magneto e static a

Fernando Ribas. Física II. Magnetoestática. 1

Magnetoestática.


Temario.

TEMA 4: CAMPO MAGNETICO DE CORRIENTES ESTACIONARIAS.1.- Fenómenos magnéticos.2.- Interacciones entre corrientes estacionarias.3.- Campo de inducción magnética. Ley de Biot-Savart.4.- Fuerza de Lorentz.5.- Ley de Ampère.6.- Fuerza entre conductores paralelos. Definición internacional de Amperio.7.- Ejemplos.(Efecto Hall; campo magnético de un conductor cilíndrico, de un segmento, de un plano, de una recta, de un disco electrificado girando, por Ampère y Laplace, con hueco aximétrico, etc-)8.- Espira y solenoide en un campo magnético. Momento dipolar magnético. Trabajo.9.- Ejemplos y Cuestiones.( Toroide rectangular, flujo magnético, etc...)


4.1.- Fenómenos magnéticos.Magnetismo: Piedras magnetitas, imanes, óxidos de hierroAgujas magnéticas o magnetómetros (naturales o artificiales por frotación)

Magnetismo terrestre (Brújula)Polos MagnéticosEstudios Magnéticos: Relación entre fenómenos eléctricos y magnéticos (W.

Gilbert 1600)

Interacción magnética entre aguja magnética e hilo con corriente.(Oersted, Hans 1819)

Interacción magnética entre corrientes (Ampère, André posterior Oersted)

Producción de corriente eléctrica por el movimiento de un imán acercándose o alejándose a un circuito. ( Henry, Joseph, 1830)

Producción de corriente en un circuito al variar la corriente enotro circuito próximo (Faraday, Michel, 1830 )


4.1.- Fenómenos Magnéticos.


4.2.- Interacciones entre corrientes estacionarias.Dos imanes A, B, interaccionan magnéticamenteSe puede sustituir el imán A por una corriente (experimento de Oersted)

Se pueden sustituir los dos imanes por corrientes (experimento de Ampére)

Magnetismo se produce por corrientes eléctricas.

( )( )2 1

2 12 11 2 1 2 3

2 1

'dl dl r r

F K i ir r

→

× × −

=

−

∫ ∫

( )( )1 2

1 21 22 1 2 1 3

1 2

'dl dl r r

F K i ir r

→

× × −

=

−

∫ ∫

2 1 1 2 2 1 1 2;F F dF dF→ → → →= − ≠ −

Tercera ley de Newton global y local

K’ Constante magnética

r

r r r

2

12 1-

C C21

o

dl1

dl2

df1

df1

Ecuación de Ampère


4.3.1.- Campo de inducción magnética. Ley de Biot-Savart.

( )( )2 12 1

1 2 1 2 32 1

'dl dl r r

dF K i ir r

→

× × −

=

−

( )( )1 21 2

2 1 2 1 31 2

'dl dl r r

dF K i ir r

→

× × −

=

−

( )( )2 11

1 1 32 1

'dl r r

dB K ir r

× −

=

−

11 2 22dF i dl B→ = ×

Primera Ley de Laplace o Ley de Biot y Sabart no integrada.

Segunda Ley de Laplace

Campo de Inducción Magnética (o Campo Magnético).

( )( )( )

1

2 111 2 1 3

2 1

'dl r r

B r K ir r

× −

=

−

∫


4.3.2.- Campo de inducción magnética.

r

rr r

2

1

2 1-

C1

o

dl1

β

dB1

1 1dB dl⊥

( )2 11dB r r⊥ −

Primera ley de Laplace.

Campo Magnético

( )( )2 11

1 1 32 1

'dl r r

dB K ir r

× −

=

−



r

df

2

12

o

dl2

β

B1

Segunda ley de Laplace. Campo Magnético

1 2 2 12dF i dl dB→ = ×

1 2 22dF i dl→ ⊥

11 2dF B→ ⊥

max121

2 2

dFBi dl

=

(sentido y dirección)

módulo o intensidad



Líneas del campo magnéticas cerradas

idlB

.MS

B dSφ = ∫

Flujo Magnético

. 0MS

B dS Sφ = = ∀∫

1 1 2 1B M T Q M T A− − − −

= =

Ecuación de dimensiones

[ ] ( )4( ) 1 10 ;B Tesla T T G Gs= =

Unidades S.I.[ ] ( )M Weber Wbφ =


4.3.5.- Campo magnético de un hilo rectilíneo infinito.(Ley de Biot y Savart integrada).

