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MÁQUINAS SIMPLES

Introducción

Desde el punto de vista de teoría de sistemas una máquina simple se puede definir como un dispositivo que transforma una fuerza a su entrada (fuerza aplicada, F) en una fuerza a su salida (fuerza de carga o resistencia, Q ) con una dirección y/o magnitud diferente (s). La denominada fuerza de resistencia es empleada para desplazar cuerpos.

Un riguroso análisis del funcionamiento de las máquinas debe hacerse bajo los conceptos de trabajo y de conservación de la energía (temas que se abordarán más adelante en este curso). Estos conceptos llevan a concluir que si la máquina “aumenta la magnitud de la fuerza (o mejor, Q>F), debe disminuir su desplazamiento en la misma proporción”: por ejemplo si Q=2F, para que Q desplace un cuerpo en una cantidad x, F se debe desplazar una cantidad 2x; "si se gana en magnitud de fuerza, se pierde en la misma proporción en magnitud del desplazamiento".

El análisis mecánico de una máquina se puede hacer a través de las ecuaciones de equilibrio expresadas en las leyes de Newton (ley de inercia de traslación y ley de inercia de rotación) o empleando los conceptos de trabajo y energía.

Entre las máquinas simples están:

Las palancas.

Las poleas: fija, móvil, polipastos y aparejos.

El plano inclinado.

El torno.

Definiciones básicas

Ventaja mecánica

A la relación entre la magnitud de la fuerza de salida Q (resistencia o carga) y la fuerza de entrada F (fuerza aplicada) se le denomina ventaja mecánica (VM) de la máquina:

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VM=QF (1)

El valor de la VM puede ser mayor, menor o igual a uno. Si VM >1, con el uso de la máquina se obtienen a la salida fuerzas más grandes pero desplazamientos más pequeños. Al revés sucedería si la VM <1.

Eficiencia

Cuando se consideras que no hay pérdidas de energía en forma de calor, o equivalentemente, cuando despreciamos los efectos de rozamiento, se dice que la máquina es 100 % eficiente. De esta forma, una máquina cuya VM sea igual a 2, para una fuerza de entrada igual a 10 kgf se obtiene una fuerza a la salida de 20 kgf. Pero en el caso práctico esto no es cierto: parte de la fuerza de entrada se debe emplear para vencer las fuerzas de rozamiento, por lo que se obtendría una fuerza menor a la salida. Supóngase que la fuerza a la salida en el ejemplo propuesto sea igual a 15 kgf, obteniéndose una VM igual a:

VM=15 kgf10 kgf

=1,5

A la ventaja mecánica calculada teniendo en cuenta los efectos de fricción, se le denomina ventaja mecánica real (VMR). En el ejemplo, VMR=1,5. A la calculada sin efectos de fricción se le denomina ventaja mecánica ideal (VMI). En el ejemplo, VMI=2.

A la relación entre VMI y VMR, se le denomina eficiencia e de la máquina:

e=VMRVMI (2)

Obviamente la eficiencia e, debe ser menor que 1: nunca será posible que VMR sea mayor que VMI. En el caso del ejemplo, la eficiencia es igual a 0,75 o si se quiere en porcentaje es 75%. La ecuación (2) es el resultado de una regla de tres simple y directa: "...si para que la máquina tenga una eficiencia igual a 1 (o 100%), la ventaja mecánica debe ser igual a la ideal (VMI), cuál será su eficiencia si su ventaja mecánica es la real (VMR)...".

Análisis de algunas máquinas

1. Las palancas

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Desde muy pequeños la experiencia enseña que para desplazar un objeto muy pesado, se puede usar el mecanismo de la Figura 1 (izquierda: una barra con un punto de apoyo O (denominado también fulcro). Con este mecanismo (denominado palanca) es necesario solo hacer una pequeña fuerza F para levantar una gran carga Q. A la sección de la barra que hay entre el punto de apoyo y la carga Q, se le denomina brazo de la resistencia (q) y a la otra sección, se le denomina brazo de la fuerza aplicada (f). En la Figura 1 (derecha) se ilustra el diagrama de fuerzas sobre la barra (palanca) en posición horizontal y en donde se ha despreciado el peso de ésta (en la práctica F y Q son mucho mayores que este peso, aunque tenerlo en cuenta tampoco complicaría los respectivos cálculos). Aquí N es la fuerza normal que ejerce el apoyo sobre la palanca, Q es la fuerza que ejerce la carga sobre la palanca (que en situación de equilibrio será igual al peso de la carga) y F es la fuerza aplicada que la ejerce el señor sobre la barra.

Figura 1: Palanca (izquierda). Diagrama de fuerzas para la palanca (derecha)

Aplicando la condición de equilibrio para rotación respecto al fulcro:

∑T oz=0⇒Qq−Ff=0 (1.1)

De la ecuación (1.2) se deduce que la ventaja mecánica ideal para la palanca es igual a:

VMI=QF

= fq (1.2)

Se debe aclarar que las palancas no necesariamente se usan para “amplificar” la fuerza (F<Q y por lo tanto f>q); también podría ser lo contario en cuyo caso “amplificaría” el desplazamiento (es decir F>Q pero Q se desplazaría más que F, f<q). En el primer caso VMI>1 y en el segundo VMI<1.

