Mapas de recurrencia (RP) para anlisis de sistemas complejos

Mapas de recurrencia (RP) para anlisis de sistemas complejosIntegrantes:Andrs Nicols Ballesteros V.Brayan Andrs Tapiero V.

Director:MSc. Miguel Alberto Melgarejo Rey

Universidad Distrital Francisco Jos de CaldasBogot DC.2014ContenidoRecurrenciaLa RAE[1] define el trmino recurrencia como: f.Cualidad de recurrente.f.Mat.Propiedad de aquellas secuencias en las que cualquier trmino se puede calcular conociendo los precedentes.

En la cotidianidad se puede observar la recurrencia cuando hay:Situaciones similares-comportamiento similar (DETERMINISMO).Repetitividad para algunas situaciones (memoria).

Henry Poicar (1890) fue el primero en proponer el trmino Recurrencia en sistemas conservativos al analizar el Problema restringido de 3 cuerpos . [2]

[1] Real Academia Espaola. (2001).Diccionario de la lengua espaola(22.aed.). Consultado enhttp://www.rae.es/rae.html[2] H. Poincar, Sur la probleme des trois corps et les quiations de la dynamique, Acta Mathematica 13 (1890) 1-271.

3Teorema de recurrencia de H. Poincar[1] H. N. Nues-Ypez, A. L. Salas-Brito, Poicar, la mecnica clsica y el teorema de la recurrencia, Revista Mexicana de Fsica, Ed 59 (2013) 91-98Espacio de Fase:Es una construccin matemtica que permite representar el conjunto de estados de un sistema. Representa las variables de estado de dicho sistema tal que las coordenadas de cada punto representan tanto lasposiciones generalizadas como sus momentos en un mismo marco.Los estados de un sistema cambian en el tiempo, por tanto el vector que describe la trayectoria cambia de direccin.La forma de las trayectorias dan una idea de la forma de las seales, aquellas que son caticas o peridicas poseen representaciones caractersticas en el espacio de fase. [1]

[1] S. H. Strogatz, Non linear dynamics and chaos, with aplications to physics, biology, chemistry and engineering, Perseus Books, Ed. 1, (1994) 145-155Mapas de recurrencia:

[1] J. P. Eckmann, S.O. Kamphorst, D. Ruelle, Recurrence plots of dynamical systems,Europhys. Lett. 5 (1987) 973-977[2] N. Marwan, M. Romano, M. Thiel, J. Kurths, Recurrence plots for the analysis of complex sysmems, ScienceDirect. (2007) 244

Chaotic Rssler systemLos RP poseen ciertos comportamientos, al igual que las grficas en espacio de fase, para los sistemas caticos y peridicos, al mismo tiempo que se diferencian claramente del ruidoRuido

Seal peridicaDe las estructuras vistas en los RP de los sistemas caticos se pueden realizar distintas relaciones, la primera de ellas que suele saltar a la vista es:Entre ms cortas las lneas del RP menos predictible es el sistema.[1] N. Marwan, M. Romano, M. Thiel, J. Kurths, Recurrence plots for the analysis of complex sysmems, ScienceDirect. (2007) 242[2] A. Roberto, R. Mainieri, G. Vattay, A. Wirzba, P. Cvitanovic, G. Tanner, N. Whelan. Chaos: classical and quantum, Niels Bohr Institute, (2012) 112-129. Consultado en: http://chaosbook.org/

Tiempo de recurrencia

Generalidades de los RP:Por definicin la matriz de recurrencia se define como:

Es decir, se harn 1 las posiciones en las cuales los valores de la diferencia sean positivos y 0 en el caso contrario.Los RP poseen una estructura, donde generalmente se pueden observar los siguientes casos:HomogeneidadPeriodicidad o cuasi-periodicidad, que se puede observar como varias lineas diagonales sin ninguna otra estructura.Drift, son aquellos sistemas con cambios lentos que causan en el RP una zona completa sombreada.Quiebres o reas blancas, que puede significar cambios extremos en la seal.

Tipos de estructuras en los RP:Anlisis cuantificado de Recurrencia(RQA)Es el tipo de anlisis realizado a los mapas de recurrencia los cuales arrojan ciertas medidas de acuerdo a la estructuras de pequea escalas que se presentan en este.

Las diferentes mediciones que se pueden obtener a partir de los mapas de recurrencia son:Medidas basadas en la densidad de recurrencia.Medidas basadas en lneas diagonales.Medidas basadas en lneas verticales.

Medidas Basadas en la Densidad de Recurrencia.

Medidas Basadas en lneas diagonales.