Ο

Y

Xr'

rr'r -

idl

dx

− +

Z

z

y

dB

P

HILO

t

i



( )( )

3

''

'

idl r rdB r K

r r

× −

=

−

ˆˆ

ˆ'ˆˆ ˆ'

ˆ

r y j z k

r x i

r r x i y j z k

idl i dx i

= +

=

− = − + +

=

( )( )

322 2 2

ˆˆ ˆ ˆ'i dl i x i y j z k

dB r Kx y z

× − + +

=

+ +

( )( )

3 32 22 2 2 2 2

ˆˆ' 'i dx z j y k i dx tdB r K K

x y z x t

− +

= =

+ + +

ˆˆt z j y k= − +

2 2 2t y z= +

( ) 3 32 2

2 22 2 2

2' ' '1

x u

x u

i dx i du iB r K t K t K tt tx t u

=∞ =∞

=−∞ =−∞

= = =

+ +

∫ ∫



Ο

Y

X

r− +

Z

z

y

B

P

HILO

t

i

Significado

( )2' iB d Kd

=

0'4

K µ

π=

d = distancia al hilo

( ) 0

2iB dd

µ

π=

0µPermeabilidad magnética del vacío

Ley de Biot y Savartintegrada


4.4.- Ley de Lorentz.

r

r r r' -

o

'

dlidΩJ

( )( )

3

''

'

j r rdB r K d

r r

× −

= Ω

−

Vdq V d j dρ= Ω = Ω

Densidad de corriente

dF i dl B= ×

dF dqV B= ×

EF q E=

( )( )M EF F F q V B E= + = × +

( )( )

3

''

'

V r rB r K q

r r

× −

=

−

i dl iVdt Vdq= =

j

MF qV B= ×

r

o

V

q F

B

( ). . 0MMW F dr q V B Vdtδ = = × =


4.5.1- Ley de Ampère.Cálculo de la circulación del campo magnético sobre un circuito cualquiera, atravesado por un hilo rectilíneo infinito que transporta una corriente i.

dr

B

C

i

.C C

c dc Bdr= =∫ ∫

i

P

MN

Q

θd

BOR

DescomposicióndPQ dPM dMN dNQ= + +

dPM

angular dMN

radial dNQ

axial

. . . .B dr B dPM B dMN B dNQ B d PM= + + =

dc B dPM B ds B R dθ= = =

0

2iBR

µ

π=

0

2idc R dR

µθ

π=

0

2idc dµ

θπ

=

00.

2C C C

ic dc B dr d iµθ µ

π= = = =∫ ∫ ∫


4.5.2.- Ley de Ampére.Si la espira no es atravesada por ninguna intensidad

0. 02C C C

ic dc B dr dµθ

π= = = =∫ ∫ ∫

i

P

MN

Q

θd

BOR

θ-d

En general

Jd S

Bd r

C

S0

( )

. .C S C

B dr J dSµ=∫ ∫

( )

.S C

i J dS= ∫


4.5.3.- Campo magnético de un conductor cilíndrico que porta una densidad de corriente uniforme.

r

R

S C

J

0( )

. .C S C

B dr J dSµ=∫ ∫

Teorema de Ampére

. 2C

B dr rBπ=∫

2

0 0( )

.S C

J dS J rµ µ π=∫

Interior

102B Jrµ=

2'i J rπ=

Exterior

. 2C

B dr rBπ=∫

20 0 0

( )

.S C

J dS J R iµ µ π µ= =∫

20 0

2 2JR iBr r

µ µ

π= =

rR

B

r1_


4.5.4.- Campo magnético de un plano que porta una densidad de corriente uniforme.