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Las palancas se clasifican con base en la posición del fulcro O respecto a la “resistencia Q” y a la “fuerza aplicada F” (ver La figura 2):

Q-O-F (primer genero) O-Q-F (segundo género) O-F-Q (tercer género)

Primer género Segundo género Tercer géneroFigura 2: Ejemplos de palancas de diferente género

2. La polea

Una polea es básicamente una especie de palanca que puede usarse para cambiar la dirección de una fuerza. Si se usa adecuadamente, una polea o un sistema de poleas puede también “multiplicar” la fuerza.

2.1. La polea fija

La polea simple de la Figura 3, se comporta como una palanca de primer género. El eje de la polea hace de punto de apoyo (punto O) y los brazos de la palanca (que corresponden al radio de la polea, r ) son iguales, por lo que ésta polea no “multiplica la fuerza”: simplemente cambia la dirección de la fuerza. La ventaja mecánica es igual a 1; observar que los desplazamientos (en magnitud) a ambos extremos de la cuerda son iguales: si la carga sube 1 m, la mano debe bajar 1 m.

Figura 3: Polea fija

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En la Figura 4 (izquierda) se ilustra el diagrama de fuerzas para la polea

con un pedazo de cuerda (se ha despreciado la fricción con el eje): F es

la fuerza que ejerce la mano, T es la fuerza que se ejerce sobre el

extremo izquierdo del pedazo de cuerda, P es el peso de la polea (en

muchas aplicaciones se puede despreciar) y R la fuerza que ejerce el eje

sobre la polea (tiene componentes Rx y Ry). La polea tiene radio r.

Figura 4: Diagramas de fuerza: polea (izquierda), carga (derecha).

Aplicando las condiciones de equilibrio para la rotación de la polea se

obtiene:

∑T oz=0⇒Tr−Fr=0⇒T=F (2.1.1)

En la Figura 4 (derecha) se ilustra el diagrama de fuerzas para la carga con un pedazo de cuerda: el peso de la carga es Q y la fuerza sobre el pedazo de cuerda es T’ (que sería la fuerza de reacción a T, es decir, T=T’).

Aplicando la condición de equilibrio de traslación para la carga se

obtiene:

∑ F y=0⇒T '−Q=0⇒Q=T ' (2.1.2)

Combinando las dos ecuaciones anteriores se obtiene,

Q=F (2.1.3)

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y por lo tanto la ventaja mecánica ideal para la polea fija es igual a:

VMI=QF

=1(2.1.4)

2.2. La polea móvil

La polea simple de la Figura 5 (izquierda) funciona como una palanca de segundo género. Un razonamiento cuidadoso mostrará que en este caso el punto de apoyo está en el extremo izquierdo de la "palanca", donde la cuerda entra en contacto con la polea (punto O). En la Figura 5 (derecha) se ilustra un subsistema de la máquina que nos facilitará su análisis mecánico. La fuerza Q corresponde a la carga (suma del peso de la polea con el peso del cuerpo que se quiere desplazar, es decir, es el peso del subsistema considerado: en muchas aplicaciones se desprecia el peso de la polea). La fuerza F es la ejercida por la mano, y T es la tensión en la cuerda (fuerza ejercida sobre ese trozo de cuerda). La polea tiene radio r.

Figura 5: Polea móvil (izquierda). Diagrama de fuerzas sobre el subsistema polea-carga (derecha)

Aplicando la condición de equilibrio de rotación sobre el subsistema se

obtiene:

∑T oz=0⇒ F (2 r )−Qr=0⇒Q=2 F (2.2.1)

De la ecuación (2.2.1) se deduce que la ventaja mecánica ideal para la polea móvil es igual a:

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VMI=QF

=2(2.2.3)

2.3. Polea fija mas móvil

En la Figura 6 se ilustran diferentes configuraciones de poleas fijas con móviles. Estos sistemas reciben el nombre de polipastos.

Ejercicio 1

Mostrar que la VMI de la máquina simple de la Figura 6 A es igual a 2.

Ejercicio 2

Mostrar que la VMI de la máquina simple de la Figura 6 B es igual a 2.

A B

C D

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E FFigura 6: Diferentes polipastos

Ejercicio 3

Mostrar que la VMI de la máquina simple de la Figura 6 C es igual a 4.

Ejercicio 4

Mostrar que la VMI de la máquina simple de la Figura 6 D es igual a 3.

Ejercicio 5

Mostrar que la VMI de la máquina simple de la Figura 6 E es igual a 8.

Ejercicio 6

Mostrar que la VMI de la máquina simple de la Figura 6 F es igual a 8.

