + 𝟏

Por lo que es divisible por 3.

i. Demostrar que 𝟑𝒏 ≥ 𝟏 + 𝟐𝒏

Recordemos las propiedades de las desigualdades, si sumamos o restamos un mismo número de ambos

lados la proposición no se altera, al igual que cuando se multiplican números naturales.

(i) 31 ≥ 1 + 21 → 3 ≥ 3

(ii) 3𝑘 ≥ 1 + 2𝑘

(iii) Para este tipo de demostración vamos a partir de la hipótesis para llegar al término siguiente.

3𝑘 ≥ 1 + 2𝑘 𝑎𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 3 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

3 ∗ 3𝑘 ≥ 3 1 + 2𝑘 → 3𝑘+1 ≥ 3 + 3 ∗ 2𝑘

Luego como el lado derecho es menor, al restarle algo va a seguir siendo menor todavía.

3𝑘+1 ≥ 3 + 3 ∗ 2𝑘 − 2 − 2𝑘 → 3𝑘+1 ≥ 1 + 2 ∗ 2𝑘 → 𝟑𝒌+𝟏 ≥ 𝟑 + 𝟐𝒌+𝟏



j. 8 divide a 𝟓𝟐𝒏 − 𝟏

(i) 52 − 1 = 24 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑎 8.

(ii) 52𝑘−1

8= 𝑃(𝑘)

(iii) 52(𝑘+1)−1

8= 𝐻(𝑘)

52(𝑘+1) − 1

8= 𝐻 𝑘 =

52𝑘+2 − 1

8=

25 ∗ 52𝑘 − 1

8=

52𝑘 − 1 + 24 ∗ 52𝑘

8= 𝑷 𝒙 + 𝟑 ∗ 𝟓𝟐𝒌

k. 𝟏𝟎𝒏 + 𝟑 ∗ 𝟒𝒏+𝟐 + 𝟓 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟗.

(i) 101 + 3 ∗ 41+2 + 5 = 10 + 3 ∗ 64 + 5 = 10 + 192 + 5 = 207 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 9.

(ii) 10𝑘 + 3 ∗ 4𝑘+2 + 5 = 9𝑃 𝑘

(iii) 10𝑘+1 + 3 ∗ 4𝑘+3 + 5 = 9𝐻 𝑘

10𝑘+1 + 3 ∗ 4𝑘+3 + 5 = 9𝐻 𝑘 = 10 ∗ 10𝑘 + 3 ∗ 4 ∗ 4𝑘+2 + 5

9𝐻 𝑘 = 10 ∗ 10𝑘 − 9 ∗ 10𝑘 + 3 ∗ 4 ∗ 4𝑘+2 − 3 ∗ 3 ∗ 4𝑘+2 + 5 + 9 ∗ 10𝑘 + 3 ∗ 3 ∗ 4𝑘+2

9𝐻 𝑘 = 10𝑘 + 3 ∗ 4𝑘+2 + 5 + 9 ∗ 10𝑘 + 9 ∗ 4𝑘+2

9𝐻 𝑘 = 9𝑃 𝑘 + 9 10𝑘 + 4𝑘+2 → 𝑯 𝒌 = 𝑷 𝒌 + 𝟏𝟎𝒌 + 𝟒𝒌+𝟐

l. Se presenta productorias o producto (similar a la sumatoria solo que se multiplican los términos)

𝟏 −𝟏

𝒊 + 𝟏

𝒏

𝒊=𝟏

=𝟏

𝒏 + 𝟏

Los productos parciales son:

1 −1

𝑖 + 1

𝑛

𝑖=1

= 1 −1

1 + 1 1 −

1

2 + 1 1 −

1

3 + 1 … 1 −

1

𝑛 + 1

𝑃1 = 1 −1

1 + 1=

1

2, 𝑃2 =

1

2 1 −

1

2 + 1 =

1

2

2

3 =

1

3 → 𝑃𝑛 =

1

𝑛 + 1

Demostración:

(i) 𝑃1 =1

1+1=

1

2

(ii) 𝑃𝑘 =1

𝑘+1

(iii) 𝑃𝑘+1 = 𝑃𝑘 1 −1

𝑘+2

𝑃𝑘+1 = 𝑃𝑘 1 −1

𝑘 + 2 = 𝑃𝑘

𝑘 + 2 − 1

𝑘 + 2 =

1

𝑘 + 1

𝑘 + 1

𝑘 + 2 =

𝟏

𝒌 + 𝟐



m. 𝒅

𝒅𝒙 𝒙𝒏 = 𝒏𝒙𝒏−𝟏

Sabiendo que la regla del producto es: 𝑑

𝑑𝑥 𝑓𝑔 = 𝑓

𝑑

𝑑𝑥 𝑔 + 𝑔

𝑑

𝑑𝑥 𝑓 y que

𝑑

𝑑𝑥 𝑥 = 1

(i) 𝑑

𝑑𝑥 𝑥1 = 1 𝑥1−1 = 1

(ii) 𝑑

𝑑𝑥 𝑥𝑘 = 𝑘𝑥𝑘−1

(iii) 𝑑

𝑑𝑥 𝑥𝑘+1

𝑑

𝑑𝑥 𝑥𝑘+1 =

𝑑

𝑑𝑥 𝑥 ∗ 𝑥𝑘 = 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘

𝑑

𝑑𝑥 𝑥

𝑑

𝑑𝑥 𝑥𝑘+1 = 𝑥 𝑘𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘 = 𝑘 𝑥 ∗ 𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘 = 𝑘𝑥𝑘 + 𝑥𝑘 = (𝒌 + 𝟏)𝒙𝒌

n. 𝒏𝟑 < 𝑛! 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 ≥ 6

En este caso nos dan un valor donde empieza a cumplirse, puesto que para n=5 no se cumple.

53 < 5! → 125 < 120 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

63 < 6! → 216 < 720 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

Demostración:

(i) Ya se dio el caso base.

(ii) 𝑘3 < 𝑘!

(iii) Partiendo de la hipótesis.

Demostramos primero que 3𝑘2 + 3𝑘 + 1 < 𝑘 ∗ 𝑘!

3𝑘2 + 3𝑘 < 𝑘 ∗ 𝑘! → 𝑘 + 1 < 𝑘! → 𝑘 < 𝑘!

Lo cual es cierto para todos los k superiores a 3 y por la definición anterior también al 6. Entonces

3𝑘2 + 3𝑘 + 1 < 𝑘 ∗ 𝑘! 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑘 ≥ 6

𝑘3 < 𝑘!

𝑘3 + 3𝑘2 + 3𝑘 + 1 < 𝑘! + 3𝑘2 + 3𝑘 + 1 < 𝑘! + 𝑘 ∗ 𝑘!

𝑘 + 1 3 < 𝑘! 𝑘 + 1 → 𝒌 + 𝟏 𝟑 < 𝒌 + 𝟏 !

o. 𝟐𝒏 > 𝒏𝟐 para toda n mayor a 4

(i) 25 > 52 → 32 > 25

(ii) 2𝑘 > 𝑘2

(iii) Partiendo de la premisa.

2𝑘 > 2𝑘 + 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 > 4



Puesto que para el siguiente el lado izquierdo tiene un aumento de 2𝑘 y el derecho de 2, esto es.

2𝑘+1 > 2 𝑘 + 1 + 1 → 2𝑘 + 2𝑘 > 2𝑘 + 1 + 2

Para valores superiores a 2 es cierta, por lo tanto para valores superiores a 4 también. Entonces:

2𝑘 > 𝑘2

2𝑘 + 2𝑘 > 𝑘2 + 2𝑘 + 1

𝟐𝒌+𝟏 > (𝒌 + 𝟏)𝟐

p. 𝒊𝟐−𝟏

𝒊𝟐𝒏𝒊=𝟐 =

𝒏+𝟏

𝟐𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒏 ≥ 𝟐

𝑖2 − 1

𝑖2

𝑛

𝑖=2

= 22 − 1

22 32 − 1

32 42 − 1

42 … . . 𝑛2 − 1

𝑛2

Los primeros productos parciales dan:

𝑃2 =22 − 1

22=

3

4, 𝑃3 =

3

4

8

9 =

2

3=

4

6 → 𝑃𝑛 =

𝑛 + 1

2𝑛

Demostración:

(i) 𝑃2 =2+1

2∗2=

3

4

(ii) 𝑃𝑘 =𝑘+1

2𝑘

(iii)𝑃𝑘+1 = 𝑖2−1

𝑖2𝑛𝑖=2

(𝑘+1)2−1

𝑘+1 2

𝑃𝑘+1 = 𝑃𝑘 (𝑘 + 1)2 − 1

𝑘 + 1 2 =

𝑘 + 1

2𝑘

(𝑘 + 1)2 − 1

𝑘 + 1 2

𝑃𝑘+1 = 𝑘 + 1 (𝑘 + 1)2 − 1

2𝑘 𝑘 + 1 2=

𝑘2 + 2𝑘 + 1 − 1

2𝑘 𝑘 + 1 =

𝑘2 + 2𝑘

2𝑘 𝑘 + 1 =

𝒌 + 𝟐

𝟐 𝒌 + 𝟏

q. 𝑨𝒄 ∩ 𝑨 = ∅

Utilizando la reducción al absurdo. Negamos la proposición dada y decimos: 𝐴𝑐 ∩ 𝐴 ≠ ∅

Con esto nos referimos a que existe al menos un elemento dentro de la operación, entonces:

∃𝑥∈ 𝐴𝑐 ∩ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴𝑐 ∩ 𝐴

→ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴𝑐 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴

→ ∃𝑥 𝑥 ∉ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴

En este punto se encuentra la contradicción, puesto que un elemento x o pertenece o no pertenece, pero no

puede cumplir ambas, dado que contradice la proposición 𝐴𝑐 ∩ 𝐴 ≠ ∅ llegamos a la conclusión que esta

proposición es falsa, si es falsa por lo tanto la inicial es verdadera. Por lo tanto:

𝑨𝒄 ∩ 𝑨 = ∅



r. Demostrar que se cumple la igualdad

𝐴 ∪ 𝐵 𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐

Para esta demostración utilizamos una técnica llamada doble contención, que consiste en demostrar que el

lado izquierdo está contenido en el lado derecho y el derecho en el izquierdo para demostrar así que

necesariamente son iguales si se cumplen las dos condiciones. Esto es:

𝑆𝑖 𝐴 ∪ 𝐵 𝑐 ⊂ 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 𝑦 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵 𝑐 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 ∪ 𝐵 𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐

(1) Demostrando primero:

𝐴 ∪ 𝐵 𝑐 ⊂ 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐

𝑆𝑒𝑎 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 𝑐 → 𝑥 ∉ 𝐴 ∪ 𝐵

→ 𝑥 ∉ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵

→ 𝑥 ∈ 𝐴𝑐 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵𝑐

→ 𝑥 ∈ (𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐)

∴ 𝐴 ∪ 𝐵 𝑐 ⊂ 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐

Con lo que se demuestra que es cierta para toda x, note que si x no pertenece a la unión no pertenece a A y a

B simultáneamente.

(2) Demostrando la otra contención:

𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵 𝑐

𝑆𝑒𝑎 𝑥 ∈ 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 → 𝑥 ∈ 𝐴𝑐 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵𝑐

→ 𝑥 ∉ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵

→ 𝑥 ∉ 𝐴 ∪ 𝐵

→ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 𝑐

∴ 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵 𝑐

Lo que demuestra la segunda contención.

Como ambas son ciertas se deduce que por (1) y (2).

𝐴 ∪ 𝐵 𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐



«Duda que las estrellas ardan, duda que el sol se mueva, considera toda

verdad sospechosa, pero jamás dudes de mi amor. ¡Oh, amada Ofelia! Yo no

sé escribir poemas, ni tengo talento para expresar las congojas de amor, pero

cree que te quiero más que a nadie en este mundo, créelo… y adiós. Mi

amadísima señora, mientras siga prisionero en este mísero cuerpo será

siempre tuyo Hamlet»

Carta escrita a Ofelia de parte de Hamlet, Escena VI. -Hamlet- Shakespeare

marco teórico - ryr2008.files.wordpress.com · muestran las siguientes para utilizarlas en la...

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