Jd

CAB

C D

L

s

0( )

. .C S C

B dr J dSµ=∫ ∫

. 2C

B dr BL=∫

0 0( )

.S C

J dS J Ldµ µ=∫

102B J d cteµ= =

0J J d=

Densidad superficial


4.6.- Fuerza entre conductores paralelos. Definición internacional de Amperio.

i i21

dl1 dl2

B1

B2

df21

df12

d

0 11 2

iBd

µ

π= 0 2

2 2iBd

µ

π=

dF i dl B= ×

2 0 112 2 2 1 2

i dl idF i dl Bdµ

π= =

1 0 221 1 1 2 2

i dl idF i dl Bdµ

π= =

21 12dF dF= −

Corrientes mismo sentido atracción, sentido opuesto repulsión.

7 12.10 1 1dF Nm d m i Adl

− −

= = ⇒ =Amperio Internacional

7 20 4 .10 NAµ π

− −

= 1i QT A−

= =[ ] ( )i Amperio A=

0 1 2

2dF i idl d

µ

π=


4.7.1.- Ejemplo. Efecto Hall.

Portadores de carga positivos o negativos

Efecto Hall clásico, existe otro efecto Hall cuántico


4.7.2.- Ejemplo. Conductor cilíndrico con hueco asimétrico portando densidad de corriente uniforme.

a

R

S

C J1

02B Jrµ=

Campo magnético en el interior de un conductor cilíndrico macizo que porta una densidad de corriente uniforme

102B J rµ= ×

JB

r

J


4.7.2.- Ejemplo. Conductor cilíndrico con hueco asimétrico portando densidad de corriente uniforme (cont.).

R

ab

rJ

R

a

rJ

R

ab

r'

-Jx

'r r a= +

= +

11 0 12B J rµ= ×

1 12 0 2 0 12 2' 'B J r J rµ µ= × =− ×

1 2J J J= =−

( )1 1 1 11 2 0 1 0 1 0 02 2 2 2' 'B B B J r J r J r r J aµ µ µ µ= + = × − × = × − = ×

102B J a cteµ= × =

Secciones transversales


4.8.1.- Espiras y Solenoides.Campo magnético de una espira circular (en su eje).

Ο

Y

X

r'

r

r'r -

idl

− +

Z

z

y

dl

P

HILO

t

i

dB

dBX

θ

θ

xdB sen dBθ=

2 2' i dldB KR x

=

+

'r R=

2 2

'

'

r Rsenr r R x

θ = =

− +

( )3

''

'

i dl r rdB K

r r

× −

=

−

2''

i dldB Kr r

=

−

( )322 2

'xi RdldB K

R x=

+

( ) ( )3 32 2

2

2 2 2 2

2' 'xEspira

i Rdl i RB K KR x R x

π

= =

+ +

∫

( )32

2

2 2

2'xi RB K

R x

π

=

+

2'xiB K

Rπ

= centro


4.8.2.- Momento magnético de una espira.

SP

B

i

p i S=

Momento magnético de una espira plana

i'

d p

Cd S

i

Momento magnético de una espira cualquiera

'Espira Espira

P dp i dS= =∫ ∫

Espira total: suma de las contribuciones de las espiras elementales.

Dipolo Magnético


4.8.3.- Momento sobre una espira inmersa en un campo magnético.

S

PB

i

dl

dF i dl B= ×

0C

F i dl B= × ≠∫

Campo no-uniforme

Campo uniforme

0C C

F i dl B i dl B

= × = × =

∫ ∫

Aparecen momentos (pares) sobre la espira o dipolo magnético, incluso si el campo es homogéneo.

( ) 0o

C C

M r dF r i dl B= × = × × ≠∫ ∫


4.8.4.- Momento sobre una espira rectangular inmersa en un campo magnético uniforme.

θ

θ

F

F

F

F

B

B

dS

dS

iMF'

F'

Pi

L'

L

d

u

' 'F i L B= ×

Las fuerzas sobre los lados L’ están sobre la misma recta soporte, su momento es nulo

F i L B= ×

Las fuerzas sobre los lados L, NO están sobre la misma recta soporte, su momento NO es nulo

ˆ' ' 'M L F L i L B iLL B sen uθ= × = × × =

'M F d iLBL senθ= =

'iLL iS= M iS B p B= × = ×

M p B= ×


4.8.5.- Trabajo en el campo magnético.Espira deformable i

dl

dr

dS

( ) ( )2 . . . .W dF dr idl B dr i dr dl B idS Bδ = = × = × =

W i dδ φ=

Espira No-deformable, puede girar

i

d

B

Sθ

M

P

Trabajo del campo

' 0M M+ =

' '. .W M d M d M d iBS sen dδ θ θ θ θ θ= = − = =

' ( cos )W d iBS idδ θ φ= − = −

'W W idδ δ φ= − = Trabajo del campo

'W dU idδ φ= = − Energía potencial magnética2

2

11

2

2 11

( cos ) .U U dU d iBS p Bθ

θ

θθ

θ − = = − = − ∫ ∫

.U p B= −

2( ) 0U πθ = =


4.8.6.- Solenoides.