3. Aparejo diferencial

En la Figura 7 se ilustra un aparejo diferencial. En él se emplea una cadena y ruedas dentadas que no dejan deslizar la cadena. La polea diferencial tiene como radios r y R (r<R).

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Figura 7: Aparejo diferencial (izquierda). Diagramas de fuerza de dos subsistemas (centro y derecha)

En la Figura 7 (centro) se ilustra el diagrama de fuerzas sobre el subsistema polea inferior-carga-trozos de cadena: aquí T’1 y T’2 son las fuerza ejercidas sobre los trozos de cadena, Q es el peso de la carga con la polea (se despreciando el peso de la cadena). En la Figura 7 (derecha) se ilustra el diagrama de fuerzas sobre el subsistema polea superior: aquí P es el peso de la polea superior, T1 y T2 son las fuerzas de reacción a T’1 y T’2 respectivamente (T1= T’1 y T2= T’2), N la fuerza que ejerce el eje de la polea a la polea (se desprecia el rozamiento entre ambos), F la fuerza que ejerce la mano. La polea inferior tiene radio r’ y las superiores r y R.

Aplicando la ley de inercia de traslación al subsistema de la Figura 7 (centro) se obtiene:

∑ F y=0⇒T 1' +T 2

' −Q=0 (3.1)

Aplicando la ley de inercia de rotación para el mismo subsistema respecto al centro de la polea (O):

∑T oz=0⇒−(T 1' ) (r ' )+(T 2

' ) (r ' )=0⇒T 1'=T 2

'

(3.2)

y por lo tanto,

T 1'=T 2

' =T1=T 2=T (3.3)

Con (2.4.3) y (2.4.1) se obtiene:

Q=2T (3.4)

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Aplicando la ley de inercia de rotación para el subsistema de la Figura 7 (derecha) respecto al centro O’ de la polea,

∑T oz=0⇒ (T ) (R )−(T ) (r )− (F ) (R )=0 (3.5)

De las ecuaciones (3.4) y (3.5) se obtiene,

V .M . I=QF

= 2 RR−r (3.6)

Se observa que entre más cerca estén los radios de las poleas superiores (es decir, menor sea la DIFERENCIA entre ellos), mayor será la ventaja mecánica del aparejo.

4. El plano inclinado

En la Figura 8 se ilustra un ejemplo del uso del plano inclinado como maquina simple: un bloque es empujado para llevarlo hasta un lugar alto. Para esto se utilizó una rampa y se hace que el objeto se deslice por ella, de esta forma se requiere de menor esfuerzo (“amplificación de fuerza”) a costa de recorrer una distancia mayor.

Figura 8: Plano inclinado (izquierda). Diagrama de fuerzas sobre la carga (derecha)

El diagrama de fuerzas sobre la carga se ilustra en la Figura 8 (derecha): aquí N corresponde a la fuerza normal que ejerce el plano sobre la carga (para efectos de calcular la ventaja mecánica ideal se está despreciando el rozamiento), Q corresponde al peso de la carga y F la fuerza aplicada por una persona.

Ejercicio 7Mostrar que la VMI del plano inclinado es igual a:

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VMI=QF

= LH (4.1)

Es interesante decir que se basan en el principio del plano inclinado como máquina los tornillos (plano inclinado enroscado alrededor de un cilindro o cono), las carreteras (una especie de tornillo construido sobre una montaña), los cuchillos y las hachas, Figura 9.

Dispositivo de fijación que deriva del *plano inclinado (un plano inclinado enroscado alrededor de un cilindro o cono). Los perfiles sobresalientes de la rosca que se genera, se denominan filetes, y pueden tener una sección transversal cuadrada, triangular o redondeada. La distancia entre dos puntos correspondientes situados en filetes adyacentes se denomina paso. Los tornillos empleados en mecánica son cilíndricos, de diámetro constante, mientras que los tornillos para madera son cónicos.

Figura 9: Ejemplos de aplicación del plano inclinado como máquina simple

5. El torno

En la Figura 10 (izquierda) se ilustra una máquina simple denominada TORNO. Ella es muy utilizada para elevar baldes con agua en los pozos. En la Figura 10 (derecha) se ilustra el diagrama de fuerzas sobre el torno que facilitará su análisis mecánico: la fuerza F  la ejerce una persona para hacer rotar el manubrio, la fuerza N la ejerce el eje, la fuerza P es el peso del torno y la fuerza Q es el peso de la carga. Aquí se ha despreciado la fricción con el eje (esto para efectos de calcular la ventaja mecánica ideal).

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Figura 10: Torno (izquierda). Diagrama de fuerzas que facilita el análisis mecánico del torno

Para analizar ésta máquina basta emplear la ley de inercia de rotación:

∑T oz=0⇒ (Q ) (r )−(F ) (R )=0 (5.1)

donde O es el centro del torno y es por donde pasa el eje de rotación. Por lo tanto la ventaja mecánica ideal es,

VMI=QF

=Rr (5.2)