L

S

Pi

P Ni S=

P ni LS niS L= =

NnL

=

d L

S

d P

i

d i d P

dP in S dL di S= =

di i n dL=

Todo idéntico a lo de una única espira

dN n dL=Número de espiras en dL


4.8.7.- Campo magnético en el eje de un solenoide infinitamente largo y rectilíneo.

( )( )32

2

22

2''

xi RB K

R x x

π

=

+ −

Campo de una espira finita di i n dL=

( )( ) ( )( )3 32 2

2 2

2 22 2

2 2 '' '' '

xdi R R i n dxdB K K

R x x R x x

π π

= =

+ − + −

Campo de una espira infinitesimal

dBx-x'x'

di

dx'

Ox Eje

( )32

2

2 2

2'x oR i n dxB K ni

R x

πµ

+∞

−∞

= =

+

∫

x oB n iµ= Es constante

( )322

21

du

u

+∞

−∞

=

+

∫


4.8.8.- Campo en el interior de un solenoide infinitamente largo y rectilíneo.

X X X X

C 1 2

34

1' 2'

L'

EJE

B

h

3 1

1,2 2,3 3,4 4,11,2,3,4 2 4

. ' 'c B dr B L B dl B L B dl= = + + +∫ ∫ ∫

3 1

2,3 4,12 4

0B dl B dl+ =∫ ∫

Por simetría

0 0 'c I nL iµ µ= = 1,2 ' 0 ;B L h→ →∞ 3,4 0' 'B L nL iµ=

3,4 0 0ejeB B niµ= = ≠

3 1'

1',2' 2',3 3,4 4,1'1',2',3,4 2' 4

. ' ' 0c Bdr B L B dl B L B dl= = + + + =∫ ∫ ∫

3,4 1',2 ' 0 ejeB B ni Bµ= = =

3,4 1',2 ' 0 ejeB B ni Bµ= = =

0exteriorB =

0InteriorB niµ=


4.8.9.- Campo en el interior de un solenoide toroidal de sección muy pequeña.

x

a

ix

x

xx

0. 2C

B dr aB Niπ µ= =∫

0

2NiBa

µ

π=

B es uniforme dentro del toroide, y nulo fuera

0B niµ=

2Nn

aπ=


4.9.1.- Ejemplo: Campo magnético en el interior de un solenoide toroidal de sección rectangular.

x

a ix

x

xx

b

r

rB

L

C0. 2C

B dr rB Niπ µ= =∫

0

2NiBr

µ

π=

0 0. ln2 2S S

NiL NiL bBdS drr a

µ µφ

π π= = =∫ ∫

dS Ldr=

drL

dS

r


4.9.2.- Ejemplo.

I

Ie

h

b

a

h 1 2

34

x

x y

z

h+y

B

F23F41

F34

F12

( ) ( )0 023 23 23 2 ( ) 2 ( )

ˆ ˆ ˆh e hi ai ie h b h bF iL B i a k i jµ µ

π π+ += × = − × − =

( )0 041 41 41 2 2

ˆ ˆ ˆh e hi ai ie h hF iL B i ak i jµ µ

π π= × = × − =−

( )0 01212 12 2 ( ) 2 ( )

ˆˆ ˆh e hi i i dye y h y hdF idl B i dy j i kµ µ

π π+ += × = × − =−

034 2 ( )

ê hi i dyx hdF kµ

π +=

34 12 0dF dF+ =

041 34 2 ( )ê habi i

h h bF F jµ

π ++ =−

02 ( )

ê habi ih h bF jµ

π +=−

Fuerza que ejerce el hilo sobre la espira

magneto e static a

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